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汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 ( 摘要) 汽车嚣送揍贯黪鸯瑟装萎戆结构较复杂，影状交健蹇较大，为了搜设计方案满是所有 的设计要求和性能指标，需要进行结构优化设计。本文运用最优化设计的卡埘关理论，剖 析了麓鼗蕊解法隶熬袋饶能游题静三耱方法，建立了采臻增广拉辏鞠毽黍子法求解终素 问题的汽车后送伤员附加装置结构数学模型。讨论了约束极值点存在条件，并运用收敛 往瑗论对数学模型酶迭代收敛性遴行了糊戮。采用有限元方法对三维模蘩进行丽稽巅 分，输入优化目标、变量和约束，建立边界条件，最后采用n a s t r a n 软件的增广拉格 朗翻乘子法完成附加装置中立柱和支臂的数值仿真。计算结梁是支臂质量减轻3 4 6 9 ，优 纯窭达到1 1 鼹；装蟹霞量减轻5 。3 0 8 k g ，优纯率达到9 1 2 。为卫生装备豹结构优纯设 计提供了种有效的数值研究方法。 采焉傻纯结果建立了瓣潮装鬟瓣整体育羧元摸鍪，礁定了逮爨聚髂，诗葵出了鼹鸯鬟 装鼹的静力学响应。为装备设计提供形象直观的设计依据，从而可以在一定程度上替代 物躞试验，指导卫生装备静结梅设计。 建立了四自由度的汽车动力学模型，得到运输车后轮受到的高度为1 0 m m 的脉冲激 励时车厢中部的振渤加速廉响应，以此为激励源，计算了附加装置整体的动力学响应。 算考虑了枣、无减攘器两耪工况。计算结黎表瞻奁幼载蘅作用下可满足强度要求。 通过对附加装澄担架支臂静挠度测试和车载工况道路邋应性试验，进行了试验结果 与数篷蒺毅结采麴怒毙，骏涯了裂麓缝稳貔纯技j 拳设诗产熬戆可冀瞧。 关键谲结构最伉纯设计数德仿真静力学响应动力学噙应 r e s e a r c ho nt es i r u c t i c s a l0 p t i m i z 枷o nd e s i g no fa d d e d e q u i p m e n t f o r t r n s p o 盯i n gt ew o u n d e do rs i c ko nt et r u c k ( a b s t r a c t ) a d d e d e q u i p m e n tf o rt r a n s p o r t i n gt h ew o u n d e d o rs i c ko nt h et r u c k ( f o r s h o r ta s “a d d e d e q u i p m e n t ”) h a v eac o m p l i c a t e ds t r u c t u r ea n dav a r i e t yo fs h a p e w en e e das t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o nd e s i g nf o rt h ea d d e d e q u i p m e n ti no r d e rt o m a k ec o n t e n te v e r yr e q u e s ta n d g u i d e l i n e t h i sp a p e ra n a l y s e st h r e em e t h o d sw h i c hf i g u r eo u tt h eq u e s t i o no no p t i m i z a t i o n d e s i g nb yt h eo p t i m i z a t i o nt h e o r y , e s t a b l i s h e sam a t h e m a t i cm o d e lo ff i g u r eo u tt h eq u e s t i o n a b o u tc o n s t r a i n tb ya u g m e n t e dl a g r a n n a nm e t h o d ，d i s c u s s e st h ec o n d i t i o no fe x i s t e n c eo n c o n s t r a i n te x t r e m u m ，j u d g et h ei t e r a f i v ea s t r i n g e n c yo fm a t h e m a t i cm o d e lw i t ht h em e t h o d o ff i n i t ee l e m e n tm e s h st h es o l i dm o d e l ，i n p u t st h eo b j e c ta n dt h ev a r i a b l e sa n dt h ec o n s t r a i n t i th a sb e e nd o n et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h ea r l na n dt h es t a n do ft h ea d d e de q u i p m e n t w i t l lt h ea u g m e n t e dl a g r a n g i a nm e t h o do fn a s t r a ns o f t w a r et h ec o n c l u s i o ni st