（计算机应用技术专业论文）广义模糊bck代数和广义模糊环.pdf

摘要 摘要 在模糊b c k 代数，模糊b c h 代数研究的基础上本文在b c k ( b c h ) 代数中研究 了范围更广的( 五，五) 一广义模糊子代数，( ，v g ( ) 一模糊子代数，以及几种( 五，如) 一 广义模糊理想和( ，v 吼 ，如) ) 一模糊理想，得出相关的性质定理。最后研究了环上的 ( ，v 吼五) ) 一模糊子环，( ，v 口( - ) ) 一模糊理想，( ，v q ( _ 棚) 一模糊( 完全) 正则子环。 具体内容如下： ( 1 ) 给出b c k 一代数中的( 丑，五) - 广义模糊子代数，( ，五) 广义模糊理想，( ，五) 广义模糊关联理想的概念，通过它的水平集心，特征函数以来讨论( ，五) - 广义模糊子 代数的一些性质并且证明了当a = o ，五= 1 时普通的模糊b c k 子代数，模糊理想，模糊 关联理想就是它们的一种特殊情况。接着通过“广义重于 作者给出了( ，v 吼 ，如) ) 一模 糊子代数，( ，ev q t a , a ) ) 一模糊理想，( ，v q ( 冯，五) ) - 模糊关联理想的概念，当a = o ，五= o 5 时，“广义重于 等价于普通意义上的“重于”。接着给出了( 五，五) 广义模糊子代数， ( ，v q ( 焉) - 模糊子代数，以及非空水平集心之间，( a ，五) - 广义模糊理想， ( ，v q ( ) ) - 模糊理想，b c k 一代数中的一个非空理想心之间以及( 五，如) 一广义模糊关联 理想，( ，v q ( ，而) ) - 模糊关联理想，b c k 一代数的一个非空关联理想心之间的三个等价 刻画。为了锥更清楚地说明它们的概念，作者还给出了例题。最后还通过b c k - 代数同 态以及上确界的概念讨论了它的一些基本性质。 ( 2 ) 用研究b c k 代数类似的手法，作者研究了b c h 一代数上的( 五，五) 一广义模糊理想， ( 五，五) 一广义模糊闭理想，( ，v g ( ，五) ) - 模糊理想，( ，v q ( ，也) ) 一模糊闭理想，也得到了 几个和在b c k 代数的研究中相类似的等价刻画。 ( 3 ) 在环中引入( ，v g ( 五，) 一模糊子环，( ，v q u , m ) 一模糊理想，( ，vg ( ，) 一模糊 ( 完全) 正则理想的概念，用群逆( 对任意x r ，存在少er ，使得 x y x = x ；y x y = y ；x y = y x 成立，则y 被称做x 的群逆) 来刻画完( ，v 吼五) 一模糊完全正 则子环，并讨论了它们的相关性质。给出了广义模糊左( 右，双，内) 理想与( ，v 级础 ) 一 模糊左( 右，双，内) 理想的定义，并且证明了广义模糊左( 右，双，内) 理想与( ，v g ( 础) ) 一 模糊左( 右，双，r 4 ) 理想等价。最后给出了广义模糊( 完全) 正则子环与( ，v 依础) ) 一 模糊( 完全) 正则子环的定义，并且证明了广义模糊( 完全) 正则子环与( ，v q t , l m ) 一 模糊( 完全) 正则子环等价。 关键词：b c k 一代数，b c h - 代数，( ，五) 一广义模糊理想，( ，v q ( ，如) ) 一模糊理想， ( ，v 。国) 一模糊子环，( ，v 级2 ，力) 一模糊( 完全) 正则子环，群逆x 4 。 a b s t r a c t 。- _ _ - _ 二_ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ i _ - _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ - - _ _ - - _ - _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - - _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 a b s t r a c t b a s e do nt h ec o n c e p t so ff u z z yb c k a l g e b r a ，f u z z yb c h - a l g e b r a ，w es t u d yt h eb r o a d e r ( a ，五) 一g e n e r a l i z e df u z z ys u b - a l g e b r a ，( ，v q ( ，血) ) 一f u z z ys u b - a l g