（基础数学专业论文）有限几乎单群的od刻画与非交换图刻画.pdf

有限几乎单群的d d - 刻画与非交换图刻画 有限几乎单群的o d 一刻画与非交换图刻画 摘要 众所周知，有限( 几乎) 单群是构成有限群的基石因此，利用较为直观、 浅显的性质来刻画有限几乎单群，对于我们深入了解它们的性质和结构是 大有裨益的在本文中，我们主要考虑了以下刻画问题：有限几乎单群的素 图次数型以及非交换图对其本身结构、性质的影响前者与施武杰教授于 1 9 8 7 年提出的一个猜想( 5 3 】，1 9 8 9 ) 是紧密联系的后者与文献( 1 】，2 0 0 6 ) 的作 者在杂志j a l g e b r a 上提出的a a m 猜想密切相关到目前为止，这两 个猜想都仍未完全解决 本文分为三章，主要有如下内容： 第一章介绍文中常用符号和基本概念，并介绍了本文的研究背景和研 究成果 第二章讨论了一些有限几乎单群的0 1 ) - 刻画其中的一部分结果，从 内容或方法上，部分或完全推广了前人的结果 第三章讨论了有限几乎单群，尤其是某些具有连通素图分支的单群的 非交换图刻画我们不但建立了具有非连通素图的有限单群在a a m 猜想与 t h o m p s o n 猜想之间的联系，而且证实了部分具有连通素图分支的有限单群 对于前一猜想也是成立的 在后两章的末尾，我们提出了一系列有待进一步解决的问题 关键词有限群；几乎单群；有限群的o d - 刻画；有限群的非交换图刻画 作者：张良才 导师：施武杰 有限几乎单群的o d 刻画与非交换图刻画 a b s t r a c t d d - c h a r a c t e r i z a t i o na n dn o n c o m m u t i n gg r a p h c h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t ea l m o s ts i m p l eg r o u p s a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tf i n i t e ( a l m o s t ) s i m p l eg r o u p sa r eb r i c k so ff i n i t eg r o u p s i no r d e rt o k n o wb e t t e rt h e i rp r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r e s ，i ti sv e r yh e l p f u lf o rt l st oc h a r a c t e r i z et h e m b yt h e i ro b v i o u s ，s i m p l ea n di n s t i n c t i v ep r o p e r t i e s t h i sp a p e ri s i n t e n d e dt os t u d y t h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e so ff i n i t ea l m o s ts i m p l eg r o u p s ：t h ed e g r e e so fv e r t i c e so ft h e i r p r i m eg r a p h sa n dt h e i rn o n - c o m m u n i c a t i n gg r a p h s o b v i o u s l y , t h e r ei s 眦i n t i m a t e r e l a t i o nb e t w e e nt h ef o r m e rp r o b l e ma n dac o n j e c t u r ep u tf o r w a r db yp r o f e s s o rw u j i e s h ii n1 9 8 7 ( s e e 【5 3 1 ) t h el a t t e ro n ei sr e l a t e dt oa n o t h e rc o n j e c t u r en a m e da a m s c o n j e c t u r ep u tf o r w a r di nj a l g e b r ai n2 0 0 6 ( s e e 【1 ) b o t ho ft h e s ec o n j e c t u r e sa r e s t i l lu n s o l v