（基础数学专业论文）赋值在lpbrunnminkowski理论研究中的应用.pdf

l 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名： 一乒曼妄期： 本论文使用授权说明 彦。i 。，乙p 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名一五里导师签 日期：立! 卫二巨1 勺 ，i 上海大学理学博士学位论文 赋值在l p b r u n n m i n k o w s k i 理论研究中 的应用 作者：汪卫 导师：何斌吾 专业：基础数学 上海大学理学院 2 0 1 0 年4 月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fd o c t o ri ns c i e n c e a p p l i c a t i o n so fv a l u a t i o n st ol p - b r u n n - m i n k o w s k i t h e o r y p h d c a n d i d a t e ：w e iw a n g s u p e r v i s o r ：p r o f b i n w uh e m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s c i e n c ec o l l e g eo fs h a n g h a iu n i v e r s i t y a p r i l ，2 0 1 0 摘要 本学位论文隶属于 , p - b r u n n m i n k o w s k i 理论研究领域，该领域是最近十多年来 在国际上发展非常迅速而重要的几何学分支之一本文致力于研究赋值在l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论研究中的应用，尤其是在b u s e m a n n p e t t y 型问题和s h e p h a r d 型问题 中的应用 本文的研究工作可以分为三个方面t 类似于凸体的n 一1 维截面函数是对数凹函数，我们证明了凸体的任意的n j 维截面函数是对数凹函数然后利用低维截面函数的对数凹性推广了b u s e m a n n 不 等式作为应用，我们引进了一种新的广义截面体，并建立了关于这种广义截面体 的对偶b r u n n m i n k o w s k i 不等式 在l p b r u n n m i n k o w s k i 理论中，我们给出了b 对偶仿射表面积q p 的概念， 并系统地研究了它的性质。同时建立了关于它的仿射等周不等式，b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式和b r u n n - m i n k o w s k i 不等式l u d w i g 将仿射表面积的生成函数由凹函数延伸 到凸函数，基于这种思想，我们引进了对偶仿射表面积韩的定义对应于岛 对偶仿射表面积孬一p 的上半连续性。如对偶仿射表面积露是下半连续的同时 将仿射等周不等式和b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式推广到了。对偶仿射表面积q p ，并建 立了岛对偶仿射表面积璐的对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 众所周知，截面体算子和投影体算子分别定义了一种s o ( n ) 同变的，n 一1 正 齐次的，连续的m i n k o s k i 赋值和径向赋值在此基础上，s c h u s t e r 引入了b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态和径向b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态，并分别研究了关于他们的s h e p h a r d 型问题和b u s e m a n n p e t t y 型问题本文引入了两种更一般的赋值： l p b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态和岛径向m i n k o w s k i 同态利用球面调和、紧群上的卷积以及l c g e n - d r e 多项式的方法，我们完全刻画了l p b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态和如径向m i n k o w s k i 同态同时我们着力研究了分别关于岛b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态和径向m i n k o w s m 同态的s h c p h a r d 型问题和b u s e m a n n - p e t t y 型问题从而将s c h u s t e r 所得到的结果 推广到了更大一类的l p 赋值 关键词：凸体，星体，赋值，岛对偶仿射表面积，岛表面积测度，径向和， 岛一b l a s c h k e 和 i i a b s t r a c t t h et h e s i sb e l o n g st ot h el p b r u n n - m i n k o w s k it h e o r y , w h i c hi sah i 【g h s p e e dd e v e l - o p i n gg e o m e t