（运筹学与控制论专业论文）随机线性控制系统的（脉冲）能控性与最优脉冲控制.pdf

摘要 本文分三个部分 第一部分得到了线性随机脉冲控制系统 ， jd x t = ( a x t + a 1 ) d t + z t d w t ，t 【0 ，邪，t ， l = 巍一+ b u k ，k = 1 ，2 ， 精确能控的代数判据这里 w d 是一维标准布朗运动，它生成的自然域流记为 五 精确能控的含义是：对任意指定的o i p 和l 2 ( ，j ，r ，) ，存在正则控制过程z 和 脉冲控制 h ，“ ) ) ，使得状态方程有解x ，并且满足端点条件：) c o = o ，x t = f 代数判 据是 r a n k b ，a b ，a 1 b ，a 2 b ，a l a b ，a a l b ，4 ；b ，】= n ， 这与下面的正则控制系统 d x t = ( a 五+ a l + b u t ) d t + z t d w t ，t 【o ，卅 的精确能控的代数判据是相同的，在确定性线性系统的能控性理论中有相似的结果 第二部分通过仔细的构造，证明了随机线性控制系统 ， id x t = ( a x t + “t ) d t + z t f w t ，t 【0 ，t 】， ij 乇= 0 的能达集在 l 2 ( 乃，r 口) j 联= o ) 中稠密控制过程u 和z 分别取值于状态变量空 间b ，的两个互补子空间 第三部分解决了一个具体的最优脉冲控制问题：具有终端目标，代价泛函是达到目 标所用的时间与脉冲控制的费用之和最优控制策略表现为一个简单而有趣的反馈法 则， a b s t r a c t t h i sp a p e ri n c l u d e st h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r to b t a i n sa na l g e b r a i cc r i t e r i o no ft h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h eh n e a r s t o c h a s t i ci m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e ma sf o l l o w ： ， i 正k = ( a k + a l z t ) d t + z t d w t ，t o ，卸，t ， ih = h 一+ b u k ，= 1 ，2 ， h e r e 吼) i so n e - d i m e n s i o n a ls t a n d a r db r o w n i a nm o t i o nw h o s en a t u r a lf i l t r a t i o ni sd e - n o t e da s 五) t h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t ym e a n s ：f o ra n yd r 。a n df l 2 ( 兀、a - ) ， t h e r ee x i s tar e g u l a rc o n t r o lza n da ni m p u l s i v ec o n t r o l h ，鲰) t h a tm a k et h es t a t e e q u a t i o nh a sas o l u t i o nxs a t i s f y i n gt h ee n d p o i n t sc o n d i t i o n ：= n ，x r = t h e c r i t e r i o ni s a a n k b ，a b ，a 1 b ，a 2 b ，a l a b ，a a l b ，4 b ，j _ n ， w h i 出i st h es a m ea st h a to ft h er e g u l a rc o n t r o ls y s t e ma 8f o l l o w ： d x t = ( 4 五4 - a 1 + b u t ) d t + d ，f 0 ，t t h e r ei sas i m i l a rc o n c l u s i o ni nt h et h e o r yo ft h ec o