h a tt h e w e i g h to f a r ml i g h t e n3 4 6g r a m s a n dt h eo p t i m i z a t i o nq u o t i e t yi s1 1 - 3 a n dt h ew e i g h to f t h e a d d e de q u i p m e n t l i g h t e n5 3 0 8g r a m sa n d t h eo p t i m i z a t i o nq u o t i e t yi s912 t h i ss i m u l a t i o n p r o v i d e a l le f f e c t i v en u m e r i c a lr e s e a r c hm e t h o df o rt h es t r u c t u r e o p t i m i z a t i o nd e s i g no f m e d i c a l e q u i p m e n t a f t e r w a r dt h i sp a p e re s t a b l i s h e sf i n i t ee l e m e n tm o d e lo fa d d e de q u i p m e n tb yo p t i m i z e c o n c l u s i o n ，d e f i n e st h eb o u n d a r yc o n d i t i o n ，c o m p u t e st h es t a t i cs t r e s sa n dd i s p l a c e m e n t t h i s c o n c l u s i o n l a y s av i s u a l i z ea n di n t u i t i o n a lf o u n d a t i o n sf o rs t r u c t u r e d e s i g n ，a c c o r d i n g l y s u b s t i t u t e sp h y s i c a le x p e r i m e n ta n di n s t r u c t st h es t r u c t u r a ld e s i g no f m e d i c a l e q m p m e n t w ed e v e l o pt h ef o u r d e g r e e - o f - f r e e d o md y n a m i cm o d e lo ft r u c k i ti s c o m p u t e dt h e d y n a m i c ss t r e s sa n dd i s p l a c e m e n to fa d d e de q m p m e n tw i t ha n dw i t h o u t v i b r a t i o na b s o r b e r s u n d e rv i b r a t i o na c c e l e r a t i o ni nt 1 1 em i d d l eo ft r u c kw h i c hg e tt h ei m p u l s eo f1 0c e n t i m e t e r h e i g h t t h ec o n c l u s i o ni n d i c a t e st h es t r u c t u r ed e s i g nm e e t t h er e q u e s to fi n t e n s i o nw i t ht h e e f f e c to fd y n a m i c sf o r c e b yt e s t w i t ht h e d i s p l a c e m e n t f o rt h ea r mo fa d d e de q u i p m e n ta n de x p e r i m e n tt h e a d a p t a b i l i t yi t i so f a d d e d e q u i p m e n t o n r o a d w a y , c o m p a r e d t h er e s u l t so f t e s tw i t ht h er e s u l t s o fs i m u l a t i o n s ，p r o v e dt h ed e p e n d a b i l i t yo fa d d e de q u i p m e n tb ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n d e s i g n k e y w o r d s s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nd e s i g n n u m e r i c a ls i m u l a t i o ns t a t i cr e s p o n s e d y n a m i c sr e s p o n s e 一 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 l ，1 引言 第一章绪论 汽车后送伤员附加装置( 以下简称附加装置) 是一种战时安装在军用运输汽车上后 送担架伤病员的装置。