（检测技术与自动化装置专业论文）基于分数傅立叶变换的图像水印算法的研究.pdfVIP

摘要 随着数字化技术的深入发展和网络应用的日益普及，对数字产品的版权保护显得 越来越重要，仅采用数据加密技术是远远不够的，数字水印技术为版权保护提供了更 加有效的手段。本文在研究分数傅立叶变换的加密性质的基础上，主要研究了基于分 数傅立叶变换的图像水印算法。 本文首先根据分数傅立叶变换的生成序列的多样性，构造了三种不同的分数傅立 叶变换算子，提出了一种基于分数傅立叶变换的图像加密算法。利用了各级变换的生 成序列、变换阶次以及相位编码时使用的随机矩阵作为算法中的密钥，对相位编码后 的图像进行三次不同的分数傅立叶变换，并且随着变换次数的增多，算法的复杂度大 大增强，达到图像加密的目的。 本文主要研究了基于分数傅立叶变换的鲁棒性水印算法。将c h i r p 信号作为水印并 嵌入到图像的分数傅立叶变换域，以水印的嵌入位置和分数傅立叶变换的阶次作为密 钥，并利用c h i r p 信号在分数傅立叶变换域呈现冲激特征，可有效地检测到水印。仿真 实验结果表明，该算法有良好的不可见性和安全性，同时还能抵抗很强的j p e g 压缩和 噪声的攻击，但对旋转、平移等几何攻击不具有鲁棒性。为此，本文对算法进行了两 种改进。一是将c h i r p 信号作为水印并嵌入到图像的分数傅立叶变换域的同时，在图像 的离散傅立叶变换中频区域嵌入水印模板，能有效补偿几何攻击带来的图像损失；二 是利用了图像角点在几何攻击前后不变的性质，选用h a r r i s 的角点算子提取出图像的 部分角点，确定参照三角形和嵌入水印的图像块，以补偿几何攻击带来的损失。仿真 实验结果证明这两种改进的算法具有很好的不可见性，不仅可以很好的抵抗常用的信 号处理操作，且对几何攻击也有很好的鲁棒性。本文还提出了一种基于空间域的鲁棒 性水印算法，选取了两个c h i r p 信号作为水印信息，根据水印信号的幅值情况在图像空 间域中选定适当的像素点，并用水印信号的幅值替换，算法中将两个位置矩阵作为关 键的密钥。仿真实验结果表明，该水印算法也具有较好的不可见性、安全性和鲁棒 性。 此外，本文还对脆弱性水印进行了研究，提出了一种基于分数傅立叶变换的脆弱 性水印算法。将图像水印“江南”嵌入到图像的分数傅立叶变换域中，使用两个随机 序列和版权信息来生成水印；通过比较两个相关系数的大小来提取水印。仿真结果说 明该算法能够抵抗一定的j p e g 压缩，并对图像的恶意篡改具有较好的脆弱性。 关键词：数字水印分数傅立叶变换图像加密鲁棒性脆弱性 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fd i g i t a lt e c h n o l o g ya n dt h ew i d ea p p l i c a t i o no fn e t w o r k ，t h e p r o t e c t i o no fc o p y r i g h to w n e r s h i pb e c o m e s m o r ea n dm o r en e c e s s a r ya n di m p o r t a n t t h e i n f o r m a t i o ne n c r y p t i o ni sn o te n o u g hb e c a u s et h ed o c u m e n tc a nb ec o p i e da n dd i s t r i b u t e d e a s i l y o n c ed e e r y p t e d a san e wm e t h o d a g a i n s tt h e f a i l u r eo fe n c r y p t i o n , d i g i t a l w a t e r m a r k i n gh a sb e e np r o p o s e da sa ne f f e c t i v ew a yt op r o t e c tt h eo w n e r s h i po fd i g i t a l d o c u m e n t s i nt h i sp a p e r ，d i g i t a lw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m sf o ri m a g eb a s e do nt h em u l t i p l i c i t y o f f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ( f r f t ) a r er e s e a r c h e d i no r d e rt oi m p r o v et h ec o m p l e x i t yo ft h ea l g o r i t h m sf o ri m a g ee n c r y p t i o nu s i n gf r f t a l l a l g o r i t h mb a s e do nt