（应用数学专业论文）带有临界指标的pqlaplace方程的无穷小解问题.pdfVIP

摘要1 1 1 摘要 在本文中，我们主要研究形如 j ，一p u 一g t 正= l u l 矿一2 u + 入，( z ，u ) 在q 内， 1 钆= 0 ， 在a q 上， 的一类p & q l a p l a c e 方程无穷多个小解的存在性。 以及形如 j 一p u + a ( x ) l u l p 一2 u = 入i u i ”一2 缸在q 内， ll v u p _ 2 0 u o u = l “i p - 2 u ， 在a q 上， 的一类具有非线性边界条件的p - l a p l a c e 方程的无穷多小解的存在性问题。 本文分为四个部分 在第一章，我们对所研究的问题给出概述，并给出本文的主要结果 在第二章，我们给出在本文中常用到的一些预备知识。 在第三章，我们应用亏格理论及相应变分原理来讨论在c a u c h y 边值条件 下上述p & q l a p l a c e 方程无穷多小解的存在性。 在第四章，我们将同样应用亏格理论来研究满足非线性边界条件时上 述p l a p l a c e 方程的无穷多小解的存在性问题。 关键词p & q l a p l a c e ；多重解；临界指标。 a b s t r a c ti v a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es m a l ls o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w - i n gn o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mo fp & q l a p l a c i a nt y p e f 高0 _ a m p 气m 川o n n 麓 叭， 1 乱= ， 弧 w 1 a n dt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es m a l ls o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rb o u n d - a r yc o n d i t i o ne l l i p t i cp r o b l e mo fp - l a p l a c et y p e - a p u + a ( x ) l u l p 一2 u = a f u r 2 乱i nq ， i v u l p 一2 0 u o u = i u i p 一2 u ， o na q w ew i l ld i v i d et h ep a p e ri n t of o u rp a r t i nc h a p t e ro n e ，w eg i v et h es u m m a r ya n dt h em a i nr e s u l ti nt h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w eg i v es o m ep r e l i m i n a r yr e s u l ti nt h i sp a p e r i nc h a p t e rt h r e e ，w eu s eg e n u st h e o r ya n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l et od i s c u s st h e e x i s t e n c eo fm u l t i p l es m a l ls o l u t i o n sf o rt h ec a u c h yb o u n d a r yc o n d i t i o no f p & q l a p l a c i a ne l l i p t i ce q u a t i o n i nc h a p t e rf o u r ，w eu s eg e n u st h e o r yt os t u d yt h ee x i s t e n c er e s u l to fp - l a p l a c e t y p ee l l i p t i ce q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n k e y w o r d sp & q l a p l a c e ；m u l t i p l es o l u t i o n s ；c r i t i c a le x p o n e n t ； 前言 上- - l 刖罱 近年来，由于偏微分方程在数学，物理，航天等多个领域都有广泛的应 用，因此引起了众多数学家的重视，许多专家利用临界点理论，上下解方 法，拓扑度理论等多种非线性泛函分析的方法对许多类型的偏微分方程进行 了深入研究，获得了大量的结果。 