（基础数学专业论文）关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究.pdf

关于四元数矩阵及四元敷矩阵方程性质的研究摘要四元数矩阵及方程在刚体动力学、量子力学、自动控制、机器人技术等领域应用非常广泛因此，四元数矩阵及方程一直都是基础和应用领域中的研究热点本文主要研究自共轭四元数矩阵的特征及四元数矩阵方程( 组) 的解的相关问题利用四元数矩阵的奇异值分解，广义逆等作为研究工具，主要得到以下结论：1 得到了四元数矩阵方程( x a 。，x a 2 ) = ( b 。，b 2 ) 的广义反对称酉反对称解存在的充要条件，并给出了通解的表达式；2 得到了四元数矩阵方程( x a ，xj e i ) = ( 以，o ) 的次( 反) 自共轭解及斜亚( 半) 正定解存在的充要条件，并给出了通解的表达式；3 得到了四元数矩阵方程( a x a ，b + x b ) = ( c ，d ) 的自共轭半正定解及亚半正定解存在的充要条件，并给出了通解的表达式同时，还得到了与自共轭四元数矩阵迹不等式有关的两个充要条件关键词，自共轭四元数，自共轭半正定解，亚半正定解，广义反对称酉反对称解，次( 反) 自共轭四元数矩阵，斜亚( 半) 正定四元数矩阵关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究a b s t r a c tt h eq l l a t e n l i o nm a t r i ) c 缸dt h eq u a t e m i o nm a t r 政唧l a t i o n ( 8 ) h a v eb e e nw i d e l y8 p p l i e di ng e o s t a t i c s ，q l l a n t l l | nm e c h a n i c s ，a u t o m a t i o n ，f 己o b o tt e i c h n 0 1 0 9 ya n d8 0o n b e c 踟l s e0 ft h e ，t h eq l l a t e r n i o nm a t r i x8 n dt h eq l l a t e m i o nm a t r i xe q l l a t i o n ( s )8 r ea l 讹y so n eo ft h em a i nr e s e a r c ht o p i 髂i nb o t hp u r e 肌d 印p l i e dr 鹤e a r c hf i e l d s h lt h i sp a i p e r ，w em a i n l yd i s 仅l 鼹t h ep r o p e r t i 镫0 fs e l f c 0 嘶u g a t eq u 棚i o nm a t r i c 箦觚dt h ee ) ( i s t e l l c eo fs o l u t i o n so ft h eq u a t e m i o nm a t 血e q u a t i o n ( s ) b yu s i i l gt h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( s v d ) 衄dt h eg e n 盯a l 讫e di n v 凹s eo fm a t r i c 鼯，w eo b t a i l lt h ef o i l 佣r i n gr e s u l t s 1 a c e s 鼢r ya n d8 u 佑c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee ) ( i s t e n c eo ft h eg e i l 盯a l 粕t i -盯m m e t r i c1 m i t 8 巧a n t i - 叮咖e t r i cs o l u t i o n so ft h eq u a 劬i o i lm a t r i ) ( e q u a t i o n ( x a l ，叉a 2 ) = ( 日l ，岛) i so b t a i n e d ，a n dt h eg 叽e m lf o mo ft h es o l u t i a 璐i s 百v 吼2 an e c e s s a 叮a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee ，【i s t e n c eo ft h em i i i o r卵l k o n ju g a t ea n ds k 刨叩o s i t i v e ( s e m i ) d e f i n i t es o l u t i o 璐t ot h e 盯s t 锄o fm a t r i ) ce q u a t i 0 璐o v e rt h eq u a t e r n i o nf i e l d a xj e 7 ) = ( a ，0 ) i so b t a i n e d ，a n dt h e 踟a lf 0 咖o ft h es o l u t i o n si s 百m 3 an e c e 筠a 可a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e 以i 8 t e n c eo