（基础数学专业论文）r3中具有多重开口的极小曲面的构造.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文的研究对象是衅中的全曲率有限的、具有特殊开口类型的、完备定向极小曲 面。在文中，我们以亏格为0 、开口个数为2 ，并且每个开口重数均为2 的极小曲面州2 出 发，通过对朋。( 1 礼5 ) 的w 一因子的计算，给出了m 。n 0 ) 的一因子的表达式， 并给出了证明。为了分析川。的性质，我们应用j a v a n 言设计了程序包( 对于一般的极小 曲面同样适用) ，绘制了曲面的图象，并在此基础上讨论了m 2 和更一般的朋。( n o ) 的 对称性。 第一章介绍了极小曲面的历史、发展及应用；介绍了计算机技术在极小曲面绘制中 的应用。 第二章介绍了极小曲面方程的推导及其w e i e r s t r a s s 表示；介绍了极小曲面的g a u s s 映 射理论；最后介绍了几个经典的极小曲面。 第三章介绍了全曲率有限的极小曲面的相关知识，包括得到的唯一性结果和现有的 极小曲面的构造方法。 第四章是本文的主要工作，得到了下面的结论： r 3 中存在一系列的完备、定向、全曲率为一4 n l r 的极小曲面，其亏格为0 ，开口个数 为2 ，且每个开口的重数均为n ，n = 1 2 ，3 、 第五章介绍了极小曲面绘制的基本方法。 第六章总结了本文的主要内容。 关键词：极小曲面；w e i e r s t r a s s 表示；全曲率；开口；重数 张战场：r 3 中具有多重开口的极小曲面的构造 c o n s t r u c t i o no fm i n i m a ls u r f a c e si n 撼3w i t hh i g h e rw i n d i n go r d e re n d s a b s t r a c t t h eo b j e c to ft h ep a p e ri sak i n do fc o m p l e t em i n i m a ls u r f a c e si n 碾3 w h i c hh a v ef i n i t e t o t a lc u r v a t u r ea n ds p e c i a lt y p ee n d w es t a r t e df r o ma ：s p e c i a lt y p em i n i m a ls u r f a c ec a l l e d m 2 ，w h i c hh a s0g e n u sa n dt w oe n d s ，a n db o t ho ft h ee n d sh a v ew i n d i n go r d e r2 a f t e r c a l c u l a t et h ew d a t ao fa 哇n ( 1 礼5 ) ，w eg a v et h ew d a t ao fa 4 n ( 几 o ) ，a n dt h e n p r o v e di t i no r d e rt oa n a l y s i st h ep r o p e r t i e so fm n ，w ed e s i g n e dap r o g r a mp a c k a g eu s i n g j a v a ，w h i c hi sa p p l i c a b l et og e n e r a lm i n i m a ls u r f a c e s ，t od r a wt h ei m a g eo f 朋n ，b a s e do n t h ea n a l y s i s ，w ed i s c u s s e dt h es y m m e t r i cp r o p e r t yf o rs p e c i a lp a r a m e t e r s c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eh i s t o r y , d e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fm i n i m a ls u r f a c e s f i n a l l y , w ei n t r o d u c e dt h ea p p l i c a t i o no fc o m p u t e rt e c h n o l o