（基础数学专业论文）分圆域q（ξ20）的幂元整基.pdfVIP

摘要 一个伽罗华数域l 称有一个幂元整基，如果其代数整环具有形式z ，其 中o l 。此时称理是l 的一个幂元整基生成元。设a ，口是l 的两个幂元整基 生成元，若卢= m 士盯( 口) ，m z ，盯a 面( z q ) ，则称。与卢等价。这篇文章 中，我们主要研究了分圆域q ( ( 2 0 ) 的幂元整基问题。 分圆域q ( 锄) 的代数整环是z ( 2 0 】，所以白。是q ( 白) 的幂元整基生成 元。设q 是q ( 白) 的幂元整基生成元，我证明了当q + 丘隹z 时，n 与锄等 价；当口+ 丘z 时，口与岳= 等价。 从而我们给出了在等价意义下分圆域q ( ( 南) 的所有幂元整基。 关键词幂元整基；分圆域；生成元；t h u e 方程 a b s t r a c t ag a l o i sn u m b e rli ss a i dt oh a v eap o w e rb a s i si fi t sr i n go fi n t e g e r si so ft h e f o r mz f a lf o rs o m en li n t h i sc a 辩o ti sc a l l e dag e n e r a t o ro fp o w e rb a s i si n ll e tqa n dbb eg e n e r a t o r so ft w op o w e rb a s e si nl 仅a n d8i sc a l l e de q u i v a l e n t i f p = 仃l 土盯( q ) f o rs o m em z ，口c 甜( l q ) i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h e g e n e r a t o r so fp o w e ri n t e g r a lb a s e so fc y c l o y o m i cf i e l dq ( ( 2 0 ) z 1i st h er i n go fi n t e g e r so ft h ec y c i o t o m i cf i e l dq ( 锄) ，s o 白g e n e r a t e sa p o w e ri n t e g r a lb a s i sf o rq ( ( 2 0 ) l e to ti sa n o t h e rg e n e r a t o ro f ap o w e ri n t e g r a lb a s i s o fc y c l o t o m i cf i e l dq ( ( 2 0 ) ，ip r o v et h a ti f + 丘譬z ，t h e no ti se q u i v a l e n tt o ( i f 口+ a z ，t h e n q i se q u i v a l e n t t o t 干1 丽 t h e r e f o r e ，w ec a ng e ta l lt h eg e n e r a t o r so fp o w e ri n t e g r a lb a s e sf o rt h ec y e l o - t o m i cf i e l dq ( 白) u n d e re q u i v a l e n c e k e y w o r d s p o w e ri n t e g r a lb a s c s ；c y c l o t o m i cf i e l d ；g e n e r a t o r ；t h u ee q u a t i o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版： 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： p r e f a c e l e tkb ear l u m b e rf i e l da n d0 xi t sr i n go fi n t e g e r s t h e no xi ss a i dt oh a v e a p o w e rb a s i si f t h e r ee x i s t so o r s u c ht h a t 仇= z f o r e x a m p l e ，i f k i sa q u a d r a t i cf i e l dt h e n 仇h a sap o w e rh i t e g r a jb a s i s i nt h i sc a s eqi sc a l l e dag e n e r a t o r o fp o w e ri n t e g r a lb a s i si n 置i ti saw e l l k n o w np r o b l e mt od e t e r m i n ei fan u m b e r f i e l dh a sap o w e r i n t e g a lb a s i s ，a n di td o e s ，t of i n da l lt h ee l e m e n t st h a tg e n e r a t es u c h ab a s i s t h es e to fg e n e r a t o r si ss t a b l eu n d e ri n t e g e rt r a n s l a t i o na n dm u l t i p l i c a t i o nb y 1 ：w e c a l lo la n d o z e q u i v a l e n t i r a = n 4 - a f o rs o n i c n z g y 6 r y 2 】p r o v e dt h a tu pt o7 - e q u i v a l e n c et h e r ea r eo n l yf i n i t e l ym a n ye l e m e n t s w h i c hg e n e r a t eap o w e rb a s i sf o rt h er i n go fi n t e g e r si na n yn u m b e rf i e l d 尼a l s o d n m m i ta n dk i s i l e v s k y 3 】s h o wt h e r e , a l ei n f i n i t e l ym a n yc y c l i cc u b i cf i e l d sw h i c h h a v eap o w e rb a s i s ；g r a s 4 ，o nt h eo t h e rh a n