e dc o m p l e t e l y i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m es y m b o l sa n db a s i cc o n c e p t st h a tw eu s u a l l yu s e i nt h ep a p e r m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n d sa n dr e s u l t so fo u rr e s e a r c h i nc h a p t e r2 ，w es t u d yo d - c h a r a c t e r i z a t i o no fs o m ef i n i t ea l m o s ts i m p l eg r o u p s n a m e l y , w ec l a s s i f ys o m ef i n i t ea l m o s ts i m p l eg r o u p sw h i c hh a v es a i n eo r d e r sa n d d e g r e e so fv e r t i c e so ft h e i rp r i m eg r a p h s s o m er e s u l t s ，p a r t l yo rc o m p l e t e l y , g e n e r a l i z e p r e v i o u sr e s u l t st e c h n o l o g i c a l l yo re x t e n s i v e l y i nc h a p t e r3 ，w es t u d yc h a r a c t e r i z a t i o no fs o m ef i n i t ea l m o s ts i m p l eg r o u p s ， s p e c i a l l yt h o s ew i t hc o n n e c t e dp r i m eg r a p h s ，b yt h e i rn o n - c o m m u n i c a t i o ng r a p h s n o t o n l yh a v ew es e tu pal i n kb e t w e e na a m sc o n j e c t u r ea n dt h o m p s o n 8c o n j e c t u r ef o r t h ef i n i t es i m p l eg r o u p sw i t hn o n - c o n n e c t e dp r i m eg r a p h s ，b u ta l s ow eh a v ef o u n da s e r i e so fe x a m p l e st os h o wt h a tt h ef o r m e rc o n j e c t u r ei sa l s ot r u ef o rt h ef i n i t es i m p l e g r o u p sw i t hc o n n e c t e dp r i m eg r a p h s a tt h ee n do ft h el a s tt w oc h a p t e r s ，w el e a v eas e r i e so fq u e s t i o n s ，w h i c ha x e u n s o l v e d k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p ；a l m o s ts i m p l eg r o u p ；o d - c h a r a c t e r i z a t i o no faf i n i t e g r o u p ；n o n - c o m m u n i c a t i o ng r a p h so faf i n i t eg r o u p i i 有限几乎单群的d 口刻画与非交换图刻画 a b s t r a c t i i i w r i t t e nb yl i a n g c a iz h a n g s u p e r v i s e db yw u j i es h i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：日期： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：主丝匡型日 