r yb r a n c hd u r i n gt h ep a s to v e rt e ny e a r s t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d y o fa p p l i c a t i o n so fv a l u a t i o n st o 岛一b r u n n - m i n k o w s k it h e o r y , e s p e c i a l l yt os h e p h a r dt y p e p r o b l e ma n db u s e m a n n - p e t t yt y p ep r o b l e m t h er e s e a c hw o r k so ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s a n a l o g u et ot h e ( n - 1 ) 一d i m e n s i n a ls e c t i o nr u c t i o n ，w es h o wt a tt h e ( n - j ) 一d m s e n s i o n a l s c t i o nf u n c t i o ni sa l s ot h el o g - e o n c a v ef u c t i o n t h e nw e1 1 8 ei tt og e n e r a l i z et h eb n s e m a n n s i n e q u a l i t y a sa p p l i c a t i o n s ，w ed e f i n eag e n e r a l i z a t i o no fi n t e r s e c t i o nb o d i e s f i n a l l y , w e g e tt h ed u a lb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t yo ft h eg e n e r a l i z e di n t e r s e c t i o nb o d i e s i nl n - b r u n n - m i n k o w s k it h e o r y , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to ft h el f d u a la f f i n es u r a f c e 缸既q 呻a n ds t u d y i ts y s t e m a t i c a l l y w ea l s oe s t a b l i s ht h ea f f i n ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y , b l a s c h k e - s a n t a l 6i n e q u a l i t ya n db r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t yf o ri t l u d w i ge x t e n d e dt h e g e n e r a t i n gf u n c t i o no fa f f i n es u r f a c ea r e af r o mc o n c a v ef u n c t i o n st oc o n v e xf u n c t i o n s t h u s ，w ed e f i n et h el f d u a la f f i n es u r a f c ea r e a t h o u g h 如- d l l a la 伍n es u r a f c ea r e a q - p i su p p e rs e m i c o n t i n u o u s ，l n - d u a la l 伍i n es u r a f c ea r e aq pi sl o w e rs e m i e o n t i n u o u s t h e a 珏i n ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y , b l a s c h k e - s a n t a l 6i n e q u a l i t ya n dd u a lb r u n n - m i n k o w s k i i n e q u a l i t yf o rl n - d u a la t 五l n es u r a f c ea r e a a r ep r e s e n t e d a sf a r 够w ek n o w t h ep r o j e c t i o nb o d yo p e r a t o ra n dt h ei n t e r s e c t i o nb o d yo p e r a t e r b o t hd e f i n eah o m o g e n e o u so fd e g r e e ，l l ，c o n t i n u o u sa n ds o ( n ) e q u i v a r i a n tv a l u a - t i o n b a s e do nt h i s ，s c h u s t e ri n t r o d e e e db l a s c h k e - m i n k o w s k ih