初中数学九年级下第27章证明.doc

第27章证明2 27.1 证明的再认识2阅读材料5图形中的“裂缝”527.2 用推理方法研究三角形61. 等腰三角形62. 角平分线83. 线段的垂直平分线94. 逆命题、逆定理11 27 .3用推理方法研究四边形141. 平行四边形142. 矩形、菱形163. 正方形174. 等腰梯形185. 中位线206. 反证法21阅读材料22几何原本22小结23复习题24课题学习25中 点 四 边 形25 第27章证明 逻辑推理是研究数学的一个重要的基本方法，几何学的研究充分运用了这一方法 这就是中国古代伟大的科学家徐光启与他翻译的几何原本 27.1 证明的再认识我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法，并在实验、操作中对它们作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的性质例如我们曾经遇到如下问题：如图27.1.1，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AECF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形解由于平行四边形对边平行，可得ADBC，即AECF，又AECF，由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形AFCE是平行四边形其中“由于平行四边形对边平行，所以ADBC”以及“由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从AECF，AECF，即可推出四边形AFCE是平行四边形”都是逻辑推理逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此在第24章中，给出了如下的公理：（1） 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等（2） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（3） 如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等（4） 全等三角形的对应边、对应角分别相等我们还提到，等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据我们可以在这些公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理第24章中已经用逻辑推理的方法证明了有关平行线的一些命题，下面将继续用逻辑推理的方法证明几何图形的有关命题回忆你是怎样知道三角形的内角和是180的呢？当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180，或将任一个三角形的三个内角拼在一起（如图27.1.2），发现三角形的三个内角的和等于180图27.1.2用测量的方法能保证每次画出的三角形的三个内角的和正好等于180吗？用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗？为了确保精确无误，人们发现了以下的证明方法如图27.1.3，任意作一个三角形ABC，延长线段AB到D，并经过点B作BEAC由于BEAC，于是根据“两直线平行，内错角相等”，可知C2，根据“两直线平行，同位角相等”，可知A1，由于A、B、D三点在同一条直线上，因此根据平角的定义，12ABC180，所以AABCC180于是可知，不论三角形的形状如何，它的三个内角的和等于180为了一目了然地把上述证明过程表达出来，我们把证明的每一步的依据写在所得到结论后面，这样上述的证明过程就可以用如下的证明格式表示已知：ABC求证：ABC180证明： 如图27.1.3，延长线段AB到D，过点B画BEAC因为BEAC （画图），所以A1（两直线平行，同位角相等），C2（两直线平行，内错角相等），又因为12ABC180（平角的定义），所以AABCC180（等量代换）我们把“三角形的内角和等于180”作为定理利用这个定理，通过推理，可以得到“n边形的内角和等于（n2）180”这个定理 例求证： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和已知： 如图27.1.4，CBD是ABC的一个外角求证： CBDAC证明： 因为AABCC180（三角形的内角和等于180），所以 AC180ABC（等式的性质）又因为 ABCCBD180（平角的定义），所以 CBD180ABC（等式的性质）因此 CBDAC（等量代换）由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理思 考有了“三角形的内角和等于180”这条定理后，你能证明直角三角形的两个锐角之间所具有的数量关系吗？练 习1. 求证：直角三角形的两个锐角互余2. 求证：四边形的内角和等于360；五边形的内角和等于5403. 已知一个多边形的内角和等于1 080，求这个多边形的边数习题27.11. 利用“n边形的内角和等于（n2）180”这个结论，证明：任意多边形的外角和等于3602. 已知一个多边形的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形的边数3. 求证：有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“A.A.S.”）4. 如图，已知ADAE， BC，求证： ABDACE阅读材料图形中的“裂缝”几何图形的割补问题，有时会使人不知所措下面的图形问题就是出现在萨姆劳埃德（Sam Loyd）的趣题大全（Cyclopedia of Puzzles）中的一个趣题：将图1按所画粗线条剪开，再按图2拼合方格线的面积增加了一个平方单位图1图2为什么面积会增加了？这是视觉上的错觉欺骗了我们实际上，当图1剪成四块拼成图2时，中间有一个平行四边形的缝隙，如图3中的ABCD，它的面积正好为1也就是说A、B、C三点及A、D、C三点都不在一条直线上，图形中出现了“裂缝”，而图2中误以为它们都在同一条直线上这就说明了证明的重要性后来，有人将图4中的三角形区域按所画的粗线条剪开，再按图5重新拼合，结果在三角形的内部出现了一个“黑洞”你能对图4和图5中的现象作出解释吗？27.2 用推理方法研究三角形1. 