（基础数学专业论文）一类高阶微分方程边值问题的解.pdf

审支揍要 参文擒要 本文主要研究高阶微分方稷逸缓麓麓解的存在性与多重缝论文分两章对一炎鼹 阶微分方程两点边值问题进行了讨论程第一章中，我们主要利用不动点定理研究鞠 阶非线性微分方程组正解的存在性，我们对，g 进行一些适当的限制，得到了边值问 题正解的存在性在第二章中，我们患瓣利用强单调映象原理和i 临界点理论研究类 高阶微分方程组两点边值问题解的襻椒性与多解性我们对泛函f 进行一些适嬲的 限制得到了高阶微分方程组边值弼燧解的存在性，唯一性，以及多解性 下面，我们对本文的主要结果具体阐述如下 在第一章中，我们主要讨论以下麟阶非线性徽分方程组正解的存在性( b v p ) ： l 4 ) ( ) = l ( t ，( k ”8 ) ，矿g ) ，一t ，( 癸，t 1 0 ，l l ， 螋棼2 擘m ( 蛰，蛾一矿献一嘴) ) ，t e 刚，( 1 删 l ( o ) = ( 1 ) = ( ) 一扩( 1 ) = 0 ， 、7 l # o ) = v ( 1 净矿( o ) 一护( 1 ) = 0 其中f , g c ( 融1 3x 磴，r 十) ，一【o ，十。) 设 矗= 。? 甄+ 坨忙，j 磊哪塑! 老写鸶型，知= 。+ 姆。卸，j 臻帆盟! 兰号；字， ，o ：l i m8 。p 垡尘生塾型，* ：l i ms u p 竖立! ；! ! 生型， ” 埘+ z o + 坨i o ，l j ，口r + t 上，+ 三 叫十z _ + t 【0 ，i j ，口皿+ 训+ o 对g 可同样定义g o ，f 。g o ，9 。 主要结论如下； 定理1 1 1 设下面条件滤魁； ( h 1 ) 鑫= = g o = 踟= + 。o ， ( t t 2 ) 存在p2 - 0 ，餐褥歹辑旗z ，铭，囝4 p ，痰，帮，。，口) 4 p , 豫瓣，：，铭p 琶 玲，1 】筘，p s 爹，p s lxi o ，霭1 0 ，翻， 剥逮蘧闯题( 1 1 1 ) 至步存在两个燕解( 珏l ，v 1 ) ，( 啦，嘲，使褥 0 0 ，使得在d i 上成崴，( t ，t i ，五珏，口) 譬p l ，9 ( t ， t o ，z ，u ， ) 警p l ， 其中d l = ( t ，伽，口， ) ：t f l 4 ，3 4 1 ，埘+ z 话1 丽tp l ，p , s ，“+ 妒 p l 4 ，p l 】 则迭值问题( 1 1 。1 ) 至少存在两个藏勰( 毗，v 1 ) ，啦，钝) ，使得 0 g ( 搬，壤翊 0 ，使得0 f ( u ) 肛v f ( u ) - “，i 乱 咒； ( a 4 ) l i m i 。卜呻of c u ) l u i 2 7 r “2 则边值问鼷( 2 1 1 ) 在e 2 ”【o ，1 】沙【o ，1 】中至少有一个非零解 寇璎2 1 5 设f 是偶函数，即f ( - u ) 一f ( “) ，”瓣进步假设定理2 1 ，3 中 条件( a 。) 成纛，并且满足： ( a 5 ) 投m 蹴mf m 2 o ，s u c h t h a t f ( t ，叫，z ，t i ，u ) 4 p ，g ( t ，w ，。，u ，v ) 4 p ，( t ，w ，z ，“，口) 【o ，l 】x 【0 ，p s 】 0 ，p 8 】【0 ，p 】x 0 ，p l ， t h e nb v p ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s ，i e ，( u l ，v 1 ) ，( 札2 ，t 】2 ) ，s u c ht h a t 0 l l ( 札1 ， 1 ) i l 0 , s u c ht h a td 1h o l d ( t ，奶z ，u ，即) 警p 1 ，g ( t ，坩，z ，口) 萼p 1 ，w h e r e d a = “， ，z ，i f , ，口) ：t 【1 4 ，3 1 4 1 ，w + z 【丽1 1m ，p 1 s ，u + v 【p 1 4 ，p l 】 三耋童堕丝坌查堡望堡墼矍竺堡 t h e nb v p ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s i e ，( “l ，v 1 ) ，( u 2 ，v z ) ，s u c ht h a t 0 i i ( “1 ，口1 ) | | 0 , s u c h t h a t f ( u ) # v p ( u ) u ，l u i 冗； ( a 2 ) l i m s u p of ( u ) l u l 2 7 r 2 m 2 t h e nb v p ( 2 1 1 ) h a sa tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o ni nc “i o 1 】xc “【o ，l 】 t h e o r e m2 1 4s u p p o s et h a t ( a 3 ) t h e r ee x i s t 肛( 0 ，1 2 ) a n dr 0 , s u c ht h a t0 f ( u ) # v f ( u ) “，i u l 置 ( a 4 ) l i m i 。mf ( u ) l l u l 2 7 r “2 t h e nb v p ( 2 1 1 ) h a sa tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o ni n 俨” o ，1 】xc “ o ，1 】 t h e o r e m2 1 5s u p p o s et h a tfi so d d ，i e ，f ( - u ) = f ( ，u 衅a n ds u p p o s e t h a tt h ec o n d i t i o n ( a 1 ) i nt h e o r e m2 1 3i ss a t i s f i e d ，a n dt h a t ( a 5 ) l i m s u p u 。op ( u ) l l u l 2 0 ，使得i ( t ， t o ，z ，u ， ) 4 p ，g ( t ，1 1 3 ，：，“， ) 4 p ，( t ，叫，z ，“，u ) 【0 ，1 】【0 ，p 8 】1 0 ，p s 1 【0 ，p 】 0 ，p 】， 则边值问题( 1 1 1 ) 至少存在两个正解( l 1 ，v 1 ) ，( “2 ，啦) ，使得 0 | i ( “1 ，口1 ) l l p i i ( u 2 ，v 2 ) 1 1 证首先由 = + o 。可知，对任意蝎1 2 8 3 ，存在r ( 0 ，p ) ，使得，( ，2 ， ， ) ( u + u ) ，t 0 ，1 】，w ，z r + ， 【0 ，r 】设嘶= ( “，口) f ：i i ( u ，u ) 0 p ，使得，( t ，z ，u ) 如( “+ ) ，t 【0 ，l 】，w ，z ，u + 口r 4 设q r = ( ，口) e ：i i ( u ， ) 0 r ) 任 给( u ，”) q1 3 a ，则札( t ) + v ( t ) ( l l u l i + l i v l l ) = r ，于是我们有 k f ( u ，v ) ( 1 2 ) = c ( 1 2 ，s ) f ( s ，“( s ) ， ( 5 ) ，( s ) ，u ( 5 ) ) d s g ( 1 2 ，s ) ( “( s ) + 口( s ) ) d s j 1 4 釉训州1 ) 4 g ( 1 2 ，帕 卷州让i i 州i i ( 酬| 因此，( “，训l i l ( u ，口) 限 最后，设= ( ，口) e ：i i ( u ，v ) i l 力任给( u ，u ) q