（基础数学专业论文）关于aluthge变换的本性数值域和极大数值域的相关研究.pdf

关于a l u t h g e 变换的本性数值域和极大数值域的相关研究 刘妮 摘要数值域是泛函分析的重要组成部分，有关这方面的研究涉及到了基 础数学及应用数学的许多不同分支，例如泛函分析，算子理论，g + 一代数，不等 式，数值分析，扰动性理论，系统论和量子物理等等，并且在这些分支上得到了 广泛的应用随着数值域的不断发展，其他各种数值域也相继出现，如极大数值 域，本性数值域，本性极大数值域，联合数值域( j o i n t ) ，c 数值域以及联合本性极 大数值域等，都为这方面的研究增添了无限生机 对h i l b e r t 空间h 中的任一有界线性算子t ，a a l u t h g e 在1 9 9 0 年定义了它的 a l u t h g e 变换t = i t i u i t 障2 0 0 1 年，t a k e a k i y a m a z a k i 又引入t 的+ 一a l u t h g e 变换t ( + ) = i t + l i u l r 睁关于这两个算子及t 的诸多性质的研究如谱的关系， 数值域的包含关系，范数的关系等等都吸引了众多学者的关注2 0 0 2 年，台湾 学者吴培元在文 6 】中就t ，t 及t ( 】数值域的包含关系给出了两个结论，即对任 意8 ( h ) 中的算子t 有( 1 ) w ( t ) w ( t ) ( 2 ) w ( t ) = w ( t ( + ) ) 成立最近，刘秀 梅在文 3 中又进一步证明了w ( t ) = w ( t ( + j ) 依然是成立的本文就是在此基 础上对t ，t 及t ( + ) 的本性数值域，极大数值域以及本性极大数值域加以讨论， 主要内容如下： 第一章主要就算子t 以及它的a l u t h g e 变换于，+ 一a l u t h g e 变换于( + ) 的本性数 值域之间的关系展开讨论首先介绍了a l u t h g e 变换的定义及基本性质，在第二 ，、一 小节证明了v k 丘( 咒) ，t + k t 咒) ，从而进一步证明了：( t ) w ：( t ) 与此同时我们证明了于和于( + ) 具有相同的本性数值域这一结论在本章的最后 对这三个算子的w e y l 谱，k a t o 谱及约化点谱的一些包含关系进行了简单的讨 论 第二章主要研究了t ，于和于( + ) 的极大数值域，本性极大数值域之间的关系， = - 给出了三个主要结论，即( 1 ) w o ( t ) cw ( t ) ；若l i t i i = i i t i i ，则w o ( t ) cw o ( t ) ( 2 ) 对任意的a c 有w 0 ( 于一) 、) = w j ( 于( + ) 一a ) 成立( 3 ) e s s ( 于一a ) = e s s w j ( 于( + ) 一a ) 对于任意的a c 成立最后对这三个算子的d r a z i n 逆，m o o r e p e n r o s e 广义逆作了简单的讨论 关键词：a l u t h g e 变换；本性数值域；极大数值域；本性极大数值域；k a t o 谱；广义逆 o ne s s e n t i a ln u m e r i c a lr a n g ea n dm a x i m a ln u m e r i c a l r a n g e o ft h ea l u t h g et r a n s f o r m a b s t r a c t ：n u m e r i c a lr a n g ei sa ni m p o r t e n tp a r to ff u n c t i o n a la n a l y s i s ，t h i s s u b j e c ti sr e a l a t e da n dh a sa p p l i c a t i o n st om a n yd i f f e r e n tb r a n c h e so fp u r ea n d a p p u e ds c i e n c es u c ha sf u n c t i o n a la n a l y s i s ，o p e r a t o rt h e o r e m ，c + a l g e b r a s ，i n e q u a l - i t i e s ，n u m e r i c a la n a l y s i s ，p e r t u r b a t i o nt h e o r e m ，m a r t i xp o l y n o m i a l s ，s y s t e m st h e o - r e m ，q u a n t u mp h y s i c sa n ds oo n i n1 9 1 9 ，t h ef a m o u st o e p l i