对d ( u ) = ( i v u l p 一2 + i v u q 一2 ) ，毗= d i v d ( u ) 】+ c ( x ，y ) 的这样一类反应 扩散系统，在物理以及相关学科，如生物，等离子，化学反应设计等都有着 广泛的应用，而在这些用途中，可以将u 看做是浓度，而右端项可以看作是 相应于d ( u ) 这样一个扩散系数的扩散，其中第二项相当于是化学反应，相关 源以及损耗过程。而我们所关注的是这个问题所对应的稳态解可能具有一些 什么样的性质。 第1 章绪论2 对于具有如下形式 第1 章绪论 1 1 概述 高以舻川p - 2 川i 印。2 襄象啦 的p & q l a p l a c e 方程，李工宝和张国在文献 1 0 d f f 得出了方程具有多重解 的结论，关于带有非线性项f ( z ，u ) 的p - l a p l a c e 方程多重解的存在性问题， 也有很多作者进行了详尽的研究，而在文献【1 1 】中针对更一般形式的加权 p - l a p l a c e 方程 f “v ( i 矿叩衅以v 旷肛端= 觜州咄在呐 【u = 0 ，在a q 上成立， 作者证明了存在非平凡解序列 u n ) 当n _ 0 3 时，乱n _ 0 ，既方程有无穷 小解存在。受到上述文章的启发，在第三章，我们来研究有如下形式 0 , 1 q p p ，p + = 辑是临 界s o b o l e v 指标，而针对具有非线性边界条件的 j 一p 扎+ a ( x ) l u l p - 2 “= 厂( z ，乱) ，在q 内， ii v u l p _ 2 0 u o u = 夕( z ，u ) ， 在a q 上成立 文献 1 6 1 利用喷泉定理证明了多重解的存在性，在第四章，我们尝试利用第 第1 章绪论3 三章所采用的方法来获得方程 套婴：出古 ( 1 1 2 ) 在撇上成立， p 叫 多重小解的存在性。其中q 是r n 中的一个具有光滑边界的有界区域，并且 a a 是外法向量导数，p u = d i v ( i v u l p v u ) ，1 p n ，p r 0 1 2 主要结果 定理1 2 1 假设 厂( z ，仳) 满足如下条件： ( h 1 ) ，0 ，“) c ( n r ，兄) ，p ，一心) = 一f ( x ，牡) 对所有让只； ( h 2 ) l i m i u i 。裔辫= 0 对z q 一致； ( h 3 ) l i m i u 卜o + 掣= o 。对z q 一致 则在吲p ( q ) 上问题( 1 1 1 ) 有一列非平凡解，且当礼_ o 。时，_ 0 。 定理要得到的结论与文献【6 】的结论是相似的，因此我们按照【6 】的方式来 证明定理，首先我们可以得到( 1 2 1 ) 的能量泛函可以写成 ，( u ) = 三zi v u i p 如一l qf n1 w , i q 如一歹1 上l 仳1 矿如 一a f ( x ，u ) d x ( 1 2 1 ) 很明显，( u ) 是一个偶的且属于崂p ( q ) 的c 1 函数，我们试图用汤不变函数 的l u s t e m i k - s c h n i r e l m a n s 定理，但由于j ( 札) 不具有t ：y 有界性，因此我们无 法直接应用。这样的话，我门可以通过寻找截断函数记为 m ) = 三fl w l p 出一! q 上i v u l 址字小i 矿出 - a 妒( z ) f ( z ，u ) d x ， ( 1 2 2 钆 刈气 = 一 妒 垆= 铆嵩 第1 章绪论4 其中妒( u ) = r ( i f v u l l p ) 并且7 - ：豫+ _ o ，1 】是一个非增函数其中妒( s ) = 1 当s 凰并且妒( s ) = o 当s r 1 。j ( 缸) 是一个下方有界且属于昧，p ( q ) 的c 1 函 数，并且当c 0 时满足( 尸s ) 。条件，这时我们应用l u s t e r n i k s c h n i r e l m a n s 定 理，就能得到，( 乱) 的一列临界点 u n ) ，再利用妒的构造，我们可以得 到 u n ) 也是，( u ) 的一列临界点。要验证j ( 仳) 满足( p s ) 。