（电力系统及其自动化专业论文）多谐波源随机谐波电流叠加问题的研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 电力系统中谐波源具有随机性，有必要采用概率统计的方法对随机谐波矢量进 行分析和估计。本文对现有多谐波源叠加的方法进行分析，总结了各类方法的优点 与不足，在此基础上提出了一种处理电力系统中具有不同相角分布特点的随机谐波 矢量叠加问题的新方法。将各谐波源( 电压或电流) 正交分解后进行合成，利用高斯 混合模型求取多个谐波源叠加后的概率密度函数，进而估计谐波叠加之和的9 5 概 率大值。在p s c a d e m t d c 平台上建立了s s 6 b 型电力车谐波电流的仿真模型，为文 中所提算法提供可靠的谐波电流数据。该仿真模型省去了机车在不同运行时段要建 立不同仿真模型的问题，可通过改变机车的级位和速度实现对机车的控制。对多台 电力机车以及多电弧炉运行时所产生谐波实际情况，通过高斯混合模型法对谐波电 流进行叠加计算，其结果与实测值一致，证明了所提方法的有效性。 关键词：高斯混合模型，多谐波源，随机谐波电流，谐波源叠加，概率密度函数 a bs t r a c t b e c a u s eo ft h er a n d o mo ft h eh a r m o n i c sr e c o u r s e si np o w e rs y s t e m ，i t sn e c e s s a r y t oa n a l y z ea n de s t i m a t et h er a n d o mh a r m o n i cv e c t o rb yu s i n gt h em e t h o do fp r o b a b i l i t y a n ds t a t i s t i c s t h i sp a p e rs u m m e du pt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h ee x i s t i n g m e t h o do fm u l t i h a r m o n i cs o u r c es u m m a t i o n ，t h e np r e s e n t san e wm e t h o dt oo b t a i nt h e s u mo fr a n d o mh a r m o n i cv e c t o r st h a th a v ed i f f e r e n tp h a s ea n g l ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n f u n c t i o n si nap o w e rs y s t e m s e v e r a lv e c t o r s ( v o l t a g eo rc u r r e n t ) a r ed e c o m p o s e dw i t hx - ya x i sa n dt h e nc o m p o s e d t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n so ft h es u mc a nb e o b t a i n e db yu s i n gg a u s s i a nm i x t u r em o d e l s t h ep r o b a b i l i t yv a l u eo fh a r m o n i cc u r r e n t s a t9 5 c a nb ee s t i m a t e da l s o s s 6 be l e c t r i cl o c o m o t i v em o d e lh a sb e e ne s t a b l i s h e d b a s e do np s c a d e m t d c ，t h em o d e ls o l v et h ep r o b l e mo fe s t a b l i s h i n gd i f f e r e n t s i m u l a t i o nm o d e li nd i f f e r e n tr u n n i n gt i m e ，l o c o m o t i v ec a nb ec o n t r o l l e db yc h a n g i n g t h el e v e la n ds p e e d h a r m o n i cc u r r e n tg e n e r a t e db yt h ee l e c t r i ca r cf u r n a c e sa n dt r a c t i o n l o a dh a v eb e e ns u m m a t e d ，t h er e s u l to b t a i n e db yu s i n gg a