（工程力学专业论文）材料的含损伤热粘塑性本构关系及柱壳破裂规律研究.pdf

摘要 本文以应力空间中的屈服函数和修正的d m c k e r 公设为基础，从内变量理 论出发，探讨了时率相关材料含损伤和温度软化效应的垫超眭材料查构关丕 的一般特性，建立了增量型热粘塑性本构关系的一般理论框架和普适表达式， 并对某些常用的本构模型给出了其具体形式。 对静水压力明显影响塑性变形规律的材料进行了理论分析，得到了受静水 压力影响的本构模型的一般理论，并对弹塑性和粘塑性分别给出了具体的形 式。 对三种微裂纹型导致的损伤度量及其累积发展从细观统计和宏观唯象分析 两方面进行了研究，得到了相应的损伤函数演化方程，使微裂纹型损伤的物理 意义更加明确，并与材料的宏观力学性能建立了联系。 对内部爆轰加载条件下金属管的变形和破裂问题，采用所得到的含损伤和 温度软化效应的粘塑性本构模型进行了一维数值模拟。( 计算得到的柱壳破裂时 间和破裂半径与实验数据符合得很好。同时，通过对计算结果的分析和总结， 得到了一些对工程应用有价值的结论。厂1 7 对外部爆轰加载下金属圆管的响应进行了一维数值模拟计算。晰得到的各 个量的物理图景是符合波动理论的，弹塑性模型和粘塑性模型计算得到的物理 图景定性吻合，计算表明在圆柱壳的加载过程中，会出现柱壳的反弹和振荡， 并在柱壳膨胀过程中由于损伤的累积出现壳的破坏。卜。 a b s t r a c t t h et h e r m o - v i s c o u s - p l a s t i cc o n s t i t u t i v ec h a r a c t e r sf o rr a t e - d e p e n d e n td a m a g e d m a t e r i a l sw i t ht e r n l p e r a t u r es o f t n e s se f f e c ta r ei n v e s t i g a t e di ns t r e s ss p a c e 。b a s e do n m o d i f i e dd r u c k e r sp o s t u l a t ea n dt h ei n t e n l a lv a r i a b l e st h e o r y g e n e r a lt h e o r yf r a n l e a n du n i v e r a if o r m u l a eo fi n c r e m e n t a ls t r a i nc o n s t i t u t i v er e l a t i o n sf o rt h e s em a t e r i a l s a r ep r o p o s e d a n dt h ec o n c r e t ef o r m sf o rs o m ec o n s t i t u t i v em o d e l si nc o m m o nu s e a r ep r e s e n t e d t h e o r e t i c a la n a l y s e sa r ec a r r i e do u tf o rt h em a t e d a l sw h i c h p l a s t i cd e f o r m a t i o ni s e x p l i c i t l yi n f l u e n c e db yh y d r o s t a t i c - p r e s s u r e w eg e tt h eg e n e r a lf o r m u l a ef o rt h e c o n s t i l 【u t i v er e l a t i o n sa f f e c t e db yh y d r o s t a t i c - p r e s s u r ea n dt h ec o n c r e t ef o r m sf o r p l a s t i ca n dv i s c o - p l a s t i cc o n s t i t u t i v e s t h r e em i c r o - c r a c kf o r m sa n dt h e i re v o l u t i o nb e h a v i o r sa r ei n v e s t i g a t e do nb o t h m i c r o m e c h a n i c ss t a t i s t i c t h e o r y a n dm a c r o - m e c h a n i c sc o n t i n u u mt h e o r v t h e i r d a m a g ee v o l u t i o nr u l e sa r ed e v e l