（光学专业论文）虚光子对光学晶格中的经典和量子混沌的影响.pdf

摘要 摘要 本篇论文研究二能级原子和脉冲驻波光场的相互作j ； 系统，给山了该系统精确的相互作 _ l i 哈密顿蟮该哈密顿姑包含有旋转波近似f 忽略的1 r 能苗守恒项。该模犁是通常标准映射 模型的扩展。我们发现在旋转波近似r 被忽略掉的廿能馘守恒项或虚光f 过程对经典混沌和 量子动力学局域化有很人的影响。 利_ l j 此精确的哈密顿龌我们首先推出了光学品格中原子的经典0 州方程，利用数值方法 我们研究r 该体系的动力学相图，发现若驻波场频率曲，是的无理数倍，则系统扫：任何条 件f 都不会出现k a m 曲线。若驻波光场频率m ，魁万的有理数分数倍则动力学相幽出现 r 一个初值列席多条纠缠在一起的k a m 曲线，但是在一定的条什l j 该系统也转变为甘 k a m 系统。若驻波光场频率m ，与脉冲间隔r 的乘积满足定条什时，相对丁旋转波近似 的结果，j 能量守恒项或虚光子过群可增强、降低，其至完全抑制经典混沌。 利用该精确的哈密顿鼙数值求解了含时的薛定谔方程，研究该系统的量子动力学局域 化效应。发现在一定的受南条件f ，相对丁旋转波近似的结果，往等脉冲间隔情形一f ，虚光 子过程能够增强、降低，甚至完全抑制原子的能餐扩散：在不等脉冲间隔情形f ，发现了原 子的平均能磴随着时间的增加而增加，井出现的振荡行为。在我们的数值计算中没有发现 长时间的演化后的能量“平台”现象。与旋转波近似一卜的坌占论相比较，我们的模型扛仞始一 段时间内平均能量人丁罐子标准映射的能馘，以后很k = 一段时间山小1 餐子标准映射的能 避，当演化时间很长后，义人丁茸子标准映射的能鲑。同刚也研究r 波函数的几率分布通 过波函数儿率分布的范围也可以人概确定能苗扩散或抑制。 关键词：光学品格扩艘的标准映射，动力学局域化，经典棍沌，带子混沌 东南人学坝l 学位论文 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o nw es t u d yt h es y s t e mo fat w o l e v e la t o mi n t e r a c t i n ge x a c t l yw i t hap u l s e d s t a n d i n gw a v eo f l i g h tt h e e x a c th a m i h o n i a no f t h es y s t e m ，i sg i v e n ，t h en o n e n e r g y c o n s e r v i n g o rv i r t u a l p h o t o np r o c e s s e sn e g l e c t e di n t h e r o t a t i n g w a v ea p p r o x i m a t i o nr r 、 ，a 、i n c l u d e d t h e m o d e li se x t e n d e do ft h eu s u a ls t a n d a r dm a pw ef i n dt h a tt h en o n e n e r g y - c o n s e r v i n go rv i r t u a l p h o t o np r o c e s s e sn e g l e c t e di nt h er w a h a v eas t r o n ge f f e c to nt h ec l a s s i c a lc h a o sa n dq u a n t u m d y n a m i c a ll o c a l i z a t i o n w ef i r s t l ye d u c et h ec l a s s i c a lc a n o n i c a le q u a t i o no ft h ea t o mi no p t i c a ll a t t i c e sb yu s i n gt h e e x a c th a m i l t o n i a nt h ed y n a m i c a lp h a s em a p so ft h es y s