g yi nm i n i m a ls u r f a c e s c h a p t e r2i n t r o d u c e st h ee q u a t i o no fm i n i m a ls u r f a c e sa n dw e i e r s t r a s sr e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m a n dt h e ni n t r o d u c e sg a u s sm a po fm i n i m a ls u r f a c e s f i n a l l y , w ei n t r o d u c e d s o m ec l a s s i c a lm i n i m a ls n r f a c e 8 c h a p t e r3i n t r o d u c e st h et h e o r yo fm i n i m a s u r f a c e sw i t hf i n i t et o t a lc u r v a t u r e ，i n c l u d - i n gu n i q u e n e s sr e s u l t sa n de x i s t i n gc o n s t r u c t i o nm e t h o d s c h a p t e r4i st h em a i nw o r ko ft h ep a p e r ，w eg o tt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e r e 酗_ s 拈af a m i l yo dc o m p l e t eo r i e n t e dm i n i m a ls 乱r f a e e si nr 3w i t hf i n i t et o t a l c u r v a t u r e 一4 礼7 r ，e a c ho ，w h i c hh a s0g e n u sa n dt w oe n d s ，a n db o t ho yt h ee n d sh a y sw i n d i n g o r d e r 扎，w h e r e 几= 1 ，2 ，3 ， c h a p t e r5i n t r o d u c e st h eb a s i cm e t h o d so fd r a w i n gm i n i m a ls u r f a c e s c h a p t e r6i n c l u d e sc o n c l u s i o n k e yw o r d s ：m i n i m a ls u r f a c e ；w e i e r s t r a s sr e p r e s e n t a t i o n ；t o t a lc u r v a t u r e ； e n d ；w i n d i n go r d e r i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：丝望沏日期：兰丛二旦垡 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：i 攮矗立一 导师签名 1 必一一 年一旦月一厶日 5 0 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 本章第一节简要叙述了p 中极小曲面的历史背景和早期的研究进展，第二节介绍了 自上世纪八十年代以来的发展状况和现状。最后介绍了计算机技术在极小曲面绘制中的 应用。 1 1 极小曲面的历史 极小曲面是一类非常重要的盐面，关于极小曲面的一个背景是肥皂泡问题：将条 铁丝弯成空间简单闭曲线，放入到肥皂溶液中，再将铁丝取出时，铁丝上会张成一张肥 皂膜，并以铁丝为边界。由于表面张力的作用，肥皂膜的面积最小。这个问题的数学 提法就是所谓的经典p l a t e a u 问题：给定空间的一条可求长j o r d a n 曲线a ，是否存在一个 以c 为边界的曲面m ，它在所有以g 为边界的曲面中面积最小? 之所以命名为p l a t e a u 问题 是因为p l a t e a u 系统的对此类闯题作了实验研究和观察。 关于极小曲面，e u l e r 早在1 8 世纪就提出过类似的问题。