（计算机软件与理论专业论文）基于小波变换的红外和可见光图像融合算法的研究.pdf

摘要 红外成像可以识别伪装。在云雾天气下，也很容易成像。相反，可见光图像 很容易受天气干扰但它具有很好的光谱分辨率。所以在同一视场中对同一目标 拍摄红外线图像和可见光图像，然后将获取的图像用小波变换融合。可以有效的 增强图像的信息量。 快速小波变换能将源图像分解成具有不同空间分辨率和频率的子图像。根据 高频子图和低频子图像的数据分布，在一定的融合的规则下，确定有效的融合算 子，计算原始多源图像在融合图的比例，使融合后的图像兼具可见光和红外图像 的部分特征。 为了对融合后图像进行评价，文中从均值、信息熵、交叉熵、扭曲程度、相 关系数等方面对其作了定量统计。 关键字：快速小波变换高频子图像低频子图像融合算子 a b s t r a c t i n f r a r e di m a g ec a nd i s t i n g u i s hp r e t e n d i n gt a r g e t i nc l o u d yo rf o g g y d a y i ta l s oe a s y c a nf o r mi m a g e s i nt h ec o n t r a r yt h ei m a g ew h i c hf o r mw i t hv i s i b l el i g h ti se a s i l y d i s t u r b e db yw e a t h e r b u ts p e c t r u mr e s o l u t i o nr a t i oo fi ti sv e r yg o o d t w ok i n d so f t h e s ei m a g e sc a ns h o o ti nt h es a m ef i e l do fv i e w t h e nt h e yc a nb ef u s e dw i t hm i n o r w a v e l e tt r a n s f o r mw a v e t h ei n f o r m a t i o nc a l lb es t r e n g t h e n e d r a p i d l ym i n o rw a v e l e t t r a n s f o r mi sd i s c u s s e db yt h i sp a p e r s o u r c ei m a g e sd e c o m p o s i t et ot h ei m a g e sw i t h d i f f e r e n ts p a c er e s o l u t i o nr a t i oa n df f e q u e n c y a c c o r d i n gt ot h ed a t at h ed i s t r i b u t i o no f 1 1 i g hf r e q u e n c ys u bi m a g ea n dl o wf r e q u e n c ys u bi m a g e f u s i n go p e r a t o rc a nc o n f o r m i nt h ec e r t a i nr u l e sb yc a l c u l m i n gp r i m i t i v em u l t i s o u r c ei m a g e p r o p o r t i o no ff u s e d i m a g e b yt h i sw a yt h ei m a g ei n f o r m a t i o nc a nb ei n c r e a s e d i no r d e rt oe v a l u a t i n gt h ei n t e g r a t i o no fi m a g e ，t e x tm a d eq u a n t i t a t i v es t a t i s t i c s f r o mt h ea v e r a g e ，i n f o r m a t i o ne n t r o p y , c r o s se n t r o p y , d i s t o r t i n gt h ee x t e n to ft h e c o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n ta n ds oo n k e yw o r d s ：r a p i d l ym i n o rw a v e l e tt r a n s f o r m h i g hf r e q u e n c ys u bi m a g e l o wr e q u e n c ys u bi m a g e f u s i n go