（应用数学专业论文）两类半线性椭圆型方程解的性质的研究.pdf

摘要 f a u + k ( x ) u 一。= l u p + 盯， z q ； “ 0 ，x q ； “= 0 ，x 铀。 古典解( 在c2 , y ( 哟n c ( 五) 中) 的存在性。其中，q 是胄”( 现) 中的 有界域，a q c 2 ”，y ( 0 ，1 ) ，口( o ，1 ) ，a 0 ，仃 0 ，p 0 ，k ( x ) c 1 ( q ) k ( x ) 0 ( x 0 ) 。应用奇异非线性d i r i c h l e t 问题上、下解的方法以及 极大值原理，得到了这类奇异半线性d i r i c h l e t 问题正古典解的存在性， 最后进一步给出来解的正则性。 第三章考虑如下模型问题 i 一“+ 后( z ) ”9 = l v u l 9 ，x q ； 1“= + ， x a o 。 其中，q 是r ”( 期) 中的c 2 有界区域，q ( 1 ，2 ) ，p 兰 1 。在这 7 0 一章中应用摄动方法，结合古典上、下解方法，得到该问题爆破解的存 在性。 关键词：半线性椭圆型方程，奇异方程，古典解的存在性， 正则性，对流项，爆破解 a b s t r a c t i i lt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dt h er e g u l m t yo fp o s i t i v ec l a s s i c a l s o l u t i o na n dt h ee x i s t e n c eo ft h el a r g es o l u t i o n sf o ras i n g u l a rs e m i l i n e a r e l l i p t i cd i r i c h l e tp r o b l e m a n das e m i l m e a re l l i p t i cv a l u ep r o b l e mo f s e c o n d o r d e rw i t hg r a d i e n tt e r m s t h et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ：i nc h a p t e r1 , t h eb a s i cb a c k g r o u n d 、m a i n s t u d i e s 、p r e l i m i n a r i e s 、s o m em e t h o d s a l ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 , ic o n s i d e rac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ： f a u + k ( x ) 甜一。= a u + 盯， 石q ； 譬嚣： w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni n r ”( 2 ) ，a n d 弛c 2 ，7 ，( 0 , 1 ) ，口( 0 , 1 ) ， 五翔， 仃 0 ，p 0 ，k ( x ) c 1 ( n ) ) 0 红囝u s i n gt h es u p e r s u bs o l u t i o nm e t h o da n dt h em a x i m u m p r i n c i p l e ，t h e e x i s t e n c er e s u l to fp o s i v ec l a s s i c a ls o l u t i o n sf o ras i n g u l a r s e m i l i n e a r e l l i p t i c d k i c h l e tp r o b l e mi so b t a i n e d ia l s oe s t a b l i 出e dt h e r e g u l a r i t yo f c l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h ea b o v ep r o b l e m i nc h a p e r3 ，ic o n s i d e rac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i cv a l u ep r o b l e mo f s e c o n do r d e rw i t hc o n v e c t i o nt e r m s ： j 一“+ 七( 工) “= f v “f 9 ， x q ； 1 “：+ o 。