（轮机工程专业论文）fz上电网络的数学模型及结构性质研究.pdf

武汉理工大学博士学位论文 摘要 在电路理论领域内，关于电网络结构性质的研究都是基于实数域上的( 描 述系统的状态方程系数矩阵都在实数域上) ，得到的有关网络性质的结论由网络 的结构和网络中元件的取值共同决定，但是基于多元有理函数域f ( z ) 上的研究 方法所获得的网络的性质只由网络的结构决定而与网络中元件的取值无关( 因 为这些元件都没有取值) ，只需观察网络的结构即可知道网络是否能控能观，方 法直观简便，特别适合电网络的分析与综合。国内外研究主要针对无源的线性 r l c 网络，但在无源网络的输出方程和结构能观性的研究也还要进一步完善。 有源电网络较之无源r l c 网络来说，是一种更接近实际、应用更为广泛的电网 络，所以对有源电网络的结构性质的研究是对前期的无源r l c 电网络结构分析 的继承和发展，其意义更加重大。在分析f ( z ) 上电网络的能控能观性时，需要 应用其代数判据，这就要首先求出其f ( z ) 上状态方程系，即状态方程和输出方 程，并开发相应的计算机辅助软件，提高计算精度，具有理论指导意义和实际 应用价值。 本文主要研究线性电网络的拓扑结构，通过建立f ( z ) 上的数学模型( 状态 方程和输出方程) 研究电网络的结构性能。论文主要由以下几个部分组成： 1 在综述与研究课题相关的国内外动态的基础上，分析线性系统特征多项式 具有的两个性质，介绍一类r f m s 的可约条件，并将可约条件应用在多元有理 函数域f ( z ) 上的r l c 电网络上进行实例分析。 2 运用f ( z ) 上电网络理论，将网络中各支路的电压电流关系用代数方程式 形式表示出来，同时对方程式进行变换，得到无源和有源网络的状态方程。分 析f ( z ) 有源网络状态方程的存在性条件和有源网络状态方程有解的拓扑条件。 3 用多元有理函数域f ( z ) 上矩阵来描述电网络系统岩= 朋+ b u 的系数矩 阵，结合图论、矩阵论和电网络理论研究，获得电网络的一些结构特性和可约 性与可断性结论。并将该结论与研究获得的f ( z ) 上系统理论相结合，得到f ( z ) 上线性电网络系统能控的结构条件，论文进一步分析、探讨有源网络结构能控 的充分条件，通过观察网络拓扑结构就可以判断网络是否能控。 4 推导无源和有源网络的输出方程，分析网络中任意支路的电流或者任意两 武汉理工大学博士学位论文 个结点之间的电压表达式以及有源网络结构能观的充分条件，为编制求解输出 方程和分析网络能观性的计算机辅助分析软件打下基础。 5 运用v c + + 和m a t l a b 平台编制计算机辅助分析软件，对有源网络的结 构性质进行计算机辅助分析( 包括电网络图形绘制、网络拓扑结构分析、结构 能控能观性分析等) ，并进行实例验证分析。软件界面友好、直观，便于操作。 关键词：多元有理函数域，电网络，状态方程，输出方程，结构能控( 观) 性 武汉理工大学博士学位论文 a b s t r a c t i nf i e l do fc i r c u i tt h e o r y , t h ec o n c l u s i o na b o u ts t r u c t u r ep r o p e r t i e so fe l e c t r i c a l n e t w o r kb a s e do nt h ef i e l do fr e a ln u m b e ri sd e t e r m i n e db yb o t hn e t w o r ks t r u c t u r e a n dt h ev a l u eo fe l e m e n t ，b u ts t r u c t u r ep r o p e r t i e sb a s e do nt h ef i e l do fr a t i o n a l f u n c t i o n si nm u l t i p a r a m e t e r si so n l yd e t e r m i n e db yn e t w o r ks t r u c t u r ea n dn o tb yt h e v a l u eo fe l e m e n t s ( b e c a u s et h e s ee l e m e n t sd on o th a v ev a l u e s ) w ej u s tn e e dt o o b s e r v et h en e t w o r ks t r u c t u r ea n dk n o ww h e t h e rt h en e t w o r kc a nb ec o n t r o l l e da n d o b s e r v e do rn o t t h em e t h o di ss i m p l ea n ds t r a i g h t f o r w a r d ，a n de s p e c i a l l yi ss u i t a b l e f o ra