u s s i a nm i x t u r em o d e la r e c o n s i s t e n tw i t ht h et e s t i n gd a t a ，t h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o dh a sb e e np r o v e d j i a n gp e i s i ( p o w e rs y s t e ma n da u t o m a t i o n ) d i r e c t e db yp r o f x uy o n g h a i k e yw o r d s ：g a u s s i a nm i x t u r em o d e l s ，m u l t i h a r m o n i cs o u r c e ，r a n d o mh a r m o n i c c u r r e n t ，s u m m a t i o no fr a n d o mh a r m o n i cv e c t o r s ，p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n 1 p 士= i明明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文多谐波源随机谐波电流叠加问题 的研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工 作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：_ 三醴型卜e t 期：兰竖：! ! 呈 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：丝鲻 e l 期：盘蠼：三：宝： 导师签名： 日期： 丝，一 、缁擘f 龃一鼬一 华北电力大学硕士学位论文 1 1 选题背景和研究意义 第一章绪论 近几年来，由于电弧炉、电气牵引机车等类型的非线性负荷在民用、工业和商 业中的广泛应用，使得输配电系统中存在大量谐波，给系统及用户造成了巨大危害 1 - 5 。电网中的谐波源可以分成稳态性、动态性和突发性三种。稳态性谐波源产生 的谐波，只要电网中的负载不变，其各次谐波及幅值亦稳定不变。这一类谐波源最 典型的就是整流器。变压器铁心的饱和、发电机绕组磁通密度分布的局限性等虽然 产生的谐波不大，但是也是一种稳态性谐波源。而动态性谐波源产生的高次谐波量 的大小、相位角，都是随机的，有时甚至是无规律的。电力车与电弧炉等非线性负 载就是典型的动态性谐波源。突发性谐波源在正常运行时不产生谐波，只有在特定 的情况下产生，如变压器空载合闸的励磁涌流、投入电容器时的暂态过程即是典型 的突发性谐波源。 常规的分析谐波源的方法是确定的，即认为非线性负荷产生的注入谐波电流是 确定的。然而实际电力系统中由于非线性负荷的参数、开关状态、运行方式的变化 等都是随机的，因而产生的谐波电流具有随机性。谐波的随机特性要求用数理统计 分析方法确定测量值的一些重要的统计参数。因此，有必要引入随机变量并用概率 的方法来分析电力系统的非线性负荷。 电气化铁道电力机车负荷是波动性非常大的整流负荷儿 ，由于牵引负荷具有 单相不对称特性，且波动剧烈，其产生的谐波有别于其它电力用户产生的谐波。而 且电气化铁道是极少数直接接入高压系统的大宗电力用户，其产生的谐波直接进入 高压电网进而向全网扩散，影响其它用户。电弧炉是电力系统中各类波动性负荷中 对电能质量影响比较严重的负荷，由于在炼钢过程中，电弧延时发弧、电弧电阻的 非线性和电弧游动等因素，使得电弧电流变化很不规则，其产生的谐波电流具有很 大的随机性。目前对谐波的研究主要集中在其分布特征和参数叫，谐波的随机特 性要求用数理统计分析方法确定测量值的一些重要的统计参数，通常采用统计方法 来估计其影响程度，评估谐波水平。i e c ( 国际电工委员会) 以及国标都提出了以测 量值的9 5 概率大值作为谐波评估的标准，利用近似的方法研究谐波的随机特性不 断的受到重视。因此，需要利用统计学的方法对大量测量值进行分析。 非线性负荷对公共连接点p c c 的谐波发射水平定义为在没有其它非线性负荷或 谐波源存在时，由该非线性负荷单独作用在p c c 产生的谐波电压。一般情况下，p c c 可能连接有多个非线性负荷，例如：牵引系统供电臂上就接有多辆机车，每辆机车 就等效于一个谐波源。电力机车产生的谐波电流经牵引网传输至供电臂首端叠加后 华北电力大学硕士学位论文 注入牵引变压器馈入电网。当各支路负荷中只有一个谐波源作用时，其谐波电流总 和与谐波源的注入相位角无关。当各支路负荷中有多个谐波源共同作用时，其谐波 电流总和不仅与谐波源的谐波电流的幅值有关，而且与注入谐波源的谐波电流的相 位角相关。 由于非线性负荷的相位不能确定，且具有时变特征，所以不能简单地把它们相 加，很多情况下是采用统计方法估计其影响程度。利用统计方法分析随机谐波，一 个主要的困难就是无法获得足够的数据来描述谐波源的概率密度函数。