条件，当c o 时， 由于眩p ( q ) 不是h i l b e r t 空间，因此即使我们能得到j ( “) 的有界的( p s ) 。序 y u ( u n ) 以及u nj ui n w d p ( q ) ，并不能直接说明 v u 竹。i p v u n 。ji v u l p v u n 。在三寺上成立， v u n 。i g v u n 。ji v u l q v u n 。在l 寺上成立， 在文献【l o 】中针对f ( z ，乱) = i u i r - 2 u 方程解决了这个困难，在第三章中，我们 仍然遵循这种思路来解决这个问题。 定理1 2 2 在1 ，p ( q ) 上，当l r 0 使得，当0 1 ，并且；+ 百1 = 1 。若厂上尸( q ) ，g l q ( f 1 ) ，则，夕l 1 ( q ) ，且 ， | f ( x ) g ( x ) l d x i i f ( x ) l l l ，( q ) - i i g ( x ) l l l - ( n ) ，2 定义2 11 设x 是有界线性赋范空间，x + 是它的共轭空间， 。n ) cx ，x 0 x ，如果对每个，x 。，有 l i r a ，( z n ) = f ( x o ) n + 0 0 则称 z n - 弱收敛于z o ，记作z nj x 0 。 定理2 11 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 是叹中的有界区域，则 瞄，p ( q ) cl 焉( q ) ， 当却 礼时， 晡p ( q ) cc m ( q ) ， 当0 m 忌一兰时 p 进一步，存在常数c = c ( n ，p ，q ) 使得对任何乱瞄p ( q ) ，有 u 忆焉( q ) c l l u 川瞄， 当如 0 ，使得当i 厂圣且p ( e ) 6 时，有 l 上脚卜 成立，则称集合圣cl 1 ( p ) 是一致可积的。 定理2 12 ( v i t a l i 定理) 若( i ) p ( x ) 0 使得 ( 1 ) r o ( x ) = z 对于所有z e 成立。 ( 2 ) r l t ( x ) = z 对于所有的z 隹f - 1 c 一乏，c + 司。 ( 3 ) 对于所有t 0 ，1 】，7 t t ( z ) 是en e 的一个同胚。 ( 4 ) 对所有的z e ，t 【0 ，1 】，厂( 仇( z ) ) ，( z ) 。 ( 5 ) 叩1 ( a c + 。一n ) ca p 。 ( 6 ) 如果f 乙= j 2 i ，叼1 ( a c + 。) ca c 。 ( 7 ) 如果，是偶的，班在z 点处是奇的。 第2 章预备结果 7 注2 2 1 引理( 2 2 2 ) 对于满足( p s ) 。条件的，仍然成立，其中c 0 ，定义恢= 妒( ；) 对于z 虱。 引理3 1 1 ( 参看文献【9 】) 对于任意的知酞，1 t 0 使得 1 ，( z ，“) 仳l o ( e ) + e u p ， i f ( z ，乱) l b ( 6 ) + 6 1 u l p ， l f ( z ，乱) 一三，( z ，u ) 乱i - - c ( e ) + i 乱i p 由( 3 1 8 ) 和( 3 1 1 1 ) 可得 ( 专一心上k i v d x m c ) | q i + c + o ( 圳i i ， ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) 第3 章无穷多小解的存在性 令e = 赤，我们得到 u n i p d x m + o ( 1 ) l l u n ( 3 1 1 1 ) 其中m 是一个正数。另外由( 3 1 1 0 ) ，我们可以得到 i ( u n ) = c + o ( 1 ) l l u n | i 三i l u i i - a b ( e ) i q i 一( 丙1 一上m ( 3 1 1 2 ) 由( 3 1 1 2 ) 和( 3 1 1 3 ) 易得，u n 在魄p ( q ) 上是有界的。再应用引理3 1 1 和引 理3 1 2 ，以及( 日1 ) 定理的其余部分类似证明可参看文献【1 0 】中的定理2 3 ，我 们在这里不再详细证明。一 引理3 1 4 如果条件( 凰) 成立，则对于任意的a 0 ，函数，满足( p s ) 。条 件，其中 c ( 一，专s 苦一m 赤) i q i ) 证明假设乱n 埘p ( q ) 是，( 让) 的一个( p s ) 。