其结构为两侧立柱带稳定底座式的担架支架，如图1 - 1 所示。由 立柱总成、担架支臂总成、联接纵粱总成、底座总成等组成，其与汽车车厢的联接为采 用栏板卡固装镫的可拆式结构。其中立柱管与担架支臂丰体的联接为套筒套接及承载 定位块支承和定位。立柱管与其它构件之间均为螺纹联接。担架支臂主体为悬臂梁结构， 是支承担架伤员的主要受力部件。为满足担架伤员的乘卧舒适性要求，在担架支臂主体 与导向托架之间螺接了减振器。 1 一担架支臂主体；2 一旋紧手轮；3 一紧定卡板；扣外担架支座；5 一导向托架；6 - - 内担架支座 7 一弹性卡板：8 一限位销钉；9 - 承载定位块；1 0 一立柱管；n 一橡胶块；1 2 一车厢木栏板卡固搭勾 1 3 一底座；1 4 一减振器；1 5 一联接纵粱；1 6 一车厢铁栏板卡匿i 搭勾 图卜l 附加装置结构示意图 为便于操作使用，该装置应具有体积小、质量轻、结构简单、使用方便、坚固耐用 等特点，且要求其与车厢的联接不改变车厢原有结构。由于附加装置的结构较复杂，形 状变化亦较大，为了使设计方案满足所有的设计要求和性能指标，最为行之有效的办法 就是进行结构优化设计。 结构优化设计就足在满足各种规范或某些特定要求的条件下使结构的某种广义性 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 能指标( 如重量、造价、刚度或频率等) 为最佳。也就是在所有可用的方案中，按某种 标准找出最优设计方案。 另外，附加装簧是车载装置，在运送过程中将受到来自路面不平度所引起的振动或 冲击作用，因此结构设计也必须满足动载荷下的强度要求。最后，考虑到伤员在运送过 程中的舒适性，在附加装置设计中还增加了减振器，通过合理设计使结构主振动模态的 节点落在乘员附近，从而有效地降低振动强度，确保乘员的舒适性。， 1 2 国魂外研究现状 外军对此类装置的研究和使用都较早。如前苏联在二战时期就研究和装备了几种 “回程空车附加装置”，并在实际使用中达到了较好韵效果。图l 一2 为前苏联在7 0 年代 装备的一种供卡车使用的担架支架装置。该装置一次可运送6 名担架伤员。 图1 2回程空车附加装置( 前苏联) 我军从6 0 年代开始进行此类装置的研究，井取得了一定的研究成果。其中8 3 型“载 重汽车运输伤病员附加装置”装备了部队。图1 - 3 为8 3 型附加装置的结构简图。 圈1 38 3 型附加装置的结构示意图 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 我所于2 0 0 1 年对现有装各进行论证后，发现8 3 型附加装置存在总质量较大、卡座 弓担架的兼容性不好、稳定性较差、安装拆卸不方便等问题。据此，经过总部批准我所 开始了汽车后送伤员附加装置的研制工作，装置的轻量化问题是本课题拟解决的关键问 题之。 传统的结构设计，要求设计者根据设计要求，凭借实践经验，参考类似的工程设计， 通过判断进行方案设计，然后进行强度、刚度、稳定性等各方面的计算。实际上这里的 计算只是对给定的方案作力学分析，仅起一种校核与补充的作用，以此证明原方案的可 行性。当然，设计者有条件时还需对几个可能的方案来进行比较，从而对结构布局、材 料选择、构件尺寸、结构外形等进行修改，以便得到更为合理的方案。 传统的结构设计的特点是所有参与计算的量必须以常量出现；而结构优化设计则是 设计者根据设计要求，将所有参与计算的量中部分以变量形式出现，形成全部可能的结 构设计方案域。在这个设计方案域中有众多的可行的设计方案和众多的不可行的设计方 案。优化设计实质上就是利用数学手段，按设计者预定的要求，从域中选出一个不但可 行而且最好的设计方案l l j 。 2 0 世纪5 0 年代以前，用于解决最优化问题韵数学方法仅限于古典的微分法和变分 法。5 0 年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论 基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容。此外，还有动态规划、几何规划 和随机规划等。在数学规划方法的基础上发展起来的最优化设计，是6 0 年代初电子计 算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法【2 1 。利用这种方法，不仅使设 计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复 杂的结构最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展， 成为应用数学的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。近十几年来，最优 化设计方法已陆续应用到航空、机械、铁路、造船、汽车、建筑等工程设计领域，并取 得了显著效果，正逐步用精确设计代替近似设计，期优化设计代替一般设计。 从文献资料来看，国内外研究的热点或尚需进一步研究的方向有3 h ”： 目前优化设计多数还局限在解决参数最优化这一类数值量优化问题。菲数值 量优化问题( 结构型式的选择) 还需进一步研究解决。 优化设计这门新技术在传统产业中普及率还比较低。 从理论上讲，优化设汁只能得到一个或多个局部最优方案，很难找到真正的 全局最优方案。 