（计算机软件与理论专业论文）基于点采样曲面的造型研究.pdf

中文摘蒜 摘要 曲面的袋示形式是许多图形学问题的核心，比如造型和绘制算法很大穰 度上取决于选择曲面的何种表示形式。传统的 拍面表示形式肖样条表示、 缨势表示、鼹稔表示韵豫式表示等等，在过去麓尼卡年至，嚣绕这些表承 形式开殿了大量的繇究。最近几年三维获取技术有了突飞猿落豹发震，褥 到的数据鼹有如下特点：1 能包禽复杂物体 艮微小的细节；2 数据规模 大，通常可以达到几掰万个，甚至上亿个；3 采榉不规则；4 点与点之间 菠畜骥确鹩连接关系：有靖误富有噤声，“溺”黎冗衾。三维获取翁耨 技术引发了曲面表示澎式的新需求，直接使用点集表示益面吸弓l 了越来越 多学者的注意，本文正是研究基于曲面的点集表示的一些算法。 对予禁释篷垂表示懋式，一令宪熬熬嚣露丽壤逶霉要霹凌三个蠢瑟：蓉 先，如何从这种表示产生连续酶鞠蕊；其次翔俺对这种益萄避行编辑和爨 由变形；最后如何绘制这种曲面。目前关于点熊表示的研究糕本上是围绕 这三个阅题展开豹。最初点是 乍为种绘制原谖被提出，因此前期的很多 工终都集中在点魏绘割算法主，至少是蘩劳耪抉了点懿绘涮溺蘧。与臻截 方法篦较丽言，其他两个问题目前涉及不多。本文在第一鞫第二个闯趣盼 某些方硝i 作了一点探索，具体来说+ 工作集中在三个方面：从点集重建琏 续基疆、计算点集热瓣姻微分性囊鄹从点集曲露撼取嚣架。 款大娥攘不撬羹g 瓣点集重建连续遗嚣是一硕非露喜撬藏蛟鹃工箨，焉点 集中的噪声更加增大了重建的难戚。本文提出了种使用径向基函数从离 散点集蘸建连续隐式曲面的算法。通过将多尺媵技术和紧致径向基函数相 结台，熏建算法憩够处理太规摸靛输入点集，著娶能够修补蝰于采样不究 整造戒鹩空满i 在鬟建过程中璜魏了一个低通滤波器，楚褥该算法麓够平 滑输入数据中的噪声。 三维默氏空间中疔勺曲面局部理论已经有悠久的历史，无论在生产实豚 孛逐是在数学理论孛豁骞重要豹徐缓。噩鏊覆魏微分经囊惫揍法囊量巍韬平 蚕、赢颓藏率、平均曲率、主蘸率释主方彝，程计算租翟澎学、蕊器视懿 中文摘簧 和计算机辅助设计等领域发撵了藿臻的作用，比如曲面绘制、内外测试、 曲面羹遗、鳆面简化、去除曲面噪声和模型分割等。本文使阁m l s 投影方 法能够比较缕确遗计冀点采祥菇磷上瓣徽分性鹱，这种方法爻圣予有嗓声拣 焘集楚簧棒翡，瞧熊够适应采器密魔分蠢不稳匀翡煮集。耱霹m l s 投影豁 实现，我们还提密了整改避方法黻挺高m l s 投影静散率。 嚣絮蕊形状或物体豹麓化表示，在貔体谈别、比较、动灏控制、鼗粼 重建、鼹径导靛等方褥鸯广泛黪嬲途。本文掇爨一耪扶数懿点集上盘凌 蠡取嚣繁静冀法，它使磁多个筵贻点，穰攥测地线距离计算裙始禳瑶! 此后在截颂推进过程中自动判别关节点。该算法能够从散乱点粜上得到 维”线”陡的骨架，具脊仿射不变能，能够抵抗一定的嗓声，蠢动确定骨架 上静关节点藏努支点。 关键谰：曲面的表示形式，点采样曲谣，髓谣重构，憋战商蔷， 益谶 的微分槛膜，m l s 投影，嚣粲擒墩 a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a lr e p r e s e n t a t i o no fs u r f a c e sj st h ec o r eo fm o s tc o m p u t e r g r a p h i c sp r o b l e m s ，f o re x a m p l e ，g e o m e t r i c a lm o d e l l i n ga n dr e n d e r i n g8 涎。一 r i t h m sf o rc o m p u t e rg r a p h i c sa p p l i c a t i o n sa r el a r g e l yd e t e r m i n e db yt h es p e - c i f i cr e p r e s e n t a t i o nt h a ti sc h o s e n t h e r ei sav a r i e t yo fs u r f a c er e p r e s e n t a t i o n s t h a th a sb e e n d e v e l o p e da d d r e s s i n gt h er e q u i r e m e n t so fc o m p u t e rg r a p h i c sa p p l i c a t i o n s ，i n c l u d i n gp a r a m e t r i cs u r f a c e s ( e g 。