期：型呈：3 ：三笠 导师签名： 雄日期：中b 有限几乎单群的o d 刻画与非交换图刻画第一章绪论 第一章绪论 1 1 常用符号和基本概念 在本文中，所考虑的群都是有限群，所讨论的单群都是有限非交换单群本 文用到的群论的术语和符号都是标准的，请参照d j s r o b i n s o n 的著作 4 8 】 未经指出的符号可参考本文文献本章给出文中常用符号和基本概念 在本文中，符号表示自然数集；p 表示素数集我们也用丌( n ) 表示 自然数n 的素因子的集合对任意正整数m ，n ，弘d ( 仇，n ) 表示m 和扎的最 大公约数令n 是任意自然数，而p 是素数记号总是表示满足下述条 件的非负整数：唧i 礼，但9 c d ( p ，景) = 1 记号e ( 唧) 总是表示满足下述条件的 非负整数：矿( 脚i n ，但矿( 唧) + 1 十礼，即e ( 唧) 表示唧的指数丌表示某个素数 集合，一表示除了丌以外的所有素数的集合如果自然数扎的所有素因子 都在素数集合仃中，那么称礼为7 1 - 数 假定g 表示任意群h g 表示日为群g 的子群；日 g 表示h g 且h g ，即日是群g 的真子群h 翼g 表示子群日为群g 的正规子群； 日司g 表示子群日为群g 的正规子群且h g ，即日是群g 的真正规子群 hc h a rg 表示日为群g 的特征子群符号a u t ( g ) 表示群g 的自同构群； i n n ( c ) 表示群g 的内自同构群；o u t ( g ) 表示群g 的外自同构群z 。表示 m 阶循环群s o c ( g ) 表示群g 的基柱，亦即群g 的所有极小正规子群生成 的子群s u z , ( g ) 表示群g 的s y l o wp - 子群的集合 对于任何一个群g ，记号i g l 表示群g 的阶；丌( g ) 表示群g 的阶的素 因子的集合；l g ：m i 表示子群m 在群g 中的指数若g g ，我们用d ( 夕) 表示元g 的阶如果一个群g 的阶为7 1 - 数，那么我们称群g 为俨群对 于群g 的胥子群m ，如果有g c d ( i g ：m i ，i m i ) = 1 ，那么称m 为群g 的h a l l 丌- 子群 对于任何一个群g ，我们用符号丌e ( g ) 表示它的元素的阶的集合显然 集合孔( g ) 是除法封闭的令p ( g ) 表示在该整除关系下的集合丌e ( g ) 的极 大元素的集合然后，我们规定一种与集合丌e ( g ) 相关的图，称之为素图， 记作r ( g ) 在素图f ( g ) 中，顶点集是丌( g ) ，两个顶点p 与q 相连当且仅当 群g 中含有p q 阶元，记作p q 设素图f ( g ) 的连通分之数为( g ) ，则它 有限几乎单群的o d - 刻画与非交换图刻画 第一章绪论 的所有连通分支可记为7 f 1 ( g ) ，丌2 ( g ) ，几( g ) ( g ) ，并且通常令7 r i = 死( g ) ，其中 i = l ，2 ，t ( g ) 特别地，当g 是偶阶群时，我们不妨假设2 m ( g ) 显然， i g | 能被表示成m ，m 。，m 。( g ) 的乘积，其中m i 是满足丌( m i ) = 7 r i 的整数 这些m i 称为群g 的阶分量记o c ( g ) = m l ，m 2 ，m z ( g ) 】是群g 的阶分量 的集合，t ( g ) = 死( g ) h = 1 ，2 ，t ( g ) ) 定义1 1 1 设g 是一个有限群若存在非交换单群s 使得s 塑g 塑a u t ( g ) ， 则称群g 是与s 相关的几乎单群 定义1 1 2 设g 是一个有限单群若l 丌( g ) i = 其中n 是一个自然数，则 称群g 是一个单群 定义1 1 3 假定g 是一个有限群，且g g 令记号g g 表示元素g 在群g 中的共轭类同时，我们用记号| g g i 共轭类g d 的长，简称共轭类长再令 n ( g ) ：= i g g ii g g 】，即n ( g ) 表示群g 的所有共轭类长构成的集合 定义1 1 4 设g 是一个有限群，p 丌( g ) 若群g 的所有p 阶元的中心化子 都是p 群，则称群g 是一群 定义1 1 5 假定g 是一个有限群，1 h 5 ； 例p s u p ( q ) ，其中p 3 ，q 5j p ，) 交错群如，其中p 一2 是素数； 例2 d p + 1 ( 2 ) ( 5 p 2 ”一1 ) ，c p ( 2 ) ，3 d 。