t z - h a u s d o r f ft h e o r e m w a sp r o v e d ，t h e nt h er e s e a r c h e so nt h ep r o p e r t i e so fn u m e r i c a lr a n g ea n dn u m e r i c a l r a d i u sb e c a m ea c t i v e a sar e s u l to ft h ed e v e l o p m e n to fn u m e r i c a lr a n g e ，v a r i o u s g e n e r a l i z e dn u m e r i c a lr a n g ew e r es t u d i e d ，s u c ha sm a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e ，e s - s e n t i a ln u m e r i c a lr a n g e ，e s s e n t i a lm a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e ，j o i n tn u m e r i c a lr a n g e ， c - n u m e r i c a lr a n g ea n dj o i n te s s e n t i a lm a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e f o ra n yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o rto nh i l b e r ts p a c e 丸i n1 9 9 0a a l u t h g e g a v et h ed e f i n i t i o no ft h ea l u t h g et r a n s f o r mt = i t 悖u l t 悸w h e ns t u d y i n gp - b y - p o n o r m a lo p e r a t o r ( 1 ) i n2 0 0 1w h e nd i s c u s s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nta n d 于，t y a m a z a k ii n t r o d u c e dt h e 一a l u t h g et r a n s f o r m 于( + ) = i t + i u i t l ( 1 2 】) 。a f - t e rt h a t ，m a n yl e c t u r e sb e g a nt od i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft ，ta n dt ( 引，s u c ha s p h y p o n o r m a l ，l o g h y p o n o r m a l ，s p e c t r u m ，n u m e r i c a lr a n g ee c t i n 【6 1 6 p e iy u a nw n d r e wt w oc o n c l u s i o n sa b o u tt h en u m e r i c a lr a n g eo ft ，ta n d 叫“，t h a ti sf o ra n y b o u n d e df i n e a ro p e r a t o rt ，w eh a v e ( 1 ) w ( t ) w p ) ，( 2 ) w ( t ) = w ( t c + ) ) r e - c e n t l y , i n 【3 】t h ea u t h o rx i u m e il i up r o v e dt h a tw ( t ) = ( t ( + ) ) w a sa l s ot r u e t h e a i mo ft h i sp a p e ri st om a k ea ni n v e s t i g a t i o no nt h ee s s e n t i a ln u m e r i c a lr a n g e m a x i m a ln u m e r i c a lr a n g ea n de s s e n t i a lm a x i m a ln u m e r i c a ln u m e r i c a lr a n g ea b o u t 丁于a n d 于( “ t h em a i nc o n t e n ta sf o l l o w s ：c h a p t e r1p a y st