（基础数学专业论文）关于几个数论函数及其均值问题的研究.pdf

摘要 数论是研究整数性质的一个数学分支近代数学中许多重要的思想与方法都是从对 整数性质的深人研究而不断发展起来的众所周知，关于一些特殊序列及函数的算术性 质是数论中的重要研究课题之一一些学者对其进行了深入的研究，并获得了不少有趣 的结论 本论文主要利用初等方法研究了一个新的s m a r a n d a c h e 序列及几个特殊函数 的性质，从而给出了一些相关的恒等式和渐近公式具体来说，主要内容为： 1 s m a r a n d a c h e 素数可加补序列在初等数论的研究中具有很重要的地位本文主要 研究了s m a r a n d a c h e 素数可加补序列的性质，给出了关于此序列的一个重要的分布性质 和一个重要的发散性定理以及一个有趣的渐近公式 2 主要利用初等方法研究了包含k 次幂可加补数仇( 行) 的数论函数的均值性质，给 出了一个较强的渐近公式 3 研究了包含k 次幂补数的无穷级数和包含k 次幂可加余数部分函数的无穷级数， 得到了几个有趣的恒等式 关键词 s m a r a n d a c h e 素数可加补序列，k 次幂可加补数，k 次幂补数，k 次幂可加余数部分函数， 均值，渐近公式，无穷级数 s t u d i e so nt h em e a nv a l u eo fs o m e a r i t h e m a t i c a lf u n c t i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) t h en u m b e rt h e o r yi sab r a n c ho fm a t h e m a t i c sw h i c hd e a l s 、析t hp r o p e r t i e so ft h ei n t e g e r s m a n yi m p o r t a n ti d e a sa n dm e t h o d si nm o d e mm a t h e m a t i c sa r ed e v e l o p e dc o n s t a n t l ya sw e s t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ei n t e g e r sd e e p l y i ti sw e l lk n o w nt h a tt h er e s e a r c ho ft h ea r i t h m e t i c - a lp r o p e r t i e so fs o m es p e c i a ls e q u e n c e sa n df u n c t i o n si so n eo ft h em a i ns u b j e c t si nt h en u m b - e rt h e o r y s o m ea u t h o r sh a ds t u d i e dt h e m ，a n do b t a i n e ds o m e i n t e r e s t i n gr e s u l t s t h em a i np u r p o s ei sm a i n l yu s ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h ep r o p e r t i e so fan e ws - m a r a n d a c h es e q u e n c ea n ds o m es p e c i a lf u n c t i o n s ，a n dg i v es o m er e l a t e di d e n t i t i e sa n da s y m p t o t i cf o r m u l a s t h em a i na c h i e v e m e n t sa 陀a sf o l l o w s ： 1 s m a r a n d a c h ep r i m ea d d i t i v ec o m p l e m e n ts e q u e n c ea r ev e r yi m p o r t a n t w em a i n l y s t u d yt h ee l e m e n t a r yp r o p e r t i e so ft h es m a r a n d a c h ep r i m ea d d i t i v ec o m p l e m e n ts e q u e n c e ， a n dg i v ea ni m p o r t a n td i s t r i b u t i o np r o p e r t yt h e o r e m ，a l li m p o r t a n td i v e r g e n tt h e o r e ma n da