（基础数学专业论文）含可调参数的二次有理插值样条.pdf

摘要 有理插值在逼近理论中有着重要的作用它不仅在处理有极点函数时能够取 得很好的效果，对没有极点的函数也具有很好的逼近性质因此，有理逼近已经成 为逼近理论中一类重要的课题 本文构造的有理插值函数是含有可调参数的这样确定的有理插值函数就更 具有灵活性，可以通过调整可调参数来调整曲线的形状随后，本文又利用构造的 有理插值函数构造了有理插值样条这样的有理插值样条在每个子区间上都含有 可调参数通常的有理插值样条，初始条件一旦确定，曲线的形状也就随之固定了 而带有可调参数的有理插值样条，可以通过调整相应子区间上的可调参数，从而对 曲线进行局部的调整本文的主要工作如下： 1 以给定区间的两端点的函数值，以及其中一个端点上的一阶导数值为初值， 构造了一个含有两个可调参数让，z ，的二次有理插值函数夕( z ) 证明了 ( 1 ) 可以通过在一定范围内限定可调参数u 使插值函数夕( z ) 保单调 ( 2 ) g ( z ) 关于每个可调参数都是单调的这使得通过调整可调参数来调整 曲线形状时更有规律，从而更易于操作和实现 之后给出了误差分析指出这是一种稳定的插值格式并通过实例与h e r m i t e 及l a g r a n g e 多项式插值作比较，可以看到该函数具有较好的逼近效果 2 又以给定区间端点的两个函数值及两个一阶导数值为初值，构造了含一个可 调参数乱的二次有理插值函数夕( z ) 证明了 ( 1 ) 对于所有的“，夕0 ) 总是保单调的 ( 2 ) 夕0 ) 关于可调参数u 是单调的 ( 3 ) i i ( x ) 一夕( z ) l = d ( ) ；对于严格单调函数，( z ) ，有i ，( z ) 一夕( z ) i = o ( h 3 ) ； 当初值满足某些条件时，可以限定可调参数u ，使l ，( z ) 一9 ( z ) i = o ( h 4 ) 含可调参数的二次有理插值样条 3 用上面构造的插值函数构造了在每个子区间上含一个可调参数的有理插值样 关键词：有理插值函数；可调参数；保单调；误差；有理插值样条 一i i a b s t r a c t r a t i o n a li n t e r p o l a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tp a r ti na p p r o x i m a t i o nt h e o r y i th a s ap l e a s a n tr e s u l tn o to n l yw h e nt h ef u n c t i o n sh a v ep o l e s ，b u ta l s ow h e nt h e yh a v e n t s or a t i o n a li n t e r p o l a t i o nh a sb e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti na p p r o x i m a t i o n i nt h i sp a p e r ，t w oq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n sh a v eb e e nd e v e l o p e d ，w h i c h h a v ev a r i a b l ep a r a m e t e r s t h i sk i n do f r a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n sa r em o r ef l e x - i b l e t h es h a p eo ft h ec u r v ec a r lb ec h a n g e df r o mv a r y i n gt h ev a r i a b l ep a r a m e t e r s t h e nar a t i o n a li n t e r p o l a t i n gs p l i n eh a sb e e nd e v e l o p e da c c o r d i n gt ot h er a t i o n a l i n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n sm e n t i o n e db e f o r e t h i sr a t i o n a ls p l i n eh a so n ep a r a m e t e r o ne a c hs u b i n t e r v a l t h ec o m m o nr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gs p l i n e sa r ef i