（信号与信息处理专业论文）任意长度线性相位余弦调制滤波器组的设计.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 i 摘 要 多抽样率数字信号处理最早于 20 世纪 70 年代在信号内插中被提出，在几十 年的发展过程中，多抽样率数字信号处理理论逐步丰富完善，各种理论研究成果 和应用层出不穷，特别是在多速率滤波器组的设计方面，涌现了多种不同形式的 完全重建滤波器组。线性相位余弦调制滤波器组就是一类特殊的完全重建滤波器 组，它的所有子带滤波器可由一个原型滤波器经余弦序列调制得到而且都具有线 性相位，整个滤波器组设计和实现过程都比较简单。正是因为具有这些优良特性， 线性相位余弦调制滤波器组在音视频编码、移动通信、软件无线电和雷达等领域 有着十分广泛的应用，同时也是多抽样率数字信号处理领域的一个研究热点。 目前，线性相位余弦调制滤波器组的设计大多对原型滤波器的阶数有所限制， 设计方法一般采用非线性优化的方法，这些非线性优化设计非常耗时，而且对初 始值较为敏感，容易陷入局部最优解而得不到全局最优的结果，尤其是当原型滤 波器长度很长时，这些缺点会更加明显。 本文研究的是原型滤波器为任意长度的线性相位余弦调制滤波器组，在文中 给出了任意长度线性相位余弦调制滤波器组的结构，并推证了任意长度线性相位 余弦调制滤波器组的完全重建条件。本文提出了一种任意长度线性相位余弦调制 滤波器组的设计实现方法，即首先将原型滤波器的设计转化为一个正交约束下的 最小平方（qcls）优化问题，然后利用拉格朗日乘数法, 通过迭代来解决这一优 化问题。任意长度线性相位余弦调制滤波器组的完全重建条件有四种类型，每种 类型都有各自的特点，对应的设计方法也不尽相同，本文通过多个设计实例详细 阐述了不同类型的滤波器组在完全重建条件下如何利用本文所提出的方法去设计 实现原型滤波器。 设计实例的仿真结果表明，该方法对于任意长度线性相位余弦调制滤波器组 的设计是有效的。与非线性优化设计方法相比，本文所提出的设计方法简单高效， 且有较强的实用性。 关键词：关键词：余弦调制滤波器组，线性相位，完全重建，任意长度 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 ii abstract multirate digital signal processing techniques have been studied by engineers for about forty years. the theory of multirate digital signal processing gradually comes to mature and the applications of multirate digital signal processing emerge endlessly, especially in the field of designing multirate filter banks, there have been various filter banks which can reconstruct the signal perfectly. linear phase cosine modulated filter bank is one of the filter banks with perfect reconstruction, its all analysis and synthesis filters can be obtained by modulating the coefficient values of one prototype filter and it can be designed and implemented efficiently. for these advantages, linear phase cosine modulated filter bank is used in many applications, such as audio/video coding, mobile communication, soft-defined radio and radar, at the same time, linear phase cosine modulated filter bank has been extensively studied. up to now, the length of the prototype filter of many linear phase cosine modulated filter banks is restricted. a variety of approaches are available for the design of the