p e r a t o r 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，基于小波变换的红外和可见光图 像融合算法的研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 盎銎幽年土月量日， 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向中国科学信息研究所、中国优秀博硕 士学位论文全文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 董笙兰塑年月望日 指导导师签名：年土月堕日 第一章绪论弟一早殆。下匕 1 1 红外和可见光图像融合的意义 随着航空航天、遥感、传感器技术以及各种成像技术的快速发展，人们能够获得 越来越多的图像资源，如可见光图像、红外图像以及依靠地面目标反射从雷达发射来 的电磁波成像的微波图像等。这些图片增强了人类获得输入信息的能力，扩大感觉范 围或增添新的感官，使我们能接受更多的信息 照相机成像得到照片，电视摄像机成像得到电视图像，都是可见光成像。可见光 主要源于太阳辐射，是遥感成像所使用的主要波段之一。在此波段的大部分地物都具 有良好的亮度反差特性，图像上的地物容易区分。具有很好的光谱分辨率，含有丰富 的光谱信息。但在恶劣的天气和夜晚的弱光照下难以有效的获取目标的可见光图像。 红外图像根据所采用的红外线的波长分为近红外图像、短波红外图像、热红外 图像等。红外线波段较宽，在此波段，地物间的不同反射特性和发射特性都可以较好 的表现出来，因此在遥感成像中有重要的应用。红外图像可用来进行反伪装、军事目 标的识别，提供目标活动特性、所处状态等特性，进行植被的分布调查、土壤含水量 检测，也可用于勘探、军事侦察和工业实时监控等领域。可见光主要源于太阳辐射， 是遥感成像所使用的主要波段之一。在此波段大部分地物都具有良好的亮度反差特性， 图像上的地物容易区分。 在自然界中，一切物体都可以辐射红外线，因此利用探测仪测定目标的本身和背 景之间的红外线差别可以得到不同的红外图像，热红外线形成的图像称为热图。目标 的热图像和目标的可见光图像不同，它不是人眼所能看到的目标可见光图像，而是目 标表面温度分布图像，换一句话说，红外热成像使人眼不能直接看到目标的表面温度 分布，变成人眼可以看到的代表目标表面温度分布的热图像。红外图像对目标的形状 反映较好2 ，反隐身、识别伪装和抗干扰能力强，容易成像。同时由于它的透射率高， 遇到雾天及烟尘远景也可以拍清楚。然而与可见光的图像相比，红外图像中目标与背 景的对比度低，边缘模糊，噪声较大，难以用常规的边缘提取方法提取目标有效的轮 廓信息。 由于可见光图像和红外图像各有其优缺点，因此将可以同一目标物形成的两种图 像进行数据融合“1 ，使两者互补的信息融合，达到增强图像的信息量的目的。 1 2 基于小波变换的可见光和红外图像融合的研究背景 1 2 1 小波变换技术研究背景 自从1 8 0 7 年傅里叶提出并倡议用傅里叶变换、反变换研究函数以来，傅里叶变换 就是分析函数的最有力的工具之一，利用傅里叶变换研究图像性质也是一种常用方法。 随着科技的不断进步，人们越来越发现傅里叶变换的不足，由于傅里叶变换不能保证 所有的周期函数都能得到收敛的傅里叶级数表示，傅旱叶变换反映的是频域和时域的 整体信息，而不是人们更关心的局部信息，同时利用傅里叶变换分析数据的通常做法 是将时域信号或空间信号的频谱计算出来，如果在频域上存在明显的峰，则可以断言 峰值频率对应的特征是主要特征。如果峰值太多，而且频域的分割比较困难的话，那 么它所对应的数据就较难以分析。 近年来，一种比傅里叶变换更有特点的数学工具受到人们的重视，这就是小波分 析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 。傅里叶变换是以三角函数为基底而展开的，与之相对应，小 波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，w t ) 是以局部化函数所形成一组相似函数集为基 底而展开的。与快速傅里叶变换( f f t ) 相比，w t 在频域上的精度差一些，但在时间上 的分析能力要强得多，而且可以对时域和频域同时进行分解，这是傅里叶变换所无法 做到的。小波分析理论n 1 和方法的研究在数学上不断突破，克服了短时傅里叶变换在 单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息 的能力，广泛应用于各个时频分析领域，被认为是泛函分析、傅旱叶分析和调和分析 的完美结晶。小波变换在图像处理领域已经取得了尤为突出的成功应用，主要包含图 像数据压缩、图像拼接配准、边缘提取等方面，而且实验结果表明，在一些情况下， 小波变换要优于f f t 、离散余弦变换( d c t ) 等其它正交变换。 