e b r a o nb c k ( b c h ) 一 a l g e b r aa n ds e v e r a lk i n d so f ( 五，乞) 一g e n e r a l i z e df u z z yi d e a la n d ( e ，v q t ，如) ) 一f u z z yi d e a l ， t h e nw eg e ts o m ei m p o r t a n t p r o p e r t i e s i n t h e e n d ，( ，v q ( _ ，p ) ) 一f u z z y s u b r i n g ， ( ，v g ( 五，) ) 一f u z z yi d e a lo nt h er i n ga n d ( ，v q ( a , m ) 一f u z z y ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a rs u b r i n g a r es t u d i e d t h em a i nr e s u l t sa r el i s t e da sf o l l o w s ： ( 1 ) i n t o d u c et h ec o n c e p t so f ( 五，五) 一g e n e r a l i z e df u z z ys u b a l g e b r ao fb c k a l g e b r a ， ( a ，五) 一g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l ，( 五，如) 一g e n e r a l i z e df u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l ，t h e nd i s c u s s s o m e p r o p e r t i e so f ( ，五) 一g e n e r a l i z e df u z z ys u b a l g e b r ab y i t sl e v e l s e t 心a n d c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n 石，a l s ow e p r o v et h a tw h e n “五= o ，五= 1 ”，f u z z yb c k - a l g e b r ai n c o m m o ns e n s ei sas p e c i a lc a s eo f ( ，如) - g e n e r a l i z e df u z z yb c k a l g e b r a t h e nb y “b e l o n g t oi nt h eg e n e r a l i z a t i o n ”t h ea u t h o rg i v e st h ec o n c e p t so f ( ，v g ( ，如) ) - f u z z ys u b a l g e b r a ， ( ，v g ( ，也) ) 一f u z z yi d e a l ，( ，v q ( 。五) ) 一f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l ，w h e n 2 = 0 ，2 0 5 ，“b e l o n g t o 。i nt h eg e n e r a l i z a t i o ni se q u a lt o “b e l o n gt o ”i nt h ec o m m o ns e n s e t h e nw eg i v et h r e e e q u a ld e p i c t i o n s ：a m o n g( 五，如) 。g e n e r a l i z e df u z z ys u b a l g e b r a ， ( ，v g ( ，如) ) 一f u z z y s u b a l g e b r a ，an o n e m p t yl e v e ls e t 声乞；a m o n g ( 五，五) 。