d ，s h o w st h e r ea l ei n f i n i t e l ym a n yw h i c h d on o t s i m i l a rr e s u l t sb yn a k a h a l a 5 a n dh a l ls h o wt h e r ea r ci n f i n i t e l ym a n yw i t h - o u lg r a s 【4 ，6 】p r o v e st h a ti fni sr e l a t i v e l yp r i m et o6 ，t h e nt h e r ea r co n l yaf i n i t e n u m b e ro fa b e l i a ne x t e n s i o n sko fd e g r e eno v e rqs u c ht h a t 仇h a sa p o w e rb a s i s i g a a t 8 】s o l v e sp o w e rb a s e si ns o m ec o m p o s i t e so fn u m b e rf i e l d s i ti su s u a l l yv e r yd i f f i c u l lh o w e v e r , t od e t e r m i n ea l lt h eg e n e r a t o r s f o re x a m p l e so fp o w e rb a s e sd e t e r m i n a t i o ni np r i m ec y c l o t o m i cf i e l d ss b r e m n e r 1 】o r r o b e r t s o n 1 0 , 11 】c y c l o t o m i cf i e l d sa l ea ni n t e r e s t i n gc a s eb e c a u s ep o w e ri n t e g r a l b a s e sa l w a y se x i s ta n di ns o m ec a s e sw ec a i lf i n da l lt h eg e n e r a t o r s b r e m n e r 1 】 c o n s i d e r st h eq u e s t i o no fp o w e rb a s e si nt h ec y c l o t o m i cn u m b e rf i e l dq ( ( ) ，p = 17 pa l lo d dp r i m e t h er i n go fi n t e g e r si sz 吼a n dt h e r ed oe x i s tf u r t h e r ”n o n - o b v i o u s ”g e n e r a t o r sf o rt h i so r d e r ；s p e c i f i c a l l yw es h a l ls e et h a tz a 】= z f o r o t = ( + ( 2 + + ( 0 ，一1 ) 2 h ec o n j e c t u r e dt h a tu pt oi n t e g e rt r a n s l a t i o nt h e r er i o f u r t h e rs u c hi n t e g r a lg e n e r a t o r sa n dp r o v e dt h a tt h i si si n d e e dt h ec a s ei nq ( ( 7 ) lr o b e r t s o n 1 0 】e s t a b l i s h e sac r i t e r i o nf o rv e f i 母i n gb r e m n e r sc o n j c c t u r cf o r g i v i n gr e g u l a rp r i n l epa n du s ei tt op r o v et h ee o n j e e t u r ef o rp 2 3 ，p 1 7 h e d i s c u s s e s t h a t p o w e r b a s e s f o r c y c l o t o m i c i n t e g e r r i n g s l e t p b e a n o d d p r i m ea n d 仇 b et h er i n go fi n t e g e r si nt h ee y c l o t o m i cf i e l dq ( ( ) ，w h e r e ei sa p r i m i t i v ep t hr o o to f u n i t y t h e n 嘭# z 【a 】i fo t = e ，t 霸1 ，o ro n eo ft h ec o n j u g a t e so ft h e s et w oe l e m e n t s s e er o b c r t s o n 11 】f o rt h ed e t e r m i n a t i o no fa l lp o w e ri n t e g r a lb a s e si n2 - p o w e r c y c l o t o m i cf i e l d s l e t ( b eap r i m i t i v e2 r u t hr o o to fu n i t y h ep r o v e st h a tz = g c 】 i f a n d i f a = n + c f o rs o n i c n ，t z ，i o d d t h i s i s t h e f i r s te x a m p l e o f n u m b e r f i e l d s o fa r b i t r a r i l yl a r g ed e g r e ef o rw h i c ha l lp o w e rb a s sf o rt h er i n go fi n t e g e r sa r ek n o w n s e ei g a f i la n dr o b e r t s o n 7 】f o rt h ed e t e r m i n a t i o no fa l lp o w e ri n t e g r a lb a s e si n p r i m e o p o w e re y c l o t o m i cf i e l d s l e tpb ea l lp r i m ea n dq2 矿，w h e r em i sap o s i t i v e i n t e g e r l