t e ma r es t u d i e db yn u m e r i c a lm e t h o d ， a n dt h er e s u l t ss h o wt h a ti ft h ef r e q u e n c yo fp u l s e ds t a n d i n gw a v eo f l i g h t 甜，i si r r a t i o n a lt i m e s o f z r ，t h ek a m c u r v e sd on o te x i s tf o ra n yc o n d i t i o n s i ft h ef r e q u e n c yo fp u l s e ds t a n d i n gw a v eo f l i g h t 卯，i sl - a t i o n a l f r a c t i o nt i m e so d r ，s e v e r a lk a mc u r v e sa p p e a rc o r r e s p o n d i n gt oas i n g l e i n i t i a lc o n d i t i o na n dt h e s ek a mc u r v e sa r ee n t a n g l e dw i t he a c ho t h e r ，b u tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ， t h es y s t e mt u r n si n t on o n k a mi ft h ep r o d u c to ft h ef r e q u e n c yo fp u l s e ds t a n d i n gw a v eo fl i g h t o ) l a n dp u l s ei n t e r v a ltu n d e rc e r t a i nk i c k e dc o n d i t i o n ，n o n e n e r g y c o n s e r v i n go rv i r t u a lp h o t o n p r o c e s s e s ，c o m p a r e dw i t ht h e r e s u l t so ft h er w a ，c a ne n h a n c e ，r e d u c ea n de v e nc o m p l e t e l y s u p p r e s st h ec l a s s i c a lc h a o s t h es c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni ss o l v e dn u m e r i c a l l yb yu s i n gt h et i m e - d e p e n d e n tl t a m i l t o n i a n t h eq u a n t u md y n a m i c a ll o c a l i z a t i o ne f f e c t so ft h ee x t e n d e ds y s t e ma r es t u d i e d ，a n dt h er e s u l t s s h o wt h a tn o n - e n e r g y - c o n s e r v i n go rv i r t u a lp h o t o np r o c e s s e s ，c o m p a t e dw i t ht h er e s u l t so ft h e r w a ，c a ne n h a n c e ，r e d u c ea n de v e nc o m p l e t e l ys u p p r e s st h ee n e r g yd i f l h s i o nu n d e re q u a lp u l s e i n t e r v a lu n d e ru n e q u a lp u l s ei n t e r v a l ，t h ea v e r a g ee n