n a ，则0 口( t ) p ，0 v ( t ) p ，t 【0 ，l j ，从而0 k u ( t ) p 8 ，0 k v ( t ) p 8 ，t 【0 ，1 1 ，所以由条 件( h 2 ) 可知 k f ( u ， ) ( t ，= g ( t ，8 ) l ( t ，k u ( s ) ， ( s ) ，n ( s ) ， ( 5 ) ) d s 和g ( ，s ) r l s p 2 ，t 【0 ，1 】， 4 第一章鞭酚 # 线性羧势方糕缀正解的存在缝 k g ( u ，( t ) 一7g ( t s ) g ( t ，) ，飘( s ) ，口( s ) ，口( s ) ) 幽 j 8 ，l 4 pfg ，s ) d s p 2 ，t 筘，l j ， ，0 所以，i t k f ( “，功| l p 2 ， i k g ( “，v ) l l p 2 ，从衙似( “， ) i f p = i ( u ，v ) l l 。由范数 形戏的镪压缩与锥拉伸不动点定理1 6 】可知， 在q ，存在不动点( “，v 1 ) ，在 r k 黼中存在不动点( u 2 ，抛) ，所以( 1 ，v x ) ，( 勘，抛) 均为边值问题( 1 1 1 ) 的正解，并 且0 l l ( u l ，砚) i 0 ，使得巍轨上成立，慨谢，g ，口) 萼m ，9 ( t ，铆，磊筏 ) 警p l ， 旗巾d i = ( t ， ，z ，珏 v ) ：t i t 4 ，3 4 ，蚶十；f 熏i 褥1 以，p , s l ，+ ”f p l 4 ，m j 爱| 逑缎阉题( l 1 1 ) 至少存农辫令蕊睇( 珏l ，v 1 ) ，( 堍，毪) ，使得 0 # 鬈l ，趣) l p l l 搬，现潍 谖曾先由严= 矿= 0 飙对岛一3 ，襻猩p + ( 0 ，p 1 ) ，使得 f ( t ，州，z ， ) 印( + ) ，g ( t ，t l j ，。，砜v ) o ( 牡十 ) ，t 【0 ，l 】， ，2 】，u + v 0 ，p 。 设q m 篇 ( 珏，u ) e ：f i ( u ，却) | i 以 。任给( “，”) 0 n a f ，则0 “( t ) 风，0 v ( t ) 舫t f 0 ，1 1 ，于是我们露 ，l k f ( u ，# ) ( 鸯= fg 弘s ) y ( s ，甏挂( $ ) ，k v ( s ) ，# s ) ，口s ) ) 玉 j o ，l fc ( s ，5 ) o ( 珏( s ) + ( 8 ) ) d s j o ，l # o ( t l u l | + 矧转7 暖s ，s ) 玉 e 1 妄| 堪| | + | | 甜| | ) = = 砉l 【珏，v ) l l ，t ，l l ， 所以 i r f ( u ，v ) l f 判( 氇甜) n 阐理有 i k g ( 就， 郭( 越，u m 于是，1 i a ( u ，”川一 0 ( 尉f ( ) ，k g ( u ，。) ) 0 i i ( u ，v ) 1 1 另一方面，因为，o 。= 9 ”。0 ，所以对g o 一2 ，存在岛 0 ，使得 f ( t ，w ，z ，舻) s o ( u + v ) ，9 0 ，拼，z ，牡， ) 苎。( 管+ 暂) ，t p ，l l ，三戴+ ，u + v 局d 又兵g 褒甄1 lx 嚣lx 袋1 ；0 ，糯】鹣岛l 上瓷器，爨浚存在o 0 ，嫠德 y ( t ，捌，2 ，“，口) e 孽豫韧，薯铋，口) q ( ，弘z ，牲，【0 ，1 】x r l r 1 p ，f 湖【o ，弱1 5 一类高阶微分方程边值问题的解 因此，当( t ，坩，z ，“，口) 0 ，1 】r 1 r 1x r lx r l 时，有 f ( t ，z ，u ，口) 6 0 ( u + 口) + e ，g ( t ，z ，u ， ) s o ( u + v ) + c 设r m