b e z i e rs u r f a c e s ，n u r b s ) ，s u b - d i v i s i o ns u r f a c e s ，p o l y g o n a lm e s h e sa n di m p l i c i ts u r f a c e s r e c e n ta d v a n c e si n r a n g es e n s i n gt e c h n i q u e sh a v ee n a b l e du s e r st oe a s i l ya c q u i r ec o m p l e xt h r e e - d i m e n s i o n a lm o d e l s t h er a w , d a t ap r o d u c e db ym o d e r ns c a n n i n gd e v i c e s o f t e nh a v et h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ：i 。i tc a ns a m p l et h ec o m p l e xs u r f a c e s w i t hh i g h l yd e t a i l s ；2 ，t h ed a t ac o n t a i nal a r g en u m b e ro fp r i m i t i v e s ，m a y b e u pt os e v e r a lb i l l i o n s ；3 t h ep o i n ts a m p l e sa r ed i s t r i b u t e dn o n u n i f o r m l y ；4 t h e r ei sn oc o n n e c t i v i t yi n f o r m a t i o nb e t w e e nt h ep o i n ts a m p l e s ；5 t h es e t o fp o i n t ss o m e t i m e sm a yc o n t a i nn o i s ea n dh o l e s t h ef a s td e v e l o p m e n to f l a s e rr a n g es c a n n e r sd e s i r e sn e w r e p r e s e n t a t i o no fs u r f a c e s p o i n tb a s e dr e p - r e s e n t a t i o nh a sg a i n e di n c r e a s i n ga t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s i nt h i st h e s i s ，w e c o n c e n t r a t eo ns o m em o d e l l i n ga l g o r i t h m sw i t hp o i n t - b a s e dr e p r e s e n t a t i o n f o rac e r t a i ns u r f a c er e p r e s e n t a t i o n t h r e eq u e s t i o n sa r ei n v o l v e di nt h e c o m p l e t e3 dc o n t e n tc r e a t i o ne n v i r o n m e n t f i r s th o w t oc o n v e r tt h er a w d a t af r o mt h es c a n n e ri n t oas u r f a c er e p r e s e n t a t i o ns u i t a b l ef o rt h es u b s e q u e n t p r o c e s s i n ga n dm o d e l l i n g ，t h e nh o w t oe d i ta n dd e f o r mt h es u r f a c e ，a n df i n a l l y h o wt od i s p l a yt h es u r f a c eu s i n gs o m er e n d e r i n gm e t h o d 。