x e dw h e nt h e i n i t i a ld a t aa r eg i v e n ，a n dt h es h a p eo ft h ec u r v ea r ea l s of i x e d h o w e v e r ，f o rr a t i o n a l s p l i n ew h i c hh a sv a r i a b l ep a r a m e t e r s ，t h es h a p eo ft h ec u r v ec a l lb ec h a n g e df r o m v a r y i n gt h ev a r i a b l ep a r a m e t e r so nc o r r e s p o n d i n gs u b i n t e r v a l s t h e s ea r et h em a i n r e s u l t so ft h ep a p e r ： 1 aq u a d r a t i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ng ( z ) h a sb e e nd e v e l o p e d ，w h i c h d e p e n d so nt h et w of u n c t i o nv a l u e sa n do n ed e r i v a t i v ev a l u eo ft h ee n d - p o i n t o ft h eg i v e ni n t e r v a l i th a st w ov a r i a b l ev a r i a b l ep a r a m e t e r su 移i nt h i s p a p e r ，i th a sb e e np r o v e dt h a t ： ( 1 ) t h ei n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ng ( z ) i sm o n o t o n i cp r e s e r v i n g ，w h e nr e s t r a i n i n g t h ep a r a m e t e rvi np r o p e rr a n g e ( 2 ) t h er a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ni sm o n o t o n i ca b o u te a c hv a r i a b l ep a - r a m e t e r ，w h i c hm a k e si te a s i e rt oc h a n g et h es h a p eo ft h ec u r v et h r o u g h v a r y i n gt h ev a r i a b l ep a r a m e t e r s m o r e o v e r ，a ne r r o re s t i m a t i o ni l l u s t r a t e st h a tt h i si n t e r p o l a t i o ns c h e m ei ss t a - i i i 含可调参数的二次有理插值样条 b l e c o m p a r ew i t hh e r m i t ep o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o na n dl a g r a n g ep o l y n o - m i a li n t e r p o l a t i o n ，t h i sr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o nh a sb e t t e ra p p r o x i m a t e r e s u l t s 2 aq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ng ( x ) h a sb e e nd e v e l o p e d ，w h i c hd e p e n d so n f u n c t i o nv a l u e sa n dd e r i v a t i v ev a l u e so fb o t he n d - p o i n t so ft h eg i v e ni n t e r v a l i th a so n l yo n ev a r i a b l ep a r a m e t e rt i nt h i sp a p e r ，i th a sb e e np r o v e dt h a t ： ( 1 ) f o ra l lu ，g ( x ) i sm o n o t o n i cp r e s e r v i n g ( 2 ) g ( z ) i sm o n o t o n i ca b o u tt h ev a r i a b l ep a r a m e t e r 珏 ( 3 ) i ( x ) 一9 ( z ) l = 0 ( 九) ；f o rs t r i c t l ym o n o t o n ef u n c t i o n ，( z ) ，t h ee r r o r b o u n dw i l lb eo ( h 3 ) ；w h e ns o m ei n i t i a lc o n d i t i o n sc a l lb es a t i s f i e d ，t h e e r r o rb o u n dc a l 2b eo ( h 4 ) t h r o u g hc o n s t r a i n i n gt h ev a r i a b l ep a r a m e t e r t 正 3 ar a t i o n a li n t e r p o l a t i n gs p l i n eh a sb e e nd e v e l o p e da c c o r d i n gt ot h er a t i o n a l i n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n sm e n t i o n e db e f o r e i th a so n ep a r a m e t e ro ne a c hs u b i n - t e r v a l k e yw o r d s ：r a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n ；v a r i a b l ep a r a m e t e r ；m o n o t o n i c p r e s e r v i n g ；e r r o rb o u n d ；r a t i o n a li n t e r p o l a t i n gs p l i n e 一一 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的 研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做 了明确的声明并表示谢意。 学位做作者签名孔了 日 期：加莎 加 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密 的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 、 凡了 指导撕签名：胆 日 期：u 矽 f 第一章引言 著名的w e i e r s t r a s s 定理告诉我们，有界闭区间上的连续函数都可以用多项式 一致逼近可见多项式函数是一种非常好的逼近工具但当函数有极点时，特别是 在极点附近，采用多项式逼近甚至多项式样条逼近都不能取得很好的效果，此时采 用多项式的一种简单推广有理函数作为逼近工具是恰当的对于没有极点的函 数，有理逼近也有很好的逼近效果，它具有逼近快，精度高的特点再如采用一元多 项式插值时，随着多项式次数的增高，在插值区间两端会产生剧烈的震荡，但有理 插值在插值区间两端却有很好的逼近性质因此，开展某些函数的有理逼近研究是 必要的而插值方法是函数逼近的一种方法，利用插值方法可以通过函数在有限个 点处的取值情况估计该函数在其他点处的值 有理插值函数插值问题，如果有解，则必唯一即初始条件确定以后，有理函数 形状也固定下来于是许多学者研究了含有可调参数的有理插值函数这样使得有 理插值函数更灵活 样条函数是多项式的一种推广它是由美国数学家s h o e n b e r g 于1 9 4 6 年首次 提出的它是一种分段多项式，且在各相邻区间上满足一定的连接条件它既具有 多项式逼近的诸多好处，又具有了相对独立的局部性质这是由于样条函数具有分 段解析性，在一点附近的性质只会局部的影响这个函数这使得样条函数被广泛的 应用于科学计算，计算机辅助几何设计等领域，成为曲线曲面设计中十分有效的工 具 同样，有理样条函数是多项式样条的一种自然推广它是有理逼近与样条函数 的完美结合，兼具了二者的优点与有理插值函数一样，用有理样条函数逼近有极 点函数时效果较好再比如，在许多实际问题中经常会遇到由二次曲线弧与二次蓝 面表示的形状，这些形状在设计上都要求明确无误的给出其数学表达，在制造上又 要求很高的精度，于是出现了b 样条方法可见从多项式样条函数推广到有理样条 函数也是十分有意义的同样，在每个子区间上，有理插值样条函数都是固定的，于 是研究带有可调参数的有理插值样条可以通过调节相应区间上的可调参数来局部 改变曲线形状 有理逼近最早的研究是t c h