e u l e r 在1 7 4 4 年发表的寻 求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧一书中举了一个例子，要求决定出介于 点( z o ，y o ) 和点( 。1 ，可1 ) 之间的平面曲线y = ，( 。) ，使得它在绕。轴旋转时所生成的曲面的面 积最小。e u l e r 证明了函数，( z ) 必须是一段悬链线，生成的旋转面叫做悬链面。e u l e r 所得 到的实际上就是以位于两个平行的平面上、且连心线与平面垂直的两个圆周为边界的面 积“最小”的曲面。 尽管如此，一般都认为极小曲面的研究是j l l a g r a n g e 毛e 1 7 6 0 年开始的。他所考虑 的是三维欧氏空间中由二次可微函数给出的图像，将极小曲面与曲面面积的变分问题联 系起来，得到了三维欧氏空间中极小曲面的方程，并注意到平面显然是极小曲面。尽 管满足该方程只是极小曲面的必要条件，我们还是称该方程的解为极小曲面。随后， 在1 7 7 6 年，几何学家j b m e u s n i e r 给出了极小曲面方程的几何解释：曲面的平均曲率 为零。也正是基于此，现在把平均曲率为零的曲面称为“极小曲面”，而不管它是否 具有最小的面积。此外，m e u s n i e r 还指出螺旋面和悬链面是满足极小曲面方程的两个 非线性函数的图象，并证明了悬链面是三维欧氏空间中唯一的旋转极小曲面。显然， 和l a g r a n g e - - 样，m e u s n i e r 没有意识到e l l l e r 在悬链面方面的工作。 m o n g e ( 1 7 8 4 ) 曾决定了极小曲面方程的完全积分，然而它并不适用。在以后相 当长的时间内，除了上述的两个极小曲面外，无人发现过其他的极小曲面。一直 到1 8 3 5 年，s c h e r k 发现了另一个极小曲面- - s e h e r k 曲面。s c h e r k 曾尝试找出所有的直纹极 小曲面，但是失败了。这个问题最后由c a t a l a n 在1 8 4 2 年解决了，他证明了螺旋面是三维 欧氏空间中唯一的直纹极小曲面。 极小曲面研究的进展与o b o n n e t ( 1 8 5 3 1 8 6 0 ) 有紧密的联系。人们根据他的研究才 了解到一个极小曲面与它的球面表示构成保角对应。另外，依照他的方法我们从一个已 知实的极小曲面还可导出无数个实的极小曲面和代数极小曲面。 w e i e r s t r a s s ( 1 8 6 6 ) 根据m o n g e ( 1 8 0 7 ) 的思想，完全决定了极小曲面的般方程。 张战场：瓞3 中具有多重开口的极小曲面的构造 在这期间，s l i e ( 1 8 7 1 8 7 8 ) 也作出重要贡献。这些研究成果把极小曲面理论与复变函 数理论挂上钩，为极小曲面的研究开辟了一条新的途径。p l a t e a u 的实验也正是在这个阶 段进行的。p l a t e a u 通过实验给出了许多有已知边界的极小曲面，同时也向数学家提出了 严重的挑战：从数学上证明以给定封闭曲线为边界的面积最小的曲面的存在性。 利用w e i e r s t r a s s 公式，便可以解决许多问题，这其中尤其重要的是p l a t e a u 问题。b r i e m a n n 曾经研究过以折线多边形为边界的面积最小的曲面的存在性，h a s c h w a r z 继 续进行，他毕生的工作均与此问题有关，所得到的与正四面体四棱所成空间四边形有关 的极小曲面尤其著名。但是要在数学上说清楚p l a t e a u 问题，并且给以数学上令人满意的 解答，则是本世纪三、四十年代的事。主要的代表人物是j d o u g l a s $ 1 t r a d o 等人，详 细情形可参考t r a d o ：t h ep r o b l e mo fp l a t e a u ( 1 9 3 4 ) 。 o s s e r m a n 在1 9 6 4 年给出了三维欧氏空间中全曲率有限的完备极小曲面拓扑类型的 基本定理，即这样的曲面m 共形等价于一个紧致的r i e m a n n 曲面丽去掉有限个点，进 步，这些去掉的点对应于曲面肘的开口( 也叫末端) 。该定理是研究拓扑型有限的极小 曲面的基础。 从极小曲面的概念产生以来直到1 9 8 5 年为止的二百多年间，人们所能举出的r 3 中拓 扑型有限的完备嵌入极小曲面只有平面、悬链面和螺旋面。长期困扰几何学家的一个问 题是：除了这三种曲面外，还有没有别的有限拓扑型的完备嵌入极小曲面? 