（计算机应用技术专业论文）稀疏模糊规则库条件下的模糊插值推理方法研究.pdf

摘要 摘要 稀疏规则库广泛的存在于模糊推理系统中。当出现稀疏模糊规则库时， 采用传统的模糊推理方法是得不到任何结果的。由此，产生了模糊插值推 理方法。目前，已经存有很多的插值推理方法，但他们一般计算复杂，且 不能保证结果的正规凸性。为此，本文的目标就是对原有的稀疏模糊插值 推理方法进行改进，并且提出更好的稀疏模糊插值推理方法。 首先，本文分析了z h i h e n gh u a n g 和q i a n gs h e n 提出的基于重心的模 糊插值推理方法，但该方法只适用于三角形隶属函数。针对这个缺点，本 文改进了基于重心的模糊插值推理方法，使其不但适用于三角形隶属函数， 同时也适用于梯形隶属函数。 其次，通过仔细的分析研究和实例仿真，发现y s h i 和m m i z u t o m o 提 出的模糊拉格朗日插值推理方法不能保证最后结果的正规凸性。因而，本 文在拉格朗日插值函数的基础上给出了基于几何参数的模糊拉格朗日插值 推理方法。该方法不仅能保证最后结果的正规凸性，而且能适用于其他的 正规凸模糊集。 最后，给出了一种基于核集的稀疏模糊规则库条件下的模糊推理方法。 该方法计算简单，而且当模糊规则库是稀疏型时，利用该方法得到的模糊 推理结论的隶属函数是正规的凸模糊集。并把给出的基于核集的模糊插值 推理方法从一维情况扩展到多维情况，拓宽了该方法的应用范围。 关键词模糊集合；隶属函数；模糊推理系统；稀疏模糊规则库；插值推理 方法；核集 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t w h e nr u l eb a s ei s s p a r s e ，a n y r e a s o n i n gr e s u l tc a nn o tb eg o t t e nb y t r a d i t i o n a lc r im e t h o & h o w e v e ri n t e r p o l a t i v er e a s o n i n gm e t h o d sc a nt a c l d et h i s p r o b l e m n o w , t h e r ea r es o m ei n t e r p o l a t i v er e a s o n i n gm e t h o d s ，b u tt h e ym a y i n c l u d ec o m p l e xc o m p u t a t i o na n dc a n tk e 印t h ec o n v e x i t yo ft h er e a s o n i n g c o n s e q u e n c e s o ，t h et a r g e to f t h i sd i s s e r t a t i o ni st h er e s e a r c ho nh o w t oi m p r o v e t h ec u s t o m a r yr e a s o m n g ，a n dp r o p o s e dan e ws p a r s ef u z z yr e a s o n i n gm e t h o d f i r s t l y , t h ei n t e r p o l a t i v er e a s o n i n gm e t h o db a s e do nc e n t e ro fg r a v i t yw a s d e s c r i b e d b u t ，t h i sm e t h o dd i d n ta l l o wt h ec o n d i t i o n sa p p e a r i n g i nt h e a n t e c e d e n tp a r to fr u l et ob er e p r e s e n t e db yt r a p e z o i d a l 呦n u m b e r s ，s ot h i s p a p e rg e n e r a l i z e dt h em e t h o d t h eg e n e r a l i z e df u z z yi n t e r p o l a t i v em e t h o db a s e d o nc e n t e ro fg r a v i t ya l l o w st h ec o n d i t i o n sa p p e a r i n gi nt h ea n t e c e d e n tp a r ta n d t h ec o n s e q u e n c eo ft h er u l e st ob er e p r e s e n t e dn o to n l yb yt r i a n g u l a rf u z z y n u m b e r sb u ta l s ob yi r a p e z o i d a lf u z z yn u m b e r s s e c o n d l y , b ya n a l y z e da n ds i m u l