等腰三角形在第9章中我们已经知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法回 忆你是怎样知道等腰三角形的这个识别方法的呢？如图27.2.1，在ABC中，BC当时是用刻度尺找出边BC的中点D，连结AD，然后沿AD对折，经过观察AB与AC完全重合，于是得到ABAC你想过没有，为什么当ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？为了说明这个问题，我们可以用逻辑推理的证明方法已知： 如图27.2.1，在ABC中，BC求证： ABAC分析 要证明ABAC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到画BAC的平分线AD证明 画BAC的平分线AD在BAD和CAD中，BC（已知），12（画图），ADAD（公共边），所以 BADCAD（A.A.S.） 所以ABAC（全等三角形的对应边相等）于是得到：等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）我们还可以用逻辑推理的方法得到等腰三角形的性质：等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）我们曾经通过画图、比较，发现： 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的现在有了等腰三角形的性质定理，就可以用逻辑推理的方法证明这个结论的正确性已知： 如图27.2.2，在ABC和ABC中，ACBACB90，ABAB，ACAC求证： ABCABC分析把ABC和ABC拼在一起，使相等的直角边AC和AC重合在一起，并使点B和B在AC的两旁，B、C（C）、B在一条直线上由此图，利用等腰三角形的性质与全等三角形识别法，即可证明这两个直角三角形全等证明如图27.2.2那样，把ABC和ABC拼在一起因为ACBACB90（已知），所以BC B180（等式的性质），即点B、C、B在同一条直线上在ABB中，因为ABABAB（已知），所以BB（等边对等角）在ABC和ABC中，因为ACBACB（已知），BB（已证），ABAB（已知），所以ABCABC（A.A.S.）通过上述证明，可以得到：斜边、直角边定理如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为（H.L.）练 习1. 求证：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于602. 求证：三个角都相等的三角形是等边三角形2. 角平分线回忆我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的这条性质是怎样得到的呢？如图27.2.3，OC是AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB垂足分别为点D和点E当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折通过观察，线段PD和PE完全重合于是得到PDPE与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明PDPE已知： 如图27.2.3，OC是AOB平分线，点P是OC上任意一点，PDOA，PEOB，点D、E为垂足求证： PDPE分析图中有两个直角三角形PDO与PEO，容易看出满足（A.A.S.）定理的条件证明因为PDOA，PEOB（已知），所以PDOPEO90（垂直的定义）在PDO和PEO中，因为DOPEOP（已知），PDOPEO（已证），POPO（公共边），所以PDOPEO（A.A.S）因此PDPE（全等三角形的对应边相等）于是就有：定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题已知：如图27.2.4，QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上分析为了证明点Q在AOB的平分线上，可以画射线OQ，利用（H.L.）定理证明QODQOE，从而得到AOQBOQ 于是就有：定理到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上根据上述两条定理，我们很容易证明： 三角形三条角平分线交于一点试一试从图27.2.5中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了请你完成证明练 习1. 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等2. 如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上3. 线段的垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等如图27.2.6，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足点P是直线MN上任意一点，连结PA、PB现在我们用推理的方法来证明PAPB已知： MNAB，垂足为点C，ACBC，点P是直线MN上任意一点求证： PAPB证明因为MNAB（已知），所以PCAPCB90（垂直的定义）在PCA和PCB中，因为ACBC（已知），PCAPCB（已证），PCPC（公共边），所以PCAPCB（S.A.S）因此PAPB（全等三角形的对应边相等）于是就有：定理线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等反过来，到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以用“证明”来解答这个问题已知： 如图27.2.7，QAQB求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上分析为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB于是就有：定理到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上根据上述两条定理，我们很容易证明： 三角形三边的垂直平分线交于一点试一试从图27.2.8中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了试试看，相信你一定行 练 习1. 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等2. 