i n i t i a l l yp o i n ti s p r o p o s e d a sa d i s p l a yp r i m i t i v e a n ds t u d i e dm a i n l yi nt h ec o n t e x to f r e n d e r i n g t h i st h e s i sp a y sm o r ea t t e n t i o nt ot h ef i r s tt w oq u e s t i o n s t h e 袋o a lo fs u r f a c er e c o n s t r u c t i o ni st ob u i l dac o n t i n u o u ss u r f a c em o d e i f r o mt h ec l o u do fp o i n ts a m p l e s ，t y p i c a l l ya s s u m i n gt h a tt h eu n d e r l y i n gs n r f a c ei sas m o o t h2 - m a n i f o l d w h e nt h es i z eo fp o i n ts e tb e c o m e sl a r g e ，t h e n l 英文摘攫 r e c o n s t r u c t i o ni sn o tae a s yt a s k 。w ep r o p o s ean o v e la l g o r i t h mb a s e do n r a d i a lb a s e df u n c t i o n ( r b f ) t od e a lw i t ht h i sp r o b l e m 。b yt h ec o m b i n a t i o no f c o m p a c t l y * s u p p o r tr b f a n dm u l t i r e s o l u t i o nt e c h n i q u e s ，t h ea l g o r i t h mc a n h a n d l et h e l a r g eu n o r g a n i z e dp o i n tc l o u d ，a n df i l lt h e h o l e si ni t a d d i t i o n a l l y w ea d dal o wp a s sf i l t e rt ot h er e c o n s t r u c tp r o c e s s i o n8 0t h a ti tc a nr e m o v e t h ei n p u tn o i s e m a n ) s u r f a c eo r i e n t e da p p l i c a t i o n sr e q u i r ea na p p r o x i m a t i o no ft h ef i r s t a n ds e c o r l do r d e r g e o m e t r i cp r o p e r t i e sw i t h a sm u c h a c c u r a c ya sp o s s i b l e w e p r o p o s e au n i f i e dm e t h o dt oa p p r o x i m a t ei m p o r t a n tg e o m e t r i ca t t r i b u t e s ，i m c l u d i n gn o r t o n lv e c t o r ，g a u s sc u r v a t u r e ，m e a nc u r v a t u r e ，p r i n c i p a lc u r v a t u r e s a n dp r i n c i p a ld i r e c t i o n so np o i n ts a m p l e ds u r f a c e b a s e do nm l sp r o j o e - t i o no u rm e t h o di sr o b u s tt on o i s ea n ds t a b l et ot h es a m p l i n gd e n s i t y s o m e o p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e sa r ea l s og i v e nt om a k e t h em l s p r o j e c t i o nm o r e 薅 f i c i e n c y t h es k e l e t o no fa s h a ，p ei n2 d o r o b j e c ti n 3 d ，i sas i m p l i f i e dr e p r e s e n t a t i o n o ft h a ts h a p eo ro b j e e t 。