n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fe l e c t r i c a ln e t w o r k t h ec u r r e n ts t u d yo fl i n e a rp a s s i v e r l cn e t w o r kg e t ss o m ec o n c l u s i o n e v e nt h ep a s s i v en e t w o r k ，t h eo u t p u te q u a t i o n s a n ds t r u c t u r eo b s e r v a b i l i t yo fn e t w o r ka l s on e e df u r t h e rr e s e a r c h a c t i v en e t w o r k si sa m o r er e a l i s t i c ，b r o a d e r a p p l i c a t i o no ft h e e l e c t r i c a ln e t w o r kt h a np a s s i v er l c n e t w o r k ，s or e s e a r c ho ns t r u c t u r ep r o p e r t i e so fa c t i v en e t w o r ki si n h e r i t e da n d d e v e l o p e df r o mp a s s i v er l cn e t w o r k ，a n dh a sm o r es i g n i f i c a n tm e a n i n g t h e a n a l y s i so fc o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t yo fe l e c t r i c a ln e t w o r ko v e rf ( z ) r e q u i r e s t h ea p p l i c a t i o no ft h ea l g e b r a i cc r i t e r i o n ，s of i r s t l yw ed e r i v es t a t ee q u a t i o na n do u t p u t e q u a t i o no fe l e c t r i c a l n e t w o r k m a n u a la n a l y s i sa n dc a l c u l a t i o ni sn o ta c c u r a t e e n o u g h ，s ot h ec o m p u t e r - a i d e ds o f t w a r ed e v e l o p m e n ti so fp r a c t i c a lv a l u e t h ep a p e rs t u d i e st o p o l o g ys t r u c t u r eo fl i n e a re l e c t r i c a ln e t w o r k ，a n ds t u d yt h e s y s t e ms t r u c t u r ep r o p e r t i e sb ye s t a b l i s h i n gm a t h e m a t i c a lm o d e lo v e r f 0 ) ( s t a t e e q u a t i o na n do u t p u te q u a t i o n ) t h ep a p e rc o n s i s t so ff o u rp a r t sa sf o l l o w s ： 1 t h ep a p e ri n t r o d u c ed e v e l o p m e n to fr e l e v a n tt o p i c sa th o m ea n da b r o a d ，a n d a n a l y s i st w on a t u r e so fc h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l so fl i n e a rs y s t e m sa n dr e d u c i b i l i t y c o n d i t i o no fac l a s so fr a t i o n a lf u n c t i o nm a t r i c e s ，a n dm o r e o v e ra p p l yr e d u c i b i l i t y c o n d i t i o nt o a n a l y s i s r l cn e t w o r ko v e r f ( z ) o fr a t i o n a lf u n c t i o ni n m u l t i p a r a m e t e r s 2 a c c