（概率论与数理统计专业论文）混合相依随机变量序列的强极限定理.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 概率论是有着广泛应用的一门学科，是许多应用学科的理论基 础。诸如信息论、数学风险论、保险精算理论等均是建立在概率论 基础上的。而强极限定理一直以来都足概率论研究的中心问题之一， 其中鞅论与停时更是现代金融学、破产理论、保险学、风险投资的 理论基础。其在许多相关领域有着极为广阔的应用背景。利用鞅论 与停时技术研究强极限定理，讨论随机变量序列的强收敛性有着重 大的科学研究意义和价值。 本文的主要目的是研究混合随机变量序列的强大数定律和强偏 差定理。本文主要内容共分四章，第一章和第二章主要介绍了本文 的研究背景和需要的基本知识、基本定理和引理，第三章和第四章 是本文研究的主要成果。第三章主要研究了芦混合序列的强极限定 理。关于p 混合序列的强极限理论已经取得了许多成果，本文进一 步研究了p 混合序列的强收敛性，主要应用截尾的方法和三级数定 理推广了吴群英的关于p 混合序列的强收敛性结论，得到了两个p 混 合序列的强大数定律。第四章主要研究了连续型随机变量序列的强 偏差定理。我们引入随机序列似然比的概念，作为表征一般随机变 量序列与独立随机变量序列差异的度量。用母函数的方法，得到了 连续随机变量序列j a m i s o n 型加权和的一类强偏差定理。 关键词：随机变量序列；强收敛；三级数定理；母函数；加权和； 强偏差定理 江苏大学硕士学位论文 a bs t r a c t p r o b a b i l i t yt h e o r yi sb r a n c ho fm a t h e m a t i c sd e a l i n gw i t hc h a n c e p h e n o m e n aa n dh a sc l e a r l yd i s c e r n i b l el i n k sw i t ht h er e a lw o r l d i ti st h e f r a m ew o r kf o u n d a t i o n so fm a n y a p p l y i n gs u b j e c t ，s u c ha si n f o r m a t i o n t h e o r y ，m a t h e m a t i c sr i s kt h e o r ya n di n s u r a n c et h e o r yf o ra c t u a r i e se t c t h es t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o rp a r t i a ls u m so fr a n d o mv a r i a b l e si so n eo f t h ec e n t r a lq u e s t i o nf o rs t u d y i n gp r o b a b i l i t y m a r t i n g a l e sa n ds t o p p i n g t i m e sa r et h eb a s i so ff i n a n c et h e o r y , r u i nt h e o r y , r i s kt h e o r ya n d i n s u r a n c et h e o r y i ti si m p o r t a n tm e a n i n g f u lt os t u d yt h es t r o n gl i m i t t h e o r e m sf o rt h es e q u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e sb yu s i n gm a r t i n g a l ea n d s t o p p i n gt i m e s t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d ys t r o n gc o n v e r g e n c ea n d d e v i a t i o nt h e o r e m sf o rr a n d o mv a r i a b l e s t h i st h e s i si n c l u d e sf o u r c h a p t