h ee m p h a s i so nt h er e s u l tt h a t 矾( t ) i k ( t ) ，w h i c hg e n e r a l i z e dt h em a i nr e s u l ti n 【6 ，a l s ow ep r o v et h a tt a n d t p ) h a v et h es a m ee s s e n t i a ln u m e r i c a lr a n g e a tt h es a m et i m e t h ew e y ls p e c t r u m k a t os p e c t r u ma n dr e d u c es p e c t r u mo ft h et h r e eo p e r a t o r sa r ed i s c u s s e d c h a p t e r2d e a l sw i t ht h em a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e ，e s s e n t i a lm a x i m a ln u m e r i e a lr a n g ea n ds o m eg e n e r a l i z e di n v e r s eo fta n dt ( “i nt h i sc h a p t e rw ep r o v et h r e e m a i nr e s u l t s ：( 1 ) w 0 ( t ) cw i t ) ；i fl i t i l = i i t i i ，t h e nw ；( t ) cw o ( t ) ( 2 ) f o ra n y a c ，w eh a v ew 名( 于一a ) = w 名( 于( + ) 一a ) ( 3 ) e s s w o c p a ) = e s s 仉，0 ( 于( + ) 一a ) h o l d s f o ra n ya c k e y w o r d s ：a l u t h g et r a n s f o r m ；e s s e n t i a ln u m e r i c a lr a n g e ；m a x i m a ln u m e r i c a l r a n g e ；e s s e n t i a lm a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e ；k a t os p e c t r u m ；d r a z i ni n v e r s e i i i 学位论文独创性声明 y 9 0 0 6 5 | ；, 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 储躲毕 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：墨型 窒逸l 日期：j 逝 前言 数值域作为泛函分析的重要组成部分一直以来都备受国内外学者的关注， 尤其是当1 9 1 9 年著名的t o e p l i t z - h a u s d o r f f 定理被证明之后，这方面的研究变得 更为活跃众多学者象p ，r ，h a l m o s ，t a n d o ，c ，p e a r c y , p e iy u a nw u 等都在这方 面作了大量的研究工作，也正是他们的工作在推动数值域的发展方面起到了巨大 的作用有关数值域，数值半径的研究涉及到了诸如泛函分析，算子理论，一 代数，不等式，数值分析，扰动性理论，系统论和量子物理等等分支，并且在这 些分支上得到了广泛的应用 随着数值域的不断发展，其他各种数值域也相继出现，比如1 9 7 0 年j g s t a m p f l i 在研究导算子的范数时定义的极大数值域( 见文 12 ) ，1 9 7 9 年c k f o n g 在讨论 c a l k i n 代数b ( n ) f l c ( n ) 上的内导子范数时定义的本性极大数值域，以及其它的 象本性数值域，联合数值域( j o i n t ) ，c 一数值域以及联合本性极大数值域等( 见文 1 7 ，1 8 1 ) ，都为数值域的研究增添了无限生机 对h i l b e r t 空间冠中的任一有界线性算子z ，a a l u t h g e 在1 9 9 0 年讨论p 亚 正规算子时定义了它的a l u t h g e 变换t = l t i i u i t i ；( 见文 1 ) ，其中t = u i t l 是 t 的极分解，l t i = ( t + t ) ；2 0 0 1 年，t y a m a z a k i 进一步又引入t 的+ 一a l u t h g e 变换t ( + ) = l t + i ；u i t + 卜( 见文 2 】) 