（基础数学专业论文）关于一些算术函数的均值估计.pdf

西北大学颂学位论文 摘要 众新髑知，算术溺数的筠值估计澜题在解擀数论研究中占存十分重要的证 鼹，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取碍任何实质性进展 都必将对解析数论的发展起到重臻的推动作用! 本文硬宠了一些爨术番数的均 妻傣诗阉遂，凳体研究了关于筝f l ，x ) 瓣零焦最 开式，并得到了关于b ( x ) 一个较好的估计式；给出了关于l 等( 1 ，x ) 1 2 “的估计式，并 褥妥了萁与广义平方g 8 u s 8 和与广义k l 0 0 8 t 材m 鞠的混台蝣值彳舂计式；推广了关 于b r e w e r 和的一个有趣恒等式：研究了一些特殊涵数，数列的均使，菸绘出了一些 较好的渐近公式具体说来，本文的主要成聚包括以下几方面： 1 关予譬l ，购懿零点鼹开式本文磅究了等( 1 ，x ) 的零点展开式，并聪蠲特征 和性质以及d i r i c h l e tl ，函数，给出了关于i 曰( x ) 1 4 的一个较好的渐近公式 2 关予嘭( 1 ，奶 酌混合均德本文研究了| 警( 1 ，x ) 静高次均值，并得弼了 关于i 譬( 1 ，x ) 2 的一个较好的估计式，犀时又研究了其与广义平方g a u 8 s 积与广 义k 1 0 0 s t e r m a n 和的混台均假，得到了一些较好的渐近公式 3 。关于b r e 瓣r 霸熬一个有趣燕等式。本文磋究了b r e m r 察及其一整特拣牲 质，并利用初等方法得到了一个有趣的恒等式 4 关于一些特殊涵鼗，数剜酌萄德本文研究了穗殊函数s c b f 的均值。两个 掰的数论函数的均焦，以及s m ”a n d a c h em 次幂於数，s m 8 r 躺d a c l l e 除灏数的均 值，得到了一些较好的渐近公式 关键谰： d i r i c h l e tl 函数；广义平方g a l l 吕8 和；广义k l o o 吕t e 珊舭和；特征和 b e w e r 襄；将臻数列，丞数。 a b s t r a c t ( 英文摘要) ti 8w 毹lk n o w n 谯a 毛t h en l e 熟nv 越u ep r 讲) l e m so f 甜托h m e t i c 越轴n c t l o n 8p l a a ni m p o n a 城r o l ei nt l l es t u ( 1 yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r k8 n d 屯h e yr e l a t et 0m a n y 飘m 0 1 1 8n u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m 8t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i 8n e l d 雕i l lc 。n t r i b 毪穗t ot h ed e 转l 。p 翻e 致to f 被霜y i c 珏醢翔b e r h e 馥 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，、椭8 t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m 8o fs o m ei m p o r 七a n t 8 r i t h m e t i c a lf u n e t i o n s f i f 8 t w es t u d yt h ep r o b l e mo ft h ez e r o e x p 锄s i o n 硝莩， a n dg e l l e r a l i z ei tt 0t l i eh y b r 至dm e a nv 越u ec a s e s o m ef o u r t hp o w e fm e 8 曲v a l u e o nb ( x ) a r ep r o p o s e d ；s e c o n d ，w e8 t u d yt h em e 姐、础u eo fl 譬( 1 ，x ) i 2 知f u r t h e r ， 8 | 避3 l 黔s 掘努强e 每醅避m e v a l k e 掰| 警豫x ) | d 静l e 豫ik | 。