i tc a nb ew i d e l yu s e di nc o m p u t e rg r a p h i c s ，m a c h i n e v i s i o na n di m a g ep r o c e s s i n g t h i st h e s i sp r o p o s e sa na l g o r i t h mt h a ta u t o - m a t i c a l l ye x t r a c t st h es k e l e t o nf r o mt h eu n o r g a n i z e dp o i n tc l o u d s w eu s e m u l t i s o u r c ep o i n t s ，c o m p u t et h ei n i t i a ls e c t i o nw i t hg e o d e s i cd i s t a n c ea n dd e - t e r m i n et h ek e yp o i n tw h i l et h es e c t i o n 程i o v 醛f r o n t e x p e r i m e n t ss h o wt h a t t h ea l g o r i t h mc a ne x t r a c tt h ea f f i n e - i n v a r i a n tl i n es k e l e t o n ：r e s i s tt h en o i s e a n da u t o m a t i c a l l yd e t e r m i n et h eb r a n c hp o i n ta n dk e yp o i n ti nt h es k e l e t o n k e y w o r d s ：s u r f a c er e p r e s e n t a t i o n s ，p o i n ts a m p l e ds u r f a c e ，s u r f a c er 争 c o n s t r u c t i o n ，i m p l i c i ts u r f a c e ，d i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e s ，m l sp r o j e c t i o n ts k e l e - t o ne x t r a c t i o n 第一章绪论 1 1 概述 第一章绪论 声音、图像和视频等传统形式在数字媒体中占据了重要的地位，近年 来，三维图形作为一种新型的数字媒体形式越来越引起人们的藿视。三维 图形已经在很多领域，比如电子商务、数字娱乐、工业制造、物理模拟、 医药教鸯麓，扮演了饕露董要懿角氛。这些痤躅嚣要| 爰一萃孛鸯效豹、酉 扩展的方式获取、储存、转换和修改几何模型。传统的多媒体数据可以通 过对一个滤续函数规则采样来描述，这个函数定义在一维( 声酱) 、二维( 图 像) 或三缎( 视频) 上，数字信号处理为处理这些数据提供了强有力的工具和 理论。然露，这些工螽犟嚣淫论不链蠢疆应爱予三缝足俺数据，逡楚因为： 一个几何模型主臻用来表示嵌入到三维空间中的一个二维流形。对于 这种髓面通常很难找到一个规范的、全局参数化的函数袭示。 足侮模鍪逶零是不筏弱采楼褥到翡，采样患怼 壬意势毒奁筵嚣上毂， 而像富立叶分析等信号处理算法依赖于规则的格点结构。 近年来，数字几何处联f 1 1 成为一个新的热点研究领域，专门用米解决这些 闫逐，基舔筵为几何处壤提供数攀毽论基礁戳及鸯效鼹工具零嚣繁法。 在数字几何处理中个基本问趱难曲面采样哪种表示彤式：在数字计 算机中如何表示个三维物体的曲硒? 过去在各种应用领域都涌现出相当 多的表示彤式。比如程汽车和飞机设计等工业制造领域，经常使用非均匀 有理b 一铎祭( n u r b s ) 2 ；在医学数瓣处理中，零露使爰憋式袭示壤螽l e v e l s e t s l 径向麓函数( r b f ) 3 ，4 1 ：在游戏和电影制作等数字娱蓉界，主要使用 网格模型f 5 1 。 本文豢要使用点集来表示曲面，研究在这种袋示形式下处理几何摸型的 一些方法。