e r s i nc h a p t e r1 a n dc h a p t e r2 ，w eg i v ea ni n t r o d u c t i o no ft h e b a s i cn o t i o n s ，m a i nr e s u l t sa n da p p r o a c h e su s e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r 3 ，w em a i n l yr e s e a r c ht h es t r o n gc o n v e r g e n c ef o r 声一m i x i n gr a n d o m v a r i a b l es e q u e n c e s s o m er e s u l t so nt h ec o n v e r g e n c eo f 声一m i x i n g r a n d o ms e q u e n c e sh a v eb e e np r e s e n t e d w es t u d yt h ea l m o s ts u r e c o n v e r g e n c ef o rp m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s a sar e s u l t ，t h ea u t h o r s g e n e r a l i z e sp a r t i mr e s u l to fw u 【12 1 w eo b t a i nt h em a i n s t r e a ma n d s o m ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n sb yu s eo ft r u n c a t i o nm e t h o d sa n dt h e t h r e es e r i e st h e o r e m o f 西一m i x i n g 。 江苏大学硕士学位论文 i n c h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h e n o t i o no fl o g - l i k e l y h o o dr a t i oo f s t o c h a s t i cs e q u e n c e s ，a sam e a s u r eo fd i s s i m i l a r i t yb e t w e e nt h e i rj o i n t d i s t r i b u t i o na n dt h e p r o d u c t o ft h e i r m a r g i n a l s w e o b t a i ns o m e d e v i a t i o nt h e o r e m sf o rt h ej a m i s o nt y p ew e i g h t e ds u m sb yu s i n go ft h e g e n e r a t i n gf u n c t i o nm e t h o d k e yw o r d s ：r a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e s ；s t r o n gc o n v e r g e n c e ； t h r e es e r i e st h e o r e m ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n ；w e i g h t e ds u m s ； d e v i a t i o nt h e o r e m s 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 拳月勺 日期：2 0 0 9 年j 2 月猸 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。 本学位论文属于 保密口，在 年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：寡胡升 2 0 0 9 销2 月2 0 h 指导教师签名： 卅年j 2 月幻日 锄| ) 江 苏大学硕士学位论文 1 1研究背景 第一章绪论 概率论极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其他分支和数理统 计的基础。