（计算数学专业论文）两类非线性偏微分方程的有限差分方法模拟.pdf

摘要 研究模型方程具有广泛而深刻的物理背景靼现实意义，不仅在流体力学领 域，i i 露且在众多物理学科中人们已对它产生了很大的兴趣，雨它去解释和揭j j 专 穗耨的物理理象每本壤，美于黪线馊方程的数值鼹法一直以来是微分方程数值 求解研究的热点和难点本文主要考虑两类非线性方程的数假求解第一部分 考虑下歹| lb u r g e r s 系统觞餐逡篷鞫疆 豢= p 一王，枯一f 嚣2 + 协2 ) 妇，0 茹 弘0 s 墨 豢：“( i t - - 1 1 3 ) + f 笔一- - i ) ， z 弘 s 霉 丽= 链) + f 磊一+ 。( v 2 - - 镏) ， z群，000 o s2 ： 尝：扣+ 球) + p 岩+ 五a ，( 2 0 嚣 0 疋 丽= 嚣扣+ 球) + 扩百+ 否z ) ， 嚣 霄， 。2 ： u ( o ) = u o ，v ( z ，0 ) = t o ( z ) ，埘( z ，0 ) = “如( z ) ，0 兰芒s 玎， ( o ，t ) 一口，t ) = w ( o ，t ) = ( 7 r ，t ) = 0 ，0 f s t 的数假求解这一模型问题作为最藻本的非线性偏微分方程，在流体动力学， 声学领域意广泛瘦弱怼羹 ：阀熬建立一令c r a n k - n i c o l s o n 撵懿鑫限蓑分耧式，运 用b r o u w e r 不动点定理证明了差分格式的可解性，用离散的能量分析方法证明了 其稳定往、唯一佳和如范数下静二阶收簸佳，并给蹬了求解的迭代算法。茈外 还提出了一个线性的预测校正格式，数值结果表明预测校正掇式在上2 范数下也 具有二阶收敛性 第二部分考蠹了下裂鼹麓性广义正烈长波方程f g r l w 壤一声鞋z 瓣+ 2 k u z + 娃f 嚣p b = 0 ，聋( 0 ，1 ) ，【o ，列 “( g ，0 ) = t 吣( 。) ，g 【0 ，i 】 的数值求解在进行非线性扩散波研究时，广义正则长波方程因其描述大量重 要的物理璐象( 如浅承渡和离子波等) 而占有重要地位对此闻题应用降阶法建 立了一个守恒懿差分辏式，并熙证明了熬分掇式在五。魏数下的二除收敛性， 同时给出可解性和稳定性分析最厨给出了数值例子，验证了理论分析结果 关键溺：b u r g e r s 系统，广义嚣剩长泼方程，骞蔽差分辏式，收皴性，霹解 性，稳定性 a b s t r a c t s t u d y i n gm o d e le q u a t i o n sh a se x t e n s i v ea n dp r o f o u n dp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e ，n o to n l yi nt h ef i e l do ff l u i dd y n a m i c s 7b u ta l s oi nm a n yd i s c i p l i n e so fp h y s i c s p e o p l ea r ei n t e r e s t e di na p p l y i n gt h e mt oe x p l a i na n dr e v e a ln e wp h y s i c a lp h e n o m e n aa n dt h e e 鞋醐镡，i t i s 8 h o t a n d d i 燕c u t t t o p i c t o s t u d y t h e 强h 赶砖f i c a l s o l u t i o n s o f 镪e n o n l i n e a r e q u a t i o n s ， i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h en u m e f i c a ls o l u t i o n so ft w oc l a s s e so fn o n l i n e a re q u a t i o n s i nt h e f i r s tp a r t ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gi n i t i a la n db o u n d a r y b u r g e r s s y s t e m ： 塞= 尹一f o r ( v 2 + w 2 ) 鼢，o x i r , 8 e s 霉 0 。v = u ( v - w ) + 一象耐0v 2 一呐，。 