e b y r s h e v 开始的w a l s h 于1 9 3 1 年首先证明了最 佳有理逼近的存在性( 【l 】) ，而后a c h i e s e r 证明了唯一性( 【2 】) ，并首先得到了最佳 1 含可调参数的二次有理插值样条 有理逼近的特征定理( 【3 】) 在文献【4 】 【5 】中作者对近年来有理逼近领域的一些杰 出的工作做了一个总结，著作 6 】，【7 】也对有理逼近作了较系统的研究 对于有理函数插值问题，由于解并不总是存在的，n m a c o n 和d e d u p r e e 研 究了有理插值问题的存在唯一性条件，得到了存在唯一性定理( 【9 】) 并给出了便 于应用的存在性定理这种判断方法计算量很大，于是在文献【1 0 】中利用n e w t o n 插值多项式，给出了判断插值问题是否有解的方法判断出有理插值问题有解以后 问题就变成了如何求解，也就是有理插值问题的算法一些有效的有理函数插值的 算法有：s t o e r 算法( 【1 1 】) ，t h i e l e 倒插商算法，s a l z e r 算法( 【1 2 】) 和w u y t a c k 算 法( 【1 3 】) 等 有理样条插值问题是由r s c h a b a c k 最早提出的( 【1 4 】) 当实际求解有理样条 插值问题时，需要求解一个非线性方程组，因而实现起来是非常麻烦的在文献【8 1 中，作者从某些实际课题出发，具体研究了若干特定形式有理样条函数的插值问题 本文研究了带可调参数的二次有理插值函数，可以通过调整可调参数来调整 曲线的形状，这样就增加了设计和构造的灵活性并且利用构造的有理插值函数构 造了有理插值样条一般的有理插值样条，一旦插值条件固定，在每个区间上曲线 的形状就固定了，而带有可调参数的有理插值样条，在每个区间上都含有可调参数， 这样就可以通过改变某个可调参数，来实现局部调整曲线的形状以往已有一些文 章研究带参数的有理样条插值问题( 【1 7 - 2 0 ) ，本文构造的是分子分母均是二次的 所做的主要工作安排如下： 第2 3 节利用给定区间两个端点的函数值以及其中一个端点处的一阶导数值 插值，构造了一个分子分母都是二次的有理插值函数，其中带有两个可调参数证 明了可以通过适当的限制可调参数使所构造的函数具有保单调性还给出了误差 分析和具体例子来说明它具有较好的逼近性质 第2 4 节利用给定区间的两个端点的函数值及一阶导数值插值，构造了一个分 子分母都是二次的有理插值函数，其中带有一个可调参数可以证明它具有保单调 性，并且具有较好的逼近性质 第3 3 节利用第2 4 节构造的插值函数构造了一个插值样条恰巧当每个区间 上可调参数都取为l 时这个插值样条就变成了j a g r e g o r y 和r d e l b o u r g o 在文 章【1 5 1 ，f 1 6 1 中所构造的有理插值样条但是本文的样条可以通过调整某个区间上 的可调参数来对曲线进行局部调整而【1 5 】，【1 6 】中的样条不行这个有理插值样条 具有较好的逼近性质 第二章有理插值函数 2 1 有理函数插值问题 给定m + n + 1 个互异点z o ，z 1 ，z m + ，l 及相应函数值f ( x o ) ，f ( x 仇+ n ) ， 希望构造一个有理分式函数： 使之满足插值条件 = 涨= 筹# 篙 ( 2 1 ) ，n ( 巧) = f ( x j )0 = 0 ，1 ，m + n ) ( 2 2 ) 这就是所谓的有理函数插值问题 例2 1 1 给定f ( o ) = 2 ，f ( 1 ) = 1 ，f ( - - 1 ) = 1 ，( 2 ) = 8 ，f ( - 2 ) = i 4 ，构造 忍2 ( z ) = 面a 2 x 2 可+ a 云丽l xj r 百- a o 使之满足插值条件 t 1 卺2 2 ( x j ) = f ( x j ) ，0 = 0 ，一，4 ) 因可以将r 2 2 ( z ) 的分子化为首一多项式，即将r 2 2 ( x ) 表示为 剐垆窘焉罴， 于是五个条件就有可能确定它了把已知条件代入，并将等式两边同乘分母，得到 线性方程组： 3 含可调参数的二次有理插值样条 ( 喜 = ( 三主 系数矩阵的行列式不为零，于是由克莱姆法则有唯一解： f 位l 、f 即满足插值条件的二次有理分式为： 剐垆窨等 例2 1 2 假定仇= 0 ，且给定l ( z o ) = 0 ，l ( x j ) 0 ，歹= 1 ，n 则显然不 存在有理分式： 风，n ( z ) = 丽百冀赢， 使之满足插值问题 这说明有理函数插值问题不总是有解的，下面将给出唯一性定理和存在性条 件这是由n m a c o n 和d e d u p r e e 给出的 为了方便讨论，需要引进一些定义两个有理分式： 酬= 器，脚) = 器， 称它们恒等，如果存在一个非零常数a ，使b ( z ) = n 尸l 扛) ，q 。