（理论物理专业论文）宇宙学中的若干精确可解模型.pdf

南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 任，- - k , 、 乙。叼g 年箩月l 日 南开大学硕士学位论文 宇宙学中的若干精确可解模型 s o m e e x a c t l ys o l v a b l em o d e l s i nc o s m o l o g y 培养院系：陈省身数学研究所 一级学科：物理学 二级学科：理论物理 论文作者：任杰 指导教n - 葛墨林院士 2 0 0 8 年5 月 摘要 摘要 e i n s t e i n 方程的精确解在引力理论中有重要的作用。随着近年来宇宙学的发 展，具有宇宙学意义的e i n s t e i n 方程的精确解是一个值得研究的方向。这类解一 般有如下特点，一方面是含有有宇宙常数或与宇宙常数行为接近的成分，另一方 面是要考虑到宇宙不是e i n s t e i n 流形，因为宇宙是含有物质的，可以用理想流体 来描述。作为标准宇宙学模型的宇宙常数冷暗物质( a c d m ) 模型是以f r i e d m a n n r o b e r t s o n w a l k e r ( f r w ) 度规和理想流体为基础的，已经得到大量观测数据的支 持。额外维和膜宇宙的图景促进了高维e i n s t e i n 方程的精确解的发展，宇宙学要 求4 维时空应作为高维时空的一个子流形。本文主要寻找一些有较强概括力的精 确解，并发现多个精确解之间的关系。 在第一章中，通过一个推广的物态方程，将a c d m 模型的理想流体推广为更一 般的粘滞流体。这个推广基于一个简单的事实，物态方程p = 一p 0 结合f r i e d m a n n 方 程即可得到a c d m 模型。推广的物态方程可以统一描述理想流体项、粘滞效应和 宇宙常数，并且此时的f r i e d m a n n 方程有精确解，这个解概括了很多文献中的已经 得到过的解。出现这个解的原因是一个r i c c a t i 变量代换可以把此时的f r i e d m a n n 方 程线性化。 在第二章中，考虑了更一般的情况，即物态方程参数和宇宙常数都可以是尺度 因子的函数，对r i c c a t i 变量代换进行了更一般的推广，并提出了对应的h a m i l t o n 形 式。这个只含一个广义坐标的无约束h a m i l t o n 系统给出f r i e d m a n n 方程作为其运动 方程，描写了一个可变质量的质点在某个势场中的运动。推广后的非线性变换 对应h a m i l t o n 形式中的一个正则变换，经过这个正则变换后，可以进一步简化成 固定质量的质点在另外一个势场中的运动。在这个框架下，作为一个具体的例 子，a c d m 模型对应于一个( 倒) 谐振子。这个h a m i l t o n 形式可以进一步推广到有粘 滞性的情况，上述的非线性变换揭示了精确解出现的原因。 在第三章中，求出并研究了一个5 维e i n s t e i n 方程的精确解，这个解描写的是 把f r w 宇宙作为理想流体嵌入5 维e i n s t e i n 时空，此时f r w 宇宙是5 维e i n s t e i n 时空 中的一个4 维超曲面。这个解具有很强的一般性，含有两个任意函数和3 个常数， 赋予这些任意函数和常数以特定的形式可以得到多种宇宙演化的方式。这个5 维 摘要 解揭示了很多其它5 维解之间的内在联系：( 1 ) 这个解在一定边界条件下的特解就 是r a n d a l l s u n d r u m 模型中的一个解；( 2 ) 这个解可以从5 维拓扑黑洞经过坐标变换 得到，但是在其它维这种坐标变换不能显式地写出来，这是这个精确解出现的第 一个原因；( 3 ) 这个解的假设可以从5 维l e m a i t r e t o l m a n b o n d i 度规通过w i c k 转动 得到；( 4 ) 这个解在宇宙常数趋于零的情况下化为l i u m a s h h o o n w e s s o n 解。这些 解之间的关系从多个角度印证t g a u s s 正交坐标系下的5 维e i n s t e i n 时空有很强的 特殊性。如果5 维的宇宙常数是正的，那么度规周期性地依赖于额外维，因此可以 自然地把额外维紧化到s 1 上。在g a u s s 正交坐标系下，通过一个高维的假设，可以 看出e i n s t e i n 方程的四维时空部分化成一个有源的h e l m h o l t z 方程，即线性的方程， 这个线性结构是这个精确解出现的第二个原因。 关键词e i n s t e i n 方程精确解额外维 a b s t r a c t a b s t r a c t i nc h a p t e r1 ，w eg e n e r a l i z et h ea c d mm o d e lb yi n t r o d u c i n gau n i f i e de o st od e - s c r i b et h eu n i v e r s ec o n t e n t sm o d e l e da sd a r kv i s c o u sf l u i d ，m o t i v a t e db yt h ef a c tt h a ta s i n g l ec o n s t a n te q u a t i o n o fs t a t e ( e o s ) p = p o ( p 0 0 ) r e p r o d u c e st h ea c d mm o d e l e x a c t l y t h i se o s d e s c r i b e st h ep e r f e c tf l u i dt e r m , t h ed i s s i p a t i v ee f f e c t ，a n dt h ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n ti nau n i q u ef r a m e w o r k a n dt h ef r i e d m a n ne q u a t i o n sc a l lb ea n a l y t i c a l l y s o l v e d e s p e c i a l l y , w ef i n da r e l a t i o nb e t w e e nt h ee o s p a r a m e t e ra n dt h er e n o r m a l i z a b l ec o n d i t i o no fas c a l a rf i e l d