这两个新算子的引入为算子论的研究注入了 无限的活力，众多学者开始了对t ，t 和t 卜) 的诸多性质的研究，例如p 亚正规 性，谱的关系，范数的关系，数值域的包含关系以及随之出现的多重a l u t h g e 变 换，a a l u t h g e 变换的相关性质等等( 见文【i 9 2 3 ) 其中在关于t ，t 及t ( + ) 数值 域的关系的研究方面，2 0 0 2 年台湾学者吴培元在文【6 】中给出了两个结论，即对 任意舀( 州) 中的算子t 有( 1 ) w ( t ) w ( t ) ( 2 ) w ( t ) = ( t ( ) ) 成立最近，刘 秀梅在文【3 中又进一步证明了w ( t ) = w ( t 一) ) 依然是成立的那么我们不禁 要问对于其它广义数值域是否也存在类似的关系呢? 本文就是在此基础上对t ， t 及f ( 章) 的本性数值域，极大数值域以及本性极大数值域加以讨论，主要内容如 下： 第一章主要就算子t 以及它的a l u t h g e 变换于，+ 一a l u t h g e 变换于( + ) 的本性数 值域之间的关系展开讨论首先介绍了a l u t h g e 变换的定义及基本性质，在第二 小节证明了v k k ( 咒) ，t + k t 咒) ，从而进一步得出了w ：( t ) w ：( t ) 与此同时我们证明了t 和丁( 4 ) 具有相同的本性数值域这一结论，在本章的最后 对这三个算子的w e y l 谱，k a t o 谱及约化点谱的一些包含关系进行了简单的讨 论 第二章主要研究了t ，于和于( 4 ) 的极大数值域，本性极大数值域之间的关系， = 给出了三个主要结论，即( 1 ) w j ( t ) cw ( t ) ；若i i t i i = l i t i i ，则w j ( t ) cw j ( t ) ( 2 ) 对任意的a c 有w j ( 于一a ) = w j ( 于( + ) 一a ) 成立( 3 ) e s s w j ( 于一a ) = e s s w j ( 于( + ) 一a ) 对于任意的a c 成立最后对这三个算子的d r a z i n 逆，m o o r e _ p e n r o s e 广义逆作了简单的讨论 2 预备知识 用h 表示复可分的h l i b e r t 空间，d i m l - i 表示空间h 的维数，( ，) 和0 分别表示h 中向量的内积和范数，l i t i i 。表示算子t 的本性范数用8 ) 和 瓦) 分别表示h 中的全体有界线性算子和h 上的全体紧算子所组成的集合 当空间咒c h 时，用上表示瓦在爿中的余子空间c 表示复数域，i 表示复数 z 的共轭， 7 r 表示启( h ) 到c a l k i n 代数日( h ) 瓦( 冗) 上的典型映射p ( t ) ，一( t ) ， 以。( t ) ，听。( t ) 和a e ( t ) 分别表示算子t 的豫解集，谱，左本性谱，右本性谱及本 性谱，a p ( t ) ，盯。( t ) 分别表示算子t 的点谱和近似点谱用n ( t ) 和r ( t ) 分别 表示算子t 的核空间和值域空间，页和a n 分别表示集合a 的闭包和闭凸包 z 。一跏表示向量列 o 。) 的极限为z o 对任意h 上的有界线性算子t ，我们记t = u i t i 是算子t 极分解，其中 l t l = ( t + t ) ，u 是具有起始空间r ( i t i ) 和终止空间r ( t ) 的部分等距算子显 然，我们有u + u i t l = i t l = i t i u + u 成立，而且当n ( u ) = n ( t ) 时，t 的极分解 是唯一的 定义o 1 设t 8 ) ，如果r ( t ) 是闭的，并且要么d i m n ( t ) 0 0 ，要 么d i m n ( t + ) o o ，则称t 是s e m i f r e d h o l m 算子，此时称i n d t = d i m n ( t ) 一 d i m n ( t + ) 为算子t 的( f r e d h o h n ) 指标，简记为 ( t ) 如果r ( t ) 是闭的， d i m n ( t ) 6 ix 。，) l ，v n n o 事实上，如果i ( z 。，) i = 1 n m n o ，则a = p ，显然矛盾当n t t 0 时，令= | ( ，) l ，则d i 。| 记 跏= o 。z 。+ r 二i 评石士，其中z 士是一单位向量且( z 。，碚) 一0 ，这时有 a 。z 。+ h 。= ( a 。+ 肛。a 。) z 。+ , u n 、百= _ t 五玎士 所以 i 卢。1 2 ( 1 一占2 ) i k + k c 1 2 + i p 。1 2 ( 1 6 2 ) i a 。+ k o 。1 2 + l p 。