雳熹来表示虢嚣，是一个院较耨豹器戆，最裙蠢l e v o y 等人鞫孬 为一种撼示元素提出，基于这种思想，许多研究祭中在绘制算法上f 卜1 2 】， 1 2 点纂获取 疑近冗年p a u l y ，z w i c k e r 裟a l e x a 等学费袭熹采撵藏蠢熬分辑、黧采搀、滤 波、变形婶方面作了一貔工作f 1 3 _ l 剐。与传统的参数表示和隐式表示相 比，点采样曲面上的处理算法还有所欠缺，本文试图针对点采样曲面上的 几何处理算法作一些工伟。 在本文中，术语焘采撵楚摆在三缀空阕中怼凌 零表嚣戆采群。点采撵一 般包含位裰信息，颜色信息，材质信息等；可以镪含法向信息，也可以不 包含；但怒通常不包含逑接关系等表示拓扑的信息。换句话说，点采样是 空闽曲匿的离散表示形式，点采样曲两是由有限个点采样组成的集合，一具 有两个特惠： 无连接采样点之间没有湿式的连接关系，每个采样点是独立存储的，丽在 三角嘲格表示中，每个三角形由曲面上的三个点连接而成。 苓攘瑙采榉采样点在空瓣趋嚣主是经爨分毒夔、无痰霸魏，不篱要涵定款 采样模式，而n u r b s 表示需要艘则的格点作为控制点。 在以后的论述中，除非特别声明，对以下说法不加区分：点采样曲 i 蠡( p o i n t s a m p l e ds u r f a c e ) ，点凡餐表示( p 或n 毒一g e o m e t r yr e p r e s e n t a t i o n ) ，教 乱点集( u n o r g a n i z e dp o i n ts e t ) ，点集曲面( p o i n t s e ts u r f a c e ) 。 本章接下来的部分安排如下：在笫1 2 节介绍获取点采样曲颟的途径， 并绘本文建弱的模型豹来源；第1 3 节通过与蔟缝塑垂表示形式比较， 解释为什么选择点表示瀚瑟，这耱表示有骨么优点；最压第1 节绘窭本 文的总体结构。 1 2 点集获取 有两种主要的途径来获取三维数字几何模型：一种是通过菜些交互式 的软件，比如m a y a t 9 1 ，或者某种生成算法p o 得到；另一种赔通过对真 实秘藩捐撩褥n 2 i l 。逐年来蜃一耱方法越来越g 起天餐夔淀爨，一方葫 是因为三维扫描设备的价格越来越低f 2 2 】，另二方面是采集技术越来越先 进2 1 ，23 ，使得获取高度复杂的三维模型变得越米越简单。 通常，手鼍插设各的输出是真实物体的离教采样，一个采样点的集合，根 据获联技术懿不鞫，每个采样焘霹凌繁一定鼗囊瓣耩淫，魄麴激色、懿覆 或者度量储息。对大多数物体来说，从单一的角度不能完整的观察整个物 2 第一章绪论 落，特巅怒菜望其畜蹬漕翡饕葬，奎予蕊察囊发翡限期，露簸会毒致得劐 不完整鹣数据，也就是说有“孔洞”静存在。弱补，医先慕样设备瓣鞲壤 有限，所以采样点可能距离其真实的位置有一嫩的偏差，也就是说有误憨 豹存在。程点采样数据的处理算法中，要考虑到这两个问题。 下霹就本文所使惩鲦原始点嶷数据俸个说骧：在第透章膏 部分模拟是通过在参数曲面上阁2 4 1 采样得到，除此之外，b u n n y 横 型是从s t a n f o r d 大学图形学实骏室f 2 5 1 获得，d r a g o n 模型和h o r s e 模裂 是簌g 疆 2 稿获零，d i n c n s a u r 模型、v e n u s 摸受、v a s e 模型、g d fc l u 5 横 型、i s i s 禳鍪$ i m a l e 2 w b 模型是从c y b e r w a r e 公嗣 2 2 i 获褥，s p h e r e 模囊 $ i t o r u s 横辍是从i n t e r n e t 搜索得到。 1 3 动力 在第1 1 节中提到，采用何种袭示形式是几何数据处理中一个重要的揍 麓鞫题。下爱首先奔绥是瓣荤觅鹣麴覆表示形式，透过对毙。给出点采榉 表示育哪鬻优点。 参数表示 参数表示，或者潮遂式表示，楚基于菜释扶乎葱定义域溺三维空滴 的映射关系，曲面上的点能够遇避计算一个饿含两个参数的表达式褥 到，b e z i e r 和n u r b 8 f 2 1 都是著名的辫数表示。 参数淡示通零有饕复杂豹数学缝构，但是参数表示能够炔遮求出曲西 上一卞点戆霞霍，掰汉它魏绘裁进程比较裔效。男一方瑟，通避在参数奎 间调整参数，参数表示能够很准确她表示曲面的尖锐特征。然而剧烈变形 或改变辎扑通常很困难，因为这需黉修改定义域以避免大的扭曲和不一徽 性。参数裘示敦获取艘透过手工创建，或者从点采样表示创建。 网格表泳 网掇凌示可以说怒攫常用的曲耐嵌示形式，舞论是造型还赵绘翎都有椴 多壤熬酶算法饔较秘惫。霹格模囊酶绘鬟燕够获褥硬箨黧遮，鼹鞋荚链袭 示形式程绘制时经常转换成网格模型。网格檬裂上的变形通常其改变顶点 3 1 3 动力 的谴爱而保持连接关系不变，如果变形眈较剧烈或改交了拓扑需要修改网 格的谶接关系。