（计算机应用技术专业论文）时滞神经网络稳定性分析.pdf

重庆交通大学学位论文原创性声明 ! 叫u r l ii ii ! r ! l r r nrrr ls u r y19 0 2 0 0 4 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。 靴敝储群：豇黼 嗍f 年拥 重庆交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权重庆交通大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时 授权中国科学技术信息研究所将本人学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并进行信息服务( 包括但不限于汇编、复制、发行、信息网络传播等) ， 同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 学位论文作者签名： 同期：年q 月 指导教师签名 r 期：弘f f 年 本人同意将本学位论文提交至中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社c n k i 系列数据库中全文发布，并按中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程 规定享受相关权益。 学位论文作者签名：幂乙装叼 日期： 7 年月z ，日 将挪虢杯婶 日期：加fr 年配月z f 日 摘要 对稳定性的研究是实值神经网络与复值神经网络的热点之一。近年来，大量研 究人员开始研究复值神经网络，主要目标是探索其新的功能和更高的性能；而在 讨论实值神经网络的稳定性时，经常将一些特殊激励函数，例如逆李普希次函数， 应用于神经网络中进行稳定性分析。 本文主要工作及创新点如下： 一讨论了具有变时滞、逆l i p s c h i t z 激励函数的实值神经网络的全局渐近稳 定性，并得到使该网络平衡点存在且唯一及平衡点全局渐近稳定的一个充分条件。 在文献1 2 1 1 、【2 5 q b ，作者讨论的都是带常时滞的具逆李普希次激励函数的神经网 络的稳定性，没考虑变时滞，故本文是他们工作的延续。 二推广实值线性矩阵不等式，得到了一些复值线性矩阵不等式。 三讨论了具有常时滞的离散复值神经网络的有界性和全局指数稳定性。研究 了具有离散和分布时滞不确定复值神经网络的全局鲁棒稳定性。利用线性矩阵不 等式的分析技巧和方法，得到几个新的判定网络有界和全局指数稳定、全局鲁棒 指数稳定的充分条件。并用仿真实例说明我们的判定条件是有效性。与文献 4 8 、 4 9 1 比较，本文不仅考虑了时滞、变时滞、分布时滞、不确定参数，而且放宽 了对连接权矩阵的要求。 关键词：时滞神经网络；逆一l i p s c h i t z 激励函数；全局渐近稳定性；全局指数稳定 性；全局鲁棒指数稳定性。 a b s t r a c t s t a b i l i t y i so n eo fh o t s p o t so fr e s e a r c h so nr e a l _ v a l u e d n e u r a ln e t w o r k sa n d c o m p l e x - v a l u e d n e u r a ln e t w o r k s r e c e n t l y ，m a n y r e s e a r c h e r sb e g i n t o s t u d y c o m p l e x - v a l u e d n e u r a ln e t w o r k s ，a n dt h e i rc o m m o mg o a l s a r ee x p l o r i n gn e w c a p a b i l i t i e sa n dh i g h e rp e r f o r m a n c eo ft h i sk i n d so f n e u r a ln e t w o r k s a st or e s e a r c ho n t h es t a b i l i t vo fr e a l v a l u e do n e s ，s p e c i a la c t i v a t i o nf u n c t i o n ss u c ha si n v e r s el i p s c h l t z n e u r o na c t i v a t i o n sa r ei n t r o d u c e dt oa n a l y z e t h es t a b i l i t yo ft h en e t w o r k s t h em a i nr e s u l t sa n di n n o v a t i o n sa r el i s t e da sf o l l o w i n g f i r s t l y t h eg l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yo f ak i n do fn e t w o r k sw i t ht i m e 。