因此，强极限定理在概率论中有着极其重要的地位。前苏联数学家 k o l m o g o r o v 和格涅峰科曾说过，“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能 被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义 。概率论 的真正历史开始于b e r n o u l l i j ( 假设的艺术，1 7 1 3 年) 的大数定律。从那时起 概率论的研究中心之一就是个极限理论。而随机变量序列的强收敛性与强大数定 律由于在理论与实践中有着广泛的应用和重要意义，一直是概率极限理论中研究 的主要课题。 对于随机变量序列的收敛，有多种意义下的收敛，有强收敛、依概率收敛、 按分布收敛、平方平均收敛等。研究的较多的有几乎处处收敛( a e 收敛) ，对于任 意随机变量序列，上述各种收敛恒有如下关系： a s 收敛j 依概率收敛j 按分布收敛 介 平均收敛 一般来说，上述关系是不可逆的。 在概率论的极限理论发展历史过程中，十九世纪二十年代以前，中心极限定 理是概率论研究的中心课题。十九世纪中叶，切比雪夫的古典工作为概率论发展 开创了新纪元。在二十世纪2 0 年代至6 0 年代，以k o l m o g o r o v 、l e o v e 、c h u n g 等为代表的一批概率论学者对独立随机变量序列的强收敛性和强大数定律进行 了细致研究，借助于截尾法、对称法、中心化法等手段，得到了较为完善的结论。 之后，各种混合随机变量序列的极限理论又有了很大发展。其中我国学者，诸如 陈希孺、林正炎、苏淳等做了大量工作。1 9 4 7 年，许宝禄和r o b b i n s 又提出了完 全收敛性概念。期间，由美国概率论学者d o o b 于1 9 5 3 年详细介绍了其对鞅论 的研究后，由于鞅论在理论与应用上的广阔前景，使得近几十年鞅理论得到了突 江苏大学硕士学位论文 飞猛进的发展。 刘文在二十世纪7 0 年代末提出了一种不同于传统的研究强极限定理的纯分 析方法，后被杨卫国与刘文合作不断发展，得到了一种新的研究概率论强极限定 理方法。该方法的要点是通过构造含参数的鞅，利用d o o b 鞅收敛定理和截尾法 证明某些极限几乎处处存在。之后，杨卫国和刘文合作通过利用鞅差序列级数收 敛定理大大简化了上述证明方法并推广到一类随机序列公平比的强极限定理和 任意随机序列部分和估计的强极限定理。在此基础上，通过引进似然比作为随机 变量序列相对于不同测度的差异的一种度量，建立了一种新型定理强偏差定 理，将概率论中的强极限定理推广到用不等式表示的情形。 近1 0 年来，刘文和杨卫国、刘国欣、汪忠志等利用这种方法在强偏差定理、 s h a n n o n m c m i l l a n 定理、赌博系统、马尔可夫链等领域做了很多工作。 关于经典的独立随机变量的概率极限理论，已经得到了完善的发展，其基本 结果被总结在g n e d e n d o 和k o l m o g o r o v 的专著相互独立随机变量和的极限分 布中。但由于在许多实际问题中，样本不是独立的，或者独立样本的函数不是 独立的。因此，在5 0 年代，随机变量的相依性概念就已经在概率论和数理统计 的某些分支中被提了出来，并引起许多概率统计学家的兴趣和研究，取得了不少 研究成果。 近年来，林正炎、吴群英等学者对混合相依随机变量序列的研究也取得了丰 硕的成果。主要方法是建立关于混合随机变量的有关不等式，这些不等式是证明 各种极限定理的必不可少的工具。 1 2 本文的研究方法和主要解决的问题 一，在本文第三章中，主要应用截尾的方法和三级数定理，并应用一些基本 不等式，推广了吴群英的关于p 混合序列的强收敛性结论，得到了两个p 混合序 列的强大数定律。 二，在本文第四章中，我们引入随机序列似然比的概念，作为表征一般随机 变量序列与独立随机变量序列差异的度量。用母函数的方法，通过构造鞅得到 了连续随机变量序列j a m i s o n 型加权和的一类强偏差定理。 2 江苏大学硕士学位论文 第二章基本理论与概念 2 ：1随机变量序列的基本收敛 2 1 1 以分布收敛 定义2 1 1 设 x ，x 。，l 1 ) 是概率空间( q ，多，p ) 上的随机变量序列，如果 x 。) 