（基础数学专业论文）关于一些算术函数的均值估计(2).pdf

塑! l 奎耋堡圭堂堡! 垒塞 摘要 众所周知，算术函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的位 置，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进展 都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用! 本文研究了一些算术函数的均僵估计问题，定义了关于整数及其逆问题 的多维高次形式，给出了与之相关的一些离次均值和加权均值：研究了关于超 级c o c h r a n e 和与超级k l o o s t e r m a n 和的混合型均值估计；推广了关于多项式特征 和的一些重要恒等式；研究了广义二项指数和的高次均值估计，并给出了一个精 确的计算公式j 研究了一些特殊数列的均值，并给出了些较好的渐近公式具 体说来，本文的主要成果包括以下几方面： 1 关于整数及其逆问题的研究有助于我们深入了解整数分布的性质本文 研究了整数及其逆问题及其推广，定义了多维高次整数及其逆问题，给出了些 混合均值的渐近公式 2 超级c o c h r a n e 和与超级k l o o s t e r m a n 和的混合型均值估计本文研究了 一种类似于d e d e k i n d 和的和一一超级c o c h r a n e 和的均值性质，给出了关于超 级c o c h r a n e 和与超级k l o o s t e r m a n 和的混合均值的个渐近公式 3 多项式特征和的一些重要推广本文研究了关于多项式特征和的均值计 算，得到了一些推广形式的恒等式 4 广义二项指数和的高次均值估计本文研究了关于广义二项指数和的离 次均值估计问题，并给出了一个四次均值的精确计算公式 5 研究了一些特殊数列的均值本文研究了无k 次幂因子数及其均值，以 及m 次剩余数与无k 次幂因子数的混合均值，给出了关于它们的一些渐近公式： 研究了著名的f i b o n a c d 数列，并给出其计数函数均值的一个精确的计算公式 关键词：整数及其逆；d e d e k i n d 和；i 迢级c o c h r a n e 和；超级k l o o s t e r r n a n 和：特 征和；二项指数和；特殊数列 垒鳖垒! 塞l 墨圣塑量2 a b s t r a c t ( 英文摘要) i ti sw e l lk n o w nt h a tt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et om a n y f a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m st h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l d w i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fs o m ei m p o r t a n t a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s f i r s t l y ，w es t u d yt h ep r o b l e mo fa ni n t e g e ra z l di t si n v e r s e a n dg e n e r a l i z ei tt ot h em u l t i p l ev a r i e t i e sa n dh i g hd i m e n s i o n sc a s es o m eh i g h d i m e n s i o n sm e a t lv a l u ea n dh y b r i dm e a nv a l u ea r ep r o p o s e d ；s e c o n d l y ，w es t u d y t h eh y b r i dm e a nv a l u eb e t w e e nt h eh y p e rc o c h r a n es u m sa n dh y p e rk l o o s t e r m a n s u m s ；t h i r d l y , w eg e n e r a l i z es e v e r a li m p o r t a n ti d e n t i t i e si n v o l v i n gt h ec h a r a c t e r s u m so fp o l y n o r a i a l s ；f o u r t h l y , w es t u d yt h em e a nv a l u eo ft h et w o - t e r me x p o n e n t i a ls u m sw i t hd i r i c h l e tc h a r a c t e r s a n dg i v ea ne x a c tc a l c u l a t i n gf o r m u l af o r i t sf o u r t hp o w e rm e a n ；f i f t h l y , w ew o r ko ns o m es p e c i a ls e q u e n c e s ，a n dg i v eaf e w s h a r pa s y m p t o t i cf o r m u l a c t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n a r ea sf o l l o w s ： 1t h es t u d yo nt h ep r o b l e mo fa ni n t e g e ra n di t si n v e r s ew i l lh e l pu st ok n o w m o r ep r o p e r t i e so ft h ed i s t r i b u t i o n so fi n t e g e r s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h e p r o b l e mo fa ni n t e g e ra n di t si n v e r s e g e n e r a l i z i n gi tt ot h em u l t i p l ev a r i e t i e sa n d h i g hd i m e n s i o n sc a s e ，a n do b t a l ns o m eh y b r i dm e a x lv a l u ef o r m u l a e 2 t h ed e d e k i n ds u m sa n dk l o o s t e r m a ns u l n se n j o yt h e i rl o n gh i s t o r yw e s t u d yt h ec o c h r a n es u n 2 s ，w h i c hi sa n a l o g o u st ot h ed e d e k i n ds u m s ，a n dg e n e r a l i z ei tt ot h em u l t i p l ev a r i e t i e s ( ：a s e t h eh y b r i dm e a nv a l u eb e t w e e nt h eh y p e r c o c h r a n es n l _ i l sa n dh y p e rk l o o s t e r m a ns u m si ss t u d i e d a n da ni n t e r e s t i n ga x y m p t o t i cf o r m u l ai sg i v e n 3 t h es t u d yo ft h ec h a r a c t e rs u m si so n eo ft h eh o t t e s tl s s u e si na n 龃v t i c n u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eg e n e r a l i z es e v e r a li m p o r t a n ti d e n t i t i e s i n v o l v i n gt h ec h a r a c t e rs u n i so fp o l y n o m i a l s 4 t h ee x p o n e n t i a ls u m sa l s oe n j o y si t sl o n gh i s t o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w e s t u d yt h em e a nv a l u eo ft h et w o t e r me x p o n e n t i a ls u m sw i t hd i r i c h l e tc h a r a c t e r s a n dg i v ea ne x a c tc a l c u l a t i n gf o r m u l af o ri t sf o u r t hp o w e rm e a n 5 s o m es p e c i a ls e q u e n c e sa r eg t u d i e d 1 i ，es t u d yt h ed i