z 删 t s t 蓑= 卅回+ r 象+ 熹f 删， 善 删 t 霉 u ( o ) = 钍o ，v ( z ，o ) ；t 协( 霉) ，w ( x ，0 ) 一w 0 ( z ) ，0 9g w ， v ( 0 ，t ) ； ( 霄，t ) = ( 0 ，t ) = 叫( ，r ，t ) = 0 ，0 s t s t 巍h a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni nf l u i dd y n a m i c sa n da c o u s t i cf i e l d sa sab a s i cn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n w ec o n s t r u c tac r a n k - n i c e t s o n - t y p ef i n i t ed i 黥f e n c es c h e m ef o rb u r g e r s s y s t e m t h ee x i s t e n c eo ft h ed i f f e r e n c es o l u t i o ni ss h o w nb yb r o u w e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m 1 i sp r o v e db yt h ed i s c r e t ee n e r g ym e t h o dt h a tt h ed i f f e r e n c es c h e m ei su n i q u e 。s t a b l ea n d c o n v e r g e n tw i t ht h ec o n v e r g e n c eo r d e ro ft w oi n 鑫d i s c r e t el 奎- n o r m a ni t e r a t i v ea l g o r i t h m f o rt h ed i f f e r e n c es c h e m ei s 蟹：i v e i li nd e t a i l 。硒r t h e r m o r e 。ah n e a rp r e d i c t o r - e o r r e c t o rm e t h o di s p r e s e n t e d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r e d i c t o r - c o r r e c t e rm e t h o di sa l s oc o n v e r g e n t 硝拯t h ec o n v e r g e n c eo r d e ro ft w oi nad i s c r e t el 2 - n o r m i nt h es e c o n dp a r t 。锵c o n s i d e rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gp e r i o d i cp r o b l e m o fg e n e r a l i z e dr e g u l a r i z e dl o n g - w a v ee q u a t i o n ( g r l w ) ： 姓 一肛# 积+ 2 七缸g + 口( 舻b = 0 ， 茹( o ，1 ) ，t i o ，明， 嚣 墨，0 ) = o 毒，茹辫，1 1 i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e f o rd e s c r i b i n gl o t so fp h y s i c a lp h e n o m e n a ( s u c ha st h en o n l i n e a r t r a n s v e r s ew a v e si ns h a l l o ww a t e r ，i o n - a c o u s t i ca n dm a g n e t o h y d r o d y n a m i cw a v e si np l a s m a ，a n d s 。o n ) ；nt h en o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a , e sr e s e a r c h 。w ee s t a b l i s han e wc o n s e r v a t i v ed i f f e r e n c e s c h e m ef o rt h ep e r i o d i cp r o b l e mo fg e n e r a l i z e dr e g u l a r i z e dl o n g - w a v ee q u a t i o nb yt h em e t h o d o fr e d u c t i o no fo r d e r i ti sp r o v e dt h a tt h ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sa r ec o n v e r g e n tw i t h t h ec o n v e r g e n c er a t eo ft w oi nad i s c r e t e 正。