s t 趣a n 8 u m 8 润dg e n e r a lq u a d r a t i cg a l l 8 8s u m 8a n daf e wa s y m p t o t i cf o r m u l a r e 昏v e n ； t h i r d l hw e8 t u d yb r e w e rs u m 8a n di t 8p r o p e i e 8 u s i n ge l e m e n t a r ym e 镭o di n n u 瑚b 雠t h e o r y ，8 ni n t 群e s 虹n gi 幽n t i 乞yi 8g i 氆f i l l 越l kw ew o r ko ns o m es p 蜉e i a 王 8 e q u e n c e 8a n df u n e t i o n s ，a n dg i v eaf 蛳78 h a r pa 8 y m p t o t i cf o r 蹦l ，r h em a i n 采e 鞋e 、瓣m e 珏抟o 髓t 越珏e 蘸i 羟t 娃sd i 8 s e r 托瞎i 懿l 采r e8 8f 采l o w 8 ： 1 t ks t u d yo nt h ep r o b l e mo ft h ez e r 乎e x p a n 8 i o no f 竿w i l lh e l pu 8t o k n o w 瑚o r ep r o p e r t i e 8o f 镌【ed i r i c h l e to f n n e t 洒n i nt h i 8d i s 8 e r t 舭i o n ，w e8 t u d y t h ep r 。b l e m t h ez e r o i e x p a n s i o no f 譬，8 n do b 蜮n 觚i n t e r e 8 t i n gm e 娅v a l u e f o r h m l aa b o u tj 口( x ) j 4 2 t h e8 t 聪y 。nt kp 翻e m t 沁b b 巅狂砖黼v 越h e l 等( 1 ，x ) b8 n d 骶出8 0s t u d yt h em e 黼瑚u e0 fi 譬( 1 ，x ) p 姐dg e n e r 蛆k 王o o s t e r m a n8 u m sa l l d g e l l e r 越q u 甜r a t i cg a u s ss 珊旺88 n daf e wa 8 y i n p t o t i cf o r m u l a ea r eg i v e n 3 t h e8 t u d yo ft h eb 糖粥rs u 礅8 主so n eo 董娃比h o e t e 8 ti s s t l e s 峨a 珏砖v i e n u m b e rt h e o r y i nt h 妇d i s s e r t a t i o n ，w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o di ni m m b e r 穗e 。r yt os 琢匆转r e 粥rs 瑚鞋s 赫d 呈t sp p e r t i e s ，越通钲li n 毛e r e 8 镪培f o r m u l ai s g i v e n 4 s o m es p e c i 8 l8 e q u e n c e 8a n df u n c t i o n 8a r e8 t u d i e d w es t u d ys c b ff u n c l o n ，怕n e wf u n c t i o b s 强do b t 8 i ns o m e 撼e r e s t i n 鬟如r 擞堪8 ；eb a 8 e do 珏像es i m 珏k m l m b e r s w b 啦8 08 t u d yt h ed i s t r i b u t i o np r o p e r t i e 80 ft h es m 盯a n d a c h em p o w e r e o 王珏p k m e 盛髓m b e r s ，s m 8 r 瓤正a c h ef 8 c t o r 逸ls l e n c e ，黼矗o b t 越ns 。