o r d i n gt oe l e c t r i c a ln e t w o r kt h e o r yo v e rf ( z ) ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n v o l t a g ea n dc u r r e n to fe a c hb r a n c ho fe l e c t r i c a ln e t w o r ki se x p r e s s e da sa l g e b r a i c i i i 武汉理工大学博士学位论文 e q u a t i o nf o r m ，a n dt r a n s f o r m st h e s ee q u a t i o n s ，a n dg e t ss t a t ee q u a t i o n so fp a s s i v e e q u a t i o na n da c t i v ee q u a t i o n t h ep a p e ra n a l y z e se x i s t e n c ec o n d i t i o na n dt o p o l o g y c o n d i t i o no fs o l v a b i l i t yo fl i n e a ra c t i v es t a t ee q u a t i o no v e r f ( z ) 3 t h ep a p e ru s em a t r i x f ( z ) o v e rt h e f i e l do fr a t i o n a lf u n c t i o n si n m u l t i 。p a r a m e t e r st od e s c r i b ec o e f f i c i e n tm a t r i xx - a x + b u b yu s eo fg r a p ht h e o r y a n dm a t r i xt h e o r yw i t he l e c t r i c a lt h e o r y , t h ep a p e rg e t ss t r u c t u r ep r o p e r t i e sa n dt h e c o n c l u s i o n so f r e d u c i b i l i t ya n ds e p a r a b i l i t y c o m b i n i n gt h e s ec o n c l u s i o n sw i t h s y s t e mt h e o r yo v e rf o ) ，w ea r r i v es t r u c t u r ec o n t r o l l a b i l i t yc o n d i t i o no fl i n e a r n e t w o r ko v e r f ( z ) a n df u r t h e r a n a l y s i s s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fs t r u c t u r e c o n t r o l l a b i l i t yo fa c t i v en e t w o r k f i n a l l yw eo n l yo b s e r v et o p o l o g ys t r u c t u r eo f n e t w o r ka n dd e t e r m i n ew h e t h e rn e t w o r kc a nb ec o n t r o l l e do rn o t 4 t h ep a p e rd e r i v e so u t p u te q u a t i o n so fp a s s i v ea n da c t i v e n e t w o r k ，a n d a n a l y s i sa r b i t r a r yb r a n c hc u r r e n ta n dt h ev o l t a g ee x p r e s s i o nb e t w e e na n yt w on o d e s ， a n da l s oa n a l y s i ss u f f i c i e n tc o n d i t i o no fs t r u c t u r eo b s e r v a b i l i t yc o n d i t i o no fa c t i v e n e t w o r ko v e rf q ) t h e s er e s u l t sl a yt h ef o u n d a t i o nf o rt l l eo u t p u te q u a t i o na n d a n a l y s i so fn e t w o r ko b s e r v a b i l i t yb yc o m p u