，。 z a q 。 w h e r e t 2i sa b o u n d e d d o m a i n i nr ( 弱) ，a n dq ( 1 ，2 ) ，p 士 z - q u s i n gp e r t u r b e dm e t h o da n ds u b s u p e r s o l u t i o nm e t h o d ，t h el a r g es o l u t i o ni s o b t a i n e d k e yw o r d s ：s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，s i n g u l a re q u a t i o n t h ee x i s t e n c eo f c l a s s i c a ls o l u t i o n s ，r e g u l a r i t y , c o n v e c t i o nt e r m ，e x p l o s i v es o l u t i o i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是 真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其 它机构已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所傲的贡献均已在论文中作了声明 并表示了谢意。 作者签名：窒塑 日 期：塑i 筮旦幽 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文 的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机 构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校圈书馆被查阅；有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者撇：盟 日 期；鲨鲤三f j 如 第一童 绪论 在电学，流体力学，热学，磁学，光学，弹性力学，化学，生物学，医学，经 济学，工程学及其其他应用学科等许多领域都出现了各种各样的非线性问题。自 1 8 世纪以来，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析数学的一个 非常重要的分支一非线性偏微分方程。近几十年来，非线性偏微分方程的一个分 支一一半线性椭圆型方程领域的研究发展蓬勃。自然科学中的很多问题都和半线性 椭圆型方程有关，例如非线性扩散理论、气体的燃烧理论以及星球间的引力平衡定 律等等。因此对半线性椭圆型方程的研究引起了人们的广泛兴趣。而关于它的解的 存在性的研究又是偏微分方程理论的一个重大课题，是近年来十分活跃的研究领 域，其中下面的两类问题值得关注。 1 1 奇异半线性椭圆型方程边值问题 半线性椭圆型方程的边值问题长期以来一直受到许多数学工作者的关注。近年 来，具有奇异项半线性椭圆型方程问题获得了广泛的研究。该类问题来源于应用数 学和物理及其人口动态的各个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一。 对于奇异半线性椭圆型方程的研究，由于科学应用上的需要，从七十年代后 期开始受到广泛的关注。然而，由于奇性产生的困难，直到1 9 9 6 年大量的工作还 是围绕有界域和无界域上仅含负指数项的椭圆偏微分方程。而下面负指数和正指数 混含型奇异椭圆型偏微分方程问题鲜有研究 甜4 - _ j ( x ) 甜一。= 2 , u 9 + 口， x q ； “ 0 z ，= 0 x q ：( 1 1 ) z 硷。 一些学者讨论过该类型方程古典解的存在性。比如，z h a n gz h i j u n f l 】讨论了 当盯= o ，五o ，七0 ) 三1 时，如果0 口 1 , 0 o ， o ，0 1 ) 时上述问题( 1 3 ) 存在唯一解而且在q 上满足条件 c l p ) 】_ 习2 豇( x ) c ：p ) 1 杀，v z q ，其中c t ，c ：为正常数。k e l l e r i s 在 2 有界球域，对厂( u ) 满足 ( 厂1 ) f c ( o ，+ ) ，( 0 ) = o , f ( j ) o , f ( 5 ) 0 ，v s 0 或者 ( 厂u ) f c 1 ) ，( s ) o j ( 5 ) 劫，vs r 一1 ( 厂：) ( 扩砑西 o ，f 。