m ei 王l t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l 拽e k e ) m r d s ：d i r i c h l e tk f u n c t i o n ；g e n e r 献q u a d r a t i cg 毡u s 8s u m 8 ；g e n e r 越k l o o s t e r m a n8 u m s ；e h a r 8 c t e rs u i n 8 ib r e w e r8 u m s ；s p e c i a l8 e q u e n c e 8 锄df u n c t i o n i i 嚣建犬拳学位论文翔浚黟按声瞬书 y8 9 3 9 0 8 本人究全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期阆沦文工作的知识产权单位属于磷北大学。学校有权保留并 淘莺家有关部门或撬穗送交论文薛复窜馋翻魄予舨。本人允诲论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入谢关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。网拜于，本人猓证，毕监后结合学位论文硬究课题再撰写的文 章一律注骥作者单位秀毯j 艺大学。 保密论文待解密后适用本声明。， 学位论文作者签名：i 盏! 邀指导教师签名：勉趔釜 知“年占月多曩。簿粥莎疆 西北大学学位论文独创饿声明 本人声明：所呈交静学位论文是本人在黪帮指导f 避行鳇戮究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获褥蘧北大学或其它教蛮机构的学位或诞书面使用过的材料。与我 一同工作的黼志对本研究所做的任簿贡献均毫在论文中俸了鹋确镌 溯撩蒯蒜 一繇减 匕矽5 年参月6 目 酾北大学硕士学位论文 第一章绪论 l 。l研究营豢与课戆意义 自变蹙n 在某个整数集台中取值，圆变量g 取复数值的函数= _ ，( 他) ，这种 函数稳之为算术隧数，它们在许多数沦瓣麓麴醭究中起羞菲嚣重要躯馋煺尽 管很多黉要算术函数的荤个取德往往根不规刚，然衍1 若们的均德，( n ) 棚体现 n ! o m 很好的规律性，阕而数论中耐算术函数性质的研究经常是在均值意义下进行 豹鼬| 8 】【 算术蕊数的均慎估计是数论尤其是解析数论的熬要研究谍颓之一，是研究各 种数论问题不可缺少的工具因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析 数论的发展起到重罄的推动 乍翔 解耩数论中关于等( 1 ，x ) 问题的研究裔助于我们深入了解 整数分布的性质张文鹏教授【3 8 j 曾研究了此类问题并给出 了g 。蠢x m 甜g x l 鲁( 1 ，x ) 和q 母蠢xm o dg x 鲁( 1 ，x ) l 鲍 璃蓬 杏计，势要求我们研究冀多维高次均德菇及与其它著名帮式静混念型均 值这个问题具有挑战性，因为原有的方法基本上患不通，出现了新的难以解决 的d i r i c h l e t 三一函数的某种复杂形式对于这一困难的摄终克服，使得我们得到了 些寄麓戆潦运公式。 算术函数中的指数和d e d e k i n d 和，以及k l 0 0 8 t e r m a n 徊有着悠久的历 史和丰富的内容c 1 1 【2 1 1 6 1 ，它们之间也存在着某种联系叶扬波【2 6 l 给出了二项 揍数彝与越级k l 。0 8 e 蕊a 珏帮之闯款一燕整等式，嚣这些蠖等式帮可l 盖获广 义d a 始n p 。r t _ h a s 8 e 恒等式所得到张文鹏f 2 目f 3 1 j 证明了d e d e k i n d 和与c o c h r a n e 和可以转化为g a l l 8 8 和与d i r i c h l e tl 函数的某种复杂形式另外，b r e w e r 羊h 在解 析数论的硒究中蕊是个热点。在文献1 5 l j 孛，b w b r e r 首次g | 入了b r e w e r 和， s 。f r d 跌n s 。n 辩l 又磷究了b r e 僦r 稻约往葳，并计算了一些特豫的，对予k 的 进一步性质的研究，我们至今则知之甚少正是基于此，我们又研究了b r e w e r 和的 性质，并得到了一个有趣的恒等式 筵终，罗骂尾越数论专家s m d a e h e 霹在o 由p b l e m 8 n o ts o l u - t i o n 8 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题对其中的一些问趣进行研 究，并给以一定程度上的解决，鼹有趣并有一定的理论意义 基予淤上弱想法，我翻疆究了譬( 1 ，妁翁零赢展开式及莫与广义警 方g a t l s 8 和，广义k 1 0 0 8 t e r m a n 和的混台均髓，b r e 讹r 和，以及一髓特殊函数、数 列，并得到了一定的成果 