i nc h a p t e r2 ，w ep r o p o s eah a m i l t o n i a nf o r m a l i s mf o r ag e n e r a l i z e df r i e d m a n n - r o b e r s o n w a l k e rc o s m o l o g ym o d e li nt h ep r e s e n c eo fb o t h av a r i a b l ee o s p a r a m e t e rw ( a ) a n d av a r i a b l ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n ta ( o ) ，w h e r e 口i s t h es c a l ef a c t o r t h i sh a m i l t o n i a ns y s t e mc o n t a i n i n go n ed e g r e eo ff r e e d o ma n dw i t h o u tc o n s t r a i n t ，g i v e sf r i e d m a n ne q u a t i o n sa st h ee q u a t i o no fm o t i o n ，w h i c hd e s c r i b e s am e c h a n i c a ls y s t e mw i t hav a r i a b l em a s so b j e c tm o v i n gi nap o t e n t i a lf i e l d a f t e ra n a p p r o p r i a t et r a n s f o r m a t i o no ft h es c a l ef a c t o r , t h i ss y s t e mc a r lb ef u r t h e rs i m p l i f i e dt o a no b j e c tw i t l lc o n s t a n tm a s sm o v i n gi na ne f f e c t i v ep o t e n t i a lf i e l d i nt h i sf r a m e w o r k , t h ea c d mm o d e la st h ec u r r e n ts t a n d a r dm o d e lo fc o s m o l o g yc o r r e s p o n d st oab a r - m o n i co s c i l l a t o r w ef u r t h e rg e n e r a l i z et h i sf o r m a l i s mt ot a k ei n t oa c c o u n tt h eb u l l 【 v i s c o s i t ya n do t h e rc a s e s i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t ea ne x a c ts o l u t i o nt h a td e s c r i b e s t h ee m b e d d i n go ft h ef o u r - d i m e n s i o n a l ( 4 d ) p e r f e c tf l u i di naf i v e d i m e n s i o n a l ( 5 d ) e i n s t e i ns p a c e t i m e t h ee f f e c t i v em e t r i co ft h e4 dp e r f e c tf l u i da sa h y p e r s u r f a c ew i t h i n d u c e dm a t t e ri se q u i v a l e n tt ot h er o b e r t s o n - w a l k e rm e t r i co fc o s m o l o g y t h i sg e n e r a ls o l u t i o ns h o w si n t e r c o n n e c t i o n sa m o n gm a n y5 ds o l u t i o n s ，s u c ha s t h es o l u t i o ni n t h eb r a n e w o d ds c e n a r i oa n dt h et o p o l o g i c a lb l a c kh o l ew i t hc o s m o l o g i c a lc o n s t a n t i f t h e5 dc o s m o l o g i c a lc o n s t a n ti sp o s i t i v e ，t h em e t r i cp e r i o d i c a l l yd e p e n d so nt h ee x t r a d i m e n s i o n t h u sw ec a nc o m p a c t i f yt h ee x t r ad i m e n s i o no ns 1a n ds t u d yt h ep h e - n o m e n o l o g i c a li s s u e s w ea l s og e n e r a l i z et h em e t r i ca n s a t zt ot h eh i g h e r - d i m e n s i o n a l c a s e ，i nw h i c ht h e4 dp a r to ft h ee i n s t e i ne q u a t i o n sc a n b er e d u c e dt oa l i n e a re q u a t i o n k e yw o r d se i n s t e i ne q u a t i o n s ；e x a c ts o l u t i o n ；e x 仃ad i m e n s i o n c o n t e n t s c o n t e n t s 摘要 i a b s t r a c t试 c h a p t e r1 u n i f i e de q u a t i o no f s t a t ei nf r i e d m a l mc o s m o l o g y i 1 2 p h y s i c a lm e a n i n go f e a c ht