2019年中考数学真题分类汇编第二期专题28解直角三角形试题含解析.doc

教学资料范本2019年中考数学真题分类汇编第二期专题28解直角三角形试题含解析编 辑：_时 间：_解直角三角形一.选择题 1.（2018江苏苏州3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A40海里B60海里C20海里D40海里【分析】首先证明PB=BC，推出C=30，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在RtPAB中，APB=30，PB=2AB，由题意BC=2AB，PB=BC，C=CPB，ABP=C+CPB=60，C=30，PC=2PA，PA=ABtan60，PC=220=40（海里），故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出C=302.（2018江苏无锡3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tanAFE的值（）A等于B等于C等于D随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EFAD，由该平行线的性质推知AEHACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解：EFAD，AFE=FAG，AEHACD，=设EH=3x，AH=4x，HG=GF=3x，tanAFE=tanFAG=故选：A【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求AFE的正切值转化为求FAG的正切值来解答的3. （20xx黑龙江哈尔滨3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，BD=8，tanABD=，则线段AB的长为（）AB2C5D10【分析】根据菱形的性质得出ACBD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，ACBD，AO=CO，OB=OD，AOB=90，BD=8，OB=4，tanABD=，AO=3，在RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键4.（2018贵州贵阳3分）如图，A.B.C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tan BAC的值为（ B ）（A） 1（B）1 （C）23（D） 33【解】图解2.二.填空题1.（2018江苏无锡2分）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30，则ABC的面积等于15或10【分析】作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在RtABD中求得AD.BD的值，再在RtACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得【解答】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，如图1，当AB.AC位于AD异侧时，在RtABD中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，则BC=BD+CD=6，SABC=BCAD=65=15；如图2，当AB.AC在AD的同侧时，由知，BD=5，CD=，则BC=BDCD=4，SABC=BCAD=45=10综上，ABC的面积是15或10，故答案为15或10【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理2.（2018江苏苏州3分）如图，在RtABC中，B=90，AB=2，BC=将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ABC，连接BC，则sinACB=【分析】根据勾股定理求出AC，过C作CMAB于M，过A作ANCB于N，求出BM、CM，根据勾股定理求出BC，根据三角形面积公式求出AN，解直角三角形求出即可【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：AC=5，过C作CMAB于M，过A作ANCB于N，根据旋转得出AB=AB=2，BAB=90，即CMA=MAB=B=90，CM=AB=2，AM=BC=，BM=2=，在RtBMC中，由勾股定理得：BC=5，SABC=，5AN=22，解得：AN=4，sinACB=，故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键3.（2018山东济宁市3分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏东 30的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D， 根据题意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在 RtCBD 中，CD=BCsin60=2=（km） 故答案为：3. （2018广西南宁3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：由题意可得：BDA=45，则AB=AD=120m，又CAD=30，在RtADC中，tanCDA=tan30=，解得：CD=40（m），故答案为：40【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tanCDA=tan30=是解题关键4. （20xx黑龙江齐齐哈尔3分）四边形ABCD中，BD是对角线，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=17【分析】作AHBD于H，CGBD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90，BCH+CBD=90，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，故答案为：17【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键5.（2018贵州铜仁4分）在直角三角形ABC中，ACB=90，D.E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分BCE，BC=2，则AB=4【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分ACD，进而可得出ACE=DCE，由CD平分BCE利用角平分线的性质可得出DCE=DCB，结合ACB=90可求出ACE.A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度【解答】解：CE所在直线垂直平分线段AD，CE平分ACD，ACE=DCECD平分BCE，DCE=DCBACB=90，ACE=ACB=30，A=60，AB=4故答案为：4三.