v a r y i n g d e l a v sa n di n v e r s el i p s c h i t za c t i v a t i o n si sp r e s e n t e d a n ds e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a r ea l s oe s t a b l i s h e dt oe n s u r et h eb a l a n c ep o i n tu n i q u e l ye x i s t i n ga n dt h ep r o p e r t yo f d o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n ti nt h i sk i n do fn e t w o r k s i n 【2 1 】 a n d 【2 5 】t h ea u t h o r ss t u d i e dt h en e u r a ln e t w o r k sw i t h i n v e r s el i p s c h i t za c t i v a t i o n s f u n c t i o n ，b u tt h e yd i d n tc o n s i d e rt i m e d e l a y ， s ot h er e s u l t si n t h i sp a p e ri m p 。o v et h e w o r k si n 【21 】a n d 【2 5 1 s e c o n d l v ，w eg o ts o m ec o m p l e x v a l u e dl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t yw h i c hc a nb e t h o u g h ta sg e n e r a l i z a t i o n so f r e a l - v a l u e dm a t r i xi n e q u a l i t y - t h i r d l v b o u n d e d n e s sa n ds t a b i l i t yo fd i s c r e t e t i m ed e l a y e dn e u r a l n e t w o r ki s i n v e r s t e g a t e d f o rc o m p l e x v a l u e d u n c e r t a i nn e u r a l n e t w o r kw i t hd i s c r e t ea n d d i s t r i b u t e dt i m e d e l a y s ，i t sg l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i ai sr e s e a c h e d b yc o n s t r u c t i n g a p p r o p r i a t el y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l sa n de m p l o y i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y t e c h n i q u ea n da n a l y s i sm e t h o d ，s e v e r a ln e w d e l a y d e p e n d e n tc r i t e r i af o rc h e c k i n gt h e b o u n d e d n e s s ，舀o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dg l o b a l r o b u s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya e s t a b l i s h e d a tl a s ti l l u s t r a t e de x a m p l ei s a l s og i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e p r o p o s e dc r i t e r i a c o m p a r e dw i t h 【4 8 ，【4 9 ，w e n o to n l yc o n s i d e rt i m e - d e l a y s ， t i m e v a r y i n g ，t i m e d e l a y s ，d i s t r i b u t e dt i m e d e l a y s a n du n c e r t a i np a r a m e t e r , b u ta l s o 。r e l a x e dt h er e q u i r e m e n to fc o n n e a i o nw e i g h tm a t r i x k e yw o r d s ：n e u r a ln e t w o r kw i t ht i m e d e l a y ，i n v e r s el i p s c h i t zn e u r o na c t i v a t i o n s ； 酉o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t y ；g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；g l o b a l r o b u s te x p o n e m i a l s t a b i l i t y 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景与现状1 1 2 本文的主要工作3 第二章具逆李普希次激励函数的变时滞神经网络的稳定性分析。8 2 1 本章讨论的神经网络模型及引理8 2 2 主要结论及证明9 2 3 实侈0 1 3 2 4 本章小结1 3 第三章复值离散神经网络的有界性与全局指数稳定性1 4 3 1 本章讨论的神经网络模型及引理1 4 3 2 主要结论及其证明1 6 3 3 实例2 5 3 4 本章小结2 6 第四章具有离散和分布时滞不确定复值神经网络的全局鲁棒稳定 性：1 7 4 1 模型及引理2 7 4 2 主要结论及其证明3 1 4 3 实例4 0 4 4 本章小结4 1 第五章本文总结与展望4 2 参考文献4 3 攻读硕士学位期间完成的论文4 7 致谢。4 8 第一章绪论 1 1 研究背景与现状 第一章绪论 神经网络是一个由简单处理元构成的规模宏大的并行分布式处理器，它在 以下两方面与人脑相似：( 1 ) 神经网络获取的知识是从外界环境中学习得来的， ( 2 ) 互连神经元的连接强度，即突触权值，用于存储获取的知识。神经网络是生 物神经系统高度简化后的一种近似，属于非线性动力系统；它在不同程度、不 同层次模拟人脑神经系统的结构及其信息处理、存储和检索等功能。神经网络 是- - f - j 新兴交叉学科，自1 9 8 2 年美国加州大学物理学家h o p f i e l d 提出h o p f i e l d 神经网络模型和1 9 8 8 年美国电子学家c h u a 和y a n g 提出细胞神经网络以来， 神经网络研究取得了前所未有的好局面，进入了快速发展时期，并成为人工智 能中最为活跃的分支之一。由于神经网络具有良好的非线性映射能力、自学习 适应能力和并行信息处理能力，它在很多领域得到了广泛的应用，例如，模式 识别与图像处理、时间序列分析、信号处理和控制等。 在实际应用中，设计神经网络时对其动力性质分析是有必要的。近年来， 在神经网络的有界性、收敛性、全局指数稳定性、同步性、系统状态估计和耗 散性等方面得到了一些重要的结果，部分结果可参看文献【1 3 7 】。在神经网络的 应用中，许多因素，如有限交换、电子信号有限传播速度、一个轴突的各种尺 寸的平行路径数量和长度、建模误差的存在、外部干扰、参数波动等等都会破 坏一个设计好的网络的稳定性，在文献【2 ，4 ，7 ，1 0 1 3 ，1 7 ，2 0 2 2 ，3 31 中，讨论了 时滞( 常时滞、变时滞、离散和分布时滞) 神经网络的全局渐进稳定性和全局 指数稳定性；在文献【9 】中，作者讨论了一类耦合神经网络的同步性，而在文献 【3 5 】中，作者讨论了一类离散的、具马尔可夫跳跃和混合模式依赖时间延迟的神 经网络的稳定性和同步性；在文献 2 8 ，3 3 ，3 7 】中，研究了三类神经网络的耗散性或 无源性：离散的区间神经网络、具时变时滞神经网络和离散的、具时变时滞的 不确定神经网络；在文献【1 3 】中，得到几个关于常时滞递归离散神经网络周期解 存在性、稳定性的充分条件；在文献 1 5 ，2 9 ，3 4 1 q b ，讨论了三类不确定系统的鲁 棒稳定性和日控制问题：离散的区间神经网络、具时变时滞神经网络和离散的、 具时变时滞和缺失测量系统随机神经网络；在文1 f 铁 3 2 ，3 6 1 中，对两类递归神经网 络进行了状态估计：具离散和分布时滞的阶跃递归神经网络、具缺失测量系统、 时变时滞的耦合不确定随机神经网络。 