( z ) = a q l ( x ) ，此时 记r l ( x ) 三r 2 ( z ) 一 一 一 一 一 0 1 1 6 8 一 o 0 1 1 2 6o。戒娟 l 1 l n 7 2 o o l l 2 4 ，jf-。一 含可调参数的二次有理插值样条 称它们等价，如果只( z ) q 2 ( x ) 三p 2 ( x ) q 1 ( z ) ，此时记r 。( z ) 一r 2 ( z ) 容易证明此处定义的关系“一”是一种等价关系 显然，两个有理分式等价，必须且只须它们的最简有理分式恒等在等价意义 下，两个有理分式若等价，则把它们看作同一个有理分式而不加以区分在这种意 义下有如下定理： 定理2 1 1 插值问题( 2 2 ) 若有解，则必唯一 证明可以参看著作【6 】 当插值问题( 2 2 ) 有解时，如( 2 1 ) 所示的有理分式满足( 2 2 ) ，则只要风( ) 0 ，就有 n m ( 巧) = f ( x j ) d ( x j ) = 0 ，0 = 0 ，m - i - n )( 2 3 ) 它是一个关于系数，咖，k ，6 0 的线性方程组下面的定理给出了插值问 题( 2 2 ) 与线性方程组( 2 3 ) 等价的条件 定理2 1 2 ( 9 】)设线性方程组( 2 3 ) 有非平凡解，为使满足插值问题( 2 2 ) 的最简有理分式，n ) = ( z ) g n ( z ) 存在，必须且只须( 2 3 ) 的任意非平凡解 心( z ) ，珑( z ) 在约去一切公因子后得到的互质多项式a ( z ) ，b ( x ) 仍是( 2 3 ) 的解， 即a ( 巧) 一，( 巧) b ( 巧) = 0 ，0 = 0 ，m + n ) 定义行列式卢和矩阵a f 如下： a j = 口= z 3 z ； ： z 知 z 2 y ox o y o y lx l y l y nx n y n yx y y ox o y o 翟j 一1z j 一1 翟j 一1 协+ 1巧+ 1 协+ 1 y nx n y n 一5 一 z ；。y o x n l 一- 1 。_ g i _ z n 0 譬m z n - - 1 y n 瑞珈 z ? 可1 x “n y n x n y ，j = 0 ，1 ， 带矸礤矿 知鼽； 甜z 1，上；1 l o o d o 以 o m o ；m p m十；m z z z z 如； 弘聃； 鲫 11 1上；1上 含可调参数的二次有理插值样条 在p 不恒为零时，有 定理2 1 3 ( 【9 】)设他，玑) ( i = 0 ，1 ，n ) 中的各兢互异，则为使存在满 足插值条件( 2 2 ) 的最简有理分式 脚) = 器“小p m 删呱 必须且只须各个矩阵a j0 = 0 ，1 ，n ) 是非奇异的 在p 恒为零时，有 定理2 1 4 ( 【9 】)若对于i = 0 ，1 ，a 的秩数是一个常数，则存在满足 插值条件( 2 2 ) 的有理函数 y = p ( x ) q ( x ) 具体证明可以参看著作【6 】 2 2 有理切触插值问题 切触有理插值是类似于多项式插值中的h e r m i t e 插值的一种插值为叙述方便 起见，把由( 2 1 ) 式所给出的有理分式函数，n ( z ) 作成的类记为r ( m ，n ) ，( 其中 m ( z ) ，巩( z ) 互质) 设跏 z 1 0 插值函数g 具有以下性质： 定理2 3 1 ( 保单调性)f ( x ) v i a ，6 】，f ( x ) 单调，g ( x ) 是按( 2 6 ) 式构造的插 值函数，a = ( y b y , ) h ，则可以限制 、m u 五 使得g ( x ) 保持f ( x ) 的单调性不变 证明插值函数g ( x ) 对z 求导，得 矿( z ) = 九2 2 ( x - a ) 2 u 币v 2 a i + 而2 ( x i - - a 硒) ( b i - x 而) u v i a + 面u 2 可m ( b i - x 可) 2 - 可u v m ( 一x - a ) 2 当f ( x ) 单调递增时，a 0 ，m 0 则g l ( z ) 分子的前三项均非负，若有 u m 2 a ，则有2 ( x n ) 2 u v 2 a p 一口) 2 u m ，分子非负夕7 ( z ) 0 ，从而9 ( x ) 单 调增加 当f ( x ) 单调递减时，有a 0 ，m 0 则夕， ) 分子的前三项均是非正的，若 v m 2 a ，则有2 ( z o ) 2 u u 2 a 一n ) 2 u u m ，分子非正，夕7 ( z ) 0 ，从而g ( x ) 单 调递减口 m 2 a 是g ( x ) 保单调的一个充分非必要条件当给出的数据点单调的时 候，根据插值函数的上述性质，我们可以通过限定可调参数，而使得插值函数与初 始数据点具有同样的单调性 记 脚m = 坚些塑型端堕堕生业 一8 一 含可调参数的二次有理插值样条 其中q ( x ，牡，u ) = ( b z ) 2 u + 2 ( x o ) ( 