a t e d , i tw a sf o u n dt h a tt h ef u z z yl a g r a n g e s i n t e r p o l a t i v er e a s o n i n gm e t h o dc a n tg u a r a n t e et h er e a s o n i n gc o n s e q u e n c e sa r e n o r m a la n dc o n v e x s oaf u z z yl a g r a n g e si n t e r p o l a t i v em e t h o db a s e do n g e o m e t r i cp a r a m e t e rw a sp r e s e n t e d r e a s o n i n gi ss i m p l eb yt h em e t h o d ； m o r e o v e ri tc a nk e 印t h ec o n v e x i t yo f t h er e a s o n i n gc o n s e q u e n c e f i n a l l y , af u z z yi n t e r p o l a t i v er e a s o n i n gm e t h o db a s e d o ng o r ew a sp r o p o s e d w h e n t h ef u z z yr u l eb a s e sa r es p a r s e ，t h er e a s o n i n gc o n c l u s i o n sc a nb ed e r i v e ds i m p l y a n da l en o r m a lc o n v e xf u z z ys e t s b yt h i sn e wm e t h o dt h en e wr e a s o n i n g m e t h o di sp r o 掣m m n e di nm a t l a bs u b s e q u e n t l y , t h eo n ed i m e n s i o ns p a r s e 如z z yr e a s o n i n gm e t h o dw a se x p a n d e di n t om u l t i - d i m e n s i o nf u z z yr e a s o n i n g ， a n di t sa p p l i c a t i o na r e aw a s s p r e a d i i a b s t r a c t k e y w o r d sf u z z ys e t ；m e m b e r s h i pf u n c t i o n ；f u z z yr e a s o n i n gs y s t e m ；s p a r s e f u z z yr u l eb a s e ；i n t e r p o l a t i v er e a s o n i n gm e t h o d ；c o r es e t l i i 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文稀疏模糊规则库条件下 的模糊插值推理方法研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学 位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部 分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完 全由本人承担。 作者签字 狐绎 日期：- 汐, , t m 月t e l 燕山大学硕士学位论文使用授权书 稀疏模糊规则库条件下的模糊插值推理方法研究系本人在燕山大 学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成 果归燕山大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关 人员。本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。 本人授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以 公布论文的全部或部分内容。 保密曰，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密圈。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： ；在耸 日期：纠年，月，日 导师签名： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 模糊理论的产生和发展 数学是关于物质世界空间形式和数量的科学。近代数学的创始入之 c a n t o r 建立了经典集合理论，其实质就是：一个对象对于一个集合来说， 要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一，绝不允许出现模棱 两可的情况1 1 “。 