e r g i e so ft h ea t o mi n c r e a s ew i t hi n c r e a s i n g t i m ea n dd e m o n s t r a t e o s c i l l a t i n gb e h a v i o r st h ee n e r g y “p l a t e a u ”d o e sn o ta p p e a ra f t e rl o n gt i m e t h e e n e r g yo f t h ee x t e n d e dm o d e li sg r e a t e rt h a nt h a to ft h er w aa ti n i t i a l ，a n di sl e s st h a nt h a to f t h er w aa f t e rap e r i o do ft i m e a n di nt h ee n di s g r e a t e rt h a n t h a to ft h er “，4 a g a i n t h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n so ft h ew a v ef u n c t i o na r ea l s os t u d i e d ，b yw h i c he n h a n c i n go rr e d u c i n g e n e r g yd i f f u s i o ni sa l m o s ta c q u i r e d k e y w o r d s ：o p t i c a l l a t t i c ere x t e n d e ds t a n d a r dm a p ，d y n a m i c a ll o c a l i z a t i o n ，c l a s s i c a lc h a o s q u a n t u m c h a o s 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名目期：竺! 匕：岁。7 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存沦文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借溷，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 铺高 绪言 混沌科学自诞生以来，就以其独特的魅力吸引着众多的科学家和研究工作者。灌沌现 象及其机制的研究，己发展到成为物理学士要研究领域之，在理论和实验两个方面都刘 混沌进行了j j 泛的研究。 在经典力学里，“混沌”是指一类具有不可预测行为的确定性运动。人们依据经典力学 提供的确定性的运动规律，成功地预言了种种天文现象，建造成无数按设计要求运动的器械： 然而，它也住一定程度上导致人们将运动的确定性与运动的可预测性等同起来，妨碍了对确 定性运动规律的止确理解。运动的确定性是一个数学概念，意指系统在任一时刻f 地状态s ， 被其初始状态受唯一确定。运动的可预测性却是一个物理概念，它意味着人们能依据逛动 地初始状态数据和运动规律推算山任一未米时刻地运动状态。由丁初始数据地测定不可能绝 对精确预测地结果难免存在误差。冈此，如果一个返动具有这样地特性，它使人们实际r 不可能得到具有最低限度精确地预测貉果。这样地运动即便是确定性地，也仍是不可预测性 的。1 9 6 3 年洛仑兹( e l o r e n z ) 发表了他_ l ： j 数值方法研究人气热对流模型方程时发现的 确定性非周期流。1 9 6 4 年，天文学家埃农( m h e n o n ) 与海尔斯( c ，h e i 】e s ) 在关于星糸中 星体轨道的数值研究中，再次发现了守恒系统中的不规则运动。他们的研究结果无可置疑地 表明，在经典力学里普遍地存在一种新的运动形式确定性混沌。 在认识到混沌在经典力学中地重要地位之后，人们很自然地会想剑将确定性混沌地概 念推广到冒子力学中去。按照玻尔的对应原理。