g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l ，( ，v g ( ，如) ) 一 f u z z yi d e a l ，an o n e m p t yi d e a l 心o nb c k - a l g e b r a ；a m o n g ( 五，五) 一g e n e r a l i z e df u z z y i m p l i c a t i v ei d e a l ，( ，v q ( ，如) ) - f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l ，an o n e m p t yi m p l i c a t i v ei d e a l 乒乞o n b c k - a l g e b r a i no r d e rt os h o wt h o s ec o n c e p t sm o r ec l e a r l y , t h ea u t h o rg i v e ss o m ee x a m p l e s i nt h ee n d ，w ed i s c u s ss o m eb a s i cp r o p e r t i e s u s i n gt h ec o n c e p t so fh o m o m o r p h i co n b c k - a l g e b r aa n ds u p r e m u m ( 2 ) u s i n gt h es i m i l a rs t u d y i n gm e t h o do fb c k - a l g e b r a ，o nb c h a l g e b r a ，t h ea u t h o r s t u d i e s ( 五，五) 一g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l ，( ，如) 。g e n e r a l i z e df u z z yc l o s e di d e a l ，( ，v q ( ，也) ) - f u z z yi d e a l ， ( ，v q ( ，如) ) - f u z z yc l o s e di d e a la n da l s og i v e ss e v e r a le q u a ld e p i c t i o n sw h i c h a r es i m i l a rt ot h o s eo nb c k a l g e b r a ( 3 ) i n t r o d u c et h ec o n c e p t so f ( ，v g ( z ) ) 一f u z z yr i n g s ，( ，v g ( 五，一) ) 一f u z z yi d e a lo nt h e r i n g ，( ，v g ( 工，) ) 一f u z z y ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a r i d e a l a l s ow es t u d y ( ，v q ( 五，) ) 一f u z z y c o m p l e t er e g u l a rs u b r i n gu s i n gg r o u pi n v e r s ex 4 ( f o ra n yx r ，t h e r e e x i s t s y r ，s u c ht h a t x y x = x ；y x y = y ；x y = y x ，t h e nyi sc a l l e dg r o u pi n v e r s eo fx ) a n dd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e s t h e nw eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h e g e n e r a l i z e df u z z yl e f t ( r i g h t ，b i - ，i n t e r i o r ) i d e a la n d ( ，v 吼_ ，) ) 一f u z z yl e f t ( r i g h t ，b i 一，i n t e r i o r ) i d e ao nt h er i n g ，a n dp r o v e t h a tg e n e r a l i z e df u z z y l e f t ( f i g h t ，b i ，i n t e r i o r ) i d e a la n d ( ，v 鲰_ ，) ) - f u z z yl e f t ( r i g h t ，b i - ，i n t e r i o r ) i d e a la r ee q u a l i nv a l u e n e x lw eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h eg e n e r a l i z e df u z z y ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a rs u b r i n g a b s t r a c t a n d ( ，v q ( 工) ) 。