1 2 ( 1 一l o l n l 2 ) = 1 因此l u n i 了 乖同理可得i a n i 击因此，单位向量列 h z n + ) 必若 收敛于0 且 ( t ( a 。z 。+ ) ，( a 。z 。+ ) 一互1 ( a + 肛) 综上知w e ( t ) 是一闭凸集，证毕 引理1 1 3 【5 】对任一算子t 8 ) ，有( t ) - 亿( t ) 成立 引理1 1 4 【7 】对任意8 ) 中的有界线性算子t 始终有w 名( t ) = n 谚口丽，k 赶( 咒) ) 1 2t ，于及于( + ) 的本性数值域 在本小节我们主要来讨论算子t ，于及于( + ) 的本性数值域之间的一些关系 定理1 2 1 及定理1 2 2 是本节的主要结论 ，、一 定理1 2 1 _ 设t 8 ( h ) ，则有v et o ( n ) ，t + k t 厄) 6 证明：因为存在苊) 中的算子硒使得( t + k ) + ( t + k ) = t + t + 硒，所以 可得到l t + k 1 2 = l t l 2 + k 1 ，故( 丌“t + k i ) ) 2 = ( ”“t i ) ) 2 且”( | t + 9 1 ) = 7 r ( | t 1 ) ， 进一步我们有l t + k 一j t l 咒( 爿) 且i t + g l 一i t 悸瓦( 咒) 设t = u i t i ，t + k = v i t + k 1 分别为算子t 和t + k 的极分解 注意到k = v i t + k l u i t i 尼( h ) ，故y ( t + kj l t i ) + ( v u ) i t l 尼) ，又v o t + k i l t l ) 咒( “) ，所以( v u ) i t l 咒) 若l t l 可逆， 则( v u ) i t i + ( ( h ) 否则令，( t ) = t ，t 【0 ，i i t l l ，由s t o n e 。w e i e r s t r a s s 定 理，我们可选取一列满足r ( o ) = 0 多项式r ( t ) 使得对任意，c o ，l i t i l l ，有 l i m 。0 r 一州= 0 成立显然可得到对于任意的n n ，有( y 一矿) r ( i t i ) ( 咒) ，所以( v u ) i t i ( 咒) ，因此i t 卜( v u ) i t i i l 厄( 爿) 又因为我们已经 有| t + k 卜一l t i 尼( h ) ，所以t + k t = f t + k i 女v t + k 一一l t i u i t i = i t + k v o t + k i 一i t i i ) + ( i t + k i i ( v u ) i t i ) + ( j t + l 一i t i j ) u i t i ) c ( “) ，证毕 在以下的定理中我们给出算子t 及于的本性数值域之间的关系 定理1 2 2 若t 舀( 咒) ，则有w e ( t ) w e ( t ) 证明：我们知道，对任意日( “) 中的有界线性算子t 始终有w ：( t ) = n 面西耳面，k 瓦( 爿) ) 【q 成立，故对任意的k k ) ，i 亿( t ) = w ：( t + k ) 由定理1 2 1 ，_ 一；= = 7 一 w 名( t ) = w ( t + k ) w ( t + k ) w 7 ( t + k 。) 所以w e ( t ) n 口+ k ) ，k ( h ) ) = w ：( t ) ，证毕 在文献 6 】中作者证明了w ( t ) = ( t ( + ) ) 关系式成立， 3 】中作者进一步证 明了w ( 于) = w ( 于( ) ) 依然成立，下面我们将来考虑于与于( + ) 的本性数值域之间 是否也有同样的关系在给出定理之前，我们先介绍一个必要的引理，其证明方 法类似于文献阐中定理1 5 的证明，为本文的完整性，我们详细给出 引理1 2 3 设丁日) ，则有吼( t ) = 吼( t ( + ) ) 7 证明：我们知道，对任意的t e b ( t t ) ，有( t ) = 叽。( t ) u 西。( t ) ，而a 0 1 。( t ) 当且仅当存在弱收敛于零的单位向量列 z 。) ，使得l i m 。_ + 。i i ( t a ) 。| | = 0 首先我们来证明o l 。( t ) o = m 。( t ( ) ) o ) 成立 假设a o - l 。( t ) ，a 0 ，则有存在弱收敛于零的单位向量列 z 。) 使得 l i m n 。i i ( t a ) i | = o 即就是l i m 。i i ( u + t ( + ) 矿一a ) 。| f = 0 事实上我 们可在( t ) 上中选取 z 。) ，这样就有对任意的自然数礼，l i u x 。| | = 1 ，因此 l i m 。l i ( t ( + ) 一a ) u z 。0 = l i m 。i i ( u u + t ( + ) 一, x ) u x 。