普遍的猜 测是没有了，但这是一个既不能肯定、又不能否定的悬案。与这个问题有关的进展如 下：r s c h o e n 证明在瓞3 中有两个开口的完备嵌入极小曲面只有悬链面，而且不必预先假 定曲面的亏格是多少。j o r g e 2 8 m e e k s 证明对于搿中亏格为0 的完备极小曲面，当开口个数 是3 、4 、5 时，它不可能是嵌入曲面。这些结果都是朝该问题的否定答案的方向做的努 力，同时勾画出进一步寻找这类曲面的范围。 在1 9 8 5 年，这个问题有了突破性进展，这个进展的本身表明计算机技术在纯粹数 学中也起着不可取少的作用。1 9 8 2 年，巴西青年数学家c c o s t a 宅e 他的博士论文中利 用w e i e r s t r a s s 公式构造了一个浸入在础中的完备极小曲面的新例子。这个曲面的亏 格为1 ，有三个开口，而且每一个开口在r 3 中都是嵌入的，因而它的全曲率为- 1 2 ，r 。 这样，c o s t a 的例子正好落在前面所划定的寻找完备嵌入极小曲面的范围之内。d h o f f m a n 希望这个曲面恰好是嵌入在r 3 中的曲面。他们经过对c o s t a 的例子的仔细分析之 后发现这个曲面有两个开口像悬链面，有一个开口像平面，都是从某个中心部位向外延 伸的。但是根据c o s t a 给出的曲面方程很难能看出在中心部位究竟发生了什么? 此时，计 算机绘图在这里起了十分关键的作用。计算机的高速计算能力使得绘制精确的立体图成 为可能，并且通过坐标轴的旋转使我们能够在计算机屏幕上从各个不同的角度去观察曲 面的形状。 dh o f f m a n 和m e e k s 计算了曲面的坐标数值，然后利用j 。h o f f m a n 所发展的、称 为v p l 的图形系统画出t c o s t a 曲面在核心部位的图形。最后，h o f f m a n 和m e e k s 合作，从 数学上严格地证明t c o s t a 曲面确实是有限拓扑型的完备嵌入极小曲面，从正面回答了前 面所述的来解决的问题。c o s t a ，h o 血1 a n 和m e e l ( s 的合作给出了二百多年来一直在寻找的 2 大连理工大学硕士学位论文 嵌入极小曲面的第一个新例子。紧接着，h o f f m a n $ 1 3 m e e k s 构造出一系列完备嵌入极小曲 面，特别是对于每一个亏格1 ，都存在完各的嵌入极小曲面。他们的方法还能推广到开 口数3 的情形。 此外，w e b e r ，l o p e z ，w o l f ，c o l l i n 和k ”c h e r 等人都在构造豫3 中的极小曲面方面做 出了很重要的贡献，其中w e b e r 和k a r c h e r 在绘制极小曲面的图象方面的贡献尤其突出。 1 2 极小曲面的发展及其应用 二百多年来，极小曲面一直是几何学家所热衷的研究课题，首先是因为肥皂膜实 验所展示的曲面的美丽、多彩的形状及其几何魅力始终在吸引着数学家的注意，特别 是p l a t e a u 问题的挑战刺激了数学的概念、理论和方法的发现、创造和发展。现在，极小 曲面的理论和课题已经十分丰富，它与偏微分方程、复变函数、函数论、拓扑学以及微 分几何的各个方向都有非常深刻的联系，而且极小曲面的概念本身已经有在高维空间的 推广、在各种不同的外围空间中的推广。例如，1 9 7 8 、1 9 7 9 年丘成桐与r s c h o e n 应用微 分几何方法，构造极小曲面，运用非线性方程的技巧，证明了广义相对论中的正质量猜 想。此外，极小曲面的概念已经发展成几何测度论范畴处理的对象。 极小曲面的研究经历了三个黄金时期。 从1 8 5 5 年至u 1 8 9 0 年间是极小曲面研究的第一个黄金时期。在这个时期，w e i e r s t r a s s 和e n n e p e r 给出了极小曲面方程的通解表达式，b o n n e t 发现了极小曲面的g a u s s 映射的共 行性质。这些研究成果把极小曲面理论和复变函数理论挂上钩，为极小曲面的研究开辟 了一条新的途径。p l a t e a u 的实验，r i e m a n n 和s c h w a r z 的工作都是在这一时期。 第二个黄金时期是p l a t e a u 问题的解决时期，是在本世纪三、四时年代，主要的代表 人物是j d o u g l a s ，t r a d o 等人。 自本世纪5 0 年代末至今正处于极小曲面研究的第三个黄金时期。