e t ( b eap r i m i t i v eq t hr o o to fu n i t y , a n d 仍b e t h er i n go fi n t e g e r si nt h e c y c l o t o m i cf i e l dq ( ( ) t h e yp r o v et h a ti fg = z 【血】a n dg o ( 酵，2 型) = 1 ，w h e r e 7 咭i st h ec l a s sn u m b e ro fq ( ( + c 1 ) ，t h e na ni n t e g e rt r a n s l a t eo f 口l i e so nt h e u n i t c i r c l eo rt h el i n er e ( ：) = i nt h ec o m p l e xp l a n e b o t ha r ep o s s i b l es i n c e 岛= z 【a 】 i fo t = eo fo 。耳1 ：t h e yc o n j e c t u r et h a t , u pt oi n t e g e rt r a n s l a t i o n ，t h e s et w oe l e 。 m e n t sa n dt h e i rg a l o i sc o n j u g a t e sa r et h eo n l yg e n e r a t o r sf o r 伉，a n dp r o v et h a tt h i s i s i n d e e d t h e c a s e w h e n q 2 2 5 l vj i a p i n ga n dx i aj i a n g u o 1 4 】g i v ep o w e r b a s e si nm a x i m a lr e a ls u b f i e l d so f s o m ec y c l o t o m i cf i e l d s x i al i a n g u oa n dw a n gs h a o z u 1 2 】g i v ep o w e rb a s e sf o rt h e c y c l o t o m i ef i e l dq ( 白5 ) ，w h e r e ( 1 5i sap n m i t i v e1 5 t hr o o to fu n i t y i ti sw e l l - k n o w n t h a t ( 1 5 ，( 1 - c 1 5 ) 一1a n d ( 1 + n 5 ) 一1 黜a l l g e n e r a t o r s o f p o w e r b a s e s i n t h e c y c i o t o m i c f i e l d + q ( ( 1 5 ) t h e yp r o v e t h a ti f o t + a 隹zt h e no ti sag e n e r a t o ro f p o w e rb a s i si nt h e c y c l o t o m i cf i e l dq ( e 1 5 ) i f a n do n l yi f qi se q u i v a l e n tt of f l 5 i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s sp o w e ri n t e g r a lb a s e so fc y e l o t o m i cf i e l dq ( ( 2 0 ) l e t ( 葡b e ap r i m i t i v e2 0 t hr o o to f u n i t y , a n dw ek n o wz 【( 2 0 】b et h er i n go fi n t e g e r so ft h e c y c l o t o m i cf i e l dq ( ( 2 0 ) ，s o ( 2 0g e n e r a t e sap o w e ri n t e g r a lb a s e sf o rq ( 白o ) t h es e to f g e n e r a t o r si ss t a b l eu n d e ri n t e g e rt r a n s l a t i o n ，g a l o i sc o n j u g a t i o n , a n dm u l t i p l i c a t i o n b y - 1 o u rp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w er e c a l ls o i t l eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tc y c l o t o m i cf i e l d s ，w h i c ha r en e e d e di nt h ef o l l o w i n gp a r t i nc h a p t e r2 ， w e p r o v e t h a t f o r a n y a l g e b r a i c i n t e g e r o t z 【e 2 0 】，i f a + 5g z ，t h e n z 【叫= z 【锄】i f a n do n l yi fai se q u i v a l e n tt oe 加a n di nc h a p t e r3 ，w er e s t r i c to u ra t t e n t i o nt op o w e r i n t e g r a lb a s e so fq ( 2 0 ) w h e na + 丘z ，w ep r o v et h a tz q 】= z 【( 如】i fa n do n l y i fqi se q u i v a l e n tt o 番【- i naw o r d , w ec a ng e ta l lt h eg e n e r a t o r so fp o w e ri n t e g r a l b a s e sf o rq ( c 2 0 ) u n d e re q u i v a l e n c e 一2 一 c h a p t e r1 b a s i ck n o w l e d g e i nt h i sc h a p t e r , w er e c a l ls o m eb a s i ck n o w l e d g ef o rt h et h e s i s ，s u c ha sd e f i n i t i o n s ， n o t a t i o