小波( w a v e l e t ) “1 这一术语，顾名思义，“小波 就是小的波形。所谓“小 是 指它具有衰减性；而称之为“波 则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。 与f o u r i e r 变换相比，小波变换是时间( 空间) 频率的局部化分析，它通过伸缩平移运 算对信号( 函数) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了f o u r i e r 变 换的困难问题，成为继f o u r i e r 变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换 称为“数学显微镜”。 小波变换的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像 处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音 乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等 方面：例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、 微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象 2 处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少b 超、c t 、 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 1 2 2 图像融合技术研究背景 图像融合技术n 1 最早是应用于遥感图像的分析和处理中。1 9 7 9 年，d a l l y 等人首 先把雷达图像和l a n d a s t - m s s 图像的复合图像应用于地质解读。1 9 8 1 年，l a n d o r 和t o d d 进行了l a n d s a t r b v 和m s s 图像数据的融合试验。8 0 年代中后期，图像融合技术开始 引起人们的关注，陆续有人将图像融合技术应用于遥感多光谱图像的分析和处理，如 多光谱遥感图像与s p o t 卫星得到的高分辨率图像进行融合。9 0 年代以后，随着多颗遥 感雷达卫星j e r s 一1 、e r s - 1 、r a d a r s a t 等发射升空，图像融合技术成为遥感图像处理 和分析中的研究热点之一。对遥感图像进行融合的目的主要有锐化图像、几何矫正、 色彩矫正、改善分类特征等。其采用的融合方法主要有i h s 变换、平均、加权平均、 差分比率、主分量分析( p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s ，p c a ) 变换、高通滤波等。 这些方法在进行融合处理时都不对参加融合的图像进行分解变换，融合处理知识在一 个层次上进行的，属于早期的图像融合方法。 8 0 年代中期，人们提出了基于金字塔方法的图像融合6 1 方法，其中包括拉普拉斯 金字塔、梯度金字塔、比率低通金字塔等，并开始将图像融合技术应用于一般的图像 处理( 可见光图像、红外图像、多聚焦图像等) 。9 0 年代，小波理论的广泛应用，为图 像融合提供了新的数学工具。小波变换具有良好的时域和频域的局部性以及多分辨性， 因此在多分辨图像融合应用中，多分辨小波分析技术已经取代了传统的高斯一拉普拉斯 金字塔技术。人们针对传统的m a l l a t 方法及选择不同的小波基函数和不同的融合算法 进行了深入研究，取得了一些进展。同时，对a - t r o u s 算法、基于第二代小波、基于 树状小波以及基于小波包等的融合技术进行了深入的研究。这使得图像融合技术的研 究呈不断上升的趋势，应用的领域也遍及到遥感图像处理、计算机视觉、自动目标识 别、机器人、医学图像处理等各个领域。 1 2 3 红外技术的发展现状和存在的问题 红外技术 1 是2 0 世纪发展起来的新兴应用技术。近5 0 年来，世界各国争相发展 利用红外线探测目标的技术，并将之应用于军事领域。近年来一些国家将其大规模推 向民用领域。在军事上，红外探测用于制导、火控跟踪、警戒、目标侦察、武器热瞄 准器、舰船导航、空降导航等。在准军事领域，可广泛应用于安全警戒、刑侦、森林 防火和消防、大气环境检测等方面。在民用领域，广泛应用于工业设备监控、安全监 视、交通管理、救灾、遥感以及医学热诊断技术等。红外技术正以前所未有的速度进 入各个领域，红外热检测在很多方面取代了常规的检测。 从理论上分析，一个物体的红外辐射取决于物体表面温度、表观面积和发射率， 但事实上必须测定的是相对周围环境( 天空、海洋、陆地、其它景物) 的红外辐射，环 境因素对目标的红外辐射有复杂的调制作用。