极小曲面概念的各 种推广是在这个时期产生的，关于极小曲面的许多经典问题也陆续得到了完满的解答。 像c o s t a 构造出了一个r 3 中的完备嵌入极小曲面的新例子，并陆续发现了很多嵌入曲面的 例子。 目前，极小曲面的研究内容包括以下三个方面： ( 1 ) 极小曲面的高斯映射的值的分布问题 这是由b e r n s t e i n 定理发展而来的。目前除了为数不多的几个遗留问题，大部分都得 到了很好的解决。 ( 2 ) 具有一定的亏格和开口、全曲率有限的完备极小曲面 r 3 中的完备嵌入极小曲面一直是极小曲面研究的热点。很长一段时间以来，有 人认为完备嵌入的极小曲面只能是平面、螺旋面、悬链面和s c h e r k 曲面之一。直 到c o s t a 曲面的出现。此后，h o f f m a n 和m e e k s 构造出了大量的此类极小曲面。这方 面的进展与计算机图形学的发展是分不开的。利用计算机绘制极小曲面的图象已成 为研究极小曲面性质的不可或缺的手段。 3 张战场：r 3 中具有多重开口的极小曲面的构造 ( 3 ) 稳定的极小曲面 怎样的一块极小曲面是稳定的? 对此有很多人进行了研究，尤其是巴西数学 系b a r b o s a 和m d oc a r m o 对此傲过系统的研究，并得到了许多很重要的结论。注 意到最为函数图象的极小曲面总是稳定的，因此可以猜测：在孵中一个完备的稳定 极小曲面是否一定是平面? 这个猜测在1 9 8 0 年被我国数学家彭家贵和d oc a s i n o 合作 证实了。美国数学家f i s h e r - c o l b r i e 及r s c h o e n 在一个更大的框架内也给出了这个问 题的答案。 极小曲面不仅拥有漂亮的外观，更重要的是它与相应的曲面d i r i c h l e t 能量有关，它使 曲面的面积和d i r i c h l e t 能量达到极小。在应用上。极小曲面以平均曲率恒为0 作为特征， 因此极小曲面的g a u s s 曲率恒为负，所以，极小曲面具有很多优良的性质，其结构稳定 自然光顺，在建筑设计、飞机轮船制造、分子化学、晶体学等各个领域都有很重要的应 用。例如，用极小曲面作房项曲面，结构很稳定，美观大方，特别是有不积水的特点。 1 3 计算机技术在极小曲面绘制中的应用 描述曲面的立体图对于了解曲面的形状、研究曲面的性质是十分重要的。俗话说； 百闻不如一见。用现代科学的语言，这就是说一张图所包含的信息量远远超过一页文字 所包含的信息量。当然，尽管一张图可能相当于1 0 3 个字，也可能相当于1 0 6 个字，它毕 竟不能代替数学上的严格证明。但是c o s t a 曲面的立体图的绘制导致了孵中完备嵌入极 小曲面新例子的发现和严格的证明，使得计算机绘制曲面图成为数学研究中的重要实验 手段，大大地激发起数学工作者对于计算机图象显示的兴趣。现在，已有不少数学研究 课题利用利用计算机图形显示的功能来探索新的数学现象，新的模式和新的例子。还 以c o s t a 曲面为例。c o s t a 在构造他的新例子时使用了定义在单位正方形上的w e i e r s t r a s s 椭 圆护一函数。下图1 1 和1 2 ( 这里使用了由w e b e r 绘制的曲面) 分别显示了构成c o s t a 曲面 的基本曲面片和c o s t a 曲面是如何由8 个基本曲面片拼成的，可以看出c o s t a 曲面是很复杂 的。如果没有计算机的辅助，而想通过曲面的方程了解曲面的形状基本是不可能的。 在纸上准确地描绘曲面的立体图( 而不是示意图) 需要相当大的计算量和工作量。 如果不借助计算机这个工具，这类工作是几乎不可能完成的。现在已经有许多相当 成熟的软件包用于绘制曲线和曲面，像m a p l e ，m a t h e m a t i c a ，m a t l a b 等都能完成这一 功能。前文中提到的w e b e r 在绘制极小随面的图象时使用了m a t h e m a t i c a ，另一个项目 组g r a p e 贝i 使用了c 语言。作者在绘制极小曲面的图象时使用了j a v a 3 d 这一免费工具， 自行编写了软件包，封装了绝大部分的实现，这样在具体绘制极小曲面时只需编写很少 的代码。本文中使用的图片绝大部分都是由作者绘制的，在引用别人图片的地方都有特 别说明。 这里特别提至0 w e b e r 所作的工作。他自己写了很多m a t h e m a t i c a 的n d t e b o o k ，用于绘 制极小曲面，并绘制了很多高质量的图片。