o m o m o r p h i s m sa n dr a d i a l b l a s c h k e - m i n k o w s k ih o m o m o r p h i s m s ，a n ds t u d ys h e p h a r dt y p ep r o b l e ma n db u s e m a n n - p e t t yt y p ep r o b l e mf o rt h e m ，r e s p e c t i v e l y w ei n t r o d u c et w ok i n d so fv a l u a t i o n ：工p - b l a s c h k e - m i n k o w s k ih o m o m o r p h i s m s a n d 岛r a d i a lm i n k o w s k ih o m o m o r p h i s m s b y 廿 i n gs p h e r i c a lh a r m o n i c s ，c o n v o l u t i o na n dl e g e n d r ep o l y n o m i a l s ，w ec l a s s i f i e dl v - r a d i a l m i n k o w s k ih o m o m o r p h i s ma n dl n - b l a s c h k e - m i n k o w s k ih o m o m o r p h i s mw i t hr a d i a lr u n e - t i o na n d 岛一s u r f a c ea r e am e a s u r e ，r e s p e c t i v e l y t h em a i ne m p h a s i so fo u rr e s e a r c hi s t os t u d ys h c p h a r dt y p ep r o b l e ma n db u s e m a n n - p e t t yt y p ep r o b l e mf o rt h e m p r e v i o u s r e s u l t sb ys c h u s t e ra r eg e n e r a l i z e dt oal a r g ec l a s so fk v a l u a t i o n s i i i k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y , s t a rb o d y , v a l u a t i o n ，l f d u a la f 五l i l es u r f a c ea r e a ，l p - s u r f a c ea r e am e a s u r e ，岛- r a d i a ls u i i i ，l p - b l a s c h k es u m 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 绪论 1 研究的背景1 研究的问题与成果。 9 论文结构安排1 5 凸体的任意维截面函数及其应用 1 6 引言1 6 记号与背景1 7 主要结果及应用1 9 广义截面体的对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式2 3 岛对偶仿射表面积 2 5 引言2 5 定义与记号2 7 岛对偶仿射表面积五一p 的性质2 9 如对偶仿射表面积孬一p 的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式3 1 k 对偶仿射表面积孬一p 的单调性3 3 赋值和广义仿射表面积 3 5 引言3 5 预备知识。3 8 l p 对偶仿射表面积讳的性质4 0 对偶仿射表面积面的对偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式4 3 岛对偶仿射表面积璐的单调性4 4 赋值在b u s e m a n n - p e t t y 型问题中的应用 4 7 引言4 7 啼m m 邺 j 蚍靴娜泓 尊蚍靴娜泓洳 畔泓妣娜泓蛳 碑灿 第 第 第 第 第 v 5 2 记号和背景5 1 5 3 岛径向m i n k o w s k i 同态和卷积5 6 5 4b u s e m a n n - p e t t y 型问题的研究6 0 第六章赋值在s h e p h a r d 型问题中的应用 6 4 6 1 引言6 4 6 2 记号和背景6 8 6 3 岛一b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态和卷积7 2 6 4 赋值的体积比较7 9 参考文献8 3 作者在攻读博士学位期问公开发表及完成的论文9 3 到c 射9 4 第一章绪论 本文选题来自导师何斌吾教授主持作者参与的2 0 0 7 年2 0 0 9 年的国家自然科 学基金项目“超球截函数与b o u r g a i n 问题”( 批准号：1 0 6 7 1 1 1 9 ) 在本章中，我们 首先简要叙述一下凸几何的发展历程和研究现状，接着叙述了研究的主要问题及取 得的主要成果，最后说明本文的结果安排 1 1 研究的背景 “上帝是个几何学家( g o di sa l w a y sd o i n gg e o m e t r y , p l a t o ) 随着人类文明的进步，社会的发展，数学的研究也日新月异由几何衍生出了 