（应用数学专业论文）模糊随机理论在设备选址中的应用.pdf

摘要 摘要 本文首先在随机模糊理论中讨论了随机模糊变量序列的收敛概念，并讨论了各 种收敛之间的关系以及它们的一些性质其次在模型建立方面，建立了一类两阶段 模糊随机规划模型，给出了模型求解的一种逼近方法，并且讨论了逼近方法在目标 函数方面的收敛性最后，在模型应用方面，本文将两阶段模糊随机规划模型应用到 设备选址问题中，并设计了一种基于逼近方法的混合粒子群算法对模型进行求解 本文的主要工作可归纳为以下三方面： ( 1 ) 在随机模糊理论中，定义了随机模糊变量序列的几乎必然收敛、几乎一致 收敛、依平均机会收敛和依分布收敛，并讨论了各种收敛之间的关系； ( 2 ) 对具有平均机会目标函数的两阶段模糊随机规划问题，设计了求解模型的 一种逼近方法，并讨论了逼近方法在目标函数值方面的收敛性； ( 3 ) 将两阶段模糊随机规划应用到一类设备选址问题中，并设计一种基于逼近 方法的混合粒子群算法，对选址模型进行求解 关键词平均机会理论；模糊随机规划；逼近方法；设备选址；p s o 算法 a b s t r a c t 4b s t r a c t f i r s t ，t h i st h e s i sd i s c u s s e st h em o d e l so fc o n v e r g e n c ec o n c e p t sf o rs e q u e n c e so f r a n d o mf u z z yv a r i a b l e si nr a n d o mf u z z yt h e o r y , a n dd e a l sw i t ht h ei n t e r c o n n e c t i o n s a m o n gc o n v e r g e n c ea l m o s tu n i f o r m ，c o n v e r g e n c ea l m o s ts u r e ，a n dc o n v e r g e n c ei n c h a n c e i nt h ee s t a b l i s h m e n to fm a t h e m a t i c a lm o d e l ，t h i st h e s i sb u i d sac l a s so f t w o - s t a g ef u z z yr a n d o mm i n i m u mr i s kp r o b l e m ( f r m r p ) ，p r o p o s e sa na p p r o x i m a - t i o nm e t h o dt ot h ef r m r p ，a n dd e a l sw i t ht h ec o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t i o n m e t h o da b o u tt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n i nt h em o d e la p p l i c a t i o n ，t h i st h e s i sa p p l i e s t h ef r m r pt ot h ef a c i l i t yl o c a t i o np r o b l e m ，a n dd e s i g nah y b r i dp a r t i c l es w a r m o p t i m i z e r ( p s o ) a l g o r i t h mb a s e do nt h ea p p r o x i m a t i o nm e t h o dt os o l v et h ef u z z y r a n d o mf a c i l i t yl o c a t i o np r o b l e m t h em a j o rw o r ko ft h i st h e s i si n c l u d et h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ： ( 