（飞行器设计专业论文）机械臂的动力学研究.pdf

分类号：udc ：工学硕士学位论文密级：编号：机械臂的动力学研究硕士研究生指导教师学位级别学科、专业所在单位论文提交日期论文答辩曰期学位授予单位：陈辛：梁立孚教授：工学硕士：飞行器设计：航天工程系：2 0 0 7 年5 月：2 0 0 7 年6 月：哈尔滨工程大学哈尔滨丁程大学硕十学位论文捅要多体系统是常见的一种动力学系统。作为多体系统的一个典型代表，机械臂得到了广泛的应用，特别是在航天、海洋、机城制造等工业上的应用正日趋广泛。本文以机械臂为研究对象，对机械臂的动力学特性进行了研究分析。应用第二类拉格朗日方程对普通机械臂进行了动力学的建模，并研究了流体作用下的机械臂的动力学模型，考虑了虚拟质量、流体阻力等因素对机械臂的影响。对机械臂在典型路径下的运动进行仿真，并对结果进行分析和比较。在应用第二类拉格朗日方程推导机械臂的动力学模型时，使用m a t l a b 软件的符号运算完成了动力学方程组的推导工作。柔性多体动力学是最近2 0 年里兴起的学科，而柔性机械臂正是柔性多体动力学的典型代表。同时，随着机械臂的轻型化、高速化的需要，特别是用于空间环境的空间机器人的发展需要，使得机械臂工程成为推动多柔体系统动力学发展的一个重要工程领域。本文利用模态展开法和凯恩方程建立了空问柔性机械臂的动力学模型，给出了空间柔性机械臂的动力学方程组。在给定运动条件下，对其进行了仿真，分析了柔性机械臂的动力学特性。关键词：多体系统；空间柔性机械臂：水下机械臂哈尔滨下程大学硕十学位论文a b s t r a c tm u l t i b o d ys y s t e mi sac o m m o nd y n a m i cs y s t e m a sam u l t i b o d ys y s t e mo fat y p i c a lr e p r e s e n t a t i v e ，t h em a n i p u l a t o ri sw i d e l yu s e dp a r t i c u l a r l yi nt h ea e r o s p a c e ，m a r i n e ，m a c h i n e r ym a n u f a c t u r i n g , a n do t h e ri n d u s t r i a la p p l i c a t i o n s t h em a n i p u l a t o ri ss t u d i e di nt h i sp a p e ra n dt h ed y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c so ft h em a n i p u l a t o ra r ea n a l y z e d t h em a n i p u l a t o rd y n a m i cm o d e li sb u i l db yu s i n gt h es e c o n dc a t e g o r yl a g r a n g ee q u a t i o n s i nt h i sp r o c e s s ，t h ef l u i dd y n a m i c sm o d do fm a n i p u l a t o ri sa l s os t u d i e d t h ev i r t u a lq u a l i t y , f l u i dr e s i s t a n c ea n do t h e rf a c t o r so nt h ei m p a c tm a n i p u l a t o ra r ec o n s i d e r e da n dt h em o d e li nat y p i c a lp a t ho fm o v e m e n ts i m u l a t i o ni sd o n e t h er e s u l t sa r ea n a l y z e da n dc o m p a r e di nt h i sp a p e r m a t l a bs o f t w a r es y m b o l i co p e r a t i o ni su s e df o rt h ed e r i v a t i o no fd y n a m i ce q u a t i o n s f l e x i b l em u l t i - b o d yd y n a m i c si st h ee m e r g i n gd i m p l i n e so ft h ep a s t2 0y e a r s ，a n df l e x i b l em a n i p u l a t o ri st y p i c a lf l e x i b l em u l t i b o d yd y n a m i cs y s t e m m e a n w h i l e ，w i n lt h em a n i p u l a t o ro fl i g h t ，h i g h s p e e dn e e d s ，e s p e c i a l l yf o