第一章绪论 2 值得指出的是，在连续型神经网络的模拟仿真中，通常是用一定的步长将 连续的时问离散化，从而得到一个离散的神经网络，用它模拟连续神经网络的 动力行为( 参看文献【3 】) ，但是，正如文献1 1 5 1 所指出的那样，即使很小的采样周 期，离散化的神经网络也可能不在保持原有的动力性质，因此，研究离散神经 网络的动力性质是非常有必要的，近些年来，许多文献研究了离散神经网络的 动力性质，参看文献【4 ，1 5 ，1 8 ，1 92 3 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 7 年1 它们的引理。 当讨论神经网络的稳定性时，我们经常用到一些特殊激励函数，比如满足 局部或全局李普希次条件的函数。但在工程技术中，经常会出现不满足这个条 件的其他类型的函数，逆李普希次函数就是经常出现的一种函数。因此，研究 具逆李普希次激励函数的神经网络的稳定性是有意义的。目前，有一些讨论具 逆李普希次激励函数的神经网络的稳定性的文章，如文献1 1 0 ，2 1 ，2 5 ，2 6 1 。在文 献【2 1 】中，作者讨论了一种带常时滞的具逆李普希次激励函数的神经网络的稳 定性，但他没考虑变时滞。在文献1 2 5 1 d ? ，作者讨论了一种带常时滞的具逆李 普希次激励函数的c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的稳定性，他也没考虑变时滞。但 时滞经常是随时间而变化的。故讨论具变时滞、逆李普希次激励函数的神经网 络的稳定性是有必要的。在第二章中，我们讨论了一种变时滞、逆李普希次激 励函数的神经网络的稳定性，得到其平衡点存在性、唯一性的一个充分条件， 及平衡点全局渐近稳定的一个充分条件。 复数在电气工程、信息处理、控制工程、生物工程等方面有着广泛的应用， 因此必然出现现了具有处理复数的、具有复权值、复值激励函数的复值神经网 络( 简称c v n n s ) ，首次提出复值神经网络的人是前苏联的a i z e n b e r g 等人， 1 9 9 0 年以来出现了许多复值神经网络模型，( 如复值h o p f i e l d 神经网络模型 ( c h n n ) 、复值递归神经网络模型等等) 对复值神经网络的研究取得了丰硕的成 果。在一些国际性会议中，复值神经网络已经多次出现，参看文献【4 5 ，4 6 。对 于复值神经网络，人们主要目标是探索新的功能和更高的性能，使得复值神经 网络能解决实值神经网络不能解决的问题，或者能更简单、更有效地解决一些 实际问题。一些成果可参看文献 3 8 ，4 1 】。已经发现c v n n s 在光电、过滤、影 像、话音合成、计算机视觉、遥感、量子器件、时空分析和神经生理设备、系 统和人工神经信息处理有更广泛的应用( 部分可参看文献1 4 2 ，4 7 1 ) 。正如我们应 用实值神经网络处理问题时一样，在设计复值神经网络时，对网络的动力性质 分析是非常必要的。一些文献研究了一些连续的或者离散的复值神经网络的动 力性质，得到了它们平衡点稳定性存在的一些充分条件，部分参见文献【3 9 4 1 ， 5 1 】。在最近的文献【4 8 】中，作者讨论了一种复值的、具多值神经元的递归神经 网络的收敛性；在文献 4 9 1 q b ，作者研究了一种具有复值加权的、复值激励函数 第一章绪论 3 的神经网络的有界性、全局吸引性，他们都没有考虑时滞，得到的条件也有一 定的保守性，因此，有必要对该网络进一步讨论。另一方面，为了得到c v n n s 的稳定性条件，我们想知道实值线性矩阵不等式是否具有它的复数形式，如果 有，它们存在的形式会有所变化吗? 由于这些原因，3 、4 章分别讨论了复值矩 阵不等式及复值神经网络的有界性、全局指数稳定性和全局鲁棒指数稳定性。 注本文中，c ”表示n 维复值欧氏空问；尺“表示，l x m 实值矩阵；，表示适 当维数的单位矩阵：a 日表示矩阵a 的共轭转置矩阵；对于对称矩阵 x ，y ，x y 0 表示x 一】，是一个负定矩阵；木为矩阵中相应部分的共轭转置； 复值巴拿赫空问的映射集合c ( 卜。