（基础数学专业论文）sierpinski地毯和sierpinski正方体海绵的hausdorff测度上界估计.pdf

s i e r p i n s k i 地毯和s i e r p i n s k i 正方体海绵 的h a u s d o r f f 测度上界估计 专业：基础数学 研究生：卓科指导教师：周吉( 教授) 摘要：本文分四个部分：第一部分主要介绍分形几何的产生和发展，以及分形 集构造和研究方法；第二部分回顾了h a u s d o r f f 测度和维数的基础知识；第三 部分给出了s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度的一个上界估计 日5 ( e ) 1 3 8 4 9 7 4 6 8 7 8 2 ；第四部分对s i e r p i n s k i 正方体海绵的h a u s d o r f f ；1 9 1 y 度进 行了讨论，得到日5 ( e ) 3 0 5 5 8 7 4 2 2 关键词：自相似集；h a u s d o r f f 测度；h a u s d o r f f 维数；s i e r p i n s k i 地毯； s i e r p i n s k i 正方体海绵 第i 页。共2 5 页 u p p e r b o u n de s t i m a t e so fh a u s d o r f f m e a s u r e so ft h es i e r p i n s k ic a r p e t a n dt h es i e r p i n s k ic u b es p o n g e g r a d u a t e ：z h u ok e s u p e r v i s o r ：z h o uj i a b s t r a c t ：t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t of o u rp a r t s ：t h ef i r s tp a r tc o n c e r n sh i s t o r yo f f r a c t a lg e o m e t r y , s o m ec o n s t r u c t i o na n dr e s e a r c hm e t h o d so ff r a c t a ls e t s t h e s e c o n dp a r tg i v e st h eh a u s d o r f fm e a s u r ea n dd i m e n s i o no ff r a c t a l s ；t h et h i r dp a r t i st oe s t i m a t eu p p e rb o u n d sf o rt h eh a u s d o r f fm e a s u r eo ft h e s i e r p i n s k ic a r p e t 日5 ( e ) 1 3 8 4 9 7 4 6 8 7 8 2 ；t h ef o u r t hp a r to b t a i n sau p p e rb o u n df o rt h eh a u s d o r f f m e a s u r eo fs i e r p i n s k ic u b es p o n g eh 5 ( ) 3 0 5 5 8 7 4 2 2 k e yw o r d s ：s e l f - s i m i l a rs e t ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；h a u s d o r f fm e a s u r e ，s i e r p i n s k i c a r p e t ；s i e r p i n s k ic u b es p o n g e 第i i 页共2 5 页 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师固直指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律 结果由本人承担。 本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库供检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：嘉 签- 7 - 日期：矽，o 年簟月 牙舛 导师签名闰方 占日 签字日期：加f 。