从目标来的红外辐射在到达红外传感器 之前，将受到大气中某些气体的选择性吸收，大气悬浮微粒还使红外线散射，从而造 成辐射通量的衰减。来自目标的红外辐射通过温度变化的地区时，就会稍稍偏离原来 的方向，由于这种受热空气的区域是不稳定的，因而辐射偏离就无规则可言，这种被 称之为大气闪烁的效应使远处目标的表观方向和辐射通量同时发生变化。 对于复杂目标而言，由于其形状结构怪异又包含许多分散的热源，它们的表面温 度或辐射通量将是非均匀的，目标运行速度与其对流冷却速率也有很大影响，从而造 成目标表面温度的变化。目标表面涂料和隔热措施，在一定程度上也可使目标红外图 象变得模糊。 红外图像“以每一像点的明亮度( 灰度) 表征景物中该点的热谱特性( 辐射亮度) 。 红外波段的波长处于从o 7 5 微米至1 0 0 0 微米的范围内，其短波界与可见光相连，长 波界与微波相连。根据惯例，红外区又进一步分成四个部分，每个部分的名称都表明 它相对可见光光谱区的位置，它们是： 0 7 5 微米至3 微米近红外光谱区 3 微米至6 微米中红外光谱区 6 微米至1 5 微米远红外光谱区 1 5 微米1 0 0 0 微米极远红外光谱区 从理论上分析，一个物体的红外辐射取决于物体表面温度、表观面积和发射率， 但事实上必须测定的是相对周围环境( 天空、海洋、陆地、其它景物) 的红外辐射，环 境因素对目标的红外辐射有复杂的调制作用卜1 。从目标来的红外辐射在到达红外传感 器之前，将受到大气中某些气体的选择性吸收，大气悬浮微粒还使红外线散射，从而 造成辐射通量的衰减。来自目标的红外辐射通过温度变化的地区时，就会稍稍偏离原 来的方向，由于这种受热空气的区域是不稳定的，因而辐射偏离就无规则可言，这种 被称之为大气闪烁的效应使远处目标的表观方向和辐射通量同时发生变化 综上所述，目标的红外辐射“是十分复杂的，这是因为影响目标红外辐射的因素 是多方面的，其中主要包括入射到目标表面的辐射、目标的吸收率和反射率、气候条 件、大气的选择性吸收和散射、大气闪烁、目标的运动速度、表面涂料及隔热措施、 电路噪声等等，在军事实战环境中，还有人为施放的红外干扰因素。 1 3 主要研究内容 论文的主要内容是探讨图像融合算法，对当今主要的图像融合算法的利弊进了剖 析。图像融合算法大致分为三个层次，分别为基于像素级的融合、基于特征级的融合 和决策级的融合。本文的图像融合算法都是基于像素级的。在众多的图像融合算法中， 4 基于小波变换的图像融合有其独特优势，原理如下：将待融合的图像进行小波变换后， 图像被分解成频域上不同频率段的分解变换系数，它们构成一系列矩阵( 子图像) ，形 成一个小波变换金字塔。在形成一系列子图像后，本文主要探讨以下三个方面的内容： 1 、融合算子和融合规则的选择，基于小波变换的图像融合算法主要是研究如何选 择合成图像中的小波系数，因此本文提出四种基本的融合算子。它们分别为小波高频 系数区域选大法、小波区域能量选大法、小波系数区域标准差选大法、小波区域平均 梯度选大法。这些不同的融合算子应该可以使融合后图像相互区别于彼此，具有各自 不同的显著特征。 2 、设计一个基于小波变换的图像融合系统，完成红外和可见光图像的融合。假定 导入图像两幅待融合的图像都是已经配准的。这个系统应该可以初步实现预期的目的， 但在算法的时间复杂度，空间复杂度等方面还需要进一步的探索和优化。 3 、融合后图像质量的评价，为了有效的对融合后的图像进行评价，本文提出一种 评价方案，它对融合后的图像从亮度信息、空间细节信息、光谱信息等方面进行定量 分析。这些一系列量化评价参数使评价的结果客观化，可以解决以往主观评价的各种 缺陷。 1 4 论文的组织结构 针对可见光和红外图像的融合，论文主要提出了四种最基本的融合规则，分别为 小波高频系数区域选大法、小波区域能量选大法、小波系数区域标准差选大法、小波 区域平均梯度选大法，最后对它们融合性能进行了评估。 本文各章的主要内容如下： 第一章绪论。主要介绍了本论文的研究背景和研究意义，并对图像融合技术、小 波变换和红外技术的发展现状进行了概述。 第二章小波变换基本理论。介绍了小波变换的概念，如离散化，图像融合中常用 的小波等。并探讨了基于快速小波变换的分解和重构的基本过程。 第三章图像融合算法的研究。对当今各种流行的图像融合算法的优缺点进行了 初步的剖析，并提出了基于小波变换图像融合的优势。 第四章基于小波变换的图像融合算法的实现。在研究了小波变换金字塔的基础 上，提出了几种融合规则，并从均值、信息熵、交叉熵、扭曲程度、偏差指数、相关 系数等方面对融合后图像行了进行了评估。最后基于这些算法开发出了一个红外和可 见光图像融合与评估的系统。 第五章总结与展望。对论文研究作了初步的总结，并对以后红外和可见光图像 融合技术的进一步发展进展望。 