o p e d ，w h i c hg i v eo u tm o r ei n f o r m a t i o no fd a m a g e d m a t e r i a l sa n da r er e l a t e dt om a t e r i a l s m a c r o - m e c h a n i c sp a r a m e t e r s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ec a r r i e do u tw i mt h e p r e s e n t e d c o n s t i t u t i v ef o r e x p l o s i v e f i l l e dc y l i n d e r f r a c t u r e p r o b l e m ，t h e c a l c u l a t i o nr e s u l t sa r ei n g o o d a g r e e m e n t sw i t he x p e r i m e n tr e s u l t s w h i c hs h o w s t h ec o n s t i t u t i v ec a nb eu s e di nt h i s k i n do f p r o b l e m s o m ev a l u a b l er e s u l t sa r eo b t a i n e df r o mt h ee a l c u l a t i o na n a l y s i s n u r n e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ea l s oc a r d e do u tf o rt h em e t a le y l i n d e rd a m a g el o a d e d w i t ho u t e r - e x p l o s i v ed e t o n a t i o n t h ef i g u r eo fe a c hv a r i a b l ea c c o r d sw i t ht h eb a s i c c o n c l u s i o no fw a v et h e o r y t h ef i g u r e sf r o mt h et w om o d e l sa r ec o n s i s t e n tw i t he a c h o t h e rq u a l i t a t i v e l y n l ec a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h ec y l i n d e rr e b o u n d sa n ds u r g e si nt h e l o a d i n gp r o c e s sa n du l t i m a t e l yb r e a k si nt h ee x p a n d i n gp r o c e s so na c c o u n to ft h e d a m a g e c u m u l a t i o n ， 致谢 本文是在李永池教授的悉心指导下完成的。导师渊博的知识、严谨的 治学态度、正直诚恳的高尚品质和孜孜不倦的敬业精神使我受益非浅，他 对我的淳淳教导和无微不至的关怀一直是我完成这篇论文的动力源泉。他 的教导是我一生的宝贵财富。在此，谨向李永池教授表示崇高的敬意和衷 心的感谢。 王肖钧教授也给予了亲切的指导和热情的关心，从王老师的课堂和接 触中得到了许多一生受益的知识、方法，在此表示深深的谢意。非常感谢 本实验室的各位师姐和师兄弟，许多有益结论得益于他们启迪。与袁福平、 江松青、张刚明、刘文韬、周钟、朱林法、张昭宇、郭扬朝夕相处，结下 了深厚的友谊。 感谢我的父母，他们对我始终如一的支持和鼓励是我不断前进的巨大 动力。同样感谢凌云对我的默默鼓励和支持。希望本文的完成能带给他们 一点点的欣慰。 感谢在科大度过的六年时光，感谢所有在我成长道路上关心和支持我 的师长、家人和朋友。 中国科学技术大学硕士学位论文第一章前寿 ， 1 1 研究背景 第一章前言 本论文主要的背景知识包括塑性理论、损伤理论，而所要考虑问题为柱壳内、外 爆问题，其在工程和材料动态力学中有重要地位。 d r u c h e r 公设t 1 奠定了塑性本构关系的理论基础，并首先给出了以增量应力表达 增量应变的塑性本构关系，但其形式不适用于理想塑性材料和不稳定的软化材料。 h 门b 旧山h h 公设1 2 1 导出了适用于各类硬软化材料的增量型塑性本构关系，并是以增量 应变表达增量应力的形式给出的；但其本构关系是以应变空间中的屈服面为基础的， 这对动塑性计算问题的应用是不方便的。