年午月7 日 引言 现实生活中有很多不规则的几何图形，如云彩的边界、海岸线、雪花、大 山的轮廓和地图的边缘这些几何图形难以用经典几何中的光滑曲线、光滑曲面 来描述，也就是说不能用经典的微积分方法来研究的这些集类和函数类，这些 不光滑的、不规则的集类和函数类一度被认为是“病态”的，不值得对它们们 进行研究，因而无人理睬这些年来，大家对这些不光滑的、不规则的集类和 函数类的态度也发生了明显的变化，大家已经意识到：不光滑现象不仅可以进 行详细的数学描述，而且还可以进行有意义的描述，因为这些不规则集能更好 的反映许多自然现象分形几何学则是研究不规则的图形和描述自然界问题形 态结构的- - f 3 新的几何学，是二十世纪八十年代初期由数学家m a n d e l b r o t 创 立n 3 分形几何的创立标志着人类的认识由规则的形态进入不规则的形态，以 研究不规则的几何图形为研究对象，借助于各种数学工具来刻画这种不规则 性 分形几何以不规则的几何图形为研究对象，一方面，这些对象不能用经典 几何来处理，另一方面，这些对象又应有某些“较好”的性质一般来说他们具 有下列特征： ( 1 ) 具有精细的结构，即它们有对应任意小尺度下的细节这样它们的复 杂性不随尺度的减小而消失 ( 2 ) 它们是如此的不规则的从整体上看，它们既不是满足某些简单的几 何条件的点轨迹，也不能作为任一简单方程( 组) 的解集从局部上看，不能用 切线来描述 ( 3 ) 它们的“分形维数”( 以某种方式定义) 通常严格大于它的拓扑维数 ( 4 ) 通常它们具有某种自相似或自仿射性等 ( 5 ) 它们的定义非常直接常常可由迭代产生 如我们熟知的三分c a n t o r 集、v o nk o c h 曲线、s i e r p i n s k i 垫片和s i e r p i n s k i 地毯等 对于几何图形我们关心的是怎样度量它度量分形的参数是分形的维数和 第1 页。共2 5 页 测度目前有很多维数的定义，如：h a u s d o r f f 维数、计盒维数、填充维数等测 度的定义有：h a u s d o r f f 测度、m i n k o w s k i 测度等【2 】 在分形几何中，大家一直在努力计算分形集的维数和测度维数的计算要 相对容易一些，但h a u s d o r f f 测度的计算就非常困难，到目前为止，只计算出了 几个简单的自相似集的h a u s d o r f f 测度，如：三分c a n t o r 集，计算出了相似比 a 1 4 ，1 3 ) 的泛s i e r p i n s k i 垫片的精确h a u s d o r f f $ , u 度【3 】给出了直线上m a r i o n 集的h a u s d o r f f 测度的个有效计算方法，并通过几个实例得出如何利用此方 法计算出直线上分形的h a u s d o r f f 测度的精确值【4 】也计算出了一种s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 钡, q 度的精确值【5 】但是绝大部分分形集至今还没有有效的办法 计算在文献 6 】中，已经解决了s i e r p i n s k i 垫片的最大密度的存在性问题，但是 我们还是没能得到很多自相似集的h a u s d o r f f 测度的精确值，还没有找到一个 很好的方法来寻找取最大密度的凸集即使是一些简单的自相似集要估计它的 h a u s d o r f f 测度。也有不小的难度 第2 页。共2 5 页 第一章绪论 分形几何作为一门独立的学科是在上世纪七、八十年代研究对象是自然 界和社会活动中看似复杂无序，而又具有某种规律的系统如物理学中的湍 流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，大到木星大气 中的涡流，都是十分紊乱的流体运动研究它们，就需要用分形几何学 由于在物理学，生物学，动力学等广泛的应用，近些年分形几何得到了飞速的 发展 1 1分形几何的产生与发展 起源于二十世纪的非线性混沌与分形理论，n - 十世纪八十年代得到充分 的发展这一理论很好的揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一， 被认为是继相对论、量子力学之后，二十世纪人类认识世界和改造世界的 最富有创造性的第三次革命i l j 1 7 j 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次结构，在理想情况 下，甚至具有无穷层次适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改 变少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量用尺来测 量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长从而产生了特征 长度还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多 尺度( 或者叫标度) ，这叫做“无标度性”的问题 在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗( b b m a n d e l b r o t ) 在他 的著作中探讨了“英国的海岸线有多长? 