（基础数学专业论文）关于四次高斯和的六次均值.pdf

摘要 设正整数m 3 ，对于每一个固定的正整数r 和整数n ，我们定义7 次高斯和： g ( 叩，m ) = e ( 等) ， 其中e ( z ) = e 2 而霉 本文主要研究了四次高斯和的算术性质，并利用特征和估计给出了四次高斯和 的六次均值的精确计算公式，即当正整数q = 2 卢q 1 ，其中整数p 0 ，q l = 兀p 尹，慨 为不同的奇素数) ，我们给出了ql 妻e ( 警) 1 6 的一个精确计算公式 为了得到上述公式，我们分两种情况进行了讨论，即q = 矿( p 为奇素数) 和 g ：2 口得到p ai 曼e ( 警) i 。和2 ai 董e ( 学) i 。的具体计算公式，然后利用中国剩 口= 11 6 = 1 |7 o = 1 怕= 1l 关键词：四次高斯和；均值；计算公式 a b s t r a c t l e tm 3b eap o s i t i v ei n t e g e r f o ra n yf i x e dp o s i t i v ei n t e g e rra n di n t e g e r 佗，w ed e f i n et h er t hg a u s ss u m sa ( n ，7 ，m ) a sf o l l o w s ： w h e r ee ( x 1 = e 2 ”缸 g 唧，= 妻a - - - - 1e ( 鲁) ， i nt h ec h a p t e r3o ft h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ea r i t h m e t i cp r o p e r t i e s o fg a u s ss u m so fo r d e rf o u r , a n da na c c u r a t ec a l c u l a t i o nf o r m u l ai sg i v e nf o r t h es i x t hp o w e rm e a no ft h i ss u m b yu s i n gt h ee s t i m a t i o no fd i r i c h l e tc h a r a c t e r s u m s 。t h a ti s tw ew i up r e s e n ta na c c u r a t ec a l c u l a t i 。nf o r m u l a0 f q j 壹e ( 警) l 6 o = 1j 6 = 1 f i fg = 2 z q li sa p o s i t i v ei n t e g e r ，p 0 i si n t e g e r , q l = n 霄，( p ia r ed i s t i n c to d d p r i m e s ) t oc o m p l e t et h ea c c u r a t ec a l c u l a t i o nf o r m u l a ，w ed i s c u s st w os p e c i a lc a s e s a sf o l l o w i n g ：口= p a ( pi sa no d dp r i m e ) a n dg = 2 a ，a n dw eo b t a i nt h ea c c u r a t e m c 心劬t 驯p o 曼r 妒a b 4 小6n d 量昏学) | 6 l a s t ，哪- y m g m e c ：h i n e s er e m a i n d e rt h e o r e mw ec o u n to u tt h ea c c u r a t ec a l c u l a t i o nf o r m u l ao f t h es i x t hp o w e rm e a no ft h i ss u m k e yw o r d s ：f o u r t hg a u s ss u m s ；m e a nv a l u e ；c a l c u l a t i n gf o r m u l a u l 第1 章引言 设整数仇3 ，对任意整数n 和正整数r ，广义r 次高斯和g ( 佗，r ，) ( ；m ) 定义如 下： g ( n ，g x ；m ，= 占m 舯，e ( 等) ，6 = 1 、7 其中e ( z ) = e 2 ”妇，x 为模m 的d i r i c h l e t 特征 当7 = 1 时即为经典的高斯和g ( n ，) ( ) 对于二次高斯和的一些基本性质文献 1 1 “2 1 ，【3 】中都做了大量研究 在第三章中，我们研究了四次高斯和的一些均值问题关于高斯和的均值问题 有很多人进行研究 2 0 0 0 