（课程与教学论专业论文）数学建模的认知机制及其教学策略研究.pdf

摘要 数学建模的认知机制及其教学策略研究 课程与教学论专业博士研究生李明振 指导教师宋乃庆教授 ( 摘要) 为适应基础教育数学课程改革的需要，有效提升学生的数学应用能力和综合素养，许多 高校数学与应用数学( 师范) 专业加强了数学建模教学。然而，教学实践表明，数学建模教 学中存在许多问题，教学效果不尽人意。究其主要原因之一在于，缺乏对学生数学建模的学 习与认知规律的研究。 数学建模的认知机制及其教学策略是尚未进行深入研究的问题，开展对此问题的研究， 有助于丰富数学学习心理学理论，发展数学问题解决理论，深化数学教学理论，为解决数学 与应用数学( 师范) 专业数学建模教学中存在的问题从而提升教学效果提供理论基础和实践 指导，具有重要的理论意义和实践价值。 本文以五所高校数学与应用数学( 师范) 专业5 1 8 名学生为被试，运用口语报告分析、深 度访谈、问卷测试、理论分析等研究方法，对被试数学建模的一般认知过程、不同数学建模 水平被试数学建模认知过程的差异、被试数学建模成绩的影响因素及其路径与程度以及数学 与应用数学( 师范) 专业数学建模的教学策略等问题进行了研究，获得以下基本结论： ( 1 ) 初步构建了被试数学建模的一般认知过程模式。该模式体现了被试数学建模行为过 程的具体阶段及其动态联系，阐明了被试实现数学建模行为过程各具体阶段的认知操作及其 方式。 ( 2 ) 专家被试和新手被试在数学建模的问题表征、数学建模策略运用、数学建模思路， 结果及效率等方面存在显著差异 在数学建模的问题表征方面；专家被试更多地运用了机理表征，新手被试则较少运用机理 表征；专家被试倾向于实施多元表征，新手被试倾向于实施单一表征；专家被试倾向于运用 循环表征策略。新手被试倾向于运用单向表征策略 在数学建模策略运用方面：专家被试倾向于采用平衡性假设策略，新手被试倾向于采用精 确性假设策略；专家被试倾向于采取样例类比的建模策略，新手被试倾向于采取即时生成的 建模策略；专家被试倾向于运用即时监控策略，新手被试倾向于运用回顾监控策略；专家被 试倾向于采用假设调整策略和建模方法调整策略，新手被试倾向于采用模型求解调整策略。 l 两南大学博十学竹论文 在数学建模思路、结果及效率方面：专家被试思路转换的次数显著多f 新手被试，新手彼 试的思路定势显著多于专家被试，新手被试的最终思路错误总次数显著多于专家被试；专家 被试获得的数学建模l e 确( 合理) 结果的题次数明显多于新手被试，新手被试获得错误( 不 合理) 结果的题次数明显多丁二专家组被试；专家被试的数学建模口语报告比较简略。语言表 达的逻辑性较强，对建模问题的分析深入而透彻，建模思路快捷而灵活，对数学建模方法的 使用表现为启发搜索。新手被试的数学建模口语报告比较繁杂，语言表达缺乏内在逻辑联系， 对建模问题的分析浅表而笼统，建模思路单一而定势，对数学建模方法的使用表现为盲目搜 索；专家被试数学建模速度较快，平均题次所用时间明显少于新手被试平均题次所用时间。 ( 3 ) 成就动机、创造力倾向、认知方式、数理认知结构、数学建模自我监控能力均与被 试的数学建模成绩存在显著正相关；数理认知结构、数学建模自我监控能力对被试的数学建 模成绩存在显著的回归效应，直接影响被试的数学建模成绩，两因素共解释被试数学建模成 绩5 5 8 的变异；成就动机、创造力倾向、认知方式、数理认知结构对数学建模自我监控能 力存在显著的回归效应，直接影响被试的数学建模自我监控能力，四因素共解释数学建模自 我监控能力7 0 1 的变异；成就动机，创造力倾向、认知方式对数理认知结构有显著的回归 效应，直接影响被试的数理认知结构。三因素共解释数理认知结构4 0 9 的变异，通过影响 数理认知结构和数学建模自我监控能力而间接影响其数学建模成绩。 ( 4 ) 数学与应用数学( 师范) 专业数学建模教学宜采取如下策略：样例教学、变式练习、 开放性训练相结合；一般思维策略、数学建模策略、数学建模方法相结合；独立探究、互动 交流、引导反思相结合；评价指标多维、评价方式多样、评价主体多元相结合。 本研究的创新之处在于：初步构建了数学建模的一般认知过程模式；揭示了不同数学建模 水平学生在数学建模认知过程中的差异；建立了数学建模影响因素的路径分析模型；尝试提 出了数学与应用数学( 师范) 专业数学建模的教学策略。 关键词：数学建模认知机制教学策略 i i a b s t r a c t a s t u d yo nc o g n i t i v em e c h a n i s ma n d t e a c h i n gs t r a t e g i e so fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g m a j o r ：t h e o r yo fc u r r i c u l u ma n di n s t r u c t i o n p h d c a n d i d a t e ：l im i n g z h e n p h d s u p e r v i s o r ：p r o f s o n gn a i q i n g a b s t r a c t t h es t u d yo nc o g n i t i v em e c h a n i s ma n dt e a c h i n gs t r a t e g i e so fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gt o s t u d e n t s m a j o ri nm a t h e m a t i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ( n o r m a l ) i so fg r e a tt h e o r e t i c a l , m e t h o d o l o g i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e w i t h5 1 8s t u d e n t si