如下一些重要学科，微分几何，代数几何，凸几何，几何分析等，当然它们之间也不 是完全独立的，各学科之间都是相互渗透的例如，凸几何中著名的m i n k o w s k i 问题 也引起了很多微分几何和几何分析方面的学者的兴趣微分几何贯穿了整个2 0 世 纪数学的发展，国际著名数学家、教育家陈省身先生是微分几何研究的倡导者和大 师，他率先在美国开设了微分几何的课程，带动了美国微分几何研究的发展，他和 陈维桓编写的微分几何讲义是我们国内数学的经典教材之一他晚年也致力于 国内的数学发展和数学教育，他曾断言t 数学发展的对象必将是流形代数几何是 几何的另一大主流，有近十人因在代数几何方面做出的卓越贡献而荣获f i e l d s 奖 几何分析主要是用偏微分方程来解决几何问题，f i e l d s 奖和w o l f 奖获得者丘成桐 就是这方面研究的杰出代表人物之一 本研究属于凸几何极值问题的范畴凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) 是1 9 世纪下半 叶萌芽，2 0 世纪初形成，2 0 世纪中后期蓬勃发展起来的一门现代几何学科它是以 凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是以微分几何、实变 函数、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的一门学科，主要研究凸体和星体的 投影与截面它在体视学，随机几何，积分几何，非线性p d e ( 尤其是b l o n g o - a m p b r e 方程的研究) ，数论，微分几何，b a n a c h 空间理论，m i n k o w s k i 几何，信息论，乃至 组合论等数学学科和医学( x 射线光机，c t 扫描，核磁共振) ，机器人学等应用科 学中均有着广泛的应用 我们将凸几何的发展历程大致划分为以下三个阶段t 1 ) 经典b r u n n m i n k o w s k i 理论 1 2 赋值在l p b r u n n m i n k o w s k i 理论研究中的应用 现代凸体理论发源于b r u n n l 8 8 7 年的博士论文以及m i n k o w s k i 在1 9 世纪末2 0 世纪初的创造性工作b o n n e s e n 和f e n c h e l1 9 3 4 年的著名论著f 1 0 】是这一阶段研究 成果的集大成之作2 0 世纪3 0 年代，a l e k s a n d r o v 等著名数学家引进了凸体的混合 表面积测度，使得凸体几何成为了一个独立的数学分支这一时期b r u n n - m i n k o w s k i 理论研究还受到了b l a c h k e ，b o n n e s e n ，f e n e h e l ，b u s e m a n n ，p e t t y , s a n t a l 6 ，h a d w i g c r 等 著名数学家的青睬 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论是欧氏空间中向量的m i n k o w s k i 线性组合和体积结 合的产物其精髓是混合体积的记号和基本的b r u n n - m i n k o w s l 【i 不等式混合体积 的记号由于满足一系列不等式，被广泛用于解决极值问题局部意义下的混合体积 可产生混合面积测度，均质积分、m i n k o w s k i 函数、表面积测度、曲率测度都是混 合体积和混合面积测度的特殊情形，它们与微分几何及积分几何密切相关b r u n n - m i n k o w s l 【i 不等式被认为是经典b r u n n m i n k o w s k i 理论的基石，是征服各类涉及体 积、表面积、宽度等度量关系难题的漂亮和强有力的工具b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 的积分形式常被称为p r d k o p a - l e i n d l e r 不等式h s l d e r 不等式的逆形式，在b r a s c a m p 和l i c b 的巨大努力下，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等 式的加强形式的特殊情形，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 的一种最强的形式，它与代数几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t c i s s i e r 独立地发现了 a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式可与代数几何中的h o d g e 指标定理相联系，b o r e l l 容积 不等式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不等式之中，它被用来解决容积的m i n k o w s b 问 题，m i l m a n 的逆向b r u n n - m i n k o w s l 【i 不等式是在b a n a c h 空问局部理论中的特写形 式，g a r d n e r 和g r o n c h i 的b r u n n m i n k o w s k i 不等式的离散形式与涉及离散等周不等 式的离散数学、组合理论和图论联系密切以b r u n n m i n k