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 把优化设计与c a d 、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。 l j 论文研究内容 附加装置的第一代产品在8 0 年代诞生，2 0 0 1 年进行第二代产品的研制，虽然继承 了两代科研人员的设计经验，但从实际工程经验和大量试验结果来看，附加装置的结构 设计仍然存在着尚需改善的问题。为安全起见，在设计时常采用增大安全系数以获取较 大的强度裕度的办法来提高结构的可靠性，这样做不仅有很大的盲目性，还造成原材料 的不必要的浪费，而且与体积小、质量轻的设计要求也产生了矛盾。依靠设计经验为解 决这一矛盾而产生的设计方案1 i 一定是最优设计方案。在运送过程中，车辆受到的振动 和冲击通过车厢底板传递给附加装置，因此必须进行动载荷下的强度校核，确保设计方 案的可行性。据此，本文确定了如下重点研究内容： 刚加装置三维建模。应用s o l i d w o r k s 软件建立装置的三维模型，将此模型转换 到分析平台上，对模型进行网格划分，完成局部过渡，赋于模型合适的单元类 型和材料特性。 附加装置结构优化设计。分别进行支臂优化和立柱优化。在支臂优化中，以支 臂型材的3 个主要参数为变量，以重量最轻为目标，加上约束条件，来完成支 臂优化，确定型材的最优结构。在立柱优化中，以立柱的厚度作为变量，以整 个装置重量最轻为目标，加上强度要求的约束条件，来完成立柱优化，确定立 柱的最优结构设计。 对优化设计方案进行强度校核。不仅验证优化设计方法的可靠性，而且得到强 度校核的通用方法，以便用于其它装备的强度计算。 附加装置在运动载荷下的响应分析。以运输车后轮受到的高度为1 0 r a m 的脉冲 激励时车厢中部朐振动为激励源，分析按额定承载后附加装置的动态响应。进 一步检验优化设计方案的正确性。 试验验证与分析。对附加装置进行物理试验，从定量和定性的角度分析优化设 计方案的准确性和可靠性。 1 4 小结 本章介绍了附加装置结构优化设计研究的背景与国内外研究现状，结合现有附加装 置结构设计中存在的主要问题，提出了本文的重点研究内容。从t l 前卫生装备结构设计 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 的方法与状况以及未来发展趋势看，有必要通过本研究建立卫生装备结构优化设计的方 法，研究、发展适合卫生装备的结构优化设计技术，切实提高卫生装备研制水平。 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 第二章结构优化设计的理论基础 2 1 引言 结构优化设计工作一般包括以下两部分内容： 将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量，列 出目标函数，给出约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变 量之间的函数关系式： 采用适当的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件( 例如约束条 件) 下求解目标函数的极值或最优值问题。 设计变量是在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数。在选择过程中 它们是变量，但这些变量一旦确定以后，则设计对象也完全确定。在机械设计中常用的 独立参数有结构的总体布置尺寸，元件的几何尺寸和材料的力学和物理特性等等。设计 变量的数目称为最优化设计的维数，如有1 1 ( n = l ，2 ，) 个设计变量，则称为i 1 维设计 问题。一般情况1 - - ，把第i 个设计变量记为x i ，则全部设计变量可表示成： x = - - - - - xx 2 五气i ( 2 1 ) 在最优化设计中由各设计变量的坐标轴所描述的这种空间称为设计空间，设计空间中的 一个点就是一种设计方案。 目标函数是设计中预期达到的目标，建立目标函数就是将所追求的设计目标( 最优 指标) 用设计变量的函数形式表达出来。一般表示为： 厂伍) = 厂b p x ：，_ ) ( 22 ) 它代表设计的某项最重要的特征，例如性能、质量或体积以及成本等。最常用的情况足 以质量作为目标函数。在优化设计中，当只有一个目标时，称为单目标函数；在同一设 计中提出多个目标函数时，称为多目标函数，可以将它们独立列出来： 6 t t t ； 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 篆f 2 ( x ) - - 剽 工g ：，_ ) i ( x ) = ( ，x ：，屯) 也可以把几个设计目标综合到一起，建立一个综合的目标函数表达式 厂) = 妻厂似) ( 2 4 ) q 为最优化设计所追求的目标数目。 当多目标函数的某些目标之间存在矛盾时，可用一个目标函数表示若干所需追求目标的 加权和，把多目标问题转化为单目标问题来求解。引入加权因子后，式( 24 ) 则变为： 厂( x ) = 圭哆2 ( x ) ( 2 5 ) 最优化设计中的一个重要概念就是目标函数的梯度，它是目标函数f i x ) 对各个设计变量 的偏导数所组成的列向量，以符号“v f f x ) ”表示，即 v f ( x ) = a f ( x ) c 辑， 可g ) c 省 可( j ) 幽。 i 可( x ) 雹“x ) l 奶缸： 幽 7f 2 6 1 苏。j 。 在最优化设计中，当以给定的步长改变设计( 即移动) 时，目标函数值在沿梯度韵方向 变化最快。