t e r - a i d e da n a l y s i s 5 t h ep a p e r d e v e l o p sc o m p u t e rs o f t w a r eb yv c + + a n d m a t l a b ，a n da n a l y s i s s t r u c t u r ep r o p e r t yo fa c t i v en e t w o r kb yc o m p u t e rs o f t w a r e ( i n c l u d en e t w o r kg r a p h p r o t r a c t ，a n a l y s i st o p o l o g ys t r u c t u r ea n ds t r u c t u r ec o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t y ) ， a n df i n a l l ya p p l yc o m p u t e rs o f t w a r et o a n a l y s i se x a m p l e u s e ri n t e r f a c eo ft h e c o m p u t e rs o f t w a r ei sf r i e n d l y , i n t u i t i v e ，a n de a s yt oo p e r a t e k e yw o r d s ：t h ef i e l do fr a t i o n a lf u n c t i o n si nm u l t i p a r a m e t e r s ，e l e c t r i c a ln e t w o r k ， s t a t ee q u a t i o n ，o u t p u te q u a t i o n ，s t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t y ( o b s e r v a b i l i t y ) i v 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：蟀日期：皿 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的全部内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存或汇编 本学位论文。同时授权经武汉理工大学认可的国家有关机构或论文数据库 使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研川：钾坪：锐日期2 一罗牛 武汉理工大学博士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 像许多科学分支一样，电网络理论试图通过建立一种数学模型来描述发生 在一部分客观世界中的现象。当然，这种模型是以对客观世界中的观察作为依 据的，但它也利用其他的数学模型，这些模型已经如此出色地经受住时间的考 验，以至于被认为是客观真实性的本身。例如，关于在导体中电子的流动而形 成电流是如此的生动，以至于使人不觉得这只是部分客观世界的一种理论模型。 提出一种模型的目的是为了能够了解其自然现象，人们希望所导出的逻辑结论 能预测出所确立的条件下该模型的行为。 所谓电网络是指电器元件的相互连接而言的，这种相互连接形成一种具有 可达点的结构，在这些可达点上可以观测信号。假设组成网络的电器件是用模 型或假想元件表示的，这些假想元件的电压一电流方程是线性方程。通常是指 研究集总参数网络，不涉及偏微分方程或者差分方程。网络的性质可以分为两 大类：一是根据网络结构所引起的那些性质一拓扑性质，与由什么特定元件构 成网络的支路无关，而仅取决于这些支路是如何相互连接的，例如可推出一个 梯形网络的传递函数零点必定位于左半平面，而不管各支路是由什么元件构成 的。二是作为信号处理器的网络的一些性质，信号在网络的可达点上加入，网 络对这些信号按照一定的方式加以改变或处理。这些信号处理性质既取决于组 成网络的元件，也取决于网络的拓扑结构【m j 。 在5 0 年代，麦萨维克( m e s a r o v i c ) 教授曾提出“结构不确定性原理”，指出经 典控制论对多变量系统不能确切描述系统的内在特性，只有用状态变量的描述 方法，才能完全表达系统的动力学性质。6 0 年代初，卡尔曼( k a l m a n ) 首先提出 了使用状态空间方法分析与综合复杂系统的问题，提出了系统的能控性、能观 性、稳定性以及滤波等问剐7 母】。状态空间法的一个基本特点是，采用状态空间 这种内部描述取代先前的传递函数那种外部输入输出描述，并对系统的分析和 综合直接在时间域内进行。卡尔曼从外界输入对状态的控制能力以及输出对状 态的反映程度这两个方面提出了能控性和能观性的概念，首次提出了“卡尔曼滤 武汉理工大学博士学位论文 波”。这些概念深入地揭示了系统的内在性质和特征i l 训。 