o w s k i 不等式为中心，环抱 着一系列与之相关的仿射等周不等式，如p c t t y 投影不等式和z h a n g 的仿射s o b o l c v 等周不等式b r u n n m i n k o w s k 不等式在球面、双曲空间、m i n k o w s k i 空闯、g u a s s 空间也有着不同的版本 经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论也可归为经典b r u n n m i n k o w s k i 理论1 9 7 5 年著 名数学家l u t w a k 7 0 引进了星体的对偶混合体积，建立了经典对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论，它与由m i n k o w s k i 、b l a s c h k e 和a l e k s a n d r o v 等开创的经典的凸体理论有着惊 人的相似，其基本想法是“星体”对应。凸体”、。m i n k o w s k i 加”对应“径向加”、 。混合体积”对应“对偶混合体积”、。支撑函数”对应“径向函数”、“投影体” 对应“截面体”值得一提的是g o o d y 、g r i n b e r g 、g r o c m c r 和g r u b e r 等也在该领 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 3 域作出了重要贡献 s c h n e i d e r l 9 9 3 年的专著( 1 1 1 1 迄今为止仍被看作是b r u n n - m i n k o w s k i 理论的最好 的参考书之一 2 ) l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论( 又称b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论) 易b r u n n - m i n k o w s k i 理论起源于f i r e y 2 3 1 于1 9 6 2 年定义的凸体的f i r e yl p 组 合1 9 9 3 年l u t w a k 7 7 正是利用凸体的f i r e y 易组合引进了岛混合体积、表 面积测度等概念，建立了相应的积分表达式，从而把b r u n n - m i n k o w s k i 理论推广到 了l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论随后，l u t w a k 于1 9 9 6 年在文【7 嘲中又把f i r e y 2 1 ，2 2 4 于1 9 6 1 年定义的调和径向加弓f 入到经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，提出了岛对 偶混合体积、如仿射表面积这些重要概念，进一步丰富了岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理 论在该理论研究领域，国际上异常活跃的领军人物当屑l u t w a k ，y a n g ，z h a n g 以及 g a r d n e r 等著名数学家，他们先后引进了b 质心体 8 9 1 、如投影体f 8 1 1 、新椭球 【8 0 】、k - j o h n 椭球【8 6 1 、l v 截面体 2 9 1 等概念，并系统地研究了l p m i n k o w s k i 问 题、岛仿射等周不等式、l p - s o b o l e v 不等式以及如仿射s o b o l e v 不等式等问题 特别令人惊讶的是新椭球的概念在信息科学中有重要的应用价值【3 6 ，8 3 】此外，还 有众多数学家和学者也在该领域做出了突出贡献【1 7 - 1 9 ，3 7 ，3 9 - 4 1 ，4 5 ，4 7 ，6 1 ，6 2 ，6 6 ，7 7 - 8 6 ， 8 9 ，9 8 ，1 0 7 ，1 1 9 ，1 2 0 ，1 2 2 ，1 2 8 ，1 2 9 ，1 3 6 最近十多年来，l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论的研究 受到了数学界的高度关注，发展迅速，已成为了当今国际上凸几何研究的热点研究 领域之一 3 ) o r l i c z - b r u n n - m i n k o w s k i 理论 近期l u t w a k ，y a n g ，z h a n g 他们团队利用o r l i c z 范数引进了o r l i e z 投影体 8 t i 和o r l i c z 质心体f 8 8 】，并且研究了它们的性质，推广了l p - p e t t y 投影不等式和l v - b u s c m a n n - p e t t y 质心不等式，给出了o r l i c zp e t t y 投影不等式和o r l i e zb u s e m a n n - p c t t y 质心不等式，从而把凸体理论从k 空问延伸到了o r l i c z 空问，开启了研究 o r l i e z - b r u n n m i n k o w s k i 理论的序幕，进一步丰富和发展了凸体的b r u n n m i n k o w s k i 理论 应当指出的是，这里的划分只是为了说明凸几何发展的一个大致脉络，凸几何 的另一些重要的研究方向并未纳入其中，例如以b o u r g a i n 和m i l m a n 为代表的几何 分析学家们在2 0 世纪8 0 年代所发展起来的凸几何泛函分析方向，它是用现代泛 函分析为工具来研究凸体的度量性质，取得了突破性的进展，解决了凸几何中的一 些经典难题，也使得凸几何研究空前繁荣，成为了现代数学重要的主流方向之一， 4 赋值在l 。