6 一x ) u v + ( z 一口) 2 u 则有： 定理2 3 2 p ( x ，u ，口) 关于可调参数让以及口都是单调的 证明 对u 求偏导，得： o p ( x ，u ，v ) 一( z o ) 2 ( 6 一z ) 口危【( z a ) m 一( b x ) a 一2 ( x a ) v a 】 - - - - - - - - - - - - - - - 一：= = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二- - - - - - 二二- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二 o u 【q ( x ，札，v ) 1 2 分式的分子不含鼍，是个定值，因此p ( x ，u ，口) 关于让是单调的 对v 求偏导，得： o p ( x ，“，u ) 一( z o ) 2 ( 6 x ) u h ( b z ) 一2 ( 6 一x ) u m 一( z q ) m 】。一= = = - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ - _ - _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ - - _ - _ - _ - _ - _ _ _ _ 二_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - 二_ _ _ - ：- - 二 o v 【q ( x ，u ，v ) 1 2 同样，分式的分子是不含有u 的一个定值，因此p ( x ，u ，秽) 关于口也是单调的 口 插值函数关于可调参数仳，口的单调性，使得通过调整参数来调整曲线形状更 具有规律性从而易于操作，也易于曲线自动生成 2 3 2 误差分析 设f ( x ) c 1a ，6 l ，g ( x ) 是按( 2 6 ) 式构造的插值多项式作代换0 = ( x - - a ) h ， ( 即z = o h + 口) ，记 即，让， ) = ( 1 - p ) 2 u 虮+ 2 8 ( 1 一州三u h m + u u ) + 吼舶， t ( o ，乱， ) = ( 1 一p ) 2 乱+ 2 8 ( 1 一o ) u v + 0 2 v 则g ( x ) = a ( o ) = s ( o ，乱，v ) t ( o ，钍，口) 利用l a g r a n g e 微分中值定理，| 1 ，已，使 i f ( x ) 一夕( z ) l = i f ( o h + a ) 一g ( p ) 1 i ( 1 一伊) 2 u f ( o h + n ) 一讹】4 - 2 8 ( 1 一o ) u v f ( o h + n ) 一y a 】一；u h m ) + 0 2 v f ( o h + 口) 一y b 】i = i _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ 。_ 。_ - - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = ：_ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ 一l it ( o ，u ，钉)l ( 1 一p ) 2 训，7 1 ) l p 九+ 2 8 ( 1 一o ) u v l f 7 ( 1 ) i p + l u h l m l 】+ 0 2 v l f 7 ( 已) i ( 1 一口) 危 龟币五口) 一 h i i f c 一9 一 含可调参数的二次有理插值样条 其中 c = 堕等笺蓦弊生磐i l6-1 o ) 2 u2 8 ( 18 ) u v r ：= = 一l l i - l 。 f 一+一+ p 2 u 、一一r ” 下面证明c 是一个有界量 令= a v ，则 令 i l l2 味m a x 6 ji f ( 。) i 茁l d ，纠 c = p + t 0 刁( 1 百- - o 疆) u4 - 而8 j 2 ( 1 丽- - 2 再9 ) v 瓦川- 紫 m ；帮= 黼 其中“，( 入，0 ) = ( 1 一口) a - 4 - o ( 1 2 0 ) ，盯( 入，0 ) = ( 1 2 8 ) 一x4 - 0 2 ， 咖( a ，0 ) 对a 求偏导得： 当0 0 ，警】时， 庐单调减少，所以有 当0 警，1 】时， a 咖( a ，0 )9 ( - 5 0 2 + 5 0 1 ) 百2 下两矿 望幽o，oh 、。 c 0 + 0 l i 。r a o 咖( 入，口) = 1 一口l ： 里坐盟o ，o a y 。， 咖单调增加，所以有 c49 + 0 - l ，i m 。