r t h es p a c ee n v i r o n m e n to fs p a c er o b o td e v e l o p m e n tn e e d s ，m a k em a n i p u l a t o rp r o j e c t sp r o m o t i n gf l e x i b l em u l t i b o d yd y n a m i c so ft h ed e v e l o p m e n to ft h i se n g i n e e r i n gf i e l d t h ef l e x i b l es p a c em a n i p u l a t o rd y n a m i c se q u a t i o n sa r eb u i l db yu s i n gm o d a le x p a n s i o na n dt h ek a n ee q u a t i o n b yg i v i n gt h em o v e m e n tc o n d i t i o n s , t h es i m u l a t i o n ，a n a l y s i so ft h em a n i p u l a t o rd y n a m i c si sd o n ei nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：m u l t i b o d ys y s t e m ；f l e x i b l es p a c em a n i p u l a t o r ；u n d e r w a t e rm a n i p u l a t o r哈尔滨工程大学学位论文原创性声明本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者( 签字) ：匦兰日期：砷年朋汐日日期：刈年j 月日哈尔滨丁程大学硕十学位论文第1 章绪论1 1 动力学概述动力学是理论力学的一个分支学科，它主要研究作用于物体上的力与物体运动的关系。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。动力学是物理学和天文学i i l 的基础，也是许多工程学科的基础。动力学的研究以牛顿运动定律为基础，牛顿运动定律的建立则以实验为依据。动力学是经典力学的一部分，但自2 0 世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。动力学的基本内容包括质点动力学、质点系动力学、刚体动力学等。以动力学为基础而发展出来的应用学科有天体力学、振动理论、运动稳定性理论、陀螺力学、外弹道学、变质量力学，以及正在发展中的多刚体系统动力学、多柔体系统动力学等。动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理以及由这三个基本定理推导出来的其他些定理。动量、动量矩和动能是描述质点、质点系和刚体运动的基本物理量。作用于力学模型上的力或力矩与这些物理量之间的关系构成了动力学普遍定理嗍。在航天科技中，动力学问题是航天器系统需要解决的基本问题。航天器动力学是研究航天器轨道运动、姿态运动、部件相对运动及变形运动以及它们之间各类祸合运动规律的学科。航天器动力学随着航天器的发展而不断成熟。它的理论基础是经典牛顿力学、高等动力学、结构动力学、多体动力学、复合材料力学、非线性动力学及稳定性理论、控制论等，其研究对象涉及刚体、弹性体、液体、连接结构以及环境作用、控制与稳定等。1 2 多体系统力学发展简介多体系统动力学是在经典力学基础上产生的新学科分支1 6 - 1 1 1 。由欧拉、拉格朗日等人奠基的经典刚体动力学发展至今已经有约两百年。对于刚体的平哈尔滨：f ：程大学硕七学侍论文面运动或定轴转动的研究还可上溯到更久远的年代。经典刚体动力学的主要研究对象是单个刚体，研究成果可以解释一些重要的力学现象。多体动力学是力学一个新的并迅速发展的分支，它是相互连接的机体系统运动的非线性动力学。在六十年代中期研究的第一个系统是由球形接头和呈树状连接的刚体组成的卫星系统旧- 3 1 ，后来推广到适用于任意形状的连接以及呈闭环运动的系统。最近的一些方法已经能通过普通计算机列出大规模多刚体系统的非线性运动微分方程，并完成其数值积分。这些程序在工业的各个领域都得到了应用。多刚体系统动力学是6 0 年代在经典力学基础上发展起来的力学新分支。多刚体系统指的是任意有限个刚体的组合，而各刚体之间以某种形式的接头连接在一起的系统。多刚体系统动力学产生的工程背景是机器人和宇宙航行技术的飞速发展以及出现计算能力极强的数字计算机。事实上，在工程技术领域中，大多数机械系统都是由若干个物体构成的，若略去微小变形，即得到多刚体系统的简化模型。研究多刚体系统动力学主要是依据经典力学或分析力学的理论建立系统的动力学方程。由于所研究的对象多是复杂的系统，因而需要利用计算机辅助分析，有相应的计算机算法并配备完善的计算软件。从6 0 年代开始，对多刚体系统，科学家们进行了深入的研究1 。他们提出了各种不同的研究方法，主要是罗伯逊一维滕伯格方法、凯恩一休斯敦方法、波波夫的变分方法以及旋量方法等。