（概率论与数理统计专业论文）基于laplace算法加速寿命试验的bayes分析.pdf

! 塞塑兰： 摘要 步迸应力加速寿命试验和序进应力加速寿命试验是有效和经济的寿命试验力法，随 着理论的日趋成熟，在实践中开始得到应用和推广。很多学者就这两种试验的理论和方 法进行了许多探讨。本文基于w e i b u l l 分布步加试验和序加试验下获得的失效数据对分 布函数中的形状参数和刻度参数进行了估计。从而得到了工作应力下产品的平均寿命。 在序加试验下对于逆幂律模型，给出了参数的b a y e a 统计分析并利用l a p l a c e 方法 解决了分布的形状参数取为连续先验时各参数的b a y e s 估计和参数后验边际密度。在步加 试验下对于邗r 模型，给出了参数满足逆幂律和不满足逆幂律两种情况时的b a y e s 统计 分析，并利用l a p l a c e 方法得到了参数的b a y e s 估计。实例表明通过l a p l a c e 方法得到的估计 与利用g i b b s 抽样方法得到的参数的b a y e s 估计很接近。 关键词：w e i b u l l 分布；c e 模型：t f r 模型；步加试验；序加试验ib a y e s 估计：l a p l a c e 算 法 第1 页，共3 3 页 a b s t r a c t t h es t e p - a c c e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t i n g ( s s a l t ) a n dp r o g r e s s i v es t r e s sa c c e l e r a t e dl i f e t e s t i n g ( p s a l t la r et w ok i n d so f e f f e c t i v em e t h o d sw h i c ha r ew i d e l yu s e d i nl i f et e s t i n gb e c a u s e o ft h ed e v e l o p m e n to ft h e i rt h e o r i e s m a n ys c h o l a r sh a v ec o n t r i b u t e dt os t u d yt h e i rt h e o r i e sa n d m e t h o d s i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n tb a y e s i a ne s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e r si ns s a l tu n d e rt h ew e i b u l l d i s t r i b u t i o n i np s a l t , w eo b t a i nt h eb a y e s i a ne s t i m a t i o no fe a c hp a r a m e t e ra n dm a r g i n a lp o s t e r i o rd e n s i t yw h e nt h ep r i o rd e n s i t yo fs h a p ep a r a m e t e ri sc o n t i n u o u su s i n gl a p l a c em e t h o d u n d e rc em o d e l i ns s a l t , w eo b t a i nt h eb a y e s i a ne s t i m a t i o no fe a c hp a r a m e t e ru s i n gt h es a n l e m e t h o d e x a m p l e ss h o wt h a tt h er e s u l t so b t a i n e du s i n gl a p l a c em e t h o da r cv e r yc l o s et ot h a t o b t a i n e du s i n gg i b b ss a m p l i n gm e t h o d k e yw o r d s ： w e i b u l ld i s t r i b u t i o n ；c em o d e l ；t f rm o d e l ；s s a l t ；p s a l t ；b a y e s i a ne s t i m a - t i o n ；l a p l a c em e t h o d 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件。