具体的可以访问网站： h t t p ：w w w i n d i a n a e d u m i n i m a l 上面不仅有大量的极小曲面的图片，还有极小曲面的研究分类，并给出了相关的文献和 4 大连理工大学硕士学位论文 图1 1 构成c o s t a 曲面的基本曲面片 f i g 1lt h ef u n d a m e n t a lp i e c eo ft h e c o s t as u r f a m e 资料。 0 图1 2c o s t a 曲面由8 个基本曲面片拼成 f i g 12c o s t as u r f a c ei sc o m p o s e db y8 f u n d a m e n t a lp i e c e s 张战场：r 3 中具有多重开口的极小曲面的构造 2 预备知识 本章第一节简要叙述了极小曲面的方程的推导过程。第二节给出了极小曲面 的w e i e r s t r a s s 表示公式。第三节节介绍了极小曲面的g a u s s 映射。最后一节介绍了经 典的极小曲面及其w e i e r s t r a s s 表示。 2 1 极小曲面的方程 假定我们所考虑的曲面m 是连续可微函数z = f ( x ，) 的图象，其中点( z ，g ) 的变动范 围是。g 平面上的一个区域d 。今后称m 为定义在区域d 上的一张图。这种曲面的面积元公 式为： d m = i j c 2 。，2 如由 我们考虑单参数族函数 魂( z ，y ) = f ( x ，g ) + t q ( z ，g ) ，( 2 ，1 ) 其中( 。，y ) d ，t ( 一e ，e ) ，e 是一个正数，q 是一个二次可微函数，它在d 的边界上为 零。易见，z o ( x ，) 对应于m 。我们定义魂( 。，可) 对应曲面尬的面积为 a ( t ) = 、1 + ( 盏) ：+ ( 施) ；d z d 9 ， 得出 a ( t ) 2 n ( 1 + 璧+ 露) + 2 t ( a r 7 + 矗珊) + t 2 ( 镌+ 嚼) 出匆 ( 2 2 ) 令p = 丘，口= 凡，w = ( 1 + p 2 + q 2 ) ”。将( 22 ) 式对求导得到 删2 上( 考+ q ) d x d y ( 2 3 ) 由于q a d ；0 ，分部积分我们得到 州。) 一上 熹( 等) + ( 杀) ”如电 ( z 4 ) 由于m 为极小曲面，故对任意的f ( 一，) 有 a ( o ) a ( t ) 而a ( t ) 是# 的连续可微函数，上式意味着函数a ( o ) 在t = 0 时达到最小值，故有 氨：。a ( ) = 0 ( 2 5 ) 于是，由( 24 ) 和( 2 5 ) 式可得 上 丽0l 石p ) + 巧0 ( 昙) ”如由= o ( 。6 ) 上式对任意的、在边界a d 上的值为零的连续可微函数日( 。，) 恒成立，则容易导出函 数z = f ( x ，) 在区域d 上满足微分方程 烈0 石p ) + 品( 昙) - o ( 2 ，) 6 大连理工大学硕士学位论文 为此只要证明( 2 7 ) 式在任意一点( 黝，y o ) d 成立。在这里，关键是要找出一个非负连续 可微函数，使得它在一个固定点的某个邻域内恒等于l ，而其支集包含在区域d 内。这样 的函数是存在的，我们可以具体地将它构造出来。 例如，设0 - c 6 ，命 出，= 南 ) ，e 茁 正 z e ，或o 5 a ( x ) d x 卢( z ) = 等而广一 c 4 z ) d z 显然，函数。( z ) 、卢( 。) 都是实数轴r 上光滑的函数，满2 = o 卢( 。) 1 ，并且 触，= 冀 这些性质可以从下图中直接单出来，不需要另行验证。 y 。f 一) i 一6 ) 56 x 八 e6 、 y ；口x ) j j 二 图2 1 截断函数 f i g 2 1t r u n c a t i o nf u n c t i o n 函数卢( z ) 通常称为截断函数，其功用是把函数在某一点的邻域上的部分分离出来 而保持函数在整体上的可微性不变。 7 张战场：r 3 中具有多重开口的极小曲面的构造 比如，对于点( 茁o ，y o ) ed ，可以取0 0 ， 现在，在等温参数下，对m 上的任意一点，映射西在该点的某些邻域中有定义。如 果z ；。+ i y 和 ：r + i 5 是m 上某些点附近的等温参数，那么当掣o 时，坐标变 换”2 叫( z ) 是全纯的。