（理论物理专业论文）一维系统中的热传导模型及相关动力学性质研究.pdf

2 t om ys d 竹z h a n gh a n d e c l a r a t i o no ni n t e l l e c t u a l p r o p e r t yr i g h t s ih e r e b yd e c l a r et h a tt h i st h e s i sr e p r e s e n t sm yo w nr e s e a r c hw o r ku n d e r t h es u p e r v i s i o no fp r o f y o u - q u a nl io fz h e j i a n gu n i v e r s i t y , c h i n a a p a r t f r o mt h es o u r c e sq u o t e d ( i n c l u d er e v i e wc h a p t e rw h i c hi sn o td u p l i c a t e df r o m r e f e r e n c e s ) ，t h em a t e r i a lo ft h i st h e s i sh a sn e i t h e rp r e v i o u s l yi n c l u d e di na p u b l i c a t i o no fa n y o n ee l s e ，n o ri n c l u d e di nat h e s i s ，o ra d i s s e r t a t i o no fa n y o n e e l s es u b m i t t e df o rad e g r e eo rq u a l i f i c a t i o n 知识产权声明 所呈交的博士学位论文是在导师李有泉教授指导下的研究工作所取得的 研究成果。本人郑重声明：( 1 ) 除了第1 、2 章综述、以及文中特别标注引文 来源的地方外，论文不包含其他人发表的成果，也不包含他人为获得学位或 证书的申请材料中的内容。( 2 ) 综述部分为本人对有关学术前沿文献深入 研习后的学习总结，没有从他人文献中抄袭的现象。本人完全意识到本声明 的法律后果由本人完全承担。 毛俊雯2 0 0 6 年5 月1 7 日 d e c l a r a t r 0 no i ：t e l l e c t u a lp r o p e r t yr i g h t s c o n t e n t s d e c l a r a t i o no i li n t e l l e c t u a lp r o p e r t yr i g h t s a b s t r a c t 中文摘要 li n t r o d u c t i o n l x 1 1 1t h es i g n i f i c a n c eo ft h ei s s u e 1 1 2o u t l i n eo ft h et h e s i s 5 2t h er e v i e wo fh e a tt r a n s p o r ti no n e - d i m e n s i o n a ls y s t e m 7 2 1 t r a n s p o r tt h e o r i e sf o re a r l yy e a r s 7 2 2h e a tc o n d u c t i v i t yi no n e - d i m e n s i o n a ll a t t i c e 1 0 2 2 1t h el i n e a rc h a i n 1 0 2 2 2n o n l i n e a rb u ti n t e g r a b l em o d e l s 1 1 2 2 3c h a o t i cm o d e l s 1 2 2 2 4 c o n t r o l l i n gt h eh e a tf l o w 1 4 2 2 5h e a tc o n d u c t i v i t ya n dp a r t i c l ed i f f u s i o ni nb i l l i a r dg a s c h a n n e l 。1 5 c o n t e n t s 2 2 6h e a tt r a n s p o r ti nc a r b o nn a n o t u b e sa n dn a n o w i r e s 2 2 2 2 7 m o d e l l i n gh e a tc o n d u c t i o ni nl o c a lt h e r m a le q u i l i b r i u m 2 3 2 2 8h e a tt r a n s p o r ta c r o s si n d i v i d u a li n t e r f a c e s 2 6 2 3m o l e c u l a rd y n a m i cs i m u l a t i o n 2 8 2 3 1g r e e n - k u b om e t h o d 2 9 2 3 2d i r e c tn o n e q u i l i b r i u ms i m u l a t i o n 2 9 2 3 3d i s c u s s i o n 3 0 3h e a tc o n d u c t i v i t ya n dc h a o si no n e - d i m e n s i o n a lc h a n n e l 3 1 3 1i n t r o d u c t i o na n dm o t i v a t i o n 3 1 3 2t h em o d e l 3 2 3 3 h e a tt r a n s p o r ta n dd i f f u s i o nb e h a v i o r 3 3 3 4c a l c u l a t i o no ft e m p e r a t u r ef i e l d 4 1 3 5d i s c u s s i o na n dc o n c l u s i o n 4 4 4h e a tc o n d u c t a n c ei nl o c a lt h e r m a le q u i l i b r i u m 4 7 4 1i n t r o d u c t i o n 4 7 4 2h e a tt r a n s p o r ti nh o m o g e n e o u ss y s t e m s 4 8 4 2 1t h em o d e l 4 8 4 2 2h e a tf l o wi nt h es t e a d ys t a t e 5 0 4 2 3 t e m p e r a t u r ep r o f i l e 5 2 4 2 4 v e l o c i t ya u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n 5 2 4 2 5p a r t i c l ed i f f u s i o na n dt i m ee v o l u t i o no fp a r t i c l ed e n s i t y 5 5 4 3 h e a tc o n d u c t a n c ea c r o s sh e t e r o j u n c t i o n 。 