在以质量为目标函数时，最优化过程为的是降低目标函数值，这相当于向目 标函数梯度的负方向移动。 约束条件是对设计变量取值对的限制条件。约束条件可以用数学等式或不等式来表 示。等式约束对设计变量的约束严格，起着降低设计自由度的作用，其形式为： h v ( x ) = 0( v = 1 , 2 ，p ) ( 2 7 ) 在机械最优化设计中不等式约束更为普遍，形式为： g 。( x ) 墨0似= t , 2 ，m ) g 。( x ) 0( “= l 2 ，掰) 式中 2 8 ) 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 x 设计变量，见式( 21 ) ： p 等式约束的数目； m 不等式约束的数目。 在卜述式中畎x ) = o ，g 。( x ) o 为设计变量的约束方程，即设计变量的允许变化范嗣。 与目标函数梯度的定义相类似，约束面梯度v 蜘( x ) 是约束方程岛( x ) 对各设计变量的偏 导数所组成的列向量，即 砜c 耻 半警制7 皿9 ， 选取设计变量、列出目标函数、给定约束条件后便可构造最优化设计的数学模型 数学表达式为： 设计变量x = 【爿：x 。】r ，x m ce “ 在满足约束条件鬼( 石) = o ，v = 1 ，2 ，p 时，在满足约束条件” 7。 “时， g 。( ) 0 ， “= 1 , 2 ，一，研 求目标函数厂( 疋) = 妻哆乃( x ) 的最优值吲书】。 2 2 结构优化设计豹数学模型 最优化问题可分为无约束优化和约束优化，约束优化又分为等式约束优化问题和不 等式约束优化问题。无论是哪一类求解问题，最后都要转化为无约束最优化问题，其求 解方法大致分为两大类：解析法和数值解法。前者是根据目标函数导数的变化规律与函 数极值的关系，直接精确求解目标函数的极值点。后者是根据目标函数的变化规律，以 适当的步长沿着能使目标函数值下降韵方向，逐步向目标函数值的最优点进行逼近，直 至求解出目标函数最优点的近似值l2 1 。在机械设计的最优化问题中，大多数是不等式约 束优化问题。自2 0 世纪7 0 年代以来，关于不等式约束最优化问题的数值解法，基本可 分为以下三类方法： 拉格朗日乘子法通过引入松弛变量，使不等式变为等式：再利用乘子构成一 个新的无约束条件的目标函数。数学变换过程简单，收敛速度较慢。 惩罚函数法利用约束条件和待定系数构造惩罚项，然后与原目标函数一起组 成一个成为“惩罚函数”的新目标函数，对它求最优解。计算量较大，当迭代 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 次数很大时，数值计算小稳定。 增广拉格朗曰乘子法将拉格朗日乘子引入惩罚函数法的惩罚项中：或者将惩 罚项引入拉格朗目乘子。在收敛速度和数值计算稳定性方面优于前面两种方法， 是应用比较，。泛的求解最优化问题的数值解法。 由于在计算中，先将不等式约束问题转化为等式约束问题，因此先讨论等式约束问 题。对于有p 个等式约束条件的n 维非线性规划问题，其拉格朗曰函数“。为： l ( x ，五) = 厂( x ) 一丑矗，( ) ( 21 0 ) 式中：x = i x 。x 。 t r 五= h 丑 t r 即把p 个待定乘子丑，( v = 1 ，2 ，p ，2 ) 亦作为变量。而第k 次迭代的惩罚函数则表达 为： 缈伍，m 恤) = 厂( x ) + m 咔喜陂暖) 】( 2 1 1 ) 酝一0 , t ，2 ，) 将式( 2 1 1 ) 所示的惩罚函数的惩罚项引入( 2 1 0 ) ，得增广拉格朗日函数： a ( x ，五，m ) ：八x ) 一圭丑，吃( x ) + m ( ) 舷( x ) 】 ：( x ，五) + m ( ) 兰舷( x ) 】- ( 21 2 ) 七= o ，l ，2 ， 显然，( 21 2 ) 是惩罚函数与拉格朗日函数的结合，当 v = o 时上式即为惩罚函数；当m = 0 式上式又变成拉格朗目函数。 增广拉格朗m 函数a ( x ，五，m 。) 的极小点存在的必要条件是： v ，爿“，m ) ：v f ( x ) 一羔秽v 茂( 彳( t ) + 2 m t ) 杰趣( x 忙b v h ，( x ) ：v f ( x ) + 圭【- 笱+ 2 m ( 见( x ( i ) l y e 伍) = 0 f 2 ，1 3 1 9 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 当x 怙) = x ，爿。= 彳时，上二式又可写为： v 。爿扭，m ) = v ，三伍，z ) - - 0 ( 21 4 ) 这意味着，如果x = x 为可行点，且对于凡一 及某个固定沪，x 是a ( x ，r ，m ) 的 无约束极小点，则就是原问题的解。 满足上式的 + 值是在迭代过程中使 逼近x + 的。通常是当k = l 时取x 。o k ) _ 0 ， , f i ，2 ，p m 取为适当大的任意正数。在 。和m ( 蛐为固定常数的条件f 求出a c x “，m a ) ) n 极小点x t k ) 。 ，啦“的值，由下面的迭代式求得： 秽“= 秽1 2 m 扯h ( x 似) v = t , 2 ，p 规 ( 2 1 5 ) 关于m t k ) ，不必每一次都改变，当x “收敛太慢或不收敛时，可适当增大m a ) ，但要小 于某个有限上界，以免出现数值计算中的病态问题。