对以上二个最重要的理论体系，王仁、黄文 彬、曲圣年、殷有泉、黄筑平等“。1 曾进行了系统的阐述并有一系列新的发展，例 如给出了弹塑性耦合材料的本构关系。但是应变屈服面和弹塑性耦合张量的引入，使 本构关系的形式相对比较复杂而增加了应用的不便性。李永池等【6 。“1 曾对d r u c k e r 公设的表述进行了修正，将塑性功非负的应力循环元素限制在从屈服面内出发、产生 足够小塑性变形的应力循环，从而使之可以同时包括稳定和不稳定材料，并且通过直 接研究不可逆增量应变而不是塑性增量应变本身，而以应力屈服面为基础导出了对弹 塑性耦合材料也适用的以增量应变表达增量应力的塑性本构关系。 对于塑性理论，匡震邦【9 1 曾在“塑性本构理论中的几个问题”中做了系统性总结。 材料动态本构关系可以分为率无关( 对应变率不敏感材料) 和率相关( 对应变率敏感 材料) 两种本构模型。在塑性力学中，即使不考虑应变率效应，应力也不仅和应变有 关，而且还和变形历史有关，热力学内变量理论正是通过引入一组内变量 f 。( = 1 , 2 ， ) 来刻画这一变形历史的。 历史上早期的塑性本构关系如l e v y - m i s e s 提出的n 0 1 采用的理想刚塑性模型( 即 忽略了弹性应变) 和p r a n d f l r e u s s 提出的流体弹塑性模型增量型本构模型。而动塑性 本构方程一般可写成如下这种形式 仃= 妒( ，) 如由l u d w i k 提出的过应力模型 盯= 盯l + a i n ( k ，口) 古9 ( ：2 0 0 d f 盂2 ”3 ( a 一b c e f f ) 2 g ( d 6 ：一蟛+ 撬d o ，) 一触；】 = 一h d 6 ；+ 6up 1 一取d s ：1 2 o a k ( d o d o p ) 一2 k k io u d 8 ： 1 8 1 2 1 9 ) 6 g ( c 一p c s i w s u - 3 ( 0 - ：一f l c g y ) ( 2 g + f l c ) d 2 3 ( c r j 一肛s ；) + 毛( 序目”一号妒妒) 】 + 3 ( a j 一犀s i ) 吾g 岛( t 妒) 以一2 q o l ( o k ( a o + 2 e p r p 以) 一2 k k 盯”c 执 3 ( c r j 一肚占；) + 吒( 肛目9 一号卿) 】= 0 从( 2 3 ) 式中解出以为： 掀：! 璺亟二丝笪! 坐；二! 丝竺! h 这里 即 h = 9 ( 2 g + 廖) ( 仃j 一摩瞄) ( 一犀占；) + 3 ( 2 g + 摩) ( 吒一辟占；) 毛( 摩p 9 - 3 - f a ) + 4 g ( 仃；一e s ；) 伊吒+ 4 妒2 妒1 2 k + 6 船盯。( o r ；- 冕6 ：) + 2 船1 盯。毛( 肪口9 一号伊) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ，) h = 9 ( 2 g + 肛) ( c r ；一f l c d f a ；一肛) + 3 ( 2 g + 肛) ( 一庳口) ( 廖口9 一 卯) ：6 4 唰k k o 0 嚣2 并p 6 k 1 9 2 删一删， 。， 十 ( 盯j 一廖占；) +p ( 廖口9 一号缈) 。 完全是由应力状态吓内变量所决定的由( 2 4 ) 即可通过如：d o 求出擞。 3 1 2 具有与s ，相关随动硬化特性的联合硬化模型 我们也可以考虑将m i s e s 准则中随动硬化项与应变偏量s ，相关，这样我们的屈服 准则成为： 9 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章含静水压力的奉构 厂【盯j ，p ，s 0 ，k ( w 9 ) - j 3 ( 盯j 一摩占? ) ( 盯：一摩s ? ) 一妒2 ( p ) 一k 2 ( 1 一) 9 】= 0 仿照上面相同的推导过程，我们可以得到 d f = 3 ( a ! 一f l c e ? p ) ( d t y f 一芦b d s ，) 一2 妒妒d p 一2 k k 盯”d 6 ；= 0 同样我们由( 1 5 ) 式求出 d 8 ：= 3 d 2 ( t y u p o e ：) 盖- 3 ( 十廖占；) - 4 j 如 d 吒p = d 2 a 0 吒f 础【3 ( 盯：一摩s ；) 一瓯扣i ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 分，：五箬，d o 一：以箬：一2 伊妒d 2( 3 0 ) d口019 我们将( 2 7 ) 、( 2 9 ) 、( 3 0 ) 、( 2 1 ) 、( 2 2 ) 带入( 2 6 ) ，得到： d j = 3 ( a j q f i c e ；) 2 g ( d 6 j g d j 、一8 c d ；、一2 ( o q d 、k ( d o - d o p 、一2 k k ou d ： 从而： 以：! ! ! 