竞询：论文被查阅和借闼： 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，u j 以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 幽煎 ! 丝i 醚 导师签名： 日期： 第一牵引言 第一章引言 许多产品，特别是高可靠产品，在使用应力下很难获得失效数据，有时即使可能，但要花 费大量韵人力、物力和时间现在平均寿命达到1 0 6 d , 时至1 0 9 小时( 约1 1 5 年至1 1 万年) 的 元件已是司空见惯解决这一问题可采用加速寿命试验( i 己为a l t ) 。在高应力下的寿命试 验可使产品在更短的时问内失效，因而可获得更多的失效数据，更多的关于寿命分布的信 息。逋过赢应力向低应力( 捷用应力) 数据的转换后并分析高应力下统计分析的结论向使用 应力下外推，获得正常工作条件下的寿命分布、可靠度或其它的特征量。根据应力与时问 的关系拥速寿命试验又可分为恒定应力加速寿命试验( 简称恒加试验，并记为c c a l t ) 、步 进麻力加速寿命试验( 简称步加试验，并记为s s a l t ) 、序进应力加速寿命试验( 简称序加试 验并记为p s a l t ) 。 步加试验是将一定数量的产品在一组逐步升高的应力水平下进行寿命试验，每步应 力下都有一定数量产品失效，直到最高应力下失效产品达到预定数量为止。步加试验设 备简单，易于实旋，又能在较短时间内获得失效数据，因此在实际种有着广泛的应用。 序加试验是一种在随着时间线性上升的应力下进行的加速产品失效的寿命试验方 法，试验一直进行到受试产品有部分或者全部失效为止。与恒定应力加速寿命试验及步 进应力加速寿命试验相比，序加试验可使产品在更短时间内失效，因两是目前分析高可 靠产品的一种有效面经济的寿命试验方法。 文【l l 所绘出的多组序加试验的统计方法具有一般性，文f 3 1 将此方法运用到了固体钽 电解电容器上，但是大量的实际数据表明，约有三分之一的数据无法用这种方法进行参 数估计。文【7 】首次指出了在w e i b u l l 分布序加试验分析时弓 入中间参数存在着一种约束。 并提出用b a y c s 方法解决这一问题。文【7 】采用先估计序加试验中形状参数，再在b a y e s 分 析中视之为固定从而简化后验分布的计算其缺点在于在= 步分析中使用了同一批试 验数据。但是却成功给出了中间参致的b a y e s 估计的显式表远。文【8 ，1 1 进一步讨论了这 。方法的应用与算法上的改进。文 1 2 】就取p 为离散先验时。借助g i b b s 抽样方法给出了 序加试验参数的b a y e s 估计，有效地避开了大量丽复杂地数学计算。类似地，文1 1 3 】用分 层b a y e s 方法结合g 弛b s 抽样技术解决了对数正态分布序加试验地统计分析。文 2 3 1 利用自 透应判尉抽样法成功的解决了序加试验形状参数廖取为连续先验对韵抽样问题。 对加速寿命试验的统计分析涉及到应力的提高对残存寿命的影响，郎加速损伤枧 理，目前主要固绕着累积损伤暴露模型( 简称为c e 模型) 展开，它通过累积概率来剡化应 力的变化对产晶失效机理的影响，其理论及应用较为成熟而广泛。另外，还可以通过 失效率来刻化应力的变化对产品失效枫理的影响，具体表现为高应力下的失效率为低 应力下失效率乘上个与应力有关的系数( 称为损伤因子) 。这种加速损伤机理成为损伤 第l 页，共3 3 页 失效率模型( 简稍；t f r 模型) 。文【2 i l 和 2 2 1 在没有加述方程假设下讨论了全样本场合参数 l ￥j b a y e s 估计。 本文基于w e i b u l l 分布情形，在步加试验和序加试验下获得失效数据，对参数进行 了估计。本文在第二章采用l a p l a c e 方法讨论了c e 揆型下w e i b u u 分布序加试验的b a y e s f f f 析求出在形状参数的先验密度为连续先验耐各参数的估计及后验边际密度。实例表 明其结果与文【2 3 】用g i b b s 抽样得到的结果非常接近。