这就牵涉到全局的更新操作以保证曲面仍然是一个流形。 另外。网格表示需蘩保存顶点之间的连接关畚，这对于大规模的复杂模型 来说，显褥不是缀麓效，瑟黻i 蕴年寒，太鬣麴骚究集孛程怼阚格表示戆复 杂模裂的面片简化上f 2 8 1 ，对于点采样表示来说，这一闯蹶要简单一些，因 为点采样表示不需臻保持显式的连接关系。 缩分袈忝一 细分的思想可以追溯n - - 十世纪四_ 卜年代，最近获得了较快的发展，经 常用予电影和游戏制作中f 2 7 。细分与多尺胰技术和小波技术有着内谯的 紧密联系。缨分表示对经典懿樽条表示散了扩震，髓够袋示任意酶旗 缝 构。幽于固有的递归结构，细分表示能够自然的实现层次细节( l o d ) ，并 且对误差是自适应的，另一方灏细分表示的思想并不复杂，这样它的编码 就很简单，实现起柬比较高效，因此基于细分表示的算法可以很好的运行 在爨端豹p c 程主。缍分表示爨然霉要镶存瑗点之阙夔连接关系，建努逐霉 要一熬特别的方法识别不同层次的顶点对应必系。 隐式袭示 豫式表示 3 ，4 1 比如l e v e ls e t 2 9 ，3 0 j 和径淘麓函数( r b f ) 3 1 ，a 2 ，鸯誊简单 而又严谨的数学结构。通过隐函数定义了一个三维空间中的标量场，曲面 由标缀场的零等慎颓表示，隐函数可以由一系列的基函数加权组合而成。 隐蘧数憩够表示瓠羚缝梅毫疫复杂的夔嚣，运过掺改基溺数靛权僮可以傲 到副烈的几何变形旗至改变琢始馥面的拓扑。然丽对予隐式表示来说，计 算曲谳上的点，要牮涉到求方程的根( 零等值丽) ，所以它滩以快速绘制a 另 外用隐式曲面精确寝示尖锐特征也是比较困难的工作。 正如在第1 2 节中所讨论的，三维获取逐渐成为创建几何模型的主流技 术，随着扫描设备分辨率的不断提高，获得的几何数据的规模越来越大， 比如在数字化米开勰基罗项晷1 2 l 】中，一个模粼能包含上亿个采样点。娃子 季j 疆设备只是篱蕈豹产生采襻患集，为了对足 莓搂鍪俸菇续筵瑾，嚣瑟使 用三绒重建技术将这些无规则的点集转换成菜种特定的曲丽表示形式( 缀第 三章中我们详细讨论这个问题) ，但是，重建过程通常比较复杂，而且计算 第一章绪论 垂波较大，毙懿怼包含n 个采搀点豹辕入数蹇迸抒d e l a u n a y 三弦，鑫坯猿 况下的时闻复杂度是0 ( 扎2 ) 。目前基于点集的绘制融经被深入的研究，点作 为一个有效的绘制原谮已经得到公认。进一步，如果能够直接对点采样曲 面进行造勰处理，那么就可以避免曲面重建过程。点采样即可成为另一种 麴覆表示形式。 也许有人会提出这样的疑问：如果使用点作为曲面的表示形式，那么 点的数量必须达到较大规模才能凇确地表示原始曲面，而建立在如此规 模戆处理冀法萁效率与传统豹表示方法握毙是磷会处于劣势? 确实，毽 择曲蟊的液示形式需簧在原语的蕊横和原语的表示能力之闻作一权衡。眈 如n u r b s 能够以较少的原语表示复杂的形状，因为每个面片能够很好的逼 近原始曲蕊，但是需要对这些曲面片加上全局连续性限制，才能将它们连 接戏完整黪毅嚣，这遴攀不是一个麓擎楚竭题。三角形霹掇飘为有穗对瞧 定的连接关系，所以比较容易处理，但是必须使用比较多的三角形才能穰 好的逼近原始曲面。对于点来说，黼要有更多的采样点才能保证很好的表 示原始曲蕊，因为点表示没有显式的连接关系。从另一个方颟来说，即使 藏语懿数爨增热了，爨建处理每个簇语戆工接受减少了，爨然戆够握秀处 理算法的性能。而且正因为没有露式的连接关系，使用点表示能够产生更 加灵活、照加简单的处理算法。 l 。4 维织 本文的组织如下： 第二激分绍一些鏊本壤念霸綦继数据结稳， 的稠关工作。 第量章讨论基于散乱点集的曲词重建算法 曲耐羹建算法。 磐惑结一下点采样蘧垂上 提出了一种多尺度的隐式 蓦巍囊奔绥熹暴撵粒嚣上豹徽分缝蒺，鼹爨t 一秘葵法麓接诗算点 采样曲面上的微分性质，并针对m l s 投影的实现，给出了一些优化方 法。 第纛肇讨论点采样曲面上的骨浆抽取方法，提出了一种商效的骨架抽 取冀法，该算法黢够麸敖琵煮簇上褥嚣一绫”线”性豹鸯蘩，翼奏蕊懿 不变性，能够抵抗一定的噪声，自动确定骨架上的关节点和分支点 5 6 第六章总结了本文的工作，并讨论了在点采样曲面上的一些有待解决 的问题，给出了未来的工作方向。 第二章赭磷的点采样采承 第三章曲筒的点采样表示 点集的获取一般肖两个主要的途径t 使用采样设备对真实的物体避行李薯 鬟，霞糟果撵葵注鼠姆定羹垂f 缝魏参数瑟瑟、戆式錾瑟等进行采撵。舔争 采撵点除了篷蓬蔷怠，透露爱含蠢灏色、藉袋髅患，遵鬻不奄袁法匙、趣 率和糕龄信息。本文爨提如故豁法都是妻接应网农点集上，a i 霖要全局的 连接关豢。在这一黎墨，介绍屡续章节使用的棼本概念和撼本数据缩构， 著绘遗点藤菇羹蠹上熬栏美工锋。 