( 3 ) ( 9 n = 2 ”+ 1 p ) ，d r + l ( 3 ) ， d p ( 3 ) ，d p ( 5 ) ( p 5 ) j 则g 竺m 当且仅当o c ( c ) = o c ( m ) 根据文献 7 】，对于具有非连通素图的有限单群来说，t h o m p s o n 猜想是成 立的值得一提的是，对于具有连通素图的c 几乎) 单群来说，“阶分量”的威 力是十分有限的因此，我们必须找到更好的办法，才能完整解决t h o m p s o n 猜想 第三，用群的素图次数型和群的阶刻画有限几乎单群，简称。o d - 刻 画”问题 2 0 0 5 年，a r m o g h a d d a m f a r ，a r z o k a y i 以及m r d a r a f s h e h 在文献 【4 4 】中首次提出了有限群的素图次数型概念 定义1 2 5 令g 是一个有限群，j g l = 硝1 谬p 笋r ，其中p l , 见，p , - p ， q l ，o t 2 ，q ，且p l p 2 p r 对于p 7 r ( g ) ，规定：d e g ( p ) = 丌( g ) | q p ) l ，并称之为顶点p 的度数令d ( g ) ：= ( d e g ( v 1 ) ，c f e 夕0 2 ) ，d e g ( p ，) ) ， 则称n ( 6 ) 为群g 的素图度数型 定义1 2 6 若存在k 个互不同构的群与群g 具有相同的群阶和素图度数 型，则称群g 是可k 重o d 一刻画的特别地，若k = 1 ，则称群g 是可o d 刻画的 事实上，有限几乎单群的“o d 刻画”问题与“两阶刻画 问题联系十分 4 有限几乎单群的o d - 刻画与非交换图刻画第一章绪论 紧密设g 与m 是有限群，其中m 是几乎单群一方面，能被“两阶”刻画 的有限群未必是可o d 刻画的，譬如交错群a 。( 参见文献 6 3 ，7 4 ，4 6 】以及本 文第二章定理2 3 9 ) 换句话说，虽然可o d 刻画的几乎单群一定是能被“两 阶刻画的，但其逆命题不成立因此，“o d 一刻画”问题与“两阶刻画”问 题是不等价的另一方面，若群对( g ，m ) 满足以下条件：( 1 ) 亿( g ) = 丌c ( m ) ， ( 2 ) | g | = i m l ，则( 1 ) r ( a ) = r ( m ) ，( 2 ) l g i = i m i 根据素图次数型的定义，我 们有( 1 ) v ( a ) = d ( m ) ，( 2 ) 蚓= i mj 由此可以看出，。两阶刻画”的条件要 比“o d 刻画”的条件要弱一些 同时，对于某些几乎单群，它们的。o d 一刻画”问题与“阶分量刻画” 问题也是紧密联系的请参见本文第二章引理2 2 2 对。o d 刻画竹问题的研究还不是很深入，现有结果也不多除了散 在( 几乎) 单群系列以及系列单群2 b z ( g ) 外，人们还未证实其它完整系列的 几乎单群是否也可以可o d - 刻画的由文献( 4 4 ，4 5 ，4 6 】可知：迄今为止，这 方面的已有成果可以总结为如下定理 定理1 2 7 假定p 是一个素数，g 是某个素数的方幂设g 为群，m 为下 述几乎单群之一： 仃j 所有散在单群及它们的自同构群似u t ( 也) 与a u t ( m 。l ) 除外j j 例交错群岛，4 + 1 ，4 + z 和对称群s ，品+ t ； 例对于某些李型单群三2 ( 口) ，l a ( q ) ，现( g ) ，2 8 2 ( g ) 与2 g 2 ( g ) i 俐所有有限单岛：群 则g 垡m 当且仅当一jd ( g ) = d ( m ) ，俐l g i = i mj 本文继续这一工作，在第二章中得到了如下结论： 定理2 3 9 ( 【7 4 ，4 6 ，a l g e b r ac o l l o q u i u m ，录用) 令m 是一个有限单致群 则下列断言必成立：1 ( 1 ) 若m a l o ，则m 是可o d - 刻画的； ( 2 ) 若m = a 1 0 ，则m 是可2 重o d 刻画的进一步，d ( a l o ) = d ( j 2xz 8 ) 且i a l o i = i 五x 历i 同时，我们用有限单群分类定理这一新方法刻画了下述李型群系列 定理2 4 8 令l 2 ( 口) 表示一个射影特殊线性群，其中g = p n 是素数p 的 n 次方幂若有限群g 满足下述条件：d ( g ) = d ( l 2 ( g ) ) 且i g i = l l 2 ( q ) i ，则 5 有限几乎单群的0 1 ) 刻画与非交换图刻画第一章绪论 g 竺l 2 ( g ) 特别地，l 2 ( g ) 是可o d - 刻画的 作为该定理的一个直接推论，我们也证明了上述猜想1 2 1 对于射影特 殊线性群l 。