将量子力学应用到宏观运动上所得的结果， 应该与经典力学的结果一致，故而力学系统的混沌特征，也必然要在量子性质上有所表现。 从2 0 世纪7 0 年代开始对经典混沌系统的量子力学行为，链子不规则运动的基本特征及其 与经皿混沌间的联系( 即量予混沌) 展开研究。经过近几十年的研究。人们从能谱的统计 涨落、定态波函数的形态以及波包运动的不稳定性等各种量子现象中，辨认出了一系列与 经典混沌行为有关的特征，即动力学演化特征、能谱统计特征、定态波豳数形态特征等，其 中的某些特征已在试验中被观测剑。 经典的标准映射是哈密顿系统混沌理论中研究的较多的模型之一。从它的哈密顿函数得 到标准映射频闪取样轨迹的递推公式，是一个单参数非线性扭转映射。虽然它是一个晟简单 的动力学模犁，但是它包含的许多性质对哈密顿系统具有普适性，所以契里可夫( b v c h i r i k o v ) 把它称作标准映射 1 。稳定区域与混沌区域的共存，稳定岛、不变环面与随机j 杰 的无限层次相嵌是该类系统相空间的一般特征。对餐子标准映射的数值研究，发现量子动力 学局域化 2 7 和量子共振 8 ，9 纯粹是由t 昔子效应而引起的现象。 萨蒂( g c a s a t ij 等人在最初的”r 作1 2 1 中就发现了量子共振和经典混沌扩散的鼍子抑制现象( 其厉人们又了 解到该现象与一维无序品格中电子运动的安德森局域化( a n d e r s o nl o c a l i z a t i o n ) 有密切联 系 3 ) ，即动力学局域化。标准映射虽然是一个抽象的理论模型， r a i z e n 和他的台作者利 用原子光学= l ：具在试验上首先实现，并观察到量子动力学局域化现象 1 0 。目前的试验，是 通过周期性驻波驱动激光冷却的原子来实现的，凳子标准映射的重要特征，量子的动力学局 域化现象 1 0 ，1 1 和量子共振 1 2 ，也都往试验上得到证实。景子标准映射也引起其他领域 的研究兴趣，如凝聚态物理 1 3 ，1 4 ，分子物理 1 5 i 6 ，茧子信息 1 7 ，1 8 等。 我们的i ：作是通过一个二能级原子和一个脉冲驻波激光场的相互作用系统，采月= i 半经典 理论，给出了该系统精确的相互作 j 哈密顿精。该系统在旋转波近似f 实现了标准映射模犁， 同时我们也考虑了在旋转波近似下被忽略掉的非能量守恒项或虚光子过程，推导山扩展的标 准映射模型，发现这些非能量守恒项或虚光子过程对经典泓沌和最子的动力学局域化都有很 强的影响。第一章利用二能级原子与一单色激光形成钧相干驻波场的相互作片 系统，建立扩 展的标准映射模型。第二章中重点研究了虚光子对光学晶格中原子的经典混沌的影响t 比较 了在旋转波近似f 和非旋转波近似下经典的动力学相图，由丁这些非能量守恒项或虚光子过 程的影响，该系统出现了在一定的条件下一个初值对应多条纠缠在一起的k a m 曲线和在一 定的条件下非k a m 的动力学行为：通过能量的计算在等脉冲间隔情形下，发现在旋转坡 东南人学坝f 学位论文 近似f 忽略掉的非能量守恒项或虚光子过程，在一定的受击条件一f 能够增强、减少甚至完全 抑制经典混沌。第三章重点研究了虚光子对光学品格中原千的罐子动力学局域化的影响比 较了往旋转波近似下雨 i t 旋转波近似f 的结论发现在旋转波近似f 忽嘴掉的1 | 能量守恒i 或虚光子过稗住等脉冲间隔情形h 虚光子过程能够增强、阶低，其至完全抑制原f 的能 精扩散：在不等脉冲间隔情形i - ，发现了原f 的平均能葡的k a , l 间行j 为随着时间的增加而增 加，并出现的振荡行为。在我们的计算中没有发现，艮时间的演化厉的能鼍“平台”现象。 同时也研究了这些情形r 波函数的儿率分布通过波函数儿率分布的范闻也可以大概确定 能量扩散或押制。 混沌运动是存在于自然界中的种普遍运动形式，所以对混沌的研究不仅推动了其他学 科的发展，而且其他学科的发展又促进了刘混沌的深入研究。因此，泄沌与其他学科相且交 错、渗透、促进，综合发展，使得混沌不仅在q 二物学、数学、物理学、化学、电子学、信息 科学、气象学、宇宙学、地质学还在经济学、人脑科学甚至在音乐、美术、体育笛多个 领域中得到了j “泛的应用。 2 - 第章脞论模型 第一章理论模型 我们考虑如f 物理模型，一个冷却的二能级原子与一单色激光形成的相干驻波场的相互 作_ 【： j 系统。