果用公里作测量单位，从几 米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加， 但是一些厘米量级以下的就不能反映出来于涨潮落潮使海岸线的水陆分 界线具有各种层次的不规则性岸线在大小两个方向都有自然的限制，取 不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来。得到海岸线长度 的一种下界用比这更长的尺度是没有意义的有海沙石的最小尺度是原 第3 页共2 5 页 子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的在这两个自然限度之间， 存在着可以变化许多个数量级的“无标度区，长度不是海岸线的定量 特征，就要用分形维数 定义设分成的最小的闭集( 区间，圆面，球体) 占全集的坛，充满 v 1 n r 全集的最小闭集的个数为n ，若极限d = 1 i m 兰存在，则称d 为此集合 d _ o i n d 的分形维数 数学家柯赫( k o c h ) 从一个正方形的“岛出发，始终保持面积不变， 把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大 以后可以看到，分形维数才是“k o c h 岛 海岸线的确切特征量，即海岸 线的分形维数均介于1 到2 之间数和测量有着密切的关系，经过计算 “寇赫岛”曲线的豪斯多夫维数( 分行维数) d = i n 气。1 2 6 1 8 5 9 5 0 7 1 电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门座具有无穷层 次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使 数学家和科学家深入研究 法国数学家b b m a n d e l b r o t 这位计算机和数学兼通的人物，对分形几 何产生了重大的推动作用在1 9 7 5 、1 9 7 7 和1 9 8 2 年先后用法文和英文出版 了三本书，特别是分形：形、机遇和维数以及自然界中的分形几何 学( f r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ) ) ) ，开创了新的数学分支：分形几何学“分 形”( f r a c t a l ) 这个词正是芒德勃罗在1 9 7 5 年提出来的，词根是拉丁文的 “f r a c t u s ”是“破碎”的意思 1 2 分形的应用 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用如布朗运动，这是 花粉在大量液体分子的无规则碰撞( 每秒钟多达十亿亿次) 下表现的平均 行为朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成要有足够的分辨率，就可 以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成这是 一种处处连续，但又处处无导数的曲线 第4 页共2 5 页 在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝 形状向外增长到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物， 不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分 维 自然界中更大的尺度上也存在分形对象枝粗干可以分出不规则的枝 权，每个枝权继续分为细杈，至少有十几次分支的层次，可以用分 形几何学去测量 有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从l 公里到1 0 0 0 公 里的无标度区于l 公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1 0 0 0 公里时， 地球曲率开始起作用小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数 量级的无标度区，这已经足够了形存在于这中间区域 近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验 中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维学 会从实验数据测算分维是最近的一大进展形几何学在物理学、生物学上 的应用也正在成为有充实内容的研究领域 1 3 对分形的研究 式： 近年来主要从事下面两个方面的研究【7 h 1 0 】 分形集的构造与刻画要研究是各种分形集的构造，主要有三种形 1 有解析式著名的w e i e r s t r a s s 型函数 2 1 递归产生的函数曲线 ( a ) 几何递归，如v o nk o c h 曲线等： ( b ) 函数递归，这方面最具有代表性就是分形插值函数 ( f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s ，f