( g ) 是成立的即得到了如下推论 推论2 4 1 1 假定l 2 ( g ) 是一个射影特殊线性群，其中q 是任何素数的方 幂若有限群g 满足以下条件： l g i = i l 2 ( g ) l 且丌e ( g ) = 丌e ( l 2 ( 口) ) ，则g 垡m 定理2 5 5 假定g 是一个有限群，m 是与l = ：u 4 ( 3 ) 相关的几乎单群 若d ( g ) = d ( m ) 且i g i = i m i ，则l 是可o d 刻画的；l 2 1 是可3 - 重o d 刻 画的；l 2 2 与l 2 3 是可2 重o d - 刻画的；l 4 ，l ( 2 2 ) 1 2 2 与l 。( 2 2 ) 1 3 3 是可1 3 重o d - 刻画的；l d 8 是可3 2 重o d 刻画的 定理2 6 1 ( 7 5 】，f r o n t i e r so fm a t h e m a t i c si nc h i n a ，录用) 假设m a l o 是阶 小于1 0 8 的有限单群若有限群g 满足以下条件：d ( a ) = d ( m ) 且f g l = i m i ， 则g 垒m 即，除交错群a - o 外，所有阶小于1 0 8 的有限单群都是可o d - 刻 画的 作为该定理的一个直接推论，我们可以得到文献 5 3 ，5 4 ，5 7 ，6 1 ，6 2 ，6 3 】中 已经证明了的结论： 推论2 6 2 ( ( 5 3 ，5 4 ，5 7 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ) 假设m 是阶小于1 0 8 的有限单群若有 限群g 满足以下条件：丌e ( g ) = 几( m ) 且l g = i m l ，则g 竺m 定理2 6 3 ( 【7 6 1 ，苏大学报，录用) 设有限群g 满足以下条件：d ( g ) = d ( a 1 6 ) 且i g i = i a , 6 i ，则g 兰a 1 6 即交错群a 1 6 是可o d - 刻画的 定理2 6 4 假设m 是与l ：= l 2 ( 4 9 ) 相关的几乎单群若有限群g 满足 以下条件：d ( g ) = d ( m ) 且l g i = i m i ，则厶l 2l 2 2 与l 2 3 是可o d - 刻画 的；l 2 2 是可皿重o d - 刻画的 定理2 6 5 假设m 是与l ：= 阮( 2 ) 相关的几乎单群若有限群g 满足以 下条件：d ( g ) = d ( m ) 且j g l = i m i ，则三与三2 是可o d 刻画的；l 3 是可 7 - 重o d 刻画的 第四，用群的非交换图刻画有限几乎单群，简称“非交换图刻画”问题 首先介绍两个图论基本定义 定义1 2 8 任给一个图x ，我们用记号y ( x ) 和e ( x ) 分别表示它的顶点集 和边集设g 是图x 的一个顶点，我们如下规定顶点g 的邻域( g ) ，即 y ( g ) = z x i z 一夕) 6 有限几乎单群的o d - 刻画与非交换图刻画第一章绪论 定义1 2 9 设x 和y 是两个图，z ，y y 僻) 如果存在一个v ( x ) 到v ( v ) 的一一映射咖，使得x 。y 当且仅当( z ) 一( 秒) ，则称图x 与y 是同构的， 记作x 垡y 显而易见，若x 笺y ，则l y ( x ) i = j y 伍) l 和i e ( x ) l = i e ( x ) i 1 9 7 5 年，p a u le r d s s 首次引入了非交换图的概念( 参见文献 5 0 】) 定义1 2 1 0 我们如下定义有限非交换群g 的非交换图( g ) ? 它的顶点集是 g z ( g ) ，其中任意两个顶点z 和y 相连接的充要条件是k ，y 】1 若顶点z 和y 相连接，则记为z y 2 0 0 6 年，a a b d o u a h i ，s a k b a r i 以及h r m a i m a n i 在文献【1 】1 中提出了 如下猜想： 猜想1 2 1 1 似a m 猜想，猜想1 3 ，令m 是有限非交换单群若有限群g 满足条件：v ( a ) 竺v ( m ) ，则g 竺m 由文献【1 ，6 7 ，6 8 ，6 9 ，7 0 ，7 7 1 可知：迄今为止，这方面的成果可以总结为 如下定理 定理1 2 1 2 假定n 是一个自然数，q 是任何素数的方幂设g 为有限群， m 为下述单群之一：a l o ，p s l ( 2 ，2 “) ，s z ( 2 2 m + 1 ) ，l 2 ( q ) ，l 3 ( g ) ，v 3 ( q ) ，则g 竺m 当且仅当v ( a ) 笺v ( m ) 在第三章，本文继续这一工作，并将其扩展到有限几乎单群上，得到了 以下三个方面的结论 首先，我们发现t h o m p s o n 猜想与a a m 猜想之间是紧密联系的我们 正确建立了两者之间的联系这种联系可由下面的定理来描述 定理3 3 9 令m 是具有非连通素图的有限单群若有限群g 满足条件： v ( a ) 竺v ( m ) ，则n ( g ) = ( m ) 进一步，g 竺m 亦即，因为t h o m p s o n 猜想 对于群对( m ，g ) 成立，所以a a m 猜想对于群对( 旭g ) 也成立 根据这个定理，我们可以得到一系列推论，譬如定理1 2 1 2 其次，我们得到一系列关于有限几乎单群的结果： 定理3 4 5 令m ：= 3 ，n = p 或p + 1 ) ，其中p = 2 。3 卢+ 1 是素数， a 1 ，p 0 ，p 7 若有限群g 满足条件：v ( a ) 笺v ( m ) ，则g 掣m 定理3 4 7 。令m 是除a u t ( j 2 ) 与a u t ( m c l ) 外的几乎散在单群若有限 群g 满足条件：v ( a ) 竺v ( m ) ，则g 垡m 7 有限几乎单群的o d 刻画与非交换图刻画第一章绪论 最后，根据定理3 3 9 ，我们发现：对于具有非连通素图的有限单群的“非 交换图刻画”问题，我们可以先转化为t h o m p s o n 猜想，然后利用“阶分量 刻画”来解决但是，具有连通素图的有限单群的非交换图刻画却要棘手得 多文献( 6 8 1 的作者利用有限单群阶的a r t i n 定理首先对交错群a 。进行了 非交换图刻画本文用更初等、更简洁的方法对它也进行了相应的刻画改 进后，该法也适用于多个具有连通素图的有限单群基于此，我们得到了如 下定理 定理3 5 3 ( 6 8 】，定理) 若有限群g 满足条件：v ( a ) n = v ( a 1 0 ) ，则g 笺a 。 定理3 6 3 令l t ( 4 ) 是一个射影特殊线性单群若有限群g 满足条件： v ( a ) 兰v ( 三4 ( 4 ) ) ，贝4g 型l 4 ( 4 ) 定理3 7 9 令三a ( 8 ) 是一个射影特殊线性单群若有限群g 满足条件： v ( a ) 垡v ( l 4 ( 8 ) ) ，则g 笺l 4 ( 8 ) 定理3 8 1 令u 4 ( 4 ) 是一个射影特殊酉单群若有限群g 满足条件： v ( a ) 型v ( u 4 ( 4 ) ) ，贝0g 竺u 4 ( 4 ) 定理3 8 2 令巩( 8 ) 是一个射影特殊酉单群若有限群g 满足条件： v ( a ) 型v ( u 4 ( 8 ) ) ，贝0g 型u 4 ( 8 ) 定理3 8 3 令工t ( 7 ) 是一个射影特殊线性单群若有限群g 满足条件： v ( a ) 兰v ( l 4 ( 7 ) ) ，贝0g 兰l a ( 7 ) 定理3 8 4 令阢( 7 ) 是一个射影特殊酉单群若有限群g 满足条件： v ( a ) 垡v ( 明( 7 ) ) ，贝0u 笺阢( 7 ) 综上所述，我们认为，本论文在以下三个方面具有一定的创新性： 第一，从研究的连续性上看，我们在继承前人的成果的同时，不仅弱化了 “两阶刻画”问题的条件( 参见。o d 刻画”问题部分) ，而且建立了t h o m p s o n 猜想与a a m 猜想之间的联系( 参见“非交换图刻画”问题部分) ，部分或完全 推广了前人的一部分结论详情请参见如下结论：定理2 3 9 ，定理2 4 8 ，定 理2 6 1 ，推论2 6 2 ，定理2 6 3 ，定理3 3 9 ，定理3 5 3 第二，从研究方法上看，我们采用了在o d - 刻画和非交换图刻画研究领 域中没人使用过的新方法成功解决了一些问题一方面，我们用有限单群分 类定理o d 刻画了除有限几乎散在单群与系列单群。b 。( q ) ( g 是某个数素的 方幂) 外的第三个完整的单群系列一一射影特殊线性单群三。