b ( 入，口) ；而2 8 - 3 0 2 一l o 含可调参数的二次有理插值样条 令 7 - ( ：而2 0 - 3 0 2 ， 易证，( p ) 0 ，所以r ( e ) o - ( 1 ) = 1 综上所述，对口f 0 ，1 】，有c 1 即无论缸，口为何值，c 是一有界量所以 i f ( x ) 一夕( z ) i = d ( 危) 2 3 3 实例 考虑区间【- 1 ，1 】上函数y = e 王，以讹= e ，蜘= e ，m = e 一1 为条件插值得 出，= 坚筹嚣剥靠蓦崭学 而由( - 1 ，e - 1 ) ，( 1 ，e ) 与( 0 ，1 ) 得到的l a g r a n g e 插值多项式为： m ) = t x ( x - 1 ) e - i + 1 - - x 2 - f 掣e 我们来比较l ( x ) 与g ( x ) 的逼近效果由于y = 矿是单调的，按照定理2 3 1 ， 若要插值函数也是单调的，我们可以限制 口杀备= 南- - 0 1 6 口不= 习2 三巧 当u = 可= 1 时得曲线夕( z ) i 归怛1 = ( 一3 e _ l + e ) z 2 一互1 e - 1 z + ；( 5 e _ 1 + e ) 当z = 0 时，e o = l ( o ) = 1 ，9 ( o ) i 怛口：1 圭1 1 3 9 4 因为g ( x ) 关于u 是单调的，则对任意u o ，乱l ，只要其满足u o 1 u l ，则 夕( z ) i 。：口：1 一定包含在v = 1 ，t , 从u o 连续变化到u l 时g ( x ) 扫过的带状区域内 于是在这一区域内一定另有一条缸= 仳+ ，钉= 1 的g ( x ) 比g ( x ) l u ：口：1 更“接近” y = e x i z ：o 同样，g ( x ) 关于 也是单调的，于是总能找到夕 ) i ( u 印。) 比g ( x ) l u ：归l 逼近效果更好 当 = l ，札= 1 4 8 时，g ( o ) 圭1 0 0 0 1 ，已经精确到了小数点后3 位 含可调参数的二次有理插值样条 我们再以初始数据利用h e r m i t e 插值方法得： 日( z ) = 一三( z + 3 ) 一1 ) e - 1 _ 互1 ( z + 1 ) ( z 一1 ) e - 1 + 五1 ( z + 1 ) 2 e 下表是区间 - 1 ，1 】内一些点处l ( z ) ，日( z ) ，矿与夕( z ) i 怛1 鸲 ：1 的值 从上表可以看到，本文构造的有理插值函数逼近效果较好 2 4 含可调参数的二次有理插值函数l | 2 4 1 二次有理插值函数的构造及性质 在上一小结中用给定区间端点的函数值以及其中一个端点上的一阶导数值构 造了一个分子分母都是二次的有理插值函数则对给定区间【a ，6 】的任意分划 a = x o x l 。) 其中l ，2 是待定的不含x 的多项式，由g l ( a ) = m 口，9 7 ( 6 ) = m 6 可得方程组： 一1 2 含可调参数的二次有理插值样条 一2 + a 2 y b = h u m 口 = h v m b 解得： j ，l = h ( u m 。y b + v m 6 y o ) 2 ( y b y o ) 1 2 = 九( 缸m 口+ u m 6 ) 2 ( y b y o ) 令 a ：y b _ ：- - 一y a 当y a y b 即菇0 时则得到： 夕(z)=!蔓二j考兰笔考差兰主；兰宝墨；聂兰三!芋舌晏三考等芝芋与未；紫(乱。，口。) g ( x ) 满足9 ( a ) = y a ，g ( b ) = y b ，夕7 ( n ) = m 口，9 7 ( 6 ) = m b 因为已经给定了四个插值条 件，所以u ，御中只有一个是独立的，所以不妨令口= 1 ，得二次有理插值多项式： 夕= 与驾岩若精端等等岩蒜攀仁7 ， 其中让是可调参数，u 0 夕( z ) 有如下性质： 定理2 4 1 ( 保单调性)f ( x ) c a ，6 】，g ( x ) 是按照( 2 7 ) 式构造有理插值函 数，如果，( z ) 是单调的，则夕( z ) 也是单调的，并且与，( z ) 的单调性一致 i e n 夕( z ) 对z 求导得： 夕仕，= a 2 h 2 萨茄急嵩剖赢糍褊眨8 ， ( 1 ) 若，( z ) 单调递增，则 0 ，m n 0 ，m b 0 ，则由( 2 8 ) 式可以得到 9 ，( z ) 0 ，从而g ( x ) 也单调递增 含可调参数的二次有理插值样条 ( 2 ) 若f ( x ) 单调递减，则a 0 则需有u 值可以使得q ( x ) 的判别式 a ( q ) = 2 ( ( “m a + r o b ) 2 4 u a 2 】 0 令 盯( t 正) = ( t 正m o + r o b ) 2 4 u a 2 = 牡2 m 口2 + 2 u ( m 口m b 一2 a 2 ) + m b 2 方程盯( u ) = 0 的判别式为 ( 巧) = 1 6 a 2 ( 2 一m 口r o b ) 则当a 2 m n m b 时，解得盯( 钍) = 0 的两解为： ( 以f 丽一| i ) 2 舰2 二瓦r 一，“。