这几种风格不同的研究方法中，罗伯逊一维滕伯格方法最有代表性。近年来出现了能简明地建立多自由度力学系统的动力学方程的凯恩方法，凯恩于1 9 8 2 年应用此方法对斯坦福机械手进行了动力学分析。近2 0 年来，多柔体系统动力学的研究受到极大的关注，它已成为目前理论和应用力学最活跃的领域之一。由于它和航天、航空、机械、车辆、机器人等工程领域，甚至与体育等方面都有着极其密切的关系，因而有重要的实用价值。关于多柔体系统，目前尚无确切的、众所接受的定义。前入在对多柔体的研究中取得了一些的成果，总结了许多方法u s - z q 。2哈尔滨t 秤犬学硕十学位论文多柔体系统的工程背景是航天器、机器入( 机械臂) 和高速精密机构，尤以前两者的推动作用最大。推导多柔体系统动力学控制方程的基本原理和方法与一般的力学问题一样，可分为三类。第一类为牛顿一欧拉向量力学法，第二类为以拉格朗日方程为代表的分析力学方法，第三类方法是基于高斯原理等具有极小值性质的变分原理方法。还有其他方法，不过都可以看成是在这三大类方法基础上的变型。b o l a n d 、g a n c 、l i k i r $ 、h u g h e s 、m e i r o v i t c h 、r o b e r s o n 、w i t t e n b u r g 等都为柔性多体航天器动力学的建模做出过杰出贡献。p l i k i n s 早在2 0 世纪7 0年代中期就对柔性系统作了大量研究。l i k i n s 首次提出了用离散坐标描述物体的大位移运动，用模态坐标或有限元节点坐标描述物体的弹性变形。为了满足宇宙飞船、机器人、运输车辆和机械制造设备的高效设计和分析的需要，l i k i n s 及其合作者长期从事柔性多体控制系统动力学方程及程序的研究。k a n e 、l i k i n s 等人早先对航天飞行器的动力学问题进行了总结归纳，k a p l a n又把航天器动力学与控制理论结合在一起讨论，突出了控制在航天器设计中的重要地位。1 3 机械臂研究近况机械臂被看成多体系统是显而易见的。目前的地面、水下应用的机械臂，它的臂杆还多是刚性的。用于美国航天飞机上的空间遥控机械臂已经具有相当的柔性l l i l 。随着机械臂的轻型化、高速化的需要，特别是用于空间环境的空间机器人的发展需要，使得机械臂工程成为推动多刚( 柔) 体系统动力学发展的一个重要工程领域。要发展空间站，必须解决空间对接与装配技术，由于规模庞大，必须通过空间交会对接进行组装。因此，发展空间机械臂已经是一条必由之路。美国航天飞机已经装备了空间机械臂。据俄罗斯专家介绍在和平号空间站组装过程中横向对接就是采用空间机械臂实现的，具体做法是先实现纵向对接，然后由机械手将对接舱段移至横向对接口。近年来国内外的学者在该领域做了大量研究工作，研究的重点为如何建3哈尔滨工程大学硕士学位论文立推导方便、形式简单的动力学模型，如何提高计算效率、缩短计算时闯，便于实时控制( 动力学控制) 。l i n d b e r g 和l o n g m a n 最早提出了安装在载体上的机械臂动力学模型，并研究了机械臂运动与载体运动的耦合问题。v a f a和d u b o w s k y 提出虚机械臂概念使空间机械臂动力学问题得到简化。u m e t a -n i 和y o s h i d a 提出空间机械臂广义的j a c o b i 矩阵，并用于空间机械臂逆动力学的讨论。从8 0 年代末以来，国内已开始这方面的研究，赵平等应用d a l e m b e r t l a g r -a n g e 原理对由基座伽1 ) 个柔性连杆及端部负载组成的柱铰连接的柔性链式多体系统建模，对在空间技术中具有一刚性杆和两柔性杆以及刚性负载所组成的三维机械臂系统采用g e a r 算法进行数值仿真。郭吉丰给出了空间柔性机器人的正逆动力学线性模型，用其提出的线性化方法，从柔性机器人的二维平面运动延拓至三维空间运动。空间技术研究院与清华大学贾书惠教授曾就柔性机械臂的项目进行了研究，并获得了重要阶段成果，但真正达到工程实用还有一定差距。1 4 本文工作的简述图1 1 柔性机械臂的模型本文的第二章研究了机械臂的运动学特性，首先建立了三自由度机械臂4哈尔滨丁程大学硕+ 学位论文的运动学方程，为研究动力学特性提供运动学依据。运动学控制是机械臂的传统控制，随着高速、柔性机械臂的出现运动学控制显示出诸多不足，而动力学控制却显示出自身的优势。本文的第三章用分析力学的第二类拉格朗e t方程建立了机械臂的动力学模型，并描述了一定运动轨迹下的机械臂的动力学特性。在动力学方程的推导过程中，采用了m a t l a b 软件的符号运算推导了机械臂的动力学方程。第四章应用带有虚拟质量、耗散函数形式的第二类拉格朗日方程建立了水下受流体阻力作用的机械臂的动力学模型。描述了在定运动轨迹下机械臂的动力学特性，并且对水下机械臂、普通机械臂的动力学特性做了定性的比较。第五章用凯恩方法、模态展开方法建立了柔性机械臂的动力学模型。对得出的动力学方程进行了计算，分析结果表明低频结构在做大范围运动的时候，由于自身的柔性会产生幅度不等的振动，而自身的振动又会引起结构整体的运动。这对柔性机械臂的空间定位和控制系统的设计提出了更为苛刻的要求。5哈尔滨下稃大学硕士学位论文第2 章机械臂的运动学模型运动学的任务是从几何学观点来研究物体的运动，即只研究物体的位置随时间的变化，而不考虑物体的质量以及作用在物体上的力。