第二章小波变换的基本理论 2 1 小波的基本知识 2 1 1 小波的概念 小波n 是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，小波具有有限的持续时 间和突变的频率和振幅，波形可以是不规则的，也可以是不对称的，在整个时间范围 里的幅度平均值为零。而正弦波和余弦波具有无限的持续时间，它可从负无穷扩展到 正无穷，波形是平滑的，它的振幅和频率也是恒定的。 传统的傅里叶变换8 1 是进行信号分析的有力工具，从物理意义上讲，傅里叶变换 的实质是把信号波形分解成不同频率的正弦波的叠加和，他在频域内是局部化的。但 从其表达式： ，( w ) = d 州f ( t ) d t ( 2 1 ) 可以看出，傅里叶变换要求提供信号的全部信息，时域信号的局部改变会影响频 域的全局改变。同样频域中的某点变化也会影响全部时域。这样信号分析中就面临着 一对矛盾：时域和频域局部化的矛盾。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但时间 方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小波( m o t h e r w a v e l e t ) 可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度( 或者叫做尺度) 可获得信号 的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波 和局部信号之间的相互关系。 为克服傅里叶变换在时频局部化方面的不足，d g a b o r 于1 9 4 6 年提出窗口傅罩叶 变换w f t 。其基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个 时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率，其表达式为： ( c 旷) ( w ，f ) ) = i f ( t ) g ( t 一贸州d r ) ( 2 2 ) 石 其中：g ( t ) 是紧支集函数，起时限作用；e 叫耐起频限作用。( 6 f ) ( c o ，f ) 大致反映了信 号f ( t ) 在t 时刻频率为6 0 的信号成分的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就 可以表示为在 t 一6 ，【+ 6 ， ( i ) 一，+ 这一区域内的状态，并把这一 区域称为窗口，当窗口函数确定后，t ，( ) 只能改变窗口在相平面上的位置，而不能 改变窗口的形状。实际应用中需要一种自适应的时一频局部化方法。即选择一个窗函数， 希望其时一频窗的形状是自适应变化的，对低频信号，其窗口形状自动变得扁平，对高 频信号，其窗口自动变得瘦长，对此w f ，r 无能为力。 6 在窗口傅里叶变换中，通常是以时域开窗性能为主来考虑问题，先将f ( t ) 时域 局部化为f ( t ) g ( t t ) ，再对开窗后局部时域信号作傅里叶变换，因此难以自动适 应低、高频信号在时域和频域中的局部表现。也可以换一个角度来观察w f l ，即采用形 式( g f ) ( 6 0 ，t ) = 陟( f ) 夏丽i j 汹其中季( w ，t f ) = g o f 弦似这是一种新的思考 j ； 方式，在积分小波变换的意义下，既把g ：看做变换函数，又把g 看做对f ( t ) 在时域 和频域都能起作用的窗函数。不妨假设窗函数具有抽象形式： 喜2 沙曲( f ) ( 2 3 ) 其中： 缈曲o ) = 口“2 9 ( a t 一6 ) ，口尺+ ( 2 4 ) 它是由1 l j ( t ) 经平移和放缩的结果。这种形式的窗函数能同时表现时间和频率方面的 特征。因为a 在u d a b ( t ) 中作为表现频率的参数，所以他不仅能适应关于不同频率时 域信号的时窗函数的要求，而且在沙动( w ) 中也含有参数口虬( ) 也能适应关于不同频 率的频窗函数的要求。 根据以上分析，把对信号f ( t ) l 2 ( r ) 的积分变换： 形，( 口，b ) = i 厂( ，) 痧曲( t ) d t ( 2 5 ) 三 称为小波变换，其中：y 动( ，) _ f 口l l 2e l ( a t b ) 是由g l ( t ) 经平移和放缩的结果。其逆变 换为： 巾，2 专“肜唧删动，扣 汜6 ， 其中： ( 2 7 ) 这样小波变换“2 1 对不同频率在时域上的取样步长是调节性的，即低频时小波变换 的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率 分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。 