i f s ) 关于f i f s 的 理论与应用方面的研究工作已有很多，但有很多问题还是 没有解决何递归与函数递归本质上是一致的，在一定条件 下可以相互转化 第5 页共2 5 页 3 算术分形，用算数方法产生的分形函数，主要由p 一进位小数来定 义的b u s h 型函数 目前刻画分形集的方法还是只有靠分形的维数和豪斯多夫测度来刻画 1 4 本文主要内容 从豪斯多夫测度的定义出发，估计了两个分形集( 一种s i e r p i n s k i 地毯 和一种s i e r p i n s k i 正方体海绵) 的豪斯多夫测度的上界 第6 页，共2 5 页 第二章h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数 2 1h a u s d o r f a c 测度 回顾一下，如果【，为刀维欧几里得空间尺”中非空子集，u 的直径定义为： u i = s u p lx yi ：x ，y eu ) ， 即u 内任何两点距离的最大值如果 u i ) 是可数( 或有限) 多个直径不超过6 且覆 盖f 的集类：即fcu u i 且对任意f ，都有0 0 ，集合的s 维h a u s d o r f f 钡t j 度满足下面的性质【2 】： ( 1 ) 单调性：当fce 时，日5 ( f ) h 5 ( e ) ( 2 ) 半可列可加性：对r ”中的子集族 互l f _ 1 ，2 ，3 ， ，有 h 5 ( u e ，) 日5 ( 巨) i = 1 s = l 命题2 1 【2 1 设s 0 ，f 是r ”的子集，2 0 则 日5 ( 肛) 2 。h 5 ( f ) 这里肛= 2 x ：x ，即尸按比例放大五倍 命题2 2 f 2 1 设，cr ”，f ：f r 肼为一映射，使得对常数c 0 ，口 0 ，有 i f ( x ) - f ( y ) i 0 有 日勉( 厂( f ) ) c 允日5 ( f ) 第7 页共2 5 页 2 2h a u s d o r f f 维数 从方程( 1 1 ) 容易看出：对任何给定的集f cr ”和万 j 且 配) 为肭馐盖，则有 l l i r 5i 以1 5 ”i f 取下确界得：7 ( f ) 童一5 彤( 户) 令万一o ，可见对手f 5 ，若日5 ( f ) 0 ，则h 5 ( f ) = 佃所以h 5 ( f ) 关于s 的变化表明：存在 s 的一个临界点使得h ( f ) 从“跳跃”到0 这个临界值称为f 的豪斯多夫 维数，记为d i m hf 这个定义可以用下列表达式： d i m hf = i n f s 0 ：h ( f ) = 0 = s u p s ：h 3 ( ，) = 一 所以： 啪= 信翥三竺 该定义可在文献 1 1 中找到下面的性质、命题和推论均可在文献 2 中找 到 豪斯多夫维数满足下面的性质： ( 1 ) 单调性：若e c f ，则d i m 日e d i m 日f ： ( 2 ) 可数稳定性：如e ，e 为一( 可数) 集序列，则 d i m 圩u f = s u p d i m 胃e ) ： ( 3 ) 可数集：若f 是可数的，则d i m hf = 0 ：实际上，若巧是一单点， 贝, i jh o ( f ) = l ，即d i m 日e = 0 ，所以由可数稳定性，即有 d i m u f = o ： ( 4 ) 开集：若fcr ”为开集，则d i m hf = n ： ( 5 ) 光滑集：若f 为尺“中的m 维光滑流形，则d i m 日f = m 第8 页，共2 5 页 命题2 3 设fc r ”，f ：f 一只肌满足h 6 l d e r 条件 i f ( x ) - f ( y ) c i x - y i 口( x ，y ef ) 则d i m f ( f ) - - d i m 何f “ 推论2 4 ( a ) 若厂：f 叶r ”为李卜希茨变换( 见命题1 2 ) ，则 d i m f ( f ) d i m f ( b ) 若f ：f _ r ”为双李卜希茨变换，即 c lf 工一y f f 厂( 工) 一f ( y ) | c 2i z y f ( 工，y ef ) 其中0 c 1 c 2 ，贝j jd i m f ( f ) = d i m f 命题2 5 设fc r ”，且d i m hf 0 令 劈( f ) = s u p ；l 忍卜 e 是球心在f 上，半径最大为a 互不相交的球) 因为g ( f ) 随万减少而递减，所以极限昂( f ) = l j i r a 。乓( 尸) 存在，设 r一1 p ( ，) = i i l f g ( c ) ：f c o f i l if j 称p ( f ) 为5 维填充测度，相应的填充维数定义为 d i m p f = i n f s ：p 5 ( ，) = 0 = s u p s ：p 5 ( ，) = o o 2 4 计算维数的基本方法 命题2 6设，可以由n k 个直径最大为暝的集覆盖，且当k 一一时， 反一0 则 m n f - d i m 口咫忑l i m 也i n n 瓦k 而且，如果当k 一时，薛保持有界，则日5 ( ，) o o ：又若当反一0 时，存 第1 0 页，共2 5 页 在。 