i i = l i m 。i i u ( t a ) z 。j | 茎 l i m 。o 。i l ( t a ) z 。0 = 0 而u o 。是弱收敛到零的，因此就有a o l 。( t ( 4 ) ) 另一方面我们可类似地证明叽。( t ( + ) ) ( o ) o 1 。( t ) ( o ) ，所以有毋。( t ) o ) = 叽。( t p ) ) o ) 注意到对任意a 8 ) ，6 r r 。( a ) = ( 小) ，所以我们可得西。( t ) o ) = 西。( t ( + ) ) o ) 现在来证明0e 吼( t ) 当且仅当0 以( t ( + ) ) 也就是要证明t ，等价 于t ( + ，而t 是f r e d h o l m 的等价于u 和l t i 同为f r e d h o h n 算子又u 是f r e d h o l m 当且仅当u + 是f r e d h o l m 而我们知道t ( + ) = u t u + ，所以t 是 f r e d h o l m 等价于t ( + ) 是 综上可得( t ) = 吼( t ( 4 ) ) ，证毕 定理1 2 4 设t e b ( 7 吖) ，则有i 亿( t ) = w ：( t ( + ) ) 证明：由预备知识可知，在空间分解7 - l = n ( t ) o ( t ) 上和空间分解 “= n ( t 4 ) o ( t + ) 上下，算子于及于卜) 分别具有矩阵形式于= ( ：呈) 和 于卜) = ( ：多) ，其中x 和y 酉等价又显然眠( x ) = 矾( y ) ，且w o ( x ) w ：( t ) ( w ：( x ) u o ) ) “，w e ( y ) w ：( t ( + ) ) ( w ：( y ) u o ) ) “因此我们只需证 明o w ：( t ) 等价于o w ；( t ) 即可 现假设0 u ，e ( t ) 若0 不属于w ，e ( t ( + ) ，则w e ( y ) = w ：( t ( + ) ) ，由引理1 1 4 知0 不属于盯。( t ( + ) ) ，再d a 引理1 2 3 知0 不属于c r e ( t ) ，而o - 。( t ) = 0 e ( t ) ，这样就有 n ( t ) 是有限维的，x 是f r e d h o l m 算子，则w ；( t ) = w ：( x ) = 仰：( y ) = w ；( t ( + ) ) ， 矛盾所以0e w o ( t ( + ) ) 反之，若0 w ：( t ( + ) ) ，我们可以用类似的方法证明0 w ，e ( r ) ，证毕 8 5 1 3t ，于与于( + ) 的w e y l 谱 由文献 4 】及引理1 2 3 我们知道对于任意有界线性算子t ，有盯( t ) = 盯( 于) = o ( 于( + ) ，a p ( t ) = 唧( 于) = 唧( 于( 十) ，o 曲( t ) = 口却( 两= d 却( 于( + ) 以及a e ( t ) = 吼( 于) = ( 于( + ) ) 成立在本节我们将继续讨论关于t ，于及于( + ) 的w e y l 谱的关 系 首先来看w e y l 谱的定义 定义1 - 3 1 【8 】对任意算子t e b ( 7 1 ) ，称集合( t ) = a a ( t + k ) ：k 尼) ) 为算子t 的w e y l 谱 引理1 3 2 8 1 对任意算子t e b ( 7 _ ) ，有( t ) = a e ( t ) uu 。op n ( t ) ，这里 r ( t ) = a 口( t ) ：t a 是s e m i f r e d h o l m 的且i n d ( t a ) = n ) 引理1 3 3 【9 l 对任意算子t e b ( 咒) 及a c ，有p d ( t ) o = p d ( t ) o ，其 中p d ( t ) = a c ：r ( t a ) 是闭的) 称为算子t 的闭值域点 引理1 3 4 【1o 】对任意算子t 嚣( 爿) ，a c 且a 0 有 ( 1 ) d i m n ( t a ) = d i m n ( t a ) ( 2 ) d i m n ( t a ) + = d i m n ( t a ) + 引理1 3 5 【1 0 l 对任意算子t a b ( t q ) 及复数a ，t a 是p r e d h o l m 算子当且仅 当t a 是f r e d h o l m 算子，且当t a 是f r e d h o l m 算子时，有i ( t - ) 、) = i ( t a ) 成立 以下我们给出关于t 与于的w e y l 谱的结论 定理1 3 6 对任意算子t 舀) ，( t ) = ( t ) 证明： 由引理1 3 2 及结论吼( t ) = ( t ) ，只需再证明u 。op n ( t ) = u 。