h em u l t i p l i c i t yo fg e n e r a t i n gs e q u e n c eo ff r f t i sp r o p o s e di nt h i sp a p e r w i t ht h eh e l po ft h em u l t i p l i c i t yo fg e n e r a t i n gs e q u e n c e t h r e ek e m e lf u n c t i o n so ff r f ta r e p r o d u c e dt ob u i l dt h r e ed i f f e r e n tf l u 叮o p e r a t o r s a n dt h et h r e eg e n e r a t i n gs e q u e n c e s t r a n s f o r mo r d e r s ，r a n d o mm a t r i x e sf o rp h a s ee n c o d i n ga r eu s e da se n e r y p t i o nk e y si nt h e a l g o r i t h m t h ec o d e di m a g ei st r a n s f o r m e dt h r e et i m e sb yd i f f e r e n tf r f tw i t hd i f f e r e n t k e r n e lf u n c t i o n si no r d e rt oe n c r y p tt h ei m a g e a st h et r a n s f o r mt i m e so ff r f ti n c r e a s e t h e c o m p l e x i t yo f t h ea l g o r i t h me n h a n c e s r e s e a r c ht o w a r d sr o b u s tw a t e r m a r k i n gb a s e do nf r f ti st h em a i nw o r ko ft h i sp a p e r a n o v e lw a t e r m a r k i n ge m b e d d i n ga n dd e t e c t i n ga l g o r i t h mf o ri m a g ei sp r o p o s e d ，w h i c hu s e sa c h i r ps i g n a la st h ew a t e r m a r ks i g n a la n de m b e d si ti nt h ed o m a i no ft h ef r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mo ft h ei m a g e t h a ti s ，t h i sw a yi st h ec o m b i n a t i o no fi n f o r m a t i o ne n c r y p t i o na n d d i g i t a lw a t e r m a r k i n g a f t e rt h eo r i g i n a li m a g ei st r a n s f o r m e db yt w od i m e n s i o n a lf 可t h e w a t e r m a r ki sa d d e dt os o m es p e c i a lc o e f f i c i e n t si nt h ef r f td o m a i n s i n c et h et r a n s f o r m o r d e ra n dt h ee m b e d d i n gp o s i t i o na r eu s e da st h ee n c r y p t i o nk e y s ，t h i sm e t h o dh a sag o o d s e c u r i t y a c c o r d i n gt ot h es p e c i a lp r o p e r t yo fc h i r ps i g n a l st h a tac h i r pc a np r o d u c eas t r o n g i m p u l s ew h e nt h ec h i r ps i g n a lh a st h es a m es w e e pr a t ea st h ef r f t w ec a nd e t e c tt h e w a t e r m a r kc o n v e n i e n t l y m a n ya t t a c ke x p e r i m e n t sh a v eb e e np e r f o r m e dt od e m o n