，+ 】，c ) ：【_ 0 0 ，+ 】_ c 。 1 2 本文的主要工作 、 本文主要研究三种类型神经网络的稳定性：1 具有变时滞、逆l i p s c h j t z 激励 函数的实值神经网络的全局渐进稳定性，2 具有常时滞的复值神经网络的有界性 和全局指数稳定性，3 具有离散、分布时滞的参数不确定神经网络的鲁棒稳定性。 本文分为四章。 第一章，绪论，主要介绍实值、复值神经网络研究的历史和实际背景，并对研 究现状进行简要的综述。 第二章，本章中，我们讨论如下模型： ， 膏o ) = - d x ( t ) + 4 厂( x o ) ) + h a o ( f z o ) ) )( 1 1 ) 此处t 是一个实数，x ( t ) = o ，o ) ，x 。( f ) ) r 尺”是时刻t 时系统状态向量，n 表示第n 个神经元，d d i a g ( d l ，一，d 。) 是一个正的对角阵。矩阵a = ( a q ) 和b = p 打) 。分别表示连接权矩阵和延迟连接权矩阵。向量函数 厂 o ) ) = ( l ( x ，o ) ) ，l ( x 。o ) ) ) r 表示t 时刻的一个逆一l i p s c h i t z i 函数，向量 j = ( j l 一，歹。) r r “是常值外部输入向量，d z o ) 0 表示变时滞，且f 0 ，以下两个不等式同时成立： ，么+ 彳r p + x - - ( p b ) r ( p b ) + e l 2 e 0 第一章绪论 4 w = 2 乙d 互+ 五d + 2 q 1一础一q 2 d + m 木 2 互一掣 牛 木l b 7 说+ q2 a + a 7 q - l 2 n 木牢宰 _ 7 ；b + t 2 d 一五曰+ 疋 一疋彳+ q2 b - ( 1 - 4 - ( t ) ) b tb 一2 b t z + n 且有仃0 ( 七) ) = p ( z 。 ) ) ，a ( z 。 ) ) ，o ( z v ( 尼) ) ) r ；h = ( h a ，忍：，“) r 、 a = ( ) 。、b = f ) 。分别表示输入向量、连接权矩阵、时滞连接权矩阵，7 - 表示正的时滞。 为表述方便，我们给出一些符号注释： 1 1 屹 ) 2 言( 仃( r e ( z ( 七) ) ) + 盯( h ( z ( 足) ) ) ) y ) = 闷m a 0 ，“= 1 ，n ) 使得： 1 + p 1 那么网络( 1 2 ) 是有界的。 第一章绪论 5 ( 2 ) ( 定理3 2 ) 如果存在三个_ ，l ，l对称正定矩阵p 、q 、尺，两个 ，l 刀j 下定对角矩阵d 和f 使得矩阵： w = 墨三尺一俐r 一7 - b r 7 - 书 e 2 00 木 宰 易a ( p + 根) b 车木 e 0 ， 其中： 1 e 1 = 一p + q + ( 7 - + 二) 尺+ d ， ， 1 e 2 = - a + 二r + f ， ， 如= a ( p + t r ) a - d ， e 4 = b ( 尸+ 7 - r ) b f ， 那么神经网络( 1 2 ) 是全局指数稳定的。 第四章，在本章中，我们考虑的是如下具有离散和分布时滞不确定复值神经 网络： z ( k + 1 ) = ( 么+ 爿) 盯0 ) ) + ( b + z x b ) o ( z 一7 - ) ) ) + + + ( c + z x c ) p 。仃( z 一肌) ) + h ( 1 3 ) ，”= l 此处k 是非负整数，z ) 为n 维向量，且z ) = ( 乙 ) ，z ： ) ，乙 ) ) r ， z 2 ( 忌) 表示第i 个神经元状态。 另外，1 7 为与上一章一样的复值函数： 仃( z ) = m a x o ，r e ( z ) + f m a x o ，l m ( z ) ) 且有盯( z ( 尼) ) = ( 仃( z 。( 七) ) ，仃( z ，( 足) ) ，盯( 乙( 七) ) ) r ；h = ( ，j i l ：，吃) r 、a = ( a q ) 。、 b = 慨) 分别表示复值输入向量、连接权矩阵、时滞连接权矩阵， 幽，凹，a c 表示不确定参数的未知矩阵，它们可以表示如下： ( 叫，衄，a c ) = g l ( s 1 ，s 2 ，s ) ， 其中墨，s ：，墨是已知的适当维数常指复值矩阵，是满足三i 的未知矩 阵；丁( 七) 表示时变时滞，它是一个正整数，且有d 。7 - ) d ：，其中其中d 。与d ： 分别为变时滞的下界与上界。 模型( 1 3 ) 的初值表示如下： z ( s ) = 妒( s ) ，s 卜o 。