nm a t h e m a t i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ( n o r m a l ) m a j o rf r o mf i v e u n i v e r s i t i e s c o l l e g e s 鹬t h er e s e a r c hs u b j e c t s a d o p t i n gt h er e s e a r c hm e t h o d so fv e r b a lp r o t o c o l a n a l y s i s ，t h ed e p t hi n t e r v i e w , q u e s t i o n n a i r et e s ta n dt h e o r e t i c a la n a l y s i se t c ，t h i ss t u d yi n v e s t i g a t e s t h eg e n e r a lc o g n i t i v ep r o c e s si nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n go fs u b j e c t s ，r e v e a l st h ed i f f e r e n c e so nt h e c o g n i t i v ep r o c e s so fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gb e t w e e ns u b j e c t sw i t hd i f f e r e n tl e v e l s ，e x p l o r e st h e i n f l u e n t i a lf a c t o r sa n di t sp a t ha n dd e g r e eo nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n ga c h i e v e m e n to ft h es u b j e c t s ， a n dp u t sf o r w a r dt h et e a c h i n gs 眦西髂o fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi nm a t h e m a t i c sa n dt h ea p p l i e d m a t h e m a t i c s ( n o r m a l ) m a j o r s t h i ss t u d ya c h i e v e db a s i cc o n c l u s i o n sa sf o l l o w s ： ( 1 ) t h i ss t u d ym a d ea na t t e m p tt os e iu pt h ep a t t e r no fg e n e r a lc o g n i t i v ep r o c e s si n m a t h e m a t i c a lm o d e l i n go fs u b j e c t s t h ep a t = t e mr e f l e c t se a c hc o n c r e t es t a g ea n di t sd y n a m i c r e l a t i o n so f t h ep r o c e s so f s u b j e c t sm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ，a n de x p o u n d sc o g n i t i v eo p e r a t i o na n d i t sw a yo f e a c hc o t l c r e q es t a g eo f t h ep r o c e s so f s u b j e c t s m a t h e m a t i c a lm o d e l i n & ( 2 ) t h e r ea ms i g n i f i c a n td i f f e r e n c e sb e t w e e ne x p e r ts u b j e c t sa n dn o v i c es u b j e c t si np r o b l e m r e p r e s e n t a t i o n , s t r a t e g ya p p l y i n g , t r a i no ft h o u g h t , r e s u l ta n de f f i c i e n c yi nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ； t h e r e 玳n os i g n i f i c a n td i f f e r e n c e sb e t w e e ne x p e r ts u b j e c t se n dn o v i c es u b j e c t si ns y m b o l r e p r e s e n t a t i o na n dm e t h o dr q ) r e s e n t a t i o n , b u tt h e ma r cs i g n i f i c a n td i f f e r e n c e si nm e c h a n i s m r e p r e s e n t a t i o n ；e x p e r ts u b j e c t st e n dt om a k e 哪o fm u l t i p l er e p r e s e n t a t i o n , n o v i c es u b j e c t st e n dt o m a k eu s eo fs i m p l i c i t yr e p