一个二二能级原予在形式上类似r 口旋为1 2 的具有两个可能的态的系统。在偶极 近似f ，当场的波长人于原子的大小，二能级原f 与场的相互作腭在数学上等价丁一个自旋 为l 2 的粒子与一个含时的电磁场的相互作。 设一个_ 二能级原子的本征跃迁频率为，0 - 1 0 = ( 丘一e 一) 当它与频率为a 的 单模辐射场发生作用时就导致共振跃迁，采川r 经典理论，即将激光辐射场看成经典的、由 变兜斯韦方撑描述的电磁波场：将| 二能级原子石作州薛定谔方程描述的耸于力学系统，可得 到此时系统的哈密顿鼙： n z 1 一 = 一+ 二疗甜。仃一厨叵 ( 11 ) 2 卅2 ” 。 该哈密顿每中役有考虑经典辐射场的，其中e 是脉冲驻波光场，且有 e = e 。c os xc o s6 9 t( 12 ) h j 相互作刚表象对式1l 进行表象变换( 全部推导过程见附录a ) ，得t 山该相互作用系统精 确的哈密顿晕( 没有做旋转波近似) ： h ：里二+ 土 瓯盯：一土a q c o s k l x ( 盯+ + a 一) 一；a q c 。sk 。x ( 盯+ e 2j “2m2 。 2 + 。2 “、 式l3 中最后一项击h e 2 c o s k j 盯+ e 2 ”+ 盯e ”) 描述处在基态的原子发个光_ r 并且 跃迁到激发态或从激发态吸收一个光子跃迁到基态的两种跃迁过程。此时光场与原子相互作 j ； 系统的能量政变量为a e = e ! 一e 1 + h c o f = 【) + h e ) ，它远大丁零系统的能量不守恒 所以通常把它略去，称为旋转波近似。所以在旋转波近似f ，系统的哈密顿域为： 日：+ l 土 j ，+ 壁c o sz ( 女，x ) o (14)z 2 m 1 2 “4 6 “j 由于我们考虑的是激光平原子的强相作j _ _ | 特别义是研究它的动力学| 生质，般保留这1 f 能量守恒项，称为虚光子过程。 把该哈密顿量用矩阵表示，则有 一f e t 。 h ：一圭h 6 | 其叽厂= 皿届c m 。s 州，q = 篆 对角化后有 。媳肛鬲磊磊蕊丽 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 在人失谐情形+ 卜( o p l h 8 1 耐i q i c 。s ( 七，x ) c 。s ( ，) i ) ，式16 进一步简化为 毕娥+ + 等鳓矗c 刊吧 t ， 该相互作用系统的态函数写成： 一3 ， 瓯 卉 0 ：州 “ 母 ，。l = h 东南大学帧f 。学位论义 i v ) = a ( t ) t 1 ) + b ( t ) 1 2 ) 糍； 薛定谔方程为： 崛鼢域泖跚 。， 由j 二失谐较人，原子从低能级跃迁剑高能级的儿率很小冈此只需考虑低能级即可，所以系 统的哈密顿量为： 划；+ t + 等c o s 2 心小0 s 2 j 叫+ 圭峨+ h 拙f ) 2 c o s 2 ( c o l t ) + 等c o s ( 2 k l x ) c o s 2 ( c o , t ) ( 11 0 ) 由于圭a 帅警c o s 啊以利用表象变换把它们去掉a 所以，该驻波场的电场在周期 为y 的脉冲作用f 与激光场发生相互作川的哈密顿苗： h t l ! = 2 p m 2 + 4 k c o s ( 2 k j x ) c o s 2 ( o l f z j ( f n 7 1 ) i1 1 其中k = 等，吐露e o h 是拉比共振频率。 令j = p 2 k f 0 = 2 k ，= m 4 k ；，式i 1 1 可写为 h * = 等+ 4 k c o s 曰c o s 2 ( 州f i ( t n t ) ( 1 1 2 该哈密顿相应的动力学正则方程为 坐：一坠：4 聪n ( 臼) c o s 慨f ) 妻万( 丁) ( 11 3 ) d t0 0“，= 、 塑：型： ( i1 4 ) d ta i 对式1 13 、式l 1 4 在一个脉冲时间( h f ，( ”+ 1 ) 瓦+ 1 一) 内积分，司得到系统的筹分方程为 f j 。+ l = ，+ 4 k c o s 2 ( 肝l t 。) s i n ( a ) 1最+ ：或+ 以+ 瓦+ 。， 坫 式1 1 5 即为扩展的标准映射模型。 