( s ) = o ) 。 得到了问题( 1 3 ) 可解性的经典结果。文 9 1 对月”( 习) 中的c 2 有界区域得到了 问题( 1 3 ) 爆破解的存在性及解的渐近性行为。而对问题 f a u = k ( x ) 厂( “) ，xe q ； “ o ， x q ； ( 1 4 ) l = o o ，x 铀。 l a i r ”1 对一般的c 2 有界区域，得到了爆破解的存在性。其结果是：当，满足 矿。) ，七( x ) c ( 五) ，且具有如下性质 ( k i )k 在q 上非负、非平凡并且有：如果存在q ，使得k ( x 。) = 0 ，则存 在包含石d 的区域q oc q 使得尼0 ) 0 ，v x a q o ， 则( 1 t4 ) 存在非负古典解的充分必要条件是厂满足( 厂2 ) ，而且若q = r ”，k ( x ) 还满足 ( 如) k c ”) ，妒 ) = m a x k ( x ) ，b 妒 ) 出 0 , x q ，且七0 ) 在q 上可以适当无界，即满足条件 ( 岛)k c 4 ( q ) ； 或者存在( 0 ，2 】与正常数c o 使得 s u p ( d ( x ) ) 2 - , 0 | j o ) c 口； f e n 或者存在g n = - ，使得七f ( q ) 时，得到了爆破解的存在性。 当( 1 4 ) 带有负对流项一l v “| 9 时，在文m 1 中，( “) = “9 ，p 1 ，q ( o ，1 ) ，七 满足( 屯) 时得到了问题( 1 4 ) 古典解的存在性，本文在第三章对当g ( 1 , 2 ) 的情 况进行讨论。 1 3 预备知识 本节介绍一些与本文有关一些基本概念和理论。 定义1 3 1 ( 二阶半线r | 生椭圆型方程) 设o c r ” 2 ) 是开集，考虑方程 毳一， ， ) - o ， ( 1 5 ) 其中，x = 0 l ，z 2 ，z 。) ，臼”= 一，x q 。 方程( 1 5 ) 在点z o q 的线性主部是 它对应的二次型是 口”( xo ) q ( 掌) = 口” o ) 点与 1 j l 其中，手= ( 卣，岛，六) r “。 由二次型理论知，存在一个实满秩线性变换 把( 1 6 ) 化为标准型 毒= 6 。 ，f = 1 纠2 - - ，”， m g ( a ) = 田，晰白。 l - 1 则以矩阵( 6 “) 的转置矩阵做的线性变换 4 ( 1 _ 6 ) 彘= 6 “t ，t = 1 川2 一，” 就在x o q 点把方程( 1 5 ) 化为 其中 = 0 娥x 气= 一 券寨，器。 若聊= n ，且所有口? ( x 0 ) ( f = 1 , 2 ，n ) 具有相同的符号，则称方程( 1 5 ) 在点 xo q 是椭圆型的半线性偏微分方程。 定义1 3 2 ( 上、下解) 考虑半线性椭圆型方程的边值问题 p 2 ，( 训) ，。q ；( 1 7 ) 【b “= g ( x ) ，x a q o 其中 址孛加，茜+ 驰，詈 卿 b 甜：口( x ) ；兰+ 6 ( x ) “( x a q ) 册 这里，qc 7 r ”是有界光滑的开区域( 例如边界铀c 2 + 。) a g , b ，c 。( q ) ，一是q 上的一致椭圆算子a d ，b 满足( 1 ) a = 0 ，b = 1 ；或 ( 2 ) 口= 1 ，b ( x ) 0 。b ( x ) c “。( 讹) 。在这里，n 是a q 的外法向量 g ( x ) c 2 ”( a q ) 。其中，0 g t , 1 。 五c 2 ( 五) 叫做( 1 7 ) 的上解，若 上五：f ，i ) ( x f 的，b u g o ( ) ( x a n ) 。 5 + 每 耋三 f醪 。叫 坚c2 ( 五) 叫做( 1 7 ) 的下解，若 l u _ 致x ，旦) ( x q ) ，b _ u 毫( x ) ( x a n ) 。 引理1 1 1 ”( 弱) 极值原理 假设“：孬斗r 是c 2 ( q ) n c ( 五) 函数，满足微分不等式 l u 量一a g u z ，+ 6 f “+ c u 卸，x n 。 其中，满足椭圆性假设条件，b i 及c 有界，且 则 特别地，若c = 0 ，则有 c ( x ) 猢，x q 。 s u p u - - n a x ( 0 ，s u p u ) 。 nm s u p “= s u p u a qm 引理1 2 1 4 1 ( s o b o i e v 嵌入定理) 设n 匕r ”是有界光滑的开区域，” p 0 ，七( x ) c 1 ( q ) _ j ( x ) 0 ( xe q ) 。 