垒二竺笠! 坐! 二! ! ! 竺! h h = 9 ( 2 g + 居) ( 西一犀彬) ( 口j 一摩s ，) + 4 妒2 妒2 k + 6 k k g r ( 口：一廖s l ，) 一4 k k p 妒妒 3 1 3 静水压力相关屈服函数的一个具体形式 ( 3 1 ) ( 3 2 2 ) 随动硬化时，需累积各个量作为状态，程序复杂，不考虑随动硬化时，：0 ，有 址面高等臻 ks 扛丽刁两万， 拈墅三丝：3 c ( 1 - , 8 ) 2 y 2 + 3 ( 1 一p ) c w 9 2 k c s j i 两2 e e ，肌扣胡= 扣卢= 例如可考虑如下特例：妒( p ) = ，p ，；，妒矿= ，2 p ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 、，j ! 螳垫i 达兰堡主堂堡丝奎 笙三! 鱼堑查些垄塑查塑 3 2 静压相关的热粘塑性本构 同静压相关的弹塑性本构样如果在粘塑性材料屈服函数中引入有关静水压力的相 关项，则我们就可以得到相应的粘塑性材料静压相关的本构关系。正如在本文第二章 中所述，一般形式的时率相关屈服准则可表达为： 中( 盯，厶，厶，d ，) = 0 ( 3 5 ) 也可以写为： 中( 5 护，厶，乞，d ，7 1 ) = o( 3 6 ) i n 3 1 节中所述，我们可以平行的得到： 岳= 瓦o f ( 删一一 以以) + 面o f 弘l o = 喊o f 一了1 岛( 善0 0 。k 一参 ” 在第二章中我们曾得到了热粘塑性本构关系的一般形式，其中对单应变率参数的情形 我们得到了( 1 7 ) 式： d , l = “仃，乞，d ，7 1 ) 洲y ( 导)( 3 8 ) 其中厂和y 为第二章中所述的屈服函数和应变率因子定义函数。结合具体的屈服函数 堡们就可以得到如下的塑性应变张量、体应变、应变偏量张量和相应的应力张量的增 弘诺“c 苦一；岛c 寿一争 ， 矽，：五笪：五笪 d a r r印 曰：e ；一冬6 4 寸，= ( 0 。一) 例如当我们采用如下形式引入静水压力影响时，即取屈服准则为： ；= g ( 可妒( p ) ) 时，由第二章中的( 1 4 ) 式我们得到： 五= g ( 引妒( p ) ) ，压鲁：鲁 磐c a c 志沪唁筹孑嘉磬 ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 中国科学技术大学硕士学位论文第三章含静水压力的本构 2 南 芸3 南妒+ ( 硝】妒( j 口) 。2 彳妒( p ) 。 这里我们使用了如下的公式： a 彳3 0 0 0 2 万 鱼：三j a 0 3 这里，为单位张量，我们将( 4 5 ) 式代入( 4 4 ) 式得到 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 有了( 4 7 ) 式，结合( 3 9 ) 、( 4 0 ) 、( 4 1 ) 和( 4 2 ) 式我们就得到了含静水压力的粘塑 性本构关系。再次强调指出，函数g ( 孑) 不仅含有应力，也可依于温度、内变量和损伤。 3 2 1 基于b o d n e r 模型的本构关系 以第二章的( 2 2 ) 式为基础，我们考虑如下的具体形式的本构关系： y 曲。 南】”- g ( 南) ( 4 8 ) 由( 4 7 ) 式，我们得到： 扯磊 如果我们简单的取烈p ) 为p 肚丽孬1 ； ( 4 9 ) 的线性函数妒( p ) = l + ，p ，为材料常数。则我们得到： 3 2 2 基于j o h n s o n c o o k 模型的本构关系 以第二章的( 2 5 ) 式为基础，我们考虑如下的具体形式的本构关系： 如 x p 吉( 南- 1 ) 】- g ( 南) 由( 4 7 ) 式，我们得到： ( 5 0 ) ( 5 1 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章含静水压力的本构 五= a y 妒 ，同样使用线性函数妒( p ) = 1 + 加，我们得到： 旯= a y vff晤2 l z _ = ( 5 2 ) ( 5 3 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章裂纹型损伤 第四章裂纹型损伤及温度软化效应 4 1含微裂纹材料的损伤 韧性材料损伤的主要形式是微孔洞，损伤的演化伴随着明显的塑性变形，损伤主 要由于夹杂物和基体间的分离产生孔洞所引起。对微孔洞型损伤，张伟【2 4 借鉴封加 波 2 2 1 的思想，定义损伤为孔洞所占地体积比例，发展了一个基于微观微孔洞发展机 理上的，从统计物理出发得到与宏观力学量联系的损伤演化方程。