随着时代的发展，科学逐步走向深化，其中计算机技术的普遍使用， 使得要处理的事物变得高度复杂和不确定，越来越多的领域要求系统具有 智能性，从而更好地处理不确定性问题。人们通常在处理这类复杂问题时， 只抓住其中的主要部分，而忽略掉次要部分，这样能够使本身十分明确的 概念变得模糊起来，产生模糊性【4 】。 模糊概念和模糊现象，不仅大量存在于日常生活的自然语言中，在某 些科学技术领域中也很常见。人的语言具有多义性和不确定性的特点。例 如：“好”和“坏”，“冷”和“热”，“快”和“慢”，“清洁”和“污染”，“高 兴”和“悲伤”等等。这些对立概念的本身具有不确定性，没有明确的界 限，其模糊性也显而易见。利用c a n t o r 的经典集合理论无法处理这类事物。 为了突破c a n t o r 的经典集合论的束缚，许多学者对这一问题展开了深 入研究。1 9 6 5 年，模糊理论的创始人，美国加州大学柏克莱分校的l a z a d e h 教授发表了名为模糊集合的开创性论文弘】。他在研究人类思维、判断过 程的建模中，提出了用模糊集作为定量化的手段，标志着模糊数学这门学 科的诞生。之后，在1 9 8 4 年国际模糊系统学会( i f s a ) 正式成立，并于1 9 8 5 年在西班牙召开了第一次国际年会。在日本，有通产省组织的国际模糊工 程研究所( l i f e ) 也在1 9 8 9 年诞生，开创了官、学、商相结合搞技术研究开 发的范例。目前，有关模糊理论和应用的杂志有数十种，关于模糊理论的 研究及其应用得到了广泛而深入的关注和研究。 燕山大学工学硕士学位论文 但是，模糊理论仍然是一项正在发展中的理论和技术，还远未达到完 善的地步。其主要存在的问题就是还没有形成完整的理论体系。这还需要 不断地进行研究，还有很长的路要走。 1 2 模糊插值推理 模糊逻辑是基于模糊集理论基础之上的。它是一种简单的将一空间的 输入映射到另一空间的输出的一种规则。下面就简单介绍一下模糊逻辑和 模糊推理。 1 2 1 模糊逻辑和模糊推理 逻辑是研究人的思维形式和思维规律的- i - j 学科。逻辑学与数学相互 渗透，形成了数理逻辑。经典数理逻辑是一种“非此即彼”的关系，不承 认有任何中间过渡。后来有学者提出三值逻辑和多值逻辑，同样也是界限 分明的概念。模糊逻辑是在多值逻辑的基础上发展起来的，采用模糊集理 论作为主要工具，其基本数学思想是由无限值逻辑演变而来，把渐进的隶 属度引入到模糊集合中，为描述不精确、不确定的模糊信息和进行模糊推 理提供了有利的武器。 模糊逻辑的分类有许多，常见的是下列4 种。 ( 1 ) 广义模糊逻辑广义模糊逻辑【6 】是指模糊命题及逻辑计算的真值可 取任意模糊子集； ( 2 ) 狭义模糊逻辑狭义模糊逻辑1 7 是指模糊命题及逻辑计算的真值可 取 0 ，1 】区间上的任意值； ( 3 ) 区间值模糊逻辑区间值模糊逻辑i s 是指模糊命题及逻辑计算的真 值可取 0 ，1 x e n 上的任意区间； ( 4 ) 语言值模糊逻辑语言值模糊逻辑f 9 】是指模糊命题及逻辑计算的真 值取“语言真值”。 当前的模糊逻辑已经广泛的用于人们的生产和生活的各种领域，特别 是在工业控制和自动化领域。而逻辑推理是从己知的知识推出蕴含着的知 第1 章绪论 识，或归纳和发现新知识的重要方法【1 叫2 1 。在传统的逻辑中，推理的基本 规则是假言推理。按照这一规则，能够由命题p 的真假和蕴涵式p q 推断 出命题q 的真假。例如，若p 看成“某人住院”，q 看成“某人生病了”， 由蕴涵式p q 可知，若p 为真，则q 为真。 人们在日常生活中所进行的推理，使用的多数是假言推理的近似形式， 而并非精确形式，这时的推理称为模糊推理。例如蕴涵式p q 为：“如果 某人肥胖则应控制饮食。”由于肥胖和控制饮食都是模糊概念，不能用简单 的真、假来衡量，因此，其推理过程是模糊的1 1 3 】，且p q 的真值在【0 ，1 】 区间上取值，即t ( p q ) o ，1 】。 1 9 7 3 年，z a d e h 利用模糊关系把普通蕴涵的概念推广为模糊蕴涵，进 而运用模糊关系的合成运算，提出了推理合成规m j j ( c o m p o s i t i o n a lr u l eo f i n t e r e n c e ) 近似推理方法，简称c r i 方法1 1 4 , 1 5 。 由于根据模糊规则“i fx i s at h e ny i s b ”构造u x v 上的模糊关系 r ( a - b ) 的方法不同，以及所选择的模糊合成运算的方法有差异，所以形成 了多种不同的合成推理方法，即：z a d e h 的合成推理方法( c e d ) ，m a m d a n i 的合成推理方法，m i z u m o t o 的合成推理方法。 从最初的纯模糊逻辑推理系统，到高木关野模糊逻辑推理系统，再到 m a m d a n i 型模糊逻辑推理系统，其中的模糊推理系统结构以及模糊推理方 法都有很大的进步，也越来越能适应实际的需求，模糊推理系统已经成功 地应用于自动控制、数据分类、决策分析、专家系统及计算机视觉系统等 领域。对模糊推理的理论及实现方法的研究渐渐成为信息科学研究的重要 内容之一。 