prototype filter. most of the approaches use standard constrained or unconstrained optimization techniques to obtain the design, which tend to be computationally expensive, especially when the number of filter coefficients is high. moreover, the standard optimization techniques are usually sensitive to changes in the initial values. to obtain satisfactory design results, a large set of designs with different initial values may be required. in this paper, an arbitrary length linear phase cosine modulated filter bank is introduced and the perfect reconstruction criteria for this filter bank is established. an efficient approach is developed to design arbitrary length linear phase cosine modulated filter bank. the design problem is first formulated as a quadratic constrained least squares optimization problem, and then use an efficient iterative lagrange multiplier approach to solve this optimization problem. the perfect reconstruction criteria for arbitrary length linear phase cosine modulated filter bank can be satisfied by four modes, every mode has its own characteristics, so the corresponding design is different. in this paper, several design examples introduce in detail how to use the method proposed by this paper to design the prototype filter under different modes of the perfect reconstruction criteria. the design examples are presented to demonstrate the effectiveness of the 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 iii proposed algorithm. compared with the non-linear optimal design, the method proposed by this paper is simple, efficient and useful. key words: cosine-modulated filter banks, linear phase, perfect reconstruction, arbitrary length 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 绪论 1.1 多速率滤波器组概述 随着数字信号处理技术的迅速发展，信号处理系统中信号的编码、传输和存 储等工作量越来越大，为了减小计算工作量及存储空间，在一个信号处理系统中 常常需要有多个抽样率以及不同抽样率之间的相互转换，在这种情况下，多抽样 率数字信号处理产生并发展起来。多速率数字信号处理最早于 20 世纪 70 年代在 信号内插中被提出，在多抽样率数字信号处理的发展过程中，一个突破点是将两 通道正交镜像滤波器组应用于语音信号的压缩，这一理论提出后，多抽样率数字 信号处理得到了众多学者的重视，多抽样率数字信号处理技术也得到了长足的进 步和发展，特别是在多抽样率数字滤波器组的设计方面，涌现了多种不同形式的 完全重建滤波器组。