如图，已知AECE，BDAC求证：BADABCDC3.如图，在ABC上，已知点D在BC上，且BDADBC求证：点D在AC的垂直平分线上4. 逆命题、逆定理我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题命题“两直线平行，内错角相等”的题设为_；结论为_它的逆命题为_每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理在第19章中，我们已经学过勾股定理，即勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方我们可以证明，勾股定理的逆命题也是正确的勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形已知： 如图27.2.9，在ABC中，ABc, BCa,CAb,且a2b2c2求证：ABC是直角三角形分析 首先构造一个直角三角形A B C，使得C90， B Ca， C Ab，然后可以证明ABCA B C，从而可知ABC是直角三角形做一做设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角（1）7， 24， 25；（2）12， 35， 37；（3）35， 91， 84练 习1. 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1） 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余（2） 等边三角形的每个角都等于60（3） 全等三角形的对应角相等（4） 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上（5） 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2. 举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1） 如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除（2） 如果两个角都是直角，那么这两个角相等3. 在你所学过的知识中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出2对4. 三角形ABC三边长a、 b、 c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形如果是，那么哪一条边所对的角是直角？（1）a8, b15, c17;（2）a2, b10, c8;（3）a6, b8, c10;（4）a1, b2, c5. 给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？习题27.21. 1. 如图，在ABC中，ABAC，DBDC求证：（1）12；（2）ADBC2. 如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线交于点D，EF经过点D，且EFBC求证：EFBECF3. 如图，E是AOB的平分线上一点，ECAO，EDBO，垂足分别是C、D求证：EDCECD4. 如图，在ABC中，A30，C90，BD是ABC的平分线，交AC于D求证：点D在AB的垂直平分线上 5. 如图，ABD、ACE都是等边三角形求证：CDBE（提示：找出分别以CD、BE为边的两个全等三角形）6. 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题（1） 如果xy，那么x2y2；（2） 如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角 27 .3用推理方法研究四边形1. 平行四边形在第12章中，我们已学过平行四边形的判定方法，我们也可以用逻辑推理的方法来证明这些判定方法平行四边形判定定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知：四边形ABCD中，ABCD，ABCD求证：四边形ABCD是平行四边形分析要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等证明如图27.3.1，连结AC因为ABCD，所以BACDCA（两直线平行，内错角相等）在ABC和CDA中，因为ABCD，BACDCA，ACCA，所以 ABCCDA（S.A.S.）因此BCADAC（全等三角形的对应角相等）， BCDA（内错角相等，两直线平行）所以四边形ABCD是平行四边形利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等已知： 如图27.3.2，四边形ABCD是平行四边形求证： ABCD， BCDA分析要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论证明连结AC因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，因此BACDCA（两直线平行，内错角相等）同理BCADAC在ABC和CDA中，因为BACDCA，ACCA，BCADAC，所以ABCCDA（A.S.A.），因此ABCD， BCDA（全等三角形的对应边相等）由ABCCDA，我们还可以得出BD，同样也可得出BADDCB，于是可得：平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等同样，我们也可证明：平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分例1如图27.3.3，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AECF求证： BFDE证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，ABCD（平行四边形对边相等）因为AECF，所以BEDF又BEDF，因此四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以BFDE练 习1. 求证： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形2. 