脆性材料损伤的主 要形式是微裂纹，但无明显宏观塑性变形，损伤主要是由于在材料内部的微裂纹萌生 和扩展。 我们将从宏观和细观两方面入手，宏观上使用常用的损伤定义，细观上从统计物 理出发，在二者之间建立联系，这样我们的统计描述以微裂纹的细观动力学为基础， 而微裂纹的宏观效应则由其统计平均结果给出。从而损伤定义及其演化方程都有了更 明确的意义和物理根据。实验也表明这样的处理是可行的。根据平面碰撞下产生的微 裂纹的统计4 3 0 1 , 金属中微裂纹的密度约为1 0 2 1 0 4 r a m 2 ，尺寸约为l _ m 1 0 0 a m ， 因此，对毫米尺寸的宏观微元，做统计处理是可信的，并仍可以将受损材料认为是宏 观均匀的。这样的处理，与将多晶体金属当作均匀连续介质的近似是相当的。 这种统计微损伤力学研究含损伤的本构关系在数值模拟中大致要包括四个阶段： 第一，要恰当的刻画微损伤。既要概括微损伤的主要特征，包括统计平均所需的 各种信息，又不能繁杂到无法处理。 第二，建立损伤的演化方程。 第三，根据微损伤的统计效应，建立损伤材料的本构关系。比如，受损材料的杨 氏模量是如何依赖于微损伤的演化。 第四，由具体的初始条件和边界条件数值模拟材料各点的应力、应变和损伤值。 连续损伤力学从工程角度出发，没有前两步，直接将受损材料的力学性能的变化作为 损伤的度量。损伤是起源在材料中受载而变弱的部分，比如微裂纹的形状、大小和分 布等，这与材料在进一步外载下的力学响应并不是一回事，但是由于后者在工程使用 上是便利和可行的，所以损伤力学用其作为损伤度量，但是这样做也就没有了物理基 础，成为唯象的，所以建立在合理的物理机制基础上材料损伤的描述是很必要的。这 样对将来真正意义上材料的认识，以及现在前景看好在工程上极有价值的材料设计会 起到推动作用。统计微损伤力学也恰恰同现在材料发展的方向一从微观到细观再到宏 观的道路相一致的。 白以龙【2 在微裂纹的细观研究上得到了普适的结论。对微裂纹系统而言，这里有 三类微观变量：1 尺度，对椭圆形裂纹，就是长轴和短轴。2 取向，比如扁平裂纹的法 向。3 空间坐标，例如微裂纹的几何中心。对微裂纹的统计演化，实体材料参数和宏 观载荷是重要的控制变量，它们以参变量的形式出现在微裂纹演化的细观动力学公式 中。还要指出，实验观察到，这三类微观变量的变化速率并非一致，微裂纹的尺度是 演化中变化最明显的，而在微裂纹没有进入分叉和连接阶段，形心和取向一般变化较 少。所以微观变量分为敏感和不敏感的两类。 在单位时间里，流入流出相空间微元d c ) 的微裂纹的通量，应该与该微元中微裂纹 2 4 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章裂纹型损伤 的“源”和“汇”相平衡，根据此守恒律，白以龙导出微裂纹的演化方程为 o a n r 智a ( a p n p ，, ) + 七烈w ”。t q , j = ”w 一”一 其中： 月= 疗瞳尼，吼所，= ，u = i ，刃微裂纹数密度 x 环境和载荷参数 f ：广义时间 p ，：微裂纹演化敏感量p ，为其演化率 矾：微裂纹演化不敏感量口，为其演化率 肝。：微裂纹数密度的成核率 “微裂纹数密度的消失率 考虑到在损伤的初期，微裂纹比较稀疏，微裂纹之间的相互作用较弱，微裂纹间 阿连接和相互作用可以忽略，我们做这样的假设1 裂纹是均匀分布2 符合理想微裂纹 条件，是合理的。理想微裂纹系统主要特征是：裂纹的成核、扩展过程是统计独立的， 裂纹间的相关效应不起主要作用，每个裂纹的成核与扩展过程由该处的局域条件决定， 局域条件与材料性质、载荷以及全部裂纹的平均效应有关。 考虑到理想微裂纹连接效应不明显，裂纹闭合可忽略则：n 兰0 ，而不敏感量的 演化率可忽略：尊量0 。并且理想系统的裂纹间相互作用可忽略，否则要考虑真实材 料中所有与所关注微裂纹邻近的所有微裂纹。这样白以龙得到了理想微裂纹演化方程： o 研n 智争a ( 印n p , ) = n w p ，= 户，( p ，吼；x )这里f ，女分别遍历l 一，瘌1 ，j ( 2 ) = ”( p ，g ；行，x ) 考虑一维情况，比如铝合金靶板在平面冲击载荷下所出现的损伤，所有的微裂纹相当 稀疏，而且都几乎平行，且与拉伸应力方向垂直。这样我们只用一个独立微观变量一 微裂纹尺度c 来描述。这样上述演化方程简化为： o n 新+ 掣巩 0 = “c ，盯)这里，七分别遍历l ，拜1 ，j ( 3 ) 竹= 月( c ，f ，仃) 裂纹的扩展通常只有尺度超过某个临界尺度的才出现扩展过程，而小于临界尺度的几 乎不扩展。假定微裂纹系统也具有这样的特点，并设b ，为临界尺度。 