从 20 世纪 80 年代初开始，多抽样率数字信号处理理论逐步 丰富完善，各种理论研究成果和应用层出不穷，多抽样率数字信号处理目前已经 发展成为现代数字信号处理技术的关键技术之一12。 多速率信号处理的主要内容是信号抽样率的转换器及各种滤波器组，其中最 基础最重要的模块当数多速率滤波器组。多速率滤波器组的基本原理是先通过分 析滤波器组及其级联的抽取器将输入信号分解为多个子带信号，然后在子带域根 据应用场合的不同进行相应处理，最终通过综合滤波器组及其级联的内插器将子 带信号恢复成输入信号或者稍有失真的输入信号。 图 1.1 为一个m通道滤波器组，分析滤波器组( )zh0，( )zh1，( )zhm 1 工 作在抽样频率 s f 下，而( )nv0，( )nvm 1 则是工作在较低抽样频率（mfs/）下。 为了让重建后的信号( )nx 等于原信号( )nx或者是( )nx的一个比较好的近似， 那么应 该首先保证( )nx 和( )nx的抽样频率一致，因此在综合滤波器( )zf0，( )zf1， ( )zfm 1 之前还应该有一个m倍的内插器。图中( )zh0，( )zh1，( )zhm 1 的作 用一方面是将原信号( )nx分成m个子带信号，另一方面则是作为抽取前的抗混叠 滤波器。同理，( )zf0，( )zf1，( )zfm 1 一方面起到信号重建的作用，另一方面 则作为内插后去除镜像的滤波器。 如果( )() 0 nncxnx= ， 其中c和 0 n 为常数， 即( )nx 是( )nx的延迟信号，且( )nx 的幅度也只是( )nx的常数倍，那么( )nx 就是( )nx的完全 重建信号，该滤波器组也就具有对信号完全重建的特性(perfect reconstruction, pr)3。 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 2 m m mm m m ( )nx1 ( )nx0 ( )nxm 1 ( )nv0 ( )nv1 ( )nvm 1 ( )nu0 ( )nu1 ( )num 1 ( )nx m ( )zf0 ( )zf1 ( )zfm 1 ( )nx m ( )zh0 ( )zh1 ( )zhm 1 图 1.1 m通道滤波器组 fig.1.1 m-channel filter bank 一般来讲，能够对信号完全重建的滤波器组是需要满足一定约束条件的，所 以很多情况下信号的失真是很难避免的，在图 1.1 所示的系统中，输出信号( )nx 对 输入信号( )nx的失真主要源自于以下两个方面13： (1) 混叠失真： 这是由于分析滤波器之间和综合滤波器之间频谱有少量的重叠 及( )nx的采样频率 s f 小于其最高频率成份的m 倍所致； (2) 幅度及相位失真： 幅度失真是由于分析或综合滤波器组的幅频特性在通带 范围内不是常数所致；相位失真则是由于滤波器组的相频特性不具有线性相位造 成的。 传统的多速率滤波器组设计的基本问题就是：如何设计满足一定特性的分析 和综合滤波器组，使整个多速率滤波器组的幅度失真、相位失真和混叠失真可以 控制在一个合理的范围内，甚至可以完全消除。 1.2 多速率滤波器组的发展历史及研究现状 多速率信号处理的概念最早于 20 世纪 70 年代在信号内插中提出，当时人们 研究多速率信号处理技术主要是为了降低计算复杂度、减小传输速率和节约存储 单元。 1980 年， johnston j. d.提出了一类两通道正交镜像滤波器组(quadrature mirror filter bank，qmfb)4，他提出的这类滤波器组可以完全消除混叠失真和相位失真， 但不能完全消除幅度失真。在此之后，多速率滤波器组开始逐渐受到人们的关注。 1984 年， smith m. j. t.和 barnwell t. p. 5以及 mintzer f. 6独立提出了共轭 正交滤波器组(conjugate quadrature mirror filter bank, cqmfb),首次实现了完全重 建。20 世纪 80 年代后期，vetterli m.7和 vaidyanathan p. p.8等学者研究了滤波器 组的完全重建条件，同时将两通道子带扩展到了 m （2m）通道子带。 vaidyanathan p. p.还在1987年引入了多相分解的方法， 该方法为滤波器组的实现提 供了一种高效的结构，极大地简化了滤波器组的设计。特别是vaidyanathan p. p. 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 3 和他的研究组提出的fir无损系统的格型(lattice)结构9，为格型滤波器组理论的 发展打下了基础，从而推动了这一学科的发展。 随后，一个特殊的m 通道完全重建滤波器组出现了，它的所有分析滤波器和 综合滤波器都是由原型滤波器通过调制得到，这在设计和实现上都很有效，这种 滤波器组称为调制滤波器组。