2 1 2 连续小波变换的定义 所谓小波( w a v e l e t ) 是由满足条件： 2 ( 1 ) j 1 ( ，) id t o o 一 ( 2 8 ) 7 ( 2 ) i i 缈( w ) 1 2w d w 0 的整数) 的倍数。使用这样的缩放因 子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换( d y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r m ) ，它是离 散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d w t ) 的一种形式。离散小波变换通常指的 就是双尺度小波变换。为了实现正交变换，必须考虑参数a ，b 的离散化问题念。一般 会采用a o = 2 ，b o = l 构成离散二进制小波。通常图像被看作是二维离散信号，因此二维 的离散小波变换为图像的处理提供了合身合用的数学工具。图像通过小波变换后，得 到不同空间分辨率上的图像序列，非常便于进一步的分析和各领域的应用。 2 1 4 尺度函数 由尺度函数钉构造小波是小波变换的必经之路。尺度函数应满足下列条件： ( 1 ) r 伊( ，) 疵= 1 ，它是一个平均函数，与小波函数相比较，其傅里叶变换具有 低通特性，具有带通特性。 ( 2 ) i lf o ( t ) l l _ 1 ，尺度函数是范数为1 的规范化函数。 ( 3 ) e ，。沙。，。( t ) d t = 0 ，即尺度函数所有的小波是正交的。 ( 4 ) e 一，。( t ) d t = 0 ，即尺度对于平移是正交的但对于伸缩m 来说不是正 交的。 ( 5 ) e p ( t ) = 2 h e p ( 2 t - n ) ，即某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的线性 组合得到，吃是尺度系数。 ( 6 ) 尺度函数与小波是关联的， 缈( ，) 可表示为如下公式： 矽( ，) = 2 g 。f o ( 2 t - n ) 式中， 2 是归一化因子，既是由尺度系数导出的系数。 这说明小波可以由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得， 基的途径。 ( 2 1 5 ) 这就是构造小波正交 9 2 2 小波离散化 2 2 1 频率离散化重构原信号二进小波 为了讨论根据频率值a 离散化时原信号的精确重构问题，首先考虑前面讨论过的 频率窗口：【半，半】，显然，当a 取所有大于。的实数值时，频率轴 o ，州 将会被完全覆盖，同时也不难发现，这种覆盖存在严重的交叉覆盖因而产生覆盖的冗 余。为了在完全覆盖的前提下避免冗余现象的出现，下面讨论取特殊离散值的覆盖问 题，使得按照小波函数l u ( 幻所对应的窗1 ：3 半径彳。；构成如下划分： 【o ，+ o o 】= u t 2 ，2 p 1 y 】 ( 2 1 6 ) 事实上，只要取频率参数a , - 为二进制整数a 户2 ，频率窗口就为： 坐一垒，壁+ 垒】= 2 蛔一如) ，2 协幸+ 4 ) 】 口口j 口口， ( 2 1 7 ) 其中巧为驭万) 所确定的窗口中心。为方便计，还可以假定a t * = 勿痧，否则取口= 勤痧一万事， 构造函数沙o ( f ) = e 妇v , q ) ，则当( f ) 为小波函数时，矿( ，) 也构成仅改变原有小波的相位 的小波函数，且痧o ( 万) = 痧( 万一口) ，a 护= 4 矿。此时矿( 口) 所对应的窗口中心扩= 勿乒。= 材痧， 于是式( 2 1 7 ) 所描述的频率窗可简化为【2 川如，2 m 如】，当取遍整数集z 中所有元 素时， 0 ，+ 上所对应的傅里叶变换将完全被上述窗i z i 所覆盖。 为了在傅里叶离散化的情形下能够精确重建原信号，需要对基小波做进一步的限 制。 二进小波缈( f ) 是基小波，且有 f 一巡d 万r 丝! ! 坚d 万 a i n 2 如 万 ，如 刃 b i n 2( 2 1 8 ) 进一步地，当a = b 时，式( 1 4 0 ) 简化为 。= r 掣虮2 胁2 ( 2 1 9 ) 下面说明( f ) 在二进小波的前提下，只需知道其小波变换八口，6 ) 在乃= 2 - 1 处的( 频 率) 信息，就可以重构f 。为此定义 w t f ( b ) = w v , f ( a y ，们，6 ( 7 ) = 2 2 f ，( 2 卜2 6 ) 并引入另一二进小波痧( f ) ( 称为二进对偶) ，满足 ( 2 2 0 ) l o 叙功：百上虬 1 汐( 2 - w ) 1 2 i i - 于是有 主矿( 2 一，刃) 氟2 一，刃) ：l j = - - o 并且可以建立下面的定理。 