n t r o l l a b i l i t yo f1 i n e a rd e t e r m i n i s t i c s y s t e m s t h es e c o n dp a r tp r o v e sb yc a r e f u lc o n s t r u c t i o nt h a tt h er e a c h a b l es e to ft h eh n e a r s t o c h a s t i cc o n t r o ls y s t e ma sf o l l o w jd x t = ( a x t + 让t ) d r + z t d w t ，t o ，卅， l 硒= o i sd e n s ei n 代工2 ( 厅，) j = o ) rt h ec o n t r o lp r o g r e s s e sua n dzt a k ev a l u er e s p e c - t i v e l yi nt w os u b s p a c e so f 舯c o m p l e m e n t a r yt oe a c ho t h e r t h et h i r dp a r ts o l v e sa no p t i m a li m p u l s i v ec o n t r o lp r o b l e m ，w h i c hh a sat e r m i n a l t a r g e ta n dw h o s ec o s th m c t i o n a li st h es u mo ft h et i m et a k e nt og e tt ot h et a r g e ta n dt h e c o s to fi m p u l s i v ec o n t r o l s t h eo p t i m a ls t r a t e g yt u r n so u tt ob eas i m p l ea n d i n t e r e s t i n g r u l eo ff e e d b a c k 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加 、标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：监日期：兰! 左生竺旦，8 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文 l 复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 、 作者签名：兰塾导师签名： 第一部分 随机线性脉冲控制系统的能控性判据 1引言 确定性线性控制系统的状态方程是 x 7 ( ) = a x ( t ) + b u ( t ) ，t 0 ，( 1 ) 其中状态变量x ，a ：r ”一，b ：r ，一r ”是线性映射，控制u ( t ) ：b ( 2 0 ) 一 r m ，可测，局部有界( 1 ) 的能控性的代数判据 r a 叫b ，a b ，。1 明= 几( 2 ) 在上世纪6 0 年代由k a l m a n 2 得到( 见【7 j ，p 4 7 ) 确定性线性脉冲控制系统的状态方程是 x ，( t ) = a x ( 。) ，“， ( 3 ) ix ( t k + ) = x ( t k ) + b “k 其中状态变量x r n ， “) 是脉冲时刻， ) 是脉冲控制变量，在r ，中取值( 3 ) 的能 控性的代数判据在上世纪九十年代由l i u 3 得到，表达式同( 2 ) 类似的情形在随机控制系统中存在吗? 彭实戈在 6 】中介绍了随机控制系统的精确能控性的概念，并得到了线性系统 d 瓦= ( a 五+ a l z t + b u t ) d t + 缸d w t ，t 0( 4 ) 精确能控的代数判据 r a n k b ，a b ，a x b ，a 2 b ，a 1 a b ，a a x b ，a ；b ，】= 扎，( 5 ) 这里状态过程x 在i p 中取值，控制过程( 。