1 2主要成粜和内容组织 如瓣艇述，本文研究了一些重要髯术函数的均傻估计这些成巢主要表 第一蠢绪论 现在譬( 1 ，x ) 的零点展扦式中关于f b ( ) ( ) 的四次均德问题，关于1 譬( 1 ，x ) l 的高次 均值问蹶及其与广义平方g a u s 8 和，广义k 1 0 0 8 t e r m a n 和的混合型均值估计，关 于b r e w e r 秘蛇一个艇等式以及一些特殊数列秘遁数镰疆个方囊，蠹窭分露在繁二 至第六鼙+ 具体说乘，本文的主要成果帮内容组织如下： 1 燕于竿( 1 ，x ) 的零点展升式问题的研究有助于我们深入了解d i r i c h l e tl 函数以及整数分稚的性质本文在第二晕中磷究了譬( 1 ，x ) 的零点展开式中关 予| 8 ( x ) l 豹离次均簸闻题，绘密了一个| 嚣f 勋| 霞次筠魏的溉近公交 2 袋于g a u s s 和与k l 0 0 8 t e r m a 和的研究有着悠久的历史和丰富的内容在 第三章中本文茸先研究了 譬( 1 ，x ) l 的商次均值性质，进而又分别研究了其与广 义乎方g 挪8 窝及广义k l 。o s # m 秘混合臻篷瞧黢，绘鲞了美于 譬( 1 ，x ) 2 8 懿一 个渐近公式，以及萁与广义平方g a u 吕8 和，广义k 1 0 0 ；t e r m a n 和的混合均值的估计 式 3 b r e w e r 巍的蚜燕阉题楚解辑数谂戆一个礤究热点，在第鞠章中，零文逶过 研究b r e w e r 稻的均德润题，并得到了一个商趣的恒等式 4 必于一些特殊数列和函数的均值性质的研究是十分有趣的在第五章中， 研究了特殊函数s g b f 以及两个掰的数论鹚数，并绘如一些较好的渐近公式+ 在第 六章中，本文研究了s m a r d a 穗em 次鞯替数靛筠德性质，戳及s m 8 r a n d a c h e 阶 乘数的均值性质，给出了关于宙们的一些较好的渐近公式 2 塑2 1 奎童堡塞堂堡鎏塞 第二辈关干譬( 1 ，x ) 的零点展开式问题 2 。l 雩l 言 d i r i c h l e t 工广函数是d i r i c h l e t 在研究算术数列中的素数分布问题时酋先引进 韵它懿憋矮与终爨瓣r i e m & n 鞋函数穗类 蛙，毽不弱熬是对应手察跨翟豹毛瀑数懿 实零点分布的研究有着特殊的困难，而正是这一点舆有十分羹要的意义因此关 于d i r i c l l l e tl 函数特别是譬( 1 ，) 均值问题的研究在解析数论的发展中占有十分 重要的使霪( 见文献f 3 ) ，然蠢我们似乎 良难估计譬( 1 ，x ) 。因此在这一领域中敷搿 任褥实联静进展努将对解析数论的发震灏到重要的推动作用事实上，譬( 1 ，x ) 其 有很好的均值性质张文鹏教授【鹈】曾研究了下列两个和式的均值 磊赤。三。悟妨1 4 弱薹志。蠹。搓c ，黝 4 ， x x ox x o 并取搿了良好的结鬃。在这里，我们将缝续研究譬l ，x ) 验均焦蠼质，著取褥了一定 的盛莱 酋先，我们引入几个基本概念 定义2 。l ：d 瞳磊f 8 # 特征：设l 。一个不恒势零的算术函数x ( ) 知果满 足条缔? ( 1 ) 耋( 码曲 i 对x ( ) = o ；( 2 ) 周期性对任意整数扎，有x 扣十q ) 一 x ( n ) i ( 3 ) 宛全可乘性对任意整数m ，n ，有x ( m n ) = x ( m ) x ( n ) ，邦末，) ( ( n ) 就称为 模q 的觑戚e 拓踌征或模g 的剩余特狂，简称q 的特征 定义2 2 ：主蒋餐：如果当f 托，曲= l 对恒骞赋n ) 一l ，舅8 赫其为模的主旖征，记 为x o 定义2 3 ：原特征和非原跨据：设g 芝1 如果存在正整数 3 的原特征琊未，誊8 般，s 一( 2 嚣+ 彤，聆= o ：l ，2 ，时 有 渊= 一瓣一；等鬻+ 陬，+ 莓( 土+ ；) 翌然，君( x ) 可交譬s ，妁静零煮璇开式酝表达出来荠裁，当8 贾) 一嚣( x ) 对，我们立 即州以 ! l | 到 2 啪( 天) 一( 志+ 舶 3 篇二章关于等( 1 ，x ) 的零点展开式问题 其中：着x ( 一1 ) = l ；则n = 0 ；若x ( 一1 ) 一一1 ；则n = 1 r e 曰( x ) 表示曰( x ) 的 实部世界著名数论专家h o l dd a e n p o r t 教授在自己的文献f 3 7 】中也指出了对 卡潢足一定函数关聚鲍g 研究廖( 妁均僮髂诗的爨赡性。