调制滤波器组分为dft调制滤波器组和余弦调制滤 波器组，dft调制滤波器组是复数调制滤波器组，余弦调制滤波器组是实数调制 滤波器组。余弦调制滤波器组理论主要由malvar h. s.10，koilpillai r. d.， vaidyanathan p. p.11,12和ramstad t. a.13发展起来的。koilpillai r. d.12提出了余弦 调制（cosine-modulated）的m 带滤波器组，给出了完全重建条件，并用格型结构 实现了该类滤波器组。这些工作极大地推动了调制滤波器组理论的研究，同时也 为后续的深入研究提供了理论基础。 线性相位滤波器组随着应用也得到了很大的发展。在滤波器组的许多应用场 合，滤波器组的线性相位特性非常重要，尤其是在图像处理等对相位十分敏感的 领域。nguyen t. q.和vaidyanathan p. p.在1989年提出了一种完全重建的线性相位 滤波器组两通道双正交滤波器组，并且研究了该类滤波器组的格型结构实现 以及格型系数的计算。1990年，nguyen t. q.和vaidyanathan p. p.的m 带线性相位 滤波器组的研究成果受到了广泛关注，他们使用了格型分解算法14。1993年， soman a. k.，vaidyanathan p. p.和nguyen t. q.提出了m 通道线性相位正交滤波器 组15。随后，tran t. d.研究了任意长度、任意个通道的线性相位滤波器组的理论、 结构、设计方法以及该类滤波器组在图像处理中的应用16-18。 上述滤波器组都是均匀滤波器组，非均匀滤波器组理论是另一个研究的热点。 非均匀是指滤波器组的频带划分不是均匀的，这样的滤波器组可以适应多分辨率 的需求。1989年，hoang p. q.和vaidyanathan p. p.提出了非均匀滤波器组的理论19。 1991年，nayebi k.等人提出了非均匀滤波器组的时域设计方法， 两年后，nayebi k. 等又提出了非均匀滤波器组重建和设计理论。1997，li j. l.，nguyen t. q.和 tantaratana s.提出了新的近似完全重建非均匀滤波器组的设计方法20： 将非均匀滤 波器组等效变换成均匀滤波器组，然后利用余弦调制滤波器组来设计。1999年， sony j.等指出了非均匀滤波器组中一些尚未解决的问题，分析了任意整数抽取因 子的非均匀滤波器组完全重建的必要条件21。21世纪初，chan s. c.提出了基于两 级合并结构和余弦调制滤波器组的完全重建非均匀滤波器组设计方法22。 20世纪90年代，小波的分析研究成为热点。多分辨率分析理论表明，满足一 定正则条件的滤波器组可以迭代设计出小波。mallat s.提出了双尺度方程以及塔式 分解算法，这些理论研究成果将滤波器组和小波结合在一起，使滤波器组与小波 的理论和设计有了非常紧密的联系23,24。此后，很多学者在研究滤波器组自身理 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 4 论的同时，也开始注重研究如何利用滤波器组来设计小波。 2001年5月，vaidyanathan p. p.率先提出了双正交组的概念25，他指出如果两 个数字滤波器( )zh和( )zf的乘积为nyquist（m ）的滤波器，那么这两个滤波器 就可以称为双正交组，其中( )zh和( )zf分别为对方的双正交对（biorthogonal partner） 。双正交组的概念是基于滤波器组理论、最小均方插值理论、抽样理论以 及多分辨率理论提出的，它在信道均衡理论，尤其是分数间隔的信道均衡理论中 起着重要作用26。双正交组为实现系统的完全重建提供了一种新的思路，同时也 为多输入多输出（multi-input multi-output, mimo）系统提供了一种新的研究角度。 vetterli m.最先开始研究多维滤波器组系统27，而后，woods和oneil将多维 滤波器组用于图像编码28，经过近几十年的发展，多维多抽样率系统理论有很多 重大进展。目前，多维多抽样率系统的很多研究成果被广泛应用于图像和视频数 据的子带编码等技术中。 1.3 多速率滤波器组的应用 作为现代数字信号处理的一个重要分支，多抽样率数字信号处理在数字通信、 音视频信号处理等领域有着广泛地应用。 1.3.1 多速率滤波器组在数字通信中的应用 在数字通信系统中，从发送端和接收端的系统组成来看，多用户传输实质上 可以等效为一组综合/分析滤波器组29。在通信领域，多用户传输技术应用十分广 泛，根据滤波器的时频特性或用户码特征，多用户传输在技术上又可细分为时分 多路复用、频分多路复用和码分多路复用三种。各种类型的数字传输复用器，包 括单纯的时分复用或频分复用以及时分/频分双向转换，都可以用综合/分析滤波器 组实现。 同样地，多载波通信也可等效为一组综合/分析滤波器组。