0 ， 使得对任意满足l u i p ( f ) c 覆盖引理：设c 是在r ”的有界区域内的球族，则存在( 有限或可数) 不交 的子球族 e ) 使得： u bc u 耳 艉cf 其中耷是与e 同心，且半径为骂的4 倍的闭球 命题2 7 设是r ”上的质量分布，f c r ”是波雷尔集，又设0 c 0 ，那么h 5 ( s n u ) - 1u 卜由于s o 是凸集， 所以它和任何集合的直径就等于它闭包的直径，因此，只需要考虑s o 上的闭 凸集，则 - = s u p 圭篙旱旦：uc 犬2 是闭凸集) = s u p 兰篙早盟：uc & 是闭凸集 由赶而f l ( u ) = 篙产丽1 ，定义其被为： 删，= 钾 所以，要计算一个自相似集的h a u s d o r f f 测度，就只需要计算 s u p p ( u ) ：魄闭凸集) 的值 实际上在计算时就是要找一个合适的最大凸集去覆盖图形，本文在第二章 和第三章的计算中就是先作一个合适的凸集，进而估计出两个分形集 h a l l s d o r f f 涮庸卜界估计 第1 2 页，共2 5 页 第三章s i e r p i n s k i 地毯h a u s d o r f f ；$ 1 1 度上界估计 31 s i e r p i n s k i 地毯的构造 在二维欧氏平面r 2 上，设毛为单位正方形，将其每边三等分，用与边平 行的线段连接分点，得到九个边长为；的正方形，去掉最中间的一个正方形的 内部，得到由八个正方形组成的集合记作巨，对巨中每个正方形重复上述 过程，得到集合巨，上述过程无1 1 1 进行下去，得到集列： 五3 丘3 毛 e 一( 见图一) 口田露 b e 2 图一 非空集合n e 称为由毛生成的s i c r p i n s k i 地毯，记为e ，实际上这是一个自相 e - - 0 1 似集我们知道：e 由矿个边长为寺的正方形构成，称它们为n 阶基本正方形 记这样的一个正方形与e 的交为因此，l 和e 是几何相似且其相似比为 111 击( 也常记作音一e ) 所以音一e 与e 有相同的h a u s d o r f f 维数，利用自相似 jjj 集的理论，可以得到e 的h a 璐d o r f r 维数为s = d i m h e = 罢 i l l j 一直以来，大家都在为计算它的h a u s d o r f f 测度努力，但还没有找到合适的 方法计算出它的h a u s d o r f f 测度的精确值很多文献给出了自己的估计方法和 结果，如文献【1 4 】中给出了胃5 ( 占) 茎1 4 7 0 7 3 3 6 ，文献 1 5 得到： 第13 页共2 5 页 ( e ) 1 3 9 6 4 3 4 2 2 6 4 ，本文得到了较以往更佳的一个上界估计 日3 f 日13 8 4 9 7 4 6 8 7 8 2 3 2 s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度的上界估计 从2 5 节，我们知道：要估计s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 铡度，需要找到一 个恰当的凸集，而文献【1 5 】中，选用了一个十六边形，得到了测度的一个上界估 计本文将考察另外的一个凸集从而得到的一个上界估计，即有如下定理： 定理3 ih 5 ( 扪1 3 8 4 9 7 4 6 8 7 8 2 为了得到这个结果，我们需要： 引理3 2 1 6 1 ( ；一f ) 2 古( e ) 实际上，根据h a u s d o r f f 测度的齐次性有 日4 ( ；一) = ( ；) 5 日5 ( e ) = 古日( djjd 因为是一度量外铡度，所以 命题3 3 1 1 7 1 日5 ( 0 葺) 三日。( e )( c i 二j 巨) l 瑚 日 瑚 定理i 的证明记第i 阶正方形为 j ，( f _ 0 i ，2 ，3 ) 由前面第二章2 5 的介绍，要 。 估计s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度值，要选 取一个合适的凸集在文献 1 5 】中，选用的是十六边形，为了更好的估计出 s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度的上界，本文将构造一个凸三十二边形，具体构 造如下： 如图二所示，作一个关于岛的对角线对称的三十二边形4 4如，记为 u 由对称性只需要给出在e 0 的左上角的第l 阶的正方形中的各边的位置圈 第1 4 页共2 5 页 三所示为这个正方形中的各边的位置图中黑色部分为去掉的2 阶正方形，箭 头所指位置为多边形的顶点 。所在的位置 厶是一个4 阶正方形的一个顶点如是在 a ，。的左下方的3 阶正方形内被挖掉的4 阶 正方形的左下顶点4 。