这主簧是基于一个事 实：五x ) 在s = o 懿可能有一个零点，至少目前对睁 ：x ) 均值的研究还很少 本文中，我们将利用特征和与d i r i c h l e tl 一函数的性质，并结合张文鹏教 授f 3 8 l 的繁本方法给娃 了关于曰( ) 的一个肖趣的渐i 珏公式具体说也就是诞明下 蠢懿： 定理2 1 ：若整数口3 ，则我们有渐近式 f 。| 的毋| t x 磊d9 刮。阵警学十t ( 莩骞) - t 莩岛 一盟铲一a ( 东粤) ( 莩骞) + a 嘉捣 + a ( 丢导) 一z 蒹蔷备+ zc a 十国，( 莩吾备一蕃岛 刮研嘲阵骞一蒹舄) + 学i + o ( ， 葵孛，表示任意鏊定的正数，了( g ) 表示辨宥模g 愿酶餐的夺数，f 表示运适辫有素 数p 之和， + 表示通过所有模q 原特征迎和似魔 q 一瓣+ ；( ；) ；( 争1 ； 一一薹高，州 这里i = 1 或2 ，从上述定理中，我们立即瞳j 。以得到： 推论2 。l ：对于任意登数2 戋我鼹有 + 愀删4 一掣毛当q 。 4 麟北大学硕士学位论文 2 2几个引理 为了完成定理的证睨。我们需要卜 蘑凡个g 理+ 嚣先有 引理2 1 ：令a ( n ) 为埘i 叼口胁涵教定义 我们有 r ( n ) a ( d ) a 侧d ) d h 薹掣一莩错+ ( 等筹) 2 一莩蔷岛 证明：参潮文藏嘲 引理2 2 ：设g 3 ，我们有 = 莓譬学+ t ( 等等) 2 一t 莩岛 一蔷盟铲一( 蔷筹) ( 等等)鲁 护妒- 1 ) 4 缶矿一1 八予护一1 + a ；鑫+ a 陲筹) 2 一z 莓高 证明：曾兜乖j 用m 泌i u s 函数的性质，我们蘸够篱单酌襁出 = 霎，善，趔= 霎萋紫= 萋警妻絮磐 n 搿l 矗 扣，)n l 船 d k “ = i ” 2 耋掣善刍薹掣+ 蒹蒹帮耋掣 惫舻 鲁p 2 惫妒纛象建遁惫 牲2 。 利用引理2 1 的证e 明乃法，我们樽剥 丢；薹掣 5 洳万 r 一 暴 孙万 r 一 亲 瑚广 h 瑶 竣妒 产一 嚣 一 躞妒 一一 删 三矿 出 一 f 三 年p 2 薹警+ 薹差至帮 莓嘉 等等+ ( 丢籍) 毒一燕 2 蒹警学 2 莓譬学 + ( 荨籍) 嘉粤一蕃器 + 筹) ( 莩鲁) 一蒹器 取p l ，p 2 分别代表两个不同的素数，我们得到 蒹蒹镌茅薹塑警边2 蒹蒹羹。 2 蒹蒹熹。滞一蒹薹薹学 2 蒹蒹蠢端z 杀错一。莓毒岛 = a 粤) 2 一。导等一z 蔷岛 结合引理2 1 及上面的公式，我们有 塑 。 n 2 ( n ，q ) = 1 等譬学+ a ( 等粤) 2争( p 2 1 ) 3 一予矿一1 蒹盟铲一( 善等) ( 等等) 名 矿( p 2 _ 1 ) 4 缶p 2 1 八予；巧 + a ；岛 p k 、， 1 ， 这就完成了引理22 的证明 6 。r l n 4 p 。斋矿可 l 驴 坚l p ， 4 、 ，i h一矿 巾 ，ji 4 塑! ! 奎堂堡圭霪堡遣塞 g l 理2 。3 ：设g 和r 分别为整数，并且满足g 2 惫j ) 一1 x 为模g 转拶i 癌拣耙礴争 征，则我们有以下恒等式 + x ( r ) 一p ( 拟d ) ，j ( q ) 一肛( d ) 绚， xm 。d9 ( 界f i ) 一 棚口 铀 莫中，了( g ) 表示馥鸯模艨特蔹的令数，+ 表承通遗所有模原翳征之 和，筘( 哟表示粥 珏s 函数 。”岫 证明：利用特征的性质，我们知道对任意模q 的特征弘存在一个且仅有一个模d 的 撩特镊磁，嗣g 使得x * 磁瑶，这疆瑶寝示模q 的主特征因此我们得到 x ( r ) _ 4 时馏= 4 x ( r ) x o “o oq d 陲x m o dd d kxm o dd 利用m 油i u 8 变换，并结合以下等忒，我们有 x ( r ) 一她) ，如果r el ( m o dg ) ， x8 l o d 口 x 一o ， 搿贼 xi n o d 口 我们商 4 x ( r ) = p ( d x ( r ) = 弘( 黝毋( 固。 “1 0 dg 删口 x l o d 州日，r 一1 ) “ 玻r = l ，我嚣j 立帮褥爨 t ，( q ) = 雎( d ) 毋 硝q ” 这就完成_ s l 理2 。3 的诬明。 s l 理2 4 ：设整数q 3 ，我们有 。刮暑掣| 4 叫障警学+ 。侔等) 2 。等岛 一莓地挚一( 蔷筹) ( 等等) 箭 矿( 矿叫) 4 斋歹j 八予万jj + t 茅捣+ t ) 2 一。嘉岛 黧二章关于譬( 1 ，x j 的零点麟开式问题 o 潆l n 4 辩) 证明：令r ( 件) 同日f 理2 2 中定义对于 玑我们定义 r ( n ) = a ( r ) a ( s ) 麟两于所有的蝼我。