o r 口) 即可而由s e m i f r e d h o l m 的定义及引理1 3 3 ，引理1 3 4 ，显然有 只( t ) ( o ) = r ( 丁) ( o ) ，故以下只需证明0 a w ( t ) 等价于0 ( t ) 即可 现假设0 ( t ) ，则要么0 盯。( t ) ，这时0 ( r e ( t ) ，进一步就有0 ( t ) 9 否则就有t 为f r e d h o l m 算子，而由引理1 3 5 ，此时一定有t 是f r e d h o l m 的，并且有i ( t ) = i ( t ) ，故结论成立 反之可类似证得若0 ( t ) 则一定有0 ( t ) 综上，我们有a w ( t ) = ( t ) 成立 下面我们借助类似的方法来考虑t 与于( ) 的w e y l 谱的关系引理1 3 7 的 证明类似于引理1 3 4 的证明 引理1 3 7 对任意算子t e b ( t i ) 及非零复数a ，我们有 ( 1 ) d i m n ( t a ) = d i m n ( t ( ) 一a ) ( 2 ) d i m n ( t a ) + = d i m n ( t ( + ) 一a ) + 引理1 3 8 对任意算子t e b ( 7 - i ) ，p d ( t ) = p o ( t ( + ) ) 证明：假设a p d ( t ) ，我们分两种情况进行讨论 ( 1 ) a 0 由闭值域点的定义，r ( t a ) 是闭的而由引理1 3 3 ，r ( t a ) 是闭的等价于r ( t a ) 是闭的注意到对任意8 ( “) 中的算子a 有r ( a ) 闭等价 于r ( a + ) 是闭的，所以有r 一a ) 是闭的等价予r ( t + 一页) 是闭的再由引理 1 3 3 ，r ( p 一天) 是闭的等价于r ( t + 一页) 是闭的，进一步就等价于r ( ( t + ) + 一a ) 是闭的，再由引理0 3 ( 2 ) 知( t + ) + = t ( “，故r ( 引+ ) 一a ) 是闭的，结论成立 ( 2 ) a = 0 均兄( t ( + ) ) ，存在 厶) c7 - l 使得t ( + ) 矗一叩，即u t u + 矗一叼， 这样就有t u + 厶一矿叩，所以u + 7 7 r ( t ) ，注意到r ( t ) 是闭的，所以j 岛? - i ， 使t 如= u + 7 7 而叩冗( t ( + ) ) cn ( u + ) 上，故叩= u u + 町= u t ( o = t u 岛，所以 r ( t ( + ) ) 是闭的，结论成立 类似地，由兄( t ( + ) ) 是闭的也可以得到r ( t ) 是闭的 综上，p o ( t ) = 肋( t ( + ) ) ，证毕 引理1 3 9 设t e b ( t i ) ，a c ，我们有 ( 1 ) 于一a 是f r e d h o l m * t ( + ) 一a 是f r e d h o l m ( 2 ) 若于一a 是f r e d h o l m ，则i n d ( t a ) = i n d ( t ( ) 一a ) 证明：( 1 ) a 0 时，由引理1 3 7 及引理1 3 8 知结论成立 1 0 a ：0 时，若于是f r e d h o l m 的营j t 恳u 是1 吨 e d h o l m 的u + 是f r e d h o l m 的，故于( + ) = 矿于矿是f r e d h o l m 的 ( 2 ) a 0 时，由引理1 3 7 知a = 0 时， ( 于) = i ( 矿于( + ) u ) = i ( u + ) + i ( 于( + ) ) + t ( c 厂) = ( 于( + ) ) 定理1 3 1 0 的证明是显然的 定理1 3 1 0 设t 召( h ) ，则( 于) = ( 于( + ) ) 1 4a l u t h g e 变换的k a t o 谱与约化点谱 定义1 4 1 7 - 上的有界线性算子t 若满足r ( t ) 是闭的且( p ) r ( t ) 对任意的n n 都成立，则称算子t 是半正则的 显然所有的下有界算子及可逆算子都是半正则的 定义1 4 2 1 1 】对“上的有界线性算子r ，集合仉。( t ) = n c ：a i t 不 是半正则的) 称作t 的k a t o 谱 引理1 4 3 4 1 设te8 ( h ) ，t = u i t i 是它的极分解，则有u i t i t = t u i t ( 及i t i t = t i t i 成立 下面我们给出关于a l u t h g e 变换的k a t o 谱的两个结论 定理1 4 4 对任意的t 8 ) ，有o s 。( t ) ( o ) = o s 。