n i n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l aw h i c hi n v o l v i n gt h es e q u e n c e 2 m a i n l yu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h em e a nv a l u ep r o p e r t i e si n v o l v i n gt h ea - d d i t i v ek - t hp o w e r c o m p l e m e n t sb k ( n ) a n dg i v eas h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l a 3 t h em a i np u r p o s ei st os t u d yt w oi n f i n i t ys e r i e si n v o l v i n gt h ek - t hp o w e rc o m p l e m e n t n u m b e ra n dt h ea d d i t i v ek t hp o w e rp a r tr e s i d u ef u n c t i o nf k ( 疗) ，a n dg e ts o m ei n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s s m a r a n d a c h ep r i m ea d d i t i v ec o m p l e m e n ts e q u e n c e ，a d d i t i v ek - t h p o w e rc o m p l e m e n t s ，k t hp o w e rc o m p l e m e n tn u m b e r ，a d d i t i v ek - t hp o w e rp a r tr e s i d u ef u n c t i o n ，m e a nv a l u e ，a s y - m p t o t i cf o r m u l a , i n f i n i t ys e r i e s n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：重啦指导教师签名：旌l 蚺 w 呻年j 只s b 1 棚7 年堂只沁日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本 论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：1 宇粉 l 硎 k + 1 假设p 是使得p 力! + , 的最小素数很显然 p 一1 ，p 一2 ，p 一七 7 第二章关于s m a r a n d a c h e 素数可加补序列 都是合数现在我们考虑k + 1 个正整数： p - k ，p 一七+ l ，p k + 2 ，p - i ，p 这些数的s m a r a n d a c h e 素数可加补数分别是 s ? a c ( p - k ) - 七，删c ( p 一后+ 1 ) = 七一1 ，s e , 4 c ( p - o = l ，s e a c ( p ) = o 注意到k , k 一1 ，k 一2 ，七一3 ，2 ，1 ，o 包含于 田_ c ( 刀) ) 这就完成了定理2 1 的证明 2 2关于s m a r a n d a c h e 素数可加补序列的发散性及均值公式 2 2 1引言 令： 以= 丢言删c ( 口) 在文献【4 】中k e n i c h i r ok a s h i h a r a 教授建议人们研究极限 煅以= ! 鳃去喜删c ( 口) 同时他猜测序列 4 ) 是发散的! ( 2 1 ) 关于这一问题，至今似乎没有人研究，甚至还不知道式( 2 1 ) 的极限是否存在在本 小节中，我们将使用初等和解析的方法研究序列 4 ) 的敛散性，并解决文献【4 】中提出 的问题此外还将研究均值( 刀+ s 刚c ( n ) ) ，并给出一个有趣的渐近公式具体地说， 也就是证明了下面的： 定理2 2 对任意正整数疗，有估计式 伽1 杰。s p a c ( 口) 1 n n + o ( 1 ) 显然由本定理立刻推出序列 4 i ) 是发散的! 从而解决了文献【4 】中提出的猜测 定理2 3 对任意实数z l ，有渐近公式 荟( 斛删c ) 7 12 + 。m g ， 8 两北大学硕士学位论文 2 2 2 三个引理 为了完成定理的证明，需要引入以下三个简单引理首先有： 引理2 _ 5 “l 设刀为任意的正整数，则当力充分大时在区间 疗一疗西7 ，行 及 协 + 疗矗 中一定包含一个素数即就是存在素数p 及q 使得 力- - n 1 2 p 甩 及 r 1 ，有渐近公式 其中易表示第f 个素数，占为任意给定的正数 2 2 3 定理的证明 下面我们利用引理给出定理2 2 的证明首先对任意充分大的正整数玎，设 2 = p l p 2 t 7 3 n 表示区间【l ，刀】中的所有素数于是由删c ( 口) 的定义可知在区间( 尼。