是在以，的下第2 阶 正方形内被挖掉的第3 阶正方形的左边的3 阶正方形内被挖掉的4 阶正方形的左下顶 点爿，；是图三中左下角的4 阶正方形的左上 顶点因选取的多边形u 是关于e 的对角 线对称的，所以，a 2 9 、厶、4 ；、 ：也是 某一个4 阶正方形的一个顶点 一 # ， 夕 篚 拄 = 第1 5 磺共2 5 页 净；一1 l 皆i、 i 厶, - - 4 - 一 4 + 、j 五一二 一v 、 ，￥一一 1 6 蹬五 1 4 15 我们需要单独研究区域1 2 所在的4 阶正方形如图五：在该正方形内作出5 阶的正方形，用区域1 5 填补区域1 4 ，则区域1 2 就可以看成5 个，( 记为弘，) 和梯形1 6 ，显然梯形1 6 是比梯形1 2 低一阶的梯形，再将梯形1 6 重复区域1 2 的 过程所以， 区域1 2 = 5 t ，5 j 3 6 ，5 ，5 。j 于是可得：每个九边形可由集合 2 ，l o j 3 3 ，3 2 j 3 。，1 0 j5 ，1 0 3 6 1 0 j 3 。 所覆盖， 则四个九边形以由 4 j 3 2 , 4 0 j 3 3 ，1 2 8 j 3 。，4 0 j ：, 4 0 j 3 6 4 0 j 3 。 所覆盖 记，= ，ti e ( 江2 , 3 ，4 ) ，则由引理3 2 日3 ( ，3 。) = 何5 歹1 一e ) = 吉( ) 由四个九边形组成的集合为e 。u ，记f = ( e o u ) ne 则 f = 4 ：，4 0 j 3 ，1 2 8 j 3 。，4 0 j 3 s ，4 0 3 6 ，4 0 j 3 一 n e = 钉3 2 ，4 0 1 3 3 ，12 8 1 3 4 ，4 0 1 3 5 ，4 0 1 3 6 4 0 1 3 一) 从而 如= u ，f ) 为e 的一个覆盖由命题3 3 h 5 ( e ) 因u i s + 日3 ( 尸) 从而有 趴琊( 2 经运算得 5 + ( 砉+ 爹+ 等+ 4 。量古 日s c d j + l 矿+ 万+ 可“o 丕万尸弋d 第1 6 页，共2 5 页 c 琊2 c 营2 + c 2 】焉乩3 8 4 9 懈7 8 2 等， 口 注记：由最后的计算式可以看到，当直径一定时，可能选用圆来覆盖效果 最佳在文献e 1 7 中用上凸密度估计s i n e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度时， 想到用椭圆的一部分来覆盖文献 1 8 ，用上凸密度估计自相似集的 h a u s d o r f f 测度也用到了用圆来覆盖 由证明过程可以看到：如果选的最大凸集为圆，那么与圆相交的正方形不 再关于圆弧对称，进而不能计算出圆外边的正方形有个数随着正方形阶数的 不断增加，正方形越来越小，这样我们可以计算正方形的中心到圆心的距离， 如果距离大于圆的半径，就可以近似看成是半个正方形在外边，如果距离小于 圆的半径，就可以近似看成整个正方形都在外边。这样以来，只要阶数和圆定 了，就可以很好的计算出圆外边的正方形个数 第1 7 页，共2 5 页 第四章s i e r p i n s k i 正方体海绵 h a u s d o r f f 测度上界估计 41 s i e q ) i n s k i 正方体海绵的构造 在e u c l i d 平面上取单位正方体磊，将每条棱三等分，过分点作与各侧 面平行的平面，得到二十七个棱长为；的正方体，挖掉民的每个侧面中间一个 j 正方形所在小正方体同时再挖掉正方体正中心的一个正方体，得到由二十个 正方体组成的集合，记作互，对巨每个正方体重复上述过程，得到集合岛，上 述过程无限进行下去，得到集列：e l3 丘3 马一3 e3 见图六 面厨 1 2 图六 非空集合自称为由岛生成的s i e r p i n s k i 海绵e 由2 。个边长为； 的正方体构成，它们称为e 的”阶基本正方体，记为1 3 ，每个可以生成相 似比为；的几何相似集，记作；一e ，；一嚣与有相同的维数，且 n = ；一，e 的维数为s = d i m n e = 警2 3 0 第1 8 页共2 5 页 本文给出了它的h a u s d o r f f 测度上界估计，这也是本文的又一结论 42s i e r p i n s k i 正方体海绵的h “s d o r f r 测度估计 根据4 1 的s i e r p i n s k i 正方体海绵的构造介绍，现在这节来估计它的上界 先构造一个边长为一个单位长度的s i e r p i n s k i 正方体海绵，记为e ，则有下 面的定理： 定理3 ：日f e l 30 5 5 8 7 4 2 2 为了得到这个结果，还要借助于下列引理： 引理4 ”川5 孝“) 2 寺h v ) 11t 证明：、( 争一e ) 2 ；) ( e ) 2 孟了h 5 ( e ) 这一节计算s i e r p i n s k i 正方体海绵h a u s d o r f f 测度，这也是本文的又一结 论本文选取了很特殊凸集 定理3 的证明如下： 记海绵体为e ，每阶小正方体记为，( i = 0 , i ，2 3 ) 作出e ，凸集的选取如图七，在五的每条 棱上选取距顶点距离为处确定点，则 每条棱可作两个满足条件的点，如a 、n 在厶上，以a 点为例，先作出e ，再在 正面( 在e 下的正面) 的正方形的右上方 的2 阶正方形左下顶点确定为d ，右下顶 点为e ，右侧面( 在丘下) 的正方形的左 上方的2 阶正方形右下顶点确定为置，再 连接d k 、d e 、e k ，这样得到四面体 一一d k e 类似地。