1 2 2 模糊插值推理 合成规则近似推理方法自问世以来，得到了广泛的应用。然而需要注 意的是，使用这些方法有时并不能得到理想的推理结果，甚至在许多时候 得不到任何推理结梨1 6 1 。 合成推理对隶属函数的基本要求如下【1 7 1 。 第一，隶属函数必须是正规的凸模糊集； 燕山大学工学硕士学位论文 第二，隶属函数在遵从语意顺序的情况下应有一定的重溢，即论域中 的每个点应该属于至少一个隶属函数的区域，同时它一般应该属于至多不 超过两个隶属函数的区域。 合成推理( c l u ) 的条件及推理过程如图1 1 所示。其中，图i - 1 ( a ) 表示 的是输入变量x 的隶属函数，图i - 1 ( b ) 表示的是输出变量y 的隶属函数。 魁 哩 】l e ； ( a ) 输入变量x 的隶属函数( b ) 输出变量y 的隶属函数 ( a ) t h em e m b e r s h i pf u n c t i o n s( b ) t h em e m b e r s h i pf u n c t i o n s o f l n p mv a r i a b l exo f o u t p u tv a r i a b l ey 图l - 1合成推理( c m ) 的条件及过程 f i g u r e1 - 1t h ec o n d i t i o no f c o m p o s i t i o n a l r u l eo f i n t e l e - n c e 在许多情况下，由于人们对问题认识得不够深入，掌握的知识不够全 面而导致规则不能覆盖整个论域；或者由于某种原因无法提取足够多的规 则而导致规则不能覆盖整个论域；或者由于规则库里的规则过多，为了降 低推理复杂性而减少部分规则，形成规则不能覆盖整个论域。总之，许多 情况下都可能形成规则前件没有重叠，规则库中的规则前件不能完全覆盖 输入论域，导致合成推理规则无法得出结论。 在模糊逻辑推理系统中，传统的模糊推理方法( 即：合成推理规则) 都是 针对紧密型模糊规则库的。在这些传统的模糊推理方法中，所论述问题的 输入领域完全被规则库中的规则前件所覆盖，也就是说只要有规则前件发 生，就一定能通过适当的规则得到一个推理结果。然而在许多情况下形成 的规则前件没有重叠，规则库中的规则前件不能完全覆盖输入论域，这时 则得不到任何的结论【埽l 。1 9 8 2 年，m m i z u m o t o 和h j z i m m e n n a n n 以“西 红柿问题”为例提出了稀疏模糊规则库【1 9 1 ，即当模糊规则库是稀疏型时， 4 第1 章绪论 所论述问题的输入领域不能完全被规则库的前件所覆盖，规则前件的隶属 函数之间就会出现空隙，因此传统的模糊推理方法就因为缺少推理依据而 不能得到推理结论。既然有可能出现稀疏模糊规则库，并且会影响到模糊 推理的正常进行，所以稀疏模糊规则库条件下的模糊推理方法就作为一个 重要的问题被提了出来。而模糊插值推理方法的出现就是为了解决在稀疏 规则库条件下如何得到推理结论而产生的一种方法，而且模糊推理本质上 就是某种插值推理方法1 2 0 j 。 1 3 模糊插值推理方法的国内外研究现状 为了解决稀疏模糊规则库条件下如何得到推理结论这一问题，k o c z y 和h i r o t a 提出了一种线性插值推理方法【2 1 2 2 1 ，当推理前提正好落在规则前 件之间的空隙上时，运用该方法就可以得到模糊推理结论。该方法运用传 统的近似技术，线性插值原理，引入欧几里德距离来刻画模糊集合的近似 程度，通过计算模糊推理结论的a - 上截集和a - 下截集，最后再利用模糊集 合的分解原理得到推理结论。 虽然k o c z y 和h i r o t a 提出的线性插值推理方法( 简称k h 线性插值推理 方法) 是解决稀疏规则库条件下推理问题的最早方法，但是，后来 m m i z u m o t o 和y s h i 发现用该方法得到的推理结论不一定总能够满足模糊 集合的正规性和凸性【矧。因此，他们提出了i g h 线性插值推理方法的推理 条件，在满足这些条件的基础上得到的推理结论一定是正规的凸模糊集， 其中包括保证“如果存在模糊规则a 1 = b i ，a z = b 2 和推理前提4 都是三角 形隶属函数，那么插值推理的结论口也是三角形隶属函数”的两个充分必 要条件，还有保证推理结论口是正规凸模糊集的几个充分条件。 另外，m m i z u m o t o 和y s h i 还提出了基于拉格朗日插值的稀疏模糊推 理方法，该方法能够保证当模糊规则和推理前提都是三角形隶属函数时， 得到的推理结论也是三角形隶属函数。还有很多学者对k o c z y 插值推理方 法的各种改进方法，以及由国内外学者提出的一些新的建立在插值基础上 的稀疏模糊规则库条件下的推理方法【m 5 1 。 5 燕山大学工学硕士学位论文 虽然，到目前为止己经有很多方法不同程度的解决了稀疏规则库条件 下的推理问题；但是令人感到遗憾的是，这些方法经过仔细分析，都不同 程度的存在一些缺点和错误，主要表现在以下几个方面p o 】。 ( 1 ) 重复计算在以上所有的方法中，只是给出了如何求得确定推理结 论的函数，在系统推理过程中，如果重复遇到同样的稀疏点，只能运用给 出的方法重复计算，这样就加大了系统的计算量，降低了系统的推理效率。 ( 2 ) 适用范围窄如k i - i 线性插值推理方法为了保证结论的正确性，必 须满足m m i z u m o t o 和y s t i i 提出的推理条件，然而正是这些条件限制了模 糊推理系统的实际应用，因为它只能适用于满足条件的情况，对于不满足 这些条件的情况仍然不能得到正确的推理结论：h u a n gz l a i h e 和s h e nq i a n g 提出的基于重心的稀疏模糊推理方法只对三角形隶属函数有效，对于其它 正规的凸模糊集就失去了作用，缩减了这个方法的应用范围。 ( 3 ) 不能够满足凸性和正规性例如k h 线性插值推理方法不能保证结 论的正规凸性，而m m i z u m o t o 和y s l l i 提出的基于拉格朗日插值的稀疏模 糊推理方法，同样存在着结论的非凸性问题。 ( 4 ) 在多维情况下效果很差以上的方法在一维情况下就受到很多条件 的限制，或者推理结果不是正规的凸模糊集，要把这些方法扩展到多维情 况中显然存在着很大的难度。 鉴于以上问题的存在，本文将对以上方法进行扩展和改进，并且将给 出一种新的基于核集的稀疏规则库条件下的模糊推理方法，该方法有效的 解决了一维和多维稀疏模糊规则库条件下的推理问题。 1 4 本课题的主要研究内容及论文结构 本文主要解决的问题是当模糊规则库是稀疏的时候，如何得到正确的 推理结论的问题，并且把稀疏型模糊推理系统予以编程实现。为此，本文 研究的主要内容如下。 ( 1 ) 对基于重，t l , 的模糊插值推理方法的研究对于稀疏模糊规则库， z h i h e n gh u a n g 和q i a n gs h e n 提出了一种基于重心的模糊插值推理方法。该 6 第1 章绪论 方法保证了当所给定的隶属函数和已知规则的前件的隶属函数是三角形 时，推理结果也是三角形。但是对于梯形隶属函数，该方法并不适用，因 而限制了该方法的应用。因此，本文将对该方法进行扩展，使得改进后的 方法对于三角形和梯形隶属函数都适用。 ( 2 ) 对模糊拉格朗日插值推理方法的研究对于稀疏模糊规则库， m m i z u m o t o 和y s h i 提出了一种模糊拉格朗日插值推理方法。但经过分析 发现，该方法不能保证最后结果的正规凸性。因此，本文将给出一种基于 几何参数的模糊拉格朗日插值推理方法，该方法不仅能保证最后结果的正 规凸性，而且对常用的正规凸模糊集都适用。 ( 3 ) 一种新的基于核集的模糊插值推理方法根据我们的调查发现，到 目前为止，每种方法都有各自的缺点尚且没有一种方法能很好的解决稀疏 模糊规则库下的推理问题。所以本文将提出一种新的稀疏模糊规则库下的 模糊推理方法，这种方法受条件的限制很少，对大部分目前广泛应用的隶 属函数都适用，而且计算方法简单。 根据本课题所研究内容的特点，本文主要采用理论与实际相结合的研 究方法。在理论方面主要利用数学知识进行推导证明、举例说明等方法； 系统实现方面通过分析稀疏规则库条件下推理系统的特点，运用以上的推 理方法编程实现稀疏型模糊推理系统，并通过仿真证明系统的可用性和正 确性。 本文各章节组织结构如下。 第1 章为绪论，主要介绍了课题的研究背景、与课题相关的基础知识、 国内外研究现状以及本课题的研究内容和研究方法等。 第2 章主要介绍基于重心模糊插值推理方法的局限性，提出了一种改 进的基于重心的模糊插值推理方法。 第3 章是本文的主要研究内容之一，在对已有y s h i 和m m i z u m o t o 提 出的基于拉格朗日插值的模糊插值推理方法进行了深入分析之后，提出了 其存在的问题，并给出了适当的改进方法，即所谓的基于几何参数的模糊 拉格朗日插值推理方法。 第4 章是本文的另一个研究重点，该章利用模糊集合的核，结合插值 燕山大学工学硕士学位论文 的实质形成了另一种新的模糊插值推理方法，并通过数字实例及m a t l a b 验证了该方法的正确性和可行性。最后，把新提出的模糊插值推理方法由 单维扩展到了二维和多维。 最后，对全文进行总结，并就进一步的工作进行了分析与展望。 第2 章基于重心模糊插值推理方法的改进 第2 章基于重心模糊插值推理方法的改进 1 9 8 2 年m m i z u m o t o 和h j z i m m e n r m a n n 用“西红柿问题”为例首先 提出了稀疏规则库的概念，即当规则库中的规则前件不能完全覆盖输入论 域时，称该规则库为稀疏规则库，而插值推理方法则是由于使用稀疏规则 库而产生的。在稀疏规则库条件下，两个相邻规则之间将会出现“空隙”， 当输入的事实落入“空隙”时，采用合成推理( c p d ) 方法是得不到任何推理 结果的。为了解决这一问题，在1 9 9 2 年，k o c z y 和h i r o t a 首次提出了解决 此问题的方法，即k h 线形插值推理方法【2 1 2 2 1 。虽然插值推理理论和思想 提出的时间并不长，但在短短十几年时间里，已有多种不同的插值推理方 法相继被提出，基于重心的插值推理方法即是其中重要的一种【3 2 】。这种方 法保证了当所有的隶属函数和规则的前件是正规凸三角形时，推理结果也 是正规凸三角形。但是对于其它类型的隶属函数，这种方法并不适用，这 就大大地限制了该方法的推广和应用。本章则试图改进这种方法，使改进 后的方法对于梯形隶属函数也同样适用。 