s t r i b u t i o np r o p e r t i e s o ft h em p o w e rr e s i d u e sa n dk p o w e rf r e en u m b e r s a n do b t a i ns o m ei n t e r e s t i n g a s y m p t o t i cf o r m u l a e ；w ja l s os t u d yan e wc o u n t i n gf u n c t i o ni n v o l v i n gt h ef a m o u s f i b o n a c c in u m b e r s ，a n da ne x a c tc a l c u l a t i n gf o r m u l af o ri ti sg i v e n k e y w o r d s ：a ni n t e g e ra n di t si n v e r s e ；d e d e k i n ds u m s ；h y p e rc o c h r a n es u m s ； h y p e rk l o o s t e r m a ns u m s ；c h a r a c t e rs u m s ；t o w - t e r me x p o n e n t i a ls u m s ；s p e c i a l s e q u e n c e s i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阁。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 射，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者津位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：熬筮冬指导教师签名：瑙么醚咨学位论文作者签名：量公! 鱼聋指导教师签名：蕴幺世 笛为 肋，年上月1 6 日砌产年岁月，朔 西北大拳学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：张天犀 i 函f 年f 月，占日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 自变量n 在某个整数集舍中取值，因变量y 取复数值的函数9 = ，( n ) ，这种 函数称之为算术函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常重要的作用尽 管很多重要算术函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均值f ( n ) 却体现 n 兰。 出很好的规律性，因而数论中对算术函数性质的研究经常是在均值意义下进行 的6 算术函数的均值估计是数论尤其是解析数论的重要研究课题之一，是研究各 种数论问题不可缺少的工具因而在这一领域取褥任何实质性进展都必将对解析 数论的发展起到重要的推动作用 解析数论中对于整数及其逆问题的研究有助于我们深入了解整数分布的性 质张文鹏 3 2 】f 4 1 】给出了整数及其逆问题的二次均值，并要求我们研究其多维高 次均值以及与其它著名和式的混合型均值这个问题具有挑战性，因为原有的方 法基本上走不通，出现了新的难以解决的d i r i c h l e tl 一函数的某种复杂形式对于 这困难的最终克服，使得我们得到了一些有趣的渐近公式 算术函数中的指数和，d e d e k i n d 和，以及k | o o s t e r m a n _ 手 f 有着悠久的历史和 丰富的内容1 1 】1 2 】1 16 1 ，它们之间也存在着某种联系叶扬波 2 8 】给出了二项指数和与 超级k l o o s t e r m a n 和之间的一些恒等式，丽这些恒等式都可以从广义d a v e n p o r t ， h a s s e 恒等式所得到张文鹏f 3 3 】侧证明了d e d e k i n d 和与c o c h r a n e 和可以转化 为g a u s s 和与d i r i c h l e tl 函数的某种复杂形式进一步设想：如果我们能够给出 相应的l 函数的均值估计，就可以得出关于d e d e k i n d 和与c o c h r a n e 和的一些均 值公式! 关于多项式特征和的上界估计是解析数论的一个重要研究课题p 6 1 y a 与v i n o g r a c l o v 曾经给出了经典结果、w e i l 利用有限域上代数函数域中的r i e m a n n 猜想获得了一个最佳估计! 