，让) 分别在，r ，中取值 - k ，t o ) 是 一维布朗运动，它生成的信息域流记为 五，t o ) 精确能控的含义是：对任意指定 的a f p 和l 2 ( ，0 ，b 口) ，存在t 0 及容许控制过程 ，地) ，t 【o ，明) ，使 得( 4 ) 有解x ，且满足端点条件 x o = o ，x t = f 1 判据表达式中“”代表a q g b ，g = a 或a 1 在这一部分，我们将要研究相应于( 4 ) 的脉冲控制系统 j d x t = ( a 咒+ a 1 ) d 蚪施批，t o ，别，t r k ， ( 6 ) i = h 一+ b u k ，k = 1 ，2 ， 精确能控的代数判据其中 是脉冲时刻，u k 是脉冲量结果表明，判据的表达式 同( 5 ) 倒向随机微分方程( 简称为b s d e ) 的解的存在唯一性定理在这项研究中扮演了重要 角色：它保证了任何终端状态都是可达的这样，线性系统的精确能控就意味着任何初始 状态都能被转移到0 这个想法是属于f 6 】的下文是这样安排的：第2 节介绍倒向随机微 分方程的解的存在唯一性定理，脉冲控制系统的严格描述和精确能控性的定义；第3 节导 出了精确能控性的代数判据 2 记号和准备 设w = m ，t o 是概率空间( q ，p ) 上的d 维标准布朗运动，它生成的信息 流记为 五，t o 一个过程 也，t2o ) 称为五一适应的，若y t 0 ，也关于五可测一 个过程 也，t o ) 称为右连左极的，若对于几乎所有的u ，也( u ) 关于t 右连续，左极限 存在。 给定常数t 0 ，记l 多( o ，丁；r 一) 为【0 ，列上取值在r ”中的，五一适应的平方可积 过程全体，即： e 4 圳2 d t 0 ，v ( y “z 1 ) ，渤，砘) r “r m “，( f ，u ) a e ，有 ( t ，y x ，z 1 ) 一f ( t ，驰，砘) l ( 1 y 1 一珈l + l 施一砘1 ) l g ( t ，y t ) 一9 ( t ，抛) l l l y l 一抛l ， 那么，比l 2 ( 厅；r 口) ，( 7 ) 有唯一解，即工多( o ，t ；r m ) 酵( o ，正r t m 。) 中存在唯一一 对过程z ) 满足( 7 ) 令g = 0 就有 推论1 设，满足定理1 的条件，则比l 2 ( ，j ；r ，) ，下面的倒向随机微分方程 r tr t k = f + 上，( s ，k ，z , ) d 8 一上忍d w 有唯一解 注：事实上，定理l 与推论1 是等价的因为只要令 ，( t ，e 牙) = f ( t ，y 宏一9 ( t ，l ，) ) ， 定理1 的结论就可以由推论1 得到， 本文将要应用的倒向随机微分方程的解的存在唯一性定理，是推论1 的如下推 广( 见【8 】) p 9 9 ) ，这是为了适应随机脉冲控制系统的状态轨线会发生跳跃这一情况 定理2 设f 满足定理1 的条件，则k l 2 ( j j ；r 一) ，v d i , ( o ，丁；r _ ) ，下面的倒向 随机微分方程 r tr t y t 2 + 上，( s ，k ，z , ) d s + ( 峙一k ) 一j ( z , d w , ( 8 ) 有唯一解，即d ；( o ，? ；r ，) 珐( o ，置r “d ) 中存在唯一一对过程( y ，z ) 满足( 8 ) 前面提到的脉冲控制系统状态方程( 6 ) ，更严格的形式应该是 x t x o 一+ z 溉+ a l z s ) d s + t z s d w s + 莩b u 眠椭t 【o ，刁一( 9 ) 其中w 是一维标准布朗运动状态过程x 和正则控制过程z 取值于舯，脉冲控制变 量 u k ) 取值于r _ a a 1 是r “到自身的线性映射，b 是r ，到i p 的线性映射容 3 许正则控制过程全体z = 珐( o ，t ；r “) ( 亿，“k ) ，k = 1 ，2 ，) 称为脉冲控制，记作7 r 其中 n 是五一停时，脉冲量“ l 2 ( ，k ；r ”) 若记 厶( ) = u k x 。