( g ) 另一方面， 8 有限几乎单群的o d 刻画与非交换图刻画 第一章绪论 我们用新方法简化、更正了文献【6 8 】的证明改进此法后，我们证实了多个 具有连通素图分支的有限单群对于a a m 猜想是成立的详情请参见如下结 论：定理2 4 8 ，推论2 4 1 1 ，定理3 5 3 ，定理3 6 3 ，定理3 7 9 ，定理3 8 1 - 3 8 4 第三，从研究对象上看，我们将其从有限单群推广到了有限几乎单群， 得到了一些新结论详情请参见如下定理：定理2 5 5 ，定理2 6 4 ，定理2 6 5 ， 定理3 4 5 ，定理3 4 7 9 有限几乎单群的o d 刻画与非交换图刻画第二章有限几乎单群的o d 一刻画 第二章有限几乎单群的o d 一刻画 2 1引言 在本章中，我们将特别用到下列术语和符号 s o c ( a ) ：群g 的基柱，亦即群g 的所有极小正规子群生成的子群； g p ：群g 的西洛p 子群，其中p 7 r ( g ) ； s 秒k ( g ) ：群g 的所有s y l o wp - 子群的集合，其中p 7 r ( g ) ； a b ：由群a 被b 非分裂扩张生成的群，其中a 正规； a b ：由群a 被b 分裂扩张生成的群或群a 与b 的半直积，其中a 正 规 本节所用到的其他概念都是标准的，可参见文献【1 8 】 2 0 0 5 年，a r m o g h a d d a m f a r ，a r z o k a y i 以及m r d a r a f s h e h 在文献 4 4 】中首次提出了有限群的素图次数型概念 定理2 1 1 令g 是一个有限群，i g l = p 宇1 谬p 尹，其中p l , p 2 ，肼p ， q l ，a 2 ，q ，且p l p 2 3 ，b 1 j 例l ：( 3 “) ，其中m 是满足下列方程组的正整数：3 m 一1 = 2 u 6 与3 m + 1 = 4 t ，或3 ”一1 = 2 乱与3 ”+ 1 = 4 t 6 ，其中u ，t 是奇素数，而且b 1 引理2 2 2 似以引理2 j ) 假定有限群g 与m 满足下列条件：i g i = i m l 和俐d ( g ) = d ( m ) 若下列条件之一成立，则o c ( g ) = o c ( m ) 以，j q o ，( m ) i = o i 例l q o ，( m ) i = 2 i 俐i q o ，( m ) i 3 ，且存在至少一个顶点p 7 r ( m ) 使得d e g ( v ) l q o ，( m ) 卜2 引理2 2 3 伯玑定理j ) 设g 是可解有限质幂元群，则i 丌( g ) j 2 引理2 2 4 定理圳设g 是偶阶f r o b e n i u s 群，日与k 分别是它的 f r o b e n i u s 核和f r o b e n i u s 一补，则t ( g ) = 2 ，而且t ( g ) = 竹僻) ，7 r ( 日) 引理2 2 5 伊9 ，彳例设f r o b e n i u s 群g 的f r o b e n i u s 一核和f r o b e n i u s 补分别是 f 与g ，则以下断言成立： j f 幂零群； 2 i f i 三l ( m o di c i ) j ，群c 的所有p q 阶子群循环，其中p ，q 是素数，但未必相异特别 地，c 的所有奇阶西洛子群循环，而其西洛2 子群要么循环，要么是广义 四元素群若群g 不可解，则c 含有同构于s l ( 2 ，5 ) xm 的子群x ，使得 j c ：x i 2 ，其中m 的西洛p - 子群循环，并且( i m i ，3 0 ) = 1 特别地，1 5 ， 1 1 有限几乎单群的o d - 刻画与非交换图刻画 第二章有限几乎单群的o d 一刻画 2 0 茌丌e ( c ) 若c 可解且o ( c ) = 1 ，则c 要么是一个2 群，要么含有同构于 s l ( 2 ，3 ) 的子群y ，且i c ：y i 2 下面我们援引一个非常有用的关于2 - f r o b e n i u s 群的引理 引理2 2 6 慨定理纠设g 是一个偶阶2 - f r o b e n i u s 群，其中k 与g h 是 f r o b e n i u s 群，它们的f r o b e n i u s 一核分别是日和酬日则以下断言成立： j t ( c ) = 2 ，而且t ( g ) = 丌1 ( g ) = 7 r ( 日) u7 r ( g k ) ，丌2 ( g ) = 7 r ( j 叫日) ) j 2 g k 和k h 都循环， g k a u t ( k h ) ，且( i g i k i ， k h i ) = l j ，日是幂零群，g 是可解群 具有非连通素图的有限群的结构可由下述定理来描述不幸的是，该引 理对于具有连通素图的有限群是失效的 引理2 2 7 僻剀设g 的连通分支数( g ) 2 ，则下列结论之一成立： 1 g 是f r o b e n i u s 群或2 - f r o b e n i u s 群； 2 g 有正规列1 塑hqk 翼g ，其中h 与g k 是7 r 1 群国7 r 1 ) ，k h 是 单群，日是幂零群，而且i g i h t i a u t ( k h ) 进一步，群g 的奇阶分量也是 k h 的奇阶分量 2 3 有限单垃群的o d 刻画 本节讨论有限单凰群的o d 刻画性文稿o d - c h a r a c t e r i z a t i o no fs i m p l e k 4 一g r o u p s 涵盖了其主要内容该文稿已被杂志a l g e b r ac o l l o q u i u m 录 用，拟在2 0 0 9 年第1 6 卷第二期上发表注意：除交错群a ，。