r e s e n t a t i o n ；e x p e r ts u b j e c t st e n dt om a k e 嘲o fc i r c u l a rr e p r e s e n t a t i o n s t r a t e g y , n o v i c es u b j e c t st e n dt om a k eu s eo f o n e - w a yr e p r e s e n t a t i o ns t r a t e g y ；e x p e r ts u b j e c t st e n dt o m a k eu s eo fe q u i l i b r i u ma s s u m p t i o n s t r a t e g y , n o v i c es u b j e c t s t e n dt om a k eu s eo fa c c u r a t e a s s u m p t i o ns t r a t e g y ；e x p o r ts u b j e c t st e n dt om a k eu s eo fe x a m p l ea n a l o g ys t r a t e g y , n o v i c es u b j e c t s t e n dt om a k em o fi m m e d i a t eg e n e r a t i o ns t r a t e g y ；e x p e r ts u b j e c t st e n dt om a k eu s eo fi m m e d i a t e m o n i t o r i n gs t r a t e g y , n o v i c es u b j e c t st e n dt om a k e 嘴o fl o o k i n g - b a c km o n i t o r i n gs t r a t e g y ；e x p e r t s u b j e c t st e n dt o w a r dt om a k eu s eo f a d j a s t m e n ts t r a t e g yi na s s u m p t i o ne n dm o d e l i n gm e t h o d , n o v i c e s u b j e c t st e n dt o w a r dt om a k eu s eo fa d j u s t m e n ts t r a t e g yi ns o l v i n g ；c o m p a r e de x p e r ts u b j e c t sw i t h i h 西南大学博士学位论文 n o v i c es u b j e c t s , e x p e r ts u b j e c t sh a v em o r ec o n v e r s i o ni nt h i n k i n ga n dg e tm o r er i g h t ( r e a s o n a b l e ) a n s w a st ot h eq u e s t i o n sr e l a t e dt om a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ；t h es t u d e n ts u b j e c t sh a v em o r es e t t h i n k i n ga n dm a k em o r em i s t a k e s ( u n r e a s o n a b l ea n s w e r s ) s i g n i f i c a n t l y ；t h ev e r b a lp r o t o c o lo f e x p e r t ss u b j e c t sa g eb r i e f w i t hl o g i c a le x p r e s s i o n s ，t h e i ra n a l y s i st om a t h e m a t i c a lm o d e l i n g p r o b l e m s i sd e e pa n dt h o r o u g h , t h et h i n k i n go fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi sf a s t e ra n df l e x i b l e ，t h eu s a g eo f m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gm e t h o d sa r er e v e a l e di nh e u r i s t i cs e a r c h i n g t h ev e r b a lp r o t o c o lo fn o v i c e s u b j e c t sa r ec u m b e r s o m ew i t hi l l o g i c a le x p r e s s i o n s ，t h ea n a l y s i st om a t h e m a t i c a lm o d e l i n gp r o b l e m s i ss h a l l o wa n dg e n e r a l ，t h ew a yo ft h i n k i n go fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi so n e - w a ya n ds t e r e o t y p e d , t h eu s a g eo fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gm e t h o d sa r er e v e a l e di nb l i n ds e a r c h i n g ；e x p e r ts u b j e c t sm f a s t e rt h a nn o v i c es u b j e c ti nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g , s p e n d i n gm u c hl e s st i m eo ne a c hq u e s t i o n ( 3 ) a c h i e v e m e n tm o t i v e ，c r e a t i v ei n c l i n a t i o n , c o g n i t i v et y p e ，t h em a t h e m a t i c sc o g n i t i v e s t r u c t u r ea n ds e l f - m o n i t o ra b i l i t yt om a t h e m a t i c a lm o d e l i n gh a v es i g n i f i c a n tp o s i t i v ec o r r e l a t i o n w i t i lm a t h e m a t i c a l m o d e l i n ga c h i e v e m e n to fs u b j e c t s ；t h e m a t h e m a t i c sc o g n i t i v es t r u c t u r e , s e l f - m o n i t o ra b i l i t yt om a t h e m a t i c a lm o d e l i n gp r e s e n ts i g n i f i c a n tr e g r e s s i o ne f f e c to i lm a t h e m a t i c a l m o d e l i n ga c h i e v e m e n to fs u b j e c t s ，d i r e c t l yi n f l u e n c i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l i n ga c h i e v e m e n to f s u b j e c t s a n dt w of a c t o r s 啪e x p l a i n5 5 8 v a r i a t i o n so fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n ga c h i e v e m e n to f s u b j e c t s ；a c h i e v e m e n tm o t i v e ，c r e a t i v ei n c l i n a t i o n , c o g n i t i v es t y l e ，t h em a t h e m a t i c sc o g n i t i v e s t r u c t u r eh a v es i g n i f i c a n tr e g r e s s i o ne f f e c to ns e l f - m o n i t o ra b i l i t yt om a t h e m a t i c a lm o d e l i n g , d i r e c t l y i n f l u e n c i n gs e l f - m o n i t o ra b i l i t yt om a t h e m a t i c a lm o d e l i n g , a n df o u rf a c t o r sc a ne x p l a i n7 0 1 v a r i a t i o n so fs e l f - m o n i t o r a b i l i t y t om a t h e m a t i c a l m o d e l i n g ；a c h i e v e m e n tm o t i v e , c r e a t i v e i n c l i n a t i o n , c o g n i t i v et y p eh a v es i g n i f i c a n tr e g r e s s i o ne f f e c to l lm a t h e m a t i c a lc o g n i t i v es t r u c t u r e ， d i r e c t l yi n f l u e n c i n gm a t h e m a t i c a lc o g n i t i v es t r u e u l r e a n dt h r e ef a c t o r sc a ne x p l a i n4 0 9 v a r i a t i o n s o fm a t h e m a t i c a lc o g n i t i v es t r u c t u r e ，w h i c hi n f l u e n c et h ea c h i e v e m e n ti nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g t h r o u g hi n f l u e n c i n gm a t h e m a t i c sc o g n i t i v e s t r u c t u r ea n de l f - m o n i t o r a b i l i t yt o m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g ( 4 ) t h et e a c h i n gs t r a t e g i e so f m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gf o rm a t h e m a t