1 ) t h em o d e s o fc o n v e r g e n c ef o rs e q u e n c eo fr a n d o mf u z z yv a r i a b l e sa r ed e f i n e d ， i n c l u d i n gu n i f o r mc o n v e r g e n c e ，c o n v e r g e n c ea l m o s tu n i f o r m ，c o n v e r g e n c ea l m o s t s u r e ，c o n v e r g e n c ei nc h a n c e ，a n dc o n v e r g e n c ei nd i s t r i b u t i o n t h er e l a t i o n sa m o n g t h ec o n v e r g e n c e sa r ea l s od i s c u s s e d ； ( 2 ) w eb u i l da c l a s so ft w o - s t a g ef r m r pw i t hm e a nc h a n c eo b j e c t i v ef u n c t i o n ， g i v ei t sa p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，a n dd i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t i o n m e t h o da b o u tt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ； ( 3 ) w ea p p l yt h et w o - s t a g ef u z z yr a n d o mm i n i m u mr i s kp r o b l e mt o t h ef a c i l - i t yl o c a t i o np r o b l e m ，a n dd e s i g nah y b r i dp s oa l g o r i t h mb a s e do na p p r o x i m a t i o n t os o l v ei t o n en u m e r i c a le x a m p l ei sa l s op r e s e n t e dt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so f d e s i g n e da l g o r i t h m k e y w o r d s m e a nc h a n c et h e o r y ；f u z z yr a n d o mp r o g r a m m i n g ；a p p r o x i m a - t i o nm e t h o d ；f a c i l i t yl o c a t i o np r o b l e m ；p s oa l g o r i t h m 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：煎选童日期：圣! 1 2 年上月么生日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密母 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为砖料蝴，理绻锄建埘彘翎 的学位论文，是我个人在导师( 到彦至) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 作者签名： 导师签名： 截兢彳， 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 问题的提出及研究现状 在现代的管理科学、工程技术、社会经济、交通运输、金融保险等诸多领域都 存在着大量的最优化问题最初人们通过运筹学的方法解决一些确定优化问题但 