年，张文鹏【4 】研究了广义二次高斯和的四次均值和六次均值的精确计算 公式，得到如下结果： 定理1 1设整数m 3 ，对任意整数n ，广义二次高斯和为 g 挪，刈n , 2 , x ；m ，= 蔷r n 腓( 祟) ( 1 ) 设p 为奇素数，n 为任意与p 互素的整数，则有计算公式 x 驴h 脚) 1 4 = ( p - 1 ) ( 3 p 2 - 6 p - 1 + 4 ( 黼删p = _ l ( ( 删m o d 4 ) ，； 其中( 詈) 为勒让德符号，表示对模p 的所有特征求和 ym o d 口 ( 2 ) 设p 为奇素数且p 三3 ( m o d4 ) ，n 为任意与p 互素的整数，则有计算公式 i c ( n ，x ；p ) 1 6 = 仞一1 ) ( 1 0 p 3 2 印2 4 p 一1 ) x m o d p 另外，对于整数k 3 ，是否存在2 七次均值l g ( n ，x ；p ) 1 2 七的一般计算公式? xr o o dp 目前还没有得到 1 第1 章引言2 2 0 0 2 年，姚维利【5 】对上述内容进行了推广和延伸，给出了下面的结论： 定理1 2 设p 为素数，n 为任意与p 互素的整数，x 为模p 2 的d i r i c h l e t 特 征，则有 i c ( n ，x ；p 2 ) 1 4 = 白一1 ) 2 ( 缈+ 矿一印+ 1 ) x r o o d p 2 另外，对于整数k 3 ，是否存在2 七次均值i c ( n ，) ( ；p 2 ) 1 2 七的一般计算公式? 目前还没有得到 2 0 0 1 年，邓玉平【6 】着手研究t a ( n ，x ；p ) 的4 惫次均值模p 知的计算问题，并利用 特征和估计及其三角和方法证明了下面的结论： 定理1 3 设p 为素数且p 兰3 ( m o d4 ) ，n 为任意与p 互素的整数，x x o ，则 有 i g ( n ，x ；p ) 1 4 知三0 ( m o dp 七) x r o o dp 设整数m 3 ，对任意整数扎，二次高斯和g ( n ，m ) 定义如下： 川= 妻be(翁=11 2 0 0 2 年，姚维利，孟冬琴 7 1 5 u 用二次高斯和的性质，给出了一个二次高斯和 g ( n ；p 1 p 2 ) 的精确计算公式，即 定理1 4 设p 1 ，p 2 均为奇素数，n 为任意与p 1 ，p 2 互素的整数，则有计算公式 g ( n ；p i p 2 ) = 一互1 ( 而n ) 一1 ) 峙) + 1 ) g ( 1 洲鲁) + ( ( 薏) + 1 ) ( 塞) g ( 1 ；瑚】+ ( p - 惫p 2 ) g ( 1 ；p 耐 2 0 0 2 年，张文鹏【8 】，2 0 0 6 年，赵院娥，刘兴平，祁兰【9 】把广义二次高斯和和l 一函 数相结合，计算出了它们的二次加权均值 2 0 0 2 年，董忠民【1 0 】，【1 1 】研究了广义三次高斯和的均值性质，并利用初等方法 给出了它的一个较强的渐近公式，即 第1 章引言 3 定理1 5设p 为奇素数，扎为任意整数且( 礼，p ) = 1 ，x 为模p 的d i r i c h l e t 特 征，广。义三次高斯和为g ( n ，3 ，) ( ；p ) = 蚤p ) ( ( 6 ) e ( 等) 我们有 o = l ( 1 ) 当3f0 1 ) 时有恒等式 l g ( 礼，3 ，x ；p ) 1 4 = p 3 一却2 + 1 ， xr o o dp ( 2 ) 当3p 一1 ) 时有渐近公式 i g ( n ，3 ，x ；p ) 1 4 = 5 p 3 + o ( p l n p ) xm o dp 以及 2 i g ( n g , 3 ，x ；p ) 1 4 = 3 p 一1 ) ( 5 p 2 1 3 p 一1 ) ， xr o o dpr = 0 其中g 为模p 的任一原根 2 0 0 4 年，刘红艳 1 2 $ 1 j 用特征和估计及三角和方法研究了广义四次高斯和的四 次均值的计算问题，得到以下结论： 定理1 6 设p 为奇素数，佗为任意与p 互素的整数，则有 ( 1 ) 当p 三3 ( r o o d4 ) 时， i g ( n ，4 ，x ；p ) 1 4 = p 一1 ) ( 3 p 2 6 p 一1 ) ， x r o o dp 其中表示对模p 的所有特征求和 xr o o dp ( 2 ) 当p 三l ( m o d8 ) 时， i c ( n ，4 ，x ；p ) 1 4 = ( p 一1 ) x r o o d p ( ( 砀2 _ 2 2 p + 1 ) + 4 ( q ( n ) + 风( n ) _ 2 仰- ( 州+ ( ；) ( 嘉_ 2 晒) 2 ) ( 3 ) 当p 三5 ( r o o d8 ) 时， i g ( n ，4 掷p ) 1 4 = ( p 一1 ) ( ( 劬+ 1 ) ( p 一1 ) + u 声一2 伽) 2 ) ， xm o r tp 第1 章引言4 定理1 7设素数p 满足4 l ( p - 1 ) ，g ( 1 , 4 , x ；p ) = 荟px ( 6 ) e ( 譬) ，则有 、，三。