事实上张文鹏在( 3 7 1 中证明了这一事实，得到了一些重 要恒等式，也提供了一种计算j a c o b i 和的新方法而我们通过减弱结论中所需条 件，即可得到相应的推广形式的恒等式 此外，罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e 2 9 1 在 o n l yp r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o n s 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题对其中的一些问题进行研 究、并给以定程度上的解决，是有趣并有一定的理论意义的 基于以上的想法，我们研究了多维高次整数及其逆问题超级c o c h r a n e 和与 超级k l o o s t e r m a n 和的混合型均值估计，多项式特征和，广义二项指数和，以及一 些特殊数列、并得到了一定的成果 第一章绪论 1 2主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了一些重要算术函数的均值估计，这些成果主要表现在 多维高次整数及其逆问题，超级c o c h r a n e 和与超级k l o o s t e r m a n 和的混合型均值 估计，多项式特征和，广义二项指数和，以及一些特殊数列等五个方面，内容分布 在第二至第六章具体说来，本文的主要成果和内容组织如下： 1 关于整数及其逆闽题的研究有助于我们深入了解整数分布的性质、本文 在第二章中研究了整数及其逆问题的推广，定义了多维高次整数及其逆问题，给 出了一些混合均值的渐近公式 2 关于d e d e k i n d 和与k l o o s t e r m a n 和的研究有着悠久的历史和丰富的内容 在第三章中，本文研究了一种类似于d e d e k i n d 和的和一超级c o c h r a t l e 和的均 值性质，给出了关于超级c o c h r a n e 和与超级k l o o s t e r m a n 和混合均值的一个渐近 公式 3 ，多项式特征和的均值问题是解析数论的一个研究热点在第四章中，本文 研究了关于多项式特征和的均值计算，并得到了一些推广形式的恒等式 4 关于各种形式指数和的研究同样有着悠久的历史和丰富的内容在第五 章中，本文研究了关于广义二项指数和的高次均值估计问题、并给出了一个四次 均值的精确计算公式， 5 关于一些特殊数列及其均值性质的研究是十分有趣的，在第六章中，本文 研究了无次幂因子数及萁均值性质，以及m 次剩余数与无次幂因子数的混合 均值性质，给出了关于它们的一些渐近公式；研究了著名的f i b o n a c c i 数列，并给 出其计数函数均值的一个精确的计算公式 2 西北大学硕士学位论文 第二章关于整数及其逆问题的一个推广 2 1 引言 设q 2 为任意给定整数，c 为满足条件( g ，c ) = 1 的正整数，则对于满足 条件( n ，g ) = 1 ，0 o q 的口，必然存在唯一的正整数0 2 都有渐近公式，即就是 争伽，= 渺黑攀旁+ 。( a x n ( 怒) 1 c 2 1 矿l l 口 p 矿 、 、17 其中i i 表示对q 的所有满足条件矿旧f t p a + 1tq 的素因子求积 p a 这说明命题中的误差估计是疑好的了! 文献【2 3 】e 0 m o r d e l l 对于著名的k l o o s t , e r m a i l 和作了如下高维推广 k ( h ，问= 塞毒e 毫e ( 堕生岂业盟堡) ，扎扣7 ，7e ( 业竺生# 譬业堕生1 口1 = l0 2 = 1n k = 1 1 后来称之为超级k l o o s t e r m a n n l 许多学者都对此作了深入细致地的研究结 果表明，超级k 1 0 0 s t e r m a n 和在m a a s s 形式( 3 的f 0 u r i e r 系数估计，以及s e l b e r g 关于 3 第二章关于整数及其逆问题的一个推广 特征值猜想1 4 4 j 的研究中都得到了很好的应用；不仅如此，s m i t h 还建立了超 级k l o o s t e r m a n 和与h e i b r o n n 和之间的一个重要关系式1 3 0 1 现在我们对上述命题中的问题作一推广设q ， 为满足条件q 2 ，n 1 的 任意正整数，设 q q q m ( n ，k ，叫) = 5 2 ( 。- 。一b ) 她： 口1 = 1b n = 1b = 1 0 1b n 妇c ( r o o d 口) 若n = 1 ，则有m ( 1 ，k ，c ，q ) = m ( k ，c ，q ) ，这在前面已经讨论过了；而对于n 1 ，k = 1 的情形，我们至今知之甚少亦即对于 口gq m ( n ，1 1c , 口) = ( 。，n 。一b ) 2 ， n 1 = 1口。= 1b = l 。