现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的 外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受 输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是能控性和能观测的问题。能控性 和能观测性这两个表征系统结构特性的主要概念正是在状态空间法的基础上提 出来的，在现代控制理论中起着重要的作用，是研究线性系统控制问题必不可 少的概念。实际上，现代控制论中所研究的许多基本问题，诸如最优控制、最 佳估计等，都是以能控性和能观性作为解的存在条件的。因此对系统能控性和 能观测性问题的研究有着重要的意义。1 1 1 i f l 2 1 鉴于所选研究课题，本文以最典型的物理系统一电网络作为研究对象，将 电网络的数学模型及其结构性质( 结构能控能观性) 作为研究方向，进行探讨 与研究。 1 1 1 电网络结构性质的研究现状及存在问题 自卡尔曼【7 】首先提出能控能观的概念，许多学者f 1 3 j 研究了实数域上的线性系 统，如果矩阵的每一元素都是实数，那么这个矩阵称为实数域上的矩阵；如果 系统的每一系数矩阵都是实数域上的，那么这个线性系统称为实数域上的系统。 实数域上的系统能控能观性理论已经成功应用于系统分析和设计的许多方面 1 1 4 ，1 5 1o 对于一个给定的物理系统，如：对一个给定拓扑结构的r l c 网络，它的系 统参数矩阵a ，b ，c 和d 是实数域上的矩阵，当它的参数取具体实数值时，则 此r l c 网络是实数域上的系统，也就是说网络是r l c 网络时，那么它的电阻、 电感，电容的值都是实数值。因此，实数域上系统的能控性和能观性由它的物 理结构和元件参数的取值共同决定。 在实际工程中，由于实验条件或制造工艺上的限制和观测上的误差，以及 人为地对数据的近似处理，一个实际系统其结构是确定的，而参数只是近似的 甚至未知的，实数域上的矩阵( 元素都是实常数矩阵) 不便于分析物理系统的 结构性质【1 6 ，1 7 1 ，如结构能观性。 如图1 - 1 所示物理系统( r l c 电网络) ，选取状态变量x 一化，) ，输出 变i y 一，其中。是电容c l 上的电压，屯。是电感厶上的电流，是墨两端 2 武汉理工大学博士学位论文 l l 图1 - 1 一个r l c 网络 点a 和b 的电压，那么系统的状态方程是： x a x ，y1c x 其中 a o一三 c 1 1 厶 l ，c 10 i b ( 1 - 1 ) a = r r 2 r + r 恐心+ r r 墨+ r 恐蜀+ r r 忍+ 也忍心+ r r 恐+ 恐墨恐， a 。1r 马+ 墨心+ r 恐+ 足b + r r + r b + 咫咫+ r 咫。 对于这一给定结构的物理系统，只有当所有的物理参量c 1 ，足，r ，玛，凡和尺5 取值时，a 和c 才都是实数域上的矩阵，系统才是实数域上的系统。 当c 1 - 1 f ，厶= 1 h ，r = 吗一2 f l ，r 心= 1 q 及b = 1 q 时，系统是实数域 上的网络，状态方程为膏；似，y 皇c x ，其中彳。( ：二砂c = 。是实数域 上的矩阵，根据实数域上的系统理论，能观性矩阵d e t ( c a c ) 鼍0 ， r a n l 【( c a c ) 一0 显然系统在实数域上是不能观的，但是只要物理参量 c 1 ，墨，r ，马，蜀和恐取值发生较小的变化时，完全可以使得d e t ( c a c ) 0 ， 即实数域上能观。因此实数域上系统的能观性分析结果取决于两者：系统的网 3 武汉理工大学博士学位论文 络结构和物理参量的值，而从k a l m a n 的实数域上的完全能观性出发，我们无法 判断系统结构单独的作用是什么? 我们无法知道系统不满足完全能观条件到底 是结构上的原因还是由于参数选择不当引起的。 为了探索系统结构的作用，c t l i n 首先提出了结构能控性( s t r u c t u r a l c o n t r o l l a b i l i t y ) 和结构化矩阵s m ( s t r u c t u r e dm a t r i x ) 的概念【1 8 】。结构化矩阵是 这样一种矩阵，它是由固定不变的零元素和独立的非零元素组成的，这里非零 元素考虑成是相互独立的参量，如彳= ( 主兰) ( 有三个独立的非零元素z l ，z ：， z 3 ) 就是一个结构化矩阵。之后很多研究者用这种结构化矩阵研究了多输入多 输出的结构能控性问题。由于物理上的和数学上的各种考虑，很多研究者又提 出了多种结构矩阵： a 文献1 1 9 - 2 1 , 5 6 1 提出了元素是独立参量的一次多项式的矩阵( o n e d e g r e e p o l y n o m i a lm a t r i x ) 妣么2 + 毛。