计算9 5 概 率大值需要知道随机谐波电流完整的概率密度函数，这是不容易简单快速的得到 的。利用一些近似的方法，可以用少量的统计量得到近似的值。采用近似的方法得 到概率密度函数来描述这些由非线性负载产生的谐波特征，通过建立数学模型描述 其随机性质，这对分析和研究负载谐波起到关键帮助作用。电力系统中不可能在所 有节点位置安装谐波检测装置，通常对未测节点用随机矢量求和的方法进行评估。 对与已测节点比较相像的其他谐波源，也可采用已测谐波源的数据得到的数学模 型，适当作出一些修正，对未知的节点进行估算。 随着电力市场的快速发展，供电公司必须保证供电的可靠性、供电质量的同时， 对用户也提出奖励或者惩罚方案：如果用户的污染超标，则系统在保证向用户正常 供电的前提下，收取额外的惩罚费用；若用户可以吸收系统中额外谐波功率的话， 系统给予一定的补偿和奖励。所以，对于己经投入或是即将投入的谐波发射用户， 应按照其产生谐波对系统谐波污染的不同情况予以相应的评估。对于电力系统非线 性负荷所引起的谐波，需要了解随机谐波电流的特性，才能够得到随机谐波注入电 力系统后对系统的影响。为了预计随机谐波电流对电力系统的影响，判明其影响是 否超过允许的标准，以利于选定合理的供电方案和抑制谐波的措施，需要定量分析 随机谐波电流在电力系统中的传播特性。多谐波源的随机矢量叠加是一个针对电力 市场和电能质量领域都非常有意义的课题，随着科学技术在各个领域的渗透应用， 它还有待进一步的深入研究。 1 2 国内外研究动态 上世纪不少电力系统研究人员就已经开始着手于电力系统波形畸变方面的研 究n 2 1 引，当时主要讨论由于变压器铁芯饱和引起的谐波以及通过三相三角形接法抑 制谐波的问题。文献 1 5 1 8 对使用统计工具估计用户谐波发射水平的必要性进行 了研究。国际电工委员会( i e c ) 和国际大电网会议( c i g r e ) 都相继组成了专门的工作 组，已经并正在制定包括配电系统、各类电力和用电设备以及家用电器在内的谐波 标准。1 9 9 3 年7 月国家技术监督局颁布了电能质量公用电网谐波的国家标准， 并于1 9 9 4 年3 月正式实施，使我国电能谐波管理工作更加规范化n 引。 华北电力大学硕士学位论文 由于系统运行方式的变换以及频繁操作，非线性负荷随时间变化而变化，造成 谐波电流具有随机性。采用概率密度函数描述这些由非线性负载产生的谐波特征是 比较准确的。二十多年前就己经有大量学者提出谐波的随机性，至今己经做了大量 的研究工作来建立数学模型描述其性质。由于许多国际建议和标准提出以谐波每天 测量值的9 5 概率大值作为一种评估标准，利用近似的方法研究谐波的随机特性不 断的受到重视。因此需要利用统计的方法对大量测量值进行分析。采用这种方法往 往由于没有足够的测量值在分析时产生误差。 当系统中有多谐波源共同作用时，各点的谐波电压不仅与注入元的量值有关， 而且与其初相位也有关。如果注入元的相位能事先确定，直接求解也就成为可能。 但是对相位角不能确定的非线性负荷时，就要采取随机相位叠加的方法。利用大量 统计值进行分析。例如，对于电气牵引机车，由2 7 5 k v 的牵引网供电，经过机内 的整流设备变成直流再去驱动直流电机，产生的谐波电流馈入电网。每台机车可以 看作一个谐波源，不仅仅幅值不断变化，其相位角也按随机运行状况的不同而变化。 多台机车运行时情况更为复杂，要想确定其相位变化几乎是不可能的。电弧炉整个 工作过程分为熔化期和精炼期，其基本特点是：熔化期频繁的电极短路及相应的调节过 程，精炼期内熔液的沸腾而造成弧长波动，三相电弧的相互受力及炉料温度较低时所造 成的弧长随机扰动。由于三相耦合的影响，加之电极调节系统的调节作用，使电弧弧长 的变化呈现出更加复杂的特征。而电弧电阻的非线性对于电弧炉主电路有着十分重要的 影响。因此，从供电网的角度看，电弧炉是一个随机负载。 国际电工委员会技术报告i e c 6 1 0 0 0 - 3 - 6 中、高压电力系统畸变负荷发射限值 的评估也提出了两种解决随机谐波求和的方法。第一种叠加法则适用于现有的谐 波和新增加谐波的相角已经知道的情况下。精确与否关键在于合成系数口的选取， i e c6 1 0 0 0 3 6 给出了3 种情况的口的取值，其前提是谐波电流( 电压) 的相角分布 必须从0 开始并具有相同分布。 第二种算法比较简单实用，对于电弧炉负荷谐波电流合成，一些文献针对合成 系数口提出了一些建议，并提供了合成系数口的值作为参考。文献【2 0 认为对于电 弧炉系统合成系数口的取值应在于1 5 到2 或3 之间，不同的谐波次数其值应不同； 文献【2 l 】给出了多个电弧炉合成指数经验值，列出了不超过9 5 和9 9 概率值的合 成系数口。文献 2 2 1 综合i e c6 1 0 0 0 3 6 提供的两种算法的优缺点，提出了一种新的 合成方法，对于个谐波向量的不同情况，给出口的参考值。 以上叠加法则中的谐波叠加系数是在同概率分布的情况下选择的，即幅值和相 位角有相同的变化范围与概率分布特征，当各个谐波分布特征不一致时，使用求和 系数方法会产生较大误差。 