s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m t h er e s u l t sh a v es h o wt h a tt h ep r o p o s e da i g o f i t h mn o to n l yi s o fg o o di m p e r c e p t i b i l i t ya n ds e c u r i t ya n di sv e r yr o b u s tt oj p e gc o m p r e s s i o na n dn o i s e a t t a c k s ，b u ta l s oc a n tp r o v i d ep r o t e c t i o nu n d e rt h eg e o m e t r i ca t t a c k s ，s u c ha sr o t a t i o na n dt h e t r a n s l a t i o n t w oa l g o r i t h m sa r ep r e s e n t e di no r d e rt oi m p r o v et h ea l g o r i t h m f i r s t ，a c c o r d i n g t ot h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nf o u r i e r - m e l l i nt r a n s f o r ma n dg e o m e t r i ca t t a c k s ，ac h i r ps i g n a la n d at e m p l a t ea r ee m b e d d e di nt h ed i s e r e t ef r f td o m a i na n dd i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ( d f t ) d o m a i nr e s p e c t i v e l y t h et e m p l a t ei nt h ed f td o m a i nc a nb eu s e dt oc o m p e n s a t ef o rt h e l o s s e so ft h ei m a g e sb r o u g h tb yg e o m e t r i ca t t a c k s b e s i d e s ，h a r r i s a l g o r i t h mi sa l s ou s e dt o o b t a i ns o m ec o r n e rp o i n t st op r o d u c eac o n s u l t i n gt r i a n g l ef o rr e b u i l d i n gt h ei m a g es u f f e r e d g e o m e t r i ca t t a c k s r e s u l t so ft h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tb o t ht w oa l g o r i t h m sw h i c ha s s a r e h g o o di m p e r c e p t i b i l i t ya n ds e c u d t y a r en o to n l yv e r yr o b u s tt oj p e gc o m p r e s s i o n ，n o i s ea n d f i l t e r i n ga t t a c k s ，b u ta l s oc a np r o v i d eg o o dp r o t e c t i o nu n d e rc o m m o ng e o m e t r i ca t t a c k ss u c h a sr o t a t i o na n dt r a n s l a t i o n an o v e la l g o r i t h mf o rd i g i t a li m a g ew a t e r m a r k i n gw h i c hu s e st w oc h i r ps i g n a l s 硒t h e w a t e r m a r ki nt h es p a t i a ld o m a i ni sp r e s e n t e dt o o c h i r ps i g n a l sa r ee m b e d d e di nt h ei m a g e b l o c k st h a th a v et h es a m ed i g i t a lc h a r a c t e r t w om a t r i c e so f t h ep o s i t i o nw h e r et h ew a t e r m a r k i se m b e d d e da r eu