尼+ l 】中所有整数口 的素数可加补数之和为 s 以c ( 口) = 尼+ l 一只- l + p , + l 一只- 2 + + l + o 1 ，设2 = a 仍 见 1 ，我们有渐近公式 萎q ( 疗) = x l n l n x + 厶+ 。( 去) ，一! ；j 其中彳叫等一舟击) ，是刚e r 常数 3 3 定理的证明 下面我们应用上面的引理来完成定理的证明对任意实数x 2 ，设m 为一固定的 正整数且满足 m s x ( m + 1 广 从而由m 的定义我们可得估计式 m = 乒+ o ( 1 ) ( 3 1 ) 注意到 ( 工+ 1 ) ：圭q ，x 根据仇( 刀) 的定义和式( 3 1 ) 我们有 q ( 刀+ 瓯( 力) ) = iq ( 刀+ 么( 刀) ) l + q ( 刀+ 仇( 刀) ) 月立l s ，玉 ，一il ，如 ( f + i ) | ， m f 、n g x 1 4 西北大学硕上学位论文 = 。三一1 ( t k 未秘川) ) + o m 。三wq ( ( ) ) l g 鲥一is ( f + l 广 、 7 l m s h q ，+ l 广 、 7 = 。鲥z 鲥k ( c - i ，t 1 + q ，五+ + ) q ( r + ) + 。( 工竿+ 5 ) l 鲥n ，、- 纠。副i 州岬舯p l g s m 一 纠ye a ( 小。p ) ，l g 玉m 其中我们用到了估计式q ( 刀) 矿 ( 3 2 ) 设彳( 工) = q ( 丹) ，由a b l e 恒等式( 参阅文献 1 5 】中的定理3 2 ) 及引理3 1 我们很 月“ 容易就可以得到 萎，卜1 q ( ，) = m 卜1 彳( m ) 一r 彳( ，) ( f 扣1 ) ，衍+ o ( 1 ) l s r 埘 圳。1 m m h m + 。( 羔) h ( 山h 川r + o ( 圳c ) t t c - 2 d l + 0 m = m i n l n m i + o ( 矧一m - 1 ) ，t - ；l n i n t + ( ) 矿1 p = m t i n i n m 一字( 肌h m ) + 。( 羔) ：1 m kl n l n m + 1 a m k + 0 f 竺1 k k ii n mj 注意到 和 k - i o x m ( m + 1 ) 一m = q 膨+ q m h + + 1 x 1 ( 3 3 ) ( 3 4 ) i n k + i n l n m l n l n x l 的可解性李静在文献 2 3 】中研究了包含s m a r a n d a c h e k 次幂补数的更一般的方程并给 出该方程的所有正整数解即就是对任意的正整数k 3 ，方程 q 7 ( 刀) + q 1 ( 刀) + + q ( 刀) = 刀， 1 有解的充分与必要条件是刀= ，= 所，其解为( 刀，) = ( 所，m ) ，其中m l 是任意正整数 此外，张文鹏教授在文献【2 4 】中获得了一些关于k 次幂补数的恒等式，即就是对任 意复数s 且满足胎( s ) 1 ，我们有： 挚 ! ：盟， 鲁( ( 刀) ) f ( 4 s ) 善南= 锱叭击p ) ，鲁( 加3 ( 刀) ) f ( 6 5 ) l 声r 3 + l 茎南2 锱叭志 ( 1 + 南 ， 1 8 两北人学硕士学位论文 其中f ( s ) 是r i e m a n nz e t a 一函数，兀表示对所有素数p 求积 j 口 本小节利用与文献 2 4 】中不同的解析方法研究了下列级数的一般计算式 善南， 其中a k ( 甩) 是任意正整数刀的七次幂补数，s 是满足舰( 5 ) i 的复数，并得到了一个有趣 的恒等式即就是证明下面的结论： 定理4 1 对任意复数jh 满足r e ( s ) 1 ，我们有恒等式 茎南2 锱小筹) 其中f ( s ) 是r i e m a n n z e t a - f f l ，兀表示对所有素数p 求积 特别地，当s = l ，2 时，有下面的： 推论4 1 善南= 籍兀+ 而k - 2 2 tp ) ，鲁门吼( ) f ( 2 七) l+ l 萋志= 错叭筹 鲁( 佩( 打) ) 2f ( 4 七) i ”p 2 + l j 4 1 2 两个引理 为了完成定理的证明，先有如下两个引理： 引理4 1 2 5 1 令厂( ”) 是一个使得( 玎) 绝对收敛的积性数论函数，那么这个级数 的和能表示为在所有素数上展开的一个绝对收敛的无穷乘积，即有 z s ( 刀) = 兀 1 + 厂( p ) + 厂( p 2 ) + 疗id 引理4 2 2 6 1 假设厂( 丹咖一对盯 吒绝对收敛，如果厂( ，) 是完全积性函数，则有 特别地， 善掣= i ，1 砑嘉，孙聃 1 9 第网章无穷级数及其性质 ) 2 善= 珂专，酆，时 4 1 3 定理的证明 有了以上引理，我们可以给出定理的证明事实上，设厂( 刀) 2 石i 石1 矿，注意到 嘶) 一叫小万1 酬幄籽椭觥醐席巾) 砉。