一b r u n n - m i n k o w s k i 理论研究中的应用 b o u r g a i n 也因此获得了f i e l d s 奖b a n a c h 空间局部理论和凸渐近理论是凸几何和 泛函分析结合的两个重要产物 本文致力于研究赋值在l p b r u n n m i n k o w s k i 理论中的应用，我们的主要研究工 具就是赋值下面我们先简单地介绍一下赋值 在1 9 0 0 年国际数学大会上，著名数学家h i l b e r t 提出了二十三个数学难题，其 中的第三个难题是t 是否存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小 四面体，使得这些小四面体彼此全等这个难题很快就由h i l b e r t 的学生d e h n 给出 了肯定的解答，这一难题的克服很大程度上归功予赋值这一工具 对于个定义在”中所有凸体组成的集合舻上，并且在个a b e l i a n 子群上 取值的函数西，如果满足t 圣( 0 ) = 0 ，在这里毋是空集，并且对所有的k ，l 舻，只 要kul 胪，都有 圣( k u l ) + 圣( n 工) = 圣k + 圣l 那么函数雪就被称为个赋值 如果赋值圣对于所有的毋s o ( n ) ，z r n 和所有的k 舻，都有 圣( 1 ，k + z ) = 1 ，圣k 那么我们就说赋值圣是刚性运动不变的 如果赋值圣对于所有的k 舻和实数a 0 ，都有 4 ( x k ) = a p , 奎k ， 那么我们就说赋值圣是p 正齐次的 如果个定义在妒上的实值赋值圣满足在所有那些维数严格小于n 的凸体上 的赋值都为0 ，那么我们就说圣是个简单赋值 d e h n 就是通过构造一个刚性运动不变的简单赋值来解决h i l b e r t 第三个数学难 题的 赋值理论是凸几何的核。5 - 内容之一b l a s c h k e 在二十世纪三十年代首先对赋值 理论作了系统的研究，随后就由h a d i w i g e r 继续发扬光大，不过他主要着重于赋值 的分类研究，提出了关于赋值的著名h a d i w i g e r 特征定理 定理1 1 1 1 4 2 1 设西是一个定义在舻中连续的刚性运动不变的赋值，那么存在 实数c 0 ，c l ，r ，对任意的凸体k ，都有 圣( ) = c o v o ( ) + + c ，i k ( k ) ， 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 5 其中v o 懈) ，k ( k ) 表示凸体k 的内蕴体积特别地，( k ) 表示e u l e r 特征， 也就是懈) = 1 对所有k d 和v o ( o ) = 0 ，2 k i ( k ) 和k ( k ) 分别表示凸体k 的表面积和体积 在二十世纪七十年代s c h n e i d e r 1 0 9 1 第一个将赋值理论应用到凸体，其中凸体 的加法就是m i n k o w s k i 加法，即k + l = z + 可：z k 掣l ，从而开启了一个 研究凸体赋值的新时代九十年代末期k l a i n 4 9 把对凸体的赋值推广到了对星体的 赋值，结合星体的对偶混合体积，从而得到了h a d i w i g e r 特征定理的对偶形式在 二十一世纪初a l 簏k e r 4 - 7 将赋值推广到了流形上研究最近，对凸体和星体赋值的 研究在数学界又火热起来了，这可以通过l u d w i g 一系列的工作 6 互6 6 ，3 9 ，6 9 】体现出 来她在l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论下利用l p - m i n k o w s k i 加法和岛径向加法研究凸 体和星体的赋值，同时也完全对这些赋值进行分类特别地，她完全刻画了凸体的 投影算子和星体的截面算子 下面我们介绍赋值在凸体理论研究中已取得的一些重要成果t ( ) 赋值在b u s e m a n n p o t t y 型问题中的应用 与凸体的投影体算子和星体的截面体算子紧密联系的就是著名的s h c p h a r d 投 影问题和b u s e m a n n - p e t t y 截面问题由赋值的定义，很容易验证投影体算子和截面 体算子都是一种赋值自然而然，s c h u s t e r 1 1 5 1 把b u s e m a n n - p e t t y 型问题的研究推 广到了凸体赋值和星体赋值：设雪是个定义在舯中的某个变换群上的连续的凸 体赋值或者星体赋值，那么下面的推导公式是否成立， 圣_ f rc 圣l = 争v ( k ) y ( 二) ? s c h u s t e r 着重研究两类特殊的赋值s 一种是s o ( n ) 同变的，n - l 正齐次的，连续 的，平移不变的m i n k o s k i 赋值，在这种赋值中，对应的加法就是凸体的m i n k o w s k i 加法，一个典型的例子就是投影体算子；另一种是径向b l a z c h k e - m i n k o w s k i 同态， 即s o ( n ) 同变的，n - l 正齐次的星体赋值，对应的加法就是星体的径向加，一个典 型的例子就是截面体算子 在文【1 1 5 中，s c h u s t e r 利用球面调和、紧群上的卷积以及l c g e n d r e 多项式得 到了关于赋值的b u s e m a n n p e t t y 型问题的解： 定理1 1 2 设c i , ：胪_ 咒n 是个b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态，如果l , 西i c n ，那 么 圣kc 圣l = 争v ( k ) y ( 三) ， 6 壁堡垄墨2 ：星竺婴：坚! 