ft h es e l f e o n j u g a t ep o s i t i v es e m i d 胡n i t ea n ds e m i l p o s i t i v e8 u b d 胡n i t es o l u t i o n so ft h eq l l a t e m i o nm 8 广t r i ) ce q l l a t i 叽( a + x a ，b + x j e 7 ) = ( c ，d ) i so b t a i n e d ，锄dt h eg e i l e r a if o mo ft h es o i u t i o n si 8g i m f i n a l l y t w on e o e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d u t i o n sa r ep r e s e a t e d ，w h i c ha 托r e l a t e dt ot h et r a c ei n e q l l a l i t i 髑o ff ；e l f c o n j l l g a t eq ：i l a t e r n i o nm a t r i c e s k q 7 w o r d s ：s e l f c o n j l l g a t eq l l a t e r n i o n ，眙l c o n j l l g a t ep o s i t i 、，es 咖i d e f i n i t es o l u -i i i高校教师在职项士学位论文t i o n ，m i p o s i t i v e8 u b d e i i n i t es o l u t i o n ，g e n e r a la n t i s y m m e t r i c1 m i t a r ya n t i - 8 y m m e t r i cl l l t i o n ，m i n o r ( i l l v e r ) l f c o n j u g a t eq l l a t e m i o nm a t r i ) c ，s k e w p o s i t i v e ( s e m i 一) d e f i n i t eq l l a t e m i o nm a t r i ) c 湖南师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担学位论文作者签名：公i 、舜馏年f 月幻日i湖南师范大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文本学位论文属于1 、保密口，在年解密后适用本授权书2 、不保密口( 请在以上相应方框内打描 ”)作者签名：导师签名：日期：矽年月z g 日日期2 晤年f ，月i ， 日，彤1u嗡j厶、口l j 幺，么关于四元致矩阵及四元数矩阵方程性质的研究前言四元数是复数的推广，但四元数的乘法不满足交换律，从而使得与其相关的研究变得非常的复杂四元数是由英国数学家威廉卢云哈密顿( 形r 何口m m 帆) 于1 8 4 3年提出的，至今已一个半世纪了随着刚体动力学理论的发展，人们发现四元数和四元数矩阵可以较好地处理刚体运动学，特别是刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题，尤其是发现其中的旋转矩阵能利用四元数来进行运算，从而引起人们对四元数的极大研究兴趣矩阵方程是矩阵论中一个重要的研究方向，同时在量子力学、自动控制等研究领域均有广泛的应用i 卜5 l ，从而使得相关研究倍受人们的关注，特别是关于四元数矩阵方程的研究但四元数的乘法已不具有交换性，实、复矩阵方程中的许多方法在四元数矩阵方程中已失效，从而给相关研究带来很多的困难在2 0 世纪7 0 到8 0 年代，谢邦杰教授对四元数矩阵的研究做了许多开创性的工作，激发了人们对四元数矩阵研究的热情此后，不少学者投入到了这一领域的研究其中王卿文教授1 6 】、曹重光教授f ，一、黄礼平教授【9 - 1 2 1 、庄瓦金教授【删、李文亮教授【1 4 1 、王仙桃教授【1 5 】等对此均做了深入的研究与探讨本文首先研究自共轭四元数矩阵，得到了自共轭四元数矩阵的特征及与迹不等式有关的两个充要条件然后讨论四元数矩阵方程的相关问题，利用矩阵的奇异值分解及广义逆等作为工具，得到了四元数矩阵方程( x a 。，x a 2 ) = ( b 。，岛) 的广义反对称酉反对称解存在的充要条件、( x a ，x b )= ( a ，o ) 的次( 反) 自共轭解及斜亚( 半) 正定解存在的充要条件及( x a ，b x b ) = ( gd ) 的自共轭半正定解及亚半正定解存在的充要条件，并给出了上述三类方程的通解关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究1 自共轭四元数矩阵的特征及与迹不等式有关的两个充要条件1 1 前言与主要结果记q 为全体四元数构成的集合，兄和c 分别表示实数域和复数域，显然兄cccq 对口q ，有a = 咖+ n l i + q 2 歹十口3 七= ( 劬+ 口l i ) + ( 口2 + 3 i 乃=c l + 功，其中口r ( r = o ，l ，2 ，3 ) 为实数( 记为n r r ) ，c | c ( 5 = 1 ，2 ) ，并称口。