多载波通信的基本 思想是将可用频带分割成一系列带宽较窄的子带，每个子带传输一路子载波信号， 相对于单载波通信，多载波通信在某一时刻只会有少部分的子信道受到深衰落或 干扰的影响，因此多载波通信具有较高的传输能力以及抗衰落和干扰能力。目前， 多载波调制一般可以分为三种类型：多频调制、正交频分复用调制和基于小波基 的多载波调制。在多频调制下，每个子带的频谱都不重叠，因此多频调制的频带 利用率很低。在正交频分复用调制下，虽然每个子带的频谱都有一半相互重叠， 但它还是能够保持正交性，因此该方式相比多频调制大大提高了频带利用率。基 于小波基的多载波调制采用了基于半带滤波器组的迭代算法，在这种调制方式下， 每一个子带的频率响应都是不规则的，因此可以根据业务需求的不同对信道进行 不同的频带划分。以上三种多载波通信系统都可以使用m 通道的传输复用器来实 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 5 现30-32。 多抽样率理论在信道均衡上也有着很重要的应用，尤其是mimo系统的信道 均衡。均衡的目的就是从接收端的信号中最大程度地恢复出发送端的原始信号， 从滤波器组的角度来看，即设计出接收端的滤波器组，使其与发送端的滤波器组 和信道的等效滤波器级联之后尽量等效为一个单位系统，而这恰恰就是双正交组 的基本思想，mimo双正交组的不唯一性，可用于设计灵活的分数间隔mimo均 衡器，它将增强有用信号对信道噪声的稳健性33。 1.3.2 多速率滤波器组在音、视频处理中的应用 多速率滤波器组在多媒体信息处理中有着广泛的应用，音频、视频编码以及 相关处理（如指纹识别）都可以通过应用多速率滤波器组来获得更高的效率和更 好的性能。 滤波器组最初用于语音压缩34，后来逐渐被应用到图像、视频的压缩35。利 用滤波器组将信号分成不同的子带，然后根据子带所包含信息量的不同而给予不 同的处理，例如，通过舍弃包含不重要信息的子带、只保留含有重要信息的子带 来实现压缩。多年以来，滤波器组理论在音、视频信号压缩领域一直备受关注。 在音、视频编码方面，滤波器组主要用于子带编码。在音频子带编码中36， 使用一维滤波器将语音信号分解成一系列子带，通过内插、滤波和叠加单个子带 可以无失真地重建原始语音信号。在图像和视频的子带编码中使用的是二维可分 离滤波器，即将滤波器先应用于某一维（如垂直方向） ，再应用于另一维（如水平 方向）来实现。通常情况下，图像编码的方法是：把一个图像的傅立叶频谱分成 若干个互不重叠的子带，然后对每一子带进行反变换，得到一组带通图像；再对 各个带通图像进行二次采样，并用不同的比特率进行编码，这个比特率的选择要 和各个子带所包含的信息量以及主观视觉能力的要求相匹配。 音、视频的识别技术从20世纪90年代开始成为研究的热点，主要包括语音 识别和指纹识别。各类识别技术普遍采用的方法是利用滤波器组对原始信号进行 频谱分割，然后提取相关特征，与预设的模板进行匹配。sang- park等37提出了 一种方向滤波器组（direction filter bank, dfb）的改进结构，这种改进结构是用高 效树形结构来实现的，改进后的方向滤波器组保持了子带域的可见信息，可实现 高效计算，并且可以达到视觉上的完全重建。chul-hyun park等38提出了一个基 于方向滤波器组的指纹匹配方法：将图像的方向能量作为一个显著的特征来进行 指纹匹配，用dfb将一个指纹图像分解为几个方向子带输出信号，从子带输出中 获得每一块的方向能量分布，此方法能显著地减少匹配时间和节约存储空间。 多抽样率信号处理还广泛应用于视频通信领域，例如，将滤波器组和cdma （code division multiple access, cdma）技术相结合可以用于图像的传输：图像 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 6 经分析滤波器组分解成多组平行的数据流，采用ss-cdma（spread spectrum code-division multiple access, ss-cdma）方案使每一组数据流都对应一个扩频 码，然后经过多通道传输，最后在接收端再由综合滤波器组重建图像。对彩色图 像亦可做类似处理。 1.4 课题的理论及实际意义 近几十年来，多抽样率数字信号处理技术得到了极大的发展，促进它发展的 根本原因是层出不穷的应用。线性相位完全重建滤波器组随着应用也发展起来了， 无论在空中预警，电子对抗，超宽带雷达，软件无线电等军用领域，还是在移动 通信，图像压缩，宽带a/d转换，暂态保护等民用领域，线性相位完全重建滤波 器组均具有广阔的应用前景，因而线性相位完全重建滤波器组的设计引起了研究 人员的极大兴趣。 余弦调制滤波器组是一种特殊的滤波器组，它的所有分析和综合滤波器可由 一个或两个原型滤波器通过余弦调制得到，设计简单高效，计算复杂度低。