换句话说，运动学是研究物体运动的几何性质，即空间位置与时间的关系，而不考虑物体运动变化的原因。因此，运动学是从比较单纯的角度来研究物体的运动，为动力学中更全面地研究物体的运动做好准备。值得注意的是，运动学研究所得的结果，也有它独立的意义。机械臂的工作是由控制器指挥的，关节在每个位置的参数是预先记录好的。当机械臂执行工作任务的时候，控制嚣给出记录好的位置数据，使机械臂按照预定的位置序列运动。机械臂的平动或转动是由关节电机控制关节的位移或转角，其间并不涉及到控制力或控制力矩的大小，这是机械臂控制的一种传统方法，我们也称之为运动学控制。在这里建立机械臂的运动学模型的目的是为动力学建模提供各臂之间的几何关系和运动关系。2 1 机械臂杆件坐标系的建立2 1 1 机械臂杆件与关节标号图2 1 杆件、关节的编号开链机械臂，也称串联杆件机械臂。它是由若干个刚性杆件首尾相连而6哈尔滨| t 稃大学硕十学付论文成，杆件问的连接物称为关节。杆件和关节的编号方法为：基座为杆0 ，从基座起依次向上为杆1 、杆2 、。关节f 连接杆i 一1 和杆i ，即杆f 离基座近的一端有关节f ，而离基座远的一端有关节f + 1 。机械臂的每个杆都有一个单独的作动器，所产生的驱动力经过关节i 的轴传到杆i 上，使其可以产生独立的相对运动，参见图2 1 。图2 2 机械臂模型关节的种类很多，但是基本的两种单自由度柱关节：一是圆柱关节，又称为转动关节，它有一个转动自由度；二是棱柱关节，又称为移动关节，它有一个移动自由度。在本论文中采用了三个转动关节，参见图2 2 。2 1 2 杆件坐标系的d h 方法建立与机械臂各杆固连坐标系的方法，因这一方法是d a n e v i t ，h a r t e n b c r g给出，称为d h 方法。2 1 2 1 建立杆件坐标系的方法对于个自由度的机械臂，可以用以下步骤建立与各杆件n ( n = 0 ，1 ，n ) 固连的坐标系q x n k 乙，并简称其为系“。第一步：确定各坐标系的z 轴。基本原则：选取z 。轴沿关节”+ 1 的轴向哈尔滨_ t 程大学硕十学位论文( 指向可以任意选择，但是通常都将各平行的z 轴均取为相同的指向) 。第二步：确定各坐标的原点。基本原则是：选取原点q 在过互一，轴和互轴的公法线上。第三步：确定各坐标轴的x 轴。基本原则是：选取以轴沿过乙。轴和轴乙的公法线，方向从乙。指向乙。第四步：确定各坐标系的y 轴。原则是使k 。乙以，即构成右手坐标系。按照以上的步骤建立机械臂的杆件坐标系，如图2 3 所示。图2 3 机械臂杆件坐标系示意图2 1 2 2d h 参数在上节我们用d h 方法建立了各杆的坐标系，下面我们将确定系t 一1 和系n 之间的相对位置和指向。1 杆件长度口。定义为从z 一。轴到z 。轴的距离，沿以轴的指向为正。2 杆件扭角定义为从z 一。轴n z 。轴的转角，绕以轴的正向转动为正，且规定口。( 石，】。3 关节距离屯定义为从以一。轴到以轴的距离，沿乙一，轴的指向为正。4 关节转角或定义为从以，轴到以轴的转角，绕乙一，轴正向转动为正，且规定或( 一耳，t 】。8哈尔滨_ 亡程大学硕十学位论文参数伍，a ，d 。，色的意义见匿2 4 ，这些参数就被称为d - i t 参数。八燕轷氐圹乙，7 葺匕，o图2 4d h 参数2 1 2 3 用d h 参数确定坐标系间的齐次变化矩阵由图2 4 得出，系n 一1 可以通过以下连续的相对运动变到系n ：第一步：沿z 。轴移动；第二步：绕z 一。轴转动吃；第三步：沿瓦轴移动以；第四步：绕x 。轴转动a 。由此确定图2 4 所示的机械臂的d h 参数为：1 a 。d 。8 。9 0 0b1 200 移20 0 岛式中：各杆件的长度( n = 1 ，2 ，3 ) ；以各关节的转恁( 拄2 l ，2 ，3 ) 又按照连续转动时候的齐次变换矩阵的方法可以求出：”1 蠢一c ，一c qn srs tc a n c r0oo9s a 、s 1 f 。一j a 。q厶s 。c a ，d ，o1( 2 1 )( 2 - 2 )哈尔滨下程大学硕+ 学伉论文式中：= s i n s ，毛一c o s 统，s 吒= s i n a 。，c q c o s a n ；”1 以坐标系珂相对于坐标系，l 一1 的齐次转换矩阵。2 2 机械臂运动方程的建立选择关节的转动角度b 、岛、b 为广义坐标，由q 、0 2 、0 3 即可求得变换矩阵，进一步求机械臂的运动学方程。将各机械臂的参数代入式( 2 - 2 ) ，于是根据d h 参数可以得到：4 =4 *4 =c 10 置s l0 一c l0100 0oc 2 哪20如c 200o1o00。c j s ，0而c 30oo1ooo以上三式中；0 4 1 号臂和基座的变换矩阵；1 4 2 号臂和1 号臂的变换矩阵；4 3 号臂和2 号臂的变换矩阵。又由交换矩阵之问的关系我们可以得到：鸳一勾名么一0 4 4 以所以1 0( 2 - 3 )( 2 - 4 )( 2 - 5 )( 2 6 )( 2 7 )饥辆o 。极镀o 。