= ( v a 2 - m 瓦a m 广b + 一i a i ) 2 所以当u 1 u u 2 时，a ( q ) = h 2 a ( u ) 0 一1 6 一 含可调参数的二次有理插值样条 其中 令 = 堂丝寄帮等必 4 ( 1 + 口) ，( 2 ) i i f ( 。) = ，( z ) q ( 霉) = ( b - x ) 2 铭，( 茹) + ( g 一口) ( 6 一。) ( 们帆口4 - m b ) f ( x ) a - ( x a ) 2 a f ( z ) 则 f ( 8 ) = 舻u ，f ( b ) = h 2 a y b ， ( 口) = 一2 h u a y a 4 - h 2 u a m a - 4 - ( 枷q 口+ 仇0 ， f 7 ( 6 ) = 一h ( u m 。+ m b ) y b - 4 - 2 h a y b + h 2 a m b 则f ( x ) 在a ，6 】上的h e r m i t e 插值多项式为： 酬l + 2 t x - a ) 【丁x - b ) 2 + f ，( 0 ) ( 舢) ( 譬) 2 + f ( 6 ) ( 1 2 t x - b ) ( 丁x - a ) 2 + f ，( 6 ) ( z 一6 ) ( 丁x - a ) 2 = ( b z ) 2 钍+ ( z d ) ( 6 一x ) ( u m a y b + 鳓阮) + ( 茁一g ) 2 y b a 恰好为p ) ，即p ( x ) 是q ( x ) f ( x ) 在a ，6 j 上的h e r m i t e 插值多项式( 粕= 口，2 ；1 = b ，o t l = c 9 2 = 2 ) 由h e r m i t e 插值余项公式，x ( 口) ， 删叫刮= i 学玳) 】( 4 ，i 捣忪彬】( 4 ，l | 而 i q ( z ) i 妒缸i l + 百h 2 ( 缸l m 口l + l m b i ) - 4 - h 2 l i 、5 h 2 1 1 f ( 1 ( 1 + 珏) 五5 ( 1 + p ) l l f ( 1 ) i l 危2 q ( 1 ( z ) = - 2 ( b z ) u a + ( 一2 x + a + b ) ( u m 口+ m 6 ) + 2 ( x n ) = ( b x ) u m a + m b 一2 u a 】+ ( z a ) 2 a 一“m 口一m b 】 含可调参数的二次有理插值样条 由l a g r a n g e 微分中值定理有 l i t m 口+ m 6 2 u a l 乱j i ，( 2 ) l i b + ( 1 + u ) l l f ( 1 1 2 一钍m 口一m b l i i f ( 2 ) l l h + ( 1 + u ) l l f ( 1 l i 所以 i q ( 1 ( z ) i ( 1 + 牡) l i ，( 2 ) l l h 2 + 2 ( 1 - 4 - u ) l l f ( 1 ) l l h ( 1 + f 1 ) 1 f c 2 ) l i b 2 + 2 ( i + f 1 ) l l f ( 1 ) l l h 从而 q ( 2 ) 0 ) l = 2 u a 一札一m b + l 2 ( 1 + u ) l l i ( 2 ) t l h 2 ( 1 + p ) 0 ，( 2 ) l l h i 【q ( z ) ，( z ) 】似l = 1 6 q ( 2 ( z ) ，( 2 ) + 4 q ( 1 ( z ) ，( 3 ) + q ( z ) ，( 4 i 1 2 ( 1 + p ) 忍| ，( 2 ) 1 1 2 + 4 h 2 ( 1 + ) i ，( 2 | i ，( i i + 8 h ( 1 + f 1 ) l l f ( 1 l i | i 产1 1 + 5 0 + z ) h 2 伊1 i 产) i f ( x ) - g ( 圳= 幽铲榭 其中 ( 1 + 仞2 i l l ( 2 i i 4 s l l f ( 2 i 2 + 1 6 h f ( 2 i i i l l ( 3 ) 1 1 + 3 2 1 1 f ( 1 ”i l l ( 3 ) j f + 5 训，( 1 ) l | 1 t f ( 4 ) 1 七= 函面面甄f 了丽再丽两劢甭j 而i 鬲谤r 一 口 由定理2 4 1 知道有理插值函数9 ( z ) 是保单调的所以当f ( x ) 严格单调时我 们来研究g ( x ) 的逼近效果 在上述证明过程中可以看到，主要是估计q ( x ) 的下界，当f ( x ) 严格单调时， 0 且，m 。，l r t b 同号，这时 q ( z ) i = ( b z ) 2 仳f l + ( z o ) ( 6 一z ) c u l m 口l + l m b l )