为a 的实部，记为知= & ( 口) ；l 件0 2 j + n 3 七为a 的虚部称石= 0 0 一口l i 一锄j d 3 七为n 的共轭四元数于是丽= i 口1 2 = 碚+ c i j + 运+ 砖，l 口l 被称为a 的范数( 或模) 记驴枷= a = ( 畔。) n x n ：c i r ，q ) 对a = ( 嘶。) 驴n ，定义a 的迹为打月= ，r = 1并称= 为a 的共轭转置矩阵定义1 1 1 若a = 岔，则称a 是自共轭矩阵全体自共轭矩阵构成的集合记为s g ( q ) 定义1 1 2 【1 4 i 设a s “( q ) ，若对任意o $ 驴n ，均有矿a z o ( o ) ，则称a 为( 半) 正定四元数矩阵全体( 半) 正定四元数矩阵构成的集合记为r ( s r ) 定义1 1 3 【1 4 f 设a q n 加，若对任意o 互驴1 ，有m ( z a z ) o ( 2o ) ，则称a 为亚( 半) 正定四元数矩阵全体亚( 半) 正定四元数矩阵构成的集合记为r ( s r ) 显然，正定四元数矩阵一定是亚正定四元数矩阵但反之不真例3 高校教师在职硕士学位论文如，矩阵a = ( ；三) 是亚正定四元数矩阵，但a 不是正定四元在文献【1 6 1 中，肖小红得到了关于复数域上h e m i t e 矩阵的如下性定理c 对a 坛( c ) ，a 是h e n i l i t e 矩阵当且仅当对任何h e r 血t e 矩在文献【17 】中，王仙桃和旷良友得到了如下关于复矩阵迹不等式的4 一关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究定理1 1 1 若a s q ( q ) ，则( 1 ) a 的对角线上的元素均为实数；( 2 ) 对任何u 驴柚，u a 犷还是自共轭矩阵定理1 1 2 若月s g ( q ) ，则对任何u 驴姗，矩阵u a u 对角线上的元素均为实数定理1 1 3 对月驴枷，a 是自共轭四元数矩阵当且仅当对任何自共轭四元数矩阵b ，口a b 对角线上的元素均为实数定理1 1 4 令b 驴n ，则对于任意的a s r 均有冗e 时( a b ) 】o当且仅当b s r 定理1 1 5 令b 驴煳，则对于任意的a s r 均有觑【t r ( a b ) 】o当且仅当曰s 只1 2定理1 1 1 1 1 3 的证明( 1 ) 定理1 1 1 及定理1 1 2 的证明是显然的( 2 ) 定理1 1 3 的证明证，由定理1 1 2 知必要性成立，下证充分性令a = ( ) n 棚由已知得r ( = l ，2 ，n ) 令b = ( h ) n ，其中r ，5 = 1 ，2 ，n 对任意固定的i 和j ( 1 i ，歹n ) ，取6 “= 幻j = 口r ，= 6 q ，= 舌q 对7 i ，j ，取h = 1 其它b 中元素均为o 由此易知b 是自共轭四元素矩阵由题设及计算可知，对任何b q 均有6 + 如r 于是= 而由i ，歹的任意性可知a 是自共轭四元素矩阵注。下例说明肖小红在文献【1 6 】中证得的定理d 在四元素矩阵中不成立5 -高校教师在职硕士学位论文可知例：设a = ( 二弘= 分帅= ( 艺；! 未冀)打( a b ) = 1 2 兢+ 4 叠r 1 3定理1 1 4 和定理1 1 5 的证明在证明定理1 1 4 和定理1 1 5 之前，我们先引入如下几则引理引理1 3 1 设a 驴黼，则a 是半正定的充要条件是对任意的o z q n x l ，皆有z a z o 引理1 3 2s r = 竿：a s r ) 证：令b = 竿，则伊= b ，所以b 为自共轭四元数矩阵又矿j e i z = 矿竿z = 生墼掣，故生塑产为实数，所以矿b z 为矿a z 的实部由a s r ，可知凰( z a z ) o 因此矿舭o 从而可知竿s r 至此，我们已证 竿：a s r cs r 反包含是显然的，故原等式成立引理1 3 3a s r 的充要条件是存在广义酉矩阵u 驴n ( 广义酉矩阵即满足关系扩= u 一1 的矩阵) ，使得a = u 击叼( a l ，a n ) ，其中九o ( i - 1 ，2 ，n ) 为a 的所有特征根证：先证充分性对a 驴跏，若存在广义酉矩阵，使得a = u 击口夕( a l i 一，a n ) 犷，则a 是自共轭的如果九o ( 江1 ，2 ，n ) ，那么对于任意n 维非零列向一6 一关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究量q ，令a + u = ( z 1 ，z n ) ，贝0a u o ，且nq a q = q u 击0 夕( 入1 ，a n ) + q = 九z 酉i = l由引理1 3 1 知a 是半正定，即a s r 再证必要性假设存在k o ，不妨设入l o 取q 滓( 1 ，o ，o ) ，使得q ：，o ，则q ：a q l = ( 1 ，o ，o ) 【，出叼( a 1 ，a 。) e ，。