国标推荐的多谐波源合成公式，也只是在假定同次谐波之间的相位具有正态 华北电力大学硕士学位论文 分布的情况下导出。在实际的电力系统中，网络中谐波源众多，非线性负荷的参数、 开关状态、运行方式的变化都是随机的，且负荷由于工艺流程的变化随时问变化， 因而谐波源的大小和相位都是变化的。实际上，大量现场测试表明，谐波源所产生 的谐波电流随时间变化呈非平稳的随机过程，且在同一个网络中各谐波源所产生的 谐波电流具有相关性。多个谐波源同时作用于电网时，它们完全可能存在相互抵消 因素，这又恰恰是最难详尽分析的。如果按照国标推荐公式来计算多谐波源网络谐 波电流和谐波电压，其计算结果往往偏离实际值，造成计算结果偏大。 多个随机谐波源求和实际上是多个同频率正弦谐波分量叠加，任何随机正弦信 号都可以看作幅值和相角随机变化的矢量，所以可以看成多个随机矢量求和，不考 虑其各种具体的应用，可以把它归纳为一种常见的数学问题多随机矢量求和。 设有刀个相互独立的幅值为4 相角为谚的随机矢量，这n 个随机矢量之和： 4 e = 4 d = x + j y ( 卜1 ) 式( 1 1 ) 中工和】，分别为刀个随机矢量之和正交分解得到的实部与虚部。 国内外还有许多文献介绍了多种随机矢量求和的方法，其实质就是计算矢量合 成幅值的概率密度函数( p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n ，p d f ) ，但是大多对条件都有所 限制，其主要情况如下：( 1 ) 力是随机变化的乜3 “1 ；( 2 ) 仍在0 2 万之间具有不同的概 率密度函数阱儿删；( 3 ) 刀是确定的，仍在0 2 万之间均匀分布乜力乜引；( 4 ) j 和j ，具有 高斯分布的联合概率密度函数汹1 ；( 5 ) j 和j ，具有非高斯分布的联合概率密度函数盼引。 在实际应用中，大多数可以满足上述条件( 3 ) 。假设n 个相互独立的幅值为4 相 角为仍的随机矢量，其中4 为正的随机变量并与仍相互独立，仍在0 2 万之间均匀 分布。目前解决此类随机矢量求和问题，主要有以下几种方法： 利用m o n t ec a r l o 法 3 1 3 2 3 3 可以求得多个随机谐波之和。m o n t ec a r l o 法又称为随机抽样技巧或统计实验方法。其基本思想为：当所有求解的问题是某种 事件出现的概率或者是随机变量的期望值时。它们可通过某种“实验方法 得到这 种事件出现的概率或者这个随机变量的平均值。从理论上讲m o n t ec a r l o 法是按照 统计抽样的思想对随机变量进行评估的方法。该方法比较准确，但是计算复杂难以 普遍应用，而且需要大量复杂数据。 文献 3 4 3 5 3 6 提出了在电牵引系统中使用基于中心极限定理的概率分析 法，它不需要机车功率转换器的具体的模型，同时也减少了计算强度。它的基本原 理是：针对高次谐波电流，对于多个相互独立的电力机车，每个独立谐波源的谐波 电流的实部和虚部具有物理特性，所以它们的期望和方差是一定的，只要机车数目 足够大，通过大数定理和中心极限定理可以推出各次谐波电流矢量和的虚部和实部 华北电力大学硕士学位论文 服从正态分布。但是，针对中国的实际情况，一个供电臂上允许3 4 辆机车运行。 文献 3 7 已经证明基于b n d ( 二维正态模型) ，即使机车数目小也同样可以达到令人 满意的效果。而对于3 、5 次谐波的叠加，由于机车在处于工作状态时所产生的3 、 5 次谐波电流的相位和幅值是呈现椭圆分布而且相位不均匀分布于4 个象限，而是 较为密集地出现在两个象限。可利用概率方法得出单台机车的谐波电流特性，在多 个谐波源在某次谐波处于同一分布时，可运用二维正态分布模型来处理多谐波源的 叠加问题。同时对椭圆进行坐标平移，使坐标原点位于椭圆中心，便于计算和推导。 这种方法中的常数c ( 椭圆长轴和短轴之比) 的取值直接关系到均值和方差的大小 变化，从而影响到对谐波电流9 5 概率值的计算结果。 文献 3 8 基于大量牵引负载谐波实测数据，对牵引负载谐波的分布特征进行 了分析，并采用最佳平方逼近法对牵引负载谐波概率密度函数进行了曲线拟合，得 到了牵引负载谐波的概率模型。 文献 3 9 利用基于最小二乘法的正交多项式级数来逼近谐波的概率密度函数 并估计其9 5 不超过概率值。根据电力谐波测量样本统计样本的阶矩( 原点矩) ；对 于多变量或多矢量求和，首先建立求和模型，在统计出分量阶矩的基础上通过递归 方法计算和的阶矩。基于最小二乘法的思想，确定逼近的正交多项式级数展开中的 待定系数。这种方法不要求谐波的幅值和相位具有某种特定分布，适用范围广。 文献 4 0 4 1 4 2 提出一种利用拉盖尔( l a g u e r r e ) 多项式进行求多谐波源和 的幅值的概率密度函数，这种方法只要求得各随机谐波矢量在x - y 分量的2 k 阶矩， 并由此递推矢量和的2 k 阶矩，根据拉盖尔多项式构造平方和的概率密度函数，此 方法不受使用拉盖尔多项式拟合概率密度函数时只限于在0 - 2 万展开或推广到同 分布随机矢量求和的限制。