5 6 4 3 1 i m p e r f e c tc o n t a c t 5 6 c o n t e n t sv 4 3 2p e r f e c tc o n t a c t 。5 8 4 3 3p a r t i c l ed i f f u s i o nb e h a v i o r 5 9 4 4 d i s c u s s i o na n dc o n c l u s i o n 6 1 5h e a tc o n d u c t i v i t yi nt h ep r e s e n c eo faq u a n t i z e dd e g r e eo f f r e e d o m 6 3 5 1 i n t r o d u c t i o n 6 3 5 2t h em o d e l 6 4 5 3 t e m p e r a t u r ed e p e n d e n c eo fh e a tc o n d u c t i v i t y 6 7 5 4p o i n c a r 6s e c t i o n 7 2 5 5 c o n c l u s i o n 7 2 b i b l i o g r a p h y l i s to fp u b l i c a t i o n sa n dm a n u s c r i p t s a c k n o w l e d g e m e n t s 7 4 8 5 8 7 c o n t e n t s a b s tr a c t t h ep h e n o m e n ao fh e a tt r a n s p o r ti su b i q u i t o u si no u rd a i l yl i r e u n d e r s t a n d i n gt h em a c r o s c o p i cp h e n o m e n ai nt e r m so fm i c r o s c o p i cd y n a m i c si sn o to n l y o n eo ft h ef u n d a m e n t a lt a s k so fn o n e q u i l i b r i u ms t a t i s t i c s ，b u ta l s oad e m a n d m o t i v a t e db yr a p i dp r o g r e s si nd e v i c e sm i n i a t u r i z a t i o n s t a r t i n gf r o m b i l - l i a r dg a sc h a n n e l ”，w es t u d yh e a tc o n d u c t i o na n dc o r r e s p o n d i n gd y n a m i c a l p r o p e r t i e si nq u a s i - o n e - d i m e n s i o n a ls y s t e m s i nc h a p t e r2w eb r i e f l yr e v i e wp r e v i o u sw o r k sr e l e v a n tt oo u rs t u d i e s ，f r o m o n e - d i m e n s i o n a ll a t t i c et ob i l l i a r dg a sc h a n n e lt oc a r b o nn a n o t u b e s w ea l s o d i s c u s sm o l e c u l a rd y n a m i c a la p p r o a c h e st ot h ei s s u eo fh e a tc o n d u c t i o n i nc h a p t e r3w ed e a lw i t ht h ep r o b l e mo fh e a tc o n d u c t i o ni naq u a s i - o n e - d i m e n s i o n a lg a sm o d e lw i t hv a r i o u sd e g r e e so fc h a o s t ot h i sa i mw e c o n s t r u c tac h a 衄e lo ft h ec o m b i n a t i o no fh y p e r b o l i ca n ds t r a i g h tb o u n d a r i e s o u rc a l c u l a t i o n si n d i c a t et h a tc h a o sa f f e c t st h em a s st r a n s p o r to fh e a tc a r r i e r s ， t h u st h eh e a tt r a n s p o r t n u m e r i c a lr e s u l t ss u g g e s tt h a tt h ed i v e r g e n te x p o n e n t ao fh e a tc o n d u c t i o na n dd i f f u s i o ne x p o n e n tpa r er e l a 土e db yo t = 2 2 p e x p l o r et h et e m p e r a t u r ep r o f i l e sn u m e r i c a l l ya n da n a l y t i c a l l y , w h i c hs h o w t h a tt h et e m p