s e da st h ee n c r y p t i o nk e y si nt h i sa l g o r i t h m r e s u l t so ft h ee x p e r i m e n t s s h o wt h a tt h i sa l g o r i t h mh a sg o o di m p e r c e p t i b i l i t y , s e c u r i t ya n dr o b u s t n e s s i na d d i t i o n ，w ea l s od i ds o m er e s e a r c ho nf r a g i l ew a t e r m a r k i n g a n dan e wk i n do f w a t e r m a r k i n ga l g o r i t h mb a s e do nf r f tf o ra u t h e n t i c a t i o ni sp r e s e n t e d t h ew a t e r m a r k w h i c hw a sm a d eo ft h ei n f o r m a t i o no fc o p y f i g h ta n dt w op s e u d o r a n d o ms e q u e n c e s ，w a s e m b e d d e di nt h ed o m a i no ft h ed i s c r e t ef i 强t a n dt h ew a t e r m a r kc a nb er e c o v e r e db yt h e c o m p a r i s o no ft h et w oc o r r e l a t i o n s t h er e s u l t so ft h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h i sa l g o r i t h m h a sg o o df r a g i l e n e s sf o rt h ei l l e g a lm a n i p u l a t i o na n dg o o dr o b u s t n e s sf o rj p e gc o m p r e s s i o n k e yw o r d s ：d i g i t a lw a t e r m a r k i n g ；f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ；i m a g ee n c r y p t i o n ； r o b u s t n e s s ；f r a g i l e n e s s i l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：私虫 日期：撕7 年；月归 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存， 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：碰导师签名；j 盛 日期：沁7 年；月7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 随着计算机网络技术和多媒体技术的快速发展，大量的数字信息得以广泛传播， 并且很容易进行存储、复制和修改，一些团体或个人在没有得到信息所有者的许可下 便可以复制和传播有版权的内容。因此如何有效地解决当前的信息安全和版权保护问 题已经成为学术界与产业界共同关注的问题。 密码学一直被认为是通信领域信息安全的主要手段，用于对传输中的数据流加 密，以防止通信线路中的窃听、泄漏、篡改或破坏。但是加密后的文件因其不可理解 性妨碍多媒体信息的传播川；在版权保护方面，一旦数字信息被解密，数字产品可以被 自由地复制和修改，仍然不能进行有效地版权保护。自2 0 世纪9 0 年代初以来，一种 新的信息隐藏技术数字水印出现并且迅速发展，并且迅速应用于图像等多媒体信 息的版权保护中。随着数字水印技术的不断发展和算法的不断更新，数字水印作为解 决版权保护难题的有效助手1 2 ，成为信息安全领域的热点。 数字水印技术通过在原始媒体数据中嵌入秘密信息水印来证实该数据的所有 权归属。水印可以是代表所有权的文字、特殊信号或随机序列等。数字水印技术按抗 攻击能力划分，可以分为鲁棒性水印和脆弱性水印。鲁棒性水印主要用于数字作品中 标志版权信息，它要求水印算法在经受了各种变换处理和恶意攻击之后，仍然可以检 测到水印；脆弱性水印主要用于真实性和完整性的保护，它要求信号的轻微改动都能 造成水印的彻底破坏，可以通过水印的状态判断原作品是否被改动过【3 1 。 由此可见，鲁棒性水印和脆弱性水印分别是数字媒体的版权和完整性保护的有力 手段。图像是重要的数字媒体之一，因此对图像水印算法的研究具有深远的理论意义 和广阔的应用价值。 1 2 数字水印技术的国内外研究现状 目前，在国内外数字水印的常用算法主要可以分为空间域和变换域两种。 ( 一) 空间域算法 空间域水印算法是使用各种各样的方法直接修改图像的像素，该算法主要用来实 现脆弱性水印功能。 早期的空间域水印算法是最低有效位算法( l e a s ts i g n i f i c a n tb i t s ，l s b ) 4 1 及其改进 算法。l s b 算法就是通过调整图像中感官不重要的像素来嵌入水印，使一般用户对于 嵌入的水印在视觉上很难察觉，从而保证了不可见性。t i r k e lr a n k i n 与v a ns c h y n d e l 等人较早利用该算法将特定标记隐藏于数字图像内【5 11 6 ，由于该算法是通过调整原始数 据的最低几位来隐藏信息，使一般用户对于隐藏信息在视觉上很难察觉。虽然其有较 江南大学硕士论文 大的信息嵌入量，但作为数字水印算法，因其基本原理限制，所隐藏的数字水印信息 极为脆弱，无法经受一些有损的信号处理。 基于统计的数字水印嵌入方案( p a t c h w o r k ) 则是空间域水印算法对l s b 算法的改 进。文献【7 】对这种算法及其改进的算法给出了详细的介绍。p a t c h w o r k 算法中，任意选 择n 对像素点，增加某一亮度的同时，相应地降低另一点的亮度值，通过这一调整过 程完成水印的嵌入。该算法具有不易察觉性，并且对于有损压缩编码和一些恶意攻击 处理等具有抵抗力。 ( 二) 变换域水印 相对于时( 空) 域的数字水印技术来说，变换域水印算法有更好的不可感知性和 更强的鲁棒性。虽然文献【8 】、文献【9 】等在d c t 域嵌入有意义的二值水印实现脆弱性 算法，以及文献【1 0 】、文献【1 1 】等提出基于小波变换的脆弱性水印算法，但是在图像的 变换域内主要嵌入鲁棒性水印。 由c o x 等人提出的基于扩频通信技术的数字水印嵌入策略是频率域技术的经典之 作1 1 2 1 1 1 3 】。该算法旨在兼顾水印信息的不易觉察性和信息顽健性，它利用随机数发生器 产生标准正态序列作为水印信息。该技术可以抗击有损压缩编码和其他的一些可能失 真的信号处理过程。 嵌入图像水印的变换域主要有离散余弦变换域、离散小波变换域和离散傅立叶变 换域。 ( 1 ) 离散余弦变换( d i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m ，d c t ) d c t 是数字信号处理技术中最常用的线性变换之一，和离散傅立叶变换一样，也 存在着快速算法。离散余弦变换是实变换，具有很强的能量压缩能力和去相关能力， 因此它在音频信号压缩和图像压缩等领域得到广泛的应用。数字图像的j p e g 压缩标准 就是建立在离散余弦变换基础上的。基于j p e g 压缩标准模型的水印嵌入算法可以增强 水印抵抗j p e g 压缩的能力【1 4 1 。文献【1 5 】是基于2 d d c t 变换的算法，把d c t 系数按 之字形排成一维序列，使用加性嵌入方式来嵌入水印。但是由于离散余弦变换是从图 像空间到频率空间的全局变换，在变换空间中任何一个数据的误差都会影响到图像中 的每一个像素。为了限制离散余弦变换的全局影响，j p e g 压缩标准把图像分成了一系 列8 x 8 的小块，这样在进行压缩时就不可避免地出现了块效应6 】，对数字水印的生存 打击比较大。同时，d c t 域的水印算法对几何攻击，尤其对旋转攻击没有抵抗力。 ( 2 ) 离散小波变换( d i s c r e t e w a v e l e t t r a n s f o r n l ，d w t ) d w t 是目前信号处理中研究的热点之一。当前的最新的图像压缩标准1 1 6 】 j p e g 2 0 0 0 采用了小波变换。基于d w t 的数字水印可以提高抵抗有损压缩攻击的能 力。利用小波变换可以将原始图像分成多频段的图像，能适应人眼的视觉特性且使得 水印的嵌入和检测可以分成多个层次进行。文献 1 7 - 1 对原始载体采用小波包变换，并 且采用加性嵌入方式嵌入水印。文献【1 8 】采用乘性嵌入方式，将水印嵌入到图像的感知 重要的( 幅值最大的) l o o o 个分量上。文献 1 9 】提出一种基于替换中频子带系数的d w t 域视频水印嵌入算法。文献 2 0 平j j 用“参考块”与“嵌入块”问统计关系来嵌入水印。 2 第一苹绪论 但是目前的基于小波的水印算法中，水印大多数采用伪随机序列，还很少有采用灰度 图像的算法。同时d w t 和d c t 一样虽然能够抵抗一定的j p e g 压缩和常规的信号处 理，但不能较好地抵抗缩放、旋转、平移等几何攻击。 ( 3 ) 离散傅立叶变换( d i s c r e t ef o u r i e r t r a n s f o r m , d f t ) d f t 是线性系统分析的有力工具，在数字信号处理技术中占有重要的地位。由于 离散傅立叶变换是正交变换，计算时可以采用快速算法，而且图像的离散傅立叶变换 系数具有明确的物理意义。离散傅立叶变换是复数变换，在幅度和相位满足特定条件 下，数字水印信息既可以嵌入到媒体信号的幅度上【2 l l 【2 2 1 ，也可以隐藏在它的相位中 【2 3 1 。