，司( ) ， k 容许的脉冲控制还须满足： 厶l 多( o ，t ；r 一) ( 1 0 ) 条件( 1 0 ) 是技术上的要求它的必要性将在下一节应用定理2 时体现容许脉冲控制全体 记为n 按照【6 】给出的精确能控性的定义，我们对系统( 9 ) 的精确能控的定义是 定义1 若v oe 酣，比l 2 ( 乃，；b ，) ，存在( z ，”) z i i ，使得( 9 ) 有解x 满足 则称( 9 ) 精确能控 3 判据的导出 x o = n ，硒= 定理2 保证了：对任何7 r ，f l 2 ( ，备；i p ) ，存在唯一一对五一适应过程( x ，z ) 9 多( o ，t ；r n ) 珐( o ，t ；r - ) ，满足( 9 ) 和终端条件x r = 这是因为，记 k = 一b u a x , ，明( t ) ， 则状态方程( 9 ) 和终端条件可写成倒向方程的形式 ：一ft(饯4-alz,xta i z , ) d s + 一k 一，t m 忆，t 【o ，t 】， ( 1 1 ) = 一上( 饯+ 一k j 7 t 矾，【o ，t 】， ( 1 1 ) j f 容许脉冲控制，r 满足条件( 1 0 ) ，这蕴含着v i 哆( o ，t ；r ，) 因此，定理2 适用不仅如此， 两个容许脉冲控制之和仍是容许的设7 r 1 = ( 矗，“ ) ) ，”2 = ( 哆，嵋) ) 是两个容许控制， 7 r 1 + 丌2 定义为7 r l u 丌2 由于状态方程是线性的，若( x 1 ，z 1 ，7 1 - 1 ) ，( x 2 ，z 2 ， 2 ) 分别满足( 9 ) ，则( x 1 + x 2 ，z 1 + z 2 ，7 r 1 + 7 f 2 ) 也满足( 9 ) 这样，( 9 ) 精确能控就等价于：v a ，h i i ，使得满足( 9 ) 和 x t = 0 4 ( 1 2 ) 的解过程x ”具有初值口若记 5 = j 昭1 7 r ) ， 则( 9 ) 精确能控等价于s = r 竹 容易证明s 是线性空间不仅如此，它还有一个刻画 定义2 设a 1 ，a 2 ，a 是到自身的线性变换，8 是r 佗的子空间，记 ( a 1 ，4 2 ，4 i 嚣) 为所有包含舀的a 一不变的0 = 1 ，2 ，r ) 子空间的交 容易证明 ( a 1 ，a 2 ，4 l 嚣) = s p a n b ，a 。a i 2 a i 。嚣旧n ，i l ，i 2 ，i g l ，2 ，r ) ) 应用上述概念，我们对s 有如下刻画： 引理1s = ( a ，a l l i m b ) 证明：我们将证明两者的正交补空间相同从而两者相同 引入一个过程y 。满足 fd y t = - a ，y t d t a i y t d w t ，t 【o ，刀， 1 k = 卢础 其中，a 7 表示a 的共轭算子对x ”y 应用i t 6 公式，并注意n ( 1 2 ) ，可得 e u k b 7 = 一掰卢 这样。 p 上s 铮b y t = 0 ， a s ，【o ，刀， ( “ = 亭”右边的式子意味着b y 与0 随机相等以下称两个过程相等，均指此意) 因为 i r t ，# b k = e y o 一b a 7 y , d s 一b 7 q k d w ；，v t j 00 o ，卅， j 一。 5 所以，b y = 0 蕴含着 1 0 j o b 7 e 如2 j o b 7 a i kd w s 。 上式左边是有限变差过程，右边是连续鞅过程一个过程若既是连续鞅又是有限变差 的，则一定是常数( 见f 9 】，p 1 3 5 ，定理3 4 2 ) 这样 乇8 a f y 8 a 8 = t b f 龋删8 一q ， 进而 b 7 a y = b 7 q y = 0 将迭代继续进行下去将得到 b 7 a 7 a y = b 7 a 7 a i y = b 7 a ；a y = b a i a i y = = 0 ， 注意到( 1 3 ) ，就有 b 7 y = 0 甘k 上( a ，a i i i m b ) ，a s ，v t 【0 ，t i ( 1 6 ) “ 一”是显然的 注意到 k ( ，硝 s p a n b ) ，v t 0 ，t i 为看出这一点，只要将( 1 4 ) 看成是定义在子空间( a 7 ，a i i s p a n p ) 上即可这样， p 上( a ，a 1 l i m b ) 弓k 上( a ，a i i m b ) ，v t 0 ，t i ( 1 7 ) 这是因为，若子空间u 是a ，a l 一不变的，则u 1 是a ，a i 一不变的令u = ( a ，a 1 i m b ) ， 就有 卢u 1 = = = ( a ，a i l s p a n p ) cu 上 这是因为( a ，a i s p a n 卢) 中的元素总可以表示成 a ：。a ：。a 乞反 其中a 。