前卜“功莓2 莩结台特征的_ 胶性 及引理2 2 ，引理2 3 ，我们有 f ” 2 1 。篆。4 匿掣 2 。刮磊掣 = 亟瓮幽+ x ( m 捌 ，忽。昌 m x 厶d 。”“ 乏7 掣。咖( d ) 高。岛 “ d 抽急1 ) “蠢7 一靶擀，羡。聂掣 d 旧m 2n 3 是一个实数，表零逶道赝有素数之理， 一f 殛我螺姆对岸( 1 ，劝 瓤的均焦及莫与广义董( 1 。o s e m 帮与广义g 毅撼s 秘 的混合均值进行研究 鹭燕，我翻；进一磐基零穰念帮整结鬃： 定义3 1 ：设g 3 为一令正整数，靖任意整数瓶和m 经典船s e 蹴。蹲定义如下j m ，嘲，。娶( 竿) ， 葵中，表示所有通过扎臣满足( n 、q ) = l ，蕊蒹lm o dg 的和，e ( 彩：e 2 ”妇 ( m ，kq ) 最重要的艴质可能就是f 面的估计式：f 见文献f 3 9 j 和文献1 4 ( ) 】 ( m ，口) l d ( 9 ) g ( m ，2 g ) f 31 ) 酽 | f xq l 鬻 卫 舯 q l | x0 i 羔枷 土 艘 第三誊关于譬( 1 x ) 的混合测均值 其中d ( q ) 是除数函数，( m ，n ，口) 表示m ，和q 的最大公因子若口为一个素数p ，h dk 1 0 0 8 t e r m a nf 4 l 】研究了( o ，l ；p ) 的四次均值，并证明了等式 1 k ( 。，l ：p ) 4 = 2 p 3 印2 一劬1 这个等式迄被珏。l 涮e c 【4 2 l 艨发理；珏。s 蕊筢i 趣耪丰差。d a 勰n p o r t 又分裂褥弱了 下面的估计 张文鹏教授 3 q 又发现在k 1 0 0 s t e r m a n 和与c o c h r a l l e 和之间存在着联系 e ( 盎，鼋) =奎( ( 拟) 其中 t t 。羚= 善一圈一5 翥羹：薹兰篆耋 例如，若q 足一个完全平方数，则 言酗砌瑚= 一知+ 。( ( 耥) ) ， 对予一般戆整数g 魏键1 3 又褥裂下藿豹巍逶公式 窘如瑚啪潮扣爨( 1 一志) + o ( 渺) * 酶l “ 舶 f r 1 ， 、7 定义3 2 ：对于任意整数m 和n ，广义尉。s 耙m n n 和k ( m ，n ，蜊口) 定叉如下 踟，嗽潮= 宴婚，e ( 竿)n = l 、 许多数埝专豢分别褥到了厍( m ，) 的不秘经蒺。弼鲤，a ，v 瓣8 匆s h e v 4 4 】给出了( m ，n ，x ；p ) 较为精确的上界髅计即， 筇( m ，n ，x ；p ) ( m ，p ) p 女+ e 对于任意台数q ，我们都不知道| 矗，( m n ，x ：q ) f 到底肖多大事实上，如果q 币是素 数的话，i k ( m ，扎，x ：g ) l 的信足币规则的 1 6 舻 6 矿 l 沁 州戚 西j 0 大学硕士学位论文 然焉，令人屹壤豹是搿m ，豫x ：p ) 却享有诤多良好弱翅篷蕊质张文鹅教 授f 见文献h 5 】和文献) 便证明了下值i 的渐近公式进而说明其良好的值分布性质： ，蠹。塞瞰m ，嗽渤吩护承魏( ，一熹赢嵩+ 蔷筹)x m o dqm = l矿怕 如栗x 是摸p 的主特征； 如果盖是毛e g e 耐r e 符号 如果) ( 是模p 的复特征 他进一步研究了d i r i c h l e tl ，函数与广义k l 。0 8 t e r m a n n 和的混合均值估计，并得出 了一些毒趣戆澎返公戴见文教帮文献) ： | 鬈( 辨焉x _ ) | 2 | 媳钟2 x m o dq x j o x 0 = ( 扩1 败曲黎( t 一扩1 凳( t 一学) + 。 器等筹铲一岛讲。( q 6 q ) ， 翕咖2 ( g ) 。缸。阳，x ) l ”。l ” 其中( m m a ) = ，( 三) = 志， 伤= 啦菇+ 篙蒜卜 是一个常数，且 触，剐+ 筹+ 端+ t + 禹+ 1 因此我们很自然的想劐研究譬x ) 与广义k l 。0 8 t e r m 觚和的混台均使具 体说也就是证明f 面的： ；嘉膨一谢+ o c n 1 7 p b l 一 一 掰鳓珊 1 鼯 ，一 和 其州) ：薹掣是一个依粉删常数 ( 蕊兰t 强( n ) = a ( m 1 ) a ( m 2 ) - a ( m 女) 鞋m 0 “m = n a ( n ) 是胁珊d 姚函数，e 是一个任意正数 定理3 2 ：对任意正整数，我们有 。三。