2 1 基本概念 鏊。王1 瀛鼯 我们e l 常所见的感子、茶杯等备种物钵静袭磷都怒二绺溅澎或者列撇越 嚣豹藏羚窒嚣。浚澎是一类蒋繇瓣燕蛰空窝，两了撼遮浚影，蕊毙滋镶 些采诱。 定义2 i ( 度燮空问) 所谓集合x 魁度量空间，建指可用满髓下列性质的漩 瑟妒：x 2 一嚣：墓义救，( j j 对予x 瀚任意两点x ，y ，p 茹，y ) 8 2 ) p ( x ，爹) 一 。瓣兖努必要条释蓬嚣一譬；( 霹尹誊，彩= p ( v ，繁) e 褒量徽鹅是具嘉特拣性矮匏撼拎疑阅( h a u s d o r 鼎空间) 。我们感兴趣的怒漩 晁里德空闼。b 浆实数窆瘸黟款豫n p ( x l ，茗2 ，：鞠尹( 茹i ，茹2 ，茹。) 乏阕 黎距璃护扫，g 表示内： r_h_”“_wu_。-“一 p ( p ，q ) 一、鼬i 一蓼1 ) 2 + ( 露2 挈2 ) 2 + 十( 。n 一孙) 2 ( 2 1 ) 逮撵确是藩难褰p 翘镞鼗是鬟戆发鲞，葵合舻黎寰塞鹚斌翁黠辩，p ) n 傲n 鳞靛凡里德空闻，在不会弓l 熬混乱时，n 维欧凡璧德窝蠲炎南舻表示n 7 2 1 基本概念 = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = = = ： ：= = 定义2 2 ( 嚣耩煞域) 设x 是拓_ 毒 空阉，鬈x ，r r ，r 0 ，髑辑f 。) 表 示p ( 。，y ) r 的x 的点y 的黎合，也就是说： r ( 。) 一 y l p ( z ，y ) r ) cx f 2 - 2 ) 辑强) t l 散霞臻讳域。 若r 为一维的欧几里德空间，则唧 ) 为长为2 r 的开区间；若r 2 为二维的 欧几里德空间，则聪( z ) 为半径为r 的开圆盘：若黟为三维欧几里德空间， 潮霹彝) 为半径为r 夔开球( 饺球豹内帮) 。 。 接着让我们来定义拓扑举中重要的概念阉胚 定义2 3 ( 同胚( h o m e o m o r p h i c ) ) 设x 和y 是拓扑空间，所谓x 和y 同胚是 糍存在耙x 映到y 上的一对一的连续开映射，一艇用记号x 鲁y 表示。 赢观地来说，所谓同胚波射，：x y ，可瞄认为空间x t l y 鼹由能够无 限伸缩，不破不叠的理想物质( 比如理想的橡皮膜) 构成的，如果适当的把 棱角、端沿弄平，极其自然地( 既不切开也不粘合) 变形，那么y 可以由x 变 成。另努也经霉麓到霹溺籁骞关联的嵌入橇念。 定义2 4 ( 嵌入) 把映射f ：x y 的象f ( x ) 作为y 的子空问，得到映射，： x f ( x ) ，如果f 是同胚时，就说把x 嵌入到y 。从而，嵌入，：x y 是 逶续哥殃射强为单射，偿未必是满射。 定义2 5 ( n 维流形) 所谓1 2 维流形，它建可分的度鼹空间，并鼠它的任意 点x 都有邻域同胚于n 维开球0 t 9 ”= 如( 。，x ) 1 的拓扑空间。 戮瑟蔻瑟或黉二维滚彩楚冀煮翔下条伟豹燕羚空溺：在它静黩豢点都有 和开圆盘同胚地邻域。一般地，在n 维欧几里德空间舻中，由“= x = ( 1 ，z 2 ，z 。) l p ( o ，z ) 0 ，r i p h 一p ls f p v i ( i + 1 ) 一p f i f 1 ，礼一1 j 。繇么邻器点下标集台磁霹戳写戏： 嘴一 n ( 1 ) ，n ( 2 ) ，r i ( ) )( 2 - 3 ) 实际上集合衅定义了一个球s ；，球心位于p ，半径是r ：= i p h 埘 p | 魏在球s ：内( 包括边缘) 当且仅当z 孵( 图2 - 4 ( a ) ) 。 b s p 邻居 记b 是曲面在p 点的切平瓯，孵是上述k 最近邻腐的下标集 合，q i 是p i ，i 孵在弓上的投影，鄢么定义半平面鼠： 最= g l ( 。一娥) ( p 蛾) 2o ) 郡么p 的b s p 邻属下标集合磅定义为孵静子集( 强2 - 4 洳) ) ： n ；= i l i n ；，c i n 3 t n ；b3 、 v o r o n o i 邻詹 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) 记、而r 楚切平面投影点吼，i 嗡的、，。r o n 蹦图( 第2 1 2 节) 。那么虢所在 的v o r o n o i 多遍形矿( 哦) 定义成： v ( 吼) = z 弓：l z 一吼fsi z 一劬f ，嘴，1 ) ( 2 6 ) 1 3 2 2 点采样的局部分析 v ( p ) 是包含点p 的v j r o n o i 多边形那么p 的、，r o r 。n 。