a x p 1 ，c ) ，n r = ( u ， ) e ；i i ( u ，圳i 研，则对任何( i t , ，u ) q n a q r ，我 们有 k f ( u ，口) ( t ) =g ( t ，s ) ，( s ，k “( 5 ) ，k ( s ) ，u ( s ) ，u ( s ) ) 出 g 扣，s ) k o ( “( s ) + ”( s ) ) + c l d s 扣”) 1 1 + 叫 i + 百 i r ，te 【o ，1 1 所以我们有h z f ( “，”) 0 譬同理有l i o g ( u ， ) 0 尝于是 ( “，”) f i = l l ( f ( u ，u ) ，k g ( u ，u ) ) 0 钏( u ， ) m 同理有f i k g ( “，”) i | 钏( u ，v ) 1 1 于是，l i a ( “， ) 1 1 = j i ( u f ( u ，u ) ，k g ( u ，) j j 0 ( u ，口) j ( u ， ) j j = p a 因此，f h 定理1 1 3 知，a 在f k 存在不动点( u l ，仇) ，在q 兄q m 中有不动点( i r e ，t 】2 ) ，并且满足0 | | ( “1 ，口1 ) 0 p l 0 ，使得在d 2 上成立i ( t ，w ，。，u ) 学p 2 ，g ( t ，w ，z ， ) 擎以， 其中d 2 = ( t ，w ，z ，“，u ) ：t 【1 4 ，3 4 ，t t ，+ z 【且1 5 3 6 p 2 ，p 2 s ，“+ 口 p 2 4 ，m 】) ， 则边值问题( 1 1 1 ) 至少存在一个正解( “，u ) 满足p l 1 | ( u ，口) i f m 证不失一般性，我们假设p l 0 2 取f h 一 ( “，f ) e ：f i ( u ，删i 0 ，f ，g 在【0 ，1 】x r i x r l 【0 ，捌 0 ，r 上有界 则边值问题( 1 | 1 1 ) 至少存在一个正解 推论1 3 6 假设上述假设( h s ) ，( h 8 ) ，( h l o ) 成立，则边值问题( i i 1 ) 至少有两个 正解( 蛳，仇) ，( 缸2 ，吨) ，使得0 f l ，铆) j p 1 | ( 讹，忱) 推论1 3 ，7 假设上述假设( h 6 ) “h 7 ) ，( h g ) 成立，则边值问题( i i 1 ) 至少有两个正 锯( 瓤t ，v 1 ) ，( 地，地) ，使得0 h ( l ，魄 p 2 a 女 0 ， 在上2 0 ，1 】中相应于特征值的标准正交基是e k 一、，幢s i n k l r t ，一l ，2 一于是，由k 1 的线性垒连续对称性，可知下列式子成立； ”= ( ”) e ，“l 2 0 ，1 1 ， ( 2 2 3 ) ，k = 1 o o 糊2 = | ( 珏，壤圯甜驴双l 】， k = l l o ( 2 2 。4 ) u l 2 【o ，1 】 ( 2 2 5 ) 注2 2 2 由引理2 2 1 ，2 2 2 知，k 1 ：l 2 o ，1 】一l 2 0 ，1 】是正线性有界对称算 子，所以k 1 的平方根算子硪胆：l 2 o ，1 1 一l 2 o ，1 1 存在唯一且也是线性有界对称算 子，且i l k ：1 2 l i = 1 l 。0 ”此外我们也能证明k ：口：l 2 【o ，1 l 2 o ，1 一c 0 ，1 】是线性 全连续算子，从而耐胆：l 2 【o ，1 一l 2 【o ，l 】也是线性全连续算子 引理2 2 3 砰7 2 = ( 科2 ) ”：l 2 o ，1 】一c o ，1 】是线性全连续算子，从而j 口胆： l 2 0 ，1 一l 2 【o ，1 】也是线性全连续算子，而且 、1 2 | i k 仲“舳以f 栉i o ，“l 2 o ，1 】 证根据 9 l 知结论成立 。 