解答题1. （20xx湖北随州8分）市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上已知ABC=DEB=45，ACB=30，BE=6米，AB=5BD（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AHBC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在RtABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长【解答】解：（1）ABC=DEB=45，BDE为等腰直角三角形，DE=BE=6=3答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AHBC于H，如图2，BD=DE=3，AB=3BD=53=15，在RtABH中，B=45，BH=AH=AB=15=15，在RtACH中，C=30，AC=2AH=30答：最长的斜拉索AC的长为30m【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）2. （20xx湖南郴州8分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为EAB=60，EAC=30，且D，B，C在同一水平线上已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米参考数据：1.414，1.732）【分析】由EAB=60、EAC=30可得出CAD=60、BAD=30，进而可得出CD=AD.BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度【解答】解：EAB=60，EAC=30，CAD=60，BAD=30，CD=ADtanCAD=AD，BD=ADtanBAD=AD，BC=CDBD=AD=30，AD=1525.98【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD.BD=AD是解题的关键3.（2018江苏宿迁10分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.（1）求BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）【答案】（1）BPQ=30；（2）树PQ的高度约为15.8m. 【分析】 (1）根据题意题可得：A=45，PBC=60，QBC=30，AB=100m，在RtPBC中，根据三角形内角和定理即可得BPQ度数；（2）设CQ=x，在RtQBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得PBQ=BPQ=30，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又A=45，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.【详解】（1）依题可得：A=45，PBC=60，QBC=30，AB=10m，在RtPBC中，PBC=60，PCB=90，BPQ=30；（2）设CQ=x，在RtQBC中，QBC=30，QCB=90，BQ=2x，BC=x，又PBC=60，QBC=30，PBQ=30，由（1）知BPQ=30，PQ=BQ=2x，PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又A=45，AC=PC，即3x=10+x，解得：x=，PQ=2x=15.8（m），答：树PQ的高度约为15.8m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.4.（2018江苏淮安8分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45的方向上，如图所示求凉亭P到公路l的距离（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）【分析】作PDAB于D，构造出RtAPD与RtBPD，根据AB的长度利用特殊角的三角函数值求解【解答】解：作PDAB于D设BD=x，则AD=x+200EAP=60，PAB=9060=30在RtBPD中，FBP=45，PBD=BPD=45，PD=DB=x在RtAPD中，PAB=30，CD=tan30AD，即DB=CD=tan30AD=x=（200+x），解得：x273.2，CD=273.2答：凉亭P到公路l的距离为273.2m【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答5.（2018江苏徐州5分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：1.414，1.732【分析】利用锐角三角函数，在RtCDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽【解答】解：在RtCDE中，sinC=，cosC=，DE=sin30DC=14=7（m），CE=cos30DC=14=712.12412.12，四边形AFED是矩形，EF=AD=6m，AF=DE=7m在RtABF中，B=45，DE=AF=7m，BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m【点评】本题考查了解直角三角形的应用题目难度不大，求BF的长即可利用直角等腰三角形的性质，也可利用锐角三角函数6.（2018江苏无锡8分）如图，四边形ABCD内接于O，AB=17，CD=10，A=90，cosB=，求AD的长【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出C=90，ABC+ADC=180作AEBC于E，DFAE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10解RtAEB，得出BE=ABcosABE=，AE=，那么AF=AEEF=再证明ABC+ADF=90，根据互余角的互余函数相等得出sinADF=cosABC=解RtADF，即可求出AD=6【解答】解：四边形ABCD内接于O，A=90，C=180A=90，ABC+ADC=180作AEBC于E，DFAE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10在RtAEB中，AEB=90，AB=17，cosABC=，BE=ABcosABE=，AE=，AF=AEEF=10=ABC+ADC=180，CDF=90，ABC+ADF=90，cosABC=，sinADF=cosABC=在RtADF中，AFD=90，sinADF=，AD=6【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=以及sinADF=是解题的关键7.（2018江苏宿迁10分）如图，AB.AC分别是O的直径和弦，ODAC于点D，过点A作O的切线与OD的延长线交于点P，PC.AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是O的切线；（2）若ABC=60,AB=10,求线段CF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5. 【分析】试题分析：（1）、连接OC，可以证得OAPOCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP=90，即OCPC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OCPE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可试题解析：（1）、连接OC，ODAC，OD经过圆心O，AD=CD，PA=PC，在OAP和OCP中，OAPOCP（SSS），OCP=OAPPA是O的切线，OAP=90OCP=90，即OCPCPC是O的切线（2）、AB是直径，ACB=90，CAB=30，COF=60，PC是O的切线，AB=10，OCPF，OC=OB=AB=5，OF=10，BF=OFOB=5【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形9.