的分布函数列 只( 功】弱收敛于随机变量x 的分布函数f ( 力，则称瓦以分 布收敛于x ，记作邑与x 。 2 1 2 以概率收敛 定义2 1 3 设弘，x 。，疗岭是概率空间( q ，多，d 上的随机变量序列，如果 v s 0 成立： n 里p x 。一x i g ) = 0 ( 2 1 1 ) ， 则称 e ，咒1 ) 以概率收敛于于z ，简记为x 。与x 。 2 1 3 几乎必然收敛( a s ) 定义2 1 2 设 x ，邑，厅d 是概率空间( q 多，p ) 上的随机变量序列，如果存 在a 多，并且p ( a ) = 0 ，使得当缈a 。时，有l i m 邑( c o ) = x ( 叻，则称 邑，以q 几 乎必然收敛于x ，或简称 x 。) a s 收敛于z ，记为邑_ x a s 。 如果存在集合a 9 ，p ( a ) = 0 使得当a 时，有 l i r al x 。( 砷一邑( 曲l = 0 ( 2 1 2 ) m 则称 x 。，咒q 是c a u c h y a s 收敛的。 引理2 1 1 设 x ，x 。，甩1 ) 是概率空间( q ，多，p ) 上的随机变量序列，则 3 江 苏大学硕士学位论文 x 。 a s 收敛于x 的充要条件是 x 。，以q 是c a u c h ya s 收敛的。 引理证明见( 文【3 】p 1 4 ) 。 引理2 1 2 仁。) a s 收敛于x 的充要条件是v 占 0 l i m p u ( 1 l x i s ) = o ( 2 1 3 ) ， 册= 引理证明见( 文【3 】p 1 4 1 ) 。 推论2 1 1 如果v 占 0 ，有 二p l x 。- x i s ) o o ( 2 1 4 ) n = l 则有x 。一x a s 。 证明见( 文【3 】p 1 5 ) 。 推论2 1 2 设 x ，以，刀廿是随机变量序列，若ze ( x - x ) 2 0 ，那么中任一随机变量序列的以概 率收敛性蕴含着a s 收敛性的充要条件是q 为可列多个互不相交的原子之并。 引理2 1 4 ( i ) 设x 。山x ，则有子# o x 础，x 瓜一x a s 。 ( i i ) 设x 。三专x ，则有x 。生专x 。 ( i i i ) x 。山c 等价于x 。与c ，其中c 为常数。 4 一兰茎垄兰堡主兰堡垒查 - - _ 一一 引理证明见( 文【3 】p 1 6 ) 。 2 1 4 岛收敛( 平均收敛) 对0 p o o ，令0 = 弘：x 是随机变量皿 x | p 0 ，存在简单随机变量y2 莩k 使得 e 阻一y i p 占。这就是说，对任一p 次可积的简单随机变量序列 匕) p 阶平均收 敛于x 。 引理2 1 5 若x 。与x ，则有x 。与x 。 引理证明见( 文【3 】p 1 7 ) 。 应用测度论中关于极限号与积分号交换的有关定理，可得下面的三个重要的 足理o l e b e s g u e 控制收敛定理设x 。与x ，随机变量y 厶使得i x 。l | y l a s o 1 ) ，那么x 。，x 厶且x 。山x 这时栅。一肠。 单调收敛定理设x 。厶，x 。0 且x 。个xa s ， ( i ) 我们有l 争以。= e x 因此，如果1 争肠一 ，则有x 厶。 ( i i ) 反之，若x 厶，则每一x 。厶且1 挚以。= x 。 f a t 。u 引理设x 。厶o 1 ) 是非负随机变量，使得l i r a 。i n f e x 。 o o ，则 l i m 。i n f x 。厶，且 e ( 1 i m 。i n fx 。) _ o ，存在万= 8 ( c ) ， 吏x c 于f f ：- - a ，当p ( a ) 万时，对一切n ，有 工阮l 护 占； o i ) s u p e i x 。l o ，t 吏s u p e l x 。r a ) ， 则随机变量序列 x 。) 是一致可积的。 证明见( 文【3 】p a 8 ) 利用一致可积性可给出p 收敛的一个判别准则。 z j l 理2 1 8 ( 平均收敛判别准则) 若对某p 0 ，随机变量序列 i x 。l p ；疗1 ) 一致可积，且x 。与x ，则x p 且 x ，山x n i 2 _ ，若x 。o ，且e x 。一x l pjo ，则x ，x 。与x 且 陋。r ) 一 致可积。 证明见( 文【3 】p 1 8 1 ) 6 江苏大学硕 士学位论 丈 2 2 鞅的定义及基本概念 为了引进鞅的概念，首先给出条件期望的概念和性质。 2 2 1条件期望的定义和性质 涉及的问题都将在固定的完备概率空间( q ，只尸) 上进行。 