a 1 o ，与a s r 矛盾，故必要性成立引理1 3 4a s r 的充要条件是存在广义酉矩阵u q n n ( u =一1 ) ，使得a = u 击叼( a 1 ，a n ) 沪且觑( 九) o ，其中九( = 1 ，2 ，n ) 为a 的所有特征根此引理的证明与引理1 3 3 的证明相似弓i 理1 3 5 【6 ，1 8 1 设月，b q “x ，贝l jr e 陋r ( a b ) 】= j 琵【打( 日月) 1 推论1 3 1 【1 8 l 设a l ，a 2 驴n ( 仇2 ) ，则对任意1ss m 均有r e 【t r ( a 1 a 2 ) 】= r e p ，( a ，a 卧1 a m a l a 。一1 ) 】引理1 3 6 对b 驴加，如果对于任意的a s 碍均有觑【打( a b ) 】o ，则b = b 证明：令8 = ( ) ，对任何一对不相等的自然数p ，儡令a 钿) = ( 嘶，) ，其中= 1 ，n 咿= 一1 ，其它所有嘶。= o 易知a 咖) s r 且m ( ) 觑( ) 若取= 1 ，= 一1 ，则有觑( ) 冗e ( ) - 7 -高校教师在职硕士学位论文于是觑( ) = 恐( ) 通过取= n 卵= 士 ，或句，或士七，其它元素n r 。= o ，可知与的虚部互为相反数，即知伊= b 定理1 1 4 的证明先证充分性对任意的a s r ，则存在广义酉矩阵u 驴x n ( 沪= 一) ，使得a = u 出口g ( a l ，入n ) 【，且九o ( t = 1 ，2 ，n ) 令c ，+ b 沙= b b = ( 6 玎) n n ，则由j 5 f s r 可知兄e ( 6 r r ) o 从引理1 3 5 可知兄e 【打( a b ) 】= 兄e 陋r ( u 如n 9 ( a 1 ，入n ) u + u 玩u 。) 】= r e p r ( u 出n 9 ( a l ，a n ) b o u + ) 】= 如弦( 出叼( a l j 一，a n ) b o ) 】= 觑( 她i ) = 九觑( 6 “) o 下面证必要性假设bgs 露，则存在非零的。胛砒，使得觑( 矿b z ) o 取l = 罱，抛，护x 1 ，使得i i = 1 ( i = 1 ，2 ，n ) 且u = ( u 1 ，)为酉矩阵取山= 击n 9 ( 1 ，o ，o ) ，则a = u a o 扩s 霹肌觑眇( a 酬= 剐州u u 驯= 酬乱：b t t 】- & 宅等 r e 打( 4 ) 】+ 兄e 忙r ( b ) 】) 2 关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究2 四元数矩阵方程( x a l ，x a 2 ) = ( b 1 ，b 2 ) 的广义反对称酉反对称解的存在性2 1 引言在文献【2 0 】和【2 1 】中，王卿文等讨论了四元数矩阵方程a x = b 和x a = b 的一些特殊解的存在性及通解的表达式，并把相关讨论推广到方程组的情形，见【2 2 ，2 3 ，2 4 】本章将研究四元数矩阵方程x a = b ，( 2 1 1 )和矩阵方程组 竺三乏仁地，ix a 2 = 岛、7在q 上的广义反对称酉反对称解的存在条件和通解的表达式本章中，a t 表示矩阵a 在q 上的一个内逆，即满足月4 a = a ；a +表示矩阵a 在q 上的个自反逆，即满足a 4 + a = a 和矿a 矿= a + 记“= ，一a + a ，砒= ，一a a + ，其中a + 是a 的任意一个确定的自反逆显然，“和凡是等幂的即碍= “，磅= 矾定义2 1 1 设p 驴舰，如果p p + = p p = ，p = p ，则称矩阵j p 是广义酉矩阵定义2 1 2 设x = ( ) q n 舶，如果x + = 一x ，( p x ) = 一p x ，则称矩阵x 为广义反对称酉反对称矩阵所有n 礼阶广义反对称酉反对称矩阵的全体记为a s a n ( 尸) 引理2 1 1 1 2 5 1x 4 s a n ( 尸) 当且仅当x = ( 羔) 矿，其中x ，恐分别是七七，( n 一矗) ( 仙一七) ) 阶反对称矩阵，u 是他n 阶广义酉矩阵，高校教师在职硕士学位论文r = r 帆七【c ，+ p ，2 ，p = u ( 言一一，) 矿。弓l 理2 1 2 1 2 3 】已知a 1 q m x n ，q ( 扩，a 2 q 。n ，q q ，x r ，岛q 7 ，岛q “p ，岛驴刈，q q nx s = a 2 l l ，g = r s a 2 ，t =l 凡b ，= 冗且3 风，妒= 【岛b 一a q l 。s + a 2 ( 月手q 一4 q ) 】岛，= s + a 2 ( a c 2 一a q ) + l s 矿妒耐，q = a a ：- a 风一“。风则方程组ia l x = c 1ia 2 x = c 2lx 玩= g 3【x 风= g 4有解x 驴n 当且仅当时妒= 妒，脚q = o ，( 2 1 3 )( 2 1 4 )( 2 1 5 )( 2 1 6 )q 目马= q 0 = 3 ，4 ) ，a a g = g ( = 1 ，2 ) ，g ( a 亨岛一a ：_ q ) = o ( 2 1 7 )此时方程组( 2 1 6 ) 的一般解为x = 月 q + l 。s + a 2 ( a 孝岛一a q ) + 妒耐+ q + r 凰+ t 冗 r r 历，( 2 1 8 )其中w 是q 上任意一个相应阶数的矩阵引理2 1 3 i 矧已知a l q m n ，g q m r ，岛驴口，岛驴x 口，记则方程组妒= 耐一a ：q 】岛，= 磁。