1 o n b - - = c ( r o o dq ) 则我们有误差项 ，叫，+ 掣一( 掣+ ；黔纠) “ 一( 掣+ 掣黔p ，) _ 本文中，我们将利用g u s 8 和与原特征的性质，以及d i r i c h l e tl - 函数的均值定理等 研究误差项e ( n ，1 ，c ，q ) 与超级k 1 。o s t e r m a n 和k ( ，n + 1 ，q ) 的混合型均值，以及 误差项的平方均值。e 2 ( n ，l p ) ) 并给出两个有趣的渐近公式具体说也就是 证明下面的： 定理2 1 ：若整数g 2 ，n 1 ，则我们有渐近式 e ( n ，l ，c ，g ) ( c ，n + l ，g ) = 出等地黎( t 一赫) + o ( p + 1 + _ 定理2 2 ：对于奇素毒如厦任意整数n 1 ，我们有渐近式 驴p 一= 丁p 3 n + 3 ( ；) 如飘( - 一竿) + 。( p 3 州一 其中表示所有对p 1 p 的素数p l 的乘积，以及= m ! n ( m n ) ! 如果在定理2 1 中取g = p ，立即可得 4 西北大学硕士学位论文 推论2 1 ：对于奇素数p 及任意整数n 1 ，我们有 + 0 ( p 抽州“) 2 2 几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理首先有 引理2 1 ：设g 为任意正整数，x 是楔q 的非原特征，升且x q 甘) ( ；则当( n ，口) 1 时，我们有 = 手( 南) ) + ( 志) 秣舢矿1 ( 南) 呶飞；：惹 专中p ( m 6 b i u s 函数，q l 是和q + 有相同素因数的口的最大除数ig ( n ，) ( ) 2 x ( b ) e ( 等) 为关于特征x 的g 口w 咖，以及r ( x ) = c ( i ，) ( ) 而当( n ，q ) = 1 时，我们有g ( n ，x ) 寻f ( n ) r ( 乒) 芦( 手) r ( ) ( + ) 引理2 2 ：令) ( 是由模m 的原特征x 。导出的模q 的特征，则有恒等式 r ( ) = x m ( 示q ) 卢( 熹) r ( x m ) 证明：参阅文献f 5 j 引理2 ，3 ：若整数g 2 ， 1 ，则砖任意满足条件c ) = 1 的正整数c ，我们有恒 等式： 啪，哪卜而2 i n + l q n + l 。r o o d 。稚，溪掣) 卅1 ， 其中x ( 一1 ) = 一1 表示) ( 是模q 的奇特征 证明：利用模q 的特征和的正交性，我们有： 口9 g m ( n 1 ，c ，q ) = ( n r 山) 2 b i = 1 西i = l6 皇】 d l o n b = - = c ( r n o dq ) 5 学 | | p + 如 巧 p c m f ，m 第二章关于整数及其逆闾题的一个推广 2 赤。三。一c c ) 三三蚤以a 1 a n b h 饥山) 2 = ( 者n 2 ) n + 善q7 扎志( 毫0 ”1 一志三一c c ，( 妄州n ，) ”1 ：( 学+ ；驵( - 刊) + 丁c n ( q ) q 2 + 掣l - ，i ( - _ p ) 一掣芏 这里我们使用了如下恒等式 奎n = 学，争= 华+ 翠刊 ( 参阅文献 如果x ( 一1 ) = 1 且x ) ( o ，则有 o x ( 。) d = 1 而当) ( ( 一1 ) = 1 时，有 qq 。) x ( q n ) = ( q - ) x ( d ) - 一a ) ( ( 。) = 0 d ；1o = 1 套蜘，( ：一；) = ：妄州a ， 从而利用恒等式 眙) ) _ 一；喜掣，曲z = 打一) 不难得到 一而2 。磊。氟。喀吣沁) j 2 q 西n + l 。弥，( 洳( ) ”1 = 一而2 q n + l 。三。球，( 洳( ( 埘“ 6 西北大学硕士学位论文 = 一而2 q n + l 。三。称，f 亭耋曲( g ) 。急。”l ”鲁 “一1 ) = 1 = 而2 q n + l 。三。弛) ( 杀喜庐( g ) 。急。“、2 ”i 台 攀s i n 2 n t a q a = l r ( n ) ( ) i ti 盟塑二t g 二幽”1 一孺2 i “+ l q n + l 。r o o d 。弥，溪剑t ) ”1 f 1 妒( q ) ，厶。“鲁 这就完成了引理2 3 的证明 引理2 4 ：设整数q ，r 满足q23 和( r ，口) = i ，x 为模q 的d i r i c h l e t 特征，则有 盖r o o d ：。时卜d 1 善1 ，p ( 孙d ， xg 1 【q ，r 一) 及 j ( a ) = 芦( d ) 币( ；) ， 其中4 表示对模q 的所有原特征求和，j ( q ) 为模q 的原特征个数 r o o d 口 证明：这是文献f 3 9 ) 中的引理3 m一丢蒹。；。