下一步再以九“和m 时1 为新的固 定常数、以x 为初始点，求a ( x ，x “，m 出“) 的无约束极小点x p ”，如此反复迭代f 去，直至达到精度要求。迭代的终止准则9 1 - u l 是： 鸳州= 嚣v = 1 , 2 ，p l i 厂伍壮“) 一，( x 杠肛 l i h , ( x 忙“肛t v = l ，2 ，p 图2 】为解等式约束问题的增广拉格朗日乘子法的计算程序框图。 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 图2 一l 等式约束问题的增广拉格朗日乘子法的计算程序框图 当求解小等式约束问题 馁m i n f 肛( x ) t g ) 0 “：1 , 2 ，肌 ( 2 1 6 ) b 。伍) “= ，肌 一 时，采用增广拉格朗日乘子法，首先引入松弛变量w u 把不等式约束化为等式约束： g 。伍) + w ：= 0 “= t , 2 ，m 将上式代替( 2 1 2 ) 中的l “x ) ，得增广拉格朗日函数为： a ( x ，名，w ，m ( 女) ：，( x ) 一芝无k 。伍) + w ：】 ”1 ( 21 7 ) + m c 女，宝k 。( x ) + w ：i 当引入的松弛变量较多时，使问题的设计变量总数大为增加。为了减少变量总数，可推 导出： “咖w 。2 = m a x 阻x ) ，刍 则f 2 ，1 7 ) 口- j 写为： 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 a ( x ，五，m ) = f ( x ) 一芝五。妒。+ 肘芝妒。( 2 1 8 ) “= l”= l 式中 0 9 = m a x i “x ) ，刍 亿聊 对于求解既有不等式约束又有等式约束问题： i m i n f ( x ) s t g 。) 0材= 】，2 ，m l 吃伍) = o v = l ，2 ，p 其增广拉格朗日函数为： a ( x ，五，z ，m ) = 1 伍) 一芝无败+ m ( 女芝矿 一杰五恕( x ) + m t t ) 老敞( x ) f ( 2 2 0 ) 式中 纯见( 2 1 9 ) 五，彳拉格朗日乘子，其迭代公式为： 露“) = 露一2 m 耻 m 吨岛c 爿，三x 矢- c ：2 ， 毽“同( 2 1 5 ) 中的秽“，即 毽“1 = 硝“一2 m 吃( x 。) v = 1 , 2 ，一，p f 2 2 2 1 计算程序框图与2 - 1 给出的框图类似，只是需要用式( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) ，【2 2 2 ) 替换该 框图的相应表达式。 2 3 约束极值点存在条件 对于约束极值点存在条件的分析和检验，至今广泛而有效的方法是使用 k u h n 一丁u c k e r 最优胜条件，简称k t 条件 1 4 1 。 汽军后送伤员l ；f f 加装置结构优化设计研究 设x + = b ?蔓 x ：r 为非线性规划问题 f m i n f ( x ) e “ 如t , g 。伍) 0“= 1 , 2 ，聊 l吃( x ) = 0v = 1 , 2 ，p 的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中，共有q 个约束条件，即 g ，( x + ) = q l ( ) = 0 ( i + j = l ，2 ，q m + p ) 如果在x +处起作 用的约束的梯度向昔 强。( x ) ，v 向，伍+ )( i + j = 1 ，2 ，q m + p ) 线性无关，则存在向量 使下述条 件成立： v i ( x + ) + 轨v g ，防+ ) “，珊，伍+ ) _ 0 ( 2 3 ) 式中q 通过该设计点的起作用约束数( 包括等式约束及不等式约束) ； 五，五，( f ，f + j = 1 , 2 ，g ) 非零、非负的乘子，即拉格朗臼乘 子，五= 【 ，五，五r 。 满足k u h n t u c k e r 条件的点，称为k t 的点。对于目标函数为凸函数、可行域为凸 集的凸规划问题来说，k u l m t u c k e r 条件不仅是确定约束极值点的必要条件，同时也是 全域最优解的充分条件。 k u t m t u c k e r 条件可用图2 - 2 来说明。 ( 。) ( 6 ) 图2 - 2 约束极值点存在的条件( 当只有一个约束函数为起作用约束吲) ( a ) 设计点并( 。) 不是约束檄值点( b ) 设i t 点x 是约束极值点 如图2 2 ( a ) 所示，目标函数厂( x ) 及约束函数g ( x ) 都是凸函数。显然，在某点彳。 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 处目标函数最速下降方向为一v d ( x ( 0 1 ) 。若函数在该点处沿约束面的切线方向为s ， 约束函数的梯度则为v g 。) 。这意味着：如果沿约束面移动设计变量x ，目标函数 值还会继续下降，说明了点x o ) 不是稳定点，也不是约束极值点。只有如图2 - 2 ( b ) v - f i p 示, 的那样，当x 点处的目标函数的负梯度一w ( x ) 与约束面在该点的切线方向s 垂直时， 点x 才是稳定的，这时若继续f 降目标函数值时，就不再符合约束条件，因此，x 点就 是约束极值点x 。 