设吵( f ) 为二进小波，则当f e l 2 ( r ) 时， 厂= 弦m ) 2 7 妒( 2 j x - 2 7 b d b ，r 那么，有如下推理： ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ，可以通过 哗m ) 6 ( ，) ：y ez 重构，并且 艺亡吖，( 6 ) 脚。一b ) d b = 差去亡【吖( 6 ) 】痧( 2 巧) e 蛔咖( p 躺e v a l 等式) = 量去e 夕( 万炊2 吖万) 步( 2 万) e i 舸d 万 = 上2 n 亡夕( 劝e “4 d 万= ，( ，) 2 2 2 时频离散化重构原信号框架 ( 2 2 3 ) 在二进小波的前提下，则得到小波变换频率域离散、时间域连续情况下信号的重 构算法，下面将讨论时间域与频率域均离散的情形下信号的精确重建问题。此时，基 小波与二进小波都不能实现信号的精确重建，需要对二迸小波作进一步的限制。为此， 需要引入框架的概念。 首先设时间参数6 = 2 叫蛾，k e z ，b o 称为采样率，令 2 。i b o ( t ) = 2 2 缈( 2 。t 一蛾) ( 2 2 4 ) 则框架可以按照下列方式定义。 对于采样率为的小波函数 竹j a ，如果对于任意厂e r ( 尺) ，有 彳”厂i 臣毛i r 丑l l 厂l 层 ( 2 2 5 ) 对常数o a 飞b o o 成立，则称1 l 生成l 2 ( r ) 的一个框架，当a = b 时称为紧框架。 下面说明在紧框架的前提下，确实可以利用小波变换在时间域与频率域上的离散 化信息来精确重建原信号。 首先定义线性算子t 为 矽2 ；乏 吮t 如厂l 2 ( r )( 2 2 6 ) 根据框架的定义直接推得t 是一个一对一的有界线性算子，利用泛函分析中的开 映射原理，在式( 1 5 6 ) 成立的前提下，t 的逆存在且有界。事实上 - i | 2 ，k e z ( 2 2 7 ) 设g = t f ，于是有 a i i t 1 9 l l ；= a0 f l l ； - i l g l l 2 | i 丁- g i l 2 ( 2 2 8 ) 因此，l i t gl l ：玄恬即有or 1i | ：形。因此对于每个l 2 ( r ) ，推得 f = r - 1 ( 可) = r - 1 5 c ，卅如 l , k e z ( 2 2 9 ) 定义吻乒a 卅吩蛐，并称之为对偶小波，而式( 2 2 9 ) 构成框架下f 的重构公式。进一 步不加证明地说明，构成l 2 ( r ) 框架的小波一定是二进小波，并且有定理1 - 6 。设小波函 数l 2 ( r ) 并构成l 2 ( r ) 的一个框架，框架界o a b 棚 一 心 川 国巳g = = 巾 巾g 巳 ，cl【 驴髓幽喊游细 其中口夙( t j ) = ew ( m ，行) a b s ( n r , 制舢) ， 胂e ，月e p 域的大小。哆。为融合图像的在各尺度上的水平、 分别表示两幅图像对应的小波系数。 2 小波区域能量选大法 ( 4 11 ) w ( m ，刀) 为加权系数，l xp 为所选区 垂直或对角小波系数。国1 ，i ，国2 。j ，、 图像细节由单点高频小波系数决定。在实际应用中需要对图像某些局部区域的细 节进行融合，这些局部区域内的像素数量相对于整幅子图的像索数量一般较小，在对 整幅子图进行变换时其影响很小，因此应用单点变换系数比较法并不能让选定局部区 域得到增强了的融合效果。由于局域能量较大的中心像素代表了原始图像中的明显特 征，并且图像的局部特征不是取决于某一像索，因此采用基于区域能量融合。 选取某个高频像素邻近的一个，p 的区域，对比两幅分解图相同区域的能量，选 取区域能量较大的系数作为融合图像的小波系数，即： = 髓e 菇& ( 4 1 2 ) 其中巨，。w ( m ，2 ) 州舢为，p 区域的能量，其中w ( m ，刀) 为加权系数。 3 小波系数区域方差选大法 在空域图像融合中介绍过区域方差可以反映区域信息含量“，同样可以选取小波 系数区域标准差来进行图像融合。 驴饿耐i 其中s 耐i 。为像素点( f ，七) 的，p 区域方差。 诼= e w 呲椭，u p ) s 弛， = w ( m ，刀7 ) ( w 制n 一话) 2 4 小波区域平均梯度选大法 平均梯度可以用在小波系数的选择上，它可反映图像的微小细节反差。先计算出 各图像的小波系数的梯度，然后根据区域平均梯度的大小来选择融合图像的小波系数。 平均梯度不仅可用来评价图像的清晰程度，同时还能反映图像中微小细节反差和纹理 变换特征。其公式为： 3 l 石= 高善i - i 善p - iu 1 ) ( p 1 ) 智智 叫：铲嘉乙 其中石：，t 为像素点( f ，七) 为z p 区域的平均梯度， 4 2 图像融合系统的c + + 实现 4 2 1 系统的设计概述 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ，p 是为所选区域的大小。 本系统实现的是完成红外和可见光图像的融合处理。