岫( c o m p l e t e l y ) r e g u l a rs u b r i n g ，a n da l s op r o v et h a tt h eg e n e r a l i z e d f u z z y ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a rs u b f i n ga n d ( ，v q ( z 。) ) 一f u z z y ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a rs u b r i n ga r e e q u a li nv a l u e k e y w o r d s ：b c k a l g e b r a ；b c h 。a l g e b r a ；( 五，五) 一g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l ；( ，v 敏 ，五) ) 一 f u z z yi d e a l ；( ，v g ( 五，) ) 一f u z z ys u b r i n g ；( e , ev q ( 工，) ) 一f u z z y ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a rs u b r i n g ； g r o u pi n v e r s e i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是泰人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 签名：日 期： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签名： 导师签名： 木娟 日 期： 生：星：z 呈 第一章绪论 第一章绪论 1 1 有关问题的理论概述及研究现状 1 1 1 模糊集理论的概述及研究现状 1 9 6 5 年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德教授在i n f o r m a t i o na n dc o n t r o l 杂志上 发表了一篇开创性论文【1 1 ，这标志着模糊数学的诞生。它是继经典数学，统计数学之后数 学的一个新发展，它把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的领域。模糊数学在 实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门。农业，林业，气象，环境，地质 勘探，医学，军事，经济管理等方面都有模糊数学广泛而又成功的应用。尤其是在计算 机领域，它为计算机科学的发展提供了强有力的工具。电子计算机虽然在运算速度，记 忆性等方面远远超过了人脑，但人脑在对事物认识的灵活性方面则是电子计算机无法比 拟的，它能对模糊事物进行识别和判断。模糊数学的一个重要特点就是回过头来吸取人 脑识别和判断的模糊特点，使之运用于计算机，以使人们能用简易的程序调动机器完成 更复杂的任务。由于模糊数学既可以探索事物“非此即彼”的明晰性态，又可考察事物 “亦此亦彼 的过度性态，因此它的适用性也就比传统数学广泛的多。 近些年来，模糊数学在理论上形成了模糊代数学，模糊拓扑学，模糊分析学和非经 典逻辑等系统的理论1 2 - 2 5 ，并使之分别自成理论体系而且对现实问题研究的越来越多的 集中到信息革命与机器智能，。自动控制，系统理论，信息检索，语言检索，语言识别， 人工智能，图象识别等计算机科学应用学科。在应用中，形成了近似推理，模糊控制， 模糊优化，数据挖掘与软计算和模糊决策等比较系统的理论与方法。并且已经在图象识 别，语音处理，故障诊断，地震研究，环境预测，运输管理以及医学，生物学，社会学 及心理学等许多学科和领域获得了广泛的应用。近年来，空调，冰箱，洗衣机等家用电 器中也采用了模糊控制技术。 