心“珊 b 文献【2 2 】提出了一种列结构矩阵c s m ( c o l u m n s t r u c t u r e dm a t r i x ) ，矩阵中的 每一列元素中含有一相同参量因子，而不同列中的参量因子是相互无关的； 姚小巨甜 c 文献1 2 4 - - 2 7 】定义并研究了混合矩阵( m i x e dm a t r i x ) m = q + t ，其中t 的非零元 素在q 的元素所属的域上是代数独立的； 如：么= q + r 2 ( 三言) + ( 君兰) 2 ( 考主) ； d 文献【2 8 】定义并研究了半结构矩阵，在矩阵中的元除固定零元和可独立取 值的元之外，还有某些元取确定的非零实数值。 4 武汉理工大学博士学位论文 如：彳2 ( 猢 上述结构矩阵的研究都有重要的数学意义，但由于其定义的结构矩阵不能 完全描述物理系统( 如图1 - 1 所示电网络系统) ，所以难以直接用于研究物理系 统的结构性质( 如：结构能观性) 。 1 1 2 多元有理函数域上的系统结构性质 针对电网络结构性质研究中出现的问题，上世纪9 0 年代，武汉理工大学鲁 凯生教授首次提出用多元有理函数矩阵r f m ( r a t i o n a lf u n c t i o nm a t r i xi n m u l t i p a r a m e t e r s ) 描述系统的系数矩阵，把系统描述基于多元有理函数域上【2 9 1 。 设弓，乙表示g 个独立参量而不是参数( 常数、数值) 。令z = ( z 1 ，乙) ， 群为z 的定义域( d o m a i n ) ，r q 也可说成是参量空间( p a r a m e t e rs p a c e ) 。令f 0 ) 表示一切z 】，乙的有理函数构成的域，f ( z ) 【a 】表示以f 0 ) 中的元为系数的九 的多项式环。若矩阵中的每一元素都是f 0 ) 中的元( 即是变量z 1 ，乙的有理函 数) ，就称为z 的有理函数矩阵r f m ，或简称为域f ( z ) 上的矩阵；若系统的系数 矩阵都是多元有理函数矩阵( r f m ) ，则称该系统为f 0 ) 上的有理函数系统r f s ( r a t i o n a lf u n c t i o ns y s t e m ) 或域f ( z ) 上的系统。 鲁教授在文献 2 9 1 q b 提出用f ( z ) 上矩阵描述系统的系数矩阵，把系统描述基 于，0 ) 上。以图1 - 1 所示系统来说明，系统独立的参量应该是6 个物理参量 c l ，厶，r ，r ，玛，凡和r 。那么以上定义可知：实数域上的矩阵，s m ，独立参量的 一次多项式矩阵，c s m 和混合矩阵以及半结构矩阵都不能完全描述彳，c 这两 个矩阵，而这两个矩阵都是r f m ，系统是f 化) 上的系统，这里 z 一( 乙9o o $ z ，) 。( c l ，厶，r ，r ，b ，见，恐) 。易知，实数域是f ( z ) 的子域，s m 、一次 多项式矩阵、c s m 和混合矩阵以及半结构矩阵都可视为特殊的r f m ，所以f ( z ) 上系统能控能观性的条件或结论的意义将更加广泛。 设式( 1 1 ) 描述的是一f ( z ) 上的系统( r f s ) ，令 1 0 2 r a 础 c ra t c r ( 彳r ) 一c o r ) 肛c 】 ( 1 - 2 ) 上式是系统的能观性矩阵。因为a ，c 都是r f m ，所以r 0 的元素是z 的有 理函数。判断f ( z ) 上的系统能观性的一个代数判据是计算相应的能观性矩阵的 5 武汉理工大学博士学位论文 秩。对于能观性矩阵瓦，若其满秩，即r a n k t o 一万，系统为能观的；否则当 r a n k t o 2 ) 时，其计算过程将极其复杂，计算量巨大，人工计算很难保证结果的 正确性，甚至难以进行下去。 因此，必须找出一种快速有效地建立f ( z ) 上电网络的状态方程系的方法。 利用计算机高速计算的特点，开发一套能够建立基于f ( z ) 上电网络状态方程系 并能进行相关性质分析的计算机辅助软件显得格外有价值。它一方面可以为从 事本领域研究的科研人员提供一个良好的工作平台，有力地推动理论研究的进 展；另一方面，可以积累编制此类软件的经验，为进行更加复杂的物理系统的 辅助分析软件的设计打下基础。 1 3 本文研究的主要内容 本文的研究是建立在多元有理函数域砟) 上的，主要研究线性电网络的结构 性质，并通过建立心) 上的数学模型( 状态方程和输出方程) 来研究电网络的结 构性能( 能控能观性) 。研究内容： 第1 章绪论介绍电网络结构性质研究的国内外现状与存在的问题，并指出 传统研究方法的局限性，说明在多元有理函数域f ( z ) 上研究有源网络结构性质 的理论和实际意义。由于人工分析电网络结构，当电网络中元件较多或结构较 复杂时，很难保证分析的准确性，所以开发一套基于多元有理函数域f ( z ) 上电 网络的结构性质计算机辅助分析软件具有实际应用价值。 第2 章分析线性系统特征多项式具有的两个性质，介绍域f ( z ) 上的多项式 和f ( z ) 上方阵的可约性，得出一类r f m s 的可约条件，并将可约条件应用在域 比) 上的r l c 电网络上进行实例分析。 