除此之外，d f t 还广泛应用于视频水印算澍2 4 】1 2 5 1 中，有着较好的鲁棒性。 由于傅立叶变换仅仅具有幅度的平移不变性【2 6 1 ，为了更加有效地抵抗旋转、尺度 等几何攻击，离散傅立时变换经常结合对数一极坐标映射【2 7 】【2 s 1 来嵌入水印，这种方法 又称为f o u r i e r - m e l l i n 变换。但是这种算法对噪声、滤波等攻击没有较好的抵抗力。 4 3 本文主要工作 本文首先研究了分数傅立叶变换的多样性性质，并提出了基于分数傅立叶生成序 列的图像加密算法。在此基础上，本文还有效地利用了c h i r p 信号在分数傅立叶变换域 内呈冲激的特征以及c h i r p 信号抵抗多种攻击的顽强性，提出了基于分数傅立叶变换和 c h i r p 信号的鲁棒性水印算法，并分别结合傅立叶梅林( f o u r i e r - m e l l i n ) 变换和图像 h a r r i s 角点性质对此类算法进行了改进，还提出了一种基于空间域的鲁棒性水印算法。 此外，本文还对脆弱性水印进行了研究，利用分数傅立叶变换的空域性质，提出了一 种基于分数傅立叶变换的半脆弱性图像水印算法，能抵抗一定程度的j p e g 压缩的同 时，并对其他攻击具有较好的脆弱性。 本文的主要工作具体包括以下内容： ( 1 ) 研究了分数傅立叶变换的主要性质，并根据分数傅立叶变换的生成序列的多样 性，提出了一种图像加密算法。利用各级的生成序列、变换阶次以及相位编码 时使用的随机矩阵作为算法中的密钥，对相位编码后的图像进行三次不同的分 数傅立叶变换，达到图像加密的目的。 ( 2 ) 研究并提出了一种基于分数傅立叶变换的鲁棒性水印算法，研究c h i r p 信号本身 鲁棒性的同时，将c h i r p 信号作为水印并嵌入到图像的分数傅立叶变换域，以水 印的嵌入位置和分数傅立叶变换阶次作为密钥以增强算法安全性，并利用c h i r p 信号在分数傅立叶变换域呈现冲激的特征，可有效的检测到水印。 ( 3 ) 为了使得基于分数傅立叶变换的水印算法对几何攻击具有更好的鲁棒性，我们 对内容( 2 ) 中的算法进行了改进，将c h i r p 信号作为水印并嵌入到图像的分数傅立 叶变换域的同时，还在图像的离散傅立叶变换中频区域嵌入水印模板，能有效 补偿几何攻击带来的图像损失。 ( 4 ) 在内容( 2 ) 中算法的基础上，利用h a r r i s 的角点算子提取出图像的部分角点，确 3 江南大学硕士论文 定参照三角形和嵌入水印的图像块。同样选取c h i r p 信号作为水印信号，将其嵌 入到图像块的离散分数傅立叶变换域中，增强了此类算法抵抗几何攻击的能 力。 ( 5 ) 提出了一种空间域的鲁棒性水印算法，将两个c h i r p 信号作为水印信息，根据水 印信号的幅值情况在图像空间域中选定适当的像素点，并用水印信号的幅值替 换。使用两个位置矩阵作为算法中关键密钥的同时，还可方便快速地检测到水 印。 ( 6 ) 对脆弱性水印进行了初步研究，将图像水印“江南”嵌入到分数傅立叶变换域 中，提出了一种新的用于认证的数字水印算法。使用两个随机序列和版权信息 来生成水印；通过比较两个相关系数的大小来提取水印。 4 4 论文结构 第一章主要介绍了课题的提出背景、研究现状和本文的主要研究内容。 第二章研究了分数傅立叶变换及其多样性原理，提出了一种基于分数傅立叶变换 的图像加密算法，仿真实验证明了该算法的较好的可行性、复杂性。 第三章的主要内容是基于分数傅立叶变换的鲁棒性水印算法。首先介绍了数字水 印和鲁棒性水印原理，提出了基于分数傅立叶变换和c h i r p 信号的鲁棒性水印算法，并 分别结合傅立叶梅林( f o u r i e r - m e l l i n ) 变换的性质、图像h a r r i s 角点性质和i 蛩像空间 域特性对此类算法进行了改进，提出了基于d f t 和f r f t 的鲁棒性水印算法、基于图 像角点和c h i r p 信号的鲁棒性水印算法，仿真实验结果表明了此类算法抵抗几何攻击的 鲁棒性得以增强。随后还提出了一种空间域的鲁棒性水印算法，选取了两个c h i r p 信号 作为水印信息，并嵌入到空间域中，算法也具有较好的不可见性、安全性和鲁棒性。 第四章研究了脆弱性数字水印原理，并使用“江南”二字作为水印信息，提出了 一种基于分数傅立叶变换加密域的脆弱性水印算法，仿真实验说明该算法能够抵抗一 定的j p e g 压缩，并对图像的恶意篡改具有较好的脆弱性。 第五章对本文的研究内容和方法进行了总结，并对以后的研究工作进行了展望。 4 第二章基于分数傅立叶变换的图像加密算法 第二章基于分数傅立叶变换的图像加密算法 分数傅立叶变换( f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ，f r f t ) 是一种广义的傅立叶变换。本 章给出分数傅立叶变换的定义及其相关性质的同时，还研究了分数傅立叶变换生成序 列的多样性原理，并提出种基于分数傅立叶变换生成序列多样性的图像加密算法。 