1 条件期望的定义 定义2 2 1 设国为多的子仃一域，z 为( 准) 可积随机变量，y 为满足下 列条件的随机变量： ( i ) y 为防可测的。 ( i i ) 对每一个曰国，p 卯= d 卯。 则称】，为x 关于国的条件期望，记为y = e 僻| 国) 。特别地，当国= 诈) 时，也 称y 关于z 的条件期望，记为e ( xl z ) 。 注2 2 1 ：e ( xf z ) 是仃( z ) 可测的。 2 条件期望的性质： 以下国，墨，愿等都是多的子盯一域。 引理2 2 1 ( i ) 若x ，y 为可积随机变量，口，为任意常数，则： e ( a x + i 国) = a e ( xl 国) + 胆 i 毋) a s ( 2 2 1 ) ( i i ) e ( 1 l 国) = 1 a s ( 2 2 2 ) ( i i i ) 若工y ，则：e ( x | b ) e ( y8 ) a s ( 2 2 3 ) 特别地，当z o 时，e ( x l 坊) o 引理2 2 2 设y 为可积随机变量， t ，r 1 ) 为随机变量序列，则： ( i ) ( 条件期望的l e v i 引理) 若y x 。个x ，贝i j ： 1 争e ( ti 国) = e ( x l g 口) a s ( 2 2 4 ) 7 江苏大学硕士学位论文 若y 以上石，则：( 2 2 4 ) 式也成立。 ( i i ) ( 条件期望的f a t o u 引理) 若z 。y ，则 e ( 1 i m 。i n fx 。 9 3 ) l i m 。i n fe ( x 。l 国) ( 2 2 5 ) 若x 。y ，则 e ( 1 i m s u p x 。l 品) - ) ，则称 弘。，乏，n 町为上( 下) 鞅。 引理2 2 4 ( i ) 对于鞅，有以。- - e x o ：对于上( 下) 鞅，有以。( ) 麟。； ( i i ) 疋) 为上鞅的充要条件是 一x 。 为下鞅； o i l ) x 。) 为鞅的充要条件是 x 。) 既为上鞅又为下鞅； ( i i i i ) 上( 下) 鞅为鞅的充要条件是，e x = 瓯，a s 引理证明参见( 文【4 】p 1 5 9 ) a 2 2 3 鞅差序列的定义和性质 定义2 2 4 设 k ，焉，l o ) 为随机适应序列，如果以+ 。悔) = 0 a s ，则称 匕，穹：，n o ) 为鞅差序列。 引理2 2 5 如果 e ，爱，万o ) 为鞅差序列，则 x 。= 砉k ，爱，甩为鞅；反 之，设 x 。，乏，珂o ) 为鞅，令e = x 。一x 。4 q 1 ) ，k = x 。，则 匕，爱，n o ) 为鞅 差序列。 引理证明参见( 文【4 】p 1 6 0 ) 。 2 2 4 鞅基本收敛定理 引理2 2 6p 。o b 鞅收敛定理) 设x = 弘。，以o ) 为下鞅，若s u p 殿一+ 刀) = 0 ， - - 0 0 e = e 置k i 如 证明见( 文【4 】p 1 0 9 ) 。 注：若ei 五l 刀) - n ) - - o ，溉e i 五如 2 3 2 强大数定律 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 定义2 3 2 称随机变量序列 ，n 1 ) 是强稳定的，如果存在常数序列 a 。) 和 瓯) ，o a 。个使得 江苏大学硕士学位论文 土k 一吃一0 ，口凡 a ( 2 3 8 ) 定义2 3 3 称随机变量序列 以，n 1 ) 服从强大数定律，如果 瓯) 是强稳 定的，这罩最= 鼍 k = l 引理2 3 1 ( k r o n e c k e r 引理) 设 ) 和 毛) 是两个实数序列，o 1 ) 为独立同分布随机变 量序列，则存在常数列 c ) ，使 l i m l ，l 管x 争( x ，一g ) = 咖 ( 2 3 1 0 ) 的充要条件是ei 置i 0 0 ，且这时必有 q = e x l + d ( 1 ) ， l i m i 以 笥s - x ，= e x l 觚 证明见( 文【4 】p 1 1 3 ) 。 m a r c i n k i e w i c z 强大数定律是k o im o g o r o v 强大数定律推广到p ( o p 2 ) 阶 矩存在的情况。 、j、j 1 2 j j 3 3 g q 江苏大学硕士学位论文 定理2 3 3 ( m a r c i n k i e w i c z 强大数定律) 设 以坨i ) 为独立同分布随机变 量序列，则对某个有限常数口以及p ( o ，2 ) ， ( 2 3 1 3 ) 的充要条件是i 工。