对于电力系统谐波而言，随机变量k 阶矩可从测量或从 系统、非线性负荷运行特征导出。此方法不受使用拉盖尔多项式拟合概率密度函数 时只限于在o h 2 万展开或推广到同分布随机矢量求和的限制，但是也存在一些问 题。由于拉盖尔多项式是具有无穷项，而实际计算的表达式为有限项，计算时会产 生截断误差。为了减少误差，引入尺度因子，但尺度因子的取值条件没有明确给出， 采集多少个数据才可以得到比较准确的2 k 阶矩也没有一个准确的界定。 另一方面，国内对电气化铁道产生的谐波电流也进行了大量研究。对谐波电流 进行分析的方法主要有实测法和仿真法。 实测法即根据实测值进行数据处理。1 9 8 4 年铁道部科学研究院机车车辆研究所 通过在石板滩、养马河等牵引变电所安装测量装置来得到牵引负荷的功率因数和谐 波特性，并以此为依据投入并补装置。1 9 8 7 年，铁道部科学研究院和原水利电力部 联合推出了谐波计算程序，以测量结构为主进行数据的处理。国外在研究牵引负荷 谐波时采用了实测法n 3 “1 进行研究，而实测法的主要缺点时投资大、周期长、缺乏 华北电力大学硕士学位论文 灵活性，而且通用性也不太好。 仿真法即通过建立数学模型进行仿真分析。文献 4 5 、 4 6 采用分段时域分析 法，把一个导通周期分成相应的导通时段，对各时段建立的非线性方程组采用牛顿 一拉夫逊法进行迭代求解得到电流随时间的函数关系。然后对其进行快速傅立叶变 换( f f t ) 求出牵引电机回路的谐波含量。分段时域分析法要求对各时段建立微分方 程，且既要考虑电力机车段内换相过程还要考虑段间换相过程，分析比较复杂，同 时牛顿一拉夫逊法对求解初值的要求比较严格。 就建立国内主要电力机车谐波电流数学模型而言，8 0 年代初山西电力实验研究 所的吕润馀在该领域进行了深入的研究，并用实测法进行了验证。但是他建立的韶 山l 型电力机车谐波电流模型与实际相比还有差异。主要体现在他未考虑因为变压 器副边漏抗而引起的整流回路的换相过程，此外该模型中未考虑串励电动机的特 性，将电动机反电势看成一个常数。安康供电局的许后荣对韶山1 型电力机车的稳 态谐波电流做了分析，编制了计算韶山1 型电力机车谐波电流的程序。在其建立的 数学模型中考虑了整流变压器的漏抗和机车以外的系统等值阻抗，但他未考虑串励 电动机的励磁特性。西安交通大学的李建华和夏道止提出了一种求解韶山1 型电力 机车在电力系统中引起谐波的准确计算方法h 。该方法较全面的考虑了机车整流变 压器原副边的漏抗以及整流回路中各元件的参数，但该方法没有考虑电动机削弱磁 场后对反电势的影响。此外还对国产韶山系列的3 型和4 型电力机车的谐波电流特 性做了大量的研究工作h 町h 町咖1 。华北电力大学的学者建立了较为完善的韶山4 型电 力机车模型，详细分析了机车四段桥的导通和换相过程，该模型考虑了司机台手柄 位置与整流回路电压电流的关系，用牛顿拉夫逊方法迭代求解机车主电路的各段调 节过程产生的谐波电流。 文献 4 8 、 5 1 和 5 2 利用m a t l a b 软件平台的仿真软件s i m u l i n k 建立了电力 机车数字仿真模型，并利用d s p 工具箱的f f t 函数对电流进行f f t 。这种方法的不 足是电力机车工作在不同段时，要修改其仿真电路图。利用p s c a d e m t d c 仿真软件 很好的解决了这个问题。通过仿真软件上的自定义元件，利用编程语言f o r t r a n 7 7 对其中的控制策略编程，便可以在同一个仿真电路下完成电力机车在不同段时的工 作过程仿真。 1 3 本文完成的主要工作 本文首先对现有多谐波源随机谐波电流叠加的方法进行分析，总结了各类方法 的优点与不足。对于每个谐波源相角具有不同分布时的求和问题，提出了新的解决 方法。 1 本文提出了一种处理电力系统中具有不同相角分布特点的随机谐波矢量叠 华北电力大学硕士学位论文 加问题的新方法。利用高斯混合模型求取多个谐波源叠加后的概率密度函数，进而 估计谐波叠加之和的9 5 概率大值。对于电弧炉、电气化铁道牵引负荷等谐波概率 密度分布波动比较大的情况，采用高斯混合模型能很好解决相应的谐波源叠加问 题。 2 本文在p s c a d e m t d c 平台上建立了s s 6 b 型电力车谐波电流的仿真计算模型， 为文中所提算法提供可靠的谐波电流数据。该仿真模型省去了机车在不同运行时段 要建立不同仿真模型的问题，可通过改变机车的级位和速度实现对机车的控制。 3 在理论分析的基础上，进行了仿真验证。首先通过机车仿真模型，得到机车 产生的随机谐波电流，在多台电力机车运行的情况下，利用高斯混合模型法对谐波 电流进行叠加计算，仿真结果表明了该方法的合理性。利用所提方法对山西某电气 化铁道某牵引变电所实测电流数据进行分析，计算结果与实测值相近。 4 针对某地区多电弧炉运行时所产生谐波实际情况，通过高斯混合模型法对谐 波电流进行叠加计算，解决了谐波相角具有不同分布时的求和问题。其结果与实测 值一致，证明了所提方法的有效性。 