最终得到的是一幅融合后的 新图像。因此其处理界面要求能够显示红外图像、可见光图像以及融合后的图像。为 了便于对融合效果的直观评估，要求三幅图像在同一界面上显示。 由于图像融合处理流程很简单，主要操作有红外图像的导入，可见光图像的导入， 红外图像的显示、可见光图像的显示，图像的预处理，融合算子的选择与处理，融合 图像的显示。 此平台专门用于红外图像与可见光图像的融合处理，因此采用v c 单文档结构， 程序运行时直接弹出对话框提示选择要处理的图像。当用户设置了有效的图像后，弹 出主处理界面，为了能够同时显示处理前后的三幅图像，将主视分为三部分分别显示。 关于融合算子的选择，在主界面的工具栏上增加了“像素层图像融合”，在起下拉 式菜单中设置了几种融合算子的选项，单击它们即开始执行图像融合处理。 为了保证图像的精度，本系统在进行小波变换与图像融合时全采用双精度的数据， 如果改为浮点型数据，系统会运行会更快。 注意：融合前假定两幅被融合的图像是已经经过配准了的。 4 2 2 小波滤波器和小波层数的选择 小波变换具有很大的灵活性，在理论上可以有无数个小波基可供选择，同时这也 为小波变换的应用提出了一个难题，那就是如何正确选择小波基。由于小波变换是将 原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算，可以采用基于离散滤波器迭代的 方法构造了紧支集的规范正交小波基，因此内积运算便转换为信号和离散滤波器的卷 积运算，小波变换中的小波基的选择转换为正交镜像滤波器组的选择。 d a u b e c h i e s 小波由于其对非平稳信号的灵敏性得到了广泛的应用。由于d a u b e c h i e s 小波具有正交、时频紧支撑、高正规性和具有m a l l a t 快速算法等特点。所以本系统选 择d a u b e c h i e s 小波作为正交小波变换的小波基。d a u b e c h i e s 小波的滤波器系数可有资 3 2 料查得为： h c o e f 1 0 2 0 = 0 7 0 7 1 0 6 7 8 11 8 7 ，0 7 0 7 1 0 7 8 11 8 7 ，0 ，0 ， ， 4 8 2 9 6 2 9 1 3 1 4 5 ，8 3 6 5 1 6 0 3 7 3 8 ，2 2 4 1 4 3 8 6 8 0 4 2 ，一1 2 9 4 0 9 5 2 2 5 5 1 ， ) ，) 小波分解层数l 坩1 是影响融合图像质量的一个重要因素。小波变换的层数越多，融 合的频率范围越丰富，融合结果的细节也就越丰富。但是，并不是层数越多越好，主 要有以下两点原因： 一、小波变换中图像分解是对频带的划分，分解层数越多，产生的子带越多，频 带划分得越细。上一级频带分解的信号输出作为下一级频带分解的输入，层数增加意 味着级间的滤波器越多，造成信号移位也越大。 二、小波分解、合成要进行边界延拓，层数越多导致边界失真越大。而这些损失 的信息量均是小波逆变换所不能恢复。 鉴于上述原因，小波分解的层数不应过高，通常选2 - 5 层比较合适。本系统选分 解层数为二层。 4 2 3 系统的部分代码的c + + 实现 假设被融合图像两源图像经过了配准，图像的高和宽相同，i m a g e o 为图像a 的数 据，i m a g e1 为图像b 的数据，均为二维数组，c x d i b 2 为图像的宽，c y d i b 2 为图像的 高，分解层l a y e r = 2 。以下是小波系数选大法的伪代码： f o r ( i = 0 ；i l a y e r ；i + + ) b p w i d t h = c x d i b 2 1 ；b p h e i g h t = c y d i b 2 a b s ( s p a r a l 1 + h f y d i b k + h f x d i b 】) ) t e m p 1 + h f y d i b 】 k + h f x d i b = t e m p 0 1 + h f y d i b 】 k + h f x d i b ；d , 波变换后h h 部 分的融合选择 e l s e t e m p 1 + h f y d i b k + h f x d i b - - t e m p l 1 + h f y d i b k + h i f j 【d i b ； 3 3 i f f a b s ( ts p a r a o 【l + h f y d i b 】 k 】) a b s ( s p a r a l 【l + h f y d i b 】 k 】) ) t e m p 1 + h f y d i b 】【k - - t e m p 0 1 + l 母d i b 】 k ；d , 波变换后h l 部分的融合选择 e l s e t e m p 1 + h f y d i b k = t e m pl 【l + h f