翌堕! 堡! 堡坠堡壅箜堕旦 并且v ( k ) = v ( l ) 当且仅当k = l 定理1 1 3 设蛋：舻一舻是一个b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态，如果舻( 垂) 与l c , n 不相等，那么存在凸体k ，l 舻，满足 雪k 西l ， 但是 v ( k ) y ( l ) 在这里妒( 圣) 表示西的单射集 定理1 1 4 设雪：s n 一酽是个径向b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态，如果k , h s n ， 那么 圣j ( c , h l = 争v ( k ) y ( l ) ， 并且v ( k ) = v ( l ) 当且仅当k = l 定理1 1 5 设西：_ 伊是个径向b l a s c h k e - m i n k o w s k i 同态，如果酽( 圣) 与 伊不一致，那么存在星体k ，l 伊，满足 圣k 圣l ， 但是 v ( k ) y ( l ) 在这里伊( 圣) 表示圣的单射集 ( 二) 利用赋值刻画l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论中的几何量 在文献f 6 5 1 中，l u d w i g 介绍了广义投影体和广义岛矩体设一1s7 1 和k 懿，广义如投影体珥耳定义如下。 邶氍t t ) p = c n 护厶_ l ( h 卅下( u t ，) ) p d s p ( k , v ) ， 其中c ，l p 要满足n ；k = b 广义岛矩体 镭k 定义如下z ，l ( 嵋k ，u ) p = 上( hz i + 丁( u 一) p d x 同时她用l p - m i n k o w s k i 赋值刻画了广义0 投影体和广义0 矩体 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 7 定理1 1 6 令表示碾p 中所有包含原点的多胞形构成的集合如果圣：r _ 碲，n 3 是个保体积反变的、；+ 1 正齐次的l n - m i n k o w s k i 赋值( p 1 ) ，那么存 在常数口 0 和一1 r 1 ，使得 唾p = a m ；k 定理1 1 7 令表示r n 中所有包含原点的多胞形构成的集合如果圣：p o _ 珊，礼3 是个保体积反变的、；一1 正齐次的一m i n 姗幽赋值。 1 ) ，那么存 在常数口 0 和一1 rs1 ，使得 圣p = a i i ；k h a b e r l 和l u d w i g 在文【3 9 1 中引入了岛截面体。设p ，u 酽，l n 截面 体譬p 定义如下。 p ( 矽p t ) k 厶u + l t l z r 出， 其中仳+ = z r n ：“z o ) ，同时定义：石p = 节( 一p ) 他们利用径向赋值刻画了k 截面体 定理1 1 8 设i i , 3 ，p 表示p 的极体如果0 0 ) 啤( k ) = ( 伽( k z ) ) 南舡k ( z ) 容易验证k 仿射表面积啤( k ) 也是上半连续的 最近，l u d w i g 和r e i t z n e r 6 9 进步推广了仿射表面积令c o n c ( o ，o o ) 表示由 满足下面三个条件的函数：( 0 ，o o ) _ ( 0 ，o o ) 组成的集合s 咖是凹的，l i m t - - * o ( ) = 0 并且l i m t o4 ( t ) l t = 0 设砂( o ) = 0 ，对于c o n c ( o ，o o ) ，l u d w i g 和r e i t z u e r 定义了 如仿射表面积q 西( k ) ： q 毋( k ) = 妒( ，钿( kz ) ) d p k ( z ) 值得提的是l u d w i g 和r e i t z n e r 用赋值完全刻画了这一类k 仿射表面积，这 是凸体理论研究的一个重大贡献，这一成果即将发表在顶尖数学期刊a n n o fm a t h 上 定理1 1 9 1 6 9 】如果雪：珊_ r 是一个上半连续的，保体积变换不变的，并且在 多胞形退化的实值赋值，那么对每一个k 糯，都存在一个咖c o n c ( o ，o o ) ，满足 0 ( k ) = q 击( k ) 经典的仿射等周不等式是仿射几何中最著名的不等式之一， 于仿射表面积的仿射等周不等式 定理1 1 1 0 1 6 r l 设i ( 翟表示由质心在原点的凸体组成的集合， 并且满足v ( b k ) = y ( k ) 如果e c o n c ( o ，。o ) ，那么 b ( k ) ( b k ) ， 对于严格增函数，等号成立当且仅当k 是一个椭球 l u d w i g 给出了关 k 穰，b k 梯 2 0 1 0 上海大学博士学位论文 9 l u d w i g 6 7 在凸体的“仿射表面积的基础上定义了“仿射表面积令c o n v ( 0 ，o o ) 表示由满足下面三个条件的函数妒：( o ，o o ) _ ( o ，) 组成的集合t妒是凸的