k 蝻o ，哈尔滨- 仁程大学硕十学位论文4 =4 一c l c 2一c 1 5 2&s x c 2一s i s 2一c l如c 20o0oc l c 2 3 c l s bs 1s f 2 3 一s 声2 3 一c l5 c 2 30000l 乒f l + l 1t 2 s , c 2 + 如五如l 乒l c 嚣+ l f f 2 + 1 2 qt f 笛+ t 2 s f 2 + l 声1l + l 21( 2 8 )( 2 - 9 )由于我们没有考虑机械手，故只要3 号臂到达耳标位置即认为机械臂完成了要求的运动。最终位形是当3 号臂前端到达指定点时机械臂的位形。假设机械臂到达指定位置的位形为以：a 一i吒2r 2 1 屹岛ir 3 20o亿以t bp ，见o1( 2 1 0 )令式( 2 9 ) 中乜的元素与式( 2 - 1 0 ) 中以的元素对应相等，得到以下方程组：l = q c =2 2 一s 2 3k2 墨见= 1 3 c l c + l c l c 2 + z 2 吒，2 l = 墨c 2 3铲q ：”( 2 - 1 1 )r z 3 。一c lpr 暑1 3 s f 簋+ 1 2 s 1 c 2 + t 声lr 3 12 $ 2 3b ：一r 3 3 0只一f 3 s + f 2 s 2反解出岛、巴、岛即可得到机械臂的位形，由于满足方程组的解不止一1 1哈尔滨_ t 稃大学硕士学位论文个，所以可以看出机械臂到达指定点的位形是有很多的，这也是符合实际情况的。2 3 机械臂运动轨迹规划由机械臂的运动学方程( 2 1 1 ) 不难看出，只要知道机械臂的关节变量就能根据其运动学方程确定机械臂的位置，或者已知机械臂的期望位形就能确定相应的关节变量和关节角速度。2 3 。1 运动路径与轨迹路径定义为机械臂位形的一个特定序列，而不考虑机械臂位形的时间因素。如图2 5 所示，如果一个机械臂从a 点运动到b 点再到c 点，那么这些中间的位形序列就构成了一条路径。cu图2 5 机械臂的运动路径考虑机械臂从空间位置a 点向b 点运动。使用上节导出的机械臂运动学方程，就可以计算出机械臂到达新位置时候关节的总位移，机械臂的控制器利用所算出的关节值驱动机械臂到达新的关节值，从而使机械臂运动到新的位置。采用关节量来描述机械臂的运动称为关节空间描述。2 3 2 机械臂关节空间的轨迹规划为了动力学仿真的需要，在此研究机械臂的工作路径生成的问题。这里啥尔滨t 程大学硕十学位论文f p ( o ) 一e ol 口( f ，) 一一10 ( o ) - oi 【口o ，) o( 2 1 2 )岛一a o8 f 。a q a | a = t t 7 a ；( 2 - 1 6 )0 一a ，o = a l + 2 a 2 t ，+ 3 a j ，2哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文解方程组( 2 1 6 ) 中的口；，可以得到：a oz 岛q 一0妒毒( 巳枷( 2 _ 1 7 )4 3 i 专。吲将式( 2 - 1 7 ) 代入式( 2 - 1 3 ) 式( 2 - 1 5 ) ，由此可以得到8 和) 、占p ) 、稚) 。根据上述推导，选择机械臂的初始位置为：气一o ，一一考，一o ，葵止位置为：岛，。詈，吃，- 差，岛，。詈，运动时间。t l o s ，得到机械臂运动学参数，见表2 1 。表2 1 机械臂运动参数疗p口1 号臂兰一f 2 一j f - f 3三f 一旦f 2三一三f1 0 01 5 0 05 05 0 05 02 5 0一三+ 旦f 2 一旦f ，3 z3 ：r2塾一旦，f 一广2 号臂21 0 05 0 05 05 0 05 02 5 0 0生f 2 一l f 3三f 一l f 2三一三f3 号臂2 0 03 0 0 01 0 01 0 0 01 0 05 0 0根据表2 1 描述出机械臂各臂的关节角0 、关节角速度扫、关节角加速度舀随时间变化的图形，见图2 6 、图2 7 、图2 8 。2 4 本章小结本章通过分析机械臂的运动学关系给出了机械臂的运动学模型，得出了在给定位形情况下，机械臂通过相应地旋转得到符合给定位形的途径。并给出了整个过程中各运动量的变化，为动力学模型的仿真提供基础。1 4哈尔滨t 稃大学硕+ 学付论文图2 6 各关节角度图2 7 各关节角速度哈尔滨工程大学硕十学位论文1 6时孵秒)哈尔滨工程大学硕十学位论文第3 章机械臂的动力学模型3 1 第二类拉格朗日方程分析力学是一般力学中的一个重要分支，在力学的各学科中占有基础地位。分析力学研究低速宏观世界机械运动的一般规律，概括地说，是研究任意离散力学系统的描述方法、动力学普遍原理以及运动微分方程的建立和积分方法1 2 l 捌。分析力学与牛顿力学不同。牛顿力学以力、速度和加速度等矢量为基本量，应用欧几里德几何方法求解，几何直观性强，对于不甚复杂的力学问题可以得到简明满意的结果嘲。但是由质点系的动力学问题，仅依靠几何方法是十分费力的，甚至是很困难的。分析力学着眼于能量，采用解析方法来研究质点系统的动力学普遍规律。由于在方法上有高度的概括性，而且在概念上又有着较抽象的特点，因而便于求解非自由质点系统的动力学问题。随着工程技术的发展及分析力学适用范围的广泛，它的原理和方法越来越多地被人们运用到航天工程、机械工程( 机械臂、机器人等方面) 以及非线性力学等方面上。1 7 5 5 年，1 9 岁的拉格朗日写出了并于1 7 8 8 年正式出版的不朽名著分析力学，为分析力学奠定了基石。