由旋转波近似下的哈密顿姑式1 4 可知，若1 f 旋转波近似f 的系统哈密顿鼙式h l l 中 4 c o s 2 ( c o ，r ) = 1 ，则就是在旋转波近似r 的系统的哈密顿鼍： 日旋= 万j 2 + kc 。s f 量占( t - n t ) 旋转波近似f 的系统的差分方程 4 一 ( 11 6 ) 第一章理论模型 ij 州= 以+ ks i n ( o ，) l o o + i = o o + ，n + 1 瓦+ l ， “ 式11 7 就是标准映射模型。 由式1 15 和式1 1 7 可知在非旋转波近似r ，相互作州项的常数系数比旋转波近似r 增 人了4 倍，并添加了o o s 2 ( n o ) ，l ) 这一项。对7 - o j l t o = m r c ( m = i n t e g e r ) ，7 ：。= f ，住 4 k 1 的情形f 经典的动力学行为进入全局性混沌。所以1 能域守恒过程或虚光二= _ _ 过科 的影响，在1 f 旋转波近似r 系统将更容易进入掘沌。 ，5 东南火学坝l 学位论文 第二章虚光子对光学晶格中原子的经典混沌的影响 2 1 标准映射 为了研究扩展的标准映射模型，先简单介 “一r 标准映射的动力学性质。标准映劓是 个单参数1 r 线性扭转映射是描述的标准映射，它的动力学性质己由契里可丈、格林岬 以 及麦克凯 2 0 l 等人作过详细研究。k = 0 时系统可积，所有的运动轨迹都被限制在j = 常数 的直线上；k l 时规则运动占优势，k a m 环面把( i ，曰) 相平面分成许多互不相迮的共振 区；当k k ，z09 7 时横贯整个口区的最厉一个k a m 环面破裂混沌轨道在臼方向的 运动不再受到限制，进入整体混沌阶段。_ 卜面我们按参数k 的变化简单介缃标准映射的动 力学行为。 2 1 1 不可积参数k = 0 的动力学相图 当k = 0 时，标准映射变为 ( 蠢 _ ( 钆i 川， 由式2 - 1 可知我们令丁= t 对丁任何”以2 j o 。当j o 3 云万，是一个周划m 的 周期性的运动轨迹( 周期性的点组成) ，也就是说经过m 次迭代后，将重复白身运动( m o d 2 口) ：如果j o 是有理数，眈永运不会重复，运动的轨迹是一条线，如图2 1 所示，见文献【2 1 。 1 蔓就是说此时系统可积，所有的运动轨迹都被限制在j ：常数的直线上。 图2 1 标准映射动力学相图( 见方程2 1 ) 。山( 山= 面n 丌) 是无理数刚，运动轨迹剥应一些 离散的点；厶是有理数时运动轨迹是一条线u 第一二章虚光于对光学晶格中原子的经典混沌的影响 2 1 2 不可积参数k 0 的动力学相图 在l = 瓦+ 。的情形r 因为t 羊l | i 不影响计算，我们让丁1 = 1 。对于标准映射，随 着不可积性参数从零稍微增加，周期 彳的轨迹，将变为椭吲点或者戏曲点，见幽2 2 ， 上述的直线将变为k a _ m 环面。不可积性参数k l 时规则运动i 优势，见幽2 3 平【i 幽2 4 。 可积系统界轨环面邻域的运动是极不稳定，任何微小的不可积扰动作用将使界轨环而破裂， 而导致附近的轨道具有及其复杂和随机行为这就是随机层的形成。标准映射可以看作一个 n = 2 自由度1 f 退化不可积哈密顿系统的相空间轨道在 图22 标准映射动力学相图( 见方程1 17 ) ，图23 标准映劓动力学相图( 见方程117 ) 其中k = 0 0 0 1 初值同图21 。其中k = 0 0 1 ，初值是随机数。 圈2 4 同图2 3 但k = 0 1图2 5 同图2 3 ，但k = 0 5 p o i n c a r e 截面上的映射，因而在弱不可积性f ( k k ，时标准映射的随机层弥合成为整体的随机海，但也存在一些 稳定的小岛，如图2 8 。随着参数k 的增人，随机海的区域扩大其中相点的运动也变得越 来越平滑而接近于通常的随机过程如图29 。 图2 6 同图23 ，但k = 0 8 图27 同图2 3 ，但k = o 9 7 1 6 图2 8 同图2 3 但k = 3 0 图2 9 同图2 3 ，但k = 6 9 5 2 2 扩展的标准映射 2 2 1 不可积参数k = 0 的动力学相图 当k = 0 时，扩展的标准映射模型变为 ( ；：j ) = ( 口。+ 0 。