n o r m s o l v a b i l i t ya n ds t a b i l i t ya r ea l s os h o w n a t l a s t ，蠢n u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e n 瓤d e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：b u r g e r s s y s t e m ，g r l we q u a t i o n ，f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，c o n v e r g e n c e ，s o l v a b i l - i t y , s t a b i t i t y 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学饿论文独创性声明 本人声骤所呈交的学位论文怒我个人在鼯掰指导下进行的研究工 筝及取褥 懿磷究成栗霉我联絮，除了文审特囊热戳弦鹱纛致涛懿逡方羚，谂文串不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学戏其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同卷对本研究所做的任何 贡献均疋在论文中修了明确的说暖并表示了澍意 二、关予擎位论文俊溺授较静谖鹋 筏名： 纽阵日期 0 8 p f ，t 器 东南大学、中网科学技术信息研究所，园家图书馆有权保留本人所送交学 位论文憋复印律帮电子文挡，霹以栗薅影印、缭窜或其德复制手段僳存论文 本人电予文档酶内容耱纸震论文翡海容稚一数除在保密期内懿保密论文岁 ， 允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊骚) 论文的全部或部分内容论文的 公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办瑷 签名：雄导师签名：翅：叁：当日期；皂墨! ! ：! 第一章b u r g e r s 系统初边值闽题的差分方法模拟 在进行粘性流体运动模型研究时，由于n a v i e r - s t o k e s 方程求解的复杂性，许 多接述旗镶瀛终运动静楚霞模型羧建立，其孛之一就是b u r g e r s 系统躲本文考 虑下歹i j 模拟管内湍流瑷象的b u r g e r s 系统的初逾值问题： d 面u = p 一”“一f o ：( v 2 + w 2 m ，。 茁 w ，。 t 竖t ， 警叫”刊+ ”髻一鑫睁w 2 ) ，。 z 棚 ；霉 筹叫”刊+ v 象+ 未毗o z 0 表求管中液 体的粘性方程( 1 1 1 ) 袋示主流加速、压力梯度、粘性阻尼和湍流阻尼之间的平 衡，其中积分项代表运动的湍流。髓懿对于这炎趣题已有了一些研究工作障i s 在文【2 】事，h o r g a n 霉lo l m s t e a d 讨谂了下襄b u r g e r s 方程缀 嘶u d 二= p _ v u - 如， 塞一铡+ 一象一2 v 塞，磊2 铡+ ”孬一磊， u ( o ) 一u o ，口( 。，o ) 一v o ( x ) ， v ( o ，) = 口( ，t ) = 0 ( 1 1 6 ) 1 1 7 ) ( 1 1 ，8 ) ( 1 1 9 ) 懿整终薅翡稳定蛙爨噍一瞧，在文 3 】孛，o l m s t e a d 鞠d a v i s 溺分裁了b u r g e r s 穷程组 ( 1 1 6 ) 一( 1 1 9 ) 有关稳定饺和分岔的问题在文f 4 】嘲中，d l o t k o 运用g a l e r k i n 方法在 咖，v o ，w 0 l 2 0 ，w 】的假定条件下，得到了方程组( 1 1 1 ) - ( 1 1 5 ) 和方程组( 1 1 6 ) ( 1 1 9 ) 弱解的存谯唯一性，阍时在一定的前提条件下，给出了方襁组( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 和方 毽缰f i a 6 ) 一l 。1 9 ) 吝典躲翡存在壤一经戆涯硬。