是这些领域存在着很多的不确定因素人们首先考虑到的是客观的随机性，因此在 二十世纪五十年代后期，出现了随机规划【1 - 引，随机规划是以概率论【4 】为基础的，由 于概率理论是一个相当完善的理论体系，而随机现象又是生活中最普遍的一种不确 定现象，因此随机规划自产生以来就因其完好的理论性及实用性得到长足的发展 但是随机理论还不能完全解决各种不确定现象因为现实生活中除随机性外还存在 着主观的模糊性，1 9 6 5 年z a d e h 5 l 提出了模糊集的概念，并在1 9 7 8 年提出了可能 性理论1 6 ，随后许多学者对其做了进一步的研究和发展，特别是自l i u 和l i u 7 所 提出的具有自对偶性的可信性测度，逐步形成了研究模糊现象的一套理论然而在 现实问题中，一个复杂的决策问题通常处在模糊性与随机性两种不确定环境之中， 我们称之为双重不确定性 要研究双重不确定性的问题，就像研究随机现象和模糊现象一样，我们首先要 有一个坚实的理论基础，正如随机现象建立在概率论的基础上，模糊现象建立在可 信性理论上所以我们最先需要从理论方面研究双重不确定性 模糊随机性是双重不确定性的一种具体体现模糊随机变量这一概念最先由 k w a k e r n a a k i s 】提出，之后许多学者如p u r i 和r a l e s c u 9 l ，k r u s e 和m e y e r 1 0 】对其 进行了进一步的研究，并给出了不同的定义方式，但是这些定义都是通过模糊数给 出的，在决策系统中不便于使用因而在2 0 0 3 年l i u 和l i u 1 1 】重新定义了模糊随 机变量的可测性，进一步文献【1 2 】提出了模糊随机变量平均机会的概念，使得对模 糊随机现象的研究建立在一个可靠的理论之上 随机模糊性是双重不确定性的另一种体现形式随机模糊变量这一概念最先由 l i u 1 3 , 1 4 1 提出并给出了随机模糊相关机会约束规划f 1 5 l ，随机模糊机会约束规划【1 6 】， 随机模糊期望值模型【1 7 】这为我们处理这种双重不确定性提供了强有力的工具我 们知道，在概率论中有了大数定律，以及强收敛和弱收敛等收敛概念，使得概率在 实际应用中有了强有力的理论保证，也是概率论能够被人们广泛接受的主要原因之 一同样的，考虑随机模糊变量的收敛性也是一个非常重要的问题 河北大学理学硕士学位论文 虽然我们认识到这两种不确定性因素，并把它们综合起来考虑，使得我们对客 观世界的认识更加深入客观，但是我们在处理双重不确定规划问题时，就要面f 临处 理其固有的无限维计算问题当面临实际问题时这是不可能直接计算出来的! 因此 就要依靠智能计算的算法和有效的逼近方法 为此，我们需要有好的算法和好的逼近方法，这样才能使我们的问题得以求解 在算法方面，随着计算机的飞速发展，智能算法得以长足的发展，相继有了遗传算 法、蚁群算法、模拟退火算法，这为我们处理问题提供了有力工具而仅仅依靠智 能算法无法从根本上解决问题，因为双重不确定性是将随机性和模糊性结合起来考 虑，比如我们单独算随机性需要计算5 0 0 0 次，同样计算模糊性也需要计算5 0 0 0 次， 那么如果要计算双重的，可能需要计算5 0 0 0x5 0 0 0 次的规模问题这个计算量是 相当庞大的! 这还是针对离散型的简单问题，如果是连续型的问题，如果没有逼近 理论，那么是无法求解的由于双重不确定问题的研究刚刚起步，所以没有现成的 逼近方法供我们参考需要我们从问题的本质出发，给出较好的逼近方法 我们有了理论和方法后，需要用到实际问题当中去，即可以检验我们方法的正 确性又可以指导实践在此，我们考虑具有广泛应用背景的设备选址问题设备选 址问题就是为一系列新的设备选择地址，以达到某种目的，如从所选地址到顾客的 运输费用最小等等，设备选址问题之所以研究了近一个世纪，是因为有广泛的实际 应用背景，比如说建立一个应急供电系统或者建立一个通讯网络等等实际问题都属 于设备选址问题1 9 6 3 年c o o p e r 1 8 】最早研究了设备选址问题，并且h a k i m i 1 9 】把 它做为一个强有力的工具应用到了网络设计中去，取得了显著的成果 鉴于实际问题的复杂性，约束性，非线性等特点，寻找一种更适合于现实环境 