e r ma n d m a t h e m a t i c a lf e a t u r e s 2 1 3 s u p e r n o v a ec o n s t r a i n t s 5 1 4d i s c u s s i o n6 c h a p t e r 2h a m i l t o n i a n f o r m a l i s m i n f r i e d m a n n c o s m o l o g y 9 2 1i n t r o d u c t i o n 9 2 2h a m i l t o n i a nf o r m a l i s m 1 0 2 3b u l kv i s c o s i t y 1 4 2 4r e l a t i o n st ot h eo b s e r v a b l eq u a n t i f i e s1 6 2 5r e m a r k so nq u a n t u mc o s m o l o g y 1 8 2 6c o n c l u s i o na n dd i s c u s s i o n 2 0 c h a p t e r3e m b e d d i n gt h e4 du n i v e r s et oa 5 de i n s t e i ns p a c e t i m e 2 1 3 1i n t r o d u c t i o n 2 1 3 2t h e5 ds o l u t i o na n dt w oc o s m o l o g i c a li n t e r p r e t a t i o n s 2 2 3 3r e l a t i o nt oo t h e r5 ds o l u t i o n si nau n i f i e dw a y2 6 3 4m o r ee x t r ad i m e n s i o n s 3 2 3 5 c o n c l u s i o na n dd i s c u s s i o n 3 4 c o n t e n t s r e f e r e n c e s 3 6 a c k n o w l e d g e m e n t s4 3 a p p e n d i x v c h a p t e r1 u n i f i e de q u a t i o no fs t a t ei nf r i e d m a n nc o s m o l o g y c h a p t e r1 u n i f i e de q u a t i o no fs t a t ei nf r i e d m a n n c o s m o l o g y 1 1i n t r o d u c t i o n t h ec o s m o l o g i c a lo b s e r v a t i o n sh a v ep r o v i d e di n c r e a s i n g l yc o n v i n c i n ge v i d e n c e t h a to u ru n i v e r s ei su n d e r g o i n gal a t e t i m ea c c e l e r a t i n ge x p a n s i o n 1 - 4 】，a n dw el i v e i naf a v o r e ds p a t i a l l yf i a tu n i v e r s ec o m p o s e do fa p p r o x i m a t e l y4 b a r y o n i cm a t t e r , 2 2 d a r km a t t e ra n d7 4 d a r ke n e r g y t h es i m p l e s tc a n d i d a t ef o rd a r ke n e r g yi st h e c o s m o l o g i c a lc o n s t a n t r e c e n t l y , ag r e a tn u m b e ro fi d e a sh a v e b e e np r o p o s e dt oe x p l a i n t h ec u r r e n ta c c e l e r a t i n gu n i v e r s e ，p a r t l ys u c ha ss c a l a rf i e l dm o d e l ，e x o t i ce q u a t i o no f s t a t e ( e o s ) ，m o d i f i e dg r a v i t y , a n dt h ei n h o m o g e n e o u sc o s m o l o g ym o d e l h o w e v e r , t h e a v a i l a b l ed a t as e t si nc o s m o l o g y , e s p e c i a l l yt h es n ei ad a t a 5 - 7 】，t h es d s sd a t a 【8 】， a n dt h et h r e ey e a rw m a pd a t a 【4 】a l li n d i c a t et h a tt h ea c d mm o d e l ，w h i c hs e r v e s a sas t a n d a r dm o d e li nc o s m o l o g y , i sa ne x c e u e n tm o d e lt od e s c r i b et h ec o s m o l o g i c a l e v o l u t i o n t h e r e f o r e ，w es u g g e s tt h a tan e wc o s m o l o g i c a lm o d e ls h o u l db eb a s e do no r c a nb er e d u c e dt ot h ea c d mm o d e ln a t u r a l l y t i m e - d e p e n d e n tb u l kv i s c o s i t y 【9 】，al i n e a re o s 1 0 ，11 】，a n dt h eh u b b l ep a r a m e t e rd e p e n d e n te o s 【1 2 a r ec o n s i d e r e di nt h es t u d yo ft h ed a r ke n e r g