盼x ，卜掣始m ， 定理3 3 ：对任意正整数以及赘数m ，n 满足( m n ，q ) 一l ，我们有 定义3 3 ：对任意整数礼，广义“s s 和g 枷，x ；g ) 如下定义 g 瑚，= 嘉施，e ( 等) g ( 嗽：q ) = x ( n ) e ( 等) n 嚣i 、 警x 交纯时，| g ( n ，弼g ) i 的值是不瓶剐的我们仅仅得到了一些上弊估计例 如，对任意艇数滚足( ，g ) = l ，萍剥髑t 。g o c h r 8 珏e 和郑志勇【4 8 1 的一般结爨，我 们能够推出 | s 托，x ；) | 2 甜t 2 墙， 其中曲表示g 的不弼素雕子的个数。当g 楚素数对，我寒】霹参看a 鼬i lf 2 8 1 g ( n ，x ；g ) 在一些加权均值研究中具有良好的均值性质张文鹏教授【4 q 研究 了d 姒c h l e o 函数与广义g 球l 】s 8 和麓潺台均值，劳褥翔些有趣静渐远公式： 以及 l g 如，x l 蚓2 - | 三( 1 ，x ) | 一凸p 2 + 0 0 i l 铲d x m o d p ”x o i g 聊) 五( 1 ，x ) i = 3 凸p 3 + o ( 弗l n 2 p ) x m 。d p x x o 1 8 + 窜 ；0 o 爵鼍 棼译 a | 脯 x擘 一二 砖x 嚣嫩掰 罴 西j 大学硬举 壹谚文 其中岛一掣 ，+ 黪+ 筹一+ 器叫护个卷 数，且( n ，p ) = 1 对于pi3 m o d4 ，我们还脊 | g ( 嗽；删6 冈，蚓= l o - 岛矿斗。0 2 p ) x m o d p x x o 因此，这使我们又很自然的想到研究等( 1 ，x ) 和o ( n ，x ：p ) 的混合均值具体 滋也就是l 歪爨下委 救： 建理3 4 ：对于任意正整数及整数n 满足( n ，p ) = 1 ，我们有 定理3 5 ：设尹为一个奇素数且满足p ；3m o d4 ，郑来对于任意正整数及整数蚱 菇满足( 牲，加= l ，畿稍有 3 。2几个引理 为了究成定璞的证明，我们需要f 面几个引理，首先有 s l 理3 。l ：对强意螽整数，我栩寿 。三肛卜蹶蜘汹删矿， 枷阮萨薹掣是一撕辩数， ( ，z ) = a ( m ，) a ( m 2 卜a ( ，n ) a ( n ) 是a 如w o 胁函数，t 燕一个任意正数 l 0+ 矿力陋 a l | 旅 x f l 力 x 凡g 盖渤 0 + 芦筘 矗 | 1 啦 x露 一互 争 g 鬻 第三章关于譬l 。妁豹混合型均瞳 证明：在这里，引理3 1 与定理3 1 内密完全相同，由r 我们在以p 引理中会用到此 定瑾翡证嚼，敖捉瓣之 设) ( 1 是模g 的非主实特征，从a l s i e g e l s 定理( 5 0 及工一函数的性质我们知 道 缸川帮 ( 3 2 ) 对模口翁任意复特征x ，髓q e x p l ( k g z ) ，其中是任意正的常数 鼠e x p ( ) ：e ”从文献f 3 1 我们知道 。 重锨) 一x ( n ) a ( 哟z e x p ( 一( 1 。g 粥 曼。 遮里正毽静仅仅辕赣予i 末我们选敬e x p ( 旆) ，并翻鲷a b e s 恒 缸牡薹掣= ，萎掣+ f 。 娥”) a ( n n 曼 一；曼掣+ 。( 葙) t i 毒寰 “ le x p f g ”( 1 0 9 ) ) 7 由式( 3 - 2 ) 和式( 33 ) 我们有 。三弦卜聂抄卜( 错) 曲 ( 3 ，3 ) 一烈萎掣卜( 端) + 。( 箫) 一u x 1 f 2 老 ：| 掣掣j 十。( 妒 xm o dq 1 1 1 n ” i 加( 褊) + 。( 错) _ a ， 引量掣卜烈。掣i 2 翼! ! 套耋堡圭錾鎏圣 ：警芸凳掣x ( n t ) 鬻n 。) l 曼翥兰tt 兰翥兰t p 砣 x 鲁怎口 划曲警 1 薹“l s 月i s “2 s v 6 l ，q ) = l ( ”2 ，q ) = 1 ，、 刮到，量；掣+ 。卜琏暑；丝毫蔫l 嘲s 城种司式中取= m a x p ( 游) ，唧( 簖) ) 删位 即褥到 。 