的设备选址模型已成为有关学科的一个主要研究目标和引人注目的研究方向许多 学者最初在随机的环境下来描述设备选址问题，l o g e n d r a n 和t e r r e l l 2 0 j 研究了在 生产能力无限制，价格是随机的条件下，净利润最大化的设备选址模型 z h o u 2 1 】 给出了在随机环境下、生产能力无限制条件下的期望费用模型，最小费用模型，最 大可能性模型 自模糊集提出之后，就有部分学者在模糊环境下研究设备选址问题，文献【2 2 , 2 3 】 在模糊环境下研究了设备选址问题作为可能性理论【2 4 , 2 5 】的延伸，l i u 和l i u 7 1 给 出了可信性理论这为讨论模糊环境下的设备选址问题提供了更好的理论基础 本文考虑在双重不确定的环境下研究设备选址问题我们假设顾客的需求是一 个双重不确定因素，即顾客的需求即具有模糊性又具有随机性那么用模糊随机来 第1 章绪论 刻画顾客的需求合适呢，还是用随机模糊来刻画顾客的需求合适呢? 通过对实际问 题的考查，我们发现从长久来看，顾客的需求是具有随机性的正如经济学中经常 假设顾客的需求服从正态分布而从单个顾客来看，顾客对某种产品的需求有一定 的模糊性，比如顾客对某种产品表现为喜欢，比较喜欢，很喜欢为此我们用模糊 随机来刻画顾客的需求较合适l i u 2 6 】提出了一种新的模糊随机规划一两阶段 模糊随机规划，借助刻画模糊随机性的有力工具一平均机会理论，建立并描述了模 糊随机期望值风险模型【2 7 1 1 2本文主要内容 随着模糊理论的发展和完善，模糊理论被广泛地应用到了各个科学和技术领 域由于现实中的许多问题具有模糊性和随机性两种不确定性，我们用模糊随机和 随机模糊两种理论来刻画双重不确定性这两种理论对双重不确定性的描述各有侧 重使得我们对客观世界的认识更加深刻我们首先介绍了模糊随机和随机模糊的 基本概念和性质在进一步的研究中，我们发现对于模糊随机和随机模糊这两种双 重不确定现象，其计算成为一个复杂而又困难的问题为了能够顺利地求解问题， 我们需要有较好的算法和逼近理论为此我们进一步研究了模糊随机和随机模糊的 逼近方法我们将这种双重不确定性应用到设备选址问题中，根据实际情况，我们发 现在设备选址问题中确实存在这模糊性也同时具有随机性进一步地分析，我们认 为用模糊随机来刻画设备选址中顾客的需求较为合适使得设备选址问题更加符合 实际更加合理更加客观我们要研究模糊随机的现象，就要有一个好的度量标准， 有许多的学者p u r i 和r a l e s c u 9 ，k r u s e 和m e y e r 1 0 】分别给出了不同的定义，但是 这些都是通过模糊数给出的，在决策系统中用起来不方便所以我们在平均机会【1 2 】 测度的理论基础上来研究模糊随机两阶段的设备选址问题 在第2 章中，我们首先回顾了双重不确定理论中的基本概念，讨论了随机模糊 变量的收敛模式和各种收敛之间的关系 在第3 章中，我们建立了两阶段模糊随机规划模型，给出了模型的逼近方法 为其进一步的计算提供了有力的理论基础 在第4 章中，我们将模型应用到设备选址问题中，根据设计的智能算法，求解 了一个数值例子，用于说明算法的合理性 最后，我们对本文所研究的内容做了简短的总结并且根据当前的研究现状对以 后的研究做了进一步的展望 河北大学理学硕十学位论文 第2 章双重不确定理论 本章主要介绍模糊随机理论中的基本概念和有关性质，定义随机模糊变量的各 种收敛模式，并讨论了各种收敛之间的关系 2 1 模糊随机理论中的基本概念 令r 是由元素7 组成的抽象空间备域是一个由r 的子集所构成的集类， 并且在r 中是关于任意多个集合的并、交、补运算是封闭的可能性测度和必要性 测度是一对对偶的半连续模糊测度，文献 2 4 , 2 8 】对其进行了详细的讨论，下面我们 分别介绍它们的定义 定义2 1 给定一个论域r ，p ( r ) 是r 的幂集，p o s 是一个定义在p ( r ) 上的集函 数p o s 称为一个可能性测度，如果满足下面的条件： p o s1 ) p o s ( 矽) = 0 ，p o s ( r ) = 1 ； p o s2 ) p o s ( u i e l a ) = s u p i e ，p o s ( a i ) 