= a 或a 1 这样，( 1 7 ) 成立而反向蕴含关系是显然的 最后，注意到( 1 5 ) 和( 1 6 ) ，就有 p 上( a ，a l l i m b ) 错口上s 6 注1 引入辅助方程( 1 4 ) 的方法是属于【6 】的 注2 不难证明：判据( 5 ) 等价于( a ，a l l i m b ) 这样，我们就得到了 定理3 随机线性脉冲控制系统( 9 ) 精确能控的充要条件是 ( a ，a i l i m b ) = 形 7 口 第二部分 一类随机线性控制系统的能达集 一般的随机线性控制系统 d x t = ( a 墨+ b u ) d r + ( c x t + d u t ) d w t ，t 【o ，t l 的精确终端能控的充要条件( 彭【6 ) 是 i m d = r ” 这里， m ，t o 是概率空间( q ，p ) 上的维的标准布朗运动， 五，t o ) 是w 生 成的信息流：五= 口 w ：，0 ss t 状态过程x ，控制过程分别在r ”和r ，中取 值a ，e 是b ，到自身的线性映射，b ，d 是r m 到r “的线性映射容许控制过程全 体为l ；( o ，已r “) 精确终端能控的定义是：k l 2 ( 乃；a - ) ，3 ( x ，u ) 珐( o ，t ；f p ) l ；( o ，丁；r ，) 满足状态方程，并且x r = 这个条件意味着：当i m d i p 时，存在f l 2 ( 厅；r ，) 不能被达到( 彭 6 0 那么 此时所能达到的终端状态全体是怎样的呢? 它在终端状态空间中是稠密的吗? 在一定条件下，答案是肯定的这就是这一部分的主要结论： 定理4 设随机线性控制系统 蛹= ( a 磁+ 饥) 出+ 盈d w t 的控制变量“，z 分别取值于r ，的子空间m ，m on = 础，则该系统以弱= 0 为 初值的能达集 在 7 z t ：= x ( 丁；“，2 ) i “l ；( o ，t ； ，) ，。珐( o ，t ；) ) 中稠密 证明：分三个步骤 代l 2 ( 厅，i p ) l = o ) 8 1 终端状态 x ( t ；“，z ) = z o t e a ( t - t ) u td t + te a ( t - t ) z td w t 记m ( ) = c a ( t 一) m ，( ) = c a ( r 一2 ) ，m ( t ) o ( t ) = 础，v t 【0 ，t i 。 对任何f l 2 ( 兀，i p ) ，满足k = 0 ，存在h 酵( o ，r ；r “) ，使得 t = h t d w t 在( ， ，r ，) 中存在有界连续过程g ，使得e 詹l m h d 2d t 足够小( 见【4 】，p 2 4 - 2 5 ) ，从 而詹g 。d w t 与口h 。d 彤足够接近 过程g 可唯一地分解为9 2 + 矿，露，露分别取值于m ( t ) ，( t ) 中可以证明，9 1 ，9 2 仍 是连续有界的( 见附录) 令忽= e - a ( 7 一g ，贝uz l 多( o ，t ；) ， zotea(t-t)ztd吼=ojoj o r 露d m 。_ 另一方面，存在 i t 珐( o ，t ；m ) ，使得譬e a ( t 一) u d t 与露9 d 坎足够接近这是下面 几步将要证明的 2 记a 为【o ，卅的一个划分：0 = t o t l t 。= t 记a t 。= t m 一屯，= m a x a t 。) ，当划分足够细( 足够小) 的时候， 珐岷 ( 1 ) j = o 与j 孑g l 讲仉足够接近( 见【4 】，p 2 v 2 5 ) ，其中眠= 眠+ ，一岷令 嘶= e “口一“砖一。暇，一t 壶，j = 1 ，2 n - l 当划分足够细的时候， e a ( t - t i u j a t j ( 2 ) j = l 与( 1 ) 能足够地接近这是因为 e l e a ( t - 句嘞弓一畦眠j 2 j = lj = o n 一1 n - 1 = e l e - a , x 砖一。w 乞一。一9 j 慨，1 2 9 = e l ( e 一4 b i ) g t j1 2 岛+ e l 珐一。1 2 a t 。一1 3 = 0 n - 2 s l i e a 出，一1 1 1 2 e i g l1 2 岛- t - e i g i 一。