2 4 迭代过程收敛性判断 迭代法的基本思路是“步步逼近”、“步步下降”或“步步登高”，最后达到目标函 数的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤t 2 】： 首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点x ( 0 ) ，从x ? 出发按照一定的原则 寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到x ( ”点； ( 萤得到新点x ( 1 再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从x 1 再跨出一步，达到x ( 2 点，并依此类推，一步一步向前探索并重复数值计算， 最终达到目标函数的最优点。每一步的迭代形式为： x 忙“) = x ( + 口( 。s ( 。1 淞“) 他) 尼= 0 ，1 0 ，2 ，j 。2 4 上式中x 【“第k 步设计方案： 口 “第k 步迭代计算的步长； s ( 。) 第k 步迭代计算的探索方向。 每向前跨完一步，都检查所得至4 肋新点能否满足预定的计算精度s ，即 如果满足，则认为x 时1 为局部最小点，否则应以x ( 1 ( 州为新的初始点，按上 l l 厂扛忙“) 一厂伍忙肛s 述方法继续跨步探索。 图2 3 是迭代计算逐步逼近最优点探索过程的示意图。 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 显然，使探索方向s 沿着目标函数值的最速下降方向就是负梯度方向( 对求最大值 则为最速上升方向，即梯度方向) 最有利，也就是说，应控制s 的方向相对负梯度方向 偏离不大。 通常，判断是否终止迭代的依据有以下三种形式： 设计变量在相邻两点之间的移动距离已充分小时，用相邻两点向量差的模作为 终止迭代的判据： “”一x 忙 ( 22 5 ) 或用向量爿( “。爿。的所有坐标分量之差表示： i l x ，非“一x ，”i i t q = l ，2 ，n ) ( 22 6 ) 当相邻两点目标函数之差己达到充分小( 即移动该步后目标函数值的下降量充 分小) 时，可用两次迭代的目标函数值之差作为终止迭代的判据： i i 厂忙“) 一s ( x 忙肛乞 ( 2 2 7 ) 帮邑 亿z s ， 当迭代点逼近极值点，目标函数在该点的梯度变得充分小时，可用目标函数在 迭代点处的梯度作为终止迭代的判据： 9 耵伍“1 t i - 毛 ( 22 9 ) 在以上三种形式中，乞，毛，毛分别表示各该项的迭代精度或近似解的误差，一 般根据设计要求预先给k - 。 在工程设计中，有时虽然( 2 2 5 ) 所示的判据已得到满足但所求的最优值厂噼“1 ) 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 与真正最优值厂( x + ) 仍相差较大：或当函数变化缓慢时，式( 22 7 ) 虽已得到满足，但所 求的最优点x “1 与真正最优点x 仍相距较远。基于这种情况，本文将判据结合 起来使用，即要求前两种判据同时成立。 2 5 小结 通过阐述最优化设计的基本概念，剖析了用数值解法求解最优化问题的三种方法， 建立r 采用增广拉格朗日乘子法的求解等式约束问题的数学模型，又进一步推导出求解 不等式约束问题和求解既有不等式约束问题又有等式约束问题的数学模型，并给 _ _ 了计 算程序框图。讨论了约束极值点存在条件。运用收敛性理论对数学模型的迭代收敛性进 行t 半- i 断。本章的理论阐述是进行附加装置结构优化设计的理论基础。 1 6 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 第三章有限元法概述 3 1 引言 一般来说，工程分析可分为两大类：经典法和数值解法，有限元法是数值解法的一 种，如图3 一l 所示： 图3 - 1 工程分析方法 经典法是直接采用控制微分方程来求解场问题，其方程是基于物理原理而建立的。 闭合型的精确解仅对于几何、载荷与边界条件最简单的情况才有可能得到。采用对控制 微分方程的近似解法，可求解某些经典问题，这类近似解采用具有适当截断误差的级数 展开式。如同精确解一样，近似解法也要求规则几何形状，简单边界条件以及简便的载 荷。斟此，经典解离大多数实际工程问题较远，经典解法的主要优点是通过这类问题的 解来得到对问题的深刻认识。 数值方法涉及到十分广泛的问题。能量法对给定域范围内的结构的位能表达式求极 小值这种方法对于某些问题十分有效，但该法不是广泛适用的。边界元法逼近满足控 制微分方程的函数，但不包括边界部分。因为边界单元仅用于表达求解问题域的边界， 从而减小了求解问题的规模。但是，应用这种方法依赖于知道控制方程的基本解，而这 是难于得到的。有限差分法用适当的代数方程代替控制微分方程和边界条件，这种方法 可描述某些不规则问题，但复杂的几何、边界条件或载荷会成为难于对付的困难。 一般来说，有限元法通过采用多种规则形状的单元来处理实际上无限制的任何问 题。这些单元可组合成近似的任何不规则边界。类似地，任何类型的载荷和约束条件也 可提供。有限元法适用于求解各类场问题，包括结构分析，热传导，流体和电磁场等“。 3 2 有限元法的基本思想 有限元法是近4 0 年来随着电子汁算机的j 。泛应用而发展起来的一种数值方法。它 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 具有极大的通用性和灵活性，可以用来求解弹性力学中的各种复杂边界问题。 用有限元法分析弹性力学问题，首先是把原来连续的弹性体离散化。