2 1 分数傅立叶变换的定义与性质 2 1 1f r f t 域和f r f t 的定义 时间和频率是信号分析与处理中两个重要的物理量，傅立叶变换作为常用的信号 处理工具，建立了时间域与频率域之间的联系。傅立叶变换所分析的信号是频率成分 不随时间变化的平稳信号，所以，在时频平面中，时间轴与频率轴相互垂直，即傅立 叶变换是将信号从时间域旋转2 变换到频率域。然而现实世界中存在的许多非平稳 信号，传统的傅立叶分析显然不能给出满意的结果。 如果将时频平面旋转某一角度，但这一角度不是2 的整数倍数，而是分数倍 数，信号在这个域的表示则由分数傅立叶变换给出，这个域称为分数傅立叶变换域， 即f l t f t 域。如果说傅立叶变换给出信号在频率域表示的结果，分数傅立叶变换则提 供了信号由时间域表示到频率域表示的变化过程，在连续变化的分数傅立叶变换域 中，某些非平稳信号呈现的特征更明显，是在时间域和频率域表示所没有的。 分数傅立叶变换是傅立叶变换的一种广义形式，最早由n a m i a s 2 9 提出并应用于量 子力学，后由a c m c b r i d e 和f h k e r r 进行了严格的数学论证p ”，使之具有一些重要的 数学性质，奠定了它作为一种线性变换的理论基础f 3 n 。作为一种新的时频分析工具， f r f t 可以解释为信号在时频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数傅 立叶域上的表示方法。 信号x ( t ) 的阶次为p 的分数傅立叶变换的定义为【3 2 】： j ，尸( ) = f 9 i x ( u ) 】= ix ( ，) k ，( f ，u ) d t ( 2 1 ) 其中，口= p - “g - ，p 2 n ，h 为整数。k 。( f ，“) 为f r f t 的正变换核，定义为： k 。( f ，) ! ：；亨e x p c ，t t z + 2 u 2c o t a - t u c s c a ，口珂丌 6 ( f 一“) ，口= 2 n n ( 2 2 ) 8 ( t + “) ，o r = ( 2 n 1 ) 石 当，= 4 n ，即口= 2 m r 时，k p ( t ，“) ：j ( ，一) ； 江南大学硕士论文 当p = 4 n + 2 ，即口= ( 2 n _ + 1 ) i t 时，k p ( t ，“) = 艿( r + ”) 。 式2 1 给出的分数傅立叶变换是线性的。从式2 2 可以看出，口= p 昙仅出现在三 角函数的参数位置上，所以以p ( 或口) 为参数的定义是以4 ( 或2 1 r ) 为周期的，因 此只需考虑区间p ( - 2 ，2 】( 即口( ，r ，万】) 即可。 进一步地，为方便表示，将式2 1 改写为： x ，( 甜) = f i x ( u ) 】 = x ( ，) k ，( ，z f ) a t ，口( 一万，万) ( 2 3 ) ix ( t ) 6 ( t - u ) ，口= 0 ix ( t ) 8 ( t + ”) ，口= 7 石( t ) e x p ( 一j 2 m 矾盯= 吾 圻= 面x ( t ) e x p j ，r ( t 2 e o t o t + u 2c o t o t - 2 t u c s c a ) d t ，其他 从定义式2 3 我们可以看出，分数傅立叶变换是经典傅立叶变换的广义形式，它融 合了信号的时间域和频率域表示，因而f r f t 是一种时频分析方法，时域和频域可视 为分数傅立叶域的特例。当旋转角度为n 2 ，即阶次为1 的分数傅立叶变换就是传统的 傅立叶变换；当不旋转( p = o ) 或者旋转的角度为2 7 【的整数倍时，是信号本身；当旋 转角度不在以上两个位置，即p 为分数时，即为分数傅立叶变换，它同时从时间域和 频率域描述了信号的特征。所以，f r f t 是一种比傅立叶变换更具有普遍形式的线性积 分变换1 3 3 1 。信号x ( t ) 的时间域、频率域、f r f t 域表示如图2 1 所示。 2 1 2 f r f t 的反变换 分数傅立叶变换的反变换对应着f t 角度的分数傅立叶变换，其表达式为： 工( f ) 2l 五p ( “) 疋p ( f ，甜) 也 ( 2 4 ) 疋。( f ，“) 为f r f t 的逆变换核，定义为【2 9 】： k ，( ，”) = y l - j 2 万c o t 亘o te x p 【- _ ，丁1 2 + u 2c 毗咖嗍万 a ( t - u ) ，口= 2 n n ( 2 5 ) j ( f + “) ，口= ( 2 n 1 ) t r 分数傅立叶的反变换式2 4 和2 5 表明，信号x ( ，) 被分解在以逆变换核疋。( f ，”) 为 基的函数空间上，而该核是u 域上的一组线性调频c h i r p 函数正交基，这些线性调频 6 第二章基于分数傅立叶变换的图像加密算法 c h i r p 函数的调频斜率是一o o t o t ，它是随分数傅立叶变换的角度而改变的，线性调频基 函数被瞬时频率为u c s c a 的复正弦信号所调制。这也是分数傅立叶变换的c h i r p 基分解 特性。 