+ r + ；，) ( 2 2 ) 第一二章虚光子对光学品格中原子的经典混沌的影响 由式2 2 可知当7 ：| = + ，此时该模酗的动力学行为和标准映射k = 0 的情形是一样的。但 当l 瓦在一定的情形卜，当山= 茜万时例如l = n m ( m 是小整数) ，也会山现 周期性的运动轨迹( 周期性的点组成) ，如幽21 0 所示。 图21 0 扩展的标准映射动力学相图( 见方程i 1 5 ) 初值同图2 i 。 山 无理数时且l = n 1 1 时，运动轨迹也对廊一些离散的点：山是有理数时t 线。 2 2 2 不可积参数k 0 的动力学相图 我们的扩展的标准映射模型在此情形f 考虑了非能鼙守恒项或虚光子过程，使得相图 更加复杂。 首先研究瓦= l + 。的情形，即该驻波场的电场在周期为t 的脉冲作州f 按6 函数变化， 所以可以通过变换去掉丁，取t = 1 。我们分f 面两种情形变化频率研究扩展的标准映射模 型的动力学行为。 i 埘，= ( 川口) 丌( 0 a 1 ) ( d 是无理数) 当k 非常小时，对于标准映射，相图基本上由k a m 曲线组成，而在我们这种扩展的 标准映射模型情形下，埘，= ( m 口) 7 ( 0 口 1 ) ，且t r 是无理数时，k a m 曲 线一开始就不存在，系统转变成一种n o n k a m 系统【弘2 3 l ，如图21 1 所示。这种 n o n k a m 系统，实际上是一个退化的系统，它不满足k a m 定理，所以不存在k 削m 曲 线，即使受到外部很小的驱动参数，系统也不存在k a m 曲线。一个典型的例子是由 z a s l a v s k y 等介绍的受击谐振子2 ，描述一个带电粒子在磁场中运动并收到一个波包的微 扰，这样的模型也被用来描述一个离子受陷丁谐振子势阱中【2 6 1 。在我们的扩展的模型中， 从图可以看出，在k 非常小时相图没有k a m 曲线和规则小岛，而是以随机网为主要特 征，沿着这些随机网产生扩散，见图21 2 、图21 3 、图21 4 。当足逐渐增人，这些带状的 随机层变得越来越大，最后扩散到整个相空间，见图2 1 5 、图21 6 、图21 7 、图2 1 8 、剀 21 9 。这些现象的产生，在我们扩展的模型中主要是由于c o s 2 ( ”口玎) 不是的周期函数， 也不是j 的周期函数。 - 9 一 东南大学坝l 学位论史 j e j e 图zl i 扩簌的标准映射动力掌幸甘图( 见方程1 1 5 ) ，其中墨= o o o l 。口= 三：b 图足a 万 幽虚线框中的圈放大。 图2 1 2 同图2 1 1 ，但k = o 0 1 ，口= 寺 图2 1 3 同图2 l l ，但k = oo la = 寺 ) 石 1 0 - 第二章虚光子对光学晶格中原于的经典混沌的影响 图2 1 4 同图21 1 但k = o 0 1 ，口= 1 9 t r 图2 1 5 同图2 ，1 1 ，但k = 0 0 4 ta = 1 7 z r 圈2 1 6 同图2 1 l ，但k ：o ，0 8 口：石1图2 1 7 同图2 ，1 1 ，但k = o 1 5 ，口= 去 a “ 图2 1 8 同图2 1 1 ，但k = 0 2 5 ，“= 1 7 z r 图2 1 9 同图2 1 1 ，但k = 0 3 ，口2 1 1 7 n i i l = ( m + _ p q ) z c ( p ，q 是两个不可通约的正整数) 在根小的不可积参数k 下往日不是很人的情形下，它的相图绝大部分还是k a m 曲 东南火学顺i 。学位论文 线组成，但我们的扩展的标准映射模型硐i 标准映射模型下k a m 曲线的有所不同。既然 nnn c o s 2 ( 聆7 r ) = c o s 2 ( 丌) ，c o s 2 ( 2 丌) ，c o s 2 ( p 厅) 在一个映射周期中有q 个值，所以在 q qq 扩展的标准映射模型中，k a m 曲线，相对于旋转波近似下的标准映射，相同的初值，1 f 旋 转波的k a m 曲线分裂成q 条，并且这目条k a m 曲线相互纠缠交织在一起。这些k a m 曲 线的交点不是双曲的同定点，但是随着k 的增人混沌先从这些交点附近产生。