这样得到的( 3 ) 式的一般解为： 中国科学技术大学硕士学位论文第四章裂纹型损伤 i 玎( c ) ， c 0 ，则 盟：旦f 生旦1 ：旦f 丘1 ：三盟一一d o l ( 1 5 ) a ta t l jd t ljla tld t 由( 1 3 ) 式和( 1 4 ) 式可以得出 鲁= 丢f 州，f ，仃) t a t = f 安枷= r 胛砌+ e w l d l ( 1 6 ) 根据上式，微裂纹总长度的变化即分为两项，分别是微裂纹长度扩展和微裂纹的成核 两部分 鲁= ( 剽，+ ( 剽。 ， 其中 ( 引，= 胁( 剽。= d 。矧 ， 为求单个微裂纹的扩展方程，我们采取类似于张伟n 4 1 微孔洞系统的如下几个假设： 1 微裂纹长大过程中因表面积增加所需之表面能，由裂纹周围介质所储存的应变能提 供。2 对准静态长大过程的能量转化分析可确定微裂纹长大的闽值条件。3 对于微 裂纹以有限速度扩展的过程，只能由裂纹附近有限区域的介质提供所需的表面能，这 个区域的范围由裂纹的扩展速度确定。 裂纹基本上可以分为三类： 1 i 型：张开型或拉伸型，其变形特点是裂纹表面上各点位移与裂纹面垂直，并 使裂纹具有张开的趋势。 2 i i 型：滑开型或面内剪切型，其变形特点是裂纹表面上各点的位移平行于裂纹 面，并与裂纹前缘直线o z 垂直。 3 i i i 型：撕开型或平面剪切型，其变形特点是裂纹表面上各点的位移平行于裂纹 面，并与裂纹前缘直线o z 平行。 以下为三类裂纹的示意图： ， 图1裂纹的分类 中国科学技术大学硕士学位论文第四章裂纹型损伤 在这几个假设的基础上，我们分析一下三种裂纹的具体演化方程。g r i f f i t h 曾研究 了一长、宽均为无限，单位厚度的受拉平板中长度为2 ，的裂纹扩展问题。 图21 型裂纹受拉示意图 根据赵建华在断裂力学中“n 所述，假如裂纹长度为，则有定义： g = 一兰=( 1 9 ) 刎 这里【，即为应变能。g 就是所谓的裂纹顶端“弹性能释放率”，又称裂纹扩展力。而 我们再定义r 为裂纹扩展抗力，即： r ：d w ( 2 0 ) d a 这里为裂纹扩展所需的能量，r 是材料抗断裂性能的参数。 g r i f f i t h 提出的裂纹失稳扩展能量准则为：如果裂纹扩展砒则裂纹体所释放的能量必 须足以提供扩展新裂纹面讲所需的全部能量。即可表示为： g = r( 2 1 ) 这里为了推导上的方便，我们如图2 所示假设裂纹长2 ，。而对于i i 型和i i i 型裂纹如 图3 、图4 所示。 f , g - f 图3i i 型裂纹一远处受面内纯剪的无穷大板 j 厂l 中国科学技术大学硕士学位论文第四章裂纹型损伤 图4i i i 型裂纹一远处受面外剪切的裂纹体 我们再引入裂端应力强度因子k ，一般也简称为应力强度因子。它是反映裂纹裂端领 域应力场强度的量，一般与裂纹长度，受载方式，载荷大小以及裂纹体的几何特性等 等有关，有时还与材料的弹性性能有关。 我们知道i 型裂纹的应力强度因子，即单向( 于裂纹线垂直的方向) 拉伸时的无穷大 板的裂端应力强度因子为： k ，= a 一7 d i i 型裂纹的应力强度因子为： k l = t _ 积 i i i 型裂纹的应力强度因子为： k m = f q 积 由断裂力学，我们有： g ：墅 e ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) e平面应力 胁1 吉平面应变 q 5 其中e 、y 分别为材料的杨氏模量和泊松比，这样： q = 字，“= - ，t 耐，g ，= 字 如果以五表示单位面积表面能，则假定：矗= 2 z ，故根据( 2 1 ) 式，我们可得到裂纹 准静态扩展的闽值应力正，这也正是g r i f f i t hm 1 得到的裂纹扩展条件： 3 0 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章裂纹型损伤 盯c = ( 2 6 ) 由于i 、i i 、i l l 型= 种裂纹的应力强度因子形式上的相似性，所以上式可分别对应于图 2 、图3 、图4 ，而适用于三种裂纹的平面应变情况。 现在我们具体到平面应变情况，来由裂纹动态扩展中的能量转换得出其裂纹演化 方程。根据弹性力学知，裂纹2 1 的存在使平板应变能下降为： u = 三三二耐2 ( 盯2 一吒2 )( 2 7 ) 对应于裂纹扩展2 a l ，相应的应变能改变为 u = 半2 和21 2 ) f f = 半2 烈 咖c ( 2 8 ) 其中最后一式我们应用了假定3 ，并假定裂纹的扩展速度为瑞利波速c 。裂纹扩展2 a l 后表面能增加 a u ，= 4 2 a l( 2 9 ) 由应变能的下降和表面能的增加相等，即a u = u 。，所以得到： ，= 面i - - v 2 万( 0 - 2 - - 0 ；煽岔 即 ，= 蔷烈盯2 _ ) c 。， ( 3 0 ) 则( 1 8 ) 式中的第一式为： ( 警) ，= 胁= j 。疗蔷咖2 叫2 m ， 为积分上式，假定在积分过程中五、e 、o 、c r 都和单个微裂纹尺寸，无关，则( 3 1 ) 积分得： ( 鲁) 。