求证： 平行四边形的对角线互相平分3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点求证：EFBC2. 矩形、菱形我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此它们都具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：定理矩形的四个角都是直角根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，而平行四边形的对边相等，因此可得：定理菱形的四条边都相等我们还可以证明以下一些定理定理矩形的对角线相等已知： 如图27.3.4，四边形ABCD是矩形求证： ACBD分析由于AC、BD分别是ABC、DCB的边，因此要证ACBD，只要证ABCDCB 请你完成证明定理菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角已知： 如图27.3.5，四边形ABCD是菱形求证： ACBD；AC平分DAB，CA平分BCD，BD平分ABC，DB平分CDA分析要证ACBD，AC平分DAB，只要证明DAB是等腰三角形，且AC平分BD证明设对角线AC与BD交于点O因为四边形ABCD是菱形，故ABAD，即ABD为等腰三角形又BODO（平行四边形的对角线互相平分），所以ACBD，AC平分DAB（等腰三角形的三线合一）同理，CA平分BCD，BD平分ABC，DB平分CDA利用矩形的性质，还可以证明下面的定理定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知： 如图27.3.6，在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线求证：CDAB分析要证CDAB，可以延长CD到E，使DECD，此时只要证CEAB本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形要判定一个四边形是不是矩形或菱形，除了利用矩形或菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理有三个角是直角的四边形是矩形定理四条边相等的四边形是菱形 思考根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形或菱形呢？在平行四边形中，保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形？在平行四边形中，保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？练 习1. 试写出“矩形的对角线相等”的证明过程2. 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DEAC，CEBD求证：四边形OCED是矩形3. 如图，已知ABCADC90，点E是AC的中点求证：EBED3. 正方形我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质定理正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形于是可得：定理有一个角是直角的菱形是正方形定理有一组邻边相等的矩形是正方形例2求证： 依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形已知： 如图27.3.7，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证： 四边形EFGH是正方形分析要证四边形EFGH是正方形，可先证四边形EFGH是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可先证四边形EFGH是菱形，然后再证有一个角是直角证明因为四边形ABCD是正方形，所以BC90，ABBCCD因为点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，所以BEBFCFCG，BEFBFECFGCGF45，因此EFG90同理FGHGHE90所以四边形EFGH是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）因为 BECF，BC，BFCG，所以 BEFCFG（S.A.S.），EFFG（全等三角形的对应边相等）因此四边形EFGH是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）练 习1. 如图，在平行四边形ABCD中，1245求证：四边形ABCD是正方形2. 尽可能多地说出识别一个四边形为正方形的方法 （说明理由）4. 等腰梯形在第12章中，我们已学过等腰梯形的一些性质现在也可以用逻辑推理的方法来证明这些性质定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等已知：如图27.3.8，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC求证：ABCDCB，BADCDA分析可以过点D作DEAB，交BC于E请你写出完整的证明过程定理等腰梯形的两条对角线相等已知：如图27.3.9，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC求证：ACBD分析可以通过证明ABCDCB得出结论请你写出完整的证明过程我们同样可以探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形定理同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形已知： 如图27.3.10，在梯形ABCD中，ADBC，BC求证： 四边形ABCD是等腰梯形证明过点D作DEAB，交BC于E，则BDEC（两直线平行，同位角相等）因为BC，所以DECC， DEDC（等角对等边）因为ADBC，DEAB，所以四边形ABED是平行四边形（平行四边形的定义），所以ABDE（平行四边形的对边相等）因此 ABDC，即四边形ABCD是等腰梯形我们还可以得到：定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形练 习1. 用图中所示的添辅助线的方法，证明等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等2. 