i g ( 1 , 4 , x ；p ) 1 4 = 矽一2 9 p 2 + 2 1 p + 1 + p 万- 1 【( y 一伽) 2 一印一2 铜2 ylodp 一 ，三i g ( 1 , 4 , x ；p ) 1 4 = 劢3 2 咿+ 2 1 p + l + p 万- 1 ( y 一伽) 2 + 2 p + 2 橱2 ， xm d 口p 一 治讣测嚣咖别兰 第1 章引言5 治警州二篙烈嚣嚆( 1 + 酬三 ( 2 p ) ：1 2 ( a - 2 瓦2 ( k - v 丁- 12 掣掣+ 2 p k - + 1 + 2 肚， ( 2 卢) ：1 2 ( s - 3 五) 2 - 2 丁) - 12 幽掣+ 2 n k - 鲁+ 1 + 2 肚， 雏刊6 甜吾赤+ 镤一) 熙( 抄抄而1 8 4 + 丽2 1 a + 1 + 丽1 训1 0 飘( 刍+ ( 1 一毒) ( 1 + 而6 4 + 丽9 a i + 1 + 丽1 一j 1 0 第1 章引言 6 n p o q p - = 3 ( m o d4 、 ( 刍+ ( 1 一声1 ) ( 1 + 万2 而+ 丽1 + 丽1 一刍) ) ， + 歹瓦再可+ 孑面j 可一歹) 夕， 其中t = 4 【字】一q ，a ，a 7 的定义见第3 章的引理3 2 4 为了证明上述定理，我们分别讨论了q = p a 为奇素数) 和q = 2 n 两种情况， 得到以下结论： 引理3 2 5 设p 是一个素数且p - - 1 ( m 砌4 ) ，s 扩) = 至匡e ( 笋) 1 6 ，则 ( 1 ) 当p 三l ( m o d8 ) 时， = 严( 刍+ ( 1 一毒) ( 1 + ( 2 ) 当p 三5 ( r o o d8 ) 时， 对) = 严( 刍+ ( 1 一毒) ( 1 + 而1 8 4 + 蚕2 研1 a + 1 + 歹研1 一p 三) ) p 0 + 1 ) 。矿+ 1 ) p 2 + 1 ) 厕6 4 + 方9 丽a + 1 + 歹研1 一p 三) ) ，p ( p + 1 ) 。p 3 ( p + 1 ) p 2 + 1 )7 其中t = 4 学卜q 引理3 2 6 设p 是一个素数j tp - - - - - 3 ( m 。d4 ) ，s ( p a ) = 墨匡e ( 管) 1 6 ，则 驯妒( 壶+ ( 1 一壶) ( 1 +而2 + 孑研1 + 孑研1 一p 三) ) ，p 0 + 1 ) 。p 3 + 1 ) 。p 2 + 1 ) ， 其中t = 4 t a + 3 】_ 0 1 引理设s(2q)=薹i茎e、a。b。4，、1632 7 1 1 ，则对任意的非负整数口有 引理 设s ( 2 q ) = l e 、。，l ，则对任意的非负整数口有 口= | 6 = 即弘2 6 n 丢志+ 譬糯拦篙) 第2 章基础知识 2 1d i r i c h l e t 特征的基本性质 定义2 1 1 设夕是模m 的原根，a ，m ) = 1 。我们把使9 8 三a ( m o d 仇) 成立的e 称为是n 以原根g 为底对模m 的指标，记作e = i 扎，g o = z 扎d m o 指标e 对模( m ) 是唯一确定的，且有 i 扎，9 a b 兰i 礼，口a + z 佗d m ，g b ( m o d ( z ) ) 定义2 1 2 设0 m z ，它的标准分解式是m = 土2 。p 砖，设对任意的 l n ，g j 是彩的原根，1 j r ，以及 c 一= 1 时，计算的难度显著增大，但是把这方面的工作继续下去是很有意义 的 2 0 0 6 年，刘华宁 1 3 】研究了广义四次高斯和的均值，得到 定理3 1 1设素数p 满足4l ( p 一1 ) ，则有 l g ( 1 ，4 ，x ；p ) 1 4 = 矿+ o ( p ；) xr o o dp 这就促使人们猜测，是否存在关于g ( n ，7 i ，) ( ；p ) 的四次均值的渐近公式 刘华宁【1 3 】对此做出了肯定的回答，并得到下面的结论： 定理3 1 2设p 5 为素数，r 为正整数，整数n 与p 互素，并设d r = ( r ，p 一1 ) 1 ，则有 i g ( n ，r ，x ；p ) 1 4 = ( 2 d r 一1 ) 矿+ o ( p 2 ) xr o o dp 12 第3 章四次高斯和的六次均值 1 3 2 0 0 3 年，张文鹏【1 6 】又在前人研究的基础上给t i 了以下结论： 定理3 1 3 设整数p 3 ，对任意一个i 司定的正整数7 ，( r ，p ) = 1 有 pi g ( n , r , x ；p 汗划2 驰g _ 1 ) 2 ( a - l + 黼+ 昙一黼) ， xr o o dpn = 1q o l i p 一 并得到当p 为无平方因子数时pi c ( 佗，r ，x ；p ) 1 4 的精确计算公式，即 xr o o dp n - - - - 1 pl g ( 几，n x ；p ) i t = 妒s ( p ) p 1 - - ( r , q - o ( 2 一! 