在第三章讨论t t f r 与逆幂律模 型下w e i b u l i 分布步加试验的b a y e s 分析，同样利用l a p l a c e 方法得到了各参数的估计及后验 边际密度。在第四章剥用l a p l a c e 方法给出t f r 模型下w e i b u l l 分布步加试验的8 a y e s s ) 析， 得到了保序估计，解决了参数不满足顺序约束时的处理方法。 第2 页，共3 3 页 篁三兰曼生堡兰! 鲨虫! ! ! 坌翌芝垫垡鉴塑! ：翌! ! 竺簦鎏 第二章c e 模型下w _ e i b u l l 分布序加试验 的l a p l a c e 算法 2 1 基本假定和数学模型 假设l ：在常应力v ( o ) t 产品的寿命t 服从v t l e i b u l l 分布其分布函数为： r ( f ) _ z 一唧0 嘉) ”) ， 晓。，( z i ) 其中，m 0 和w 0 分别称w e i b u l l 分布的形状参数和刻度参数 假设2 ：寿命与应力之问的关系服从逆幂律，印特征寿命 w = 丽1 ，( 2 - 2 ) 其中，d 和c 为非负未知参数它们与应力无关。 假设3 ：产品的累积寿命仅依赖于这时累积失效的部分及这时的应力，而与累积的 方式无关 若t 为序进应力y ( ) = k t + v o ( 其中七 o n 0 ) 产品的寿命，则t 的寿命分布 为1 1 - 1 3 ： 砌) = 1 - e x p 一d ( k t + v o ) t m - 塑) ”) ， ( 2 ，) 特别地，若= 0 ，则t 服从w e i b u l l 分布 鼬) = 1 - e x p 一( 专) 呼( i n t 。- # ) ，t 。， 其中g ( ) 为标准极值分布函数，且 隧赫毒 陆， 汪爹 巧 现在给定鲫| q 一组水平：k l 如 k p ( p 2 ) ，则由等式 胁一心= b ( 1 n 一i n 岛) ，1 s i j p 第3 页，共3 3 页 2 20 b a y e s 参数。和的估计 知1 令哦= ，i = l ，2 ，k j = 等，i ，j = l ，2 ，“则仇满足约束 o p 如一1 + o l 0 2 k 2 ，1 o 其中 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 0 = ( 巩，一，0 p ) h p = ( 0 1 ，如) l0 p 咋一l 巩 0 2 k 2 1 - - 郇b 1 ) 2 2 参数吼和口的b a y e s 估计 设在序进应力k ( t ) = 七。卜产品的失效时问为 0 i l t i 2 - - t i ， t o ，r t m 啦为投试样品总数。在定时截尾试验场合，t o 为预先给定的试验中止时间，n 为时间7 - 0 之 前产品的失效数；在定数截尾试验场合，n 为预先给定的中止试验的样本数记 ) = i ，= n t 玎， f 妻t ：+ ( n i - - r i ) 墙 j i l i 呓+ 沁一r 峨 lj = 1 ( 定时截尾场合) ( 定数截尾场合) t = ( n ；，n ，幻，j = 1 ，2 ，一，f i ，i = 1 ，2 ，一，p ) 则口= ( 口i ，o p ，卢) 的似然函数 郴= 翼p 矛r - 婴r | 麟p _ 警) 第4 页，共3 3 页 ( 2 9 ) b h n 鼢 一 弘 v 鱼h 冬k l 斗 k 曼 一 “ b n( ， 肛 一 卜 “ n q k 0 p 静 静 o 0 2 3 参数0 i 和口的后验密度 令口= ( 口。，p ) = ( 矾，0 2 ) ，其中0 。= ( 0 2 ，卢) ，a = ( 反，如) 是使得”e c 达到 最大的值，是( cq - l n ”) n 的负逆h 鹳s i a n 矩阵并在百处取值这里的7 r 和c 与2 2 节定义 的相同。 给定0 ，后，令 ( ) = ”( p l ) e ( 巩i ) 8 2 = 0 2 ( 目1 ) 使得，t ( - ) 取得最火值p = p ( 口1 ) 是l = ( 1 n h ( ) ) 加的受逆h e s s i a n 矩阵，它 是p + p 维矩阵，即： = 铲l铲l 1 0 。0 。2 2 。0 。0 。2 。0 。0 3 0 2 l o o a 0 0 2 矿五 8 8 鼬2 a 2 l a 2 口3 萨l 0 # 0 0 3 癸1 i ：1 t l a p l a c e 算法可得口1 的后验密度函数的估计： 氟m ，= ( 篆裂) 萨l 0 0 2 a p a 2 l 0 0 3 0 # a 2 二 0 # 2 1 ，27 r ( 日l ，如+ ) e c 帆，如) 同理可褥参数如，以及p 的后验密度估计 第7 页。