注2 2 3 ( i ) ( k 1 2 u ，u ) = ( 女丌) 一”i ( “，钆) 1 2 ，l 2 【o ，l 】1 所以这意味着当 l 2 0 ，1 】且“0 时，j 印7 2 0 ，从而当u l , 抛l 2 o ，1 】，u 1 u 2 时，r ，2 “l k 2 抛 ( i i ) i | 昭胆 0 7 i - - - m 1 1 “1 1 ，u l 2 o ，1 】 现在我们定义k ：l 2 【o ，1 】xl 2 【o ，1 】一l 2 【o ，1 】xl 2 【o ，1 】如下： k 1 2 ( “， ) = ( k ：2 ，：7 2 ) ，( “，口) l 2 【o ，1 1 l 2 0 ，i i 定理2 2 41 9 】若线性算子a 是紧的，对称的，且a 口，则i i a i i 或一i i a ij 是算 子a 的特征值 由于耳p 是线性紧对称算子，所以根据定理2 2 3 知，i i 矸i i = 7 r 一2 “，l i m ，2 0 = 7 r m 定义2 2 5 6 l 设d 是实b a n a c h 空间e 中的开集，泛函，：d r 1 在d 上是 f r d c h e t 可微的若x 0 d ，使得g r a d ( x o ) = ，7x o ) = 以则称z o 是泛函，的一个临 界点，c = f ( x o ) 称为泛函，的一个临界值 记g 1 ( e ，r 1 ) 表示所有在e 上f _ r d c h e t 可微且f r d c h e t 导算子在e 上连续的泛 函构成的集合 定义2 2 6 【6 】设e 是实b a n a c h 空间，c 1 ( e ，r 1 ) 如果 ，ce ， ，( “。) 有界，( ) 一日蕴涵 有收敛子列，则称泛函，满足p a l a i s - s m a l e 条件( 简称 p s 条件) 定理2 2 7 ( 强单调映象原理) 【6 】设( e ，0 ) 是实自反b a n a c h 空间如果映象 t ：e e 4 连续。且存在常数c 0 ，使得 ( 妣一t v ，u 一口) c l l u v i i 2 ，u ， e k 黼 i i u 一类高阶微分方程边值闻题的解 那么t ：e 一驴是e 与e + 之间的同胚映象 定理2 2 8 6 1 设e 是实自反b a n a c h 空间如果泛函，：e r 1 是弱下半连续 的，并且满足l i m l l 。忙。f ( x ) = + o o ，那么，必有3 ；0 e 存在，使得f ( x o ) = i n f x e ，( z ) 另外，若，在e 上f r c h e t 可微，则必有，7 ( z o ) = 口 定理2 2 9 ( 山路引理) 【6 】设e 是实b a n a c h 空间，c 1 ( e ，r 1 ) 满足p s 条 件假设，满足以下条件 ( i ) ，( p ) = o ； ( i l ) 存在p 0 ，口 0 使得对任意的u e 且l | = 内有，( “) o z ； ( i i i ) 存在u 1 e 且i i “1 0 p ，使得f ( u 1 ) 0 ，a 0 ，使得对任意的i t e 且i = p ，有f ( u ) o l ； ( i i ) 对于e 的任意有限维子空间wce ，存在r = 冗( ) ，使得当u w 且 i r 时，有f ( u ) 0 那么，具有无穷多个临界点，并且有无穷多个临界值 2 3定理的证明 有了以上准备，首先我们证明下面引理 引理2 3 1 ( i ) 算子方程 u = k m h u 在c l o ，1 】c o ，1 】中有解当且仅当 = i c ”2 h k n 2 口 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 在铲 0 ，1 】l 2 【o ，1 】中有解 ( i i ) 上面算子方程解的唯性也是等价的，即( 2 3 