外，所有有限 单凰一群的素图都是非连通的，故可使用引理2 2 7 ；而对于交错群a 。o ，则不 能使用该引理，从而需要专门的讨论 下面，我们援引一些本节专门引用的结论 引理2 3 1 伊劬定理j 若g 是有限单q ，- 群，其中p p ，则 以) 若p = 5 ，则群g 必同构于下列单群之一：a 5 ，氐，山，尬1 ，2 ，l 3 ( 4 ) ，& ( 3 ) ， & ( 7 ) ，砜( 3 ) ，s z ( 8 ) ，s z ( 3 2 ) ，l 2 ( 4 9 ) ，l 2 ( 5 m ) ，l 2 ( 2 5 m - - 1 ) ，其中m ，2 5 m 士1 尹 俐若p = 7 ，则群g 必同构于下列单群之一：a 7 ，a 8 ，如，m 2 2 ，s z ( 8 ) ，l 2 ( 8 ) ，h s , l 3 ( 4 ) ，s o o ) ，d 手( 2 ) ，g 2 ( 3 ) ，c , 0 9 ) ，玩( 3 ) ，u 3 ( 5 ) ，现( 1 9 ) ，u 4 ( 3 ) ，五，u 6 ( 2 ) ，五，l 2 ( 7 m ) ，l 2 ( 2 7 m 一1 ) ，其中m ，2 p 一1 p 1 2 有限几乎单群的o d 刻画与非交换图刻画第二章有限几乎单群的o d 一刻画 俐若p = 1 3 ，则群g 必同构于下列单群之一：a 1 3 ，a 1 4 ，a 1 5 ，s u z ，f i 2 2 ，l 3 ( 3 ) ， l 4 ( 3 ) ，d 7 ( 3 ) ，& ( 5 ) ，岛( 3 ) ，d ( 3 ) ，u 3 ( 4 ) ，u 3 ( 2 3 ) ，g 2 ( 4 ) ，g 2 ( 3 ) ，f 4 ( 2 ) ，s z ( 8 ) ，l 2 ( 2 7 ) ，l 2 ( 2 5 ) ， 2 屁( 2 ) ，3 风( 2 ) ，2f 4 ( 2 ) ，l 2 ( 1 3 “) ，l 2 ( 2 1 3 m 一1 ) ，其中m ，2 1 3 ”一1 p 引理2 3 2 仍巩表l j 假设有限非交换单群g 满足条件：d ) 丌( g ) 2 ，3 ，5 ，p ) ，其中p = 1 1 ，1 3 或7 则群g 必分别同构于表1 ，2 与3 所列单群之 一特另0 地， 2 ，3 ) 丌( g ) ，7 r ( o t l t ( g ) ) 2 ，3 ) 表1 有限非交换单群g ，满足条件： 1 1 ) 丌( g ) 2 ，3 ，5 ，1 1 表2 有限非交换单群g ，满足条件： 1 3 ) 丌( g ) 表3 有限非交换单群g ，满足条件： 7 】丌( g ) 2 ，3 ，5 ，7 ) 定理2 3 3 令m 是有限单凰- 群假设o c ( m ) = 协1 ，7 r t 2 ，仇( m ) ) ，则下 列结论成立： 以，j 若m a 1 0 ，则不存在i ，歹 1 ，2 ，t ( m ) ) 使得1 7 r ( m t ) i = 1 7 r ( 叻) i = 2 ， 其中i j 进一步，i q o ，( m ) l = 0 ，2 或3 俐若m 呈a l o ，则| q o ，( m ) l = 4 证明：( a ) 由引理2 2 1 及群m 的素图( 参见文献【3 9 ，7 l ，2 3 】) 可知，至 多存在一个素图分支巩( m ) ( 1 i t ( 聊) 使得i 巩( m i = 2 因此，不存在 i ，歹( 1 ，2 一，t ( m ) ) 使得1 7 r ( m i ) l = 1 7 r ( ) i = 2 ，其中i j 于是i q o ，( m ) i 3 这表明i q o ，( m ) i = 0 ，2 或3 ( b ) 因为交错群a 1 0 的素图r ( a 1 0 ) 是连通的，所以i q o ，( m ) i = 4 凸 1 3 有限几乎单群的o d 刻画与非交换图刻画第二章有限几乎单群的o d 一刻画 定理2 3 4 假设g 是有限群，m 是除a i 0 外的有限单托群若以ji g i = l m 且俐d ( g ) = d ( m ) ，则o c ( g ) = o c ( m ) 证明：由定理