因此孙扣 级数d ( n a , 丽收敛于是由引我们有恒等式 可 卉+ + + + + 件南叫( p 弘) 5 1 = 玎( - + 7 k + 芦k + k + ) = 心舢7 1 + 矿1 ) 吲蛔) n ( 1 7 1 + 歹k p)pr ， 驰) 9 ( + 丁k - i ) 上 + + 上 + + 厂 2i p 1 2 p ，-南 忡硝 r j 2扣 1 p 也七 p ，i-厂 一 矿 + p ，j_、 一卜7上咭 上广 + ， 、 兀p 西北大学硕l 学位论文 吲缸) 耳( + 7 1 + 丁k - 2 吲b ) 兀pf k 掣p + 丁k - 2 = 籍叭而k - 2 ) 于是完成了定理4 1 的证明 在定理4 1 中分别取s = 1 ，2 ，我们即刻可得推论 4 2 一个包含k 次幂可加余数部分函数五( 刀) 的恒等式 4 2 1 引言 对任意正整数以，刀的k 次幂可加余数部分函数五( 刀) 定义为最小的正整数，使得 n - a ( 疗) 是一个完全七次幂数( 参阅文献【2 9 】) 即就是： 五( 力) = r a i n 厂i o ，= 刀一朋，me 特别地，当七= 2 时，可得平方可加余数部分序列 石( 刀) ( 疗= 1 ，2 ，3 ) 如下： 0 ，1 ，2 ，0 ，l ，2 ，3 ，4 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，o ，1 ，2 ，3 ， 关于k 次幂可加余数部分函数五( 门) 的性质，有学者已作过研究，并获得了一些有 趣的结论例如：马金萍在文献【3 0 】中给出了有关石( 甩) 的两个渐近公式，即就是： 对任意实数x 3 ，有 薹( 胁) ) = 两ix + 。( 南x 1 ， 善赤= - - 云xl n x + ( 1 n x + y - k + l i 忡小 其中厂是e u l e r 常数 文献【3 1 】给出了分别关于函数五( 玎) 和d ( 五( 九) ) 的两个均值公式，即： 对任意实数工3 和给定的整数k 2 ，有 第叫章无穷级数及其性质 荟胁) = 厕k 2 2 _ 1 。p 州ni n1 ，、， 和 善d ( 五( 刀) ) = ( - 一) z m x + ( 2 y + l n k - 2 + 乏1 - ) x + 。( x l - ! kl n x ) ， 其中d ( 门) 是除数函数，厂是e u l e r 常数 本小节的主要目的是利用初等方法研究下列无穷级数 喜高两 的敛散性，并给出几个有趣的等式具体地说就是证明下面的： 定理4 2 设k 2 为整数，s 为任意实数，则无穷级数 ；| | ；高裔 当s 1 时友敢，当s l 时收敛，且有。 删【刀一丽1 = q f ( s k - k + 1 ) + q f ( s k - k + 2 ) + 啭( s k - k + 3 ) + + c ：f ( s 七一1 ) + f ( s 七) ， 其中f ( j ) 是r i e m a n n z e t a 一函数 在定理中分别取七= 2 ，j = 2 和k = 3 ，s = 3 ，可得到下面的： 推论4 2 我们有恒等式 _ 南= 2 f ( 3 ) + f ( 4 ) 台( 疗一石( 疗) ) 2 屿v 尸叭 和 喜而1 丽喵( 7 ) ( 8 ) + 科 4 2 2 定理的证明 这节我们将利用初等方法来完成定理4 2 的证明对任意正整数刀，设m 为固定的 诈整数日满足 西北人学硕士学位论文 册以 l ，即j 1 时，由引理4 2 有 喜i i j i 万厂2 q f ( s k - k + 1 ) + c ? f ( s k - k + 2 ) + q f ( s k - k + 3 ) + + q f ( s 七一1 ) + f ( s 七) 小结与展望 小结与展望 本论文利用初等方法和解析方法研究了一个新的s m a r a n d a c h e 序列及几个特殊函 数的性质，给出了一些相关的恒等式和渐近公式，并解决了f s m a r a n d a c h e 教授在只 有问题，没有解答一书中提出的几个问题通过对这些内容的研究，使作者认识到解 决问题的关键在于不断借鉴和探索新的研究方法 众所周知，f s m a r a n d a c h e 教授在只有问题，没有解答一书中总共提出了1 0 5 个问题，且到目前为止许多的问题已解决但也有一些问题的研究是不完整和不彻底的， 这有待于我们进一步的研究所以作者今后努力的目标是： 一寻求更多更好的新方法给出这些问题更多更好的性质 二通过对f s m a r a n d a c h e 问题的研究，提出一些新的相关的数论问题，并使用新的 方法研究其性质 西北大学硕上学位论文 参考文献 【1 