n sa n ds o m el e m m a s d e f i n i t i o n1 1a s s u m el ，ka l et w on u m b e rf i e l d s 陋：圈- - - - f f l ，以a l ( l r ) l e t o f l n n l k ( o f ) = 吼( 。) i = 1 f u r t h e rt h a tl e tq ，p 厶w eh a v e n z m ( a 3 ) = n l k ( a ) n l k ( 3 ) a n d n l i r ( o f “) = ( 乙倡( n ) ) “ l e m m a1 2a s s u m eki san u m b e rf i e l d , 陋：豳= o ki s i t sr i n go f i n t e g e r s ，t h e nq o k i sau n i ti fa n do n l yi fn x f q ( o f = 4 - 1 d e f i n i t i o n1 3 a s s u m e 厶ka r et w on u m b e rf i e l d s ，l = r ( o f ) ，【l ：圈= n 。 吼v o l ( l 豳l e t 口l ，o f 2 ，o f n l d l k ( o f l ，o f 2 ，一，口n ) = ( d e t ( a l ( o o ) ) 2 ，1 i ，j n i np a r t i c u l a r , l e to f l ，d l l k ( o f ) = d l k ( 1 ，o f ，o f ”一1 ) l e m m a1 4a s s u m el ，ka r et w on u m b e rf i e l d s ，l = k ( o f ) ，【l ：嗣= 佗 f ( x ) i st h em i n i m u mp o l y n o m i a lo v e rko fo f l e to f l2o f ，o f 2 ，a na r et h e r o o t so f ，( z ) ，t h e nd l k ( o f ) = d l k ( 1 ，q ，扩1 ) = i - i ( 劬一a 。) 2 = l r s s 件 ( 一1 ) 2 学v j 耳( ，( q ) ) l e m m a1 5a s s u m eki san u m b e rf i e l d ，0 kd e n o t e st h er i n go fi n t e g e r so f k l e t 0 1 ，o f 2 ，一，o k ，i f 一3 一 。：，。，：鳖：罂生：盟! 篁： ( 1 ) d k ( 0 1 ，0 2 ，a n ) = d c k ) ；o r ( 2 ) d k ( a l ，0 2 ，) i san o n z e r os q u a r e - f r e er a t i o n a li n t e g e r , t h e n 血l ，0 2 ，一，0 n ) i s 锄i n t e g r a lb a s i sf o rk n o w , w cw i l li n t r o d u c es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa b o u tc y c l o t o m i cf i e l d s a sw e k n o w n ，a l g e b r a i cn u m b e rf i e l di st h ef i n i t ee x t e n s i o no fq l e t ( nb eap r i m i t i v en - t h r o o to fu n i t y , t h a ti s 嚣= 1 t h ef i e l dq ( 厶) i sc a l l e dt h en t hc y c l o t o m i cf i e l d w e d e f i n et h en t hc y c l o t o m i cp o l y n o m i a l 竹 圣n ) = 1 7p 一簖) j = l ，o ，n ) ；l s i n c e 【q ) ：q 】= d e g ( 圣。( z ) ) 。i tf o l l o w st h a t ( 3 3 ) i st h ei r r e d u c i b l e p o l y n i m i a lf o r 白a l s o 圣n ) z f z 】s i n c et h ec o e f f i c i e n t sa r er a t i o n a la n da l s o a l g e b r a i ci n t e g e r s w ec a l lp r o v et h a tg 耐( q ( ( n ) q ) 竺( z n z ) w i t ha ( m o dn ) c o r r e s p o n d i n gt ot h em a p 白_ 嚣 t h e o r e m1 6l e t 缸b eap r i m i t i v em t hr o o to fu n i t y l e tk = q ( 缸) t h e n 1 ，( m ，毋”】一1 i sa ni n t e g r a lb a s i sf o rk f u r t h e r , d ( k ) = ( 一1 ) 2 学m 妒舾) i i p 筹 p j m l e m m a1 7t h e e q u a t i o n 4 1 0 3 3 2 2 + 5 3 3 4 = 一4h a ss o l u t i o n s 妒2 掣2 = 1 ，d r z 2 = 1 ，f 2 = 9 l e m m a1 8t h ee q u a t i o n 矿一1 0 3 3 2 y 2 + 5 2 4 = lh a s s o l u t i o n sz = o ，y 2 = l w eu s et h ef o l l o w i n gn o t a t i o n so ft h i st h e s i s ： nt h ep o s i t i v e ( n a t u r a l ) i n t e g e r s1 ，2 ， 一4 一 z q r n l g ( a ) d ( 哟 d ( o ) g c d ( a x ，1 1 2 ) t h ei n t e g e r s0 ，- 4 - 1 ，士2 ， f i e l do f r a t i o n a ln u m b e r s e l do fr e a ln u m b e