问题( 2 1 ) 出现在广义渗流问题、反应扩散问题中的催化问题、 非牛顿流体问题中。 本文主要考虑下面的两种情形： c t ：d 憋。o ( 。) = o ，其中d ( x ) = d i s t ( x ，a q ) ； c 2 ：。g 器。七 ) = + 。，且存在1 卢 口，以及正常数，使得对于任意 工q 成立 七( x ) g ” ) m o 。 其中，口0 ) c 2 7 ( q ) n c ( q ) 是下述问题中当口= 卢时的解”1 。 8 盯+元 = ， ， 口 o o祟忙 一 x q x q x ( 2 2 ) 2 2 预备知识和主要结果 在证明主要结果之前，我们将给出相关的定义和引理。 定义2 1 函数型称为问题( 2 1 ) 的下解，如果丝c 2 ( q ) n c ( f i ) 并且满 足 f a u + _ i ( x ) “一。：! ，机9 + 盯， 工q ； “ 0 ，x n ； ( 2 3 ) l“= 0 ， x a q 。 定义2 2 函数“称为问题( 2 1 ) 的上解，如果“c 2 ( q ) n c ( f 2 ) 并且满 足 f 一“+ k ( x ) u 一“犰9 + 盯， x q ； “ 0 ，x q ； ( 2 4 ) |“= 0 ， x a q 。 引理2 1 对于下述问题 f a u = ， ，“) ，x n ； i 嚣篇； 5 ) f c 1 ( q ( 0 ，o o ) ，r ) 在铀处没有定义( 特别具有奇性) 。有以下结果： 若问题( 2 5 ) 存在上解五和下解丝，一u 、一, t c 2 ，7 ( 五) 并且丝；0 f i ) ，则 问题( 2 5 ) 在序区间区，石 中至少存在一个解“c 2 ，( q ) nc ( _ ) 。 引理2 2 若p ( 0 ，1 ) ，则对任意的盯 0 ，a 0 ，问题 9 上圹仉q i i = 缸 “ ，-!，、1 i 一= 五“户+ 盯，x q； “ 0 ，x q ； ( 2 6 ) “= 0 ， x 勰。 都存在唯一解国。c 2 , r ( - f i ) 。 塞 眩t ， 存在解国 ，c 2 7 ( q ) ；而当 旯是问题( 2 7 ) 无解。 记吼为特征值问题 一誊熏 汜s ， 相应于第一特征值为 的特征函数，则 0 ，吼c 2 ，7 ( q ) ，并s - o p f 引理可 ( 2 ) 当j 0 ) 满足条件c 2 时，则存在正常数和孑z ，使得当o - 疬z 时， 型= m 0 1 + 。珊口满足式( 2 9 ) 。 1 0 令i l 。= o ，则七c ( 五) ，故可定义r = l 七 ) l 。= 1 搿陋 ) l 。 因为 一型+ k ( x ) u 一8 = 警妒毒+ 卜旷一等掣p 汜1 0 ) 由吼的性质可得，存在c n 和正常数6 0 、c o ，使得成立 l v 吼i c 。，x 三；妒l 氓，z n z 。 ( 2 1 1 ) 因此，在三上可选取正常数棚1 满足 川一等固。 在q 上，可选取m 1 满足 现在令m f 州严 一a u + k ( x ) u _ ”掣妒f ，x q 。 1 十口 令孑，= 等| 吼b 2 艄盯石- 时，有 一a u + 七( x ) 塑一。：f ，x q 。 ( 2 ) 在考虑七 ) 满足条件c 2 扯研嘉，永等且菇川槲c ：得 爵 锯 堡 脯 开 器 。f等 础 地州啦一2 等+ 南1 鼠。 国：i ( 1 ) 设k ( x ) 满足条件c 1 ，盯玎l 时，则 2 m l p ” 。o q ) 。 ( 2 ) 设k ( x ) 满足条件c 2 ，盯亨2 时，则 1 肌3 _ 。珊口z 。 q ) 。 引理2 5 可直接运用极大值原理得到。 关于解的存在性，本文主要得到下述结果： 定理2 1 若口( 0 ，1 ) ，p ( o ，1 ) ，_ j ) 满足条件c l 或c 2 时，则存在正常数 ；l 或孑2 ，使得当盯疬，或盯疬2 时，对任意的五0 ，问厩( 2 1 ) 存在古典 解。 定理2 2 若口( o ，1 ) ，p 巍，尼o ) 满足条件c 1 或c 2 时，则存在正常数；l 或 孑2 和j ，使得当叮疬1 或盯疬2 ，五 o ( x q 。) ，从而，有 v 豁 2 凼一l “詈西 1 ，考虑如下模 z 一口 型问题 j a u + _ j ( x ) = v u l 4 ，x e o ； ( 3 1 ) 【 ”= + 。， z a q 。 这里的边界条件理解为：当x q ，d ( x ) = d i s t ( x ，a q ) - - - 0 时，u ( x ) 专+ o o ，并称 其解为爆破解或者“大( 1 a r g e ) 解”。 