如图3 2 ( a ) 所示的悬臂梁，采用最简单的三角形单元对弹性体进行分割，形成一个如图3 2 ( b ) 所 示的单元集合体【2 6 】。 “ ，。1 一。* m 、 。妒二。i ? * 。 ” ，。 图3 - 2 悬臂梁弹性体和有限元模型 对于每个三角形单元，可选择最简单的线性函数为位移模式，即分片插值的方法。 单元中任一点的位移可通过3 个结点的位移进行插值计算。因此，整个区域中无穷多个 未知位移量可以用有限多个结点位移来表示。这样就避免了求解覆盖整个区域的位移函 数的困难。 用i 角形单元的结点位移，可以表示单元中的应变、应力、结点力。将各个单元集 合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解以结点位移为未知量的线性 方程组。有限元法中求解这种线性方程组比弹性力学绎典解法中求解偏微分方程要容易 得多。 3 3 有限元法的分析步骤 有限元法的一个显著特点是为不同的工程问题提供一个统一的分析方法，解题的具 体步骤可用框图3 - 3 表示。 在数据输入阶段，通常需要输入的数据有： 控制数据：如结点总数、单元总数、约束条件总数等； 结点数据：如结点编号、结点坐标、约束条件等； 单元数据：如单元编号、单元结点序号、单元的材料特性、几何特性等： 载荷数据：包括集中载荷、分布载荷等。 在单元分析阶段，通常需要计算： 各单元的b 。，c 。( i ，j ，m ) ，面积a ： 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 应变矩阵 b ，应力矩阵 s ； 单元刚度矩阵 k ； 单元移置载荷向量 p ) 。 在整体分析阶段，通常包括： 整体刚度矩阵 k 的组装： 整体载荷列阵的形成； 引入位移约束条件； 解线性方程组。 团 圆 匝歪圈 叵区巫固 4 匝匦圃 圈 图3 - 3 有限元法程序框图 在图3 - 3 所示框图中，整体刚度矩阵的形成、存贮和线性方程纽的求解是有限元法 程序设计的关键部分。 通过以上的简单论述，可以把有限元法的分析过程归纳为以下几个方面“： 】结构灼离散化 结构的离散化是进行有限单元法分析的第一步。数学上，把无限自由度处理成有限 自由度的过程叫做”离散化”。有限单元法中的结构离散化过程，简单地说，就是将分 析的对象划分为有限个单元体，并在单元t 选定一定数量的点作为节点，各单元体之问 仅在指定的节点处相连。有限单元法的整个分析过程就是针对这种单元集合体来进行 的。单元的划分，通常需要考虑分析对象的结构形状和受载情况。对于一些比较复杂的 结构，有时还要采用儿种彳i 同类型的单元来进行离散化。许多大型有限元分析软件都备 1 9 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 有多达几十种单元类型的单元库，供分析计算人员选用。 2 位移模式的选择 有限单元法是应用局部的近似解来求得整个问题的解的一种方法。根据分块近似的 思想，可以选择一个简单的函数来近似地构造每一单元内的近似解。一般以节点位移为 摹本未女u 量，所以为r 能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析求解时， 必须对单元中位移的分布作出一定的假设，即选择一个简单的函数来近似地表示单元位 移分量随坐标变化的分布规律，这种函数称为位移模式。 位移模式的选择是有限单元法分析中的关键。由于多项式的数学运算比较简单、易 于处理，所以通常是选用多项式作为位移模式。多项式的项数和阶数的选择，一般要考 虑单元的自由度和解答的收敛性要求等。 3 单元的力学特性分析 分析单元的力学特性主要包括以下三部分内容： 通过几何方程建立单元应变与节点位移的关系式； 利用物理方程导出单元应力与节点位移的关系式； 由虚功原理推出作用于单元上二的节点力与节点位移之间的关系式，及单元的刚度 方程。 4 等效节点力的计算 分析对象经过离散化以后，单元之间仅通过节点进行力的传递，但实际上力是从单 元的公共边界上传递的。为此，必须把作用在单元边界上的表面力，眺及作用在单元上 的体积力、集中力等，根据静力等效的原则全都移置到节点上，移置后的力称为等效节 点力。 i 建立蕤体结构的平衡方程 建立整体结构的。p 衡方程也叫做结构的整体分析，实际上就是把所有单元的刚度矩 阵集合形成一个整体刚度矩阵，涮时将作崩于各单元的等效节点力向量组集成整体结构 的节点载荷向量。从单元到整体的组集过程主要足依据两点：一是所有相邻的单元在公 共节点处的位移相等：二是所有各节点必须满足平衡条件。通常，组集整体刚度矩阵的 方法是所谓的直接刚度法，即按节点编号对号入座，直接利用单元刚度矩阵中的刚度系 数了阵进行叠加。 6 求解未知的节点位移及单元应力 在组集整体刚度矩阵时，没有考虑整体结构的平衡条件，所以组集得到的整体刚度 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 矩阵是一个奇异矩阵，尚不能对平衡方程直接进行求解。只有在引入边界约束条件、对 所建立的平衡方程加以适当的修改之后，方可根据方程组的具体特点选择恰当的计算方 法来求得节点位移，继而求出单元应变和应力。 3 4 小结 通过阐述有限元法的基本思想，给出了有限元程序框图，归纳了有限元法的分析过 程。本章的理论阐述是建立附加装置结构有限元模型的理论基础。 汽车后送伤员附加装置结构优化设计研究 第四章附加装置结构优化设计的数值模拟 4 1 引言 目前，最优化设计方