1 ) 在c o ，1 】c o ，1 】中存在 唯一解当且仅当( 2 3 2 ) 在驴【o ，1 】l 2 【o ，1 】中存在唯一解 ( i i i ) 若( 2 3 2 ) 在l 2 o ，1 l 2 o ，1 】中存在个非零解，则( 2 ，3 1 ) 在c o ，1 】g 【o ，1 】 中也存在个非零解同时，若( 2 3 2 ) 在l 2 【0 ，1 1xl 2 o ，1 1 中存在无穷多个锯，( 2 3 1 ) 在c o ，l 】c o ，1 】中也存在无穷多个解 证( i ) 设i t c o ，1 】x c o ，1 】是( 2 3 1 ) 的一个解，即= k ”日“，则k m 2 h u = 仇2 日”n = k , “2 h k , , , 2 k m 2 日“= k , “2 h k , , 2 ( ”啦h u ) ，于是 = k , , * 2 h u 1 2 第二章一类高阶方程组边值问题解的存在性与多解性 c o ，1 】x c o ，1 】一l 2 o ，1 】l 2 o ，l 】是( 2 3 2 ) 的一个解反过来，若口l 2 f o ，i 】x l 2 o ，1 】是( 2 3 2 ) 的一个解，即口= 叫2 何j f m 2 u ，则k “2 ”= k ”何”2 口= k “日( 印n 2 ”) ，于是u = k m 2 c i o ，1 】c o ，1 】是( 2 3 1 ) 的一个解 ( i i ) 设( 2 3 1 ) 存在唯一解“c o ，1 】c o ，1 】，假设u l ，吨工2 【o ，1 x l 2 o ，1 】都是 ( 2 32 ) 的解，即 1 = k “2 k ”2 口l ，v 2 = 耳”2 h k , , 1 2 u 2 ，则m 2 仉= k “h k m 2 口1 ， k “2 忱= k h k “2 也，即”2 u l ，k m 2 吨都是( 2 3 1 ) 的解由( 2 3 1 ) 解的唯性知 k “2 1 = k “2 u 2 = “，于是以= ”2 胃k m 2 1 = ，p 2 h k , n 2 吨= 也反过来，若 ( 2 32 ) 存在唯一解口l 2 【o ，1 1 l 2 【o ，1 1 假设“l ，“2 c o ，1 1 x c o ，1 】都是( 2 3 1 ) 的 解，即“l = k , n h u l ，2 = k m h u 口，则k , “2 h u l = k ”2 h k “2 k ”2 日i ，“2 h u 2 = k ”2 何k ”2 州2 日抛那么”2 日1 ，k 州2 日u 2 都是( 2 3 2 ) 的解由( 2 3 2 ) 解 的唯一性知k ”2 h u l = k m 2 h 地= ，于是“l = 耳”h “l = k 2 k ”2 h u l = ”2 k ”2 口抛= k m h u 2 = 2 ( i i i ) 由( i ) 的证明过程知，若u ；2 o ，1 】l 2 o ，1 】是( 2 3 2 ) 的解，则k 2 c 0 ，1 xc o ，1 】是( 2 3 1 ) 的一个解根据注2 2 3 ，结论显然成立 口 我们定义泛函皿：l 2 【o ，1 l 2 【o ，1 】一r 皿( u ) = 扣1 1 2 一f 0 1 f ( k “( t ) ) 出，钍l 2 0 l 】【。，1 】，( 2 3 3 ) 则皿在l 2 i o ，1 】xl 2 o ，1 j 中的临界点等价于方程( 2 3 2 ) 的解 事实上，由f g 1 ( r 2 ，帔) 可知，皿在l 2 i o ，1 】l 2 【o ，1 】可微且皿c 1 ( l 2 【o ，1 】 l 2 【o ，l 】，r ) ， ( 皿7 ( “) ，口) = ( ， ) 一v f ( k m “( t ) ) k ( t ) r l t ，仳，口l 2 0 ，1 】xl 2 【o ，1 】( 2 3 4 ) 定理2 3 2 若存在。