型塑兰丝尘i警豢半堂型d d 1 l l ；d n + l ； ”“1 1 + x ( d 1 d 州) l 州( 1 ，x ) xm o du d ( 一1 ) = - - 1 = 掣聚( ，一赫) 十。( 矿) 证明：设+ 1 ( s ) 为第札十1 个除数函数( 亦即方程s = 8 1 8 2 8 。+ 1 的所有正整数 解的个数) ，则对于任意s 的参数，以及模s 的非主特征x ，利用a b e l 求和公式 得 拈薹1 掣2 1 萎n 掣+ f 竽蛳s = s 1 ，及模口的任意特征 我们有 o l + 0 2 + - + n n + c 瓦l 苞2 坠) 刮习( 扣，e ( 游卅1 就 另一方面，设整数k = u ，其中u 为完全平方数或u = 1 ， 为无平方因子数注意 到x + ( 熹) 卢( 熹) 0 当且仅当m = u d ，这里du 因此由引理2 ，1 引理2 2 和引 理23 、我们有 e ( n ，l ，c ，q ) k ( c ，n + 1 ，q ) = 一一2 i n + l q n + l 。三。隆肌憔掣r = 一而2 i n + l q n + 1 。三。一叫娄掣r 9 g 1 + nc 0 x 。同 ， 咖 一x 。耐 。一 。叫。” l | 第二章关于整数及其逆问题的一个推广 一2 。i n + l q n + h le 三+ ，( ；) t ( 护1 _ ) ，- ，如y 急。d 4 l d ”l d 。 ” 医蛐学r 注意到恒等式 又( ；) = 元( 豢) 刺芦( ；) = 一( 赤) 俐庐( 。) 一毋( 盖) 毋( d ) 以及当f 是模m 的奇原特征时，r ( ) ( ) r ( 又4 ) = 一m 从而利用引理2 5 ，可得 ( “d ) ”+ 1 又( d 1 - - d n + i ) 己“+ 1 ( 1 ，茏) = 业笔掣骢( z 一赫) 圳产卅勺 pj l 口 这就完成了定理2 i 的证明 另外，由引理2 3 及引理2 6 可得 壹7 职，c ：4x 蒜( - 酥1 ) + l 了p 2 n r + 2 r 州( ) ( ) t n + l ( 又) l n + 1 ( 1 ，) l ( 1 ，贾) = 1 莉f 矿x 急扣下。忱 列扩弋l 刖n u x = 高南。至，似h 炉m = p 丁3 n + 3 2 “耳( 卜1 - 州c 5 h + 咐啪一 1 0 口 1 + n 沁 k 曲 c1几 e 。脚 最 叫 即 毛i 褚唔 = 西北大学硕士学位论文 第三章关于超级c o c h r a n e $ 口的混合型均值 3 1 引吾。 对任意给定的正整数q ，n 及整数h ，我们定义经典的d e d e k i n d 和s ( ，q ) 如下 s ( h 埘= 耋( ( ；) ) ( ( 警) ) ， 埘= ( ( ；) ) ( ( 警) ) ， d 墨1 ， ，7 其中 ) ) ：浯k 卜5 萋：篇； 并定义广义d e d e k i n d 和s ( ，n ，q ) 如下： 跗，刚，= 薹q 百n ( ；) 瓦( 警) ， 其中 百n c z ，= 0 扛一p 翥羹：薹萎萋警； 嘲表示不超过$ 的最太整数，b 。( z ) 是b e r 0 u l l i 多项式，百。( z ) 是定义在【o ，1 区 间上的第n 个b e r n o u l l i 周期函数张文鹏曾在文献【2 2 j 【3 6 】中研究了关- 于s ( h ，n ，q ) 的 一些均值性质2 0 0 0 年1 0 月，美国著名解析数论专家t o d dc o c h r a n e 在西安访问 期间提出了一种类似于d e d e k i n d 和的和式， c ( h 潮= 喜( ( ；) ) ( ( i a h ) ) 潮= ( ( 荆( ( i ) ) o = l 7777 q 这里。面! l ( m 。dg ) ，7 表示对所有的与g 互素的。求和他建议我们 口= l 对e ( h ，q ) 的算术性质和均值分布情况加以研究，然而我们至今对此都知之甚 少文献t 3 8 1 中张文鹏发现了c o c i l r a n e 和与如下定义的k i 0 0 8 t e r m 舡1 和 跏，啪，= 擎1 ( 掣)6 盅 、 之间存在着极为有趣的联系! 例如，若q 是一个完全平方数( 即p q 当且仅当p 2 ；q ) 则我们有如下渐近公式 毫，= 1 2 q 。b ( q ) + 0 ( a e 冲( 潞) ) ， = 1 、 第三章关于超级c o c h r a n e 和的混合型均值 而对于一般的整数口3 ，张文鹏在文献1 3 9 】中得到了如下渐近公式 者g a ，= 丽- 1 似。，聚( ，一志) + 。( 声) ，c 。