i p o o 这时，当1 p 2 时，a = 瓯；当0 p 1 时，a 可 取任意值( 因此常取a = 0 ) 。 证明见( 文【3 】p 9 7 1 ) 。 2 3 3 基本不等式 1 ，( c ，不等式) e ix + y 7 - c , ( e x1 7 + ey i 1 ，其q hc , = 1 ，若o ，1 ； c = 2 一，若，1 2 ，( c a u t h y s c h w a r z 不等式) e i x y i 1 ，一1 + 一1 ：1 有 pq e lx y l _ ( a x p ) 形( ) 4 ，( m i n k o w s k i 不等式) 对，1 ， ， 。 、彤 石，rl l ，_ l ( m i n k o w s k i 伴随不等式) 6 ，对任意0 _ z e l x ，厂1 ， j 1j 1 一 ( ix 邝7 z e lx ， z ，耋c e i 1 7 ，彤， 1 3 s仉 0专 、， 口一 戤 ，l i 。h 1 一p 一 聆 江苏大学硕士学位论文 ( ex1 7 ) 形( e x 1 3 ) ； ( 去喜l i 形( 去喜i 1 3 7 ，( j e n s e n 不等式) 若缈是r 1 上的下凸函数，x ，伊( x ) 都可积，则 驴伍x ) e 纵x ) 1 4 江苏大学硕士学位论文 第三章p 混合序列的强收敛性 3 1定义及基本定理 设 置，ien 是概率空间( q ，f ，p ) 上的随机变量序列，b = 盯( 置，ie sc ) 为盯域。在f 中给定盯域b ，r ，令 p ( b ，r ) = s u p c o r r ( x ，y ) ix el 2 p ) ，yel 2 俾) ) 其中c o r r ( x ，】，) ：笔圣黑为相关系数。b r a d l e y ( 1 9 9 0 ) 引入如下的相关系数： 0 v c i r x v 钟y 、 对k 0 ，令 p ( k ) = s u p p ( f s ，辱) ，有限子集s ，tcn ，_ 且d i s t ( s ，t ) 七) 显然，0 p ( k + 1 ) p ( 七) 1 定义3 1 1 对随机变量序列 置，ie n ) ，如果存在七e n ，使反七) l ，则称 x ；，f n ) 是声混合序列。 在极限性质的讨论中，对p 混合序列 置，f e n ) ，即存在1 ，y p ( n o ) 1 ，可考虑 x 。，f 的个子列 “f 1 ) ，i = o ，1 , 2 ，n o - 1 ，而每 个子列的多( 1 ) 即为原子列的声( ，l 。) 因此，对研究声混合序列的极限性质时，可 不失一般性假设p ( 1 ) c ) o o n = l 麟：收敛， n = l y v a r x ： o 中，琵( x ) 不减； ( 2 ) 在同一区间中，( x ) 和杉都是不增的，_ r e x 。- 0 此外， ；玎1 ) 是常数列，满足o 1 ) 是声混合序列，0 吒个，0 p 2 ， , 。萝爿- l 0 9 2n e x n e 一，且当l p 1 ) 是声混合序列，0 。，且当l p 2 时，e x 。= 。，则主n = l 口& 收敛， 从而 口：1 也型一o ，以专o 。 k = l 引理3 1 2 ( 见文1 1 4 ) 设 ，n ) 和玩，甩 都是非负数列，如果& - t 。对 任意的n n 都成立，则 z lu 。卜 o o k 卜 n = ln = l 在以上这些近年来得出的结果的基础上，本文进一步研究了卢混合序列部分 和的强收敛性，弱化了某些条件，得到了一些新的结论。 3 2 主要结果及证明 定理3 2 1 设 x 。，t l q 是声混合序列，且麟。= o 设 口。，n q 为常数列， 1 7 江苏大学硕士学位论文 满足0 a n 个0 0 设1 ，尾2 ，k 1 ，m 。1 1 ) 为常数，( 功为r + _ 尺+ 上 的b o r e l 函数，满足： 如果 则 o 五 恐j 掣疋掣， x 矗。 意飒焉 k n = l 墨绌墨旺 纯 。) m 。 n = l 织( 口。) 口：1 噩专oa s ，聆专 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 证明： 由k r o n e c k e r 引理，要证明( 3 2 4 ) ，只需证明喜等a s 收敛。由 于弘。