，0 】 第一章绪论 6 复值常数盹( f = 1 ，2 ，) 满足如下收敛条件： 为了表述方便，我们弓l 用如下记号： 6 = t d i + d 2 + m i n ( - 1 1 ) 一d + d - , o ， + 0 0 q = 劢mm ，z o ， , 1 1 = l ，= m a x 0 f + x p = ( d 2 - 6 ) 2 ， 嗽，= 懈y ( k - _ d 2 ；三嚣蔷 本章首先推导了一些复值线性矩阵不等式，见引理4 1 、引理4 2 、引理4 3 然后讨论了模型： z + 1 ) = 4 口( z ( 七) ) + b 盯( z ( 七一7 - ) ) ) + c f o ( z ( k - m ) ) + h ， ( 1 4 ) 得到其全局指数稳定的充分条件： ( 定理4 1 )如果存在五个玎，l 正定的h a m i l t o n i a n 矩阵p ，o ，q 】，r ，t ，四 个nx t i 非负对角矩阵d ，f ，d 】，e ，使得如下矩阵不等式成立： 其中： n = e l 00d000a hp6 , 4 hrp 2 a hz 。e 2 00f 00b hp6 b hrp 2 b hz 卑 卑e 3 0000c hp6 c hrp 2 c hz 奉宰宰最。砉r oo 一6 r p 2 z 丰木宰毒 e 5 zz000 奉幸 宰半木 e 6 000 0 木枣事幸宰 宰 e 7 000 宰宰拳幸掌 宰p0 0 宰幸 宰奎幸牟幸 宰 一6 r o 宰宰事 宰 木宰奉宰宰 一p 2 z e 1 = q 2 t 一2 d d 1 ， e 2 = 一2 f e ， 0 表示变时滞，且f 0 和0 o ，使得 lf ( x ) - ，( p ) 忙q pix p1 8 ，vlx pi so ， 其中口 0 是一个常数。 如果对v p rx p rv p r ，都有两个固定的正常实数g ，使得 i 厂( 口) 一f ( p ) l ：- ql0 一p1 8 ，rio pi s ， 第二二章具逆李普希茨函数的时变神经网络的稳定性分析9 则f ( 8 ) 被称为局部口一逆l i p s c h i t z 函数。特别地，如果，= ，那么f ( o ) 称为全局口- 逆l i p s c h i t z 函数。通常我们用l p ( a ) 、u o f ) 和g ( 口) 分别表示局 部部分口- 逆l i p s c h i t z 函数、局部口一逆l i p s c h i t z 函数和全局o f 逆l i p s c h i t z 函 数。很明显a ( a ) ct ( a ) cl p ( a ) ，且易知： f ( o ) = 0 3e l p ( 3 ) ，g ( o ) = a r c t a n0e l ( 1 ) 和j i l ( 臼) = 0 3 + 0cg ( 1 ) 。 定义【1 1 12 2 对于模型( 1 ) ，平衡点0 是全局渐进稳定的是指网络在o 点是稳 定的且在o 点是全局吸引的。在o 点是全局吸引是指任何轨道在t 呻。时都 趋于0 点。 引理【1 2 12 1 设v 0 ，及x ，y e r “，那么对任意正定矩阵p ，有 2 x r ys 三工r p 一1 x + e y 丁p y 引理2 1 2 2 如果f ( o ) e l p ( a ) 上t f ( o ) = 0 ，那么存在常数g o o 、r o 0 使 得 if ( o ) l q 。10n 0 i 0 ，以下两个不等式同时成立： 第二二章具逆李普希茨函数的时变神经网络的稳定性分析 1 0 w = p a + 4 r p + i ( p b ) r ( 朋) + 吐2 e 0 2 t 3 d 瓦+ 五d + 2 0 木 珥 奉奉 枣木 一础一q 2 d + m 一互彳 l b 7 b l + q2 a + q - l z n 木 一t 3 b + 疋d 一五口+ 五 一疋彳+ q2 b - 0 一f - ( t ) ) b 7 b 一2 口疋+ o 、，o o 使得： l q “ a 二 16 ( u 川 q o r ot ，v 吲 r o( 2 5 ) 因为u a q ，所以有i ui = 厂和如下两个结论： ( 1 ) 至少存在一个元素比f d 使得i “i 。 吖 l ( 2 ) 如果r 足够大，则存在丙：= 伽1 ，一，刀。) c 1 ，刀) 使得当f 矾时 iu fi sa ，而当i n t = 1 ，刀】一n 女时lu f i a 。 设： q 瓦2 缸：hl s 口，i 瓦, ue r k ) ， 磊 ) 2 荟p r d r il ( u f ) | ( i h r | - n ) 显然q 厩是尺上紧集。危 ) 在q 以上连续。因此危 ) 在矾上可取到最 大值。设 m 厩。