另外， 余弦调制滤波器组还有一个非常重要的优点，就是易于实现完全重建，只需要低 通原型滤波器满足一定的完全重建条件，整个余弦调制滤波器组就可以得到很好 的重建性能。但是，余弦调制滤波器组有一个不足在于无法确保所有分析和综合 滤波器的线性相位特性，即使原型滤波器是线性相位的。这个不足就限制了余弦 调制滤波器组的应用，尤其是在那些对滤波器组线性相位特性有严格要求的场合。 线性相位余弦调制滤波器组很好地克服了这一缺点。与典型的m通道余弦调 制滤波器组不同的是，线性相位余弦调制滤波器组有 m2个通道，虽然所有的分析 和综合滤波器也都是由一个原型滤波器经过余弦调制得到，但是每一个分析和综 合滤波器都具有线性相位特性。线性相位余弦调制滤波器组继承了余弦调制滤波 器组的设计过程简单、计算效率高和易于完全重建等优良特性，相比其他类型的 线性相位完全重建滤波器组来说，线性相位余弦调制滤波器组更具优势。 目前，线性相位余弦调制滤波器组的设计大多对原型滤波器的长度有所限制 3940，本课题研究的是原型滤波器为任意长度的线性相位余弦调制滤波器组的设 计方法。 另外，线性相位余弦调制滤波器组的设计主要集中在原型滤波器的设计，原 型滤波器的设计一般以完全重建条件为条件约束，以原型滤波器的阻带能量为目 标函数，通过优化滤波器系数来获得性能最佳的原型滤波器。现有的原型滤波器 设计方法（如格型结构实现法等）一般采用非线性优化方法4142，但这些非线性 优化设计计算复杂度高而且对初始值很敏感，容易陷入局部最优解而找不到全局 最优解，尤其是当原型滤波器的长度很长时，往往很难得到高性能的原型滤波器。 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 7 本课题的主要目的就在于研究实现一种更为有效的原型滤波器设计方法，尽量避 免上述设计方法的缺点而且能够得到性能良好的线性相位余弦调制滤波器组。 1.5 本文主要内容及结构安排 本文在研究了典型m通道余弦调制滤波器组的结构和完全重建条件的基础之 上，根据现有的线性相位余弦调制滤波器组的理论成果，推证了任意长度线性相 位余弦调制滤波器组的完全重建条件，并对其完全重建条件做了化简和分类，最 后本文研究了任意长度线性相位余弦调制滤波器组原型滤波器的设计实现方法， 提出了一种新的原型滤波器的设计方法并给出了多个设计实例。 本文分为五章，具体章节安排如下： 第一章绪论主要介绍了课题的研究背景、国内外研究现状和本课题研究的内 容及意义。 第二章主要介绍了多速率信号处理的基本理论知识，如抽取器、内插器、多 相结构和m通道滤波器组，重点介绍了余弦调制滤波器组及其完全重建条件。 第三章介绍了线性相位余弦调制滤波器组的结构和任意长度线性相位余弦调 制滤波器组及其完全重建条件。 第四章是本文的重点，首先介绍了任意长度线性相位余弦调制滤波器组原型 滤波器的设计要求及设计方法，然后详细介绍了现有的任意长度线性相位余弦调 制滤波器组原型滤波器的设计方法，最后提出了一种新的原型滤波器设计方法并 给出了多个设计实例。 第五章对全文进行了总结，说明了下一步的工作方向，并对线性相位余弦调 制滤波器组的发展进行了展望。 重庆大学硕士学位论文 2 多抽样率数字信号处理基础 8 2 多抽样率数字信号处理基础 2.1 抽样率变换的基本理论 多抽样率数字信号处理中最基本的操作是抽取和内插，通常它们分别由抽取 器和内插器实现。 2.1.1 抽取器 传送或处理信号时，为了减少数据量，需要降低信号的采样速率（例如音频 系统） 。如果要把采样速率减小m 倍（m 为整数） ，可以把原始的采样序列每隔 1m个点取一个点，形成新的采样序列，该过程称为m 倍抽取，m 为抽取因子， 实现这一过程的器件称为m-抽取器。m-抽取器如图 2.1 所示： ( )nx( )nyd 图 2.1 m-抽取器 fig.2.1 m-fold decimator 设输入信号为( )nx，输出信号为( )nyd，m-抽取器的输入输出的关系为 ( )()mnxnyd= （2.1） 从数学上可以证明输入信号( )nx与m 倍抽取后的输出信号( )nyd在频域的关系如 下： () () () = = 1 0 /2 1 m k mkjj d ex m ey （2.2） 从（2.2）式来看，如果输入信号( )nx不是带限信号，抽取后，信号频谱会发 生混叠，从而造成信息损失，因此也就无法从输出序列( )nyd中恢复出原始信号。 为保证抽取后信号的频谱不发生混叠，应在抽取前对信号的频谱加以限制，这一 过程一般由一前置的抗混叠滤波器来实现，所谓抗混叠滤波器就是在抽取之前， 对信号进行低通滤波，把信号的频带限制在mm,。这时的抽取系统框图 如图2.2所示。 ( )nx( )nyd ( )nh 图 2.2 带有抗混叠滤波器的抽取器 fig.2.2 decimator with anti-aliasing filter 重庆大学硕士学位论文 2 多抽样率数字信号处理基础 9 2.1.2 内插器 如果希望把( )nx的抽样频率 s f变成 s lf，那么，最简单的方法是在( )nx每两个 点之间补1l个零，再进行平滑滤波。