i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ( n o r m a l ) m a j o r si n c l u d e ：t h ei n t e g r a t i o no f e x a m p l et e a c h i n g , v a r i a t i o np r a c t i c i n g ，o p e nt r a i n i n g ；t h e i n t e g r a t i o no f g e n e r a lt h i n k i n gs t r a t e g y , m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gs t t a t e g ya n dm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g m e t h o d ；t h ei n t e g r a t i o no fi n d e p e n d e n te x p l o r a t i o n , m u t o a le x c h a n g ea n dg u i d e di n t r o s p e c t i o n ；t h e i n t e g r a t i o no f m u l t i d i m e n s i o n a lo b j e c t i v e , v a r i e dm e t h o d s ，a n dd i v e r s i f i e ds u b j e c t so f e v a l u a t i o n t h ei n n o v a t i o no f t h i sr e s e a r c hl i e si nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ：t r y i n gt os e tu pt h eg e n e r a lp a t t e r n o f c o g n i t i v ep r o c e s so f m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ；r e v e a l i n gt h ed i f f e r e n c e si nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g c o g n i t i v ep r o c e s sb e t w e e ns u b j e c t sw i t hd e f e r e n tl e v e l s ；b u i l d i n gu pt h ep a t ha n a l y s i sm o d e lo f i n f l u e n t i a lf a c t o r so nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ；a n dp u t t i n gf o r w a r dt h et e a c h i n gs t r a t e g i e so f m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gf o rm a t h e m a t i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ( n o r m a l ) m a j o r k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ) c o g n i t i v em e c h a n i s mst e a c h i n g s t r a t e g y 独创性声明 学位论文题目：墼堂蕉搓煎丛盘垫剑盈甚墼堂筮堕壁窒 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。j e 学位论文作者：尊柙剖艮签字日期：2 7 年j 月舻日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：壹卅aj k导师签 筝字日期：沙7 年，月舻日 签字日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 日缘 1 导论 1 导论 在本部分，界定了本文的一些基本概念：阐述了研究的缘起、研究的问题、研究的意义 及本文所采取的研究方法与总体设计。 1 1 基本概念 为便于全文的阐述，首先对本研究所涉及的一些基本概念进行界定。 1 1 1 数学建模 ( 1 ) 原型( p r o t o t y p e ) 所谓原型是指人们关心、研究或者从事( 工作、学习、生产，管理等) 的现实世界的实 际对象。既包括有形的对象，也包括无形的、思维中的对象。在学习、生产、科技等领域里 通常使用系统、过程等词汇描述原型，如学习系统、教学系统、方法系统、生命系统、生态 系统、机械系统、电力系统、社会经济系统等：又如学习过程、教学过程、生产销售过程、 计划决策过程、钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、人口增长过程、污染扩散过 程等，这些现实对象、研究对象等均为原型。 ( 2 ) 模型( m o d e l ) 所谓模型是一种结构，是为某一特定目的，在分析研究实际问题的结构特征基础上构造 的整个原型或其部分或其某一方面的替代物，是对原型信息的简缩，提炼；是对原型的形象 化或模拟与抽象；是对原型的某一( 或某些) 方面的简化与近似反映。构造“模型”是人们 用以认识世界的重要手段之一人们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界。在现实生 活中，人们总是自觉或不自觉地用各种各样的模型来描述一些事物或现象。