拉格朗日提出广义坐标，并巧妙地将力学原理和数学分析方法结合在一起，提出了建立非自由质点系统运动微分方程的普遍方法。为分析力学做出重大贡献的还有高斯、雅克比、阿沛尔、哈密顿等人，他们完善了分析力学体系1 2 1 l 。第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。第二类拉格朗日方程的称谓是相对第一类拉格朗日方程而言的。第一类拉格朗日方程是应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程。由于方程式的数目多，求解的难度大，所以在一个时期内，它的应用价值远小于第二类拉格朗同方程。1 7哈尔滨t 稃大学硕+ 学位论文3 2 机械臂的动力学方程3 2 1 机械臂的动力学方程的建立1 广义坐标的选取和广义力的计算选择广义坐标关节的转动角度b 、岛、0 3 为广义坐标，由o l 、岛、岛即可确定机械臂的位形。选择关节力矩、f 2 、毛为广义力。2 机械臂动能和势能的计算设有一个个质点组成的系统，系统具有 个自由度，取吼、q ：、吼为广义坐标，则各质点矢量i 可由广义坐标表示：亏- 亏( 吼，吼，吼) i - 1 , 2 ，n( 3 1 )记臂f 中任一质点在系f 中的齐次坐标为：尹叫4 工，y ，z ，1 ，显然其在系0 中的表示为：产一尹( 3 2 )该点的齐次速度定义为：扎带- 陲争一尹c 。弓，故该元质点的动能为：蚂。昙声i d i a g ( rr ) d m- 三咖峙挚，尹) ( 1 ；祭f ) d m一三叫套塞移，学，磊卜c s 一，由此可知臂i 的动能：i ；p 抄g 隧鲁尹学氟卜哈尔滨丁程大学硕十学位论文- l d a g 澄锄c _ 叫警，吖。滋纰黪掣p ，乱净s ，式中：j i r ( f ，跏一r锄锄f 工，yi z1在力学中，常用刚体的质“e , c - i x , ，咒，乞r ，对三个轴的转动惯量l 、l 、以及惯性积、t 、匕来刻划刚体的质量分布，其中：t 。三卜拥m jy c 拥m ，z t f ；饥m j4 弘2 + z 2 坳i ，。l + 洳iz j 心+ 矿洳i 。l 巧椭l 。l 翩l 。f y z 凼n式中：m 刚体的质量。【x , y ，z 7 元质点d 加矢径的坐标表达式，积分均为对整个刚体体积积分。利用式( 3 6 ) 并考虑到 ；西，f 后为杆f 质量) ，可将写为：哈尔滨丁程大学硕十学位论文j i =i l 口j l 。m f l x ti 口m | 。x cm i 。y 。m t i z c，t( 3 - 7 )式中： k ，4 儿，毛】1 杆f 质心在系i 中的坐标表达式。由式( 3 7 ) 可知以是一对称常值阵，它完整地描述了杆i 的质量分布情况。由前面的动能表达式( 3 - 5 ) 可知整个机械臂的动能为：r 。善互。瓣扣( 挚警户，巩- l r ，以警户，磊。渤峰n ，d i a g 。( 8 嘞0 4 以警肛专著荟圣- h ( q ) i l( 3 - 8 )式中：h o ) 。 h u 】机械臂的惯性矩阵。由h ( q ) 的定义可知它是一对称矩阵，又由系统动能的正定性可知h 臼)是一个正定矩阵。下面再来求机械臂的势能。记杆i 质心的齐次坐标在坐标系i 中的表达式为r c f - ，则其在系0 中的表达式为；= 0 4 毛，故杆i 质心的齐次坐标式在系i2 0每哦警帆哈尔滨工程大学硕十学位论文中的表达式为：一k 一砚可毛= 一肼；手r 名0 4 磊( 3 9 )热季。嘲一重力加速度矢量在系。中的坐标表达式由式( 3 - 9 ) 可得整个机械臂的势能：矿2 著k 。荟他彳毛0 4 毛( 3 1 0 )利用第二类拉格朗e t 方程建立机械臂的动力学模型。先计算出拉格朗日函数及其偏导数：l t t v( 3 - 1 1 )嚣一薏一薹呶睁两i 硇i 缸”1丢善。扣+ 砉钒( 3 - 1 3 )o lo to vo q io q jo q i7 1 r 面o h 一矿鲁叫+ 一三2 矿罟，( 3 - 1 4 )1 细；4 将式( 3 1 2 ) 、式( 3 1 3 ) 、式( 3 1 4 ) 代入拉格朗日方程，得到：弘哦+ 弘磊7 17 喝_ m 胡( 3 - 1 5 )写成矩阵的形式：嚣( 碍) 辱+矿c , o口c q2 l+ g - f( 3 - 1 6 )哈尔滨工程大学硕+ 学位论文也可以写成简洁的形式：h ( g 埒+ c ( q ，q ) q + g q ) - f( 3 1 7 )式中：日国，。c ，c 国，。，_ = 耋】，g 。，一【三】，f 一 三】。一z z ”一4 4 4 4( 3 1 8 )0 4 。立o o , o o ,不难得出：c i s i c js ic i c i05 ，00s , s j_ t s ic ，04 f c ，a i s it1o一1o01ooo0o o ooo o0嚣喇2 2c i s c i墨q 。j0s ，oos j s j_ c i s |c oa 乒乒q 暑41( 3 一1 9 )哈尔滨工程大学硕十学位论文一10oo 0 o00ooo o用呸代表关节变量，将同样的求导法则推广到带有多个关节变量的式( 3 1 8 ) 中，得到：。塑。坐型。私盼4脚(3-2。)oq ia q ij 。1 。掣( 3 - 2 1 )。