j w x ( w ) p ， 八一 一 t x ( t 图2 l 时同域、频率域、f r f t 域不意图 f i g 2 - 1r e p r e s e n t a t i o no f t i m e f r e q u e n c ya n df r f td o m a i n 2 1 3f r f t 的基本性质 分数傅立叶变换主要有以下性质口1 】： ( 1 ) 线性 f 9 巳z ( z f ) 】= 吒【f z ) 】 ( 2 6 ) 性质1 表明分数傅立叶变换是线性变换，它满足叠加原理。 ( 2 ) 阶次为整数时 f ”= ( f ) ”( 2 7 ) 性质2 表明当p 等于整数r l 时，p 阶分数傅立叶变换相当于普通的傅立叶变换的 盯次幂，即重复进行傅立叶变换- 次。 ( 3 ) 逆变换 ( f 9 ) 1 = f - 9( 2 8 ) 性质3 把正阶次的前向变换与负阶次的反向变换联系起来。从核函数的角度来 说，这个性质可以被陈述为x - 1 ( t ，“) = e ，( t ，甜) ，容易得出：具有角度口= p z 2 的分数 傅立叶变换的逆变换就是具有角度口= 一p z 2 的分数傅立叶变换。 ( 4 ) 旋转相加性 f 竹f 见= f n + 见 ( 2 9 ) 性质4 中，算子f n 将函数旋转角度，算子f 9 2 将函数旋转o r 2 角度，其中 7 江南大学硕士论文 q = p ，# 2 ，口：= p 2 万2 。如果这两个算子连续对函数作用，将把原函数连续旋转 ( q + ) 角，就相当于算子f p 1 + n 对函数的作用，即f n f 愚= f 凡+ 见。 ( 5 ) 结合性 ( f 凡，办) f 乃= f a ( f 儿f 乃) ( 2 1 0 ) 性质5 并不是分数傅立叶交换所特有的，它对所有的标准线性交换都成立。 2 2 分数傅立叶变换的多样性 2 2 1 特征函数基和算子对角化 纯( f ) ；疗n ) 是构成傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ，f t ) 的特征函数的复规范正 交基【3 4 】，满足如下条件： e ( 慨+ ( f ) 击= 既 f t 相应的特征值以可以表示为： 以= p 一肚7 2 1 ，- j ，- 1 ，以 利用用这样的基可以将信号展开： s ( ，) = 砖( ，) ，t r 其中系数鼠由下式给出： 瓯= e s ( 碱( 懒 鉴于( ，) 的f t 是1 t 。( 厂) ，由式2 1 3 可得展开式 s ( 厂) = 以s 。绋( d ， r n = o 将式2 1 4 代入得 s ( 力= 以( 厂) e s ( f ) 试o ) d r 由此可以导出f t 的核函数的展开式 ( 厂，f ) = 以( 厂耽( ，) 8 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 第二苹基于分数傅市叶变挟的图像加桁算法 上述关系公式导出f t 算子的如下分解形式p 4 1 ： f = u d u ( 2 1 8 ) 这里 u ：瓯= d ( f ) 玩( f ) 硪 d ：e = u 。s 。( 2 1 9 ) u ：s ( 厂) = l ( ) 傅立叶变换选取h e r m i t e - g a u s s ( h g ) 函数作为规范正交基，如下式所示： 4 ，1 纯( f ) = 旱兰以( 历) p “2 疗n ( 2 2 0 ) 4 2 ”捌 这里巩( f ) = ( 一1 ) ”p d “p _ 1 2 d ，是n 阶h e r m i t e 多项式。 除h g 函数外，傅立叶变换算子的特征函数还有很多，并且通过对这些特征函数 的线性组合，还可以得到大量的基函数，设( ，) i 玎n ，是与特征值( 一_ ，) ”对应的傅立 叶变换特征函数的正交基，通过以下公式可以得到另外更多的傅立叶变换特征函数的 其它的正交基： 足： q ，4 n + h ( f ) = 口4 m 舢+ 纸。+ ( f ) 拧n ，h = 0 , 1 ，2 ，3口4 舢+ c ( 2 2 1 ) e n 称 ， 为相对于h g 基函数的扰动序列( p e r t u r b i n gs e q u e n c e ，p s ) ，扰动序列满 口：。+ i + 口4 。+ h ，4 n “= 七，”n ，h = 0 , 1 ，2 ，3 e 2 2 2 一般f r f t 算子的构造 ( 2 2 2 ) 从分解f = u d u 出发，利用其口次幂代替对角算子d 可以构造一个分数算子，即 f 。= u d 4 u +f 2 2 3 ) 其中d 。是一个对角算子，d 。：e = 形最 容易看出，式2 2 3 定义的算子，。满足： ( 1 ) 线性的； ( 2 ) 符合f t 条件 ( 3 ) 具有加法性质 9 江南大学硕士论文 为了构建一般f r f t 算子的核函数，只需要将2 1 7 中的特征值以用它的口次幂代 替即可，由此得到分数傅立叶变换的核函数【3 4 】： f “：( ，f ) = 群纯( ) z ( f ) f ，t r( 2 2 4 ) n = 0 2 2 3f r f t 的多