，咒q 是声混合序列，显然 益，n 1 ) 也是p 混合序列。 由引理3 1 1 ( 取 a 4 c = 1 ) ，只需证： 首氚i e ( 3 2 5 ) 成立。 由( 3 2 1 ) 可得 则 翱争帅， 扣争j 。鲁一眠 扣c 鲁峰卜 詈辱k 糕肌五 恐， 1 8 ( 3 2 5 ) 0 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 江苏大学硕 士 学位论文 却引，= 乱n = l 她d p 乩n = l 掣护 孰k 等d p 主n = l 疋铹竽 再由( 3 2 2 ) ，我们就得到 主心p ix , i 9 = 喜p 阮啪 a s ( 3 2 9 ) 下n t i e ( 3 2 6 ) 成立。注意到巩= 0 ，并由( 3 2 8 ) 得 故 所以 i 砑，i - - y l e ( x 。k ) i - i e ( 以k ) i n = ln = ln = l n = lt i m i x i d p n = ll i 弧q k 塾k 铹竽 i 麟，l n = l 倒墨睑卯 r p n ( a 。) ( 3 2 1 0 ) 主k 掣 。 ( 3 2 1 1 ) 鲁“( 口。) 、7 缸缸等一收敛0 最后，证明( 3 2 7 ) 成立。注意到 1 9 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) = 坠q 。脚 i i 锄 益 _ 以一 e 。树 譬 e 一 。树 l 燮 。1l 锄 量 _ 一一 小 。脚 江苏大学硕士学位论文 下面只需证 由( 3 2 1 ) 可得 所以 由( 3 2 3 ) 可得 y o o 掣a n 。 鲁 口： 一 著参铒怒肌西 屯 ( e y ：。) 2 = e ( x 。l a x i 如。) ) 2 = e ( x 。2 气瓦i ) ) k 准l i 如, a 2 m 。帮护 延肘。篇竽 ( 3 2 1 4 ) 喜罕塾笔竽 o o ( 3 2 1 5 ， 结合( 3 2 1 3 ) ，( 3 2 刀式成立。从上面的证明中，我们得到善0 0 等扎s 收敛。因此 v 可得口：1 以一o a s ，咒jo 。 在定理3 2 1 中，取= 1 ，孱= r ( 1 厂2 ) ，k = 1 ，m 。= 1 ，便得到如下推论。 推论3 2 1 ( 见 12 ) 设 x 。，疗q 是声混合序列，g e x 。= 0 。设p 。，n 廿 为正数列，满足0 口。个。纯 ) 为r + 一尺+ 上的b o r e l 函数，满足：去和 纯【x ， 学( 1 雏2 ) 都是不增函数。女口果 江苏大学硕士学位论文 争垒丝呸2 。 ：葛 。) ( 3 2 1 6 ) 0 2 1 7 ) 定理3 2 2 设弘。，n q 是p 混合序列，设【a n , n 1 为正数列，满足 0 r + 上的b o r e l 函数，满足： 如果 则 vp v 叭耶恐j 蒜荔以圮 ( 3 2 j 8 ) ( 3 2 1 9 ) ( 3 2 2 0 ) 证明：和定理3 2 1 的证明类似，只需i 正n ( 3 2 5 ) - _ ( 3 2 7 ) 成立即可。由 引理3 1 2 和( 3 2 1 9 ) 得 艺掣】=蕃tdpn=l 。 _ 1“ n - l 。 争f 趔d pyf 塑坠业 n = l墨纠圣吐 纯( 口。) ( 3 2 2 2 ) p - f i 以( 3 2 5 ) 徽i e 。 下面证( 3 2 6 ) 成立。1 = i = i ( 3 2 1 8 ) 和j e n s e n 不等式，可得 l 阱卜y , l e ( x 。k ) i n = ln = l 2 1 专聆&乱0j 戤 。硒 q一 口 斗疗 &乱o专 戤 。h 1 一掸 口 江苏大学硕士学位论文 故 - e i ( x 。，( 以i 如。) ) i 】 n = l 1 z e l ( x 。以l 瓴) ) i “】 9 f 蜘声 - t l = l 。c a a 。) 1 所以 驷缸纠收敛。 最后，证明( 3 2 7 ) 成立由于 驷c 缸矿喜等善t e z v a ) 2 ， 所以只需证 争皇( 登! ： 2 鲁 一 由( 3 2 1 8 ) 和j e n s e n 不等式，得 e 悸，) 2 = e ( x 。2 k i ) ) 1 ) 为概率空间( q f ，p ) 上的随机变量序列，x 为非负 随机变量，称 以，n 1 ) 被x 随机控制，如果存在一个常数c ，使得 s u p t x 。 