地图、地球仪、 玩具火车、建筑模型、昆虫标本、恐龙化石、照片等都可以看作模型，它们都从某一方面反 映了原型的特征或属性。模型应具有三个基本特性：模型应是对客观事物有关属性的模拟 或抽象。模型与原型在特性、结构或功能行为等方面具有某种相似关系模型是由那些原型 有关的部分或因素构成，在认识过程中能够被当作客体原型的替代物而便于进行研究；模 型必须具有所研究系统的基本特征或要素。一个较好的模型，应该在所关心的方面体现出真 实对象的主要特征，否则就没有什么意义；模型应包括决定其原因和效果的各个要素之间 的相互关系。依据模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的 效果。模型表明这些有关部分或因素之间的关系，通过模型进行模拟实验，能够得到关于原 型的一些信息。只有具备了这三个相互联系、相互制约的特性，模型才能作为认识的特殊手 段发挥其作用 由上述对模型特性的分析可以认为，原型和模型是一对具有密切联系的对偶体。模型来 源于原型，但并不是对原型简单的模仿，由原型到模型要经过对原型的简化并加上一些人为 的假设。因此，模型通常不是原型原封不动的复制品，或者说模型与原型之间不是一个同构 对应，而只能是某一( 或某些) 方面的近似反映。它是人们为了认识和理解原型而对它所作 的抽象、升华。通过对模型的分析、研究加深对原型的理解和认识。原型有各个方面和各种 层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。为了不同的目的，一个 原型可以有许多不同的模型。根据特定的目的，从现实对象中选一部分所关心的特征或属性 来进行描述，其他方面的特征或属性将不予以考虑( 对于其他的一些特征或属性，实际原型 两南大学博十学位论文 与模型甚至可以相差很远) 。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。模型所反映的内容 将因其使用的目的不同而不同。 ( 3 ) 数学模型( m a t h e m a t i c a lm o d e l ) 关f 数学模型，目前尚无一个公认的定义。但数学模型存在广义和狭义两种解释。按广 义的解释。一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式以及由公式系弼构成 的算法系统等都可称之为数学模型。数、几何图形、函数、导数、积分、向鼍、集合、群、 环、域、范畴、线性空间、拓扑空间、数学物理方程以至于广义相对论、规范场等都是非常 成功的数学模翟。按照这种观点，整个数学就是一门关于数学模型的科学。这种解释太宽泛， 以致于数学模型在数学中失去了特定的意义。按狭义的解释，所谓数学模型，就是为了特定 目的，针对或参照某种事物系统的主要特征或主要关系。用形式化的数学语言。概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学结构才 是数学模型。这里的数学结构，有两方面的具体要求：这种结构是一种纯关系结构，即必 须是经过数学抽象扬弃了一切与事物无本质联系的属性后的系统的结构；这种结构是用数 学概念和数学符号来表述的，它借助于数学符号、公式、图表等刻划客观事物的本质属性与 内在规律。是系统的某种特征本质的数学表达式。本文对数学模型作狭义的理解。 数学模犁是通过抽象和简化。使用数学语言对客观事物的某些属性与内在特征的一个近 似的刻划，是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、升华的结果。通过数学上的演绎推 理和分析求解。使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识，是人们用以认识现实系统和 解决实际问题的工具。应具有如下几个特性：抽象性。数学模型是为了实现某种目的，舍 弃现实原型中的非本质属性，弱化次要因素，使本质要素形式化，从而对原璎作出简化而本 质性的刻划。阏此比原型具有抽象性，这种抽象通常显示出概括性特征，使同一个数学模型 可以运用于不嗣的实际情景：准确性和演绎性。由于数学模型是用数学语言表述的数学结 构因此克服了自然语言含糊不清，叙述过繁、容易产生歧义等不足，实际问题中的各种关 系及问题结构得到了比较精确的表述。同时数学语言的严密性、简捷性为运用数学知识与 方法进行演绎推理提供了可能，而通过数学的演绎推理可使对实际问题解决的思维、层次与 效率大大提高；预测性。建立数学模型的目的是为了解决实际问题，数学模型的研究结果 要能够经得起实际问题的检验，与实际结果相符或近似相符( 不超过人们所期望的范围) ，或 为实际问题的解决提供可行、有效的方案与程式。具有这样预测性的数学模型才有生命力， 否则，必将被舍弃或修正。数学模型不是原型的复制品。数学模型与原型之间同样不是一个 同构对应，而是为一定的目的对原型所作的一种抽象模拟。是对原型的数鼍相依关系的一个 反映。它用数学式子、数学符号、程序、图表等刻划客观事物的本质属性与内在联系，是对 现实世界的抽象，简化而又本质的描述。它源丁：现实又高丁= 现实。它或者能解释事物的各 种性态，预测其将来的性态；或者能为控制某一事物的发展提供晟优化策略等等，均是为了 最终达到解决实际问题之目的。 ( 4 ) 数学建模( m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ) 用数学方法解决实际问题，要求从实际错综复杂的关系中找出其内在规律，然后用数字、 图表、符号和公式将其表示出来，再经过数学与计算机的处理。得出供人们进行分析、决策、 预报或者控制的定鼍结果，这种将实际问题进行简化l 闩结为数学问题并求解的过程就是数学 2 1 导论 建模。 广义而言，数学本身就是刻画现实世界的模型。数学的研究既不像物理学、化学、生物 学那样以自然界的具体运用形态为对象，也不像经济学、社会学、政治学那样以社会的具体 运动形态为对象。数学研究的是形式化、数量化的思想材料。而按照唯物主义认识论的观点， 思想只能来源于现实世界，但不是原原本本复制现实世界，需要经过一定的加工、抽象，这 种思想材料的获取过程，实际上就是对现实世界研究对象的建模。