（2018山东烟台市8分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速在l外取一点P，作PCl，垂足为点C测得PC=30米，APC=71，BPC=35上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速（参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，sin710.95，cos710.33，tan712.90）【分析】先求得AC=PCtanAPC=87.BC=PCtanBPC=21，据此得出AB=ACBC=8721=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得【解答】解：在RtAPC中，AC=PCtanAPC=30tan71302.90=87，在RtBPC中，BC=PCtanBPC=30tan35300.70=21，则AB=ACBC=8721=66，该汽车的实际速度为=11m/s，又40km/h11.1m/s，该车没有超速【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键10.（2018山东济宁市8分）随着我市农产品整体品牌形象“聊胜一筹!”的推出，现代农业得到了更快发展某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角BAC=150，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9，15.6，如图2求保温板AC的长是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：0.86，sin90.16，cos90.99，tan90.16，sin15.60.27，cos15.60.96，tan15.60.28）【分析】作CEBD.AFCE，设AF=x，可得AC=2x、CF=x，在RtABD中由AB=EF=2知BD=，DE=BDBE=x，CE=EF+CF=2+x，根据tanCDE=列出关于x的方程，解之可得【解答】解：如图所示，过点C作CEBD于点E，过点A作AFCE于点F，则四边形ABEF是矩形，AB=EF、AF=BE，设AF=x，BAC=150、BAF=90，CAF=60，则AC=2x、CF=AFtanCAF=x，在RtABD中，AB=EF=2，ADB=9，BD=，则DE=BDBE=x，CE=EF+CF=2+x，在RtCDE中，tanCDE=，tan15.6=，解得：x0.7，即保温板AC的长是0.7米【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用11.（2018山东东营市8分）关于x的方程2x25xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中A是锐角三角形ABC的一个内角（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y210y+k24k+29=0的两个根恰好是ABC的两边长，求ABC的周长【分析】（1）利用判别式的意义得到=25sin2A16=0，解得sinA=；（2）利用判别式的意义得到1004（k24k+29）0，则（k2）20，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则ABC是等腰三角形，且腰长为5分两种情况：当A是顶角时：如图，过点B作BDAC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到ABC的周长；当A是底角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到ABC的周长【解答】解：（1）根据题意得=25sin2A16=0，sin2A=，sinA=或 ，A为锐角，sinA=；（2）由题意知，方程y210y+k24k+29=0有两个实数根，则0，1004（k24k+29）0，（k2）20，（k2）20，又（k2）20，k=2，把k=2代入方程，得y210y+25=0，解得y1=y2=5，ABC是等腰三角形，且腰长为5分两种情况：当A是顶角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=AC=5sinA=，AD=3，BD=4DC=2，BC=ABC的周长为；当A是底角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=5，sinA=，A D=DC=3，AC=6ABC的周长为16，综合以上讨论可知：ABC的周长为或16【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根也考查了解直角三角形12.（2018上海10分）如图，已知ABC中，AB=BC=5，tanABC=（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值【分析】（1）过A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求【解答】解：（1）作A作AEBC，在RtABE中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BCBE=54=1，在RtAEC中，根据勾股定理得：AC=；（2）DF垂直平分BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在RtBFD中，根据勾股定理得：BD=，AD=5=，则=【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键13. （2018达州6分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）【分析】过点C作CDAB，设CD=x，由CBD=45知BD=CD=x米，根据tanA=列出关于x的方程，解之可得【解答】解：如图，过点C作CDAB，交AB延长线于点D，设CD=x米，CBD=45，BDC=90，BD=CD=x米，A=30，AD=AB+BD=4+x，tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用14. （2018遂宁10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60，求山高BC（结果保留根号）【分析】作DFAC于F解直角三角形分别求出BE.EC即可解决问题；【解答】解：作DFAC于FDF：AF=1：，AD=200米，tanDAF=，DAF=30，DF=AD=200=100，DEC=BCA=DFC=90，四边形DECF是矩形，EC=BF=100（米），BAC=45，BCAC，ABC=45，BDE=60，DEBC，DBE=90BDE=9060=30，ABD=ABCDBE=4530=15，BAD=BAC1=4530=15，ABD=BAD，AD=BD=200米，在RtBDE中，sinBDE=，BE=BDsinBDE=200=100，BC=BE+EC=100+100（米）【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型15. （2018资阳9分）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30角，线段AA1表示小红身高1.5米（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D【分析】（1）在RtACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在RtBEF中求得AD=BE=18+x，由cosCAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsinCAD求得CD从而得出答案【解答】解：（1）在RtACD