序列，利用引理3 1 3 ，我们可以 得到存在一个u 崂p ( q ) 并且u n 有一个子列仍然定义为让n 使得 由于有 v u n v 乱 u n _ u 在q 上几乎处处成立， 在l r ( q ) 上成立， u n r 一2 一川p 一2 u在l 矗( q ) 上成立， v u n i p 一2 v 让n i v u i p 一2 v u在l 舟上成立， v 让nq 一2 v u n l v 训q 一2 v u在l 寺上成立 ，7 ( u 几) 一0 在 ( 町1 ，p ( q ) ) 上成立， 第3 章无穷多小解的存在性 1 2 我们显然可以得到 ( j r 7 ( u ) ，u ) = l i m ( ，7 ( u n ) ，u ) = 0 ， n - - * o o 对于任意的钉w j p ( q ) 这说明u 是方程 高以舻i 衅嘞州咄襄流， 3 ， 的弱解。 由于 ，( 让n ) = 三f nl v 札礼i p d z + 言上i v u n i 。d z 一歹1 上l 乱仡i p d x - a zf ( z ，n ) d z = c + o ( 1 】 由v i t a l i 定理，( h 1 ) ，仳nj 让 a e o nq ，我们有当佗_ o o 时 f n a f ( 础小础一上川刚) 眺， 上州州枷z _ 上冽刚) 缸 令= u n u ，并且应用( 3 1 1 4 ) ，我们可以推出当n 一时， 。l i mj ni v u , d kl i mf ni v v , d n - - * o oj n p + j 乙i v u i p ， 们 u 。l i m j：ivjn u 胛：l n - - i m * o og ni v 蚶+ 上i 吼| g ， 们 ，u l i m j n i v i p = l i mj n v v n i n - - o o j nn - - c o o j n矿+ j 乞i 砜| p u 。 这样我们可以推出，礼_ o o ， c + 。( 1 ) = 三1 v 划p 如+ ；1 上i v u l p 如+ 吉上i v i 口如 + 石1 上l v u i 口d z 一歹1 上h i p 出 第3 章无穷多小解的存在性 由( 3 1 1 4 ) ，我们有 一p - 1 z ，i u p d x - a - f ( z ，仳) d z ( 3 1 1 4 ) f ai v u l p d z + f ai w 1 9 d z = f ai u i p d x + ) 、f n f ( z ，u ) u d z ( 3 1 1 5 ) 同样，我们应用l i m n 。( ，7 ( u n ) ，珏几) = 0 ，可以得到 上i v 让n i p d z + 上i v u 卵如= f ai “一妇+ a 上，( z ，乱n ) u n 出 c + o ( 1 ) ( 3 1 1 6 ) f 1 3 b r e z i s l i e b ：j i 理，( 3 1 1 6 ) 和( 3 1 1 7 ) 我们有 o ( 1 ) = fl v | p 如+ 上i v 叫9 出一上h | p 如+ 上i v 训p 出 + 上i v u 一f ai u i p d x - a l f ( 训n ) u 础 = fl v 训+ 上i v 训9 如一fl 订妣( 3 1 1 7 ) 不失一般性，我们假设 f 1 3 s o b o l e v 不等式，我们有 。l i mf ai v v i g = n ， 。l i mf al v l p = 6 ， 。l i r af ai v n t p + = l v 旧s l y n i ；， 第3 章无穷多小解的存在性1 4 由【2 1 8 可知 1 0口 b s 1 矿 s 6 芦， ( 3 1 1 8 ) 由此可知6 = 0 与6 s 譬必有其一成立。若6 = 0 则引理证毕，若6 s - g ，则 我们由( 3 1 1 5 ) ，( 3 1 1 6 ) ，( 3 1 1 7 ) 可以推出 c = 三6 + 1 _ zi w l p 出+ 言。+ 言zi w l 口d 。一刍z 一嘉zi u t p d x - a 上f c z ，缸，如 = 三6 + 三( zi 乱r 如+ a 上，( z ，“) “如一v u l 。如) + 石1 n + l qzi v u l 9 d z 一嘉( n + 6 ) 一嘉i u p d x - a ：f ( z ，“) d z = ( 三一刍) 6 + 石1 一歹1 ) 口+ ( 三一歹1 ) 。