2 如一1 妒2 ( ) 2 t + k 2 其中k 是j 9 1 j 的上界妒( d ) 2 嚣瑟圳e m 一川) ，舰妒( 6 ) = 0 3 令 n 一1 u t = u j x t , ，t j + 1 ) ( t ) ， j = l 则u l ；- ( o ，t ；m ) ，且当划分足够细的时候， 与( 2 ) 足够接近这是因为 尸e a ( t - t ) 毗出 j o t e a ( t _ t ) u t d $ - 月e a ( t - ) u j a ：董f ，+ ，出一 巧t 。，, t ，+ x e a ( t - t ) u , n - 1 e a ( t - ) u j a j = lj = l = 萎j = x 壶e + 1e _ a a t j _ i t e - a ( t - t j ) - - i 出k 眠一。 1 1 壶f + 1 ca a t ，- 1 【e - a ( t - t ，) _ d t l l e l l a l l l x l 唰) ， 所以 e j ( o te a ( t - t ) u td t - n 苫- 1e 们训嘶她1 2 e 2 1 1 a i l l x l 则a 谬z 综上所述，我们能够找到u 酵( o ，置m ) ，使得口e 4 ( 7 一) u t d t 与口露d w t 足够接 近 这样，我们就能够找到( i t , ，z ) 碜( o ，t ；m ) l h o ，t ；) ，使得x ( t ；，。) 与给定 的终端状态足够接近口 2 一 一h 9 一 1 璺d 一 a一 m 舢 e i i 第三部分 一个最优脉冲控制问题的解 1 引言 这一部分将寻求一个简单的确定性脉冲控制系统的最优控制策略，状态方程如下 x 他) = a x ( t ) ，t t a ，( 1 ) x ( t k ) ；x ( t k - ) + b b ，k = 1 ，2 ，r ( 2 ) 状态函数x ( t ) 是取值在r 2 中的右连续函数在脉冲时刻 “) 之外的区i ；3 内，它的变 化规律由( 1 ) 决定；在t = t k 时，状态函数发生跳跃，跳跃量由( 2 ) 决定序列 ( “，u k ) ) 称 为脉冲控制，记为7 r 其中， “ 满足t l 幻 0 ， “) cr a = ( ：) ，b = ( ：) 端点条件是 x ( o 一) = y r 2 ， ( 3 ) x ( t s ) = 0 ，不固定 ( 4 ) 记由( 7 r ，) 决定的满足( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) 的解为x 一( ) 容许控制的全体为 i i 。d ( f ) = ，r 1 3 t l2o ，x - 4 ( o ，) = o ) ， 由本文第一部分第1 节所述的线性脉冲控制系统的能控性判据可知，v ，h 。d ( g ) 非空 设 是一个正常数容许控制7 r 以( 口) 的性能指标是 r 以( 7 r ) = t + z i k i k = 1 最优控制问题是：对给定的y r 2 ，在i i “( y ) 中寻找矿，使得 也( 丌) = ，乎f ，、 以) ) f o d i 1 1 该问题可看成足这样一个力学模型的数学刻画：具有单位质量的质点在一连串瞬间 打击的作用下沿一条直线运动在不受打击的时间里，它作匀速直线运动，每次瞬间打 击( 沿着直线方向) 的效果是使质点在位置几乎不变的情况下速度发生显著改变，控制者 希望通过一系列打击，使质点从某个初始位置( 具有某个初始速度) 到达原点并停止并 且，他希望代价尽可能小：代价是整个过程所用的时间与施加打击的费用之和每次打击 的费用与打击造成的冲量成正比 后文是这样组织的：第2 节给出值函数满足的变分不等式和验证定理；第3 节给出最 优控制的一种猜测；最后一节应用验证定理证明这个猜测是正确的 2偏微分变分不等式和验证定理 动态规划方法对于解决上述最优控制问题的作用在于：刻画该问题的值函数应当满 足的条件( 偏微分变分不等式) ，进而得到验证定理：满足该不等式的函数“接近”于原问 题的值函数最后，用验证定理证明：通过合理的猜测得到的控制策略确实是最优的 定义1 称函数y ：l p r u + o o ) ： 矿( f ) 一彻i n 删f 占( 7 r ) ) ，v y r 2 为上述最优脉冲控制问题的值函数， 因为均，i i 耐( 可) 非空，所以矿是处处有限的并且，它还满足下面的动态规划原理： 定理1i b e l l m a n 最优性原理】 y 国) = i 。n ，。