对于任意的p ( r ) 的子集 a 卜j ) ，其中 j 是任意的指标集 三元组( f ，p ( r ) ，p o s ) 被称为可能性空间，也被n a h m i a s 2 5 l 称为模式空间 利用可能性测度p o s ，我们还可以定义另一个集函数n e c n e c ( a ) = 1 一p o s ( a 。) ，a p ( r ) 定义2 2 设集函数n e c 定义在p ( r ) 上，称n e c 为一个必要性测度，如果满足下 面的条件： n e c1 ) n e c ( 咖) = 0 ，n e c ( f ) = 1 ； n e c2 ) n e c ( n i j a ) = i n f i ，n e c ( a i ) 对于任意的p ( r ) 的子集 a il i ， ，其 中，是任意的指标集 基于可能性测度，l i u 和l i u 7 】定义了一个自对偶的集函数c r ，其定义如下t 定义2 3 设( f ，p ( r ) ，p o s ) 是一个可能性空间，如果定义集函数c r 为 c r ( a ) = 1 ( 1 + p o s ( a ) 一p o s ( a 。) ) ，a p ( r ) ， 则称集函数c r 为可信性测度，其中a 。是集合a 的补集 第2 章双币不确定理论 我们容易验证可信性测度c r 有下面的性质： c r1 ) c k ) = 0 ，c r ( r ) = 1 ； c r2 ) 单调性：如果a ，bep ( r ) ，且acb ，则c r ( a ) c r ( b ) ； c r3 ) 自对偶性：对于所有的a p ( r ) ，都有c r ( a ) + c r ( a 。) = 1 ； c r4 ) 次可加性：对任意的a ，b p ( r ) ，有c r ( aub ) c r ( a ) + c r ( b ) 三元组( f ，p ( r ) ，c r ) 被称为一个可信性空间f 剧 在可信性空间中，l i u 2 7 】定义了一个重要的概念模糊向量进一步模糊 向量的可能性分布定义如下【2 9 】： p ( 亡1 ，t n ) = m i n 2 c r 7i 1 ( 7 ) = t l ，厶( 7 ) = t n ) ，1 ) 同时，它也称为是模糊变量1 ，厶的联合可能性分布，记为心h ，矗( t l ，k ) 模糊变量的期望值算子定义如下 定义2 4 【7 l 设是一个定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊变量的期望 值定义为 f o of 0 e 畦 = c r r d r 一 c r _ r d r ，( 2 1 ) j oj 一 其中m i n 旷c r r d r ，f o _ o 。c r r d r 定义2 5 1 1 】假设( q ，p r ) 是一个概率空间，刀是一族n 维的模糊向量，映射 = ( f ，已，厶) t ：q 叶刀称之为一个扎维的模糊随机向量，如果对于任意的 7 秒的b o r e l 子集b ，函数c r 0 o ( ，y ) b ) 是关于叫是可测的当n = 1 时， f 称之为模糊随机变量 定理2 1 【3 0 1 一个从q 到了翟的映射是一个模糊随机向量当且仅当对每个闭子集 fc 冗n ，c r 已f ) 都是可测的 为了度量一个模糊随机事件，我们需要如下定义平均机会s 定义2 6 【1 2 】设是模糊随机变量，b 为宠的b o r e l 子集模糊事件b 的平 均机会可由随机变量c r 岛b ) 来定义，定义如下t c h b ) = 上c r _ 已e s p r ( 咖) 一5 河北大学理学硕十学位论文 另外，由于p r 是一个可加测度，则平均机会有如下等价形式 ，1 c h b ) = p r a j a l c r 0 b ) p ) 咖 ，0 如果模糊随机向量退化为一个随机向量，那么由定义中所给出的平均机会退 化为p r ( b ) ，这正好是随机事件的概率，所以模糊随机事件的平均机会是随机 事件概率的自然推广 如果一个模糊随机向量退化为一个模糊向量，那么由定义中所给出的平均机 会退化为c r 已b ) ，它正好是一个模糊事件的可信性测度因此，模糊随机事件 的平均机会也是模糊事件机会的自然推广 = ( - 3 , - 2 , - 。