i u i 矿d z + ( 言一三) f ni v u l g 如一a z 伊( z ，钉) 如一三，( z ，乱) 乱) 如】 专s 参+ 如乱i i ；：一圳) l a l 一旭i i u l i ；： 丙1s 声n c ( 2 - - 专- x a ) l a l ( 3 1 1 9 ) 其中我们取= 丽1，与条件矛盾，因此我们可知对于所有的j j 都 有v j = 0 ，n n ：b = 0 ，引理成立。_ 令x 是一个b a n c h 空间，并且代表所有关于原点对称的x 一0 的闭子 集，对于a ，我们定义亏格7 ( a ) 为：如果极小值存在， 7 ( a ) = m i n k n ：j c ( 4 ；r 七一o ) ，( z ) = 一( z ) ) ， 并且如果极小值不存在，我们定义7 ( a ) = o 。关于亏格的主要性质被包含 在下面的引理中( 细节证明可参见【8 】) 引理3 1 5 令a ，b 。则 ( 1 ) 如果存在，c ( a ，b ) 是奇的，贝0 7 ( a ) 7 ( b ) ； 第3 章无穷多小解的存在性 1 5 ( 2 ) 如果acb ，则，y ( a ) ，y ( j e 7 ) ； ( 3 ) 如果存在一个奇的a ，b 之间的一个奇同胚，则7 ( a ) = 7 ( b ) ： ( 4 ) 如果s 一1 是r 中的球面，则，y ( s 一1 ) = ； ( 5 ) 7 ( aub ) - y ( a ) + ，y ( b ) ； ( 6 ) 如果7 ( b ) 0 ，如果每个e 中的序列 u 七) 满足l i m a o 。i ( u k ) = c 百并 且l i m k 。1 1 1 7 ( u k ) l l e 。= 0 有一个收敛子列。 ( q ) 对于每个k n ，存在着一个a k 七使得s u 氏钆，( 让) 0 。 则下面的( r 1 ) 和( r 2 ) 必有一个成立。 ( 兄1 ) 存在一个序列 u 七) 使得，7 ( u 南) = 0 ，i ( u k ) 0 并r 寻 u k ) 收敛于o 。 ( r 2 ) 存在着两个序列 u 惫) 以及 ) 使得，7 ( u 七) = 0 ，i ( u k ) 0 ，t t k 0 ， l i m k 州。u = 0 ，7 ( ) = 0 ，i ( v l , ) 0 ，l i m k v k = 0 ，并且 ) 收敛于一个非零 的极限。 由( 1 2 4 ) 定义给出函数，在假设1 q p o ， 使得入( 0 ，a 。) ，q ( t ) 达到它的正的最大值。由q ( z ) 的构造，我们可以看出， 存在着正常数o 风 r 1 ，使得q ( r o ) = q ( r 1 ) = 0 ，当月 风时，q ( n ) 0 ；当岛 冗1 时，q ( n ) 0 。类似【8 中的结 果，我们令7 - ：r + _ f 0 ，1 1 ，非增且c o o ，使得 r ( s ) = 1 ，如果s 凰， r ( s ) = 0 ， 如果s r i 并且令妒( 乱) = r ( 1 l v u l l p ) ，我们考虑截断函数 j ( 乱) = 1 上i v u 阳z + 石1 上i v 乱i q 如一嘉妒( u ) 上i 让i 矿如一入妒( u ) 上f ( z ，u ) 如， 类似我们有，( 乱) 国( 1 l v u l l p ) 。其中 o ( t ) = 1 矿一盟2 p * s 等儿a c ， 很显然，根据丁( z ) 定义，我们有 o ( t ) = q ( t ) 如果t r o ， 国f t l ：0如果t r 1 第3 章无穷多小解的存在性1 7 引理3 1 7 令j ( u ) 如前定义。则 ( i ) j c 1 ( 哪护( q ) ，冗) 并且，是偶的，并且下方有界。 ( i i ) 如果j ( u ) 0 ，贝o l l u l i r o ，并且，( “) = j ( u ) 对于所有在u 的足够 小的邻域中的u 都成立。 ( i i i ) 存在入使得，对于a ( 0 ，a + ) ，j 满足局部( p s ) 条件对于c j ( u ) 国( 1 l w l l p ) 0 ，矛盾，因l l t ( i i ) 成立；令a + 如前定义，如果c 0 ， 并且 乱n ，c 嘣护( q ) 是，) 的一个( p s ) 。序列，则我们可以假设，( u n ) o ，j 7 ( u n ) _ 0 。i 圭t ( i i ) 我们可以得n l l u l i r o ，贝l j j ( u n ) = ，( u n ) ，7 ( u n ) = ，( t l n ) ，由引理3 1 4 ，( u ) 满足( 尸s ) 。