f 0 + 引f + y 0 + t a y + 口u ) ) ， y r 2 ( 5 ) “r 根据( 5 ) ，我们有 定理2 设值函数v c 1 ( f p ) 。则 ( a y ，v y ( ) ) 一1 ，y ( 可) j 醢 j i 训+ v ( y + b “) ， y y r 2 ( 6 ) 这里( ，) 表示r 2 上的内积 我们称( 6 ) 为关于上述最优脉冲控制问题的偏微分变分不等式 下面的验证定理在某种意义上是定理2 的逆命题它有助于我们寻找最优控制策略 】2 定理3 【验证定理】设w e ( 舻) 分块可微，即存在有限个区域f i x ，q 2 ，n m cr 2 ，彼此不交，具有分段光滑边界，r 2 = u 罂1 砭w 在每个g 上的限制彤j 吼 伊( q ) 如果每个q ；的边界与x 轴至多有有限个交点，那么，若w 满足 1 在每个吼上，( a y ，g r a d w ( y ) ) - 1 ， 2 w ( y ) i n f 。r q i u i + w ( v + b t ) ) ，y y r 2 ， 3 w ( o ) = 0 就有， t 矿( ) 山( 7 r ) ，w r n d ( ) ，v y r 2 证明：设7 r = ，t k ) l = l ，2 ，r 础( 掣) ，仃，y 决定的容许轨线为x ( t ) ， x ( t ) = p 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ) 应当注意到：x 似) = 0 ( 即最后一次脉冲一定是将状态转移到原点 的1 我们有 w ( g ) = w ( x ( o - ) ) 一w ( x ( t r ) ) = w ( x ( o - ) ) 一w ( x ( 岛一) ) + ( “) ) 一w 僻( t + - 一) ) + 伍( “一) ) 一w ( “) ) 对于某个区间i r k , t + 1 ) ，若x ( t ) 始终在同一区域内，则 w 僻( ) 一w 僻( t + l 一) ) = 一”1d ( x ( t ) ) ：一，“” a x ( o ，v 彤忧( t ) ) ) d t t k + l 一“ 若j r ，t + 1 ) ，使得x ( t ) 恰好处于两个区域的交界上，则 h 7 ( x ( t k ) ) 一w ( x f f ) ) = l 。i t m ，仉7 ( x ( “) ) 一w 7 ( x ( t ) ) 7 - 一“， w ( x ( f ) ) 一w ( x ( t k + 1 一) ) = l 叶i m w ( x ( t ) ) 一w ( x ( t + l 一) ) 。k + ，一7 所以，仍然有 w 7 ( x ( “) ) 一w 7 ( x ( t + 1 一) ) t + l t k 同样地，w ( x ( o 一) ) 一w ( x ( t l 一) ) t 1 而 w ( x ( t 一) ) 一彬( x ( ) ) = 僻( “一) ) 一( “一) + b u k ) l u k l 所以，( ) 0 + f ：l l u k l = 山( 7 r ) 口 1 3 3 最优控制的一种猜测 系统( 1 ) ，( 2 ) 的状态轨线在相平面上的运动呈现出一种简单的形式：在没有脉冲的时 段内，轨线沿着y ，轴方向运动；脉冲发生的时刻，轨线沿着y 2 轴方向跳跃( 图1 1 我们容易对最优控制的模式做出一种猜测： 当初始状态位于第一象限时，首先施加脉冲，使轨线跳跃至第四象限，再待它自由运 动至沈轴时施加一次脉冲，使轨线跳至原点( 图2 ) ； 当初始状态位于第二象限时，首先施加脉冲，使轨线向妇轴正方向跳跃( 也可能不 施加脉冲) ，再待它自由运动至抛轴时施加脉冲，使轨线跳至原点( 图3 ) 当初始状态位于第三( 四) 象限时，控制模式与第一( 二) 象限的模式关于原点对称 z f 一+ i “ t l 一 f 2 t _ j f z 广 r 图1图2图3 容易看出，上述控制模式由首次施加的脉冲量u 决定，分别记之为7 r 1 ( ) ，丌2 ( u ) 这 样，我们就很容易分别从中找到最好的控制来 容易计算出： 山( 7 r l ( 缸) ) = 一f 一石 磊一z ( + 钝) ，玑o ，驰o ，us 一耽， 以( 丌2 ( ) ) = z u 一石 五+ f ( u + 抛) ，9 1 2 2 