共3 3 页 2 4 实例 2 4 实例 现有4 批电容器序加试验数据，其定时试验计划与失效时问为( 单位为小时) ： n 1 = 3 0 ，r l = 2 0 ，k t = 2 5 6 9 4 ，t 1 0 = 5 8 7 6 8 6 ( 矿( 丁l o ) = 1 5 1 伏特) 3 6 9 8 33 7 3 0 03 7 5 3 33 8 9 6 73 9 1 8 33 9 3 5 03 9 6 8 34 3 6 3 34 4 6 6 74 9 0 1 7 5 0 1 8 35 0 2 0 05 0 2 1 75 0 2 5 05 0 2 8 35 0 6 5 05 3 4 6 75 4 1 1 75 7 6 6 75 8 5 0 0 n 2 = 3 0 ，r 2 = 2 2 ，乜= 37 5 0 0 ，呦= 4 0 2 6 6 7 ( v ( r 2 0 ) = 1 5 1 伏特) 2 5 5 0 02 6 4 5 02 6 9 1 72 9 6 3 32 9 9 6 73 2 2 1 73 3 2 6 73 3 4 6 73 8 8 1 73 9 8 5 0 3 9 8 8 33 9 9 0 03 9 ，9 1 73 9 9 5 03 9 9 6 74 0 1 6 74 0 3 1 74 0 3 3 34 0 3 5 04 0 3 6 7 4 0 3 8 34 0 4 0 0 n 3 3 0 ，f 3 2 1 ，如= 5 3 3 3 3 ，伽= 2 8 3 1 2 7 ( v ( r 3 0 ) = 1 5 1 伏特) 1 8 5 6 71 9 ，6 1 71 9 6 6 72 0 2 1 72 1 0 6 72 1 4 8 32 1 5 3 32 2 8 6 72 3 9 3 32 3 9 5 0 2 5 8 5 02 7 8 0 02 7 8 1 72 7 9 0 02 7 9 1 72 7 9 3 32 7 9 5 02 8 2 5 02 8 ，2 6 72 8 2 8 3 2 8 3 0 0 n 4 = 3 0 ，f 4 = 1 9 ，k 4 = 1 3 3 3 3 3 ，孔o = i i 3 2 5 0 ( v ( r 4 0 ) = 1 5 1 伏特) 7 ，8 37 8 8 38 6 0 08 9 1 79 0 0 092 3 39 6 5 09 6 6 796 8 397 1 7 9 7 5 01 0 3 3 31 0 4 0 01 1 0 3 31 1 0 6 71 1 1 0 01 1 1 3 31 1 1 6 71 1 2 0 0 由于根据以往的数据分析p 均大于l ，赦取p 的先验分布为r ( 1 2 ，2 ) ，而鳄0 = l ，2 ，3 ，4 ) 的 先验分布分别取为i g ( a ；，缸) ，其中 a l = 1 0 ，a 2 = 8 ，0 3 = 5 ，0 4 = 3 ， b i = 9 1 0 1 0 ，6 2 = 5 1 0 1 0 ，6 3 = 8 1 0 9 ，b 4 = 4x1 0 6 迭代初始值取为p = 4 6 0 1 = 8 0 , 0 2 = 3 0 , o a = 1 0 , 0 4 = 5 通过l 曩p l a c e 方法得到 的参数估计值为： 卢= 6 0 1 4 1 ，日l = 5 4 5 6 4 0 ，0 2 = 4 1 3 5 8 4 ，口3 = 3 0 0 3 4 0 ，0 4 = 1 1 4 2 9 4 ， 代入公式( 2 1 9 ) 得m ，c 和口的估计分别为 而= o - 2 2 3 4 ，芒= 2 5 8 9 8 2 ，a = 1 3 0 2 4 0 4 冉代入公式( 2 2 0 ) 中得到加速方程的估计 l n 琉= 1 3 0 2 4 0 4 2 5 8 9 8 2 i n 矿 在常应力”= 3 2 ( 伏) 下，t = 5 0 0 ( 4 、时) 的可靠度的估计觅2 ( 5 0 0 ) = 0 9 9 9 5 。 圈2 1 到图2 5 分别给出了参数0 l ，如，如，以，口的先验和后验密度图像。圈中左边的纵坐标 表示后骏密度值，右边的级坐标表示先验密度值。 第8 页，共3 3 页 釜三薹兰兰堡垒至墼! 坠坚筮要壁垄姿鉴竺! 罂! ! ! ! 兰垄 图2 - 1 口l 的先验和后验密度 圈2 - 2 如的先验和后验密度 第9 荑，共3 3 页 24 实例 i 五生盘羔：= 二j ? 