在文觏枣，f i t z g i b b o n 采耀舞辑 半群藕抽象抛物型发殿方程有关瑷论得到了b u r g e r s 系统( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 的指数形 式的解然而，关于b u r g e r s 系统的数值解法研究还不是很多在文【8 中，k a n a n 和c h u n g 采用隐式的向后e u l e r 格式建立差分格式，但关于时间和空间步长只有 一酴穆度。 1 垄童查堂塑主兰堡垒塞丝三童曼! ! 墼墨丝麴望堡堡里竺董熊塞鎏堡丝2 本章瓣b u r g e r s 系统1 1 。1 ) 一 l + 1 + 5 建立一个c r a n k - n i c o l s o n 掇的差分掺式秘一个 线性纯酶预溺校正格式，并且证明了c r a n k - n i c o l s o n 型酶差分格式在己2 范数下酶 = 阶收敛性，关于线性化的预测校藏格式的收敛性等理论分析目前存猩一定的 困难，有待进一步研究+ 数值结果液明预测校藏格式也具肖二阶收敛性，并且 在误差攘巍懿揍瑷下，鞭测较正捺式豹运行黪越魄c r a n k - n i c o l s o n 型的麓分揍式 要短很多，提高了计算效率 本章分为六个小节第二节建藏一个c r a n k - n i c o l s o n 型的有限差分格式第 三节应用b r o u w e r 不动点定理证明了差分格式的可解性，用离散的能量分析方法 涯骥了其稳定挂、唯一瞧嚣收敛撩第篷摹绘穗求舞c r a n k + n i c o l s o n 登熬分强式 的迭代算汝第五节缭出一个线後的求解b u r g e r s 系统的预测校正格式第六节 给出了数假例子，验诫了差分格式的可靠性和有效性 l 。2 装分毯式懿建立 取步长h = 蠢，r = 罨，其中m 和n 是正整数记2 ：i = i h ，t 。= n r ，t 叶 一m + ) 7 - ， n = 魏10 鬟i 茎m ，q r = k 1 0 摊s ) ，q 互= q n r 设鬈一 够l0 s m ，o s # 为上鹃糍敬丞数，醇l 避如下记号； t o + 然：( t 露+ “? + t ) ，磊u ? + = ；( “? + t 一“) ， 如略5 2i ( n 髯，一乱) ，霹2 嘉( 艰，2 婶+ 孙，) ， 硐扩+ 1 1 2 = 兰翱u n + l 扩一| 矽囝， 设垓一 i = ( w o ，w 1 ， m ) ，1 0 0 = w a 4 ；o ) ，对于任意 v h ，w v h ，我们定 义如下的内积； 相应的l 2 一范数”| | ，日1 一范数i | 1 分别定义如下； = 厕，m = 方便起见，我翻定义麟数妒： 妒( 叩) t = 塑学塑2 h ， 定义网格函数： u ”= u ( t n ) ，叼= v ( x i ，如) ，张= w ( x i ，n ) ，0 i m ，0 托n 雠啦 ：i | 奶p 甄 墅娄墅主塑璧塞 篁三冀 呈! 矍竺至窦垫望堡堡矍塑蕊叁童耋堡丝 3 在。一 鲑考虑微分方程( 1 ，l 1 ) ，纛点妇，t 时；) 处考虑微分方程 1 。1 2 一l + 1 3 ) ，铡题 泰赣展式，有 以u ”+ ；= p 一泸+ 一( i v ”+ 5 1 1 2 + i i w ”+ ；1 1 2 ) + s ”+ ，o n 曼一l ，( 1 2 1 ) 燕矿3 = 矽”+ 毂譬“一孵+ 。) 蟛2 v ；n 帐一2 ( y n + ；，y 一 一妒( ” ，彬) + 譬十音，l s s m l ，o s 一l ， ( 1 卫2 ) 也瞄+ 5 = ”+ j 1 ( 2 1 + 时+ 。) + 堪孵+ + 2 p ( y ”，w n + ；k + 妒彰时差，矿8 喝竭+ q 7 + 妻，l s 掰一l ，。s 嚣一l ， 1 2 t 3 ) 由解的光滑性，存在常数c ，使得 | 扩+ | sc l 2 + 矗2 ) ， l 尊+ ：l c 1 ( f 2 + h 2 ) ， l s l m 圭，s 肄n 1 f 1 2 4 ) j q 7 + j 鬟c 1 ( r 2 + 2 ) ， 咯去方程( 1 ，2 。1 ) 一( 1 2 3 ) 孛豹，l 、爨璜o 2 + h 2 ) ，著注意到镪逮僮条件( 1 1 4 ) 一( 1 1 动 u o u o ，留= ( 瓤) ，w , o = 聊( 瓤) ，1 t m 一1 ， w 一1 哺= 仰百一w 嚣= 0 ，0 鬟竹n ， 砖尊线爨方程缰1 1 1 ) 一( 1 1 。鼙可建立燕下c r a n k - n i c o l s o n 蘩麓分黎式； ( 1 2 。5 ) ( 1 2 6 ) 魂t 叶；= p 一 一( t l v 十1 1 2 + 1 1 w ”+ 1 1 2 ) ，0 札髫n 一1 ，0 2 7 ) 填+ ；= 铲+ ( 谬* 一茸+ ) 十魍霹+ 一2 | 妒封时 ，矿冲主x 一妒f 帮”+ ，扩) f ，1 i 掰一王，。捧n i ，( 1 。