条件对于c 0 ，所以存在着一个子 列 u n ) 使得在吲p ( q ) 上u n _ u ，则j ( 钆) 满足( p s ) 。条件对于c 0 ， 使得 7 ( u 咐p ( q ) ：j ( u ) - d ) , 证明 首先，由定理1 2 1 的条件( - 3 ) 成立，我们可知，对于任意的u 吲伊( q ) ，u 0 ，我们有 f ( x ，p u ) m ( p ) ( 肚) p 其中当p _ o 时，m ( p ) 一o 。固定礼，使得r 为w d p ( q ) 的一个凡维子空间， 我们选取u 既，其中| | u i i = 1 ，对于0 p o 以及o 叩= 叩( z ，e ) 凰，使得了( 叩u ) 一e ，对 于乱e ，0 乱| i = 1 ，令岛= 乱w 名p ( q ) ，i l v u l l = 叩) ，贝0 岛ne kc 乱 耐p ( q ) ：j ( u ) 一e ) 由引理3 1 5 ，我们可以得到 - y ( u w 0 p ( q ) ：j ( 让) 一e ) ) 7 ( 品n 晶) = 佗 53 2 主要结论的证明 下面我们给出定理1 2 1 的证明 证明令七= ccw p ( q ) 一 o ) ，c 是闭集，并g c = - c ，- y ( c ) 血) ，我们 定义 c k2 摧。娑m ) = u w l , p ( q ) ，7 ( 乱) = 0 ，j ( u ) = c ) ，并且假设o 入 o 使得7 ( j e ) k ，使得7 ( j e ) k ，由于j 是连续的，并且是偶的，( j 叫) 七并且c k 一e ( 七) 一。对于所有的k n 。 假设c = c 七= v k + 1 = = c 七+ r 0 ，则由引理2 2 2 可知j 满足( p s ) 。条件， 并且显然有玫是一个紧集。如果7 ( ) r ，则由引理3 i 5 可知存在一个 有界对称集u 使得垃cu ，并r t ( u ) r 。由于c 0 ，我们仍然能假设闭 集ucj o 。由于，满足( p s ) 。条件对于c 0 ，由形变引理( 引理2 2 2 ) ，存在一 个奇同胚 7 7 ：嚼巾( q ) 一孵伊( q ) 使得r ( j c 一u ) cj c 一6 对于某些6 使得0 6 一c 。由于 c = c 知2 篷嗽s u c p j ( 札) 则存在一个a 岛+ r ，使得 s u pj ( 乱) c + 6 ，i e acj 。+ 6 u g c 并且 y ( a u ) c7 7 ( j 。+ 6 一u ) cj c 一6 ( 3 2 1 ) 由引理3 1 5 以及，y ( 钆) r ，我们有 7 ( a - u ) 7 ( a ) 一，y ( v ) k 并且 7 ( 叼( j f 可) ) ( 刁f 可) k 则可知叩( 万= 可) 忌，并且s u p 。竹( w - u ) j ( u ) c k = c ，与( 3 2 1 ) 矛盾，因 此我们证得7 ( 比) r + 1 。现在如果对于所有的七n ，我们有七+ 1c 七，c 铅+ 1 0 。如果所有的c 后不同，则7 ( 琏。) 1 ，我们发现c 是一个 第3 章无穷多小解的存在性 2 0 由j 的不同临界值组成的集合：如果对于某一个，存在着一个r 1 使得 c2 c k o2c k o + 12 2c k o + r - 则 7 ( b ) r + 1 这表明。含有无穷多不同元素。 而由引理3 1 7 ( i ) ，与引理3 1 8 ，我们知道引理3 1 6 的假设( c 1 ) ( q ) 满足， 有3 1 6 的结果我们可知，这无穷多元素收敛于零。由于若j ( u 1 0 ， 贝w j g ( u ) = ，( u ) ，因此我们发现，( “) 有无穷多收敛于零的小解存在定理1 2 1 得 证。 第4 章对于满足非线性边界条件的问题的无穷多小解的存在性 2 l 第4 章对于满足非线性边界条件的问题的无穷多 小解的存在性 54 1 引理及证明 在本章中我们定义空间w 1 ，p ( a ) = 乱扩( q ) ：矗1 w , i p d x 0 ， f 盯= i u p + 乃， j = 1 肛i w l p + z 陆j 6 即 j = 1 第4 章对于满足非线性边界条件的问题的无穷多小解的存在性2 2 ( 乃) 号警 这里s 是s o b o l e v 嵌入w 1 ，p ( q ) q1 2 ( a q ) 中的最佳常数。 引理4 12 设 哟】- cw 1 , p ( q ) 是泛函妒在能量水平c 处的( p s ) 。序列，若c ( 三一专) s 禹。那么存在的子序列在，p ( q ) 中是强收敛的。 