e r a t u r ej u m pi sp r i m a r i l ya t t r i b u t e dt os u p e r d i f f u s i o nf o rb o t h n o n c h a o t i ca n dc h a o t i cc a s e s o u ri n t e n s i v ec a l c u l a t i o n se x t e n dt h er e s u l t s o fp r i o rs t u d i e sa n do n ec a r lc o n c l u d et h a ts t r o n gc h a o sl e a d st ot h en o r m a l d i 肌s i o no fh e a tc a r r i e r s ，t h u s ，t h en o r m a lh e a tc o n d u c t i o n i nc h a p t e r4w ep e r f o r me x t e n s i v e s i m u l a t i o n so nt h eh e a tc o n d u c t a n c ef o r h o m o g e n e o u ss y s t e m sa n dh e t e r o g e n o u ss y s t e m sw i t ht h es i n g l eh e t e r o j u n c - t i o n o u rs i m u l a t i o n ss h o wab r o a dr a n g eo f 叩w h e r el o c a lt h e r m a le q u i l i b r i u m i sr e a l i z e de v e ni ns y s t e m sw i t hh e t e r o j u n c t i o n i np a r t i c u l a r ，w em o d e lt h e e o n t a c tc o n d u c t a n c ea tt h ei n t e r f a c eb e t w e e nt w os y s t e m sa n dc a l c u l a t et h e c o n t a c tc o n d u c t a n c e ar e m a r k a b l ed i s c o n t i n u i t yo ft e m p e r a t u r ep r o f i l eh a s b e e no b s e r v e di nt h ec a s eo fi m p e r f e c tc o n t a c t o u rs t u d ye x t e n d st h eb i l l i a r d g a sc h a n n e lf r o mh o m o g e n e o u ss y s t e mt oh e t e r o g e n o u so n e ，a n dd e m o n s t r a t e s t h ee s t a b l i s h m e n to fl o c a lt h e r m a le q u i l i b r i u mw i t haw i d er a n g eo fp a r a m e t e r i nc h a p t e r5w ei n t r o d u c ef o rt h ef i r s tt i m ea nq u a n t i z e dr o t a t i o n a ld e - g r e eo ff r e e d o mb e s i d e st w ot r a n s l a t i o n a lo n e si nb i l l i a r dg a sc h a n n e lt os t u d y t h eh e a tt r a n s p o r t o u rr e s u l t sr e v e a lt h r e ed i s t i n c tt e m p e r a t u r er e g i m e s i np a r t i c u l a r ，t h ei n t e r m e d i a t er e g i m ei sc h a r a c t e r i z e db yh e a tc o n d u c t i v i t y w i t ha t e m p e r a t u r ee x p o n e n t7m u c hg r e a t e rt h a n1 2t h a ti sg e n e r a l l yf o u n d i ns y s t e m sw i t hp o i n t - l i k ep a r t i c l e s ad y n a m i c a li n v e s t i g a t i o ni n d i c a t e st h e o c c u r r e n c eo fn o n - e q u i p a r t i t i o nb e h a v i o ri nt h i sr e g i m e m o r e o v e r ，t h ec o t - r e s p o n d i n gp o i n c a r 6s e c t i o n sa l s os h o wr e m a r k a b l yc h a r a c t e r i s t i cp a t t e r n s ， c o m p l e t e l yd i f f e r e n tf r o mt h ec a s e so fp o i n t l i k ep a r t i c l e s ke x p e c tt h a t o u rm o d e lp r o v i d e sa s t r a t e g yt os t u d yt h ee f f e c t so ft h eq u a n t i z e dd e g r e eo f f r e e d o mo nh e a tt r a n s p o r t k e y w o r d s ：h e a tt r a n s f e r ，p o i n c a r 6s e c t i o n ，a n o m a l o u sd i f f u s i o n ，l o c a l t h e r m a le q u i l i b r i u m ，a n dh e t e r o j u n c t i o n 中文摘要 热传导现象在我们日常生活中无处不在。