二：芝；j 堕) xr o o dp “= 1 qj p 但对于尼3 ，( r ，p ) = 1 ，是否存在i g ( n ，r ，x ；p ) 1 2 的一般精确计算公 x r o o dpn = l 式? 仍然是一个没有解决的问题 2 0 0 7 年，杨明顺，任治斌 1 5 1 禾u 用特征和估计及三角和方法，研究了二次高 斯和的均值性质并通过初等方法给出了它的k 次均值的精确的计算公式，即 壹l 壹e ( 譬) r 的精确计算公式 a = li b = l l 但对于任意正整数k 3 ，g 为正整数，g ( 佗，r ，q ) = e ( 了n a r ) ，是台存在 o = l 壹i o ( n ，7 ，q ) 1 2 一个精确的计算公式? 它的高次均值是否有一定的规律性? 这仍然 n = 1 是一个没有解决的问题! 3 2 四次高斯和的均值公式 本节就是在前人研究的基础上，利用d i r i c h l e t 特征和g a u s s 和的基本算术性质 及归纳法给出了壹i 壹e ( 警) 1 6 的精确计算公式 口= 11 6 = 1 i 定理设q = 2 f l q l 为正整数，0 ，q 1 = n 硝，p i 为不同的奇素数，则有 雏刮6 甜赤+ 紫精) 第3 章四次高斯和的六次均值 1 4 黑( 刍+ ( 1 一寿) ( 1 + 而1 8 4 + 丽2 1 a + 1 p - - - - 1 ( r o o d8 1 1l 一i j ) x 黑( 抄抄而6 4 + 丽9 a + 1 + 而1 * p - - 5 ( m o d8 ) 瓢( 抄抄厕2 + 而1 + 丽1 其中t = 4 【字 一n ，a ，a 7 的定义见此章的引理3 2 4 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理 引理3 2 1 设p 是一个奇素数，则 ( 1 ) p 三1 ( m o d4 ) 时， 喜e ( 警) = 喜c 1 + 州6 ，+ 凉6 ，+ 礤啪e c 警， 其中x 4 是模p 的四次d i r i c h l e t 特征 ( 2 ) p 兰3 ( m o d4 ) 时， 蓦e ( 警) = 蓦叶c 弘 一7 ) p op 其中( ；) 是勒让德符号 证明：n i 为( z p z ) 为p 一1 阶乘法循环群，即若( z ；z ) + = ( 9 ) ，有 g v 一1 三l ( m o d p l 从而对每一个b ( z p z ) + ，存在唯一的z ，1 z p 一1 ，使得 ( 1 ) 当p 三l ( m o d4 ) 时， b 三g x ( m o d p ) 一方面，我们有 喜e ( 警) e ( 等) e ( 等) + z 萎+ 1 e ( 芋) 十篆。e ( 等) + 嘲善m e ( 等) ( 七+ 1 ) 孚 e e x = k 咛+ 1 f ，业1 p 其中七= 1 ，2 ，3 故 另一方面， =e ( 学) + e ( 学)+ + e ( 学) = e ( 竿) + e ( 譬半) + + e ( 华) ：e ( 等) + e ( 学) + + e ( 学) ：薹e ( 竽) ， f p - 1ef ，丝、 厶b = l p 口一1 ( 1 + x 4 ( b ) + ) ( i ( 6 ) + ) ( 2 ( 6 ) ) e ( 譬) b = 1 p 1 ( 1 + ) ( 4 ( g 茁) + x i ( 夕$ ) + ) ( 2 ( 9 。) ) e ( 监p ) 口一j 一 ( 1 + ) ( i ( g ) + ) ( i z ( g ) + x i z ) ) e ( 警) p - 1 z = 1 4 1 = ( 1 + ) ( i ( 夕) + x ；z ( 夕) + x i z ( 夕) ) e ( 咝p1 - p 一上 + ( 1 + x i ( 夕) + x i z ( 夕) + x i z ( g ) ) e ( 等) 4 t z p - 1 =4 e e z = 1 4 1 = ( 虻p ) 吐 = 4 重1e ( 等) = 4 e ( 警) o = 、。