r s n o r m z k ( o z ) d i s c r i m i n a n to fn u m b e rf i e l dk d i s c r i m i n a n to f e l e m e n to t g r e a t e s tc o m m o nd i v i s o ro f 口1a n d 眈 一5 一 c h a p t e r2 p o w e ri n t e g r a lb a s e so fq ( 2 0 ) w h e n a + a z 2 1i n t r o d u c t i o n a c y c l o t o m i cf i e l dq ( 矗) i ss a i dt oh a v eap o w e rb a s i s ，i fi t sr i n go fi n t e g e r si s o ft h ef o r mz b lf o rs o m eo t z 】，w h e r e ( ni sa p r i m i t i v en t hr o o to fu n i t y i ti s w e l l k n o w nt h a tp o w e ri n t e g r a lb a s e so fc y c l o t o m i cf i e l d sa l w a y se x i s ta n di ns o m e c a s e sw ec a l lf i n da l lt h eg e n e r a t o r s w e c a l l qa n d a e q u i v a l e n t i f c i = n + a ( a ) f o rs o m e n z ，盯g a i ( q ( ( ) q ) t h es e to fg e n e r a t o r si ss t a b l eu n d e ri n t e g e rt r a n s l a t i o n , g a l o i se o n j u g a t i o n ，a n dm u l t i p l i c a t i o nb y 一1 a b r e m n e r 1 】g i v e sa l lg e n e r a t o r so fq ( ( 7 ) l r o b e r t s o n 1 0 】 e s t a b l i s h e sac r i t e r i o nf o rv e r i f y i n gb r e m n e r sc o n j e c t u r ef o rag i v e nr e g u l a rp d m e pa n du s ei tt op r o v et h ee o n j e c t u r ef o rp 2 3 ，p 1 7 l r o b e r t s o n 1l 】p r o v e s t h a tf o r2 - p o w e rc y c l o t o m ! ef i e l d s ，z 【q 】= z 【ai fa n do n l yi fo t = m 士ff o rs o m e m ，i z ，io d d l r o b e r t s o n 7 】g i v e sa l lg e n e r a t o r so fq ( ( 妊) i nt h i sc h a p t e r , w er e s t r i c to u ra t t e n t i o nt oq ( ( 2 0 ) i ti sw e l l - k n o w nt h a tz 2 0 】i s t h er i n g o f q ( 锄) w e p r o v e t h a t i f o + 石芒z ，t h e n z 【o 】= z 【锄】i f a n d o n l y i f o t i s e q u i v a l e n tt o i nt h ef o l l o w i n gp a r t , w ed e n o t ee = ( 2 2t h em a i nr e s u i t s f r o m 1 7 ，w e d e n o t e t h ee l e m e n t s o f c o z ( q ( o q ) b y 吼w h i c h i s d e t e r m i n e d b y 以( ( ) = ( t ，i 1 ，3 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，1 9 ，i e ，g a i c q ( e ) q ) = w e g i v et h em a i nr e s u l to ft h i ss e c t i o n ： t h e o r e m2 2 1 s u p p o s eo t + 丘譬五t h e nz f 卅= z 【( 】f a n do n l yi f 口i s e q u i v a l e n tt o ( f r o ml w a s h i n g t o n 1 6 ，w eb e g i nw i t hs o m ee a s yo b s e r v a t i o n s ： a ne l e m e n to z 【( s a t i s f i e sz 【耐= z 【ai fa n d o n l yi fd ( 血) = d ( ( ) ，w h e r e 一6 一 妄! ：2 竺：! ：鳖2 1 1 兰譬：! 堡【s 蛰2 坚：土ig 圣 d ( o ) a n dd ( ( ) a r et h ed i s c r i m i n a n to fe l e m e n tna n d ( r e s p e c t i v e l y t h i si se q u i v a l e n t t ot h ec o n d i t i o nt h a t ： q q ( i i ( ，( n ) ) ) = n o c 0 q ( i i ( 9 ( e ) ) ) ( 2 2 1 ) i e hi e h w h e r e f ( x ) i s m i n i m a l p o l y n o m i a l o v e ro f 口，a n d g ( z ) = 护一一+ 石4 一一十1 i s t h em i n i m a lp o l y n o m i a lo v e rq o f ( w r i t i n gs ( x ) = 兀扛一以( o ) ) ，t h e n ，7 ) = 兀( 0 e - 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