2 1 k h 线形插值推理机制 为了了解稀疏规则库的推理，先来介绍稀疏规则库的由来。 2 1 1 稀疏规则库 1 9 8 2 年，m m i z u m o t o 和h j z i m m e n r m a n n 用“西红柿问题”为例首次 提出了稀疏规则库的存在，如图2 1 所示。图中横坐标表示输入输出论域， 纵坐标表示隶属度。图2 - 1 ( a ) 表示输入变量的隶属函数，图2 - 1 ( b ) 表示输出 变量的隶属函数。 一般的推理描述如下。 逻辑规则：如果西红柿是红色的，那么西红柿就熟了 9 燕山大学工学硕士学位论文 输入前提：这个西红柿是红色的 推理结论：这个西红柿熟了 但在下面的推理中，采用上述的方法就有困难了。 逻辑规则1 ：如果西红柿是红色的，那么西红柿熟了 逻辑规则2 ：如果西红柿是绿色的，那么西红柿不熟 输入前提；这个西红柿是黄色的 推理结论：? ? ? + 红色黄色 绿色 + 熟了 半熟不熟 丛k 睑墨 ( a ) 输入变量x 的隶属函数 ( a ) t h em e m b e r s h i pf u n c t i o n s o f i n p u tv a r i a b l ex ( b ) 输出变量y 的隶属函数 ( b ) t h em e m b e r s h i pf u n c t i o n s o f o u t p u tv a r i a b l ey 图2 1 西红柿问题 f i g u r e2 - 1t o m a t op r o b l e m 直觉上，人们可以推出，当一个西红柿是是黄色的，它是半熟的，如 图2 - l ( b ) 所示。但是根据传统的模糊推理方法，是得不出任何结论的。因为 不存在一条规则与“西红柿是黄色的”这个推理前提相对应，这时候，则 称该规则库是稀疏的。 在介绍稀疏模糊推理之前，首先先介绍一些相关的基本概念。 2 1 2 模糊推理的有关概念 稀疏模糊规则条件下的插值被称为模糊插值【2 1 2 2 】，它的一些常用概念 如下。 定义2 1 ：假定4 j ，也是论域u 上的模糊集，若a ，n a ? = 庐，则称4 ， 4 2 是不相连的。 定义2 2 ：假定a j j b j ，a 2 ：= - - - j b 2 是两条模糊规则，若4 ，也是不相连 的，则称这两条模糊规则是不相连的。 定义2 3 ：定义论域x 上所有正规的凸模糊集的集合为p c 的。存在a ， 1 0 第2 章基于重心模糊插值推理方法的改进 a 2 p f 幻，如果对于任意的c c e ( 0 ，1 ) ，条件 i n f a j 。 i n f a 2 。) ，s u p a 1 。 s u p a 2 a ( 2 1 ) 成立，那么我们就说4 j 小于山，记为4 ， 如，其中4 j 。和彳j 。分别是爿j ，也 的a 一截集，i n f a j 。) 是“，。的下确界，s u p a 衄) 是4 ，。的上确界( 卢1 ，2 ) 。 定义2 4 ：假定爿= 似，b f id f h ) 为规则库，a j 为模糊规则的前件， 假设a ， a 2 a ， a f + j a 。，j ，- x l , x 2 , “二) ，a f 和岛分别是 规则的前件和结论，若对于任意的o i n ，x u s u p p ( a i l - ga 则称规则库 彳是稀疏的。 定义2 5 ：假设4 是一模糊集，对于r t ( x ) ，v a x b ，若条件r t a ( x ) - - - - - m i n ( 肛a ( a ) ，卧) 成立，则称模糊集a 是凸的。 定义2 6 ：假设彳是一模糊集，若存在x o ，使l z , t ( x o ) = l ，则该模糊集是 正规的。 下面介绍有关4 ，。和4 7 。之间的截集距离的定义，如图2 - 2 所示。 定义2 7 ：4 j ，也是关于x 的模糊集，且冈 o o ，那么在一j 。和一2 。的洳 截集之间的下截集距离冼如图2 - 2 ( a ) 所示，上截集咖如图2 - 2 ( b ) 所示，具 体可定义为式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 所示的形式。 以( 4 。，4 。) = d ( h n f 4 。) ，i i 近4 。) )( 2 - 2 ) 力( 4 。，4 。) = d ( s u p 4 。) ，s u p a 2 。) )( 2 3 ) 式中d 代表欧几里德距离( e u c l i d e a nd i s t a n c e ) 。 ( a ) 下截集距离 ( a ) t h el o w e rc u td i s t a n c e s ( b ) 上截集距离 c o ) t h eu p p e r c u td i s t a n c e s 图2 2 彳谛】4 2 。之间的上下截集距离 f i g u r e 2 - 2 l o w e r a n d u p p e r c u t d i s t a n c e sb e t w e e n aaa n d 彳h l l 茎些盔堂三堂堡圭兰垡丝苎 在了解了有关稀疏模糊推理的相关的概念后，下面就详细来看看l 【h 线 形插值推理方法在稀疏模糊规则库的条件下如何来进行模糊推理。 