， 孕耐 = 且 而 、， 业p ，一 孕脚 4 i | 第3 章四次高斯和的六次均值 1 6 因此 当p 三l ( m o d4 ) 时， ( 2 ) 当p 三 从而 4 ( 6 ) + ) ( 4 2 ( 6 )嘲) e ( 警) = 2 ，即( 譬，2 ) = 1 喜e ( 等) ：薹e ( 芋) ：萎e ( 等) + 且9 4 。在1 z 吐2 是两两不同余的事实上， 若9 4 哇g a j ( r o o d p ) ，1 i ，j 譬，则 9 4 ( 一j ) 三l ( m o dp ) p - - 1 。= 孚+ 1 e，n 严、 l 了j 由于( z p z ) 为p 一1 阶乘法循环群，所以p 一1i4 ( i 一歹) ，即p - 2 1 2 ( 一歹) 又 ( 孚，2 ) = 1 ，所以吐2i ( z - j ) 这与1 i ，j 吐2 矛盾而且 所以 ( 芋) = e ( 引理得证 0 9 2 ( p 一1 ) + 4 1 a 9 4 、 了 ) + e ( n 夕2 ( p 一1 ) + 4 2 + e ( 警) 蓦e ( 警) = + + e ( + o 夕4 p ( 竽) = 薹e ( 等) = 薹e ( 剑p ) = e ( 业) $ = 1 、7 p - 1 6 = 1( 1 + ( ；) ) e ( 警) ( 了a b 2 ) a 9 2 ( p 1 ) + 4 之2 生 x - - - - 1 e，0 9 4 茁、 l 了少 x + k 0 一 一汹 = 有 、_ 、 寸书州 e 州汹跏 孚 e i 一习 川碍 e 宁脚 2 e 州汹 i i 则 引理3 2 2 设m 为正整数，则有 gc-，m，=薹ec豢，=。，巍，兰兰；茎要萎 证明：参阅文献【1 】中的第九章定理9 1 6 引理3 2 3 设p 是一个素数且p 三l ( m o d4 ) ，) ( 4 是模p 的四次d i r i c h l e t 特征， ( 1 ) 当p 三l ( m o d8 ) ，即x 4 ( - 1 ) = 1 时， 7 4 ( x 4 ) + 7 - 4 ( 瓦) = ( y 一伽) 4 4 p ( v 一讵) 2 + 2 p 2 ( 2 ) 当p 兰5 ( r o o d8 ) ，即x 4 ( - 1 ) = 一1 时， 7 4 ( ) ( 4 ) 十t 4 ( 而) = ( y 一伽) 4 + 4 p ( v 一伽) 2 + 2 p 2 ， p 其中v = e ( 譬) a - - - - 1 证明：定义丁( x ) = g ( 1 ，x ) = x ( o ) e ( ：) a = 1 由g a u s s 和的著名公式即引理3 2 2 及x i 为实二次特征，可得 因此根据引理3 2 1 有 p v = 口= 1e ( 譬) p - 1 =1 4 - 口= 1 丁( x i ) = 西 p 一1 j = 1 + e ( 譬) a - - - - 1 ( 1 + ) ( 4 ( o ) + x i ( o ) + ) ( i ( n ) ) e ( ；) = r ( x 4 ) + 7 ( ) ( ；) + 7 ( ) ( i ) 伽4 - r ( x 4 ) 4 - 7 - ( 甄) 第3 章四次高斯和的六次均值1 8 即 所以 由此可得 t ( x 4 ) + 7 ( 丽) = v 一沂 ( y 一伽) 2 = ( r ( x 4 ) + 丁( 再) ) 2 = t 2 ( x 4 ) + t 2 ( 再) + 2 p ) c 4 ( 一1 ) ( v 一伽) 3 = ( t ( x 4 ) + 7 - ( 丽) ) 3 = t 3 ( ) ( 4 ) + t 3 ( j 瓦) + 3 p x 4 ( 一1 ) ( r ( x 4 ) + 7 - ( j 函) ) = t 3 ( ) ( 4 ) + t 3 ( 万) + 3 p x 4 ( - 1 ) ( v 一伽) ( y 一伽) 4 = ( t ( x 4 ) + 7 - ( 丽) ) 4 = t 4 ( x 4 ) + t 4 ( 丽) + 4 p x 4 ( - 1 ) ( v 一伽) 2 2 p 2 7 4 ( x 4 ) + 7 4 ( 丽) = ( v 一、伍) 4 4 p x 4 ( 一1 ) ( y 一伽) 2 + 2 p 2 于是完成了引理3 2 3 的证明 引理3 2 4 设p 是一个素数且p 三l ( m o d 4 ) ，则 ( 1 ) 当p 三l ( m o d8 ) 时， 垂e ( 警) 6 p l s k ( p 4 南) ， 1 8 3 p 1 8 缸丰。