铡 c h t r ，= 蔷：呈季三主三 c 昧纠= 2 - i - r ：一- l 薯 r 0 ，下式 p r 陋皿圳m 小洲纠) _ 0 以可信性1 成立，这等价于： c h 咂璺“陋，) = o _ ( nu 瓶一i ) ) = o 以下命题给出几乎一致收敛准则 命题2 2 假设 厶) 和是随机模糊变量如果厶兰当，那么对于任给的 0 ， 极限 鄹r 心川饥心隆，) = o 协3 ， 反过来，如果，y 是一个取值有限的离散模糊变量，那么由( 2 3 ) 可推出厶兰当 证明如果 厶当， 那么存在两个非增的集列 ) ca ， r ) c 满足l i m mc r ( e m ) = l i m mp r ( ) = 0 ，使得对每个m = 1 ，2 ，在r q 上，靠当 记 e = n 那么c r ( e ) = 0 ，并且对任意的，y p e ，存在一个正整数仇，y ，使得，y r 点1 m ， 由于 ) 是非增的，当m m 7 ，有，y r 于是，存在 ) 的子序列 f 仇，m m 7 ) ，使得对每个m 7 ，m 7 - t - 1 ，序列 厶，7 】- 在上一致收敛到岛， 即以可信性1 有： 厶，1 骂岛 下面，我们证明厶，7 当岛 事实上，对于任意给的6 0 ，存在日，p r ( b ) 0 ，存在一个正整数m ( ，7 ) ，使得对所有的 u q b ，当n 仇时，有 l 矗，7 ( u ) 一岛( u ) l 于是 q bcn u qll 厶，7 ( u ) 一岛( u ) i ) ， 或 u u q i 厶，7 ( u ) 一岛( u ) i e ) c 由此可得 p r ( u 墨m 叫ql 厶，7 ( u ) 一岛( u ) i e ) ) p r ( b ) 0 并且m a x 仁n1p i = 1 由于对于每个i = 1 ，2 ，有 蚶r m 州如h 协) ) = o - 那么对任意的5 ( 0 ，1 ) ，以及每个k = 1 ，2 ，存在一个正整数m k ，使得对i = 1 ，2 ，有 p r ( u 墨m 。 u qi 厶，m ( u ) 一氏( u ) 1 k ) 6 2 七十 设 f = uuu u qi 厶，m ( u ) 一岛；( u ) i l k ， 那么 p r ( f ) _ p r o n曼。川酬小抡1kk=l、1 = p r luuu uli 厶，仉( u ) 一氏( u ) l l = 1n = m s 量量( ，0 ui 厶一u ) 一氏) i k p r1 k ) 0 和叩 0 ， c h i 靠一引) = 詹o r 7fp r l ( n ，7 ( u ) 一岛( u ) l2e ) p d p n c r 7ip r i 靠，1 ( u ) 一岛( u ) i ) 叩) ， 河北大学理学硕十学位论文 这说明 另一方面，若 p r u | | 矗，7 ( “，) 一岛( ) i ) - 30 p r c a i 厶，7 ( u ) 一岛( u ) i - s0 ， 则对任给的p ( 0 ，1 ， l i mc r 7ip r i 厶，1 ( u ) 一岛( u ) i ) p ) = 0 n - - * o o 由控制收敛定理，有 l i mc h l 矗一引e ) n o o = 詹n l i m 。c r ，y ip r i 厶，7 ( u ) 一岛( u ) l ) p d p = 0 ， 证明完毕 下面几个定理讨论了随机模糊变量序列各种收敛之间的关系 定理2 3 假设 厶) 和是随机模糊变量如果靠当专，那么靠兰 证明假设厶当由于可信性为1 ，有下式成立 蚶r 心删制l = 0 ； 由概率的上半连续性，有 p r 幢皿圳酬小洲捌) = 。 p r inu u q fi 厶，7 ) 一岛( u ) l e ) ) _ o m = 1 n = m 由命题2 1 厶骂 证明完毕 定理2 4 假设 靠) 和是随机模糊变量如果矗马，那么矗旦 0 = 、l - 、 曲 一 引 一 厶 u rn l 知 强 酌 c 此 由 立 成性信可以 第2 章双覆不确定理论 广l = c r 7 rp r i 厶，7 ( u ) 一岛( u ) i e ) p d p o ， p l c r 7 p ep r l 厶，1 ( u ) 一岛( 叫) i ) p d p j 0 + c r 7 ep r i - - 。