已知等腰梯形的一个底角为60，它的两底分别是6 cm、16 cm求这个等腰梯形的周长3. 求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形5. 中位线我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线三角形、梯形的中位线具有哪些性质呢？三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半已知： 如图27.3.11所示，在ABC中，ADDB，AEEC求证： DEBC，DEBC分析要证DEBC，DEBC，可延长DE到F，使EFDE，于是本题就转化为证明DFBC，DEBC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形证明延长DE到F，使EFDE，连结CF因为AECE，AEDCEF（对顶角相等），EDEF，所以ADECFE（S.A.S.），ADCF（全等三角形的对应边相等），ADEF（全等三角形的对应角相等），所以ADCF（内错角相等，两直线平行）因为 ADDB，所以 CFDB因此四边形BCFD是平行四边形，于是DFBC，DFBC（平行四边形的对边相等），即DEBC，DEBC梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，ADBC，AEBE，DFCF求证： EFBC，EF（ADBC）分析由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为ABG的中位线于是本题就转化为证明AFGF，ADCG，故只要证明ADFGCF例3求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分已知： 如图27.3.13所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC求证： AE、DF互相平分证明连结DE、EF因为ADDB，BEEC，所以DEAC（三角形中位线定理）同理EFAB所以四边形ADEF是平行四边形（平行四边形的定义）因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）练 习1.求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形2.如图，在ABC中，ABAC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点求证：四边形ADEF是菱形3. 如图所示的梯形梯子，AAEE，ABBCCDDE，A BB CC DD E， AA0.5 m， EE0.8 m求BB、CC、DD的长6. 反证法我们知道，命题“在ABC中，如果ABc， BCa， CAb，且C90，那么a2b2c2”是真命题，试问命题“在ABC中，如果ABc， BCa，CAb，且C90，那么a2b2c2”是真命题吗？想从已知条件C90出发，经过推理，得出结论a2b2c2，是很困难的我们可以用如下的方法证明上述命题是真命题假设a2b2c2，根据勾股定理的逆定理，一定有C90，这与已知条件C90矛盾，因此，假设a2b2c2是错误的，于是可知a2b2c2这就说明：命题“在ABC中，如果ABc， BCa， CAb，且C90，那么a2b2c2”是真命题这种证明方法叫做“反证法”其步骤为： 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确例4求证： 在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60已知： ABC求证： ABC中至少有一个内角小于或等于60证明假设ABC中没有一个内角小于或等于60，即A60， B60， C60于是ABC606060180，与三角形的内角和等于180矛盾所以ABC中至少有一个内角小于或等于60 练 习1.求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等2. 在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想习题27.31. 求证： 平行线之间的距离处处相等2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形EFGH的顶点E、 F、 G、 H分别在边AB、 BC、 CD、 DA上，且AECG, BFDH求证： 四边形EFGH是平行四边形3. 如图，矩形ABCD的对角线AC、 BD交于点O， E、 F、G、 H分别为OA、OC、OB、OD的中点求证： 四边形EGFH是矩形4. 如图，在ABC中，C2B， D是BC上的一点，且ADAB，点E是BD的中点求证：（1）AECC；（2）BD2AC5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边BC、 DA分别相交于E、 F求证： 四边形AECF是菱形6. 求证： 等腰梯形上底的中点到下底两个端点的距离相等7. 试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角阅读材料几何原本我们的前人将只研究图形形状和大小的学科称为几何学几何学始于巴比伦人和埃及人相传古埃及尼罗河每年泛滥，河水冲毁耕地，每次泛滥后都需要重新丈量土地，从而推动了几何学的产生与发展在希腊文和拉丁文中，“几何学（Geometry）”一词的原意就是“测量土地”公元前六百年左右，古希腊开始形成了较为系统的几何学，当时人们作了大量的几何猜想，并用逻辑推理的方法证实了许多发现在其后的三百年中，用逻辑推理证实数学猜想的方法发展得越来越完善公元前三百年左右，古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前300前275）总结了前人的经验，将前人的成果和自己的发现写成一本叫做“Elements”的书这是一部经典的数学名著从印刷技术发明到19世纪末，用各种文字发行的“Elements”已达一千版以上这是一部划时代的名著，是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范在这部数学名著中，欧几里得从几条当时人们认为的不言而喻的事实（公理）出发，运用逻辑推理的方法，使一个接一个的几何发现（定理）得到证明，如同滚雪球一般，使得在这个体系中精确无误的几何事实越积越多，从而推演出了内容丰富多彩的几何学在明朝万历年间（1607