对含梯度项，即对流项的问题，文献讨论相对比较少，本文就问题( 3 1 ) 应 用摄动方法，结台上、下解方法得到爆破解的局部存在性。 3 2 预备知识和主要结论 定义3 1 函数云c 2 ( q ) 称为问题( 3 1 ) 的爆破上解，如果满足 x q ； ( 3 2 ) 工m 。 定义3 2 函数盟c2 ( q ) 称为问题( 3 。1 ) 的爆破下解，如果满足 p + 犍：，删删x e f q ) 。； 。， 定义3 3 称区域q 满足一致外部球条件是指；存在常数， 0 ，使得对任意 zea q ，在r ”中都存在以r 为半径的球b ，使得否n 五= 扛 。 1 5 g ”甲 到 栅 、”= “ +“一 r，cl 注c 2 有界区域都满足一致外部球条件。 为了方便引入下面记号 邯) = 磅 下面证明这样的事实；3 c o 昙，“斟，使得 ( a ) p “9 乒，( ) c n “； ( b ) ( “9 ) 2 哪日9 ( “) j 。 证 嘲f ) _ 醪， 可得日( “) ：_ u - p + l ，则 p l p 刖= p u p - t p u - 一p + i 1 = 习p 。 而p 秀 1 ，当p 棚时，搠可以捌c 。 i 1 ，使得寺戏) 得证；当p _ 时，由l i m 冬：1 ，容易得到( a ) 。 ，- 。刀一l ( b ) 由于p 1 为指数常数，万1是有界的，即( p l - - - 1 ) 。= c ：。而 p 咎，故p g 一2 p + g 固，x u 巍，所以0 0 ，x q ； ( 3 4 ) y = o ， z a q 。 的唯一解。 证令 c o ( x ) = h ( “( x ) ) ，z q ， 则问题( 3 1 ) 转化为等价的带奇异项的d i r i c h l e t 问题 一出o ) + 。k i v c 了o ( i x ) 一t ：+ p 一1 ) 一百p ( q - 1 ) 出可p ( q - 1 ) ) i v 脚。) | 。：七。) ，x 。q ； p 一1 国l xj 国 0 ， x q ； 09=0xaq。 设国c ( f i ) n c 2 十。( q ) 是( 3 5 ) 的任一解，我们断言 ( 3 5 ) 在q 上成立 = 0 ) ) y ) 。 接下来用反证法来证明这个断言，设集合目o ) i o ) 。，取其任一连通分 支a ，由于 _ ( 撕) - - 寿訾啦! ) _ 学。等帅吣扩锄， x a 。 既然劬一v ) l 。20 ，应用极大值原理可得，o ) o ) ，x a 。矛盾。从而引 1 7 理得证。 令o u = a u + b ( x ，“，v u ) ，其中b ( x ，j ，z ) 满足 ( 1 ) b 对每个( x ，z ) f a x r ”，关于5 单调非增 ( 2 ) b 在q r r ”内关于z 连续可微。则 引理3 3 9 , 定理9 2 1 设“，v c 2 ( q ) n c ( _ ) 在q 中满足q “q v ，在a q 上 ” o v ，在铀上“v ，则在q 中 设c 1 ( q ) n c 2 ( q ) 是问题 一“= 1 -x q “ 0 x q “= 0 x a q 的唯一解，则有v 痧0 ，v x a q ，c 1 a ( x ) c 2 d ) ，x q 。c 1 ，c 2 是正 常数。 本文中，为方便起见，设“c ( q ) ，记川。= m ；。a 。x “o ) 。 关于问题( 3 1 ) 爆破解的存在性，本文得到如下结果 定理3 1 设q 是月”中的c 2 有界区域七 ) c 2 ( q ) 且在q a ：k ( x ) 0 ， 则问题( 3 1 ) 存在解“c 2 + 4 ( q ) 。 定理3 2 设q 是r ”中的c 2 有界区域，七 ) c 。( q ) 满足( 毛) ，( 女，) ， 则问题( 3 1 ) 存在解“c 2 + 2 ( q ) 。 3 3 定理的证明 定理3 1 的证明 证由七 ) c 。( 五) 且在五上_ j ) o 知，七0 ) 在五上取到最大值c 1 和最小值 c 2 且c ：北令煳艄。，的唯喁由州归箩p 。，箩一 可令坚= h - 1 ( c 1 ) ，则坚l m = + ，且有 从而有 崛妒= 等一掣, 4 娟令朋q 。“ 丝c 1u k ( x ) 旦9 幺( x ) 旦9 - 1 w _ 1 9 即一型+ k ( x ) - 矿q v 坠| 9 ，坛q 。此时称，“= h 一1 ( c l ) 是问题( 3 1 ) 的 爆破下解。 