证明设 吻 为( p s ) 。序列，则由文献【1 6 】中的引理3 4 可知 ) 在1 ，p ( q ) 中是 有界的，又由引理4 1 1 ，这里存在 】i 的子序列仍记为_ ) 使得 呦j u 乱w 1 ，p ( q ) ， 呦j “乱l ( a q ) ，1 0 ，选取曙( r ) 使得咖三1 ，z b ( z 七，s ) ，三0 ，z b ( z 知，) 。，i v l ；，这里巩属于口的支集，考虑序列哟，易知其在w 1 ，p ( q ) 中是有界的。而由于在1 ，p ( q ) 中当j _ o 。时妒7 ( u j ) 一。因此我们可得 熙( 妒讹) ；蛔) = 0 ， 从而由( 4 1 2 ) ，( 4 1 5 ) 式，我们可得 ( 4 1 。5 ) l i r a f ai v u ，i p - 2 v v 如= z q 咖打+ a 上i 乱i r 如一点。( 刮让r 如一上砂缸 ( 4 1 6 ) 如 町 。触 + 舻 “ | i 矿 j 矿 如 如 。触 + p uv 一 p j p u d 第4 章对于满足非线性边界条件的问题的无穷多小解的存在性 2 3 现在，利用h 6 l d e r 不等式和 的弱收敛性，当e o 时有 0 1 1 墨| v u j i n _ 2 v u j v c u j d x n l o o - ，q 再由( 4 1 6 ) 式 。l i m ( f v u ，阳z ) 争( zi v 卯舭) ；1 c ( i v 西i p l u l p 如) ；1 j b ( z k ，2 ) nq c ( i v i n d z ) 专( l u l - d x ) 肛n p 2 j b ( x k ，2 e ) nq j b ( x k ，2 e ) nq c ( b ( x k , 2 。) n i 缸i - d x ) 瓮加 。, i r af o q 砂打+ a 上i 让1 7 妒出一上。( 删让i p 咖出一上批 = o k p _ | c = 0 ( 4 1 7 ) 而由引理4 1 ，我们可知( 盯惫) 专s p 。因而从( 4 7 ) 式我们可知( 吼) 乒s 盯忌。 从而，要么o r k = 0 要么 盯七s 南， ( 4 1 8 ) 假女1 1 ( 4 1 8 ) 式对于某个k o 成立，由于u 是( p s ) 。序列和条件( f 2 ) ，我们可知 c = j l 。i m 。妒( 钆j ) = ，1 i r a 。 妒( ) 一三( 妒7 ( 乱j ) ；嘶) 】 ( 三一歹1 ) z qi 卵协+ ( 三一扣禹州巧11 ) z i 删i s 芝；1 一扣禹 第4 章对于满足非线性边界条件的问题的无穷多小解的存在性 2 4 由( 4 1 1 ) 定义给出函数妒，在假设1 p ， 0 ，使得a ( 0 ，入。) ，q ( ) 达到它的正的 最大值。由q ( z ) 的构造，我们可以看出，存在着正常数o r o r 1 ，使 得q ( 凰) = q ( r 1 ) = 0 ，当r 风时，q ( r ) 0 ；当凰 r l 时，q ( n ) 0 。类似 8 】中的结果，我们令7 ：r + 一【0 ，l 】，非增 且c o o ，使得 - r ( 8 ) = 1 ，如果8 凰， r ( 8 ) = 0 ， 如果8 r 1 并且令( u ) = , - ( 1 l w l l p ) ，我们考虑截断函数 了( u ) = 三v u l p + 。( z ) l “i p ) d z 一嘉( u ) z qi u l p + d s 一害l u l 7 d z ， 类似我们有，( u ) 国( i i 仳崆p ) 。其中 ) 叫1k 筹矿。c 第4 章对于满足非线性边界条件的问题的无穷多小解的存在性 2 5 很显然，根据丁( z ) 定义，我们有 o ( t ) = q ( ) ， 如果t r o ， o ( t ) = 0 ， 如果t r 1 引理4 13 令j ( u ) 如前定义。则 ( i ) j c 1 ( w 1 ，p ( q ) ，r ) 且j 是偶的，并且下方有界a ( i i ) 如果j ( u ) 0 ，贝u l l u l l l ，p r o ，并且妒( 乱) = j ( u ) 对于所有在u 的 足够小的邻域中的u 都成立。 ( i i i ) 存在a 。使得，对于入( o ，入。) ，j 满足局部( p s ) 条件对于c 0 ，使得 ，y ( u w 1 , p ( q ) ：j ( u ) 一e ) ) 礼， 证明证明类似引理3 1 8 ，此处略去。 