1 盎，! 品； 围2 - 3 如的先验和后验鬻度 ：尸r 一- 硒 差寻八 # 。 斗+ 、毒i 图2 4 如的先验和后验密度 j 1n 寸项_ _ ：5 。 、j 。， 、n ； 图2 - s 卢的先验和后验密度 第l o 页，共3 3 页 星 堑兰差! ! 墨童垩量堡堡垒互竺尘业坌：笪生堑堡垒堑竺21 竺! 墨垄 第三章t f r 与逆幂律模型下w e i b u l l 分布 步加试验的l a p l a c e 算法 3 1 基本假设与寿命分布 我们首先需要下i i 玎的二个基本假定 假设i ：产品在常应力水平s 1 下的寿命服从w e i b u l l 分布w e i ( o ，声) ，其生存函数为 f 物= e 印) 8 ) ( 3 t ) 其中0 和口为分布的刻度参数和形状参数。 假设2 ：应力水平的提高对产品的损伤遵从t f r 模型，即高应力水平下的失效率是 低应力水平下失效率乘上一个未知因子此时二步步加试验下的失效率 f r ( ) 可表示 为 蝴，= 现羞g l ， b ：， 其中a ( z ) 为应力水平a 下的失效率，t l 为时问交点：在时间t i 之后产品在新的应力水 平岛下做试验。o l 称为岛稠对于s ，的累积损伤因子，它与应力水平s 2 与sz 有关，且仅通过 应力与时问变点发生联系。 此假设可进一步推广到多个步进应力水平及一般变应力加速寿命试验。 命题l ：产品在恒定应力水平s 下的失效率b ( ) 是低应力水平下的失效率a ( ) 乘 上一个与s 和s i 有关鹩损伤因子o ( ss 1 ) 。邸 a s ( t ) ；口( s ，s 1 ) ( t ) 有时也称这一假设为比例失效模型 命题2 ：在k ( 2 ) 个步进应力水平 s ( t ) = 岛，勺一l f j ，= 】，2 ，七，如= 0 ，如= 。 ( s l 8 2 ) 下步加试验的失效率为 a ；1 f r ( ) = b l 0 ) ，t j 一1 曼t t j ，j = i ，2 ，七， 第1l 页，共3 3 页 ( 3 3 ) ( 3 - 4 ) ( 3 t 5 ) 3 1 墓本假设与寿命分布 共中q 一1 = q l ( s j ，s i ) o = l ，2 ，一一，七) ( o o = 1 ) 表示应力水平 1 1 对于应力水平s i 累 积损伤因予，它与应力水平s 与s i 有关( 丽与，岛一，无关) 2 。 产品在高应力水平函数s ( t ) l - - 蚯j 失效率b ( ) 是低成力水平s 。下的失效率a ( o 乘上一 个- 与s ( t v m s t 有关的甬数o ( s ( ) ，s 1 ) 。即 砖( ) = o ( 幻a ( ) 其中n ( ) = a ( s ( o ，s 1 ) 称为变应力s ( ) 相对于应力水平s 的累积损伤函数，简称_ ；i j s ( o t 的累积损伤幽数，它仅通过应力s ( ) 和& 与时问发生联系 出生存函数与失效率之问的关系可褥产品在一般应力水平s ( t ) 卜- 的生存函数 ，、 f + ( t ) = e x p 一a ( 7 ) a ( r ) d t ( 3 7 】 lj 0j 在恒定应力s t ，a ( t ) 一n ( s ，s 1 ) ；在步进应力( 3 - 4 ) t ，o ( ) = 一l = o ( 毋，s 1 ) ，巧一lst t j ， j = 1 ，2 ， ；对于变应力s ( o ，o ( ) = o ( s ( t ) ，s 1 ) 。 f 面我们针对 e i b u l l 产品步加试验讨论参数的b a y e s 估计，我们先给出关于多步步 加试验寿命分布的二个结采 定理l ：在假设l 和假设2 下，k 个步进应力水平( 3 - 4 ) 下步加试验的生存函数为 f ( ) = 相应的密度函数可表示为 其中 ( f ) 差啦悖，一 ，( t ) = 片( ) 碌$ - h t j ) ( t ) 品扩1 吗一t “。 一薹皿 c 字卜c 軎，1 旧tp e 字，4 ”b ， 文1 2 i i 对于参数哟，j = 1 ，2 ，一l 满足顺序约柬的步加试验讨论了参数q ，j = 1 ，2 ，一1 ，口和p 的极大似然估计和b a y e s 估计若进一步假定寿命与应力之问还满足 一定的函数关系，如对数线性关系 l n 0 ( s ) = 6 0 + b o ( s ) 2 m a d i ( 1 9 9 3 ) 给出了另一种形式，尽管与这坐的等价，但加速损伤与应力之问的戈乐1 i 够突出 第1 2 页，共3 3 页 ( 3 一t 0 ) 8 0、卜j 墙 1一 丝。