z ， 这里e 为任意小的正实数 文献【2 3 1 中m o r d e l l 定义超级k l o o b 协m a n 和如下： 塞e ( 生生岂幽 靴= 1 、 1 关于超级k l o o s t e r r a a n 和的性质，许多学者都对此作了深入细致地的研究结 果表明，超级k 1 0 0 s t e r m a n 和在m a a s 8 形式【3 1 的f 0 u r i e r 系数估计，以及s e l b e r g 关于 特征值猜想1 4 4 ) 的研究中都得到了很好的应用；不仅如此，s m i t h 还建立了超 级k 1 0 0 s t e r m a n 和与h e i b r o n n 和之间的一个重要关系式【3 0 】 类似的，我们可以定义超级c o c h r a n e 和如下： 咖删= 塞一m 。( 詈)塞一m 。( 警) 瓦。( 生) 本文中，我们将利用g a u s s 和与原特征的性质， 圾d i r i c h l e tl - 函数的均值定理等 研究超级c o c h r a n e 和与超级k l o o s t e r m a n 和的混合型均值，并给出个有趣的渐 近公式具体说也就是证明下面的： 定理3 1 ：若口3 为整数，则对任意的奇数m 1 ，”2 ，m k + l ，我们有渐近式 k ( h ，k “q ) c ( h 矧m ，k ) = 世斋掣飘i t , ( ，一崧1 ) 2 ) 十o ( 矿e ) ( 2 丌t ) m 1 十+ m b + 1士一矿( p 一、1 ， 如果在定理中取口= p ，立即可得 推论3 1 ：若p 为奇素数，则对任意的奇数m l ，m 2 ，m + 1 ，我们有渐近式 壹h , k + 1 , p h , p ；m , k k ( h p ) c ( h ) ：业篆篱掣+ 。( p n ) ) = 盟鼍鬻杀警+ 。( 矿机) h = l 、。 3 2 几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理，首先有 1 2 。州。” f f g l + 克 k 西北大学硕士学位论文 引理3 1 ：设g 为任意正整数，x 是模q 的非原特征，并且锌) ( 则当( 礼，口) 1 时，我们有 = 嚣( 南) ( 确) 秣批舻1 ( 南) 呶飞簇煮 其中舻( n )m 6 b i u s 函数，q l 是和q + 有相同素因数的q 的最大除数ig ( 礼，) ( ) = 壹x ( b ) e ( 等) 为关于特征) ( 的g 。u s 曲，以及f ( ) ( ) ：a ( 1 ，x ) b = 1 而当( n ，q ) = l 时，a n s g ( n , ) ( ) = f ( n ) r ( 乒) 上( 争) r ( x 车) 证明：参阅文献眵 引理3 2 ：令是由模m 的原特征) ( 。导出的模口的特征，则有恒等式 r ( x ) = x m ( 景) 弘( 墨) ，( 川 证明：参阅文献f 5 】 引理3 3 ：若 ，q 为正整数，且满足条件q 3 ，( h ，q ) = 1 ，则对任意的奇 数m 1 ，m 2 ，m k + 1 ，我们有恒等式j = 裂篙 耋掣，妻。掣r k - e i ) 其中x ( 一i ) = 一l 表示x 是模g 的奇特征， c ( h ，q ；m ，k ) = 蹇硫( 塞瓦( 警) k ( 半) = 丽1 。三。 耋瓶，瓦。( 詈) 卜 。量q ，心，一m 。( 掣) 注意到百n ( z ) = 一面斋7 卧计，以及对于满足条件( kg ) = 1 的任意整数几 有g ( h n ，x ) = 又( 九) g ( n ，x ) ，故而得 c ( h ，q ；m ，) 1 3 里三曼圣圭些鍪三! 塑竺! ! 型塑堡篁型望堡 = 南。三。 毫( 一蒜) ，。塾。等 ”“ 熹，( 一赫) “詈。小，譬 = 裂斟喜掣卜 善掣 = 器煞制。三。鼢， 薹掣卜鹰掣 这就完成了引理33 的证明 引理3 4 ：设整数q ，r 满足q 3 和( r ，q ) = l ，x 为模qd i m c h l e t 特征，则我们 有 + x ( r ) = p ( ：) 咖( d ) xr a o dg d i ( 口，r 一1 ) 一 及 j ( 。) = p ( d ) ( ；) ， 其中+ 表示对模q 的所有原特征求和，j ( 口) 为模q 的原特征个数 x r o o d 口 证明：这是文献【3 8 | 中的引理3 引理3 5 ：设整数q = u 口，其中“为完全平方数或u = 1 为无平方因子数则对 于任意正整数1 ，t 2 ，如+ l ，我们有渐近式 垂= j 二j ：二j d md l i ： 血十l j 扩1 d k + l - “( 最) p ( 赤) 石焉取万i 丽 x l ( t l ，叉) l ( t k + 1 ，又) 2 禹聚( ，一赫) ， 1 4 +出 d 氟 “_裂 x x 西北大学硕士学位论文 证明：无妨假定t = m i n ( h ，t 2 ，t k + 1 ) 令 r k + ，( n ) = e d i 一1d “d k t - - + t ，k + 1 d l 南d k + 1 = “ 则对任意参数n u d 及模u d 的任意非主特征x ，利用a b e l 求和公式得 础t 驴叫沁，= 耋磐掣= ，萎。