陷对一a ：- q 】岛耐，( 2 1 9 )( 2 1 1 0 )关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究有解x 驴x n 的充要条件为“。砧。妒= 妒，岛对玩= g ，a 1 月：- q = q 方程组( 2 1 1 0 ) 的一般解为x = a a + 妒砑+ 己 ，兄两，其中w 是q 上任意一个相应阶数的矩阵2 2 四元数矩阵方程( x 4 l ，x a 2 ) = ( b 1 ，b 2 ) 的广义反对称酉反对称解的存在性( 2 1 1 2 )考虑矩阵方程组( 2 1 2 ) ，兵甲a 1 旷一，b l 叮“”，月2 驴”，忱驴 由引理2 1 1 可设x = u + ( 享1 羔) c 2 2 - ，其中咒，分别是七七，( n 一七) ( 佗一七) ) 阶反对称矩阵，【，是n n 阶广义酉矩阵设，a = ( 三：) ，u a ，= ( 三：) ，u b - = ( 主：) ，u 岛= ( 复：) ，c 2 2 2 ，其中a 1 1 q m ，b 1 1 q _ 一七) m ，a 2 1 q m ，岛1 q _ 一七) ma 1 2 q 七舯，b 1 2 q ( n 一知) r ，a 龆驴r ，岛2 q ( 七) r 把( 2 2 1 ) 代入( 2 1 2 ) ，并由引理2 1 1 易得下面两个命题等价，( i ) 矩阵方程组( 2 1 2 ) 在q 上有广义反对称酉反对称解；( i i ) 方程组1 3 ( 2 2 3 )u坡bb=n挖aa噩墨，j【高校教师在职硕士学位论文和分别有反对称解僻薹2( 2 2 4 )定理2 2 1 对于i = 1 ，2 ，设s t = a 2 l ：l ，g i = r & a 2 ，正= l a ：1 l 鼠，胍=r t l a 2 ，妒= 【b n a 矗+ a 矗b 矗+ l ：ls ：；卜a ：2 ( a 2 ) + + ( a 1 ) + b 矗】a l ，也= 对a 乞【a 乞+ ( a 毳) + b 矗】+ 三岛寸妒a 矗，q i = 如+ ( a 矗) + j e i 矗a i 2 一三一矗众a 1 2 ，则方程组( 2 1 2 ) 有广义反对称酉反对称解的充要条件是正口仇= 仇，如q 产0 g ( 一a 乞+ 月矗) = o ( 2 2 5 )方程组( 2 1 2 ) 的一般解的通式为( 2 2 1 ) ，其中置= 三( k 一，( 2 2 6 )m = 一( a 矗) + b 矗+ 工a 。对a 乞【一( 月乞) + b 玉+ ( 月：1 ) + b 矗】+ 妒a 矗+ q i 吖r a 。+ 正眦兄j h 。，( 2 2 7 )此处m 是q 上任意一个相应阶数的矩阵证明：方程组( 2 1 2 ) 有广义反对称酉反对称解当且仅当方程组fa ：l 墨j 能墨1 墨a 1 l【x l a l 21 4 一b ：1一b 玉岛1b 1 2( 2 2 8 )关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究和fa ；1 = 一岛l 瓮三拳仁2 l 尼a 2 l = 岛l、7【尼a 兹：岛2有解事实上如果( 2 1 2 ) 有广义反对称酉反对称解，那么方程组( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 分别有反对称解x ，和，也就是方程组( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 有解由引理2 1 2 可知式( 2 2 5 ) 成立，且五具有( 2 2 6 ) 的形式因此方程组( 2 1 2 )有广义反对称酉反对称解的通式为( 2 2 1 ) 和( 2 2 6 ) 相反，设m 和蚝分别是( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 的解，由m a t = 鼠- ，得鸽v + = 懿，又由鸽k = 一霸可得= 一m 由此可知( 2 2 6 ) 中定义的咒和恐分别是( 2 2 3 ) 与( 2 2 4 )的反对称解，故( 2 2 1 ) 和( 2 2 6 ) 所定义的x 是方程组( 2 1 2 ) 的广义反对称酉反对称解2 3四元数矩阵方程x 4 = b 的广义反对称酉反对称解的存在性考虑矩阵方程( 2 1 1 ) ，其中a 驴，b 驴由引理2 1 1 可设x 羽( 羔) e协3 其中咒，咒分别是七七，( n 七) ( n 一七) ) 阶反对称矩阵，义酉矩阵设【，a = ( 三：) ，v b = ( 复) ，u 是n n 阶广( 2 3 2 )其中a l ，a 2 ，b l ，岛分别是七m ，( n 一七) m ，七m ，( 7 l 一七) m 阶矩阵由引理2 1 1 可知下面两个命题等价：( i ) 矩阵方程( 2 1 1 ) 在q 上有广义反对称酉反对称解；1 5 高校教师在职硬士学位论文( i i ) 方程组有反对称解 麓三竺由引理2 1 3 和定理2 2 1 的证明可得定理2 3 1 对于i = 1 ，2 ，设妒= 【b i a + ( 4 ：) + 研】a i ，晚= ( l 彤) + 【b a + ( a ：) + 研】a i a ，则方程( 2 1 1 ) 有广义反对称酉反对称解的充要条件是l 臂( l 雒) + 仇= 协，b a a = 鼠，搿( 雒) + ( 一日) = 一目方程( 2 1 1 ) 的广义反对称酉反对称解的通式为( 2 3 1 ) ，其中五= 三( 一，m = 一( 4 ：) + b ；+ 忱月产+ l 田眦r a ，此处m 是q 上任意一个相应阶数的矩阵1 6 ( 2 3 3 )( 2 3 4 )( 2 3 5 )关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究3 四元数矩阵方程( x a ，x b ) = ( a ，d ) 的次( 反) 自共轭解及斜亚( 半) 正定解的存在性3 1引言在【2 6 】中，王卿文利用体上矩阵的广义逆，研究了任意体上的矩阵方程组 芝篆乏，q u ，i 玩t = o 。