第3 章运用电网络理论，将网络中各支路的电压电流关系用代数方程式形式 表示出来，同时对方程式进行变换，得到无源和有源网络的状态方程，并讨论 f ( z ) 上有源网络状态方程的存在性条件和有源网络状态方程有解的拓扑条件， 9 武汉理工大学博士学位论文 在方程有解的条件下，详细分析有源网络状态方程四种情况。 第4 章主要研究线性电网络结构能控性问题，用多元有理函数域f ( z ) 上矩 阵来描述电网络系统j = a x + b u 的系数矩阵，结合图论、矩阵论和电网络理论 研究，获得电网络的一些结构特性、可约性与可断性结论，并把该结果与研究 获得的f ( z ) 上系统理论相结合，得到f 0 ) 上线性电网络系统能控的结构条件。 并进一步分析和探讨有源网络结构能控的充分条件，最终只须观察网络拓扑结 构就可以判断电网络是否可控。 第5 章是关于电网络输出方程和结构能观性的分析，推导无源和有源网络 的输出方程，分析网络中任意支路的电流或者任意两个结点之间的电压表达式， 根据f ( z ) 上r l c 电网络的能观性结构条件，进一步分析有源网络结构能观的充 分条件。 第6 章是对有源网络的结构性质进行计算机辅助分析。论文详细介绍软件 开发方法和工具、软件完成的功能以及有源网络的编码实现，并分析全电容电 压源回路和全电容割集的算法，最后运用软件进行实例分析。 第7 章对论文研究工作进行总结和展望。 1 0 武汉理工大学博士学位论文 第2 章多元有理函数域f ( z ) 上代数 对结构能控能观性研究中出现的问题，鲁凯生教授首次提出用多元有理函 数矩阵r f m ( r a t i o n a lf u n c t i o nm a t r i xi nm u l t i p a r a m e t e r s ) 描述系统的系数矩阵， 将系统描述基于多元有理函数域酢) 上。本章主要介绍域酢) 上的多项式，酢) 上方阵的可约性，给出一类r f m s 的可约条件，并应用在域砟) 上的r l c 电网 络上进行实例分析。线性系统( 如控制系统和电网络) 的很多重要性质如稳定性和 能控能观性都取决于他们的特征多项式，本章还详细分析特征多项式具有的两 个性质。 2 1 域f ( z ) i - 或环f ( z ) 【a 】上的多项式 定义2 1 - 系数是砟) 中的元的a 的多项式称为月上a 的多项式或环月( z ) 【允】 上的多项式，例如i 3 z i l + i z 磊2 2 2 3 a 2 + 5 a + ( z l + z ：) 。 z 4 毛+ z 3 z ； 令，表示任一域( 可以是数域或只为) 定义2 2 ：域f 上次数= 1 的多项式厂似) 称为域f 上的a 的不可约多项式， 如果它不能表示成f 上的两个次数比厂似) 低的a 多项式的乘积。 按定义，一次多项式总是不可约多项式。而次数 1 的多项式，对于不同的 域可能有不同的结论，例如有理数域上的多项式a 2 + 1 在有理数域上是不可约多 项式，即不能分解成两个具有有理数系数的a 的一次多项式；在实数域上也是不 可约的；但在复数域上是可约的：a 2 + 1 一 + ，) 一_ ) 。 对于数域上的n 阶( n 1 ) 多项式，在复数域上总可分解成，1 个一次多项式之 积。这是代数的一个已经证明了的结论。 对于心) 上的n 阶多项式( ，l 1 ) 在心) 上是否可约是个很复杂的问题，文献 【2 9 研究了一类砟) 上矩阵的特征多项式在f ( z ) _ j 2 不可约的条件。下边的推论是 该文获得的结论。 推论2 1 - 如果a = ( c + y ) 一u ，其中c = d i a g ( z 1 ，z 2 ，z n ) ；v 和u 是尺域 武汉理工大学博十学位论文 上两个，l 刀的矩阵，并且【厂是可逆的，那么特征多项式d e t q ，一a ) 在环酢) 【a 】 上不可约当且仅当存在排列矩阵尸使得脚；( 乇1 甜 其中，4 l 是惕x n l 的矩阵，1 s s 以。 例2 1 ：c d i a g ( z , ，z 2 ，z 3 ) ，v i ，u * ， 彳一( = + y ，- 1 u 一 乙+ 1z ：+ 1 乞+ 1 一一 l 7 毛+ 1 1 7 2 2 + 1 1 z 3 + l 1 钐列2 2 ：c d ；4 9 c 毛，z ：，z 3 ，y2 ( 三重兰 ，u 一， 彳一c c + y ，1 u = ( 茎丢兰) 一( 三三三 ，其中木都不为。，所以不可 能存在尸使脚2 ( 乇1 封多项那，- 非荆上不可约的。 武汉理工大学博士学位论文 逆矩阵，其中比玎0 ，l i ，j s 刀，也就是说u 中没有零元素。 因为u 是可逆的，d e t ( h l a ) 就是非零部分，其中a 一( c + y ) u c 一妙。 又u 没有零元素，故a 在排列变换p a p 下是不可约的并且d e t ( a l a ) 是环 北) 【a 】上不可约多项式。 上述例子说明环心) 【a 】上的不可约多项式的阶数以可以是任意的正整数。 2 2f ( z ) 上方阵的可约性 定义2 3 ：设a 为砟) 上的n x l l 矩阵。a 称为月( z ) 上的可约矩阵，当存在月 上的非奇异矩阵r 使刚r 1 一( 22 ) ( 彳的相似矩阵黝r 1 为准三角形矩阵) ， 其中4 l 和, 4 2 2 分别是月上的x l l 和，z 2x i j 2 的矩阵，愧+ 刀2 一刀，1s 傀 ，l ；否 则彳在月上是不可约的。 