模糊集理论与神经网络，遗传算法形成计算智能这一新兴学科的三大组成部分，模 糊理论与应用的发展将会极大的推动人类社会向智能信息处理的新阶段迈进。 目前，对待模糊理论，学术界持否定态度的也大有人在，他们认为推崇模糊理论的 学者在强调其不依赖于精确的数学模型是过分的夸大了其功效，再者就是认为模糊理论 有许多不完善之处，比如模糊规则的获取和确定，隶属函数的选择以及稳定性问题至今 还没得到完善的解决。但是尽管如此，大量的工程系统已经应用了模糊理论。 从发展来看，模糊数学已经成为智能信息处理的一个重要分支。 1 1 2 模糊b c k 代数，模糊环产生的背景，研究进展及应用 我们知道集理论中的集差和逻辑系统中的蕴涵算子有着密切的关系。在集理论中我 们有这样的一个简单的结论： ( 彳一b ) - ( a - c ) c b ， a 一( 彳一b ) b 江南大学硕士学位论文 在命题演算中也有类似的公式： ( p 专g ) 专( ( g - r ) 岭( p 丰，) ) ， p 一( ( p _ g ) 专g ) 这就产生了下面的问题：什么是这些关系的最基本的性质? 从上面的结论中我们能 不能用公式表示这类广义的代数? 怎样找一个公理系统为这类广义代数建立一个好的 理论体系? 1 9 6 6 年，k i y o s h ii s e k i 解决了这些问题，他首先引入b c k 一代数的概念【2 6 】 一个( 2 ，o ) 型的代数系统( x ，木) 被称为一个b c k 一代数，如果它满足下面的条件： ( b c k 一1 ) ( ( x 木y ) 木( x 堆z ) ) 宰( z 枣y ) = 0 ( b c k 一2 ) ( x 木( x 水少) ) 掌y = 0 ( b c k 一3 ) x * x = 0 ( b c k 一4 ) 0 * x = 0 ( b c k 一5 ) x 宰y = y 木x = 0 贝l jx = y 对所有的x ，y ，z x 都成立。 接着许多学者在b c k 一代数这个领域做了大量的研究，得出了许多重要的结论。 b c k 代数作为逻辑代数的一类是集合差的代数公式和逻辑系统中的蕴涵算子的概括和 推广，它和偏序以及不同的逻辑代数有着密切的关系。最早的研究工作是由日本数学家 k i y o s h il s e k i 和s h o t a r ot a n a k a 做出来的，他们做了大量的基础工作2 7 。3 7 1 。自1 9 世纪7 0 年代晚期，他们的研究工作得到了大量学者的关注，尤其是波兰数学家t a d e u s z t r a c z y k ， a n d r z e jw r o n s k i 以及意大利数学家w i l l i a mh c r o n i s h ，他们也参与了这方面的研究，使 得b c k 代数这个代数分支得到迅速的发展，很多有趣和重要的结论相继被给出。 目前b c k 代数又有了一系列新的发展。黄益生教授在他的专著1 3 引中详细介绍了 b c k 代数的性质： 设x 是一个b c k 代数，则 ( 1 ) 枣y ) 毒x = 0 ( 2 ) x 搴( x 搴y ) = 0 ，x = x 宰y ( 3 ) x 木( x y ) 是x 和y 的下界 ( 4 ) 如果x 和y 的最大下界x y 存在，则对所有的z x ，z * x 和z * y 的最小上界 存在，为( z x ) v ( z 木j ，) 。且有( z 宰工) v ( z 幸y ) = z 木0 y ) 。 ( 5 ) x x 枣j ，x * y 2 x 幸少 对所有的x ，y ，z x 都成立。 从此b c k 代数方面的相关学术论文也不断涌现：在1 9 8 6 年和19 8 7 年孟杰教授在 b c k 一代数的理想方面做了一些工作【3 9 4 0 1 ，引入b c k 代数理想的概念。1 9 9 2 年关联 b c k 代数方面的工作也有了进一步的进展4 1 1 。而b c h 代数是b c k 一代数的基础上放宽 了限制条件而得到的又一种逻辑代数。1 9 8 3 年胡清平教授研究并给出了b c h 代数的一 些性质1 4 2 。3 1 设x 是一个b c h 代数，则 2 第一章绪论 ( 1 ) x 奎( x 串y ) y ( 2 ) x * 0 = x ( 3 ) x 0 j x = 0 ( 4 ) 0 串o 宰y ) = ( o 幸x ) 宰( o 宰力 ( 5 ) 0 车【o 木( o x ) 】= 0 * x 对所有的x ，少，z x 都成立。 