yp h y s i c s t h e e o sa p p r o a c hi si n t e n s e l ys t u d i e di nc o s m o l o g y , p a r t l ys u c ha sr e f s 【1 3 - 2 1 t h e e q u i v a l e n c eb e t w e e nt h em o d i f i e de o s ，t h es c a l a rf i e l dm o d e l ，a n dt h em o d i f i e dg r a v 一 毋i sd e m o n s t r a t e di nr e f s 【2 2 - 2 4 】，w i t hag e n e r a lm e t h o dt oc a l c u l a t et h ep o t e n t i a l o ft h ec o r r e s p o n d i n gs c a l a rf i e l df o rag i v e ne o s w ea t t e m p tt oi n v e s t i g a t et h ep r o p - e r t i e so fc o s m o l o g i c a lm o d e l ss t a r t i n gf r o mt h ee o so ft h eu n i v e r s ec o n t e n t sd i r e c t l y , w h i c hi ss u g g e s t e db yt h ea u t h o r si nr e f 【2 5 o u rg o a li st of i n dm o r ep h y s i c a lm e a n i n g si nt h ef i g h th a n ds i d eo ft h ee i n s t e i ne q u a t i o nt oe x p l o r et h ec u r r e n t l ya c c e l e r a t i n g u n i v e r s e w ef i n dt h a tag e n e r a l i z e de o su n i f i e ss e v e r a li s s u e si nc o s m o l o g y t h i s e o sc a nb er e g a r d e da st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n s t a n te o sp = 一伽，w h i c hc a n r e p r o d u c et h ea c d m m o d e le x a c t l y i nt h i sp a p e r , w eb u i l du pag e n e r a lm o d e lc a l l e dt h ee x t e n d e da c d mm o d e l ， 1 c h a p t e r1 u n i f i e de q u a t i o no fs t a t ei nf r i e d m a n nc o s m o l o g y w h i c hc a l lb ee x a c t l ys o l v e dt od e s c r i b et h ec o s m o l o g i c a le v o l u t i o n sb yi n t r o d u c i n ga u n i f i e de o s t h i sp a p e ri sac o m p l e m e n to fo u rp r e v i o u sw o r k 【2 6 ，2 7 ，i nw h i c ht h e p h y s i c a lm e a n i n g so ft h i se o s a l ev e r yl i m i t e d w ea l s od e v e l o pac o m p l e t e l yn u m e r i - c a lm e t h o dt op e r f o r max 2m i n i m i z a t i o nt oc o n s 仃a i nt h ep a r a m e t e r so fac o s m o l o g i c a l m o d e ld i r e c t l yf r o mt h ef r i e d r n a n ne q u a t i o n s w ec o n s i d e rt h ef r i e d m a n n r o b e r t s o n - w a l k e rm e t r i ci nt h ef l a ts p a c eg e o m e t r y ( k - - 0 ) a st h ec a s ef a v o r e db yo b s e r v a t i o n a ld a t a d s 2 = - d t 2 + 口( 亡) 2 ( d r 2 + r 2 d q 2 ) ， ( 1 1 ) a n da s s u m et h a tt h ec o s m i cf l u i dp o s s e s s e sab u l kv i s c o s i t y ( t h ee n e r g y - m o m e n t u m t e n s o ri s 死= p u 巩+ 一印) 危m ( 1 2 ) w h e r ei nc o m o v i n gc o o r d i n a t e su p = ( 1 ，0 ，0 ，o ) ，= 乳+ 巩，a n d0 = 3 h a 【4 9 】b yd e f i n i n gt h ee f f e c t i v ep r e s s u r ea s 多= p c oa n df r o mt h ee i n s t e i ne q u a t i o n 一；跏r = 尤2 ，w h e r ek 2 = 8 r g ，w e o b t a i nt h ef r i e d m a n ne q u a t i o n s 筹= 可电2 p ，m 兰= 一e 仡2 ( p + 3 痧) ( 1 3 ) 孑2 可，口2 一 十印j 【1 卸 t h ec o n s e r v a t i o ne q u a t i o nf o re n e r g y , o ，v = 0 ，y i e l d s 户+ 3 h ( p + 痧) = 0 ，( 1 4 ) w h e r eh = a ai st h eh u b b l e p a r a m e t e r 1 2 p h y s i c a lm e a n i n go fe a c ht e r ma n dm a t h e m a t i c a lf e a t u r e s t h ee o sp r o p o s e di no u rp r e v i o u sw o r k 【2 6 】i s 西v e nb y p = ( 彳。) p 一志咖一南 ( 1 5 ) t h ef i r s tt e r mi st h ep r e f e c tf l u i de o s ，t h es e c o n dt e r md e s c r i b e st h ed i s s i p a t i v ee f f e c t , a n dt h et h i r dt e r mc o r r e s p o n d st ot h ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n t t h ed y n a m i c a le q u a t i o n o ft h es c a l ef a c t o ra ( t ) c a nb ew r i t t e na s 堡= 一t 3 5 - 2 孑a 2l 去鱼i 露1 - i - - - 4 - aa ( 1 6 )一= 一一= l ln i 2 0 2 正。碍 ”一7 c h a p t e r1 u n i f i e de q u a t i o no fs t a t ei nf r i e d m a n nc o s m o l o g y t h ed i m e n s i o no fb o t h 死a n dt 2i s t i m e b yc o n c e r n i n gt h ei n i t i a lc o n d i t i o n so f a ( t o ) = a oa n do ( t o ) = 0 0 ，t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o nf o ra ( t ) i sg i v e nb y 【2 6 】 h 惭t 一署) e 印 譬( ；+ 去) + 批低t + t 丢) e x p 一半( ；一去) ) 2 3 彳 7 ， f o r t h ec a s e 彳= 0 ，t h es o l u t i o ni s ) = n o 唧陋乃+ 蓦) ( e ( v 豇- 1 ) 一t l ( t - t o ) t 享( 1 8 ) a ni n t r i g u i n gf e a t u r eo ft h ee x t e n d e da c d mm o d e li st h a ti tp o s s e s s e sb o t hp h y s i c a ls i g n i f i c a n c ea n dm a t h e m a t i c a le x a c ts o l u t i o n s f o r mt h ep h y s i c a lp o i n to fv i e w , e q ( 1 6 ) n a t u r a l l yc o n t a i n st h ed i s s i p a t i v ep r o c e s si nt h ec o s m o l o g i c a le v o l u t i o n i f w es e tt h ee o sa sp = p oa n dt h eb u l kv i s c o s i t yc o e f f i c i e n t ( i sc o n s t a n t ，t h ef i r s tt e r m d e s c r i b e st h ed a r km a t t e r , t h el a s tt e r m ( 正t e r m ) d e s c r i b e st h ed a r ke n e r g y , a n dt h em i d - d i et e r m ( 乃t e m ) d e s c r i b e st h ed i s s i p a t i v ee f f e c t sp r o b a b l yc o u r s e db yt h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nt h ed a r km a t t e ra n dd a r ke n e r g y i nr e f s 2 9 _ 3 4 】，m ev i s c o s i t yi nc o s m o l o g y h a sb e e ns t u d i e di nv a r i o u sa s p e c t s t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fe q ( 1 6 ) c a nb ee a s i l y o b t a i n e di fw ea s s u m et h a thi sa l w a y sd e c r e a s i n gd u r i n gt h ee v o l u t i o no ft h eu n i v e r s e t h et h r e et e r m si nt h er i g h t - h a n ds i d eo fe q ( 1 6 ) a r ep r o p o r t i o n a lt o 铲，h 1 ， a n dh o ，r e s p e c t i v e l y , t h e r e f o r e ，t h et h r e et e r m sd o m i n a t ea l t e r n a t i v e l yd u r i n gt h ec o s - m o l o g i c a le v o l u t i o na n di ta p p r o a c h e s t oad es i t t e ru n i v e r s ef i n a l l y a c t u a l l y , w ec a n s e et h a te a c ht e r mi nt h er i g h t - h a n ds i d eo fe q ( 1 6 ) a c c o u n t sf o rm e t i m e d e p e n d e n t b