2 墨 魂嵋+ = “十( 谚十 + t + ) + ”磋”? + + 2 l 妒( 矿”+ ，扩+ ；k + 妒( 埘”+ ；，扩+ k 1 ，1 s m 一1 ，0 竹s 1 ，( 1 2 9 ) = 谁，v o 一哟戤) ，t 毋一撕施) ，1 s m 一1 ， l 。2 。l 簿 谐= 口盔= 娟一盈= 0 ，0 量n s n + ( 1 2 1 1 ) l 。3 罄分格式可翳性、稳定性、唯一性和收敛性分析 在这一节我俺讨论差分格式( 1 + 2 7 ) ( 1 2 1 1 ) 的可解性、稳定性、唯一性和收敛 性首先，我们介绍兰个引理； 奎童查兰堡圭兰堡丝塞 篁三兰星! ! 墼至篁垫望堡堡望竺叁坌壅鎏堡堡 4 引理1 i s ，9 1 对于任意离散函数 ， v h ，我们有 ( 妒( v ， ) ，) = 0 ， ( i p ( 叫，叫) ， ) + ( 妒扣，叫) ，叫) + ( 妒( ，钉) ，郇) = 0 ， m - 1 ( 磋”，”) = - h ( 如+ ) ( 如哦+ ) z = 0 引理2 ( b r o u w e r 不动点定理) 【l o , a l l 设( h ，( ，) ) 是有限维内积空间，9 ：h 一日 是连续算子，且存在n 0 ，使得v z 日，i l z l l = o 有( g ( 。) ，z ) 20 ，则存在矿h ，使 得g ( z + ) = 0 且i p0 o 引理3 设m ( u ，”) 为定义在r r 上的双线性函数，则有 皿( 以v ) 一m ( “，u ) = 皿( u 一，v 一材) + 皿( u 一札，口) + 皿( ，v 一钉) ， 皿( u ，v ) 一皿( u ， ) = 一皿( u 一札，v 一) + 皿( u 一“，v ) + 皿( 矾v 一 ) 接下来，将应用上面的b r o u w e r 不动点定理证明差分格式( 1 2 7 ) 一( 1 2 1 1 ) 解的 存在性 定理1 差分格式( 1 2 7 ) 一( 1 2 1 1 ) 的解存在 证明用数学归纳法 设当n 0 则根擗引理2 可知，存在x + h 且l l x + 怯茎l i x “惰十警使得 f 溶4 ) = 0 。我秘取x 舯l = 2 x 一搿n ，容易验诞x 件1 满足麓分方程( 1 , 2 ，印一 l ，2 1 1 ) 定霪 蒌肇。 定璎2 差分格式( 1 2 7 ) - ( 1 2 1 1 ) 的解关予栅值是稳定的 证明将( 1 2 7 ) 淡两边同时澈以“n + ，甜 ；鑫 。牛i 户。尹酽；一雌+ ；严一嚣瓣 手+ 2 十自萨；2 将( 1 2 8 ) 的两边同乘以访+ 言，( 1 2 9 ) 的两边同乘以咄n + 三，并对i 从1 到m 1 求和， 碍 ；i t v 十；| 毫= 。，+ 毒| 蚺姜l 窖一。一十f t 矿+ ，2 严+ ) 一p 移”+ ；器十2 和f 咎n ，t 矿+ 孝x t 产毒嘉 ；魂| l 砷+ 1 1 2 = n 十 l | t n + j 1 2 + n 十 ( ”+ ；，t 盯n + ) 上，i 训”+ 5 l 2 f 妒( 矿8 + ，垂n + ， 矿+ 2 烈材n 十i ，铲+ ，钟时。 壅童叁燮塑圭堂竺塑蕊： ；： 篁三塞 皇! 些竺墨篓絮望堡堕里墅冀锺囊整型叁! 墼一6 将上嚣三令等式据撩，势鑫弓l 理1 ，司黧 ；陬( 铲+ - i ) 2 + 吱妒+ 1 1 2 + 6 l l w ”+ ；1 1 2 l ；p u n + 一( ”十 ) 2 一u + ；c i i , u ”+ 1 1 2 + l l 钾”十；i t 2 ) 十矿+ l l 。甜| | 2 一簦n g n + ，矿；) 一v j r + 癌 + 珏转+ i 矿+ | 2 + t ，+ f t 尹+ ；，l u i ) 一v l w + 潼 ：v + 一( t + ) 2 一l ，l 俨十倍v l w n + 1 i ， 瓣 孙( 缸幢) 2 + 驯扩十 1 1 2 + 剐妒；f 2 j + 一( 铒n + ) 2 + v 矿疆+ ”矿稚s + 5 寝耀c a u c h y - s c h w a r z 不簿裟，有 ：；1 = f 江”中1 ) 2 + l | 矿+ 1j l 巷十| f 髓昨+ 1 1 1 2 】一【t ) 2 + | 静”f 2 + f 甜”| | 2 】 + ( + ) z + ”伊钳+ ”1 w - + 椎曼瓦p 2 + j 1 “( u + 铲 美手n 获0 爨瓣一1 求秘，鼍霉 ( t p ) 2 + i i v 1 1 2 + * 删m | 1 2 十r p ( ( 扩+ ) 2 + 2 l “十瞎+ 2 彬“+ 曙) 竹i 一 n = o 基矿) 。妒扩十l 护扩+ 芋，l 绑竖赫 定理证毕 定壤3 差分貉式( 1 2 。一f 1 2 。1 1 ) 豹簿是难一髓。 证霹。假定( x - 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