2 1 3 k h 线形插值推理方法 k o c z y 和h i r o t a 已经研究了稀疏模糊推理问题，在稀疏规则库情况下 提出了一个线性模糊插值推理方法处理模糊规则推理，具体介绍如下。 假定a 1 j b l ，a 2 ：- - - - - j b 2 ，是论域u x v 上的不相连的两个模糊规则，4 j ， 也和占j ，毋分别是u 和v 上的模糊集，假定爿是论域u 上的一个输入事 实，如果a ， ) ，再根据模糊集合的分解原 理，就可以得到最后的推理结论，即： b + 。u 1 a b ：( 2 - e 0 1 l o )a1 ” i u ， 以上就是k h 线形插值推理方法广泛的用于模糊集合是三角形隶属函 数和梯形隶属函数时的情况，k o c z y 和h i r o t a 还给出了关于k h 线形插值推 理方法的定理。 1 2 第2 章基于重心模糊插值推理方法的改进 定理2 1 ：如果存在模糊规则a j j b j 和a 2 j 毋，以及推理前提爿+ 都是 正规凸三角形隶属函数( 或者梯形隶属函数) ，那么插值推理结论b 也是正 规的凸三角形( 或者梯形) 【2 1 2 2 】。 以上就是解决了稀疏模糊规则库条件下如何推理的k h 线形插值推理 方法。 2 2 基于重心的模糊插值推理方法 在2 1 中简单介绍了k h 线形插值推理方法，该方法解决了稀疏模糊规 则库条件下如何得到推理结论的问题，并且在定理2 i 中描述了k h 线形插 值推理方法可以保证最后结果的正规凸性。 但是，m m i z u m o t o 和y s h i 经过分析发现定理2 1 是不正确的，也就 是说k h 线形插值推理方法不能保证推理结果是一个正规凸集田】。为了减 少非凸集的出现，保证推理结果是一个正规凸集，学者们又提出了不同的 解决方法【2 5 2 9 】。但是，现有的解决方法一般存在较复杂的计算，并且大多 只限于在模糊集的隶属函数是三角形时才能使用。 尤为遗憾的是，上述方法均没有利用过模糊集的重心这一特性。对于 隶属函数来说，重心是最重要的特性之一。它不仅能够反映隶属函数的形 状，还能反映出隶属函数的具体位置。因此，利用重心这一特性来进行插 值推理，再通过转换操作，将能得到很好的结论。由此，h u a n gz h i h e 和 s h c n q i a n g 提出了基于重心的模糊插值推理方法p 2 】。 对于模糊集的隶属函数来说，重心是其很重要的一个特性。而且采用 基于重心模糊插值推理方法能够很好的解决凸性问题。 为叙述方便，在此先假定所有的模糊集为三角形，若用坐标 ( a o ，o ) ，( a l ，1 ) ，( a 2 ，o ) 来描述一个三角形，则计算三角形重心的数学公式如下。 c o g ( a ) ，= 卫尝( 2 1 1 ) j c o g ( a ) 一旦旦旦：一1 ( 2 1 2 ) 燕山大学工学硕士学位论文 假定相邻的两规则分别为：4 ，j b j ，a 2 劫2 ；观测值为：4 + ，且4 + 位 于4 ，和也之间。用术语表述为： 输入条件：x 是彳+ 逻辑规则1 ：如果x 是彳j ，那么y 是占j 逻辑规则2 ：如果x 是也，那么y 是毋 推理输出：y 是口+ ? 其中：a ，= ( 4 a 口，2 ) ； 置= ( 匆。，包。，匆：) ； i = 1 2 ： a = ( a o ，q ，啦) ； b = ( b o ，岛，屯) 。 基于重心的模糊插值推理方法的原理是构造一个新的模糊集爿7 ，彳与 4 + 接近且有相同的重心。在计算两模糊集间的距离时，将不再使用式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 来计算，而是利用重心间的距离进行替代。 所以，模糊集彳，和如之间的距离重新定义为重心间的水平距离，即： d ( 4 l ，a 2 ) = d ( c o g ( a 1 ) ，c o g ( a 2 ) ) ( 2 1 3 ) 为了构造47 ，先令 k 。= 糕= 篆鬻渊 则所构造的4 ，如下。 a o = ( 1 一九c 口g ) a l o + 九c o g a 2 0 口l = ( 1 一九c d g ) a l l + 九c o g a 2 l a 2 = ( 1 一九c d g ) a 1 2 + 九c d g a 2 2 简写为 a t - ( 1 一k ) 4 + k 4 由此，新构造出的47 和4 存在着相同的重心，证明步骤如下。 第一步，先计算47 的重心。 c o g ( 彳) = 生笔；立生 j 1 4 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 第2 章基于重心模糊插值推理方法的改进 第二步，由式( 2 1 3 ) 式( 2 1 4 ) 式( 2 - 1 5 ) 和式( 2 1 2 ) ，可得： c 0 6 ( a ) ：( 1 一) 型粤逸+ 笠粤丝= ( 1 一a c ) g ( 4 ) + l c o g ( 4 ) = c 1 9 g ( 一+ ) 根据插值的原理，相应的模糊集b7 可以通过如下的公式得到。 b 。= ( 1 - 九c 0 6 ) 置+ 九c 岛( 2 - 1 9 ) 由此，新生成的规则a j b 7 是由规则a j = 汨j 和a 2 j b 2 而得出的，所 以现在的插值推理就变为如下形式。 