、7给出了( 3 1 1 ) 的相容判定，解的性质及其通解表达式；再利用含么环上矩阵的初等变换，又给出了( 3 1 1 ) 的一种实用解法【z 7 】；对四元数上方程组( 3 1 1 ) ，王卿文等给出了有实部半正定解的充要条件及其解集结构；同时姜学波等还研究了斜域上矩阵方程组 盒要：二，得到此方程组有次自共轭解及斜亚半正定解的充要条件及其通解的表达式本章将研究矩阵方程组( 3 1 1 ) 在四元数有次( 反) 自共轭解及斜亚( 半) 正定解的充要条件及其通解的表达式本文中，卵跏表示q 上的全体秩为r 的m n 矩阵，g l n 表示q上的全体扎阶可逆矩阵，厶表示i 阶单位阵，- 口礼七a 表示矩阵a 的秩定义3 1 1 设a = ( 口巧) q 仇n ，b = ( b ) 驴如果= 口r r i o + 1 ，n 一+ l ，i = 1 ，2 ，n ；j = 1 ，2 ，m ，则称b 为a 的次转置阵矩阵a 的共轭次转置阵记为a 卜弓l 理3 1 1 设a q m n ，b q n x 及p g l n ( q ) ，贝0( 1 ) ( a b ) ( ) = b ( ) a ( ? ) ；( 2 ) ( p ( ) ) 一1 = ( p 一1 ) ( 以下恒记( p 一1 ) ( ) = p 一( “定义3 1 2 设a 驴期，如果a ( + ) = a ( 一a ) ，则称a 为以的次( 反) 自高校教师在职硕士学位论文共轭矩阵巩( q ) ( 晶( q ) ) 表示q 上的全体n 阶次( 反) 自共轭矩阵引理3 1 2 任意的a 驴x n 都可唯一地分解为a = 历( a ) + 岛( a ) ，其中日l ( 4 ) = ( a + 月( ) ，毋( a ) = ( a 一以( ) ) 弓i 理3 1 3a q ”m ，尸g l n ( q ) ，贝| ja 上k ( q ) 亭p ( ) a p 日( q ) 定义3 1 3 设a 驴肌，如果对任意的非零向量z q n 1 ，冗e 忙( + ) a z 】o ( o ) ，则称a 为斜亚半正定( 斜亚正定) 的，简称s s d ( s d ) 用s 群+ ( 群时)表示q 上的全体n 阶s s d ( s d ) 阵引理3 1 4p g l n ( q ) ，则a s 席( 一) 铮p ( ) a p s 砖+ ( 一+ ) 引理3 1 5 p q n m ，a s 硝) ，贝l jp ( + ) a p s 硝“弓l 理3 1 6 悯设a = ( 三：2 ) 驴跏，则以下条件等价；( 1 ) a s 群；( 2 ) r n 礼七( a 3 + a ) = r 肌七( a i + 山，a 3 + a ) ，且a 3 与a 2 一u ( ) a 3 u1 皆为s sd i 其中为矩阵方程( a 3 + a ) x = a 4 + a ( 的任一固定解；( 3 ) r 口n 七( a 2 + a ，) = r n 几七( a 争+ a 2 ，a l + a 二) ，且a 2 与a 3 一u ( ) a 2 矿1 皆为s s d ，其中u 为矩阵方程( a 2 + a ) x = a 。+ a ：的任一固定解3 2 矩阵方程组( 3 1 1 ) 的次( 反) 自共轭解的存在性令矩阵方程组( 3 1 1 ) 中的a 驴埘，b 驴m ，r 蚴七( a ，b ) = 7 于是存在p g l 。( q ) ，q l g l 。+ t ( q ) ，使得p c a ，b ，q ，= ( ；：) c 3 2 ，令p c ，c a ，。，q = ( 三：三：) n ：r ，c 3 2 2 ，关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究一一- _ - _ - _ - _ _ _ - _ - _和故有= ( 三：) 出c 3 2 3 ，引理3 2 1 矩阵方程组( 3 1 1 ) 有解的充要条件是= o ，且其解为p 2 ) p l 球q 卜小”) m 刚) 似2 q矾鼬槐令川胪1 = 髦卜r 则方程组( 3 1 1 ) 等价于p 一( ) x p 一1 p 引q l = p 一( ) ，d 】q 1 髦m 垆于是月l l ：x l l ia 2 l = 尥1 ，a 1 2 = d ，a 娩= o ，此外x 具有( 3 2 4 ) 的形式，且= d 反之，若：o ，易验知具有( 3 2 4 ) 形式的x 一定为( 3 1 1 ) 的解证毕定理3 2 1 矩阵方程组( 3 1 1 ) 有次自共轭解的充要条件是= d 且b ( ) a = d ，且其解为p 裔) p l 睥r ( q ) ) b 2 剐证明，设x 风( q ) 是( 3 1 1 ) 的一个解，则由引理3 2 1 知= d及x 具有( 3 2 4 ) 的形式又由引理3 1 3 知( 三：芝) 巩( q ) ，得2 = 月汀，墨2 风吖( q ) 由此可知x 具有( 3 2 5 ) 的形式由【a ，b 】c 【a ，。】