姚 一 f f 口 j 文矿0 ，二一 咛 矗 一 三、 ，t p 钉一目 第三章i f r 与逆幂律娩型7 c w c i b u 分布步加试验的l a p l a c c 尊法 = 竺= 竺! ! 竺! ! ! = ! = = = = = 竺= ：= = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = = 竺! ! = = ! = = ! ! ! 竺! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 其t t 圣f s ) 为应力水平s f f j 已知j 函数，通常为单泻函数，如以屯压为应力纳逆幂律揆 挝( 1 n v e r s ep o w e rl a w ) 乖l 以温度为应力的鲥伦尼斯( a r r h c n i u s ) 模型。这时要估计的参数 只有p 。和6 ，两h 可以锶到 定理2 ：在假设1 ，假设2 和对数线性加速方程下，有 ( 1 ) 在k 个步进应力水平s ( t ) = 马，t j l t ) ，j = l ，2 ，七，t o = 0 ，t = 。下，累积 损伤因予n 。j = l ，2 ，女一l 满足线性关系 a ，= e x p b 3 i 巾( s i ) 一圣 s ；+ 1 ) j ) ，j = i ，2 ，- ，k 1 ， ( 3 - i l ) ( 2 ) k 步步进应力s ( ) = 只，0 l t j , j = l ，2 ，t ，t o = 0 ，k = 下的生存函数 为 3 2 逆幂律模型下参数的b a y e s 估计 对于以电压为应力的电子元器件等高可靠产品，寿命与应力之问的关系通常满 足逆幂律。这节我们将利用l - - 一节的结果讨论逆幂德模型下w e i b u l l - 布步加试验 的b a y e s 估计。为此再提出下面的假设 假设3 ：寿命与应力之问的关系服从逆幂锤模型，即索应力水平v 下寿命分布的刻度 参数8 ( 矿) 满足 1 口2 赤( 3 - 1 3 ) 其中d 和e 是未知参数，与应力水平v 无关 显然它具有线性关系i no ( v ) = + b e ( v ) ，其中6 0 = 一r e ( d ) ，b = 一c ，圣( v ) = i n v 考 虑k 个步进应力水平 v ( t ) = k ，1st f i ，i = 1 ，2 ，k ，t , o = 0 ，一。， 下的步加试验。设有n = 7 t 。个产品从。= o 开始试验，琢在时间区问h 一如) 内的失效 j = l 时闻为：鲍l 曼班2 - s 珑。，o = l ，2 ，一一，。记f = ( 现l ，协2 ，一，协。，) ，j = l ，2 ，一，q ， 矗= ( o t h 一，o ! k - 1 ) 。则由定理l 易得试验的似然甬数为 0 、l、f， 口，卜 “ s曲 吣 一e一 够 一 母冲0 也 r 一 = 一e 0 i _ r，o，l o ， a ( 妒) 2 高妒 2 - e x p ( 也妒) ，”o ， 7 r 。而南俨。( 1 一鲈 由此得到6 ，曲和8 的联合先验分布 7 r 筘，妒，p ) o ( 6 “一1e x p ( 一b l j ) 砂。2 1e x p ( 一b 2 妒) p a 3l ( 1 一卢) b 一1( 3 - 1 9 ) 其对数函数为 l n7 ro ( ( a i 一1 ) i n 6 6 1 6 + ( a 2 1 ) l n 妒一b 2 妒+ ( a 3 1 ) ) 1 n 1 3 + ( 如一1 ) i n ( 1 一p ) ( 3 - 2 0 ) 由此及( 3 - 1 7 ) 得参数6 ，砂和p 的后验分布。不难发现参数6 ，妒，p 的b a y e s 估计的显式无 法获得，为此t a n g ( 2 0 0 4 ) 利1 j g b l s 抽样方法( g e l f a n d 等，1 9 9 2 ) 给出了参数的一种b a y e s 估 计，但其实施过程相当复杂而费时。我们利用l a p i a c e 方法给出另一种b a y e s 估计 令l c4 - 1 nr r l ：i n g + l n 7 r + e 扎扎 其中g 为参数空问上的光滑函数 鼻1 i n t j - 1 ) ，j = 1 ，2 ，七一l ，n k ( p ) = 0 ( 口) = ( 瑶f i 弘一墨。