从图22 0 到i 划22 9 的相图，可以得到随着q 的增人( 在q 人于1 0 以后) ，椭圆岛逐渐消失；同时从 图22 0 到蚓22 5 的局部放人图，可以得到随着q 的增大，k a m 曲线分裂的条数在增大； 但是在口火丁1 0 以后，k a m 曲线由丁条数的增加，变得不清晰，由连续的曲线开始变得 断续；q 大r2 0 以后，如图2 2 6 所示，分裂的k a m 曲线从外表看，成一带状，放大后， 曲线不再连续，k a m 曲线也不存在系统也变成为n o n - k a m 系统。在我们扩展的模型 1 1 中，也发现了在j = - l 2 z 和j ：n l ) 2 口周期q 椭圆固定点( 不同于标准映射下椭圆的周 qq 削性l 州定点) ，如图2 2 7 2 2 9 所示。随着k 的增火，这些周期性椭圆轨道分裂，形成高阶 的椭圆轨道。随着k 的进一步增大，进入全局性混沌。需要强调的是，和标准映射不一样， 混沌轨迹能够进入这些椭圆轨道。当q 寸o 。 最斤函数c o s 2 ( n 旦石) 变为月的非周期函数。 q 函数c o s2 ( 旦口) 的周期随着g 的增大而增大 q 逐渐增加不可积参数世下，和标准映射一样 系统进入全局性混沌如图22 8 、图2 3 0 、图23 1 、图2 3 2 所示。 图2 2 0 同图2 1 1 ，但k = 0 0 1 ，p = 1 ，q = 2 。右图是左图虚线框中的圈形放大c 1 一芒碧苎竺塑邕争掣学芸型竺爱j 鬯哆氅 。一 一1 2 第二章虚麦子对光学晶幡中原子的经典混沌的影响 图2 2 1 同图21 1 ，但k = 0 ，o l - p = 1 ，q = 3 。右圈是左图虚线框中的图形放大。 r 营一竺犁it ， 二j c 一= = ，= b 。三i 善 一一一 图22 2 同图2 ，1 1 ，但k = o 0 l ，p = l ，g = 5 。右图是左图虚线框中的图形放大。 圈2 2 3 同图2 ，l l ，但k = o ，0 1 p = i ，q = 1 0 。右图足左图虚线框巾的图形放大。 图22 4 同图2 1 l ，但k = 0 0 1 p = l ，叮= 1 3 。右图是左圈虚线框巾的图形放大。 1 3 东南人学顺卜学位论文 图2 2 5 同图2 1 1 ，但k = 0 0 1 p = 1 ，q = 1 7 。右图是左图虚线框中的图形放大。 图2 2 6 同图2 1 1 ，但k = 0 0 1 ，p = 1 ，q = 3 0 b 图是a 图虚线框中的图放大- 臣2 2 7 同图2 1 1 ，但k = 0 0 2 8 ， 图2 2 8 同图2 1 1 ，但k = 00 5 p = 1 ，q = 3 1 4 一 p = 1 ，q = 4 第一二章虚光子对光学晶格中原子的经典混沌的影响 圈22 9 同图2 1 1 ，但k = 0 0 1 7 p = 1 q = 5 图23 0 同图2 1 1 ，但k = 0 1 3 p = 1 q = 4 圈23 1 同图2 1 i ，但k = 0 2 p = 1 ，q = 4 圈2 3 2 同图2 1 1 ，但k = 0 2 5 ，p = 1 ，q = 4 其次，对于l 瓦+ l 的情形，即该驻波场的电场在不等1 9 n ，：的脉冲作_ i = jr 梭6 幽数 变化。在q = ( 卅) 月情形r ，非能螭守恒过程或虚光子过程能够完全抑制经典混沌， z n 这个现象在旋转波近似下是不会出现的。 在这种情形下，我f f j 作如下一些变换： 巧= 竿c ，+ 争云呷+ 寺 妲。， 其中0 9 是反冲频率。 q = 去a ( 1 + 专) 厅 = i i n t 。( o q 小y ( 1 + 寺弦 其中i n t 芸口 表示卷硼整数部分- y 表示参硼小数部玑 1 5 查空叁兰丝! ：兰丝堡苎 所以 n e o l t n = i n t 害生口】( + 1 ) 玎+ ，( + 1 ) 疗 ( 25 ) 倒 则有 c o s 2 ( n r o ，瓦) = c o s 2 ( t ( + 1 ) 疗)( 2 6 ) 由j 在试验中反冲频率( o r 的龄级一般为1 0 6 ，光场频率( n a ) 的量级一般为1 0 ”，所以由 式2 3 可知瓦是e 秒量级。我们在研究相幽时需要迭代很长时间，所以在经典情形r ， 不等问隔脉冲不方便研究。 2 3 扩展的标准映射模型的能量扩散 首