= 蔷咖2 一蠢b r 一一1 2 - - 旭v 2 、2 - - 0 。2 ) c ， 对于( 1 8 ) 式中的第二式，c u r r a n i t 4 1 曾给出一种成核率模型： ( 3 3 ) 这里a 和b 均为材料参数和载荷应力组合的特征参数。对金属可取6 ：3 i 删等。 则将( 3 3 ) 代入( 1 8 ) 的第二式有： 厚 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章裂纹型损伤 ( 等 。= p e 一；埘划 ， 考虑到实验上发现，小尺度的裂纹成核率校小，可以考虑采用如下的修正的成核率模 型： 州惦4 这样得到成核部分为： ( 等h 4 讲 我们取( 3 4 ) 式，由损伤演化方程( 1 5 ) 和( 1 6 ) 式得 筹=旦和2一仃dc。d+ab,_dol2aea t j 。lf ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 裂纹扩展时可以假定墨丛。一罢，即裂纹的扩展长度与实体材料的长度减少值是相 d t， 同的，做了这个假设后( 3 7 ) 式成为 掣：祟和：一盯：b d + a b l j 下= 面石( 盯一盯；_ 月d + 而对于平面应力得情况损伤演化方程为： 丝：上万(盯2一盯。2)c。d+ab28t = 2 a g 石【盯一盯c ) c ，r d + 这就是我们得到的微裂纹型损伤函数演化方程 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 损伤发展条件是要满足应力闽值条件 的，即仃 盯。，而三类裂纹由于它们形式上的相同性，所以推导过程是完全一致的， 所以( 3 8 ) 、( 3 9 ) 两式同样适用于i i 、i i i 类裂纹。应该指出的是这个方程的得出借用 了微孔洞型损伤的推导方法，并且假定了裂纹系统符合理想微裂纹条件，这在裂纹较 短时。或者说在损伤早期应该是没有问题的，但是在出现微裂纹的汇合从而形成主裂 纹后，从理论上该模型就应该进行修正。 以上公式中我们使用的是表观量，如果我们使用实体量，而表观量和实体量之间的关 系为： 盯= 盯。( 1 一d ) 盯。= 盯o ( 1 一d ) e = e ，( 1 一dc r = c 船( 1 一d ) 埘 ( 4 0 ) 则公式成为： 箬= 蔷和；一蠢k d ( 1 - d ) ；枷： ( 4 1 ) 等= 壶和2 ) g d ( 1 _ d ) ；枷： ( 4 2 ) 4 , 3温升方程 中国科学技术大学硕士学位论文第四章裂纹型损伤 由于高应变率下的过程非常快，而温度的迟豫时间相对来讲是比较长的，所以由 冲击波引起的温度上升来不及扩散，可能在局部出现塑性功转化为热，从而促使温度 继续升高，而温度的上升又引起材料的软化，进一步促进塑性功转化为热，从而可能 出现热塑性失稳，甚至形成绝热剪切带。因此在加载速率很高的时候，温度的软化效 应可能会很明显，所以在本构方程中应该给予考虑。 由能量守恒，我们得到： k + u = w + 9 ( 4 3 ) 这里等号的左边为考察对象动能和内能的变化率，右边为外力的功率和热量的变化率。 由连续介质力学理论，我们可以得到： 脚= 1 7 ：d + p r d i vh = v ( 矽+ d i v l 7 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 这里小写的女和七为比内能和比动能，p 是密度，为比热辐射率，h 为热流矢量， 1 7 ，v ，6 ，d 分别为应力张量、速度矢量、体积力矢量和伸缩率张量，d v 为求张量的散度 和分别为张量的二次点积和点积。假定内能主要为热能并导致其温升，则i = c 。于 其中c 。为定容比热：再假定可逆变形功可忽略，且不可逆功有a 倍转化为热( 比如仪= 0 9 ) ，则得到： 。于= 一d vh + 口1 7 ：舌7 + p r ( 4 6 ) 对于各向异性材料： h=-k。g(47、 这里t 是温度，e 1 是不可逆应变变化率，膏为各向异性材料导热系数张量，g = g r a d t 为温度梯度。对各向异性材料( 4 6 ) 式也可写为： ，于= ( v k v ) t + 口盯：舌+ p r( 4 8 ) 对均质各向同性体材料，k = 2 t l 。而 = 一2 t g ，这里，为单位张量。则( 4 8 ) 可简化 为： p c 。于= 2 , a t + 口盯：舌+ , o r ( 4 9 ) 旯，是各向同性材料导热系数，是拉普拉斯算子。上式又可以写成 t = r a t + a v o ：i 1 + 三 ( 5 0 ) c yc ， 中国科学技术大学硕士学位论文第四章裂纹型损伤 其中r = ，p c 。是导温系数，v 是比容。