蔷上节通过对拉格朗日函数的求导得到的机械臂动力学方程式( 争1 7 ) ，改写式( 3 1 7 ) 如下：2 善岛茸，+ 善荟口，吼+ 4( 3 2 2 )式中：岛一飘t r a c e ( u p j j , u r 一)= 艺。t r a c e ( u # j ，)p m a x t i ， jd j - - - m p 9 7 p i式( 3 - 2 2 ) 中，第一部分是角加速度惯性量项，第二部分是科里奥利和向心力，最后一部分是重力项。对于一个三轴转动关节的机械臂，上述方程可以展开为：弓= 口。巨+ 口：幺+ 皿，砖+ 皿。，鲆+ q ：彰+ q 。岛+ 口。：4 幺4 -b ，哇幺+ 2 ：。幺反+ 2 ：囊谚+ 2 。螭+ 2 。谚也+ 谚( 3 2 3 )m m k rq中式哈尔滨_ 丁程大学硕十学位论文注意在上式中，有两个反如的项，相应的系数是d j 。：和d j ：。，这里不加证明的给出口，：一2 ：，。显然，两个相似项给出了与谚、幺相对应的科里奥利加速度。于是针对所有的关节，可以对式( 3 2 3 ) 进行如下的简化，得到：关节1 的控制力矩l ：q = d l 矗+ d 1 ：反+ q ，鼋+ d l 。砰+ q 。岛+ d l 。参3 2 + 2 d 1 。：反幺+2 d , 。3 6 l l f 屯+ 2 d 1 2 3 岛岛+ 日( 3 2 4 )关节2 的控制力矩吒：= d 2 ，茸+ d 2 2 暖+ d 葚+ 岛。砰+ d 。宠+ d 幻鳄+ 2 d 2 。2 反砬+2 d 2 。反杰+ 2 d 。杰谚+ d 2( 3 2 5 )关节3 的控制力矩l ：弓= d 3 。茸+ d 3 ：眨+ d 3 ，芭+ d 3 。鲆+ d 3 ：彰+ d 3 3 3 霹+ 2 d 3 。：反如+2 d 3 。，谚杰+ 2 d 3 。晓杰+ d 3( 3 2 6 )以上各式中d j 、岛、都可以用计算机求出，再带入式( 3 2 4 ) 、式( 3 2 5 ) 、式( 3 2 6 ) ，就可以求出q 、t 、弓的表达式，具体程序参见附录。3 3 机械臂惯性矩阵的计算为进行机械臂的动力学仿真，必须根据机械臂的几何参数求出相应的惯性参数。下面分别对l 号臂、2 号臂、3 号臂求解它们的惯性参数。图3 1 求解1 号臂的惯性参数哈尔滨丁稃大学硕十学位论文由图3 1 不难得到1 号臂的惯性参数：t 。：1 竹r 2z 兰( 3 墨2 + 4 1 z )l i z1 堕2 ( 3 r a 2 + q 2 )( 3 2 7 )l i 。- ol l 口- 0l ，。- 0图3 2 求解2 号臂的惯性参数由图3 2 不难得到2 号臂的惯性参数：1tm m ：恐22 。卺( 3 霹+ 4 2 2 )2 t = 卺2 + 4 2 2 ) ( 3 - 2 8 )k 。o，苴；o2 ，。t 0哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文图3 3 求解3 号臂的惯性参数由图3 3 不难得到3 号臂的惯性参数：t 。：1 鸭玛23 老2 + 钙2 )3 l 一鲁2 + 鸭2 )3 。2 9 k o3 i 。- 03 ，。一0由式( 3 2 7 ) 、式( 3 2 8 ) 、式( 3 2 9 ) 可以得到三个臂的惯性矩阵 、j ：、j 3 如下：j l l l 。m x ：m 1 1 y cm 1 1 乙遗毒每急等袅哈尔滨下稗大学硕十学位论文j 2 一j ，-一t i 。+ 2 i t + 2 iz23 i 。+ 3 l ，+ 3 l ：22 l q3 l 。m ，3 x coom 1 1 120三m 足zo410m lm 2 半2 l y zm e2 y ck 坠m 22 z cm 22 咒m z2 乙m 2o00m ：220l m 尼2 204譬。研：、匕m 33 y c半鸭，_ _ 。_ _ _ _ _ 。_ _ _ - _ - 。- 。一，2”b3 z ，鸭( 3 - 3 0 )( 3 - 3 1 )墨ooo1 4秆oo 盟21 3一仉仉矿po1 3砰ooo1 4羔：曼量哈尔滨t 年早大学硕+ 学位论文om 3 l ,20oo 丢毗2o0m 3 1 3200r n 3( 3 3 2 )3 4 机械臂的动力学仿真各机械臂的半径r = 0 0 5 m ，长度l = l m ，质量m - - - 3 6 k g 。由上节式( 3 - 3 0 ) 、式( 3 - 3 1 ) 、式( 3 - 3 2 ) 不难得到机械臂各臂的惯性矩阵如下：j 1 -j 2t3 i2 0003 00 1 50002 0oo一3 0o0 1 5o002 003 0o0 1 50o000 1 50- 3 00o6 0o0o3 00 1 50o6 000o 1 5o一3 0o06 0设初始位置为：钆一o ，一一5 石- ，瓯一。由运动学关系可以得到停止运动时位置为：b ，= 詈，见，一三，岛，。詈由表2 1 确定机械臂的空间运动路径，求出b 、a 2 、岛、谚、幺、砖、西、以、西，代入拉格朗日方程得到控制力矩t 、弓。控制力矩一、 i t 2 、f 3变化如图3 4 、图3 5 、图3 6 所示。o哦脯1 4o1 3哈尔滨丁稃大学硕七学位论文。图3 41 号臂的操纵力矩变化图3 52 号臂的操纵力矩变化*母v鞭r彝簟譬h#姑哈尔滨t 程大学硕十学位论文3 5 本章小结图3 63 号臂的操纵力矩变化本章应用分析力学中的第二类拉格朗日方程建立了普通机械臂的动力学方程。