尥r a i 帆n 氏 ) ，a n dm = m l n 氏 ) ，n kc 1 一，疗” 设，是一个实数且， m i n i o 一士) ，_ r o ) 故： v 口一画m 萨。 仁6 ， 对任意u a q 和a 【o ，1 】，根据( 2 5 ) 、( 2 6 ) 有： f ( u ) p h ( 柚) 驴n 17 ( u ai ( i 州一掣) 2 i 荟p i d ii 训一掣) + 驴抵) f i 小掣) o dpr o 。( ix p i o d i o p o r ox i 。| - 口) + m u 。i 一口j + 朋 2 p b d 如p 。8 x i oi 一口+ ：i 丽m ) 0 第二章具逆李酱希茨函数的时变神经网络的稳定性分析 1 2 因此，对vu a q 和a 【0 ，1 】，有h ( a ，u ) 0 根据弓l 理3 ，d e g ( h ( o ，工) ，q ，y ) = d e g ( h ( 1 , x ) ，q ，y ) = d e g ( d x ，q ，y ) = s g nidi 0 由引理4 ，方程o ( u ) = 0 在q 上至少有一个解。因此系统( 1 ) 至少有一个平衡 点。 下面证明平衡点的唯一性。 设x ，、x ：是系统( 1 ) 有两个不同平衡点，那么： n ( x 。一石：) = a ( f ( x 。+ ) 一厂0 2 ) ) + b ( g ( x 1 ) 一g ( x 2 * ) ) 由于厂0 ) p ) ，知0 1 - - x ：) ( 厂j 1 ) 一l ( x ：) ) 0 7 f = l n ，v x 2 ，z 2e r ， 由引理1 和定理的假设： 0 ( f ( x 1 + ) - - 7 7 ( 】f 2 ) ) 丁p d ( x l - - x 2 ) = ( f ( x l * ) 一厂 ：+ ) ) r p ( 厂 。+ ) 一，o ：+ ) ) + b ( g o 。) 一g ：) ) 】 s ( 厂o ，+ ) 一f ( x 2 ) ) 丁( p a + 去( 朋) r ( 朋) + 等2 e ) ( 厂 。+ ) 一，o ：) ) z z s0 ， 这就产生了矛盾。因此_ - - - - - x ：，故系统( 1 ) 的平衡点是唯一的。 最后，证明平衡点的渐进稳定性。 设x 为系统的一个平衡点。 令y o ) 一x ( t ) 一x + ，f ( t ) = 厂( x ( f ) ) 一厂 。) ， 那么 夕o ) = - d y ( t ) + l 厂o ) + b f p 百o ) ) 考虑如下李亚普洛夫泛函：v ( t ) = e ( t ) + 心o ) ) ， 其中 k o ) = y r o ) ( q t + q z ) y ( f ) a n d o ) 2 ，虿r o ) b r b 虿( s ) d s 那么 联o ) = 2 y r o ) ( q 。+ a ：) 夕( f ) 一2 y r o ) q l 夕o ) + 2 y r 0 2 ( 一厶少0 ) + 4 尹i j f ) ) + 岳o f o ) ) i ) 2 ( 0 = 虿r o ) b r 磁p ) 一( 1 一f o ) ) 岳ro f o ) ) b r b 蚕o r o ) ) s 7 r ( t ) l b r b l f ( t ) 一( 1 一肛) 富r o z o ) ) b r 墨亭o f o ) ) 第一二章具逆李普希茨函数的时变神经网络的稳定性分析 1 3 因为一y ( t ) 一d y ( t ) + 缈( f ) + 盼o z o ) ) = 0 ，则存在适当维数的矩阵 正u = 1 , 2 ，3 ) ，使得： 2 y r o ) 五+ 夕r ( f ) 瓦+ 瓦岳r ( f r p ) ) 】【一夕o ) 一d y ( t ) + 扩o ) + 占富( f f o ) ) 】= 0 ( 2 7 ) 如果为一个负定对角矩阵，那么 一个 一个 ，上( t ) l 二n j ( f ) s 季1o ) n g ( t ) ( 2 8 ) 令a ( f ) = ( yr ( f ) ，夕r ( f ) ，芦r ( f ) ，季r o r ( f ) ) ) 和 一2 五d t d 一瓦+ 2 0 1r , a q 2 d + m 五b 一己d 宰 一2 瓦瓦a 疋曰一瓦 宰 奎 工b 7 悦+ q 一+ 彳7 a 2 一l 2 n一疋彳+ q 2 b 丰宰难 一( 1 - i ( t ) ) b 7 b + t 3 b + b 7 瓦+ 人r 根据( 2 7 ) 、 ( 2 8 ) 和眩o ) 、吃o ) ，有： 矿( f ) = a r ( f ) 耽( f ) 由于w 0 ，口( f ) 0 ，故矿o ) 0 、0 e 1 ， 使具有初始条件( 3 2 ) 的模型( 3 1 ) 第三章复值离散神经网络的有界性与全局指数稳定性1 5 的半衡点z 。