为构造( 3 1 ) 的爆破上解，令磊= 日一1 ( 影2 ) ，其中8 ( 8 1 ，且 j ；c ：( 1 2 ( 2 c 。一2 + 2 + e c o l v 妒l 。1 i ( 1 2 ( 2 c x ) l v 矿l 2c o l v 妒l 一 j 2 2o 一2 + 2 + 94 1 _ 1 ( 实际上，由于p 1 ，为了下面证明方便，我们可以假设占：上，这是合理的。) p 于是，司m = + ，且由( a ) ( b ) 可得 - p 4 墅：旦 h ( u )占 ( _ 9 ) 。1 c 。( 日( _ ) ) 一i ：c 0 ( d 2 ) 一； + 阳4 = p f v 影2 1 2 一( 影2 ) + 阿 q 占 ( 2 c 。一1 ) j v 酬2 + 妒】+ 2 ，c o 占；l v 卯 g 占j 2 ( 2 c o 一1 ) m 2 + 2 庐+ 2 9 c o l v # 1 9 | ：7q ( x ) 。 所以一石+ 七 ) 五爿v 司9 ，x q ，即五= 日一( 印2 ) 是问题( 3 1 ) 的爆破上 解。再取j 。例：，则在q 上“迦。 下面证明问题( 3 1 ) 的爆破解“c 2 + 。( q ) 且满足丝u u ，v x q 。事 实上，考虑问题( 3 1 ) 的摄动问题 一a u + ) u p = i v 1 4 ，x q 。；( 3 7 ) 【 “= “，x 触。 其中 q 。拧如引理3 1 所述，自然，对每一个m 斟，u ，云c 2 ( f i 。) 分别是( 3 7 ) 的一个古典下解和一个古典上解，且在五，上五坠，因此由文1 9 1 可知，( 3 7 ) 存在解 。c 2 + 。( 五。) 满足型 ) 如。 ) 氟，v x 五。由引理3 3 ，我们可 断言在五。上，由“。u 。+ 1 。现设口是q 的一个任意紧子集，那么存在m o 使 得b c q ，。，x x v x b ，序列函， ) ：。是非增的，在b 上有界。因此，q 上“ ) 2 熙甜m ) 存在，且丝o ) u ( x ) u o ) ，q 。l i r a ，。u ( x ) = + o 。 立刻可得d l i r a - + 。u ( x ) = + 。下面还需证明“c “。) ，及对协5 q ，都有 一a u + _ j ) 扩= l v u l 9 成立。为方便起见，记k o ) = 七 。9 一i v 。1 9 ，对 任意的c2 ”区域q c c q ，取c 2 ”区域q ，f = 1 , 2 ，3 ，使得 n c 亡9c 匕q 2c cq 3c cq 。 既然“。 ) = 0 ) ，x 西，应用内部梯度估计定理可得：存在与研无 关的正常数c 。，使得 m 。a x ， v 。) l c m 曲_ x l “，( 工) c s 赠陆) 丛( m & p i v u ， ) i 在q ：上一致有界。由于 ) = 后o 。- i v ，n 从而 。 ) 在 9 2 上一致有界。这样，对任意的， 1 ，i 陋。盼( 。2 ) 一致有界。5 l 由于 “。( x ) = 而。 ) ，z 百2 ，结台椭圆型方程f 内估计理论可知，存在与埘无关 的正常数c 4 ，使得 b ( 岛) c t ( 抛) + i f 岛，) a 即陋，峙”【凸) 一致有界。 取r ，使得口 0 ，x q ；( 3 9 ) 【v = 争酣叭 的唯一解。则丝1 = 1 【n ，且坚l = h 一1 ( 堂1 ) c 2 + 。( _ ) 满足 一蜊：等一业竽邶n 哦 “；“： 从而有 a _ u 。减( x ) 旦? 强( x ) - u ? - v u ，9 ，z q 。 因此，型1 是( 3 8 ) 的下解。由引理3 3 可得：u l m ，x q 。由文2 0 1 可知 在序区间区。，m 】上存在解“。c 2 + a ( 五) 。由引理3 2 可知，在q 上成立 o h 。( e 9 1 ) = “l u 2 0 ， v x b o ，) 。由定理3 1 可设“是问题 卜“州砂矿= 酬9 ，x 占，) ，( 3 - 【 “= 佃， x 船 o ，) 。 ”“ 的解应用引理3 3 ，知。0 ) u ) ，v x b ( x o ，) 。取c s = m a x “，则 b ( x o ，三) 。( x ) c 3 ，、口 b ( x o ，三) 。 一 ， 情形( 2 ) ：k ( x 。) = 0 。由j ； c 8 ( 五) 并满足性质( 墨) 知，存在区域q 。，使 得x 。q oc q 且七0 ) 0 , v x 鼬o 。由情形( 1 ) 可知，v x m o ，都存在 b ( x ，) 匕q 和正常数q ，使得“。( y ) c ，砂百( x ，号) a 因为q 有界，且 硷。