孵时，山( 丌2 ( ) ) 在i , = ( 一y a 2 t ) 一耽时取最小值 当i y a i 2 鹾时，山( 丌2 ( “) ) 在1 8 , = 0 时取最小值 当初始状态位于第三( 四) 象限时，相应控制模式中的最优控制容易通过对称性得到 综观在这样一种模式下初始状态分别位于四个象限时的最优控制，会发现它们遵循 一个简单的反馈规则：在相平面上存在一条特殊曲线a o b ，它由抛物线y l = 一2 鹾的 1 4 上半支a o 和抛物线y l = 2 娣的下半支b o 连接而成当初始状态位于右半平面，b o 上方( 或者左半平面，a o 下方) 时，嘬优控制”是先施加脉冲使轨线跳至b o 或a o 上 再待它自由运动至y 2 轴时施加一次脉冲，使轨线跳至原点；当初始状态位于右半平面， b o 下方( 包括b o 本身) ( 或者左半平面，a o 上方( 包括a o 本身) ) 时，“最优控制”是待 轨线自由运动至y 2 轴时施加一次脉冲，使之跳至原点( 图4 ) ，记这个反馈控制为矿 4 验证 h 2 k 一 弋 u 文 j 图4 “猜测”最优控制的反馈形式 反馈控制矿决定了f 妒上的一个函数w ：w ( v ) = 毛( 丌) ，设y = ( 讥，耽) ，容易计 算出缈的表达式如下： w ( v ) = 2 2 , v 1 ) 1 2 + l y 2 ， 一1 耽一f 抛， 2 ( 一2 l y l ) ”一l y 2 ， - w v 2 + l y 2 ， 虮0 ，y 2 一( l 2 1 ) 1 2 玑0 ，y 2 0 ：。+ ( o ，抛) = + o o ，。一( o ，y 2 ) = 一1 v 2 y 2 = 0 ：仰j 1 + ( o ，y 2 ) = + ，w o l 一( o ，沈) = - o o ； i 抛 0 再由命题1 可得结论 命题3 ：命题2 的条件下，斜投影算子 尸凇邮) ， 关于t 连续 证明：设f a ，u o v = r n ，有 i ( 户誊f u u f y 一尸髟v ) z i = p ；：? w z p f f u u ? f v f x 十p f f u u ? w f x p 。u v z = i 尸怒p y 一f x ) + f ( 磋y z ) 一p 。u y z i | | f 喾翌f rj j | j j e l ll z l + l i e 一，| | 0 户髓矿| | i z i 所以 0 巧f u u f y f 髟y | | ( j j 巧f “u f v f l + | i f 长矿i i ) ij f 一圳 令u = ( ) ，f = 疋，f r l ，则( 1 0 ) 成为 ”p m m m ( ( 即t ) ，( 即一尸凇( t ) | is 、( ”l ir ) m m ( ( 钟e ) ，o 州i + i 尸篙嚣( t ) i i ) l l e ，口1 一， 再由推论1 可知，对于j 的任何紧集k ，有 l i 。m ，i 一。胪p 肘m m ( ( t t ，) ) ( ) 一- p m m m ( ( t t ) ) ，o ) i i = 0 t ，t ，e 耳 所以，f 龆( t ) 关于t 连续对p m m n ( ( t t ) ) ，( t ) 同理可得结论 命题49 1 ，9 2 是有界，连续的 证明：令e = e a ( r 。) ，t j = 【0 ，卅，则 露= - p j l f m m ( ( 咄t ) j ( t ) g t ，毋= 户譬搿，( 。) m 口 ( 1 0 ) 口 根据推论， 1 1 f 鬻。( 。) i i ，o 碟鼢。( 。) i i f 以有界又9 是有界的，所以g l 矿是有界的 9 1 的连续性是因为， f 露( 。) 一彩( u ) i = 忙j 等盈。( 。) m ( “) 一f 喘黟7 ( 即鲥( u ) 1 o p 髫鼠( 。) i ii m ( u ) 一9 p ( u ) i + o p 等拨( 一f 瑞翟( 。) i ii 吼，( u ) i - + 0 对9 2 同理可得结论 口 r e f e r e n c e s 【1 1d o u g l a s ，r g ，b a n a c ha l g e b r at e c h n i q u e si no p e r a t o rt h e o r y , s p r i n g e r 1 9 9