还可得到四面体 c d h f ，四面体b f i k 同时得到七 面j | 本d h f l 醯o 图七 用相同的方法，在正方体己的其余各个侧面的对应点和相应棱上线段的 对应端点重复上述的连接，如图七最后可以的一共得到有2 4 个四面体和8 个 第1 9 页共2 5 页 七面体如果我们从e 。上挖掉所有的四面体和七面体，剩余部分为三十八面 体记这个三十八面体为u ，通过计算，得到它的直径为罢，则 = u ，晶、 为正方体e 。的一个覆盖( 其中e 。u 由8 个七面体和2 4 个四面体构成) 记，v = f l e ( f = 0 , 1 ，2 ，3 ) ( 1 ) 先研究其中一个七面体( 如图八) ，可以把它看成正方体，：中挖掉四 面体f d g e 在图八中作出3 阶正方体，并确定与e f 、d f 、d e 的交点为图八所示 用四面体f - 一a ，a ，。填补四面体i ，一一：一。，所在i i t 空缺，用i ! t 面体 d 一，一。a ：填补一，一4 。4 ，所在的空缺，用四面体一4 4 一s 填补四面体 。一1 3 a 7 所在的空缺，则四面体恰好含有4 个，3 ，由于- 7 3 ：中含有2 0 个，r 所以这个七面体含有1 6 个， 图九 ( 2 ) 再来研究四面体 如图九：在占，上挖一个图七中所述一个四面体位置的部分，各点如图九 所示用四面体f 一 ，3 填补四面体b f e 所在的位置，则长方体 f 3 f l f ，f 一f b d 3 f t f l 饴好奄3 奄j f 再来看平面g e 下面的三棱台：由于左右两边是对称的，只需考虑左边 第2 0 贞共2 5 页 即可用用四面体q c 2c 3 c 4 填补四面体马一b ：b ，b 。所在的空缺，三棱台 e 。e 2 8 2 - e 3 e 4 b 。填补三棱台d i g 岛或g d 3 所在的空缺，则最下面的大三棱 台弓弓g 一邑e 。互。含有7 个，同时下面还剩2 个小三棱台在中间两个四面 体r c 。氕d ，与只- f 8 f g d ，所含空位，从而可看成比图九低阶的2 个四面 体 这样以来这个大的四面体就可以看成1 0 个j 3 s 与2 个比四面体 f e ，e 。e 。低一阶的四面体，而每一个低一阶四面体再重复上述过程这样 就可以计算出互一毛e 。e ，共由多少各阶的正方体组成所以 图九示最大的i 个四面体。 1 0 j 3 ，2 x 1 0 j 3 。，2 2x 1 0 d 3 ，2 ”x 1 0 j 3 ) 被挖掉的几何体为磊【，记f = e o u0 e 则 f = 1 6 j a ，2 4 x 1 0 j 3 ，2 4 x 2 x 1 0 j 3 ，2 4 x 2 2 1 0 d 3 ，。2 4 x2 ”x 1 0 j 3 。+ ， n e = 1 6 1 3 3 ，2 4 x 1 0 1 3 ，2 4 x 2 x 1 0 1 3 。，2 4 x 2 2x 1 0 1 3 ，2 4 x 2 ”x o t 3 + ，。 则 h 5 ( f ) _ 1 6 h 5 ( 1 3 ，) + 2 一x 2 4 0 h 。( 1 3 ，) f = 3 s 气 2 赢 则如= ( u ，f ) 是e 的一个覆盖从而由命题3 3 日5 ( e ) iui s + 日5 ( f ) c 叫孚卜羔趴e ， 经过计算： 州e ) f 4 1 7 _ _ _ 9 9 1 1 5 0 _ _ o o 以0 5 5 8 7 4 2 2 ( s - - 业) 、。l 9 j 1 4 4 7i n 3 由日5 f e l 最后的计算式子凸集u 外的部分越少算的结果就会更精确 第2 1 页，共2 5 页 因此可以考虑用球体来覆盖 第2 2 页，共2 5 页 口 1 2 】 3 】 7 】 【8 9 】 【10 】 11 】 1 2 1 3 1 4 【1 5 】 参考文献 b b m a n d e l b r o t ，t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e m 】s a nf r a n c i s ow hf r e e m a na n dc o ，19 8 2 k f a l c o n e r 著；曾文曲译，分形几何数学基础及其应用( 第二版) m 】，2 0 0 3 周志英，喻祖国，相似比a e 1 4 ，1 3 ) 1 均泛s i e r p i n s k i 垫片的精确h a u s d o r f f 测度 j 】湘潭大学自然科学学报，2 0 0 7 ( 1 ) ：5 9 龙伦海，直线上分形集的h a u s d o r f f 测度的一个算法 j 数学学报， 2 0 0 5 ( 1 1 ：1 1 -