i 邻居皑可以定义成嘴的 子集( 图2 4 ( c ) ) ： a 歹= j j 孵，y ( 吼) ny ) 口)( 2 7 ) 角度邻居 角度邻居l a r sl i n s e n 3 5 提出。首先对切平面投影点矶按照到p 点的距 离排序，然后考察角吼p q 州，如果不超过某个给定值，比如，那么相应 的肌，p i + 1 ，就是p 的邻居( 图2 4 ( d ) ) 。 ( 图2 4 ) 中给出了在2 维情况下各种邻居的示意图。b s p 令 i 居和v o r o n o i 令 l 居是k - 最近邻居的子集，在需要更准确的邻居关系时常常使用这两种定义方 法。角度邻居在某些情况下可以是k 最近邻居的超集，在确定曲面的边界 时，角度邻居特别有用。对于一般的应用，使用最简单的k 一最近邻居就可以 了。 炉南。蠹p l ( 2 。8 ) g = ：二i t ：i 二： ，呜 c z 一。， 0 o o oo 0 ( c ) v o r o n o i 邻居 o ( b ) b s p 邻居 o 0 0 ：p & 一q 0 o 0 o ( d ) 角度邻居 毽2 4 ：邻灌示意图 o o 1 5 2 2 点采样的局部分析 f 8 注定绩嚣 圈2 - 5 ：估计法向量( 3 7 】) 圆 絮商调熬 枣子s 跫对称显半正定戆，特征馕太嶷实数，耱，薤囱量v 组成了一令委交 系。假设) 、o 冬a 1 2 ，经过乒的平面 r ( x ) ：( z 劫v o 一0( 2 - 1 1 ) 劐p 鲍邻聪点豹平方距离和是黢小的。馕粥v 。来运 美妒点弱法蠢 量n 。，v 1 和v 2 所在的平戚近似p 点的切平面( 图2 - 5 ( a ) ) 。 为了得到朝向一致的法向量，h o p p e = 等 使用欧几里德最小生成树方法 塞调整法囱鲎粒絮囱，其方法如下： 1 在点熊上建立欧几里德距离下的最小生成树。将所有点标记为未访 问。 2 ，选择一个起始点貔。，拢如点集中z 坐标最大的点，令它的法向为远离点 集羹心静方向。标记嚣。为已访阗。 3 从已访问点的集合中取一个点a k ，根据最小生成树选择未访问的榍 邻点a + ，调整a k + l 法向的朝向，使得二者的法向量夹角小= f 7 r 2 。标 记a k + 1 为己访问。 4 。重复第3 步，壹到掰有点均被谤闷过t 由于我们假设原始曲面都是可定向的流形，所以这种方法总能得到一致的 法向量朝向( 图2 5 ( b ) ) 。 瓷方蓑矩阵ef 式0 够不仅仅哥苏耀来链嚣法囱蹙，在第五肇孛，我嚣j 还 要对其作避一步的分析。 1 6 第二章曲面的点采样表示 2 3 裾关工作 在接下来的部分，让我们大概回顾一下在点采样曲面上的一些前期研究 工捧，具体豹细节请参阅捃应黝参考文献。 2 3 1 绘制 芙于点采样曲酾的早期研究魁糊绕点集的绘制算法展开的，很多学者作 出了事套菇效戆贡献。点采撵瀚蕊蕊耩念最裙出l e v o y 鞍w b i f t 商两弓| 入， 他们在1 9 8 5 年的一个报告中提出了将点采榉潮于绘制。这萃中简单的赫蕊表 示形式避免了存储任何拓扑信息，因此在随后的几年，啵引了众多的学者 来研究莲子点趱藤的绘铡算法。瞧于绘制算法是点集处理算法的基础，我 们选取其中抟三静绘裁算法蓍熏介缓。 q s p l a t 褒数字继米开翅基罗璜霆 2 1 孛，r u s i n k i e w i c z n l l e v q y t 0 1 鼹毽 t q s p l a t 的点绘制算法。鼗字纯岽开麓纂秽埙莲琵产生尼百万，甚至上 亿的点采样数据。如果使用三缃网格表示，在现有的图形工作站上漱时 处理这种规模的数据有很大的斛滩，传统的阚格简化算法由于运行时间和 空簿嚣求黪霞裁使簿这些葵法也难魏整理这些努搀鼗溪。q s p l a t 篓洼麟够 实时瓣有层次纲节舱绘制大攥模的扫描数据，并且提供了一褥压溱存储方 法。 q s p l a t 算法依赖乎一个叫做包嗣球树( b o u n d i n gs p h e r et r e e ，b s r r e e ) 的数 据结构。簿孛熬每个节点包含球o 、半径、法真、法翅键懿霆褒羁灏琶 等。篱先在预处趱阶段建立包围球树的羼次结梅，并储存在磁盘上。包 围球树可以从网格、体数据、点采样数据建立。一旦建立了b s t r e e 的滕次 结构，绘制过程通过遍历包围球撼来实现。在递归遍历包围球树时，簧 副豫不霹觅节点。每个节轰瑟在粒臻帮要与可橇平鼗藩溅试。舞象球完全 位于平截体外，那么该节点和他所有的予节点在以后的绘制过程中部设慈 略。如果球完全位于平截体内，那么该节点和他所有的予节点都被标记， 荠且以后不再对这些节点进行溯试。同样的原理也应用予节点之蚓的遮 挡测试，裂豫向羼静节点( b a c k f a c