由此推出石= 2 亳x 与毋有如下关系； = 。毫x = z 瓦o w 一0 x o w = 笔五d z0 zd z 所以，如果考虑向量值微分形式口= d z 和舀= 孑如，我们有 口：c d z ：石掣如：猫叫：五 这就意味着我们有一个向量值微分形式，它是整体定义在m 上的，它的局部表示为 口= ( 1 ，q 2 ，a 3 ) ，k = 西k d z ，1 七3 这样，综合命题23 和命题2 4 得到以下推论。 命题25 设x ：m r 3 是一个浸入，则口= 西如是m 上的一个向量值全纯形式， 当且仅当x 是一个极小浸入。进一步 x ：r e ：| z 曲。 j 这里，积分可以沿着吖上固定的一点到2 的任意路径进行积分。 当沿着任意一条封闭路径对n 的积分的实部为零的时候，我们就说a 没有实周期。容 易发现，d 没有实周期等价于积分r e ( 。) 与m 上的路径无关。 大连理工大学硕士学位论文 定理2 2 ( w e i e r s t r a s s 表示) 令口1 ，o r 2 ，0 3 为m 上的全纯微分，且满足： ( a ) a l = 0 ( 即在局部上，n k = 机如，并且槟一o ) ( b ) j q k l 2 0 ，并且 ( c ) 任一。t 在m 上没有实周期。 ，： 那么，由x = ( 1 ，z 2 ，z 3 ) ，z k = r e ( 女) 定义的映射x ：m r 3 是极小浸入。 定理中的条件( c ) 是r e ( ) 只与点z 有关的必要条件。于是每一个瓢都是良定义的， j p 0 o 与加到z 的路径无关。很明显= 2 兰x 是全纯的，于是x 是调和函数，所以是极小的。条 件( b ) 保证了x 是一个浸入。 有可能给出m 上的方程o t + 。i + 口；= o 的所有解的一个简单描述。为此假设a l i a 2 ( 否则3 = 0 ，所得到的极小曲面是平面) 。我们定义一个全纯形式q ，以及一个亚纯 函数g 如下： i 书： ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 故以上定理中的极小浸入x 可以表示为 f 。，：r e ( f zo t l ) ：且。；( 1 一g 。) 1 ， 。：r 。( 7 2 血。) ：r 。7 。；( 1 + g 。) 口， ( 2 1 9 ) iz 3 = r e ( d 3 ) = r e 9 盯 如果幻是9 的一个m 阶的极点，那么由( 21 8 ) 可知钓一定是q 的一个2 m 阶的零点，这样 才能够满足条件( b ) 以及a k 是全纯的条件。 相反的，假设我们在m 上定义了一个亚纯函数g 和一个全纯形式”。如果9 的极点集 和目的零点集恰好一致，并且9 的极点阶数的两倍等于该点作为7 7 的零点的阶数，那么，以 上定义的，2 ，3 在m 上是全纯的，满足a + a ；+ o ；= o 以及 坩俐2 = f ，kj 2 = ( 1 + i g l 2 ) 2 0 ( 2 2 0 ) 张战场：碡3 中具有多重开口的极小曲面的构造 并且，如果这样的a ( 1 3 ) 没有实周期，那么我们可以利用( 2 1 9 ) 式来获得一个极小 浸入x ：m _ r 3 。 ( 2 1 9 ) 式叫做麟中的极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式。通常把其中的q 和9 简称 为一因子( 有时也称，和9 为一因子) 。应用w e i e r s t r a s s 表示可以描述出大量的极 小曲面的例子。另外，曲面的一些几何量也都有着很简单的形式，例如度量表达式为 d s 2 = ；l 卯( 1 + j g l 2 ) 2 吲2 ( 2 2 1 ) 出现在极小浸入x ：m 一皿3 的w e i e r s t r a s s 表示中的亚纯函数g ：m c u o 。) ， 有着重要的几何意义。为了说明这一点，让我们根据x 的w e i e r s t r a s s 表示来获得g a u s s 映 射n ：m 一铲( 1 ) 的表达式。局部的，在m 的每一点上，k = 机d z 定义了函数妣，利 用( 21 9 ) 得到 。kx 蜀= 一( r e l ，r e 咖2 ，r e 咖3 ) a ( i m i ，i m 咖2 ，i m 3 ) = ( i m 曲2 九，i m 庐3 i l i ，i m l 也) = i ，1 2 ( 1 + i g l 2 ) ( 2 兄e 9 ，2 i m g ，9 2 1 ) 由此推出 州券，端，豁i ( 2 2 2 ， 如果7 r ：s 2 ( 1 ) ( ( o ，0 ，1 ) ) 一r 2 是球极投影，那么除了9 的极点外，在m 的每一点 有7 r 。