3 0 4 詹+ 1 ) + 2 1 a p l 8 詹+ 1 ( p 4 2 + 1 ) ， p l s k + 6 ( p 4 屉+ 2 ) ， p l s k + 1 2 ( p 4 詹+ 3 ) ， q = 4 k ： q = 4 k + 1 ： q = 4 k + 2 ： q = 4 k + 3 ， p o 其中a = ( v 一伽) 4 一卸( y 一伽) 2 ，7 表示对所有与p 口互素的凸求和 口= 1 ( 2 ) 当p 兰5 ( m o d8 ) 时， 矿耐 善e(警)1 e ( 詈) b = 、1 7 6 p 1 8 k 4 七) ， 6 3 p 1 8 知+ 3 妒( 矿七+ 1 ) + 9 a 7 p 1 8 + 1 咖( 矿知+ 1 ) ， p 1 8 k + 6 妒( p 4 七+ 2 ) ， p l s k + 1 2 ( p 4 + 3 ) ， 其中a 7 = ( y 一万) 4 + 4 p ( v 一伽) 2 证明：本质上我们采用对o l 进行归纳的方法证明 设 s ，( 矿) = 首先我们给出s 1 ( p ) 的计算公式 乒ef ，一a b 4 、 厶b - - i p 。 根据引理3 2 1 及d i r i c h l e t 特征的正交性得 s l ( p ) = 丕p 幢e ( 州1 7l e ( 警) l n = 11 6 = 、7 6 蔓11+1喜(1+x4(b)+xi(b3(6)e(警ab)161 i + ( + ) + ) + x i ( 6 ) ) e 【万) i 口= 16 = 、 o f = 4 k ： q = 4 k + 1 ： q = 4 七+ 2 ： q = 4 k + 3 ， 薹i+墓e(警)+董x4(6)e(警)+p三-1斌6)e(警)+p善-111 b = lx 3 ( 6 ) e ( 警) 1 1 6 n = i6 = 。 6 = 16 = l 、 p - 1 ( ( 甄( n ) 7 ( x 4 ) + ) ( ；( 。) 丁( x i ) - _ - x 4 ( n ) 丁( 丽) ) n = 1 x ( x 4 ( n ) 亍( ) ( 4 ) + ) ( i ( 凸) 亍( ) ( i ) + 叉i ( 口) 亍( 叉i ) ) 3 p - 1 ( 印+ n = 1 伽) ( 4 ( o ) 7 ( x 4 ) + x a ( - 1 ) x ；( a ) r 2 ( ) ( 4 ) + ) ( 4 ( 一1 ) 厕( o ) 丁( 瓦) + x 4 ( 一1 ) 万x 4 ( a ) 7 - ( x 4 ) + x a ( - 1 ) x i ( a ) r 2 ( 财) + 厕( n ) 丁( 丽) ) 3 因此我们得到 矿耐 矿耐 第3 章四次高斯和的六次均值 2 0 ( 1 ) 当p 三l ( m o d8 ) 时，x 4 ( - 1 ) = 1 ， s 1 ( p ) = ( 却+ 2 伽) ( 4 ( n ) 7 - ( x 4 ) + 2 锕丽( n ) 7 - ( 再) + x i ( n ) 7 2 ( x 4 ) + x i ( a ) 7 - 2 ( 蕊) ) 3 n = 1 d 一1 = e ( 1 4 1 p 3 + 2 1 p v 4 ( x 4 ) + 2 1 p t 4 ( 丽) ) 口= 1 = 1 4 1 p 3 ( p 一1 ) + 2 1 p ( p 一1 ) ( 7 4 ( x 4 ) + 7 - 4 ( 再) ) 再由引理3 2 3 容易得到 s 1 ( p ) = 1 4 1 p 3 ( p 一1 ) + 2 1 p ( p 一1 ) ( a + 2 p 2 ) = 1 8 3 p 3 ( p 一1 ) + 2 1 p ( p 一1 ) a ， 其中a = ( y 一伽) 4 4 p ( v 一伽) 2 ( 2 ) 当p 三5 ( m o d8 ) 时，x 4 ( - 1 ) = - 1 ， 口一1 ) = e ( 3 p x 4 2 ( a ) v 2 ( x 4 ) 一x i ( o ) 丁2 ( 而) ) 3 n = 1 p - 1 = e ( 4 5 p 3 十9 p 7 4 ( ) ( 4 ) + 9 p 7 4 ( 苁) ) n = 1 = 4 5 p 3 ( p 一1 ) + 9 p 0 1 ) ( 7 4 ( x 4 ) + t 4 ( 再) ) = 7 4 5 p 3 ( p 一1 ) + 9 p ( p 一1 ) ( a 7 + 2 p 2 ) = 6 3 p 3 p 一1 ) + 9 p 0 1 ) a 7 ， 其中a 7 = ( v 一、面) 4 + 4 p ( v 一、面) 2 下面我们建立一个递推关系式： s l ( p o ) = p 2 2 s l ( 矿- 4 ) ， 其中q 5 第3 章四次高斯和的六次均值 2 1 故 事实上，若o t 1 ，( o ，p ) = 1 有 蚤p o ，( x 4 ) + 脚4 2 ( 1 x 4 ( b 2 ) + ) ( 2 ( 6 ) ) e ( 歹a b ) 7 ) + ) ( 6 ) + ) ( 2 ( 6 ) ) e ( 歹) o = j 7 ( 1 + x 4 ( 6 1 + c p ) + ) ( ；( 6 1 + 印) + ) ( i ( 6 l + 印) ) e ( 坐产) 1 b 1 p 1 c p o 一1 ；，( 1 + x a ( 6 ) + ) ( i ( 6 - ) + x i ( 6 1 ) ) e ( 努) e ( 芦) 1 b l p 、 1 c p a l 7 ( 1 + x 4 ( b 1 ) + x i ( 6 1 ) + ) ( 4 3 ( 6 1 ) ) e ( 血p a ) 1 6 1 p s 1 ( p a ) 酗学) 1 6 = 量 p o = p 1 8e 7 a t - - - - - 1 喜e(矛abal 1 e 矛) 6 = 、 p o 一4 = p a s p 4 7 o t - - - - 1 6 喜e(芦ab41 ) e ( 殍) b = 、7 p 2 2 s l ( p 。一4 1 莹( 芦) = o三七( 芦) - 0 p 。g e(尹ab4b-1 - 1 3 e ( 萨) 、 6 最后，我们计算出口= 2 ，3 ，4 时，s 1 ( 矿) 的公式 p 2 s - p 2 ) = 7 n = 1 p 3 s ，( p 3 ) = 7 s ，眇) = 口= 1 0 ，0 6 a 、 备el 歹 矿 6 = 1 矿 6 = 1 e ( a b l 歹j ( a b 4 e l 歹j 双警) + p 孰警) 乳警) 因此，下面我们得到q ) 的一般公式 ( i ) 当o t = 4 k 时， s 1 0 口)= p 2 2 s 1p p 4 ) = + 矿 + p 3 6 6 p 2 = 小p = n = 1 矿 2 ) 6 p 3 = p2 = p 1 2 0 ( p 3 ) 口= 1 6 p 4 = 仞1 8 = p 1 8 妒( p 4 ) = p 2 2 ( ) s 1 妒一4 ( ) 口= 1 矿删 矿脚 = 6 矿l = 6 矿f l i i 6 矿删 第3 章四次高斯和的六次均值 2 2 = p 2 2 k - 2 2 s l0 4 ) = p l s k ( p 4 七) ( i i ) 当口= 4 k + 1 时， 0 a ) 当o = p 2 2 s 1 扩- 4 ) = = p 2 2 k s l ( p o l - 4 七) = p 2 2 s 10 ) p 2 2 七1 8 3 p 3 一1 ) + p 2 妣2 1 p ( p 一1 ) a ，p 三l ( m o d8 ) ， p 2 2 惫6 3 p 3 0 1 ) + p 2 2 k 9 p ( p 一1 ) a 7 ，p 兰5 ( m o d8 ) ， s 1 0 q ) = p 2 2 a ( 矿_ 4 ) = = p 2 2 k s l 0 q - 4 忌) = p 2 2 k s l ( p 2 ) = p 2 2 k p 6 0 2 ) ( i v ) 当q = 4 k + 3 时， = p 1 8 k + 6 眇2 ) & q ) = p 2 2 s 1 ( p 铲4 ) = = p 2 2 k s l 铲4 知) = p 2 2 k s l ( p 3 ) = p 2 2 k p l 2 3 ) = p 1 8 k + 1 2 咖0 严七+ 3 ) 综上，引理3 2 4 得证 引理3 2 5 设p 是一个素数且p 三l ( m o d4 ) ，s ( p a ) = ( 1 ) 当p 三l ( m o d8 ) 时， 对，_ p 6 a ( 刍 一毒m + ( 2 ) 当p 三5 ( r o o d8 ) 时， 1 8 4 p 04 - 1 ) 2 1 a + 1 + 页再面 p 三l ( m o d8 ) ， p 三5 ( m o d 8 1 酗嗲) 卜 刚_ - - p 6 a ( 刍州一毒m + 丽6 4 + 黼+ 其中t = 4 学卜o l p 2 0 + 1 ) k 1 蚶沪 缸 似嫩 殂 9 矿如 砒抛 8 舡矿堪 3 p 8 3 1 6 矿- 酉 证明：通过递推的方法，可得 s ( 矿) = 而 故 酗等) 1 6 ，酗警) 1 6 + 詈酗旷a b 。丌 p 笔1e(筹ab4)1 e ( 芦) 6 = 、7 6 = s 1 妒) + p 6 s ( p a 一1 ) = s 1 ( 矿) + p 6 s l ( p a - 1 ) + p 1 2 s ( p 2 ) ： s 1 ( p a ) + p 6 s i ( p a 一1 ) + p 1 2 s 1 ( p q 一2 ) + + p 6 ( a 一2 ) s i ( p 2 ) + 矿( a 一1 ) s ( p ) s ( p ) = p o = 1喜e ( 警)喜e ( 警) 6 + p 6 = s 1 ) + p 6 s ( 矿) =s 1 q ) + p 6 s l 仞。