上式表明由于不可逆功有一部分转化为热， 引起了温度的上升，而由于热传导的存在，又可以使温度趋于均匀化，所以出现局部 温度很高的条件应该是材料的导温系数较小，另外加载速率要足够高，使得不可逆功 转化的热来不及扩散。炸药爆炸加载速率是较高的，所以应该考虑可能出现的局部温 度升高而出现的热塑失稳情况。 4 4 损伤和温度对材料性能的综合影响 与热应力有关的材料常数可以认为有如下两类：一类就是材料力学公式中的材料 常数，如杨氏模量e ，剪切模量g ，屈服强度y ，泊松比另一类是与温度分布有关 的热传导公式中的材料常数，如定容比热c ，密度p ，导热系数 。由于这些常数都 随温度变化，所以在温度变化范围很大的情况下，就必须考虑材料常数随温度的变化。 分析竹内洋一郎的热应力13 3 1 一书收录的大量曲线后我们得出下面的结论：当 温度变化范围较大时，多数材料参数都会发生变化，但是有些参数的变化较明显，而 另外的一些参数变化不大。具体说来，杨氏模量e 、剪切模量g 、泊松比导热系数 和定容比热c ，都对温度的变化相对敏感，所以应考虑这些材料参数随温度的变化关 系。 为简化计算，我们采取近似关系f = f f ( 1 一乒) 来计入温度效应，其中f 分别对应e 、 g 、旯、c ，。考是某个特征温度t 。的倒数。这样做的好处是大大减少了和温度有关的参 数个数，只用一个古来反映材料性质随温度变化关系。我们把f = e ( 1 一玎) 这一统一的 温度软化形式称为线性温度软化近似。 应变等价原理( j l e m a i t r e ，1 9 7 1 ) 可以表述为【2 ”“任何对于损伤材料所建立了的应 变本构方程都可以用与对于无损伤材料同样的方式导出，只是其中的通常应力需用有 效应力替代”。 在本文中应用应变等价原理和根据竹内洋一郎的热应力一书而提出的线性温 度近似后，得到损伤和温度对材料常数的影响，综合这二者，可以采用如下的形式： e = e 。( 1 一d ) 0 一f ) ( 5 1 ) y = y o + ( ；一y o ) 玎 k = k ，( 1 一d ) g ：g , ( 1 。- d ) ( 1 - ，g t ) 1 + 乒g ，3 k ， y = 一( 1 一d ) ( 1 一乒) 五，= a o ( 1 一f r ) c ，= c o o + 伊) 幻 ” d 佰 佰 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章裂纹型损伤 k ：土：型二璺：k 。坠旦 p c ，pc o ( 1 + f )”( 1 + 口) ( 5 8 ) 其中掌= 1 l ，l 是材料的特征温度( 其值一般接近材料熔点的温度) ，它反映了材 料特性随温度的变化。泊松比的选取形式可以保证温度升高t 卅时( 固体可能已经成为 液体) 泊松比是；，即体积不可压( 在不考虑损伤的情况下) 。另外新引进一个参数萨九。 p c ，k 为导温系数，砀为其对应的常温时的值。实际上选定了杨氏模量和泊松比后即 可得到体积模量和剪切模量 k 2 而e = 嘉3 1 端12 v = 嬲刈圳3 ( 1 2 y )一2 一( 一o ) 伊】3 ( 1 2 y 。) 一5 ”一7 g ：旦：曼! ! ! 二里2 1 1 二塑2 ：鱼! ! ! 二里丛! 二塑2 2 ( 1 + y ) 2 1 + v o + ( ；一v 0 ) o r 1 + 伊g 。3 k ， 这和本文直接做线性温度软化近似结果是一致的。在本文的算例中，用到了材料参数 和损伤、温度的关系。 中国科学技术大学硕士学位论文 第五章内爆柱壳 第五章粘塑性模型在柱壳破裂问题 中的应用 金属管在内部爆炸载荷加载下的破裂规律问题在许多领域有重要的应用背景，特 别在军事工程和材料动态力学性能的研究中，该问题更有实际意义。本章中我们考虑 粘塑性模型在这一问题中的应用。 5 i 含损伤和温度软化效应的本构方程 在第二章中，我们已经知道在应力空间中，采用表观应力。和内变量幺 ( a = 1 ，2 ，n ) 、损伤d 、温度t 及应变率因子f 直接表达时，一般形式的时率相关屈 服准则为： o ( o ，f ，吾。，d ，t ) = 0 ( 1 ) 如果能从上式解出f 的显示表达式，则( 1 ) 可以写为： 拿= f ( a ，于。，d ，t ) ，f ( a ，六舌。，d ，t ) = f ( a ，毒。，d ，t ) 一拿= 0 ( 2 ) 取应变率因子f 为等效塑性应变率7 强p z 阿= 蕊 内变量取为f = 矿( 塑性功) ，使用b o d n e r 幂函数模型： 一- - p 。静c t 卜f 否= 厕丽 ( 3 ) ( 4 ) 这里：占。为准静态材料的应变率，y = y “- 功口- f 刁。e 为弹性模量，e7 为弹塑性硬 化模量，矿为塑恸妣z 詈器”d ) ( 卜o r ) ，孑= 际为等效鱿y 在简单拉伸的线性硬化模型的塑性问题中物理意义很明显：即准静态占9 =