54 2 结论的证明 下面我们给出定理1 2 1 的证明 证明令七= ccw 1 , p ( a ) 一 o ) ，c 是闭集，爿= f t c = 一c ，7 ( c ) 后) ，我们 定义 c k2 篷。誉j ( u ) 由引n _ 4 1 3 ( i ) 并1 1 4 1 4 ，我们可知一。 c k 0 。则引理的假设( c 1 ) ，( q ) 成 立，利用引理3 1 6 的结论( i i ) 我们可以得到，有无穷多个小解存在，又由 于j ( u ) 0 ，则j ( u ) = 妒( 乱) ，既定理得证。 参考文献 2 6 参考文献 【1 】a m b r o s e t t i a ，b r e z i sh ，c e r a m i g ；c o m b i n e de f f e c t so fc o n c a v ea n dc o n v e x n o n l i n e a r i t i e si ns o m ee l l i p t i cp r o b l e m s j f u n c t a n a l ，1 9 9 4 ，1 2 2 ：5 1 9 5 4 3 【2 】a m b r o s e t t i a ，r a b i n o w i t z e h ；d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e - o r ya n da p p l i c a t i o n j f u n c a n a l ，19 7 3 ，1 4 ：3 4 9 3 81 【3 】b r e z i s h ，n o n l i n e a re q u a t i o ni n v o l v i n gt h ec r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s u r v e y a n dp e r s p e c t i v e s c r a n d a l l m c ，e t a l ，e d d i r e c t i o n si np a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s si n c ，19 8 7 ：17 3 6 【4 】b r e z i s h ，l i e b e h ；a r e l a t i o nb e t w e e np o i n t w i s ec o n v e r g e n to ff u n c - t i o n a l p r o ca m e rm a t h ，1 9 8 3 ，8 8 ：4 8 6 - 4 9 0 【5 】b e n c i v , m i c h e l e t t i a m ，v i s e t t id ；a ne i g e n v a l u ep r o b l e mf o raq u a s i l i n e a r e l l i p t i cf i e l de q u a t i o n j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 2 ，18 4 ( 2 ) ：2 9 9 3 2 0 【6 】a z o r e r o g a r c i a j ，a l o s o n p e r a li ；m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o re l l i p t i cp r o b - l e m sw i t hc r i t i c a le x p o n e n to rw i t han o n s y m m e t r i ct e r m t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 9 1 ，3 2 3 ：8 7 7 8 9 5 【7 】l i g b ，m a r t i o o ；s t a b i l i t yi no b s t a c l ep r o b l e m m a t h s c a n d ，1 9 9 4 ，7 5 ：8 7 - 1 0 0 【8 】r a b i n o w i t z e h ；m i n i m a xm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n t st h e o r yw i t ha p p l i c a t i