命题2 1 ：若月上的万，l 矩阵a 是f ( z ) 上可约的，则它的特征矩阵和特征 多项式都是可约的。 证明：a 的特征矩阵为a ，一彳，两边成以z 和r 。1 有 r ( a i - a ，t - i = k i - 刚t - 1 = k l - a 如n 三) 2 ( 笆0 1 鸩：如) ，4 的特 征矩阵可约。 两边取行列式，左边= 刚a ，一a ir 以i - h i - a i ，右边= 协一4 。i i a ，：一如i 是4 。 和4 ：特征多项式之积，它们是砟) 上多项式。a 的特征多项式是砟) 上可约多 项式。 命题2 2 ：i a ，一么l 是以z ) 上a 的不可约多项式，当且仅当a 是以z ) 上不可 约矩阵。 证明：只需要证明充分性。若l4 , 1 1 一a l 是可约的，令恤，一a i = q ) 仍q ) 吼q ) ， 仍q ) f ( z ) a 是素多项式，d e g q ；：f ( a ) 乏1 ，l is 七，那么一定存在一个以z ) 上 1 3 武汉理工大学博士学位论文 的聆以矩阵r ，使得尉r 1 。( 二三 ，其中阻，一4 l 。仍 ，1 “s 七。 2 3 一类r f m 可约性条件 一类r f m 形如【2 9 】【3 2 1 。 a 一( c + y ) u ，g ；c + d ( 2 1 ) 其中c d i a g ( z l ，z 2 ，z n ) ，z i ，z 2 ，z n 是忍个独立的变化参量，n 阶矩阵d ， y 和u 不含乙，z 2 ，z n 。 2 3 1 若干引理和定义 令r 表示实数域，r z 。，z 2 ，z 。】表示n 个未定元乙，z 2 ，z 一的实系数多项式 的环，可以简写为恐撇吲，z = ( 毛，z 2 ，z n ) 。令f 0 ) 表示尺z 的商域。 引理2 1 ：如果环尼【a 】上的多项式f ( z ) 可以在环f ( z ) 【a 】上分解，那么，( a ) 也可以在环恐队】上分解。例如： f ( z ) 一z l z 2 a 2 + ( z 1 + z 2 ) a + 1 = 乙z 2 ( a + 1 乞) ( a + l z 2 ) = ( z 1 a + 1 ) ( z 2 a + 1 ) 由引理1 知：环恐【a 】上的f ( a ) 的可约性等价于环f o ) 【a 】上f ( a ) 的可约性。 引理2 2 ：如果，( 九) = 口o + 口1 刀。1 + + 口柑九+ 口刀是环f ( z ) 【九】上的，1 次多 项式且a o 0 ，a 万一0 ，那么g ( z ) ；口o + 口1 a + + a n _ l a n 一1 + 口。”在环f ( z ) i z 】上 可约，当且仅当f ( z ) 在环，( z ) 【a 】上可约。 引理2 3 ：设厂瓴，乙) 为吃上的多项式，次数最高项为z 1 2 一( 其他项的次 数都小于，1 ) 。那么厂怯，乞) 是恐上的可约多项式，当且仅当f ( z ，- 2 ，乙一a ) 1 4 武汉理工大学博士学位论文 在环恐n 】上可约。 定义2 4 ：如果一个t l 聆矩阵有如下形式 q 一 1 1 1 1 ( 2 2 ) 就称q 为第1 种初等矩阵。如矩阵p 是若干第一种初等矩阵的乘积，那么它 称为排列矩阵。矩阵以p - 1 称为对矩黼的排列变换，显然p ：p ，所以 p a p 一；p a p 。 定义2 5 ：令m 是f ( z ) 上的厅甩矩阵。如果存在f ( z ) 上的非奇异矩阵丁使得 t m t 一一( 畿m o m2 ) ， 沼3 ， 2 lm 2j 一一 那么m 是删下可约的，或者简称m 是可约的，这里m ，是疗1 以1 矩阵， 1 s t l i 刀；否则，m 是不可约的( 在t m t l 下) 。 如果存在r 上的非奇异矩阵q 和排列矩阵p 使得 卿2 ( 麓z 2 ) 4 ) 1 5 1 1 上 武汉理工大学博士学位论文 那么称m 在q m p 下可约，m 1 是以lx n l 矩阵，1 5 以l 甩；否则，m7 左q m p 下 是不可约的。 如果存在排列矩阵p 使得 ；( m m 2 二m 。2 ) 沼5 ) i 12j 一一 那么称m 在m 铲下或排列变换下可约，m 。是x n 。矩阵，1 s ，l l 1 ) ， 以l + ，1 2 + + ，l i = n ； z l l ，。2 h ，z 2 l ，z 2 2 ， ， z 七l ，z b | i 是乙，z 2 ，z 疗的一个排列，f 是独立于z 1 ，z 2 ，乙的变量。 1 7 武汉理工大学博士学位论文 2 ( i i ) ( 2 8 ) 式中，至少有2 个子矩阵玑一。和u ，乒0 ，i j ，l ：ai ，j s 七使 得d e t m 一( q + 杉) u ， 和d e t l 2 - ( c ，+ 巧) 一u ，】分别有非零部分，且非零部分是 f o ) 【a 】上的不可约多项式。 3 存在排列矩阵p 使得 脚2 p 三：) 仫9 ， 式中，4 ，是ax 的矩阵，1s a ，l ， ，和如