逻辑规则：如果x 是47 ，那么】，是曰 输入条件：x 是4 + 推理输出：j ，是口? 先考虑极端的情况，当4 书利j 时，由式( 2 - 1 4 ) 可知，知为0 ，所以b * = - b z ； 同理，当a 吲2 ，则b * = - b 2 。当不出现上述情况时，则将按如下的方法来解 决。假定彳匍a 之间存在一定的相似度，这时则可认为占+ 和b ：艺间也存 在着同样的相似度。那么如何得到所希望的结论b + 呢，可以通过引进s - t 和m t 转换操作来解决这个问题。下面就来介绍s t 和m t 转换操作。 s - t 和m t ：假设给定一比例值5 ，把( a 2 a 0 ) 转换成新的( 吒一口o ) ，即： ( 硅一吒) = o ( 吒一喁) )( 2 - 2 0 ) 同时要保证下面的条件同时成立。即 c o g ( a = c o g ( a 。) 并且a 1 - a o ：盟。 呸一q呸一q 由此，新的瓦，反，吐一定满足式( 2 - 2 0 ) 至式( 2 2 2 ) ，如图2 - ；所示。 玩：a o o + 2 s ) + a l ：( 1 - s ) + a = o 一- s ) ( 2 - 2 1 ) 雹：a o ( 1 - s ) + a l o ：+ 2 s ) + a 2 ( 1 一- s ) ( 2 - 2 2 ) j 吐：a o o - s ) + c f i ( 1 了- s ) + a 2 0 + 一2 s ) ( 2 - 2 3 ) 15 燕山大学工学硕士学位论文 同理：假设给定一位移值l ， a o ，a 。，a ：转换成新的瓦，4 ，砬。同时要保 证c d g ( 4 = c 0 6 ( a + ) 和如一瓦= a 2 一口0 成立，如图2 - 4 所示。那么新的 , i o ，雹，如一定为： 口j=ao+l(224) 口= 口1 2 l ( 2 - 2 5 ) 口2 = a2+三(2-26) 图2 - 3s - t 转换 f i g u r e2 - 3s c a l et r a n s f o r m a t i o n 图2 - 4m - t 转换 f i g u r e2 - 4m o v et r a n s f o r m a t i o n 由此，根据4 q 姐4 t 计算出比例大小s 和位移转换距离l 的值，占t 可通 过让b7 进行相同的比例和位移转换而求出，即：t ( b ，鳓= 双彳：。具体 的求解过程可参见文献 3 2 1 。 基于重心的模糊插值推理方法对传统的合成推理规则方法进行了极大 的推进，然而目前对这种方法的研究利用，只局限于三角形隶属函数，但 当遇到隶属函数是梯形时，则该方法将无法使用，因此本文尝试对之进行 改进，使得改进后的方法不仅可以适用于三角形隶属函数，同时也能适用 于梯形隶属函数。 2 3 基于重心模糊插值推理方法的改进 在2 2 节中简单介绍了基于重心的模糊插值推理方法。但是，该方法只 考虑了三角形的隶属函数，却忽略了梯形隶属函数。因此，本章改进了这 种方法，使改进后的方法不仅可以应用于三角形隶属函数，同时也能应用 于梯形隶属函数。 1 6 第2 章基于重心模糊插值推理方法的改进 在介绍该方法之前，有必要先来了解一些基本的概念。 2 3 1 正规的梯形模糊数 正规的梯形模糊数记为：4 = 6 ，c 国。其中a , b ，c ，d 是实数。它的成员 函数胁( x ) 满足下列条件。 ( 1 ) m ( x ) 是一个连续的从r 到闭区间 0 ，1 】映射函数； ( 2 ) 肌( x 产o ，一。o 叠； ( 3 ) u a ( x ) 在 a ，b 】上单调递增； ( 4 ) m ( x ) = 1 ，6 5 受虫； ( 5 ) 砌( x ) 在【c ，d 】上单调递减； ( 6 ) r e ( x ) = 0 ，d ：矗! ；+ a o 。 如果a = b 并且c = d ，那么4 称为矩形模糊数。如果b 飞，那么4 称为正 规的三角模糊数。如果a = b = e = d ，那么4 称为模糊单值。 通过引进正规的梯形模糊数的概念，从而可以把三角形模糊数和梯形 模糊数统一起来，为以后的改进奠定了基础。 2 3 2 传统的重心计算方法 采用传统的计算方法计算模糊数彳的重心公式如下。 x = y a5 f 2 - 2 7 ) 式中脚( x ) 是模糊数4 的成员函数，砌( x ) 【o ，l 】。 由于三角形和梯形隶属函数属于分段线形函数，所以采用式( 2 2 6 ) 在计 算三角形和梯形模糊数的重心时，常常事倍功半。 2 3 3 一种简单的重心计算方法 c h e ns k i - j a y 等人提出了一种新的计算模糊数的重心( x ，y ) 方法| 4 2 1 ，该 1 7 一一一一 燕山大学工学硕士学位论文 方法基于几何概念。假定a 是一正规的梯形模糊数，且a = ( a l ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) 。 则计算模糊数4 重心的公式如下。 i ( a 3 - a 2 + 2 ) 小牛，当q q 时( 2 - 2 8 )儿2 6 一 4。 ( 2 2 8 ) l1