是紧的，因此存在有限个球覆盖a q 。设百( 石。，- ) 覆盖o f 2 。，f = 1 ，2 ， 并取c 3 = m a x c ，e ：，c x ，j 。则“。o ) c ，v x 铀。由引理3 3 可得 在五。上成立：“。0 ) 3 。 下面再证( i i ) 。先来看下式是否成立 ) = 罟6 0 ) + s ( 1 - f f 2 ) ，v x q 。( 3 1 2 ) 1 ， _ ( ；) 。 ，x n ) q ，- c 2 + 8 ( 五) 是问题( 3 4 ) 的唯 一解。 应用反证法，证明( 3 1 2 ) 成立。设 l m _ a x ( 6 0 。( x ) 一矿( x ) 一占( 1 + 1 , 2 ) 2 ) 0 j e n 该最大值点记为x 1 ，而o ，且由n 3 ，p 1 可知，在x 1 处成立 0 ( 街。( x ) 石( x ) e ( 1 + r 2 ) 。i ) 一p 匦掣+ p _ 1 ) 一等出掣( 砂| v 州，) l 。 p - 1d 。( x ) 。“ 41 一三 + 占( 一( 1 + ，2 ) 2 ) 0 。 显然，这是矛盾的。因此v 占 0 ，( 3 1 2 ) 成立。从而 也 = x 1 2 ) 2 f x 。 ( = ro占 中其 。0 ) = ( “。 ) ) ；0 ) ， ) = 日 ) ) ；0 ) ，v x q 。 “( x ) = h 一1 ( ) ( 工) ) h 1 ( i 0 ) ) 。 又由! 骧p ( x ) ) = + 。可知，! 臻陋( x ) ) = 。p c 。定理3 2 得证。 2 4 参考文献： 8 】 9 】 【10 z b a n gz h i j u n 0 nad i r i c h l e tp r o b i e mw i t has i n g u l a r i t yf l o n l i n e a r i t y 【】i ，m a t h ，a n a l ，a p p ，1 9 4 ( 1 9 9 5 ) ，1 0 3 1 1 3 周韶林关于一类奇异非线性d i r i c h l e t 问题 j 西北师范大学学报 ( 自然科学版) ，l9 9 6 ，3 2 ( 1 ) ：2 0 23 s h i l u n p i n g ，y a o m i a o x i n o nas i n g u l a rn o n l n e a rs e m i i i n e a ro l i i p t i c p r o b l e m 【】p r o c r o y s o n e d i n b 1 9 9 9 ，1 2 8 a ：13 8 9 。1 4 0 1 鹿立江保形曲率方程的爆破解 j 兰州大学学报( 自然科版) ，1 9 9 2 ，2 8 ( 4 ) ：1 7 l as e r ，a c m c k e n n a ，p j o nap r o b le mo fb i e b e r b a c ha n dr a d e m a c h e r j ，n o n l i n e a rk n a l y e is ，2 1 ( 19 93 ) ，3 2 7 33 5 l a z e rav m c k e n n apj o nas i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h e m o n d e a m p e r eo p e r a t o r 【j 】j m a t h k n a l _ k p p l ，1 99 6 ，i9 7 ：3 4 1 。3 6 2 b a z eg l e t e l i e rr e x p i o s i v es o i u t i o o so fq u as i l t n o a re 1l i p t i c e q u a t i o ne x is t e n c ea n du n l q u e n c e s s 【j 】n o n l i a e a ra n a l y s is ，19 9 3 。20 ： 9 7 1 2 5 k e l l e t ，j b o ns o l u t i o n so fa u = 厂扣) ，c o m m u n p u r eh p p l t h ，1 0 ( 19 5 7 ) ，50 3 5 1 0 d 吉耳巴格，ns 塔丁格著，叶其孝等译二阶椭圆型偏微分方程 m 】上 海：上海科学技术出版社，19 8 1 l a i r a v an e c e ss a r ya n ds u r f i e i e n t