2 0 0 6 年j y p e n g 研究b c h 一代数上的一类模糊理想一闭模糊理想m 1 给出闭模糊理想 的概念：当它的一个模糊理想再满足条件4 0 * x ) ( 砷，v x x ，则就b c h 一代数的一 个闭模糊理想。 自1 9 9 1 年由浙江大学数学系教授奚欧根在日本数学杂志上发表论文【4 5 1 以来，将模 糊集理论应用到b c k 一代数上已经成为当今模糊代数研究领域的一个热点，国内很多学 者在模糊b c k 代数以及模糊理想方面做了大量的工作【4 每5 3 】系统介绍了模糊b c k 代数 的性质以及几类模糊理想的性质和定理。 在模糊代数的研究中，r o s e n f e l d 在文献【5 4 】中首次给出了模糊子群的概念。从此以 后，模糊代数得到了系统的发展，j n m o r d e s o n 已出版了模糊代数方面的专著【5 5 5 7 填他 很多学者也做了大量的工作f 5 蝴】，1 9 9 2 年印度学者b h a k a tsk 和d a sp 利用模糊点和 模糊集的“属于( ) ”和“重于( g ) 关系，引入了 ，) 一模糊子群的概念 群g 的一个模糊子集a 被称做g 的缸，夕) 一模糊子群，如果对任意的x ，y g 且 f 17 t 2 i 一 0 有： ( 1 ) 如果口么，y t , a a ，则( 砂) 丝 ，龟) 夕么。 ( 2 ) 么( x ) = a ( x 叫) 其中口 ，g ，v g ， ，g ，人窖，v q 还得到了比较有意义的( ，) 一模糊子群和( ，v q ) 一模糊子群，其中( ，) 一模糊子群和 r o s e n f e l d 模糊子群是等价的。在1 9 9 6 年，b h a k a tsk 和d a sp 在文献6 6 】中又引入了 ，) 一模糊子环和( ，v q ) 一模糊子环的概念，在论文1 6 7 】中研究了( v q ) 水平集，继袁 学海博士在拓扑和映射中引入( ，v q ) 的概念后，廖祖华教授将重于“g ”拓广到广义重 于g ( 咖) ”，得出了更一般的( ，v q t a , u ) ) 一模糊正规子群，( ，v q ( 咖) ) 一模糊直觉空间 和( ，v q ( a , u ) ) 一模糊凸集的概念陋7 0 1 。当允= o ，= 0 5 的情况下( ，v q ) 一模糊子群就是 它的一种特殊情况。袁学海博士在论文h 中首先引入( 五，) 一广义模糊群的概念，2 0 0 1 年赵宝江和迟洪光研究模糊子环以及环上的模糊理想口羽，接着廖祖华教授将此概念拓展 得到( 五，) 一广义模糊子环的概念口3 | ，讨论了这类广义模糊子环的性质。还证明了当 五= 0 ，= 1 时就是普通的模糊子环。 1 2 本文主要工作和创新 本文主要讨论了以下几个问题： 3 江南大学硕士学位论文 1 研究b c k ( b c h ) - 代数中的( 五，乃) 一广义模糊子代数及( 五，如) 一广义模糊理想 b c k ( b c h ) - 代数中的( 五，五) 一广义模糊子代数和( ，五) 广义模糊理想分别是模糊 b c k ( b c h ) 代数和b c k ( b c h ) 代数中模糊理想的推广，本文首次给出了b c k ( b c h ) 一代 数中( ，五) - 广义模糊子代数，( 五，五) 广义模糊理想，b c k - 代数中( 五，五) - 广义模糊关 联理想以及b c h 代数中( 五，五) 广义模糊闭理想的概念。并且证明了当五= o ，五= 1 时普 通的模糊子代数，模糊理想，模糊关联理想，模糊闭理想就是它们的一种特殊情况。 用b c k ( b c h ) 一代数x 的一个模糊集的非空口一水平集心( 口( 五，五】) 以及它的 特征函数石这两个经典集合给出( 五，五) 广义模糊子代数的两个等价刻画： 1 ) 是一个( 五，五) 一广义模糊子代数的充要条件是心是x 的一个子代数。 2 ) 石是一个( ，五) 一广义模糊子代数的充要条件是y 是x 的一个子代数。 这两个等价刻画建立了经典集合和这种广义的模糊集之间的桥梁。 2 研究b c k ( b c h ) 一代数中( ，v 吼 ，也) ) 一模糊子代数和( ，v 鲰 ，如) ) 一模糊理想 继b h a k a tsk 和d a sp 在文印中引入 ，) 一模糊子群的概念后， ，) 一模糊子环， 幢，) 一模糊映射的概念也相继被给出，得n t ( ，) 一模糊子群，( ，v q ) 一模糊子群， ( ，) 一模糊映射，( ，v q ) 一模糊映射的概念，但是目前还没有将这样的概念用到 b c k ( b c h ) 一代数这类的逻辑代数中，本文首次在b c k ( b c h ) 一代数中给出( ，v 鲰 ，如) ) 一 模糊子代数，( ，v g ( 焉，如) ) - 模糊( 关联，闭) 理想的概念，并证明了五= o ，= 0 5 时， ( ，v q ( ，如) ) 就是普通意义上的( ，v q ) 对b c k ( b c h ) 一代数x 上的任一模糊集，下列条件等价： 1 ) 是一个( ，v 吼 ，也) ) 一模糊子代数； 2 ) 是一个( ，五) 一广义模糊子代数； 3 ) 对任意口( 五，如) ，非空集合以是x 的一个子代数。 