攀掣+ t f 等咖1 象 一山扩1 “。 其中a ( ，需) = e 牙) r k + 1 ( n ) n n 茎y 注意到对于b ( ，) ( ) = e x ( n ) 靠+ 1 ( n ) ，这里r k + l ( n ) 是第自+ 1 个除数函数 n n y 我们有 e ib ( v ，) ( ) 1 2 y 2 - ( 4 2 k + 1 ) + e 咖2 ( u d )( 33 ) x r o o du d x # x o ( 参阅文献【3 5 】中引理4 ) n n c a u c h y ：袱，我们将要证明以下估计 e l c ”，元，1 a e 。ib c v ，又，i = ( 曲c u a ，。r o o d x m o d u dr o o du dr o o du d b c ，叉，j 2 ) 。 x x y l - ( 2 2 ”1 ) 十币3 2 ( u d )( 3 4 ) 令 表示不等于t 的t t 的个数，这里1si + 1 ，我们分以下两种情况来讨论 i ) 若 = 0 ，我们有 a ( ”，又) = e 趸( ) 7 k + 1 ( n ) = b ( y ，叉) 利用c a u c h y 不等式可得 ei a ( y ，元) l 1 一2 7 2 + 1 + 西3 7 2 ( u d ) x r o o du d x ( - 1 ) = - 1 i i ) 若1 训k ，我们有 a ( y ，贾) = e 又( d 1 d 。d 。+ 1 d + 1 ) 趟一“d # k n d l d d + 1 d k + 1 = e 元( r n ) r u ( r n ) 又( n ) r k u + ( n ) n m n y 1 5 第三章关于超级c o c h r a n e 和的混合型均值 = 又( m ) r 。( m ) 贾( n ) “- t o + l ) n m s y n | m n y m 利用c a u c h y 不等式可得 i a ( y ，趸) lr 。( m ) j 又( n ) 靠一。+ t ( n ) j x r o o d u dm x r o o du di n m ( 一1 ) = - 1x ( 一i ) ；一i + ( m ) 趸( n ) 亿一州( n ) j m s x r o o d “l n n m x ( 一1 ) = 一1 y l - ( 2 2 “”1 ) “妒3 2 ( u d ) 结合( i ) 和( i i ) 可知估计式( 4 ) 对任意满足o ws 的整数w 都成立因此我们有 d 出l ： d k + 1 ) d k + lt 严等y 由 t 笔掣由 j 旷f 嘉( 萋：列卜旷f 学由 x ( 一1 ) = 一1 丽丽 垂= d 卜d l l 昔 d h + l i ； u 抖1 舻1 弘( 蠹) 芦( 赤) 1 d t k + l , t 、 q 。，) ( ) + 趸( d 1 出十1 ) 戈( n ) + 0 xr o o d “ x ( - i ) = - i 故而由引理34 可得 垂= i 1 d d 1 1 ； p ( 警) 掣一；磊 。2 + ( ) 2 t + 2 d k + i j ； ( 35 ) 水1 卅1 p ( 齿) 肛( 赤) 本a 川t k + l 西( 壬) - ( 去) x等鬈 糟垃 竺璐竺m训 量书，一 m 三一 糟对可 竺璐竺弘磊 西北大学硕士学位论文 ，曼s l ( 。a ，d l 乏一n + l 芦( 警) 1 s n ，如+ 1) 、。 ( n ，u d ) = l ：一15 - - i f 2 丽磊 如+ l i ； ，萎群器一：；磊 ( n ，u d ) = l 聂“( 警) ，萎 警掣+ 。( 嘉 仙。 lf 1 z h 。? 一一z 田d t b k + 1 - 。l ，。t 嘉p ( 警) r 竺竺丛查l 竺( 盘2 a 钰 曲( 丢) 西( 士) + 。(熹) ( 何1 2 。27 = 篇丢d k + l j ( u d ) + 0 ( 高) + 。( 氍一。蠹赫趴孙s ，荨 州e e - e ；旒洲孙s ，荨 = 揣丢扩1 刖m ( 嘉) 圳 = 禹骣( t 崧) 十。( 嵩) 删n ， - p 这里我们使用了估计式7 k + l ( n ) t k + i ( n ) ，u 为完全平方数，u 为无平方因子 数，以及当u 为完全平方数时，有恒等式j ( u ) = 护( u ) 加 现在取= q 3 x 2 “1 ，立刻得到如下渐近式 垂= 禹翠( p 州a _ 1 削+ 。c 。， 这就证明了引理3 5 1 7 紫巡 竺 、，、， 第三章关于超级c o c h r