并在第三章运动学中得出在给定运动规律情况下，求得了机械臂的操纵力矩的变化，为动力学控制设计提供依据。*廿v譬r摹gnf槭哈尔滨下稃大学硕十学位论文第4 章水下机械臂的动力学研究4 1 带耗散函数的第二类拉格朗日方程4 1 1 粘性阻力下的机械臂动力学研究质点在介质中运动的时候，常常要受到介质的阻力作用。般和速度及坐标有关，方向和速度方向相反。不加推导的引入瑞雷耗散函数州：f 。专著 彳+ 费+ k 寄)我们得到带有瑞雷耗散函数的拉格朗日方程：要要一要。一要+ q jo 。1 ，2 棚)- ，1 一一m 响sa q ia 矗i ?阻力的大小一( 4 - 1 )( 4 2 )同样，我们不加推导的引入路里叶耗散函数：垂；屯r 正 ( 4 我们得到带有路里叶耗散函数的拉格朗日方程：要要一要。一婺- qo 。1 ，轧棚) ( 4 - 4 ) - t h- | _ 一l ，so i l n -d l 砸ia q | 的l 比较瑞雷耗散函数和路里叶耗散函数我们不难发现，瑞雷耗散函数是广义速度的齐二次函数，力学上属于线性阻尼性质。而路里叶耗散函数是更一般的情况，它考虑的是非线性阻尼。瑞雷耗散函数是路里叶耗散函数的特例。由于机械臂在流体中的运动速度较慢，所以选择瑞雷耗散函数，描述粘性阻尼下物体的运动情况。下面我们具体求解机械臂的瑞雷耗散函数。各i 臂相对于i - 1 关节的速度表示如下：哈尔滨下稗大学硕十学位论文根据刚体绕定轴转动定理，我们不难得出各个臂的平动速度：o 吃* 吐k s i i l qo v , ，一反1 x c o s o l吃一o1 吆一幺c o s 皎1 哆，一砬k s i n 岛k ：1 0- 吃c o s 岛- 晓k s j n 岛k o将各臂平动速度式( 4 - 5 ) 代入式( 4 6 ) 即可得出玩、玩、谚。( 4 6 )暖一哦1 x s 证嘱+ o m c d s o x j o1 攻= 幺t c o s 岛i + 幺ks i n 岛五( 4 _ 7 )嚷一怠k c o s 畈+ 0 33 x s i n 峨叫割。i l 毛1 k + 。k 善；：s c l l 】f 窆霉】+ 反t 誊】一幺2 x 善】+ 反t 誊】叱l4 t + q k + l 绣、 善享虽 医】+ 幺厶 善 + 靠e 】5诋啵+_b一f几畅+暑一一峨一，哈尔滨丁稃大学硕十学位论文一幺3 xc l c 2 3 c 2 3$ 2 3+ c i c 2s f 2是+ 铀再求速度2 ，其中i - 1 , 2 , 3 。2 一日、2矗c 10( 4 - 8 )2 = ( 0 22 x c l c 2 + 呱) 2 + ( 幺2 i s l c 2 + a t t i c , ) 2 + ( 幺：) 22 - ( 幺k + 幺如c l c 2 + 嘛) 2 + ( 以3 髂l c 。+ 0 2 1 2 s l c 2 + 反f l c l ) 2 +( 砖3 船。+ 0 2 1 2 s 2 ) 2 ( 4 - 9 )根据式( 4 - 1 ) 求各机械臂的耗散函数露，其中f - l 2 , 3 ：墨一- 肛w t 一铆如钺一铷2( 4 1 0 )昱= 孚一钳【( 吐c l c ：+ 乱墨) 2 + ( 吐+ 讯c 1 ) 2 + 陬蝴2 地- 等等晓2 + 翟f 2 、c i c 2 反杰+ 2 f 2 畦2 )( 4 1 1 )己一孚- 暂【( 嘛c 2 3 + 0 2 1 2 q c 2 + 嘛) 2 + ( 缸晌+ 咄叩：+谚c 1 ) 2 + ( 毋南s 。+ 幺f 2 是) 2 地t 詈【杰2 等+ 2 砖毋地2 邓 1 c 嚣+ 幺砖乞f 3 2c 2 c 2 3 + $ 2 3 2 3 ) + 幺2 f 2 2 f 3 +4 台1 0 2 1 1 1 2 1 3 墨c l c 2 + 磅2 2 f 3 】由此得到系统的耗散函数p ：( 4 1 2 )哈尔滨i = 程大学硕十学位论文尸一墨+ 罡+ e；詈3 印+ 等( 等莳+ 2 f l f 2 2 c 2 6 i 晓+ f 1 2 i a 2 ) + 争绣2 等+ 碱谚她2 邓，c 。+幺印是2 ( c ：c 。+ 是s 。) + 幺2 f ：2 f 3 + 蛔晓f 是s ，c 。c 2 + 鼋2 2 f 3 】= 争( 扣+ 2 1 2 j 2 + 2 1 2 2 3 ) 印+ 譬+ 1 2 2 , 琏2 + 譬杰2 + ( 2 + 2 秘) 鹕+2 2 旗+ 地2 ( c 2 c 。+ s ，) 幺幺】瑞雷耗散函数p 对对应的广义速率最( i - 1 , 2 , 3 ) 求导数可以得到：( 4 - 1 3 )嚣叫陟纷如) 讪m ( n 2 t 1 2 3 ) 0 2 + 2 5 1 c 1 叫薏叫陆t 卜( 盼妣) 反秽1 ( c 叫c 州，嚣。帮似酶舶似2 ( c ，如) 叫代入式( 4 - 4 ) 拉格朗日方程：q ，_ 丢薏一薏+ 薏。一心力- 气州弓3 + f 1 2 f 2 + 2 f 3 ) 反+ 踽c ：( j 1 f 2 2 + 2 1 1 z 3 ) 0 2 +( 4 1 5 )f 幄+r qa a罂响d 一疵皇到q得 峨翱旦峨铒堡峨尘班-幺哈尔滨下程大学硕十学位论文- _ r 2 +