华北电力大学硕士学位论文 第二章多谐波源叠加问题分析研究 电力系统中，由于非线性负荷的参数、开关状态、运行方式的变化等都是随机 的，因而产生的谐波电流具有随机性。电力系统中不可能在所有节点位置安装谐波 检测装置，通常对未测节点用随机矢量求和的方法进行评估，电力系统任何点上的 谐波电流实际上是每个谐波源的各个分量矢量相加的结果。多谐波源共同作用时， 系统各点的谐波电压和谐波电流不仅与注入源的量值有关，而且与其初相位也有 关。如果注入源的相位能事先确定，直接求解也就成为可能。但由于非线性负荷的 相位不能确定，且具有时变特征，所以不能简单地把它们相加，本章对现有的多谐 波源谐波电流叠加方法进行了研究。 2 1 简单线性合成 为了对注入电力系统的谐波进行限制，国标g b t 1 4 5 4 9 - 9 3 电能质量公用电网 谐波规定了电力用户注入电力系统谐波的限值。国标发布后，国家质量技术监督 局于2 0 0 0 年又发布了国家标准化指导性技术文件6 b z1 7 6 2 5 4 - 2 0 0 0 电磁兼容限 值中、高压电力系统中畸变负荷发射限值的评估( i d ti e c 6 1 0 0 0 3 - 6 ：1 9 9 6 ，为区 别于国标c b i t1 4 5 4 9 - 9 3 ，以下简称i e c 报告) ，对电力系统中由各种负荷共同产生 的谐波叠加进行了规定。i e c 报告提出了两种解决随机谐波求和的方法。第一种叠 加法则应用起来比较简单，第二种则是更通用的叠加法则。 2 1 1 第一种叠加法则 第一种叠加法则是一种使用差异因数，进行简单线性合成的方法： “= 。+ ( 2 一1 ) ， 式( 2 - 1 ) 中，巩。是第f 个谐波源负荷未接入前供电网络中的背景谐波电压； 玑，是第f 个谐波源产生的谐波电压； 屯，是第h 次谐波的差异因数。 差异因数七。，的大小与下列因素有关： ( 1 ) 设备的种类 ( 2 ) 谐波次数 ( 3 ) 设备的额定功率和在p c c 处的短路功率的比值 后。，的具体取值见表2 1 。 华北电力大学硕士学位论文 h一般情况带容性滤波的不可控整流群 s ，j s ，c 3571 11 31 71 93571 l1 31 71 9 0 0 0 lo 3o 1o 1o 1o 11 o0 9o 60 30 2o 1o 1 0 0 0 2 0 4o 30 2o 1 0 1 1 o1 o 0 9 0 60 4 0 30 2 0 2 0 0 0 5o 60 5o 30 。20 21 01 o1 o0 90 70 50 40 30 3 0 0 1 00 70 70 50 4o 40 31 01 01 00 80 70 60 40 4 0 0 2 0 0 9 o 80 70 6o 6o 50 51 o1 o0 9o 8 0 8 0 60 6 0 0 5 01 01 o1 01 01 o1 o1 01 o1 o1 01 01 01 o1 o 该方法的精确程度关键在于差异因数k 的选取，表2 1 给出差异因数的选取情 况有限，且误差较大，在相关的文献中并没有找到关于电弧炉负荷的吒，。该叠加法 则的特点是简便易用，而第二种叠加法则更为通用。 2 1 2 第二种叠加法则 根据经验，总结出了更为通用的谐波电压和电流叠加方法，对谐波电流采用更 一般的求和计算，谐波合成如式( 2 - 2 ) 所示。 l x2 祜 ( 2 - 2 ) 其中，厶为所有谐波源第h 次谐波合成的电流幅值； l ，为第i 个用户发送的h 次谐波电流幅值； 口为合成系数，主要取决于两个因素： ( 1 ) 对不超过计算值的实际值所选择的概率值； ( 2 ) 各次谐波电压的幅值和相位随机变化的程度。 精确程度的高低关键在于合成系数口的选取，i e c6 1 0 0 0 3 6 由表2 2 给出了3 种情况的口，其前提是谐波电流( 电压) 的相角分布必须从0 开始并具有相同分布。 表2 2 谐波合成系数口值 口值谐波次数 lh 1 0 当己知谐波可能是同相( 即相角差小于9 0 。) 时，对5 次及以上谐波应该用指数 口= 1 。 第二种算法比较简单实用，对于电弧炉负荷谐波电流合成，一些文献针对合成 华北电力大学硕士学位论文 系数口提出了一些建议，并提供了合成系数口的值作为参考。文献【2 0 认为对于电 弧炉系统合成系数口的取值应在于1 5 到2 或3 之间，不同的谐波次数其值应不同； 文献【2 1 】给出了多个电弧炉合成指数经验值，文献中用列表的方式给出了不超过9 5 和9 9 概率值的合成系数。 以上叠加法则中的谐波叠加系数是在同概率分布的情况下选择的，即幅值和相 位角有相同的变化范围与概率分布特征，当各个谐波分布特征不一致时，使用求和 系数方法会产生较大误差。 2 1 3 前两种方法的综合 综合i e c6 1 0 0 0 3 6 提供的两种算法的优缺点，文献【2 2 】提出了一种新的合成方 法： i k 武露 ( 2 3 ) 文献【2 2 】对于个谐波向量的不同情况( 1 、个谐波向量具有相同最大幅值； 2 、个谐波向量具有不同最大幅值；3 、一般情况数字统计分配) 给出k 和口的参 考值。 