i 鸣一- ) ，j = l “2 一，k s = l l ，2 、- 一，七一1 ，u l k ( 口) = 0 ( p ) = ( 蛆i n 2 札一鼻1 1 n 2 t j _ t ) ，j = l 2 一，k j = 1 由此可以计算出： 筹= 一娄帆吲俐+ 虻掣 第j 5 页，共3 3 页 p咖 占 一 )xex 咖 嵋，l 。斛 n r d 砷p哂 十序 “ n 哆 。芦 6 0 n 口， 0 啦 。 = 口p y b 产 疗卜 一 1 n 。咏 l l 卢 u = ：= = = = = = = = = = = = ：= = = = = = = = = = = 一! ： ：= ：! 耋i 茎鍪墼篁矍翼堡 筹2 扣峥唾咖啪试郧一丁a 2 - 1 一也沁 茹2 椰一啻饥，+ 了a a - 1 一蓦) 加 一0 2 l ：! 二墨二1 0 5 2n 6 2 骊0 2 l = 一：圭哆( i r t 坝叫卢) 一码( 剐 翥2 憔圳仍i 加 0 坠砂2 卜妾咖椭h 郏h 删一爷 加 器一；妻哪n 坝删吲鲫：畿 淼。卜骞咖州别) 加 等= b 一奢地l 一丁a 3 - - 1 一替) n 口z t ， 同样的方法可以求出厶对6 ，妒，卢的偏导。 设蚕= ( 文巧，励和萨= ( 乒，莎，萨) 使分别为符己和c 达到最大的参数值，乖 1 分别 为关于l 和l + 的负逆h e s s i a n 矩阵在舀和驴处的值，则 如) = ( 哥) ；唧( 吩娴) 3 3 参数的后验密度 令p = ( 6 ，t ! j ，口) = ( 6 ，如) ，其中如= ( 妒，卢) 百= ( 5 ，如) 是使得 e 达到最大的 值是( + l n z ) 加的负逆h 巧s j 丑n 矩阵并在再处取值。这里的和与3 2 节定义的相 同。 给定d 后，令 m ) = ( 6 ，) e 。( 6 ，。) 如= 口：+ ( j ) 使得h ( ) 取得最大值。= ( 6 ) 是l = ( i n h ( ) ) 加的负逆h e s s i 蛆矩阵，它 第1 6 页，共3 3 页 是2 t2 维矩阵，即： ra 2 l a 心2 p l 一一l 0 2 l l a 曲a 盘 可以得到关于d 的后验密度函数为： 圳，= ( 蒹箍) 同理可得参数妒，p 的后验密度估计。 3 4 模拟例子 铲l 。 a 曲a 口 伊l a 日2 ( 6 磊) e c ( 城) 7 r ( 8 ) e 螂 设k = 5 ，n = 5 0 ，n l = l o , b l = l o , a 2 = 1 2 , b 2 = 1 2 ，a 3 = 1 5 ，b 3 = 1 5 , t l = 4 ，t 2 = 8 ， t 3 = t 0 , f 4 = 1 2 ，口l = 1 0 ，0 2 = 1 4 ，0 3 = 1 8 ，0 4 = 2 0 ，0 = 1 0 0 ，口= 0 5 下进行一次随机模 拟，模拟数据如下： l o ，1 ) ，n l = 8 ： 0 2 3 2 8 ，0 3 2 6 3 ，o 3 4 5 0 ，0 3 9 9 9 ，1 0 2 3 0 ，1 0 4 0 4 ，2 ，7 0 8 7 ，3 5 2 7 2 f t l ，t 2 ) ，n 2 = 2 2 ： 4 0 0 9 4 ，4 0 3 5 1 ，4 0 5 0 6 ，4 3 5 9 1 ，4 5 1 8 0 ，4 8 5 2 9 ，4 9 0 0 1 ，4 9 2 8 6 ，5 1 9 2 1 ，5 4 2 9 4 ，5 5 1 5 9 ， 5 5 5 1 1 ，5 6 1 0 6 ，5 7 8 8 5 ，5 7 9 0 1 ，6 1 1 5 0 ，6 2 6 5 6 ，6 2 7 0 7 ，6 3 0 4 6 ，7 4 1 1 6 ，7 4 5 7 0 ，7 5 6 8 8 f t 2 ，t 3 ) ，n 3 = 3 ： 9 1 4 9 9 ，9 2 8 9 6 ，9 6 7 5 7 f f 3 ，“) ，铂= 6 ： 1 0 0 7 0 8 , 1 0 0 9 4 0 ，1 0 4 1 8 5 ，1 0 6 5 4 6 ，1 0 8 1 5 7 ，1 1 4 0 6 4 f t 4 ，。) ，n 5 = 1 1 ： 1 2 7 0 9 0 ，1 2 7 3 0 7 ，1 3 0 8 6 7 ，1 3 1 5 4 5 ，1 3 6 1 3 5 ，1 3 8 6 8 8 ，1 5 5 1 8 3 ，1 5 9 5 5 3 ，2 0 3 5 1 3 ，2 2 3 1 6 4 ， 2 4 2 2 9 5 假设逆幂律关系0 = 1 ( 胡。) 