x ) x ) n l 记为 以，z 1 ) _ 工。 定义4 1 3 设 吼，k 1 ) 是一正实数序列，令 l ( 缈) = 筒1 吼【也一麟。】 称乙( 叫为限一瓯) 的前n 项的j a m i s o n 型加权平均和。 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 定义4 1 4 设 ，l 1 ) 为定义在概率空间( q ，f ，p ) i - 5 i 生 r + , b ) ( 其中b 为 b o r e l 域) 上取值的连续随机变量序列，其联合分布密度为 见( 五，吒) ，椎o ，1 七r , ，z = 1 ，2 ，称 m 。g ) = f s 唧。a q ) a x ( 4 1 7 ) 为随机变量五关于 以，k 1 ) 的矩母函数。称 取 ) = r s 。f p 。( t ) d t d x ( 4 1 8 ) 为随机变量五关于 鲰，k q 的尾概率矩母函数。 4 2 相关弓i 理 接下来，在给出主要结果之前，先给出几个引理，这几个引理在证明过程中 起到了非常重要的作用。 引理4 2 1 设以( 五，) 如前定义，岛( 墨，以) 为( 科) ”上的概率密度函 江 苏大学硕士学位论文 数，吒为一列正实数，且吒个0 0 ，令 q ( ) = 丽g n ( x 函l , x i 2 , 两, x n ) 则 l i r a s u p o - 1l o g q ( 缈) o ， 口j ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 证明：由d o o b 【2 3 1 ， q ，z 1 ) 为一个非负上鞅，r e q 。1 ，由d o o b 鞅收 敛定理，存在一个随机变量q ( 缈) o o ，使q ( 缈) j 姨( 缈) 口只( 刀jo o ) 所以( 4 2 2 ) 成立。 引理4 2 2设 m 。( s ) ，取( s ) 如( 4 1 7 ) ，( 4 1 8 ) 定义，则 证明： m k _ ( s ) - i ：哌( s ) 并且取( 1 ) ：e x k a 。i n s 取( s ) = r s 舻f p k ( t ) d t d x = f p k ( t ) s a k x d x d t 2 士 胁矿饥胁，叫 2 面1 【m t ( s ) 一1 】 故m k ( _ s ) - i ：哌o ) 。当s ：1 时，取( 1 ) ：瓯是显然的。 a 。i n s ( 4 2 3 ) 引理4 2 3 设 奠，胛1 ) ，八叫，( s ) ， ， a k ，k 1 如前面定义， 0 a = i n f a k ) ，s u p a k ) 6 1 ) x ，e x 0 0 。令 如功= l i m i n 。f a 。一静暇一e x k + 志p o ，0 o ，o x o o ( 4 2 5 ) t - l u 1 j 江苏大学硕士学位论文 则 ( i ) 够( s ，工) ( o z 1 ，使得睨( ) + ，则 矽( s ，x ) ( 0 x o 。) 作为s 的函数，在g ) 上是连续的。 证明：i 令i l ( s ) = l i i 呀l l f 筇1 蕃吼【( s ) 一t 】，要证明缈( s ，功( o x 呦在 ( q 1 ) 上是连续的，只需证明h ( s ) 在( 0 1 1 ) 上是连续的。 若0 s s + f 1 ( 我们可令t o 因为取( 1 ) = ff p ( t ) d t d x = e x o 。，所以埘，使得 f p ( t ) d t d x 詈。由 x 。，n 廿- 0 当0 t 艿 | ( 1 + 叫 刍 p ( ( 1 + 缸一1 ) r 耻胎 詈 故 ( s + f ) 一取( s ) l 占 2 7 江苏大学硕士学位论文 根据以上的讨论，我们有 陬s 卅一琊) i = 1 1 唧i l f 钾主k = l 吼陬( s 一e x 小1 1 m i n f a 1 喜吼陬( s ) 一e x 。】l = 1 1 唧n f 筋1 窆l = i 吼陬( s + t ) 一哌( 1 ) 】+ l h n 严1 窆k = l 吼暇( 1 ) 一毗( 州i l i m s u p a 。- 1 吼陬o + f ) 一毗( s ) l 这意味着j l ( s ) 在( q 1 ) 上右连续。 若0 s + f s 1 ，由 以，n 1 ) - x ，我们有 ( 4 2 6 ) 呐叫酬= 1 1 唧n