】s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b l i s h i n gh o u s e ， 1 9 9 3 ：3 8 【2 】l o uy u a n b i n g o nt h ei n f e r i o ra n ds u p e r i o rp r i m ep a r t a z h a n gw e n p e n g ，l ij u n z h u a - n g ，l i ud u a n s e n r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y c h e x i s ：p h o e n i x ，a z ，2 0 0 5 ：5 7 - 5 9 【3 】a s h b a c h e rc 。c o l l e c t i o no fp r o b l e m so ns m a r a n d a c h en o t i o n s m u s a ：e r h u su n i v e r s - i t yp r e s s ，19 9 6 ：2 1 - 2 2 【4 】k a s h i h a r ak c o m m e n t sa n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s m u s a ：e r h u su n i v e r s i t yp r e s s ，19 9 6 ：14 【5 】h e a t h b r o w nd rt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nc o n s e c u t i v ep r i m e s 【j 】，j o u r n a lo fl o n d o n m a t h e m a t i c a ls o c ，1 9 7 8 ，v 18 ( 2 ) ：7 - 1 3 【6 】h e a t h - b r o w nd rt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nc o n s e c u t i v ep r i m e s 川，j o u r n a lo fl o n d o n m a t h e m a t i c a ls o c ，19 7 9 ，v19 ( 2 ) ：2 0 7 - 2 2 0 【7 】潘承洞，潘承彪素数定理的初等证明 m 】上海：上海科学技术出版社，19 8 8 ：4 1 - 4 4 【8 】赵继源初等数论【m 】广西：广西大学出版社，2 0 0 1 ：3 7 - 4 0 【9 】y a hx i a o x i a o nt h es m a r a n d a c h ep r i m ep a r t j s c i e n t i am a g n a , 2 0 0 7 ，v 3 ( 3 ) ：7 4 7 7 【10 】d i n gl i p i n g o nt h es m a r a n d a c h er e c i p r o c a lf u n c t i o na n di t sm e a nv a l u e j s c i e n t i a m a g n a , 2 0 0 8 ，v 4 ( 1 ) ：1 2 0 - 1 2 3 【1 1 】y iy u a n , k a n gx i a o y u r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m s ( i nc h i n e s e ) 【m 】u s a ：h i g ha m e r i c a np r e s s ，2 0 0 6 ：3 0 【1 2 】x uz h e f e n g ，o nt h ea d d i t i v e k p o w e rc o m p l e m e n t s a z h a n gw e n p e n g r e s e a r c ho n s m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y c h e x i s ：p h o e n i x ，a z ，2 0 0 4 ：1 3 1 6 【13 】d i n gl i p i n g o nt h ea d d i t i v ek p o w e rc o m p l e m e n t s a z h a n gw e n p e n g ，l ij u n z h u a - n g ，l i ud u a n s e n r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y c h e x i s ：p h o e n i x ，a z ，2 0 0 5 ：2 3 - 2 7 【1 4 】h a r d yg