一1 ) + p 1 2 s l ( p n 一2 ) + + p 6 ( a 一2 ) s 1 ( p 2 ) + p 6 ( 一1 ) s l ( p ) + p 6 。 ( 薹s p i l 矿) 妒 ( s 1) p “) + 矿乜 仁 s 1 ( 切娟，由引理3 2 4 得 矿州矿fl 脚 + 、l ， 口 p，l 1 s p 耐 = 6 n6 p + o 一 口 烈 p 、， l c ，) a 渊 l i a = 丁 令 第3 章四次高斯和的六次均值2 4 ( 1 ) 当p 三l ( m o d8 ) 时， t= es 1 ) p 娟+es 1 ( 矿) p 娟 i = o ( m o d4 )i = _ l ( m o d4 ) + s 1 ) p 一6 +s 1 ( p ) p 一嘶 i = _ 2 ( m o d4 )i = _ 3 ( m o d4 ) = ep 警p 一6 ( ) i = - - o ( m o d4 ) + ( 1 8 3 p 警一2 矽) p 一6 i + 2 1 a p 警一 ( p ) p 一6 ) i - - 1 ( r o o d4 ) 、 7 + p 警一3 ( ) p 一6 +ep 虿9 i 一( p ) p 一6 i - 2 ( m o d4 ) = ( p 一1 )ep 一- 1 i = _ o ( m o d4 ) i - 3 ( m o d4 ) + o 一1 ) e ( 1 8 3 p 手+ 2 l a p 手 注1 ( r o o d4 ) 、 7 + 0 一1 )p i 一4 + ( p 一1 ) ( i ) 当乜= 4 k 时， i - 2 ( m o d4 ) p 一描 i - 3 ( m o d4 ) t = 0 一1 ) 一3 + p 一5 + + p 一暑一1 ) + 1 8 3 ( p 一1 ) ( 9 3 + p 一5 + + p 一暑一1 ) + 2 1 a ( p 一1 ) ( p 一5 + p 一7 + + p 一号一3 ) + 一1 ) 一5 + p 一7 + + p 一号一1 + p 一詈一3 ) + ( p 一1 ) ( p 一4 + p 一6 + + p 一号一2 ) = ( 丽1 8 4 + 而2 1 a 丽+ l 下而1 两) ( 1 - p 一号) ( i i ) 当q = 4 k + 1 时， t = ( p 一1 ) 0 3 + p 一5 + + p 一号一) + 1 8 3 ( p 1 ) 0 3 + p 一5 + + p 一号一) + 2 1 a ( p 1 ) ( p 一5 + p 一7 + + p 一号一g ) + ( p 一1 ) 一5 + p 一7 + + p 一号一) + ( p 1 ) 0 4 + p 一6 + + p 一羞一2 ) = ( 而1 8 + 1 ) 4i p 3 2 1 , 4 + 1 ) + 丽1 ) ( 1 - 南) 一南( 1 一专) ( i i i ) 当q = 4 k + 2 时， t = ( p 1 ) ( p 一3 + p 一5 + + p 一暑) + 1 8 3 ( p 1 ) 一3 + p 一5 + + p 一号一2 ) + 2 1 a ( p 1 ) 0 5 + p 一7 + + p 一暑一4 ) + ( p 一1 ) ( i o 一5 + p 一7 + + p 一号一4 ) + ( p 一1 ) 0 4 + p 一6 + + p 一羞一1 ) = ( 揣+ 笋参茜+ 尹击面) ( 1 一p l r 。+ 1 ) 一赤( 1 一专) ( i v ) 当o l = 4 k + 3 时， t = ( p 一1 ) ( p 一3 + p 一5 + + p 一号+ ) - f l s 3 ( p 一1 ) ( p 一3 十p 一5 + + p 一暑一2 ) + 2 1 a ( p 一1 ) ( p 一5 + p 一7 + + p 一号一；) + ( p 一1 ) 0 5 + p 一7 + + p 一号一；) + 一1 ) p 一4 + p 一6 + + p 一詈一) = ( 揣+ 端+ 南) ( 1 一南) 一南( 1 一；) 第3 章四次高斯和的六次均值2 6 故 t = ( 鼎+ 丽2 1 a + l + 赤) ”打扣 其中t = 4 【学卜q 由s ( p 口) = p 6 q t + p 鼬，引理3 2 5 ( 1 ) 得证 ( 2 ) p 三5 ( r o o d8 ) 的证明类似 引理3 2 6 设p 是一个素数_ k p = 3 c m 删4 ，s 妒，= 至巨e ( 警) 1 6 ，则 渺m 口( 刍们一毒m + 南+ 其中t = 4 【t a + 3 】_ o l 页再可+ p 2 ( p + 1 ) 证明：与定理3 2 5 的证明类似 引理3 2 7 设s(2a)：霎l茎e(万ab4)16，则对任意的非负整数q有1 1 引理