u l kv i s c o s i t yo rt h ev a r i a b l ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n t u n f i e ad e s c t w no fd a r km a t t e ra n dd a r ke n e r g y t h ea c d m m o d e li sb a s e d o nn l eh zr e 1a c i o n 日( z ) 2 = 瑶 q m ( 1 + 彳) 3 + l q 仇】， ( 1 9 ) w h e r ez = a o a 一1i st h er e d s h i f t w ef i n dt h a tf o ras i n g l ec o n s t a n te o sp = 一加 ( p o 0 ) ，t h eh zs o l u t i o nf r o mt h ef r i e d m a n ne q u a t i o n sw i t h o u tv i s c o s i t yi s 删= 瑶 ( 1 - 龛) ( 1 刊3 + 鑫 ， w h i c he x a c t l yp o s s e s s e st h es a m ef o r mo fe q ( 3 11 ) ，w i t hq m = 1 一舞i nt h e a c d m m o d e l ，t h eu n i v e r s ec o n t a i n st w of l u i d s ，i e ，t h ed a r km a t t e ra n dd a r ke n e r g y , 3 3 6 ，3 7 o u rm o t i v a t i o ni st of i n dam o r eg e n e r a le o s ，w h i c hp o s s e s s e sa sm a n ya sp o s s i b l e p h y s i c a lm e a n i n g sa n d t h ef r i e d m a n ne q u a t i o n sc a nb ee x a c t l ys o l v e d ，a st h ef o l l o w i n g p i c t u r es h o w s l u c k i l yw eo b t a i no n ew h i c hi sj u s te q ( 1 5 ) ，a n dg i v e sr i s et of o u ri m p l y i n gu n i - f i c a t i o n ss u m m a r i z e da tt h ee n do ft h i sa r t i c l e b a s e do nt h i se o s ，w ee s t a b l i s ha c o s m o l o g i c a lm o d e l ，c a l l e dt h ee x t e n d e da c d m m o d e l v a r i a b l ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n tm o d e li tt u r n so u tt h a tt h ef d e d m a n ne q u a t i o n s c o m b i n e dw i t ht h er e n o r m a l i z a t i o ne q u a t i o nw h i c hd e t e r m i n e st h ev a r i a b l ec o s m o l o g - i c a lc o n s t a n t 【3 8 ，3 9 】c a nb er e d u c e dt ot h es a m ef o r mo ff a l ( 1 6 ) 【2 7 s c a l a r f i e l dm o d e lt h ea u t h o r so fr e f s 【2 2 ，2 4 】g i v eag e n e r a lm e t h o dt oo b t a i n t h ep o t e n t i a lo fas c a l a rm o d e l w eh a v ef o u n dt h a tt h ep o t e n t i a lo ft h ec o r r e s p o n d i n g s c a l a rm o d e li s y ( 妒) = o e 口p + 岛e 口妒2 + c s ( 1 1 1 ) 讧彳0 2 7 h o w e v e r , w em i s s e da ni m p o r t a n tc a s e ，彳= 0 i nt h i sc a s e ，t h ee o s i s p p 一赢一瓣- a ( 1 m ) u s i n gt h es a m em e t h o d ，w h i c hi sa l s oo u t l i n e di nr e f 【2 7 ，w eo b t a i nt h ep o t e n t i a lo f t h ec o r r e s p o n d i n gs c a l a rf i e l d + 砺面瓦妒一碗 4 ( 1 1 3 ) c h a p t e r1 u n i f i e de q u a t i o no fs t a t ei nf r i e d m a n nc o s m o l o g y a sas p e c i a lc a s e ，i ft h eb u l kv i s c o s i t yv a n i s h e s ，p = 一p p 0 t h ep o t e n t i a lo ft h e c o r r e s p o n d i n gs c a l a rf i e l di sy ( 妒) = a 2 p o q 0 2b yn e g l e c t i n gt h ec o n s t a n t t e r m i ng e n e r a l ，e q ( 1 1 1 ) i sa n o n - r e n o r m a l i z a b l ep o t e n t i a l ，h o w e v e r , f f t h ec o e f f i c i e n t b e f o r epi sp r e c i s e l ye q u a lt o - 1 ，w eo b t a i nar e