满足f 歹u 小等式： 0z ( k ) - z l i m s u p0 妒 ) 一z 0 则称该平衡点是全局指数稳定的。 设q ( f = 1 ，2 ，n ) 是满足如下不等式的正实数： 恶翳i 1 若n a jr e + ( ) + i i m ( 口。) i ) + 恶翳i 1 善n c t jr e + 魄) + ii m ( b , j ) l 1 为表述方便，我们给出一些符号注释： ( 1 ) 啡) = 丢( 仃( r e ( z ( 纠) + 州m ( z ( 纠) ) ，瞰) = m i o ，o = 1 ，n ) 使得： 1 + p 0 均成立。 进一步，我们可以得到： o ( r e ( z i ( k k - 1 ) ) ) 【r e + a 口) r e ( a ( z ) ) 一i i i l a 玎) i m ( a ( z ， ) ) ) 】 = 1 第三章复值离散神经网络的有界性与全局指数稳定性1 7 + 【r e + ( 6 ：) r e ( c r ( z ( k - 7 - ) ) - i m 一魄) i m ( a ( z 一丁) ) ) 】 + r e + ( 红) 及 r 口( i m ( 乙 + 1 ) ) ) r e + 盯) i m ( a ( z ， ) ) + i i i l + ( 口盯) r e ( a ( z ) ) ) 】 + r e + ( ) i m p ( z 一丁”+ l m + ( b o ) i m ( a ( z ，( t o 一丁) ) ) 】 + i m + ( 红) 因为k ) ：! p ( r e ( z ) ) ) + 盯( i m ( z ( 七) ) ) ) ，所以 u ”1 ) 毒喜q 胚e + ( 叫+ i i m 魄) 1 ) 咏七) + 击喜q ，( r e + 魄) + l i m 魄) 1 ) v ， 一丁) + i ( r e + ( 红) + i m + ) ) q 故根据v ( k ) 、7 、p 、p 的定义，有； y ( 七) 0 ，( 七一7 - ) 及 v ( k + 1 ) ) + ( 七一7 - ) + p ， k 0 ( 3 8 ) 现在设徊0 ) 为满足如下条件的数列： b ) = a ( n + 1 ) - a ( n ) ，n w t 从似0 ) 的定义，可得以下两个等式对讹1 均成立： 从( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 知： a ( n + 1 ) 7 a ( n ) + 础o 一7 - ) + p ， 彳) 7 a ( n - 1 ) + 叫( ，l 一7 - 1 ) + 卢 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 第二章复值离散神经网络的有界性与全局指数稳定性 1 8 即 a ( n + 1 ) - a ( n + 1 ) 7 ( a ( n ) - a ( n 一1 ) ) + u ( a 一丁) 一a ( n 一1 7 - ) )( 3 1 1 ) b ( n ) b ( n 一1 ) + 郎( ，l 一丁一1 ) ， 其中n 1 ( 3 1 2 ) 根据引理3 1 ，方程( 3 1 2 ) 的多项式方程为： z 7 - + 1 ：7 x 7 _ + p 下面，我们将证明对方程( 3 1 3 ) 任意解x ，均有i x i 1 ，根据( 3 1 3 ) 得： lx or “冬7ix o1 7 + p 在方程( 3 1 4 ) 两边同乘以i r 得： l x oi 7 + 肛i i 。 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 故有：1 1 x ol 7 + p 这与条件( 3 7 ) 矛盾。故方程( 3 1 3 ) 的每一个解x 均满足i 石i 1 设p 1 p 2 p 州为方程( 3 1 3 ) 的( 丁+ 1 ) 个解，易知p i 一7 - 时，有： 4 ( 七) = b ( k 一1 ) + a ( k 一2 ) + + b ( 1 ) + y ( 一丁) ：c 。气l = 二醛一f c 2 旦d + c 件。学+ y ( 一丁) “ 1 1 一p i1 一p 2 件1 1 一p ，+ l 、 7 i nn p , l q = 1 ，2 ，7 _ + 1 ) ，所以2 受p ：= o ( f = 1 ，2 ，丁+ 1 ) 。因此有： l i m 彳 ) 一c 1 尚+ c