t - - - - - - l i 矗 ，1 ( u ) 一岛( u ) i 芝e ) p ) d p 。 卜卜划 矗马专 定理2 5 假设，y 是取值有限的离散模糊变量，如果厶旦，则存在 厶) 的子序 7 一芝一：p n ) 厶旦， p r wi i 厶，7 ( u ) 一岛( u ) l ) 旦0 河北大学理学硕十学位论文 即对i = 1 ，2 ，有 由r i e s z 定理，可知从而存在_ ( 靠) 的子序列_ 厶。) ，使得对任意的u q 和i = 1 ，2 ， 矗。，饥) 一鼠) 证明完毕 口 第3 章一类两阶段模糊随机规划模型的逼近方法 第3 章一类两阶段模糊随机规划模型的逼近方法 本章主要将建立一类两阶段模糊随机规划模型，并讨论模型逼近理论，为进一 步求解模型提供理论基础 3 1 两阶段模糊随机规划模型的建立 法 在模糊随机理论中，我们着重讨论两阶段模糊随机最小风险模型和模型逼近方 两阶段模糊随机最小风险问题可表示成如下的形式： r a i n z c h c r x + m i q t ( ) 可 妒o ) s l 仳n ：r - - 2 、6 眦、眦、 ( 3 1 ) t ( ) z + w ( ) = ( 专) r7 z 0 ，y 0 两阶段模糊随机最小风险模型的目的是最小化模糊随机费用c t x + q ( x ，) 超 过垆。的机会，其中妒。可被认为是破产的边缘或可承受债务的极限除此之外，第 一阶段和第二阶段是有所区别的第一阶段的决策是n 2 1 维的非负的向量z ，第 二阶段的决策变量是n 2 1 维的向量y 相对应x 作为第一阶段的向量，c ，b 和a 分别为n l 1 , m l 2 和m l n l 维的矩阵在第二阶段，对于口( ) ，允( ) ，t ( ) ，w ( ) 假设为模糊随机变量，并将其表示为如下的仿射和的形式 口( ) = q o + ：1q 已 黧22 娶名皇 ( 3 2 ) t ( ) = t o + ：1t 毫 r w ( 荨) = w o + 仁r1w i 已 其中= ( 1 ，已，矗) r 是一个模糊随机的向量，同时q ，h ，t i ，w ，i = 0 ，1 ，r ， 分别为n 2 1 ，m 2 1 ，m 2 x n l ，m 2 礼2 维的确定矩阵当给定q x f 中的任意的实现值 ，7 ) 时，第二阶段模型的数据口( 矗( 7 ) ) ， ( 毛( ，y ) ) ，t ( 已( ，y ) ) 和w ( 矗( 7 ) ) 变为已知 的，相应地就会选择补偿措施y 来满足第二阶段的模糊随机约束：t ( ) z + w ( ) 可= ( ) 由此可知第二阶段的决策y 完全是由给定的z 和的实现值已( ，y ) 来决定的， 因此真正的决策是x 给定第一阶段的决策z ，和f 的实现值，记 q ( x ，) = r a i n q t ( ) 可i v 矿( ) 秒= 忍( ) 一t ( ) ，z ，y o ) ( 3 3 ) 河北大学理学硕十学位论文 对于问题( 3 3 ) ，可知它是关于x 和的函数，同时对于问题( 3 3 ) 中括号中的元 素可能会是无界或没有可行解的，在这种情况之下，我们将采用标准的形式来定义 q ( z ，) 为+ 或一。o 例3 4 假设两阶段模糊随机问题的第二阶段定义为 m my s t = 3 一x y 0 其中是一个如下定义的模糊随机变量 已= 3 ，则不存在 y ，使得约束白= 3 一x 成立，此时q ( x ，) = 另一方面，对每个固定的x 3 ， 以及霉【1 ，4 】，我们都有最优解y + = ( 3 一z ) 毒，其对应的最优值为 q ( z ，) ：挈 因此，第二阶段最优值函数为 嘣，= 惜誓3 定理3 61 2 6 1 对于任意给定的第一阶段的决策x ，第二阶段值函数q ( x ，) 为模糊 随机变量 在第二阶段模糊随机规划( 3 1 ) 中，第一阶段的决策必须满足以下确定性的约 o 柬 d 1 = a x = b ，x o ) ( 3 4 ) 由此可知，对于问题( 3 1 ) 的可行集d 