比如，原始人从“数”( s h o ) 猎物中仓q 造了“数”( s h h ) 就是建模；古埃及人在丈量土地时发明了三角也是建模；而微积分 基本上可以视为是1 7 世纪时对力学、天文学问题的数学建模。因此可以说，建模本身就是数 学发展的原动力。现代数学就其研究对象而言相当多数已经很难看出原型的痕迹，因而也 不称其为“模型”。从学科发展来讲，数学既然是研究思想材料的学科，那么一旦思想的框架 以公理化的形式建造起来。就可以按照自身的体系和逻辑演绎出一个繁复庞大的理性世界， 数学工作者们不断地去了解、熟悉它，并通过自己的工作去参与构筑这个理性世界大厦，这 样数学学科便不断丰富发展。这些工作当然是必要的和有意义的。但另一方面，多数人更感 兴趣的问题是这个理性世界能否与某部分现实世界对应，以更好地运用它来描述解决现实世 界的问题? 这就需要重新回到实际问题中去，采用有别于经典的严格意义下的数学思维方式， 针对特定问题与特定目的进行必要的简化、假设，选取适当的数学工具进行研究，这就是当 今意义下的数学建模。 数学建模即是对实际问题中的复杂现象进行分析，发现其中可以用数学语言来描述的关 系或规律，从中抽象出恰当的数学关系，将这个实际问题化成一个数学问题，并运用数学系 统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程。与数学不同。构建数学模 型的过程不仅要进行演绎推理而且还要对复杂的现实进行总结、归纳和提炼。这是一个归纳 总结与演绎推理相结合的过程。数学建模的关键是通过对现实问题的观察、归纳、假设，将 其转化为一个数学问题。但这只是完成了数学建模的第一步，作为完整的数学建模过程还需 求解数学问题并得到所求的解。还要看所获得的解能否解释实际问题，是否与实际经验或数 据相吻合。若吻合，即结束数学建模过程；否则，还需修正假设并重新提出经修正的数学模 型，直至满意为止。 数学建模的基本过程可用流程图简单表示如图l l ： i 1 2 认知机制 图i - - i 数学建模的基本过程流程图 3 两南大学博十学位论文 认知( c o g n i t i o n ) 是认知心理学的核心概念，是为了一定的目的、在一定心理结构中进行 信息加_ 的过程。 上述四种看法，都从不同角度对教学策略的含义作了描述或界定。张大均教授 ( 2 0 0 6 1 , 5 ) 对教学策略的含义作出了较系统的表述：教学策略是教学设计的有机组成部分， 是在特定教学情境中为实现教学目标和适应学生学习的需要而采取的教学行为方式或教学活 动方式。这个表述包含了三层含义；教学策略从属于教学设计，确定或选择教学策略是教 学设计的任务之一：教学策略的制订以特定的教学目标和教学对象为依据：教学策略 既有观念驱动功能，更有实践操作功能，是将教学思想或模式转化为教学行为的桥梁，教学 策略是介于教学模式( 上位) 和教学方法( 下位) 之间的一个中位概念。 基于上述讨论，可对教学策略作如下理解：教学策略是一个总体概念，它涉及一系列 具体的教学技能，但又不是教学技能的简单堆积和罗列；教学策略不同于一般的教学方法； 教学策略的运用是一个动态的过程。教学策略的建构和使用，往往要经历两个过程，一是 对教学方法的选择和使用过程，一是对教学活动的调控过程。而且这两个过程又常常随着情 境的变化而改变；教学策略以学习策略为基础。教学是教师的教与学生的学的双边活动， 教师教的策略与学生学的策略是紧密相关的。教学策略既包括教师对教学内容，教学手段和 教学方法在教学活动中的调控，也包括对学生的学习活动与学习方法的调控，而且应以学习 策略为基础 教学策略具有如下几个基本特征：综合性。选择或制定教学策略必须综合考虑教学方 法、步骤、媒体和组织形式等要素；可操作性。教学策略并非抽象的教学原则。也不是在 某种教学思想指导f 构筑起来的教学模式，而是可供教师和学生在教学中参照执行或操作的 5 两南大学博十学付论文 具体方案；灵活性。教学策略的灵活性表现为：根据不同的教学目标、内容和任务的要求t 参照学生的初始状态，将最适宜的教学方法、媒体和教学组织形式组合起来，保证教学活动 的进行，以便实现特定的目标，完成特定的教学任务。当教学目标、内容和教学对象发生变 化时，教学策略也随之而改变。同一个教学策略对不同的学习群体会产生不同的教学效果； 而不同的教学策略面对同一学习群体也会有不同的效果需要教师依据实际状况灵活掌握。 1 2 问题提出 1 2 1 研究缘起 数学的发展历史表明，数学在自然科学、社会科学及现实生活等领域的应用构成数学持 续发展的强大推动力量，而运用数学方法建立数学模型解决实际问题的数学建模方法正是实 现与发挥数学的应用功能的重要手段。在掌握与运用数学建模方法解决实际问题的过程中，不 仅能够使人体会到数学的应用价值、形成数学应用的意识、树立正确的数学观和数学态度， 而且能够培养运用数学知识与方法解决实际问题的能力，提升数学素养并为专业研究等工作 与生活服务。鉴于数学建模及其教育的强大功能，英、美等国自二十世纪七十年代起相继在 研究生和本科阶段开设了“数学建模”课程，并于七十年代末期进入中学课堂。我国自二十 世纪八十年代中期起在借鉴英、美等国开设“数学建模”课程的经验基础上，率先在清华大 学等少数理工科大学和综合大学中开设“数学建模”课程。这些高校的数学建模任课教师及 “数学建模”研究工作者在其教学实践与理论研究基础上相继编著出版了多部数学建模教材 并形成了一套富有成效的“数学建模”课程的教学策略与方法，从而强有力地推动和促进了 理工科大学与综合大学理工科专业的“数学建模”课程教学的有效开展。随着“数学建模” 课程在理工科大学与综合大学理工科专业的普遍开设，在姜启源、叶其孝等专家的倡导、发 动与组织下，于二十世纪九十年代开展了“全国大学生数学建模竞赛”活动，这一活动的顺 利开展促使北师大等少数高师院校的数学教育专业于九十年代初相继开设了“数学建模”课 程。此后，荷兰著名数学教育家h a n sf r e u d e n t h a l ( 弗赖登塔尔，1 9 9 5 ，p 4 5 5 2 ) 倡导的“数 学现实化”的数学教育思想被我国数学教育界广泛认可和接受。数学建模被认为是实施“数 学现实化”教育思想的重要手段之一，从