h a n dr a m a n u j a ns ，t h en o r m a ln u m b e ro fp r i m e f a c t o r so fan u m b e r 刀【j 】 q u a r t e r l yj o u r n a lm a t h e m a t i c s ，19 17 ，v 4 8 ：7 8 9 2 【15 】a p o s t o lt m ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i c a ln u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ：s p r i n g v e r l a g ， 参考文献 1 9 7 6 ：7 7 - 7 8 【1 6 】徐哲峰关于s m a r a n d a c h e 函数的值分布【j 】，数学学报，2 0 0 6 ，v 4 9 ( 5 ) ：1 0 0 9 1 0 1 2 【17 】s m a r a n d a c h ef 。o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b l i s h i n gh o u s e ， 1 9 9 3 ：2 5 2 6 【l8 】l o uy u a n b i n g a na s y m p t o t i cf o r m u l ai n v o l v i n gs q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e r s 明s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，v14 ：2 2 7 2 2 9 【19 】y a ow e i l i o nt h ek t hp o w e rc o m p l e m e n ts e q u e n c e 【a 】z h a n gw e n p e n g r e s e a r c h o ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y c h e x i s ：p h o e n i x ，a z ，2 0 0 4 ：4 3 4 6 【2 0 】朱伟义关于整数刀的k 次补数 j 】数学学报，2 0 0 5 ，4 8 ( 4 a ) ：8 1 7 8 2 0 【2 1 】张德瑜，翟文广关于整数疗的k 次补数 j 】山东大学学报( 理学版) ，2 0 0 6 ，4 1 ( 5 a ) ： 4 6 【2 2 】r u s s of 。a ni n t r o d u c t i o nt ot h es m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n t a r yf u n c t i o n 【j 】s m - a r a n d a c h en o t i o n sj o u m a l ，2 0 0 2 ，v13 ：16 0 - 17 3 【2 3 】李静一个包含k 次补数的方程【j 】数学的实践与认识，2 0 0 7 ，3 7 ( 9 a ) ：1 7 2 1 7 5 【2 4 】张文鹏，李海龙，郭金保，等初等数论【m 】西安：陕西师范大学出版社，2 0 0 7 ：1 8 0 1 8 3 【2 5 】a p o s t o lt m ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i c a ln u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ：s p r i n g v e r l a g ， 1 9 7 6 ：2 3 0 2 3l 【2 6 】潘承洞，潘承彪解析数论基础 m 】北京：科学出版社，1 9 9 9 ：9 2 9 3 【2 7 】闫晓霞一个包含伪s m a r a n d a c h e 函数及s m a r a n d a c h 可乘函数的方程阴纯粹数学与 应用数学，2 0 0 8 ，v 2 4 ( 2 ) ：3 7 2 3 7 4 【2 8 】柯召，孙琦数论讲义【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 1 ：2 8 3 0 【2 9 】y a n gh a i ，f ur u i q i n o nt h ek p o w e rp a r tr e s i d u ef u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a , 2 0 0 5 ， v l ( 1 ) ：1 4 1 - 1 4 4 【3 0 】m aj i n p i n g o nt h em e a nv a l u eo ft h ek - t h