中的d = l ，c = 2 ，从而6 = d 4 = 1 0 ，妒= c s 7 = 1 0 t 且 应力水平k + i = n = ；1 0 。目j k = b 1 ，坞= 1 0 ，= 1 ，4 ，k = 1 8 ，1 名：- 2 0 。利用l a p l a c e 方 法，得到如下的结果： 5 = 0 9 3 4 5 ，币= 1 0 4 7 5 ，卢= 0 5 4 3 8 图3 一l 到圈3 - 3 分别给出了参数6 ，妒，卢的先验和后验密度图像，图q i 左边的纵坐标表示后 骏密度债，右边的纵坐标表示先验密度值。 第1 7 页，共3 3 页 3 4 模拟例了 图3 _ l6 的先验和后验密度 图3 - 2 妒的先验和后验密度 蔓 爱 图3 - 3 口的先验和后验密度 第1 8 页，共3 3 页 一 一 。 # 兰 夏 透 、 一 一弋 _，一 - $ 叫 o 堑翌塞! 兰竖芝垄堕壁堡篓鲨塑蔓! 坌笪塑望皇! 三堑垄 第四章t f r 步加试验模型下w e i b u l l 分布 的l a p l a c e 算法 4 1 基本假设与寿命分布 根据第三章的假设l 和假设2 ，我们已经得到在k ( 2 ) 个步进应力水平 s ( t ) = s j ，幻一l t b ，j = i ，2 ，一，七，t o = 0 ，“= o 。 ( 4 一i ) ( s l s 2 & ) 下步加试验的生存函数为 f ( ) = ( 4 2 ) 相应的密度函数可表示为 ，。( ) = ；( 0 4 t j _ i , t j ) ( f ) ， 其中 黜，= 品t f l - l 。j _ le x p 一差啦 c 等卜c 吾，1 一q 一- 睁4 一c 字，4 ”c 。锄 第三章讨论了逆幂律加速方程下步加试验的b a y e s 分析，然而有时由于产品失效 机理的复杂性我们可能无法得到加速方程的具体形式。这时累积损伤因子q 。f = l ，2 ，b 1 ) 无法被加速方程中较少的参数替代 4 2 参数i 的b a y e s 估计 设有n 个产黼从坛= o 时刻开始做k 步步加试验，在时问区f q l t j 一1 ，) 内的失效时 问为轧l 乳2 - 一虬。，j = 1 ，2 ，一，k 记亍= ( 驰1 ，驺2 ，一， 。，) ，j = 1 ，2 ，- 一，e ) ， 舀= ( 0 h 一，n b i ) 则试验的似然函数为 、墙 j 叫j 一 纽。u 一 = 护 r _ = l 咛 一 一 o j 0 ， 堕o n 坤一 页1 j1 j 址一 页 9 第 蜥 疗 。州 | | 筇 房 口_ 口厶 42参数的bayesa汁 = ( 抄“【娶婴( 警严1 】x 婴吐1 】 p 一叭【( 啦) 睁4 一( 字) 8 】 + 砉 ( 爹) 4 一( 字垌卜岷姜 ( 等) 4 一c 丁 i k - i 朋 ，c 。q 那z , x , l 数似然函数c 为： c = n ( 1 i l p - 1 n 口) + ( 口一1 ) l n 警+ 唧l i l ( 牛。) 一戆啦舢锄 + ii 。百y j s ) k ( 字瑚 飞一t 【( 等) 4 一( 字) 。 按b e r g e r 和s u n ( 1 9 9 9 ) 及成平0 9 9 0 ) 提出的准则我们l 捉o h 一，a 一i 的先验分布为满 足“一1 ) 式的无信息先验分布，即 7 r ( d ) o ( ；忑二，l n i 0 2 l ，b 2 = o 。或b l = 0 ，6 2 j 4 2 参数的b a y e s 估计 豢= 幢，蚶 i 卢( 芦+ 1 ) t ；p ( p 阜1 ) g 一，1 口口+ 20 0 + 2 1 矿工 0 0 0 3 护l a 酽 芦( 芦+ 1 ) 缘3 ( 3 十1 ) ； 咄一。妻t 呜磐一譬 + 2 口口+ 2 + 半一警抄 一；+ ；曼j = l 。川 c ，妻。t c 害，4 一c 字门+ 粪t c 警尸一c 字一 帮1 姜咿一e 私 + ；霎a c 喜。咄耖n 暑一c 字一n 字，+ 善n jt c 警n n 警一c 字巾n 字】 + ；。萎n k 【( 等一z - 警一( 字巾n 字j 一詈+ ( 两b l 一貉m ) 加 岛一憔。曲咿拧暑一c 和n 2 扣 + 宴c ca i n u 警一c 钞n 2 铡 一吣t 薹【c 了y k s n n 2 警一( 字巾n 2 字】一嘉n 2 a 一拳一毒杀) n ， 定义下面的一些表达式： n j = ( 啦) 睁