对b c k ( b c h ) 一代数x 上的任一模糊集，下列条件等价： ( 4 ) 是一个( ，v q ( ，也) ) 一模糊( 关联，闭) 理想； ( 5 ) t 是一个( 五，五) 一广义模糊( 关联，闭) 理想； ( 6 ) 任意的口( 五，五) ，非空集合心是x 的一个( 关联，闭) 理想。 3 研究环中的( ，v q ( 名川) 一模糊子环 首次给出环中( ，v q ( 枷) ) 一模糊子环的概念。得到了( ，v q ( a , u ) ) 模糊子环的一些等 价刻画，并且证明了( 五，五) 一广义模糊子环与( ，v 吼枷) ) 一模糊子环等价。还给出了 ( a ，五) 一广义模糊左( 右，双，内) 理想与( ，v q ( 咖) ) 一模糊左( 右，双，内) 理想的 定义，并且证明了( 五，五) 一广义模糊左( 右，双，内) 理想与( ，v q ( 础) ) 一模糊左( 右， 双，内) 理想等价。最后给出了( ，如) 一广义模糊( 完全) 正则子环与( ，v q ( 础) ) 一模 糊( 完全) 正则子环的定义，并且证明了( 丑，五) 一广义模糊( 完全) 正则子环与 4 第一章绪论 ( ，ev q ( 枷) ) 一模糊( 完全) 正则子环等价。 5 江南大学硕士学位论文 第二章b c k 一代数中的( ，五) 一广义模糊子代数和( v q ( 石，) 一模子代 数 2 1 预备知识 定义2 1 1 乜阳一个( 2 ，0 ) 型的代数系统( x ，牛) 被称为一个b c k 代数，如果它满足 下面的条件： ( ( x 宰y ) 木( x 幸z ) ) 木( z 幸y ) = 0 ( x 奉( x 宰y ) ) 宰y = 0 x 宰x = 0 0 毒x = 0 x * y = y 木x = 0 贝i jx = y 对所有的x ，y ，z x 都成立。 在一个b c k - 代数x 上，我们可以用x y x * y = 0 来定义一个偏序关系”。 一个b c k 代数x 如果对所有的x ，y x 都有等式x = 工母( y 木x ) 成立则它被称做是 关联的，关于关联b c k 一代数读者可以参阅1 。 定义2 1 2 n 1 设x 是一个集合，x 上的一个模糊集是一个函数j ：x 专【o ，1 】。 定义2 1 3 是x 上的一个模糊集，对任意的口【o ，1 】，l 口= x l x x ，( x ) o j ) 被 称做的口冰平集。 定义2 1 4 旧1 设口，名【o ，l 】且兄 2 ，a ( x 卜口 2 1 z 则模糊点屹是“广义重于 a ， 记做g ( z ，卢) 彳。如果a 或者g ( 五。卢) 么，则记做屹v g ( a ，p ) 彳。 当名= o _ 0 5 时“广义重于”等同于普通意义上的“重于”。 定义2 1 5 阳7 1 群g 的一个模糊子集a 被称做一个( ，v 鲰础) ) 一模糊子群，如果它满 足下面的条件： 1 ) 对任意的x ，y g ，q ，口2 ( o ，1 ) ， 如果，a ，则( 砂) 口1 嘞v q ( a , u ) a 2 ) 对任意x g ，口( 五，1 ) 如果a ，则1 v g ( 2 ，一。 定义2 1 6 啪1b c k 一代数x 的一个非空子集i 被称做x 的一个理想，如果它满足： ( i 。) 0 i ( i z ) 对任意的x ，y x ，若x ，y x i 有y i 。 定义2 1 7 田b c k 一代数x 的一个非空子集i 被称做x 的一个关联理想，如果它满 足： ( i 。) 0 i ( i m ) 对任意的x ，y ，z x ，若 宰( y 幸x ) ) 木z j ，z 门宁x i 。 6 第二章b c k - 代数中的( 五，五) 一广义模糊子代数和( ，v q 一广义模糊子代数和( ，v 级祧) ) 一模糊子代数 定义2 2 1 设五，五 0 ，1 且五 如，如果任意的x ，y x 有( x 奉y ) va ( x ) a n ( y ) a 如，则被称做b c k 一代数x 的一个( a ，五) 一广义模糊子代数。 