【0 7 r 2 m ) ，使得 ( v f ( u ) 一v f ( v ) ) ( 一口) n l 一v 1 2 ，u r 2 ， 则方程( 2 3 1 ) 在c l o ，1 1 c o ，1 中有唯一解 证由引理2 3 1 知，算子方程( 2 3 1 ) 在c 0 ，1 c o ，1 】中有唯一解当且仅当 ( 2 3 2 ) 在【o ，1 】l 2 0 ，1 】中有唯一解因此，( 2 3 1 ) 在c 0 ，1 】c l o ，1 】中有唯一解 也等价于算子方程t v = 0 在l 2 o ，1j l 2 o ，1 】中有唯一解，其中t = i - k q 2 h k , , 。2 根据引理2 2 3 得，耳m 2 ：l 2 o ，1 】l 2 o ，1 】一c 0 ，1 】c o ，1 】一工2 【o ，1 】l 2 o ，1 】 连续，因此t ：l 2 【o ，1 】舻【o ，1 】一l 2 o ，1 】x l 2 0 ，1 】也是连续的根据定理2 2 7 ，只 需证明t 是强单调的即可事实上，对所有的u ，口l 2 【o ，1 】x 工2 o ，l 】，因为 ( 日j r m 2 u h j f m 2 u ，耳仇2 乱一k m 2 ) = f o l v f ( 耳”2 “( t ) ) 一v f ( “2 ”( t ) ) 】【”2 “( t ) 一“2 ”( t ) 】a 2 1 3 一类高阶微分方程边值问题的解 从而 n z l 妒2 ( u 刊阳 = n i | ”，2 ( n 一口) | | 2 ( t u t v ，一 ) = ( 一口一k m 2 h k m 2 钍+ 矿2 日k m 2 口，u 一”) = i l 一u l l 2 一( h m 2 u h k m 2 廿，m 2 “一m 2 u ) i i 一u i l 2 一a t v - 2 m l i “一u ij 2 = ( 1 一n 丌- 2 m ) i l u 一叫1 2 ，u ，”u o ，1 】酽【o ，l 】 因为【0 ，7 1 2 ”) ，所以t 是强单调映象从而由定理2 2 7 知，t v = 0 在l 2 0 ，1 l 2 【o ，1 】中有唯一解矿 口 推论2 3 3 若 ( w f ( u ) 一v f ( 口) ) ( u 一 ) 0 ，u ，v r 2 ， 则方程( 2 3 1 ) 在e 1 0 ，1 c o ，1 】中有唯一解 定理2 3 4 设f ( ) 伽2 + b l u 2 1 + c ，r 2 ，其中a ( 0 ，7 r 撕2 ) ，y ( 0 ，2 ) ，b ，c 0 ，则边值问题( 2 1 1 ) 在c “i o ，1 】xc 加1 0 ，1 中至少有个解 证由引理2 3 1 ，只需证明算子方程 一k ”2 h k m l 2 v = 0 在l 2 0 ，1 】l 2 i o ，1 】中 至少有个解 考虑泛函皿：l 2 【o ，1 】l 2 0 ，1 】一豫， 1 r l 皿( ) = ；i i 口0 2 一p ( k ”：k t ) ) d t ， l 2 0 ，1 】工2 o ，1 】 ( 2 3 5 ) j 0 由( 2 3 4 ) 有 皿( ) = 一k , n 2 月”2 口，u l 2 0 ，1 】l 2 0 ，1 】 由引理2 2 1 知k ”2 日k “2 ：l 2 0 ，1 】l 2 0 ，1 】一l 2 i o ，1 】l 2 【o ，1 】是全连续的因 此，由 6 】知，皿在l 2 1 0 ，1 】l 2 【o ，1 】上弱下半连续 对所有 l 2 【o ，1 】l 2 【o ，1 】，我们有 皿( ) = 扣”) 一f o f ( m 2 ”( t ) 膨 知h z l 畔吣汗出一小i n m ，2 吣汗。出一c 1 4 嚣二掌一类甍黔努程缓连藏翔嚣瓣的存在经与多舞往 知阳飚桫( z 1 | 渺礤妒书。娟一e = | | 2 一。