可被定义为d = d 1nd 2 ，其中d 2 是由模 糊随机约束所诱导出的约束来确定 通过定理3 6 ，可知对于任意的第一阶段的决策z ，q ( x ) 是一个模糊变量 因此在本论文中对于d 2 定义成如下的形式： 一1 6 第3 章一类两阶段模糊随机规划模型的逼近方法 d 2 = 1 z 砑mi c h q ( x ，) o ； ( a 2 )当u 驴：，u 0 ，且w ( 毒) 2 正0 ，则( ( 毒) 一t ( ) z ) t u 妒o ) 则，由q ( x ，) 和机会约束的定义可知，q ( x ，) 是可测的q c ( x ) 称为是第二阶 段规划的补偿函数 下面，我们定义如下的问题 ：t i 1 黯d ( 3 5 ) s z 、7 为模糊随机规划的确定性的规划问题，其中q c ( z ) = c h c r x + q ( x ，) 妒o ) ， q ( z ，) = m i nq t ( ) 矽 s t v 矿( ) 剪= 忍( ) 一t ( ) z( 3 6 ) y 0 模型( 3 5 ) 表明，在得到已( 7 ) 之前，此模型通过选择d 中的决策x ，使得模糊随 机费用c t x + q ( x ，) 超过妒。的机会达到最小 假设问题( 3 5 ) 一( 3 6 ) 中的为离散的模糊随机的向量，这样可知u 为离散的 随机变量，对于其所取的有限个数值咄，它的概率值分别为a ，i = 1 ，2 ，这 样可知对于每一个i ，模糊随机变量缸会取如下的数值 i 1 0 p f 2 0 ( 3 7 ) 籼：( ，旁，争) t 地t 0 1 7 - p p 铲铲 毋毋 1 2 。岛。g = i l 1 2 pp 河北大学理学硕十学位论文 其中对每一个i ，m a x # t jl1 j m ) = 1 由此可知对于补偿函数q c ( x ) 在z 处 的值可由以下的公式来计算 q c ( z ) = 竺。q ( z ，毗) 其中q ( z ，咄) = c r c 。z + q ( x ，p ) o ) ，r x 寸每- - x 寸( ，j ) ， q ( x ，) = ( 3 8 ) m i n 鳄沪 s t 1 ) 旷i j y i j = 矗巧一彳坳z ( 3 9 ) y ”0 因为对于一般性的两阶段模糊随机规划，它经常包括模糊随机变量，而且此模 糊随机变量是通过模糊分布和随机分布定义在无限维的支撑上所以此问题为无限 维的最优化问题，其求解方法非常复杂，通常需要启发式的算法来求解这类模糊随 机规划下面将介绍一种逼近算法来求解模糊随机规划 3 2 两阶段模糊随机规划的逼近方法 3 2 1 逼近方案 假设= ( l ，已，靠) t 为模糊随机最小风险模型( 3 5 ) 一( 3 6 ) 在其支撑三c 冗7 上的模糊随机向量，在这一节中，我们将用逼近算法在无限维的支撑上来逼近 ，使得补偿函数 q c ( z ) = c h c t x + q ( z ，f ) 妒o ) ( 3 1 0 ) 可以在任意给定的可行决策z 处计算其机会值下面分两种情形进行讨论： 情况j ：是一个模糊随机向量，它的随机性可由离散的随机变量u 来刻画，其 中对于有限个数的数值0 3 i ，i = 1 ，2 ，它的概率值相应的为p i ，i = 1 ，2 ， 这样对于每一个i ，缸= ( 1 ，已，咄，6 ，u ；) 为离散的模糊向量，它取值为 白= ( 半，髫，萨) t 其可能性p 巧 0 ，i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，同时m n z l g 肌肛巧= 1 在这种 情况之下，的支撑兰= ( 毒i j l i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，批) 是一个有限集这 样，对于每一个三，通过单纯形法求解线形规划问题可得到第二阶段的目标值 q ( x ，p ) 这样我可得到 q ( z ) = 墨1p l q ( z ，蚍) ( 3 1 1 ) 第3 章一类两阶段模糊随机规划模型的逼近方法 其中q ( x ，) = c r c v x + q ( x ，毗) 妒o ) ，它可由以下的公式来计算 q ( x ，u t )= ；( 1+ p