定理2 2 2 一个模糊集被称做b c k 一代数x 的一个( 五，五) 一广义模糊子代数的充分 必要条件是任意的口( 五，五) ，心( 心a ) 是x 的一个子代数。 证明如果是x 的一个( ，五) 一广义模糊子代数，v 口( ，五) 且儿g ， 我们设任意的石，y 线即( x ) 口，4 y ) 口，其中五 口 以。 因为是x 的一个( 五，五) 一广义模糊子代数，所以根据定义2 2 1 我们知道有 a ( x 木y ) v 五( x ) a f l ( y ) a 五口a 五= 口 因为 甜，所以i t ( x y ) 口也即x * y 儿所以儿是x 的一个子代数。 反过来，假设不是一个( 五，五) 一广义模糊子代数，则我们假设存在，y o x 使 得a ( x o * y o ) v ( ) 人( ) 八五设口满足( * y o ) v 五 口，, u ( x o * y o ) 口即x o 心，y o 心。 再因为心是x 的一个子代数，所以有x o * y o 以即( * y o ) 岱，与p ( x o * y o ) t ；t 矛盾，所以 ( z | y ) v ( x ) a ( j ，) a 五 该定理成立。 定理2 2 3 特征函数石被称做b c k 一代数x 的一个( 五，五) 一广义模糊子代数的充要条 件是y 是x 的一个子代数。 证明假设石不是x 的一个( 五，五) 一广义模糊子代数，则我们假设存在，y o x 使 得l ( x o 木) v 石( ) 人石( ) 五，设口满足石( x o * y o ) v 2 1 口，石( x o * y o ) 口，0 五 口 五l 因为力= 1 0 1 , ，x x 盛y 】， 所以石( 而木) = o ，石( x o ) = 石( y o ) = l 即而，y o y ，但是宰儿仨y ，则y 不是x 的 个子代数，得出矛盾。所以石0 拳y ) v 五( x ) a 石( y ) a ) 1 2 。 7 江南大学硕士学位论文 反过来，任意x ，y y ，则有力( x ) = 石( y ) = l ，因为石是一个( 丑，五) 一广义模糊 子代数，所以有 力( x 木j ，) v 石( x ) a 石( 少) a 五= 如 又因为 0 ，因此乃( x 宰y ) = 1 即x * y y ，所以y 是x 的一 个子代数。 定理成立。 定理2 2 4 如果i t 是b c k 一代数x 的一个( ，如) 一广义模糊子代数，则 i t ( o ) v 五( x ) a 如，v x x 。 证明由定义2 1 1 ( 3 ) 知对任意的_ f x ，有x 幸x = 0 ，则 ( o ) v = i t ( x 宰x ) v i t ( x ) a i t ( x ) a 如= i t ( x ) a 如 定理成立。 定理2 2 5 b c k 一代数x 的任意一个子代数a ，都能代表x 的( 五，五) 一广义模糊子代 数的一些水平子代数。 证明假设a 是x 的一个模糊子代数，则 ( x ) = 苫，嚣彳 尔a 名2 下面我们要证明i t 是x 的一个( 五，以) 一广义模糊子代数。 对任意的x ，y x f ) 如果x ，y a ，则( 功= i t ( y ) = i t ( x * y ) = o r ， 口 a ，4 x ) + a 2 五则模糊点x a “广义重于 ，记做 屯g ( 。也) 。如果矗或者g ( ，也) ，则记做屹v g ( 焉以。 当 = o ，五= 0 5 时“广义重于 等价于普通意义上的“重于 。 定义2 2 9b c k 一代数x 上的一个模糊集被称做一个( ，v g ( ，如) ) 一模糊子代数如果 它满足下面的条件： 对任意的x ，y e x ，岔2 ( 0 ，1 ) ，如果，有( 矽) q 口2 v 依 ，如) 。 定理2 2 1 0 对b c k 一代数x 上的任一模糊集，下面的结论等价： ( 1 ) 是一个( ，ev q ( 五 ) ) 一模糊子代数： ( 2 ) 是一个( a ，如) 一广义模糊子代数； ( 3 ) 对任意岱( 五，五) ，非空集合纥是x 的一个子代数。 证明( 1 ) j ( 2 ) 我们先证明是一个( a ，如) 一广义模糊子代数即要证明任意的 x , y x ，( x 木y ) v a ( x ) ( y ) 五 我们假设存在，y o x 使得 ( 宰儿) v a ( x 0 ) a a ( y 0 ) a 以 设a 满足p ( x o 卑y o ) va 口， 口 五 所以( ) 口，( ) 口，根据定义2 2 9 ( x o 木) 啦，、啦v q ，也 但是( * y o ) 口 乃，所以( 奉) + 口 五+