2 1 4 国标推荐方法 国标指出，当电网中两个谐波源分别产生的同次谐波九及如之间相位角o h 确 定时，其合成的同次谐波为： m = 氍+ 雒+ 2 4 f 以，c o s o h ( 2 - 4 ) 但由于许多情况下谐波电压或谐波电流相位关系都具有随机性，因而使合成的 同次谐波向量的幅值也具有很大的不确定性。 当两谐波源之间相位角不确定时，可用下式进行合成计算： m = 鬈+ 雒+ 以f 如 ( 2 5 ) 式( 2 - 5 ) 中，系数毛如表2 - 3 所列。 h357l l1 39 1 3 偶次 k h1 6 2 1 2 8o 7 2o 1 80 0 800o 两个以上同次谐波叠加时，首先将两个谐波叠加，然后再与第3 个谐波叠加， 以此类推。 在实际的电力系统中，网络中谐波源众多，非线性负荷的参数、开关状态、运 行方式的变化都是随机的，且负荷由于工艺流程的变化随时间变化，因而谐波源的 大小和相位都是变化的。实际上，大量现场测试表明，谐波源所产生的谐波电流随 时间变化呈非平稳的随机过程，且在同一个网络中各谐波源所产生的谐波电流具有 华北电力大学硕士学位论文 相关性。多个谐波源同时作用于电网时，它们完全可能存在相互抵消因素，这又恰 恰是最难详尽分析的。如果按照式( 2 5 ) 来计算多谐波源网络谐波电流和谐波电压， 其计算结果往往偏离实际值，造成计算结果偏大。 基于电力系统谐波的随机性，采用随机过程方法对谐波进行研究获得了广泛的 认同随3 哺1 。但是在这些文献中，无论采取笛卡儿坐标还是极坐标方法，对如何获得 关键的特征参数概率密度分布函数均未做详细的阐述。简单实用的特征参数概率密 度函数可以极大地方便对谐波的研究。 应用i e c 等国际标准及建议利用统计的方法综合的描述谐波的概率密度函数， 特别是9 5 概率大值，分析和计算9 5 概率大值需要知道随机谐波电压和电流完整 的概率密度函数，而这是不容易简单快速得到的。假设幅值与相角相互独立，而主 要关心幅值是否越限，利用一些近似的方法，可以用少量的统计量得到近似的值。 2 2 蒙特卡洛法 蒙特卡洛( m o n t ec a r l o ，m c ) 法，又称随机抽样技巧或统计试验方法，即通过产 生与随机变量具有一切相同统计特性的一定容量的样本数据，而将概率领域的问题 转换到代数领域，避免了解析法中解决随机变量之间相关性的问题，也避免了繁冗 的卷积积分。其基本思想为：对己知某种概率分布( 概率密度函数或概率分布函数) 的随机变量，获得一定容量的样本数据，使其与该分布的总体具有一切相同的统计 特性。这一方法的理论基础是一个随机变量的性质完全可以用其概率分布的密度函 数或一些样本数据来表示。该方法的基本原理基于统计学中的贝努利大数定律。 2 2 1 蒙特卡洛法基本模型 设电网中存在m 个谐波源，令d k ( k = 1 ，2 ，m ) 表示谐波源的随机相位，第i 次 试验相位样本值可定义为： ( 2 6 ) j ( 1 9 i ) 表示在谚= ( 仍，仍，) m 时的谐波电流分布。这里j = 【，l r ，1 1 为节 点数。 若( 臼) 表示秒的相位分布密度，则积分 即 = f oi (o)f(o)do(2-7) 表示谐波电流平均分布水平。用概率语言说，( j ) 就是随机变量j ( 秒) 的数学期望， “川，j 缈y ， 七 i 一慨 ，”“ 彤。纠 = ( ) = 幺 研“ 华北电力大学硕士学位论文 = e 1 p )( 2 - 8 ) 若进行n 次抽样试验，相位样本空间为 舅，岛，氏 ，则当n 比较大时就认为n 次试验电流分布的平均值为 一 1 二 厶= 吉，( 以) v p i 这就相当好地表示了实际谐波电流分布，l 是 的一个估计量。 m o n t ec a r l o 法适用于各矢量相位均匀分布的要求，在实际应用中，为了满足 相位均匀分布的要求，计算时可在计算机上产生伪随机数量【o ，l 】，相应随机相位 为仍- - - 2 鸦，仍【o ，2 万】。 2 2 2 蒙特卡洛法的收敛性和误差估计 由大数定律知，如果随机变数序列 ，( 幺) ，l = 1 ，2 ，) 相互独立，同时分布期望值 存在，则有 p 、l i m 。i m = 即) = l ( 2 10 ) 即随机变量z ( o ) 的简单子样算术平均值在行专时以概率1 收敛到e ( i ) 。 按照中心极限定理，当刀寸时，可以推导出不等式l 瓦一e ( 驯 x 。o - 以频 率l 一口成立，即 l i e p p 驯 等) ：l _ 口 ( 2 1 1 ) 通常口称为置信度，卜口称为置信水平，口与以相对应，对式2 1 1 表明瓦收 敛到的e ( ，) 速度阶为d ( 打) ，仃为标准差。如果o r o 由上面的不等式知，m c 法的 误差为： 占= x 口a 4 n ( 2 一1 2 ) 如前所述，只有当n 充分大时，才可以得到比较好的随机量估计值，计算流程 见下图，a n 为每组的抽样数目，e p s 为给定误差。可以看出，蒙特卡罗法的收敛精 度是与抽样次数成反比，抽样次数足够大时，可保证其达到所需的精度要求。但该 方法必须基于大样本，计算量大，耗时多。 2 。