( 弘嘭一b ( k r a u ，v ) 1 一似一e 扣 2 一旷撕娜i i 一6 ，r 咖p 删1 1 一，二c = ；( 1 - 2 旷凯) 岬t l 一6 ，r 刊2 刊椰i i 一，_ c 故l i m f l 。t l 。皿( 口) = + o 。根搬窳壤2 2 8 ，存在v o l 2 o ，1 】l 2 i o ，1 1 ，使得娜) 。0 ， 即蜘一k m 2 h k “e v e = 0 日 定瑶2 3 5 设f 满足条律； ( 矗1 ) 存在筘( 0 ，1 2 ) 及定 0 ，链缮f 鞋) # v f ( u ) ，嗣怒 a 2 ； s u p s _ o 尹( # ) l 嚣| 2 妒”，2 。 鬓 逡缓闷惩2 3 1 ；在轳”鹣1 lxg 轨羚，1 l 串至步毒一令菲零薅 蓬盘雩；瑾2 3 1 翡缕涂i 垮，嚣器涯臻算予努程 2 3 。2 ) 在l 2 i o ，1 1x 舻魏霹审至 少有个j # 零薅我稍爨然考霖辖3 。3 ) 孛定义戆泛函霍下嚣我# j 将诞骥霉满足定 理2 2 9 出路定理) 的全都条镣 首先，我们证明中满足p s 条件因为f ( u ) 一p v f ( u 卜仳在孵上连续，故存 在q 0 ，使得 f ( “) p v f ( u ) 一“+ a ，j u i r 出假设( a 1 ) ，可得 f ( 强) # v f ( u ) 啦+ 岛，钍形。( 2 3 6 ) 令繇 c l 2 0 ，1 】l 2 o ，1 】麓l 零) | 最薄鬻，箕孛 0 楚一常羹藏鼙，( 堍) = 箨一。醚耐2 嚣熨州。) 一0 。浚囊翻 ，l ( 瑶) ，v n = ( v n j r ”胆嚣菇魁搀，) = i | | 2 一fv f ( j 一，2 魄国；j ( “，2 v 。( t ) d t 。 0 垂 壶( 2 3 5 ) 式知 筘 = = m ( ) ；i i v , , 1 1 2 一z 1 妒( 艘删出 ；1 1 “1 1 2 一p x v f ( 删2 ( t ) ) 2 q ( 1 1 2 一私) # t 2 + 弘( 霉( t k ) ，t k ) c 1 y 2 一p ) l t | 1 2 一弘l l 雪7 ( 协。) 矮l t l q ，8 趱， 1 5 一裳赢阶微转疗穰逡德露鞭的解 躐努国( j 一0 ，救存在n o 麟髓褥 妒( 1 2 一黟) 辑；l 尹一婚；一饶，站 n o 浚袭鹱 冁 c 驴p ，1 】驴晒1 】肖男。冀鹾嚣k 硝2 ：l 2 0 ，1 j ) ( l 2 0 ，1 l c 0 ，1 】 g f o ，1 会德缕，fgc 1 ( r 2 ，敢) ，鼹一辩州2 h i ( ”2 v a 一0 ，可得 ) 糟一收敛予 列从而我们得到收敛性 由予l i r a s u p o f ( 砧) 2 霄撕2 ，敞襻谯g l ( 0 ，1 ) 及j 0 ，使得 f ( u ) ；栉觚( 1 一s 1 ) m 3 ，m 6 。 ( 2 3 。7 ) ，辨、，o 令矿一髟 靠，蕊审a 散一2 礤 ，嬲由警| 璎2 , 2 3f 群咧2 封( t ) l 矗俐 一最# 静，l 鼢毋蜀，麓譬昂一扣l 2 0 ，1 l u o ，1 】：剐l 砖，黝她鼗# j 霄 零秘0 一；如，冒一ff ( i ：咧2 站) 扣卜；痧 硝z 1 l 桫删2 盛 一；| 扣l 2 一；痧( 1 8 t ) ( k “针) - ：i t ”8 2 一；，r 2 ”( 1 一s - ) 订- - 2 m i l ”1 1 2 一；g l i 扣胪，”a 岛。 遮袭鳃i n 岛黼剿研g l 矿2 0 蠹霉麴蹙义及叫2 0 0 ，赫辩霉( * 0 。 舞穷蕊，壤l i m i n f l 。t f f 珏) 2 黼膨翔，存农张 0 ，晓 0 ，键褥 联嚣) 妄痧( 1 书9 2 ) 溺2 一q ，嚣孵， 令8 l 一( s i n ，r t