从微观动力学角度出发对宏观热现 象进行研究不仅是非平衡统计的基本任务之一，同时也是由于近年来半导体 微器件材料迅速发展的要求。我们在准一维气体模型的基础上，用非平衡直 接模拟的方法对不同系统中的热传导行为及其相应的动力学性质作了研究。 我们讨论了系统中的混沌对热传导的作用，并研究了均匀和非均匀系统中局 域平衡的实现。另外，我们首次引入了量子化的内部自由度，并发现了由此 带来的对一维热传导所产生的影响。通过这一系列的研究，更进一步地理解 了一维系统中的热输运特性。 第一章讲述了一维热传导的研究背景和研究的重要性，并介绍了本文的 主要内容。 第二章介绍了热传导微观研究的基本理论和有关概念，并对近二十多年 来的一维热传导研究作了简单回顾，从一维晶格模型到准一维气体模型以 及碳纳米管的一些研究。对常用的分子动力学模拟方法，如线性响应理论 的g r e e n - k u b o 方法和非平衡的直接模拟方法作了讨论。 在第三章中。我们研究了一维气体模型中不同程度的混沌行为在热传导 中的作用。对于一维系统，早在八十年代，曾有人提出系统的混沌行为是 导致系统中热传导符合傅立叶定律( 正常热传导) 的必要因素。但随后的研 究却发现同样具有混沌行为的一维f p u 模型，其导热系数又是发散的。其他 一系列热传导模型的数值模拟表明，没有混沌的系统同样可以出现正常热传 导。为了充分理解混沌在热传导行为中所起的作用，我们构造了一个混沌 程度不同的一维气体模型。我们的计算表明不同程度的混沌对系统的粒子 输运会产生影响，从而影响该系统的热输运行为，也即导热系数k 和系统尺 度l 有指数关系k 一胪，其中p 0 。我们的数值模拟表明该指数p 和粒子扩散 指数q 满足关系q = 2 2 伊，验证了文献中的结果。另外，在不同混沌程度 下，我们理论预期和数值计算的温度曲线非常一致，指出了在混沌和非混沌 系统中边界的温度突变主要是由于粒子的超扩散行为( q 1 ) 引起的。总 之，我们的这项工作拓展了文献中的一维气体模型研究，进一步理解了混沌 是通过影响粒子的输运，从而影响热传导。 在第四章中，我们利甩改进的l o r e n t z 气体模型对具有周期结构的一维均 匀系统和具有异质结的非均匀系统中的热传导进行7 数值模拟。非平衡系 统中局域热平衡的实现对宏观热力学量( 如温度) 的定义起着决定性的作 用，动力学模型中是否能建立局域热平衡的问题越来越受到人们的关注。我 们的研究结果表明不仅在均匀系统中很宽的参数范围内都能实现局域热平 衡，即使在具有异质结的非均匀系统中，我们的模型也能达到热平衡。并且 我们发现热导对散射体的转动惯量7 7 有强烈的依赖。利用这一特性我们构造 了具有异质结的非均匀系统，观察到了接触界面明显的温度不连续现象，并 计算了接触热导和有关的动力学特性。我们的这一研究首次把气体模型推广 到非均匀系统，并在很宽参数范围得到了局域热平衡。 在第五章中我们首次在一维系统中引入7 量子化的自由度。并研究7 由此产生的对热传导的影响。由于现有的气体模型几乎都采用点粒子的假 设，也就是说热载流子只有平动自由度，导致了气体模型中导热系数和温度 的关系由简单的动力学理论所决定，k t 1 2 。我们提出了一个新的气体模 型，通过引入一个量子化的转动自由度，讨论了导热系数的温度依赖性。研 究结果显示出三个明显的温度特性区域。尤其在中间区域导热系数的温度指 数7 远大于一般点粒子模型中的结果1 2 。动力学研究表明在该区域内能量在 各自由度之间是不等配分的，另外，相应的p o i n c a r 截面显示了奇怪吸引子 出现在我们的模型中，完全不同于点粒子的特征。我们的研究拓展了气体模 型的研究方法，为研究量子化的热载流子对热传导的影响提供了一种新的思 路。 关键词：热传导，p o i n c a r 截面，反常扩散，局域热平衡，异质结 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1t h es i g n i f i c a n c eo ft h ei s s u e i th a sb e e nk n o w nt h a th e a ti st r a n s p o r t e da l o n ga t e m p e r a t u r eg r a d i e n t t h e m a c r o s c o p i ct r a n s f e rr a t ei sd e s c r i b e db yf o u r i e r sl a w j = 一k v r ( 1 1 ) u n d e rt h ea s s u m p t i o no fl o c a lt h e r m a le q u i l i b r i u m ，t h eh e a tf l o wjh a sa i n - e a rr e l a t i o nt ot h et e m p e r a t u r eg r a d i e n ti nt h es t e a d ys t a t e w i t hkd e f i n e da s h e a tc o n d u c t i v i t y i ns p i t eo ft h eu b i q u i t yo ft h ep h e n o m e n ai no u rd a i l yl i f e ， t h e r ea r es t i l lm a n yo p e np r o b l e m sw h i c hp u z z l et h e o r e t i c a lp h y s i c i s t s o n eo f t h ec e n t r a li s s u e si st ou n d e r s t a n dt h em a c r o s c o p i ct r a n s p o r tp r o c e s sf r o mm i - c r o s c o p i cp o i n to fv i e w 【1 】al a r g en u m b e ro fs t u d i e sh a v eb e e nt h e nd e v o t e d t ot h ec h a l l e n g i n gt a s k ，h o p i n gt ol i n kt h ei r r e v e r s i b i l i t yo fm a c r o s c o p i cl a wt o t h et i m er e v e r s i b l em