2 3 蒙特卡洛法的实现 初始化包括：电流j ( 口) 的数学期望初值e j 、方差初值历及电流样本值n 的设 置。循环终止条件可依据式( 2 - 1 3 ) 设定。 占 喜 相对误差露= 以矿，( _ 厕) n 毒 | r e t u r n l 图2 - i 蒙特卡洛法流程图 1 3 华北电力大学硕士学位论文 2 3 基于中心极限定理的概率分析法 = 如+ - ，= x + j y ( 2 1 3 ) q = 高 掣一一+ 警 倍 胁= ，所= 鳓 ( 2 - 1 6 ) 1 6 ) 胁2 己，所2 己鳓 【2 。 = ( 喜2 ) l ，2 ，吒= ( 姜c r r 2 2 c 2 - 7 ， 胪百c o v ( x , r ) 2 简i = 1 新 陋1 8 ) z ( ，) = e 厅厶p c o s 0 ，s i n o ) r d o ( 2 1 9 ) 华北电力大学硕士学位论文 2 4 基于拉盖尔多项式求和法 2 4 1 拉盖尔多项式数学模型 文献 4 0 4 1 4 2 提出一种利用拉盖尔( l a g u e r r e ) 多项式进行求多谐波源和 的幅值的概率密度函数，这种方法只要求得各随机谐波矢量在x - y 分量的2 k 阶矩， 并由此递推矢量和的2 k 阶矩，根据拉盖尔多项式构造平方和的概率密度函数，此 方法不受使用拉盖尔多项式拟合概率密度函数时只限于在0 2 万展开或推广到同 分布随机矢量求和的限制。 设有n 个相互独立的幅值为4 、相角为谚的随机矢量，其中4 为正的随机变量 并与谚相互独立，这n 个随机矢量之和为： a e = 4 = x + j y ( 2 - 2 0 ) i = l 式( 2 2 0 ) 中：a 、矽分别为n 个相互独立的随机矢量合成后的幅值和相角；x 、y 为其x - y 轴正交分解得到的分量。 z ( 口) = p 1 q 乞( 口) ( 2 - 2 1 ) 啪毙( - o _ m ! a 。 弘2 2 ， 2 献讲一叭，v t j c d 厶( 口) 匕( 口) 幽= 薹c 坍j c o e l ( 口) l ( 口) 如 ( 2 - 2 3 ) j c o p l 厶( 口) 乙( 口) = 三】：；j ： ( 2 2 4 ) 华北电力大学硕士学位论文 q 一h 陋厕 = 挚螋型“ 。 怠( 肼一七) ! ( 七! ) 到4 式中，以= 曩 矿 是s 的七阶距，e hn 个随机变量之和得到。 。2 t 妻( 志w ) f _ 2 3 ，朋1 ，q 伽 式( 2 2 7 ) 中，m = t ，a t 是第，个随机变量的后次阶矩；鸬一。m 是z 1 个随机 。i = 1 ( 2 2 8 ) 1 鸬m ) ：2 k “屹。) ( 2 - 2 9 ) 华北电力大学硕士学位论文 根据得到的x - y 轴方向分量和的p d f ，在其定义域内根据定的步长，分别均 匀选取加和甩个点，根据口：0 7 可，口为合成后幅值的一个取值，x 和y 为分量 和的一个取值，进一步求得两个随机矢量幅值和的k 阶矩, u z ： 鸬t ) - 羔窆厶( 五) 五( 咒) ( - 爵) 扛l 户l ( 2 3 0 ) 将式( 2 - 3 0 ) 代入式( 2 2 2 ) 、式( 2 - 2 6 ) ，即可得到和的幅值的p d f 。 对于电力系统谐波而言，随机变量k 阶矩可从测量或从系统、非线性负荷运行特征 导出。该方法可以得到比较准确的概率密度函数，但是也存在一些问题，如采集的数据 太少，不能得到准确的k 阶矩。而且，由于拉盖尔多项式是具有无穷项，而实际计算的 表达式为有限项，计算时会产生截断误差。为了减少误差，引入尺度因子，但尺度因子 的取值条件没有明确给出，采集多少个数据才可以得到比较准确k 阶矩也没有一个准确 的界定。 华北电力大学硕士学位论文 第三章基于高斯混合模型的多谐波源叠加方法 3 1 谐波电流矢量求和的数学模型 电力系统任何点上的谐波电流实际上是每个谐波源的各个分量矢量相加的结 果。多个随机谐波源求和实际上是多个同频率正弦谐波分量叠加，任何随机正弦信 号都可以看作幅值和相角随机变化的矢量，所以可以看成多个随机矢量求和，不考 虑其各种具体的应用，可以把它归纳为一种常见的数学问题多随机矢量求和。 设有r 1 个相互独立的幅值为4 相角为旃的随机矢量，这刀个随机矢量之和： a e 舻= 4 d = x + j y ( 3 1 ) 一 、一7 i = l 式( 3 1 ) 中x 和l ，分别为r 1 个随机矢量之和正交分解得到的实部与虚部。 以某次谐波电流为例，由概率论的知识可以知道在通常的情况下是不可以用两 个边缘概率密度函数来表达该次电流矢量的统计特性，只有在比较特殊的情况下， 即x 和】，相互独立时，其联合概率密度函数可以由两个边缘概率密度函数来描述： 厶= 六一 ( 3 - 2 ) 式( 3 2 ) 中，六，五分别为x 和】，的概率密度函数。要使用x 和y 的联合概率密 度函数，来确定随机矢量之和的变化规律。 然而这种统计学上的假设x 和】，相互独立是很难验证的。所以，我们把两维的 问题转移到一维空间上讨论，求随机矢量叠加之和的幅值的概率密度函