三i 等( 1 | _ 蛳，咖( o 十o ( n x x o 遮就完成了定理3 1 的证明 使用同样的方法，我们很容易得到定理3 2 的诚嘎 孳i 理3 2 ：对任意藏整数殷整数”i ，n 满起f m qq ) = 1 ，我们有 毛，f 熹毫7 如，e ( 坐坠塑掣) | 譬豫妁| ”声e y m d d 口l = 26 毒l 、7 j 证明：注意到 ( r n ，孽) = ( 砟，g ) = ( 8 ，曲= l 以及 ( n l ，g ) = ( n 疆一n ，q ) = ( n ( 丽一1 ) ，q ) 黑( 面一l ，q ) ， 我们有 ( m ( n 1 ) 扎( 瓦一1 ) ，q ) = ( n l ，q ) 觚式滔1 ) 中我们褥列 塞喜稚) e ( 坚兰 堕型) 痢谚塞殛一t 瑚in 茗26 = 1 、 17 n 揣2 p 啦妹 魄 o+ 警 器 爵妖 | 第三警关于譬( 1 x ) 的混合测均值 = g ；d l g ；d 2 ( g ) ( 36 ) d i gl 曼茎口d 载e x p ( 旆) ，结合式( 3 2 ) ，式( 3 3 ) 爨袋式( 3 6 ) 我们有 ) 旧玻，广 2 。聂。睦洳，e ( 业等蚴) 卜( 麴端 = 。三。睦洳知( 坚学) 熄芈r + 。( 端) + 。( 簪) 2 。聂。隧球，e ( 半) 惦芈广 + 。o i 乎e 奶k s 黯) 十。( 端) + 。( 堡坠紫) 。聂。睡小，e ( 半) 蟾华广 2 。磊。陵静e ( 坚学) 瓞。牮j x m o d 口l o = 2 嚣l 1 11 1 j l = 塞静，e ( 坚等蚴) ，! 暑啦墓。姑 x ，) x ( n 2 ) x | 拄。4 2 2 坠亟 +一鼋 一 她 。鳓 羔砌 击 鲞： 誉 玉一 。础 脒 _ 璧珈 塑! ! 奎堂堡塞堂堡堡塞 q q d ( q ) ( g ) 1 0 9 2 ( o 一1 ，口) n = 2 1 n 1 * l i 嘲似卯舻蝥。卉。，未。一也而 o = 21 n 1 k 1n m 1 7 却( 咖( 刚酽壹垒二掣存d ( 口) l 0 9 2 。壹( 。_ l 毋d ( g ) 垂0 9 2 2 五袅+ 始) l 。9 2 砌鑫l 耐口l l d硎g1 ；蔓q d q d 2 ( g ) ( 口) l 0 9 2 “+ 1 v + q ；d 2 ( g ) l 0 9 2 2 + 2 妒 l 。矿2 蝴( 3 。8 ) 现在郁和妓q s 忡= m 猷 e x p ( 旆) ，e x ”( 簿) ) ，我们立 隆壹7 小，。fl x ( n ) e ( x m 融gl = 2 赫l 、 这就完成了引理3 2 的证明 什汤( n 1 ) + 礼6 ( 面一1 ) ) 旧圾，卜沁 $ l 理3 3 ：设p 是隶敷，# 莛螫敷显瀵足( 嚣，囝= l ，8 ( 臻妨是缀舞g 和。黠我 们有 l g ( 托，x ；p ) 1 2 = 印+ x l ( n ) g ( 1 ；p ) x ( ) x l ( 。2 一1 ) ， 蛳，= 扣州，+ e 一警) = 囊，麓茎勰主 蠢 p 一1、2 ( x ( o ) x l ( n 2 1 ) ) = 2 x l ( 8 = l 证明：见文献1 4 9 】 引理3 4 ：对任意正整数女及捺数n 且满疋( n ，p j = l ，我们有 i ) 芦一lt x ( n 2 一) x ( o ) i = 1 x m o d p l x 手x 0 x ( 一l = 1 2 3 x ) 心一“ l一 2 6 x 2 h 一 2 0 x n x 潍 哪m 十 3 p 第三鼙关于譬( 1 ，x ) 的混合测均值 n ) 薹薹矧护山2 胁c 。2 一。三，小) | 荽x ，l “声6 x l ( 护山2 ) ( 6 2 1 ) x ( 。) 等( 1 ，x ) i p 冲 4 = 26 = l ￥m o d p 证明：我们仅证明斌( i i ) ，式( i ) 可崩同样的方法推出。注意到由a w e i l 【2 8 j 得到的 售诗式 ( 3 9 )x l ( 铲一铲) ) ( 1 ( 6 2 一1 ) g3 沂，如果护l m 。d p ， 对于( 曲，p ) = l ，利瑙模p 特征和的正交能，我们有 嘲。三，心溅牡憎。1 k 嚣矗胁咖； 取阁( 旆) ，鼠式( 3 2 ) 秘却固剿西跌矧 妻釜觯埘娜。叫删钆莉 2 x t ( a 2 6 2 ) x 1 ( 6 2 一1 ) ) ( ( o ) 等( 1 ，莉 = z 拇l x l n o d 筘 x 手抽 = 薹静蝴矧犯。p a ，| 。三芈r = x t 一6 2 ；x t 嵇2 一1 ) x 叫半| o 然26 = 1 t m o dpi l l l 嘶耐小。( 褊卜( 鬻) 强竭 结台式( 3 9 ) 和忒( 3 1 0 ) ，我们有 薹静扎固州儿。p n ，l 。纛华 x - ( 0 2 6 2 ) ) ( - ( 6 2 一1 ) x ( n ) l 型掣l 8 = 26 辅l x m o d 口l l f j v ：霎姜州矿一国x l ( 。一，) 戛小) l 韭学l = x ( 矿一6 2 ) x l ( 6 2 1 ) x (