( t ) ( o ) 证明：等价地我们来证明对任意非零的复数a ，t a 是半正则的当且仅当 t 一) 、是半正则的 结合引理1 3 3 及半正则的定义，我们只需要证明对任意的自然数n 有n ( t - a ) “r ( t a ) 成立当且仅当n ( t a ) “r ( t a ) 成立即可 首先假设对任意的自然数扎有n ( t a ) “n ( t a ) 成立 设任意非零向量z n ( t a ) ”，则有( t a ) “z = 0 由引理1 4 3 可得 g l t i ( 亍一) 、) n z = ( t a ) n u i t i i l z = 0 由此可知u i t i z n ( t a ) “，由假设， 1 1 存在向量y 使得g l t l x = ( t a ) ，这样进一步就有 于z = i t l i l ，1 1 1 i = 1 z = f t j ( t a ) 可= ( 于一a ) j tj y ( + ) 另一方面，蟊= ( 于一a 净+ 蛔，即。= ； 元一( 于一a ) z ) 将( + ) 式带入就 有z = ； ( 于一a ) i 丁i 一( 于一a ) 。) = ( 于一a ) ( j tj y z ) ，即z r ( 于一a ) ，结论 成立 反之设任意的自然数n 有( 于一a ) ”兄( 于一 ) 成立 现在设z n ( t a ) ”，。0 ，则有( t a ) ”z = 0 由引理1 4 3 可得 i t i ( t a ) = ( 于一a ) n i t l x = 0 所以j tj xen ( t a ) ”，故存在向量z 使得 l t i x = ( t 一) 、) z ，这样进一步就有 t x = u l t i j lj 工1 1 5 1 。= uj t i ( 于一a ) 彳= ( t a ) uj tj z ( 木丰) 另一方面，t x = ( t a ) z + z ，即z 一； 7 b 一( t a ) z ) 将( + t ) 式带入就 有z = ( t a ) u i t i z 一( t a ) z ) = 女( t a ) ( u i t i z z ) ，所以z r ( t a ) ， 结论成立 综上我们有以。( t ) ( o ) = 吼。( 于) ( o ) ，证毕 定理1 4 5 对任意的t 召( h ) ，有。( 于) ( o ) = 。( 勇+ ) ( o ) 证明：同样我们来证明对任意的非零复数a ，t a 是半正则的当且仅当 于( ) 一 是半正则的由引理1 3 8 及半正则的定义，我们只需要证明对任意的自 然数n 有n ( t a ) n cr ( 于一a ) 当且仅当( 于( + ) 一a 户cr ( 于( + ) 一) 、) 即可 首先假设对任意的自然数n 有n ( t a p c r ( 于一 ) 成立 设非零向量z ( 于( ) 一a ) n ，则有( 于( + ) 一a ) n z = 0 所以u + ( 于( + ) 一a ) “茹= ( 于一a ) n u + z = 0 由此可知u + z ( 于一a ) n 所以存在“中的向量y 使得 u + 。= ( 于一a ) 可 若矿z = 0 ，则z n ( u + ) = n ( i t + i ) cn ( i t ( + | ) ，这样进一步就有 ( 于( + ) 一a ) n z = ( 于( + ) 一a ) n 一1 ( 一a 。) = ( 一a ) ( t 一) 一a ) “一2 ( 一a z ) = ( 一a ) 2 ( t ( + ) 一a ) n - - 2 x = = f a ) ”o = 0 1 2 而我们知道x 0 ，故一定有a = 0 ，矛盾因此u 4 x 0 又注意到矿是部分 等距算子，z 0 ，所以一定有z n ( u + ) 上因此我们有z = u u 4 z = u ( t a ) 鲈= ( t ( + ) 一a ) u ，结论成立 反之假设非零向量z n ( t a ) “，则有( t a ) ”x = 0 所以u ( t a ) “z = ( 于( + ) 一a ) n u x = 0 因此u xe ( 于( + ) 一a ) n ，所以存在向量z 使得u x = ( 于( + ) 一a ) z 若矿z = 0 ，则z n ( u ) = n ( i t i ) c ( r ) ，这样进一步就有 ( t a ) ”x = ( t a ) ”一1 ( 一a z ) = ( 一a ) ( t a ) n - - 2 ( 一a 。) = ( 一a ) 2 口一a ) n - 2 x = = ( 一a ) ”z = 0 而z 0 ，故一定有a = 0 ，矛盾因此u x 0 而u 是部分等距算子，x 0 ， 所以一定有ze ( u ) 上因此我们有z = u + = u + ( 于( + ) 一a ) z = ( 于一a ) 扩2 ，结 论成立 综上我们有吼。( t ) ( o ) = o s 。( t ( + ) ) ( o ) 成立，证毕 我们已经知道t 与t ( + ) 的