i c r o s c o p i cd y n a m i c s i n1 9 8 4c a s a t ie ta 1 2 1 c o n j e c t u r e d t h a tc h a o sm i g h tb et h ee s s e n t i a lc o n d i t i o nu n d e rw h i c hh e a tt r a n s f e ro b e y s f o u r i e r sl a wb yn u m e r i c a lc o m p u t i n go n e - d i m e n s i o n a lm a n y - b o d ys y s t e m ，t h e “d i n g - a - l i n g ”m o d e l f o rs e v e r a ld e c a d e s a1 0 to fw o r k sh a sb e e ni n v o l v e di 1 3 t h ed e t e r m i n a t i o no fs u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yi n g r e d i e n to fn o r m a lh e a tt r a n s - p o r t ( i m p l y i n gac o n v e r g e n th e a tc o n d u c t i v i t yk ，t h u sf o u r i e r sl a wh o l d s ) i n ao n e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m p r e v i o u ss t u d i e sf o rs e v e r a ld e c a d e s i nt h i sa c t i v ef i e l dc o n t r i b u t e dt os o m er e s u l t s ：c h a o si sn e i t h e rs u f f i c i e n tn o r n e c e s s a r yf o ras y s t e mt oo b e yf o u r i e r sl a w 【3 ，4 ，5 】o v e r a l lm o m e n t u m c o n s e r v a t i o ni nah a m i l t o n i a ns y s t e ma p p e a r st oak e yf a c t o rf o rd i v e r g e n c e o fh e a tc o n d u c t i v i t yka saf u n c t i o no ft h es y s t e ms i z el 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，11 c o n s e q u e n t l y , t h ei n t r o d u c t i o no fo n - s i t ep o t e n t i a li no n e - d i m e n s i o n a ll a t t i c e m o d e lr e s u l t si nn o r m a lh e a tt r a n s p o r t ，s i n c et h ec o n s e r v a t i o no fm o m e n t u m i sb r o k e nd o w ni nt h i sc a s e 1 2 ，1 3 f u r t h e r ，i ti sf o u n dt h a tt h ea n h a r m o n i c - i t yi nt h ef p um o d e li sn o te n o u g ht ol e a dt of o u r i e r sl a ws i n c em o m e n t u m c a nb ep r e s e r v e dw i t ho n l yp h o n o n p h o n o ni n t e r a c t i o n t h ed i v e r g e n c ee x - p o n e n t8i nk 一口i n a n o m a l o u sh e a tt r a n s p o r th a sn o ty e tb e e nd e s c r i b e d b yu n i v e r s a ls c a l i n gl a w ，f a rf r o mw h a tp e o p l em i g h te x p e c t s o m er e s u l t s f r o mm o d e - c o u p l i n gt h e o r y 1 4 】a n dt h eb o l t z m a n ne q u a t i o n 15 】s h o wt h a t p = 2 5 ，w h i l er e n o r m a l i z a t i o ng r o u pc l a i m si ts h o u l db e1 3 1 0 o nt h e o t h e rh a n d ，ac o n n e c t i o nb e t w e e nd i v e r g e n th e a tc o n d u c t i v i t ya n da n o m a l o u s d i f f u s i o ni so b t a i n e df r o mr e c e n ts t u d y 1 6 】w h i c hi ss u p p o r t e db ye x i s t i n gn u - m e r i c a ld a t a a l b e i tg r e a tp r o g r e s sh a sb e e nm a d e ，m a n yi s s u e sn e e d st ob e a s c e r t a i n e db o t hf r o ma n a l y t i c a la n de x p e r i m e n t a lp o i n to fv i e w e s p e c i a l l y i nr e c e n ty e a r s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sp