：【a ，b 】( ) x 【月，b 】= ( 三：= ；三暑) 风十。( q ) 可知且( ) a = d 1 9 、l - 、他船aa高校教师在职硕士学位论文反之，设= d 及b ( + ) a = o ，由( 3 2 卜3 2 3 ) 知【a ，刎( ) 4 ，d 】=( 三。，a 暑) 圭q f ( ( 置。暑) q f l 风+ t c q ，由引理3 1 4 知a 2 1 珥( q ) 且所有具有( 3 2 5 ) 形式的x 必为次自共轭矩阵，且为( 3 1 1 ) 的解证毕推论3 2 1 矩阵方程组( 3 1 1 ) 有次反自共轭解的充要条件是= d且j e l ( ) a = d ，且其解为p 耋滢) p l 球，) 仕2 q3 3 矩阵方程组( 3 1 1 ) 的斜亚( 半) 正定解的存在性定理3 3 1 矩阵方程组( 3 1 1 ) 有斜亚半正定解的充要条件是= d且b ( ) a = o ；其解为 p ( ) 池糍嚣础v ) p | 啦肌伊叫) ( 3 _ 3 证明：设方程组( 3 1 1 ) 有解x s 群“，则由引理3 2 1 及引理3 1 4 知= 。及x 具栅4 ) 的腻且芝) 硎“由引理3 1 6 知矩阵方程( a 2 1 + a 袅) x = 如+ a 弹关于x 有解且a 2 l与墨2 一( ，( 如，v 皆为s s d ，其中u 为上述矩阵方程的任一解令墨2 一u ( ) 以2 l u = d ，则x 南= 一a i ) + ( a 2 1 + a 算) u ，五2 = d +u ( ) a 2 l u 由此可知x 具有( 3 3 1 ) 的形式引理3 1 5 告诉我们，引( + ) d 】-关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究【a ，口】( ) x 【月，b 】s 尸蹴，即三吕) s 心由引理3 1 4 知， 口n 七( 口( + ) a ) = o ，所以b ( ”a = d 反之，设= o 及b ( + ) a = o ，则州卟a 暑) s 聪自( 3 2 2 3 ) 可知a引理3 1 4 及引理3 1 6 知a 2 1 s 群)阵，且为( 3 1 1 ) 的解证毕暑) 甜( 幺。暑卜从而由且所有具有( 3 3 1 ) 形式的x 必为8 s d推论3 3 1 矩阵方程组( 3 1 1 ) 有斜亚正定解的充要条件是= d 且b ( ) a = o ；其解为 p ( ) 池糍嚣蝴u ) p | 。啦挑眇7 ) ( 3 a 2 ，- 2 1 -关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究4 四元数矩阵方程( a + x a ，b x b ) = ( ed ) 的自共轭半正定解及亚半正定解的存在性4 1 引言文f 3 1 】研究了实矩阵方程( a t x 月，矿x 口) = ( ed ) 的对称半正定解；文【3 2 】研究了复矩阵方程( a + x a ，b x b ) = ( c ，d ) 有h e r 面t e 部分半正定解与h e n n i t e 半正定解的条件；文【6 】研究了四元数矩阵方程( a x a ，b x j e i ) =( c ，d ) 的斜亚半正定解本章研究四元数矩阵方程( a ? x a ，b x 日) = ( c ，d ) ，( 4 1 1 )有自共轭半正定解与亚半正定解存在的充分必要条件，及通解的表达式4 2 四元数矩阵方程( a + x a ，b 幸x b ) = ( c ，d ) 的自共轭半正定解的存在性考虑矩阵方程( 4 1 1 ) ，其中a q 拥，b q 嚣n 2 ，c 驴1 姗及d q 他砌由f 6 】可知，对矩阵a 和b ，一定存在p g k ( q ) ，q g 三n 。( q ) ，铂g l n ：( q ) 使得p a q = ( ：) ；c 4 2 ，p b q o =d口lkoio。lq毡1 其中7 - l + 吃= r 0 a 和b 的此种分解称为a 和b 的d s r 分解- 2 3 224，j、lr您一一您i = rr一仇高校教师在职硕士学位论文 篡暑，又等价于解方程组设p x p ：l 砼2fx l lx ni 碥磁墨3配3妇( 4 2 3 )( 4 2 4 )萋) 仇二；二n ，c 4 2 5 ，卵q = ( 戛墓) n 。二，a = ( 京2 ) r 二2 化，( 4 2 6 )( 4 2 7 )q ；。q 。= ( 兰兰塞耋) 砌三n 似2 8 ，q 。a + p p 一x p 一1 尸a q = ( 荨- 2 4 -甜：0强加pp以oppxx叶叶ppppx：小伊=qqx，-ii_-(1-_l关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究q ；b ，p 4 p 一，p b q 。