设补零后的信号为( )nv，则 ( ) () = = 其他, 0 ,2, 0,lllnlnx nv （2.3） 现在来分析( )nx和( )nv的离散傅立叶变换之间的关系，由于 ()( )()( ) klj k nj nn njj ekxelnxenvev = = = = （2.4） 所以 ()() ljj exev = （2.5） 即 ( )( ) l zxzv= （2.6） 在(2.5)式中，() j ev和() j ex都是周期的，() j ex的周期是2，而() lj ex 的 周期是l2，这样，() j ev的周期是l2。(2.5)式的含义是：() j ev在内 包含了l个() j ex的压缩样本，也就是说，在的范围内，() j ex的带宽被 压缩了l倍，同时产生了1l个镜像，应当设法去除这些镜像。为了得到与原始 信号一致的采样信号， 需要将( )nv再通过一个低通滤波器， 以消除内插带来的镜像。 低通滤波器的频率响应为 () = 其他, 0 , ll l eh j （2.7） 加入低通滤波器后，整个系统的框图如图2.3所示。 ( )nx( )nv ( )nh 图 2.3 内插系统框图 fig.2.3 the system of interpolator 2.1.3 恒等变换 图2.4所示的恒等变换涉及到滤波器和抽取操作或内插操作的位置变换， 这对 于多抽样率系统和滤波器组的分析很有用。 ( )zh ( )mx( )ny () m zh ( )mx( )ny （a） 重庆大学硕士学位论文 2 多抽样率数字信号处理基础 10 m ( )zh ( )mx( )ny m() m zh ( )mx( )ny （b） 图 2.4 恒等变换： （a）抽取； （b）内插 fig.2.4 identical transformation: (a) decimation; (b) interpolation. 图2.4（a）中的恒等变换说明，将信号m倍抽取后再经过滤波器( )zh等价于 将信号先经过滤波器() m zh再m倍抽取。在滤波器( )zh单位冲激响应的相邻样点 间插入1m个零就可得到滤波器() m zh。 图2.4（b）中的恒等变换说明，将信号先经过滤波器( )zh再m倍内插等价于 将信号m倍内插后再经过() m zh滤波。 2.2 多抽样率系统的多相结构 多相（polyphase）表示是多抽样率信号处理中的一种基本方法，使用它可以 在实现整数倍抽取和内插时提高计算效率，在实现滤波器组时也是非常有用的。 将滤波器( )nh的z变换( )zh写成 ( )( ) ()() () () () ()()() ml l mml l ml l mml l ml l ml l n n zmmlhzzmlhzzmlh zmmlhzmlhzmlh znhzh + = + + = + = + + = + + = + = + = += += = 11 11 11 11 l l （2.8） 令 ()()()1, 1 , 0,=+= + = mjzjmlhze l m l m j l （2.9） 则 ( )() m j m j j zezzh = = 1 0 （2.10） () m j ze称为( )zh的多相分量。式（2.10）称为( )zh的型多相分解。 现在分析图2.5（a）中的先滤波再抽取的操作。应用滤波器的多相分解得到 图2.5（b） ，再应用恒等变换得到图2.5（c） 。 ( )mx( )ny ( )zh （a） 重庆大学硕士学位论文 2 多抽样率数字信号处理基础 11 m () m ze0 () m ze1 mm m () m m ze 1m mm 1 z 1 z 1 z ( )mx ( )ny m mm m m mm ( )ze0 ( )ze1 ( )zem 1 1 z 1 z 1 z ( )mx ( )ny （b） （c） 图 2.5 （a）m倍抽取； （b）使用多相分解的抽取； （c）使用多相分解和恒等变换的抽取 fig.2.5 (a) m-fold decimator; (b) decimator implementation based on type polyphase decomposition; (c) decimator implementation based on type polyphase decomposition and identical transformation. 同理，多相分解也为内插后再滤波的操作提供了另外一种重要的等价结构， 如图2.6所示。定义( )( )zezr jmj = 1 ，则内插滤波器的多相分解为 ( ) () () m j m j jm zrzzh = = 1 0 1 （2.11） 式（2.11）称为( )zh的型多相分解，基于该式和恒等变换，得到图2.6（b） 。 ( )zf( )mx( )ny （a） ( )zr0 ( )zr1 mm ( )zrm 1 mm 1 z 1 z 1 z ( )mx ( )ny （b） 图 2.6 （a）m倍内插； （b）使用多相分解和恒等变换的内插； fig.2.6 (a) m-fold interpolator; (b) interpolator implementation based on type polyphase decomposition and identical transformation. 重庆大学硕士学位论文 2 多抽样率数字信号处理基础 12 2.3 m 通道滤波器组 2.3.1 最大均匀抽取滤波器组 设某一滤波器组有k个分析滤波器( )zh0，( )zhk 1 ，这k个滤波器有如 下关系： ( )() k kk zwhzh 0 = （2.12） 即 () () () kkjj k eheh 2 0 =，1, 1 , 0=kkl （2.13） 则称该滤波器组为均匀滤波器组。( )nx经( )zhk滤波后变成一个个子带信号，为了 降低这些子带信号的抽样率，可以用下采样器做进一步的抽取。如果作m倍的抽 取，并且km =，那么称该滤波器组为最大均匀抽取滤波器组，称这种情况为临 界抽样。这是因为km =是保证实现完全重建的最大抽取数。 在均匀滤波器组中，( )zh1，( )zhm 1 的频率响应是由低通滤波器( )zh0做 均匀移位后的结果，这时，( )( ) kn m j k enhnh 2 0 =，1, 2 , 1=mkl，显然( )nhk （1, 2 , 1=mkl）均为复数，因此()()1, 2 , 1=mkeh j k l 不再是关于0=偶 对称的。这样的滤波器组又被称为dft滤波器组，有关dft滤波器组的详细讨论 见2.4节。 在实际应用中，由于要处理的信号一般都是实信号，因此总希望滤波器组中 的所有滤波器的系数也都是实的。得到实系数的m通道均匀滤波器组一般有两个 途径，一是分别设计( )zh0，( )zhm 1 ；二是利用余弦调制，有关余弦调制滤 波器组的讨论见2.4节。 2.3.2 m通道滤波器组中的基本关系 图2.7是一个标准的m通道滤波器组，不难得到图中各处信号之间的相互关 系，即 ( )( )( )zhzxzx kk = （2.14） ( ) = = = = m l mk m l m l m m l m l mkk zwhzwx m zwx m zv 1 1 0 1 1 0 1 1 1 （2.15） ( )()()() l mk m l l m m kk zwhzwx m zvzu = = 1 0 1 （2.16） 于是，该滤波器组的最后输出 重庆大学硕士学位论文 2 多抽样率数字信号处理基础 13 ( )( )( ) ()()( )zfzwhzwx m zuzfzx k m k l mk m l l m m k kk = = = = = 1 0 1 0 1 0 1 （2.17） 若令 ( )()( )zfzwh m za k m k l mkl = = 1 0 1 （2.18） 则 ( )( )() = = 1 0 m l l ml zwxzazx （2.19） 这样，最后的输出( )zx 是() l m zwx的加权和，权函数是( )zal。 ( )zx ( ) zx mm ( )zx0 ( )zf0 ( )zf1 ( )zfm 1 ( )zh0 ( )zh1 ( )zhm 1 ( )zx1 ( )zxm 1 ( )zv0 ( )zv1 ( )zvm 1 ( )zu0 ( )zu1 ( )zum 1 图 2.7 m通道滤波器组 fig.2.7 m-channel filter bank 由于 () () mlj ez l m exzwx j 2 = = （2.20） 在0l时是() j ex的移位，因此，() j ex 是() j ex及其移位的加权和。在0l时， () mlj ex 2 是混叠分量，应想办法去除。根据（2.19）式，若保证 ( )1, 2 , 1, 0=mlzall （2.21） 则可以去除图2.7所示滤波器组中的混叠失真。这时 ( )( ) ( )zxzazx 0 = （2.22） 式中 ( )( )( ) = = 1 0 0 1 m k kk zfzh m za （2.23） 并记 重庆大学硕士学位论文 2 多抽样率数字信号处理基础 14 ( )( )( )( ) = = 1 0 0 1 m k kk zfzh m zazt （2.24） 显然，( )zt是在去除混叠失真后整个系统的转移函数。这时，( )zx 相对于( )zx是 否产生幅度失真和相位失真就取决于( )zt的性能。若( )zt是全通的，那么滤波器 组可避免幅度失真；若( )zt具有线性相位，那么滤波器组将去除相位失真；若( )zt 具有纯延迟的形式，即( ) k cz