l a yac r u c i a lr o l ei ne x p l o r i n gt h eh e a t t r a n s p o r ti nal o w - d i m e n s i o n a ls y s t e m a n o t h e rb a s i cq u e s t i o ni st h ee x i s t e n c eo fl o c a lt h e r m a le q u i l i b r i u m ( l t e ) i nt h es t e a d ys t a t ef o ran a n o s c a l es y s t e m i ti se s s e n t i a lp r o b l e mb u ts e e m st o h a v en o ty e tb e e ni n v e s t i g a t e dm u c hs of a r ，e v e nt h o u g hi ti sq u i t ec r u c i a lf o r s t a t i n gf o u r i e r sl a wa n dl e a d i n gt ot h ed e f i n i t i o no ft e m p e r a t u r e o n em i g h t e x p e c tt h a tl t es h o u l dh o l di ft h en o n e q u i l i b r i u ms t e a d ys t a t ei se s t a b l i s h e d a f t e ra 1 0 n g - t i m es i m u l a t i o n b u tt h er e s u l tf r o ma d h a rf 1 7 1s h o wt h a tt h i s i sn o ta l w a y st r u e as i g n i f i c a n ts t u d yo nl o c a lt h e r m a le q u i l i b r i u mc o m i n g f r o mm o a s t e r i oe ta 1 f 1 8 1i st h ee s t a b l i s h m e n to fl t ei nas y s t e mw i t h o u t j n f i n i t ec o n s e r v a t i o n t h ed i m e n s i o n a l i t yo fas y s t e mh a sag r e a ti n f l u e n c eo nt h ec h a r a c t e r i s - t i co fh e a tt r a n s p o r t n a r a y a na n dr a m a s w a m y 1 0 1j u s t i f i e dt h ed i m e n s i o n e f f e c to nt h eh e a tc o n d u c t i v i t ya n de s t i m a t e dt h a tt h et h e r m a lc o n d u c t i v i t y d i v e r g e sa st h el e n g t ho fa o n e - d i m e n s i o n a ls y s t e mi n c r e a s e s ，f o l l o w i n ga p o w e r l a ww i t he x p o n e n t1 3 ；f o rat w o - d i m e n s i o n a ls y s t e m ，t h ed i v e r g e n c ei sm u c h w e a k e ra n dl o g a r i t h m i c b u ts u c ha n o m a l o i l sb e h a v i o u rd i s a p p e a r si nt h r e e h i g h t e m p e r a t u r e l o w t e m p e r a t u r e f i g u r e1 1 ：m o d e l l i n gh e a tc o n d u c t i o ni no n e - d i m e n s i o n a ls y s t e m sw h i c hc o n - n e c tt w or e s e r v o i r sa td i f f e r e n tt e m p e r a t u r e s ( a b o v e ) s t u d y i n gt r a n s p o r t m e c h a n i s mi ns u c hs y s t e m si sr e l e v a n tf o ru n d e r s t a n d i n gh e a tt r a n s p o r ti n s i n g l e - w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ( b e l o w ) ( f r o mr e f 【1 9 】) d i m e n s i o n s m o s ts t u d i e s0 nh e a tt r a n s p o r ts t a r t i n gf r o mo n e - 出m e n s i o n a l s y s t e mi so no n es i d e ，d u e t om a t h e m a t i c a ls i m p l i c i t y , a su s u a l l yd o n ei n t h e o r e t i c a lp h y s i c s m o r ei m p o r t a n t l y ，t h e r ee x i s tan u m b e ro fr e a l i s t i cs y s - t e r n si no n e - d i m e n s i o nw h o s ep h y s i c sh a v en o ty e tb e e nw e l lu n d e r s t o o d f o r e x a m p l e ，t h eh e a tc o n d u c t i v i t yp r o b e di ns i n g l e - w a l l e dn a n o