= ( 三曼曼) = ( 耋兰主兰兰兰) 从而q = o ，岛= o ，d “= o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，d 2 2 = = ，x l l =q 1 ，五2 = q 2 ，3 = d 2 3 ，= 砜于是有下面的定理4 2 1 设矩阵方程( 4 1 1 ) 中的矩阵a 和b 的d s r 分解分别为( 4 2 1 ) ，( 4 2 2 ) 式，p 一+ x p 一1 ，q + c q ，c l 及q 去d q o 分别为( 4 2 5 ) ，( 4 2 6 ) ，( 4 2 7 )和( 4 2 8 ) ，则( 4 1 1 ) 有自共轭解的充要条件是d 2 2 = 岛2 ，岛= o ，q = o ，d - 产o ( 汪1 ，2 ，3 ) 有此种解时，其通解为，q lq 2 置。五4 、x = pi 囊意笔乏ip ，c 4 七舟，i 叉矗d 玉巩i 。、。x 矗磁的其中五3 q ( r r 2 ) n ，墨4 q ( ”力) x ( 仇叶川) ，4 q r 2 ( 仇一一l j ，恐4 q 郴( m r r ，托s 一，n ( q ) 是任意的引理4 2 1 【6 】设a = ( 三：三三) s g ( q ) ，则a s p n 的充要条件为( 1 ) r l 七( a 1 1 ，a ；2 ) = r o 钆七a 1 l ；( 2 ) a 。与a 2 2 一a 。u 均为半正定自共轭矩阵，其中u 为矩阵方程x a l l = a 1 2 的任一解厂a 。a 。：五3 、引理4 2 2 【6 1 设a = la ：2a 2 2a 船l s g ( q ) ，则存在墨3 q n 出叶l 川，x 矗4 主3a 使a s r ( r ) 的充要条件为a = ( 三芝三兰) 。c 。，a ：= ( 三薹三兰) 。c 0 ) 定理4 2 2 矩阵方程( 4 1 1 ) 有自共轭半正定解的充要条件为d 2 2 =- 2 5 高校教师在职硕士学位论文岛一o ，岛- o ，巩一o c 忍3 旭q 嘟( 蛊剐嘟其解的表达式为拈p ( 二。篇矿) 只2 加，u md + u m u |j、。其中m =( 至羹至塞主兰) ，。s 尸m 一，一n ，墨。t 蜀。q p 一心，nim s 异帆) ，此处g q 胁一r n ) ( r + n ) 是任意的证明：设( 4 1 1 ) 有解x s g ，由定理4 2 1 知d 勉= q 2 ，g = o ( i =2 ，3 ) ，d u = od = 1 ，2 ，3 ) ，且x 有( 4 2 9 ) 的形式设a 2d 2 3 幸确五3 墨4 、三篓妻：i = ( 答要二) s x 孰x 弛由引理4 2 1 知m 与一m 扩均为半正定自共轭矩阵，其中c 厂为矩阵方程x m = g 任一解于是g = u m 令k u m 矿= d ，h = d + u m 矿，由弓i 理4 2 2 及( 4 删式知a 酣b ，( 恚剖坩故x 可表成( 4 2 1 0 ) 的形式反之，若g - o ，d 1 j _ 0 - 1 ，2 ，3 ) ，。毖= ，a 酣b ，( 意2 ) s 只l + 您，则由引理4 2 1 及引理4 2 2 知存在蜀3 q ( r r 2 ) x n ，使( 4 2 1 0 ) 为自共轭半正定矩阵，易验证具有( 4 2 1 0 ) 形式的x 必为( 4 1 1 ) 的解4 3四元数矩阵方程( a + x a ，b 木x b ) = ( c ，d ) 的亚半正定解的存在性考虑矩阵方程( 4 1 1 ) ，其中a q 拥，b q ：，c q n t 拥及2 6 跏髀，。一关于四元数矩阵及四元数矩阵方程性质的研究d q n 2 期2 设矩阵a 和b 的d s r 分解分别为( 4 2 1 ) ，( 4 2 2 ) 式，显然矩阵方程( 4 1 1 ) 等价于下面的矩阵方程组iq a p 。p 一x 尸一1 尸4 q = q c qiq 古b p p 一x p 一1 p b q o = q ；d q o设r 胪1 = (易证得下面的墨l托l妫l托1墨2恐2咒2x 匏彗、lr _ ，3 池ln峥。j x 临x 驵m r nq c q = ( 戛暑) ，q = 黔q ：。q 。= ( 三兰塞( 4 3 2 )( 4 3 3 )( 4 3 4 )定理4 3 1 设矩阵方程( 4 1 1 ) 中的矩阵a 和b 的d s r 分解分别为( 4 2 1 ) ，( 4 2 2 ) 式，p 一+ x p ，驴c q ，a 及q ；d q o 分别为( 4 3 1 ) ，( 4 3 2 ) ，( 4 3 3 )和( 4 3 4 ) ，则( 4 1 1 ) 有解的充要条件是g = o ( i = 2 ，3 ，4 ) ，岛l = o0 =l ，2 ，3 ) ，皿。= o ( 1 = 2 ，3 ) ，且锄= 有解时，其解的具体形式为x = p ( 妻萎萎萋) p ，c 蛆5 ，x ：pi 仍l d 2 3 妇ip ( 4 3 5 )i 弱ld 3 2d 3 3 l、五1 托3 2 7 、lll-j，nddd高校教师在职硕士学位论文其中，墨40 = 1 ，2 ，3 ，4 ；歹= l ，2 ，3 ) ，托3 ，弱1 分别是q 上的的任意矩阵，其阶数由( 4 3 1 ) 式确定弓i 理4 3 悯设a = ( 三：三：) q n n ，其中a “q 眦x 啦c n - + n 。= n ，则以下条件等价：( 1 ) 月s r ；【2 ) ，口n 七( a 2 2 + a ；2 ) = r n 礼七( 4 ：2 + a 2 l ，月2 2 + a ；2 ) ，且a 2 2 与a 1 1 一a 铊u均为亚半正定矩阵，其中u 为矩阵方程( a 2 2 + a 勃) x = a ；：+ a