n = ( r e g ，i m g ) 。如果我们将复平面c 看作r 2 ，并且令7 r ( ( o ，0 ，1 ) ) = o o 将延拓 到并：铲( 1 ) 一c u o o ，那么 亓o n = g ( 2 2 3 ) 这意昧着映射9 可看作x 的g a u s s 映射。可以直接用( 2 1 3 ) 、( 2 1 6 ) 和( 2 2 0 ) 计算出m 的g a u s s 曲 率的值 2 3 极小曲面i 雏j g a u s s 映射 k = - 斋 2 在第一节中我们已经导出函数z = f ( x ，) 的图象是极小曲面时应满足以下方程： ( 1 + 鬈) 厶一2 f 。s a ，+ ( 1 + 璧) ，= 0 ， 这是一个非线性二阶偏微分方程。在1 9 1 5 年，s b e r n s t e i n 证明了 ( 2 2 4 ) 定理2 3 ( b e r n s t e i n )设，( ，) 是定义在全平面r 2 上的极小曲面方程的解，, l j f 是线 性函数。 b e r n s t e i n 定理等价于：如果_ 厂是定义在全平面上的极小曲面方程的一个解，则相应的 极小曲面是全测地曲面。 由于b e r n s t e i n 定理的重要性和深刻性，它一直在吸引着许多数学家的注意力，因此 产生了许多关于它的证明方法和各种各样的推广。对此n i t s c h e 给出了一个证明，所用概 1 2 大连理工大学硕士学位论文 念和工具比较少，是一个比较初等的证明，在 9 】和 1 5 】中均有提及。另外，陈省身 9 】给出 的证明更简捷。 b e r n s t e i n 定理是非线性偏微分方程的大范围解的一个唯一性定理。要从几何上推 广b e r n s t e i n 定理，必须弄清楚条件的几何意义。 首先，我们注意到定义在整个平面豫2 上的函数图象是一个完备曲面。实际上， 若口( t ) = 0 ( t ) ，( t ) ) ，t o ，1 ) 是r 2 中的一条发散曲线，则1 1 碧。( t ) 2 + ( t ) 2 = + 。在函 数z = f ( x ，g ) 的图象上对应的曲线为 ，y ( t ) = ( z ) ，( t ) ，( 。( t ) ，( t ) ) ) ，t 0 ，1 ) ， 其长度为l i r a ( ，y ) ，其中 l o t ( 7 ) z 瓜而石而丽出 一( t ) 2 + g ( t ) 2 d t = 三j ( 口) j 0 0 ( t ) 一z ( o ) ) 2 + ( y ( t ) 一( o ) ) 2 一。， 因此在该函数图象上任意一条发散曲线的长度是无限的，即它是完备曲面。自然，这也 是一个单连通的曲面。 此外，直接计算可得它的单位法向量场 ，名凡 1 、 礼2i 万i 嚣需万罚葡一万i 萝需 这里法向取了反向，因此n 于z 轴的夹角余弦为一了f 百1 季i 丽 o o 在曲面上引进等 温参数系，使得该曲面是从区域dcc 到豫3 中的共形映射。设对应的w 一因子是f ，g ， 则由w e i e r s t r a s s 表示知 2 r e g2 i m g 引2 1 、 他2l 丽而两j 。 对照g 的两个表达式得到 i g l 1 ， 即9 是定义在区域d 上的有界全纯函数。 根据k o e b e 单值化定理，区域d 或者共形等价于c ，或者共形等价于单位圆盘f 山 c ：i w i 1 ) 。然而，著名的l i o u v i u e 定理说：在全平面上定义的有界全纯函数必为常 数。因此，如果我们能够证明d 不能共形等价于圆盘，则9 必定是常值函数，即单位法向 量n 是常向量，这就证明了b e r n s t e i n 定理。 事实上，r o s s e r m a n 在1 9 5 9 年基于这种思路证明了一个l e b e r n s t e i n 定理更强的结 果。它最早是作：为n i r e n b e r g 猜想叙述的，o s s e r m a n i 正明了这个猜想，并以此为起点，开 始了对豫3 中完备极小曲面的g a u s s 映射值分布的研究。 定理2 4 ( o s s e r m a n )设m 是r 3 中的一个完备的极小曲面，如果它的g a u s