（电磁场与微波技术专业论文）基于驻相法积分和nurbs曲面建模的物理光学法研究.pdf

摘要 本文阐述了基于非均匀有理8 样条( n u r b s ) 技术建模和物理光学法来计算电 大尺寸目标雷达散射界面( r c s ) 的方法： l 作为研究工作的基础，本文深入研究了n u r b s 蓝面和贝齐尔( b e z i e r ) 蓝 面的数学特性。分析了将n u r b s 曲面转化为b e z i e r 曲面的具体算法实现。深入 研究了驻楣法的基本理论，推导了楣关的公式。 2 用n u r b s 技术对目标进行了建模，首先根据目标模型得出控制节点，然后 再根据所需曲面的类型来计算出其相应的权因子及节点矢量，最后利用编程实现 计算n u r b s 曲面上的每一点并绘成相应的曲面，侧如圆柱面，圆锥面等。 3 在计算目标( r c s ) 时，首先将散射体表面的物理光学积分通过参数变换为 n u r b s 参数域上的二重积分，然藤利用积分的极限定义与n u r b s 蓝面上任意点的 参数信息将积分转化为两组离散点的求和形式，最后得到r c s 。 关键词：非均匀有理b 样条驻相法物理光学雷达散射截面 ab s t r a c t b a s e do nt h en o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ( n u r b s ) a n dp h y s i c a lo p t i c s ( p o ) t e c h n i q u e s ，t h er a d a rc r o s ss e c t i o n ( r c s ) o fc o n d u c t i n gp l a t ei sc a l c u l a t e d 1 t h em a t h e m a t i c a lp r o p e r t yo fn u r b ss u r f a c ea n db e z i e rs u r f a c ea r e t h o r o u g h l ys t u d i e d ，a n dt h es p e c i f i ca l g o r i t h mo ft r a n s f o r m i n gt h en u r b ss u r f a c ei n t o t h eb e z i e rs u r f a c ei sa n a l y z e d t h eb a s i ct h e o r yo f s t a t i o n a r yp h a s em e t h o d ( s p m ) i s s t u d i e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gf o r m u l a sa l ed e d u c e d 。 2 f o rt h em o d e l i n go fa t a r g e tb yt h en u r b st e c h n i q u e ，a tf i r s t ，t h ec o n t r o lk n o t s a r ec o m p u t e d t h e n ，t h ew e i g h t sa n dk n o t so fd i f f e r e n tt y p e so nt h es u r f a c ea r e e v a l u a t e d 。f i n a l l y , a r b i t r a r yp o i n t so nt h en u r b ss u r f a c e ，s u c ha sac y l i n d e ro rac o n e ， a l eo b t a i n e d 。 3 f o rt h ec o m p u t a t i o no ft h er c s ，f i r s t l y , t h ep h y s i c a lo p t i c s i n t e g r a lo nt h e s u r f a c eo ft h es c a r e ri st r a n s f o r m e di n t oad u a li n t e g r a lo f n u r b sp a r a m e t e r sd o m a i n t h e n ，t h ei n t e g r a li sc h a n g e di n t os u m m a t i o nb yt h ed e f i n i t i o no fi n t e g r a t i o na n dt h e p a r a m e t e r si n f o r m a t i o no fa r b i t r a r yp o i n t so nt h en u r b s s u r f a c e f i n a l l y , t h er c si s p r e d i c t e d k e y w o r d s ：n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e p h y s i c a lo p t i c s s t a t i o n a r yp h a s em e t h o d r c s 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文楚我个人在导雾季强导+ f 进行的研究一l ：嚣= 及取得熬研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的毳珏究成果；也不包禽为获得龋安电子科技大学域其它教育移l 构的学位或证郝丽使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说嘴井表 示了谢意。 申请学位论文与资辩著有不实之处，本人承捏一切相关责任。 本人签名：日期：逊鳇! 翌! 关于论文使用授权的说明 本入完全了解馥安电子科技大学有关保密秘锼用学德论文鲍规定，即：磅究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属晒安电子科技大学。本人保证毕业离校肝，发表论文或 使用论文王作成果时署名单位仍然为题安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采笄 影印、缩印或其 它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。 本人签名：墨连 导龉签够缀啦 日期： 日期： 羽媳、弓。0 丕鲤星：乏5 第一章绪沦 第一章绪论 l 。l 研究背景和意义 近年来，科学技术得到了迅猛发展，于是林林总总的电子器件和设备迅速普 及，特别是为了满足入嚣礅鏖时随地都需要获取信息的要求，安现了很多种无线电 子设备。另一方面，随着计算机技术的迅速发展，计算机辅助设计( c a d ) 和计 算机辅助制造( c a m ) 已经在电子工业产品的设计歼发和生产过程中起着相当重 要的作用瓣l 。计算机辅助设计和计算机辅助制造系统的蹴现在很大程度上缩短了 产品的设计和生产周期，大大提高了产品设计和生产的效率，节约了时间和成本。 从上世纪6 0 年代开始，计算电磁学出现了，于是，各种电磁计算方法很快被应用 到工业产品的电磁性能仿真计算中，有效节约了实验成本。目前，电磁仿真暖经 成为工业电子产品计算机辅助设计系统和计算机辅助制造系统的一个必不可少酶 部分。众所周知，工业产品的大部分部件都由金属材料构成，所以工业产品的电 磁性能除了与电子设备本身的性能相关以外，与产晶的几何外形的关系也非常密 切。因此，电磁计算必须以产品的几何模型为基础，电磁仿真的准确程度也融几 何建模和电磁计算两方面决定。 从上个世纪中页开始，多种电磁计算方法彳导到了长足的发展和进步。但是， 电大问题的分析依然是电磁计算的一个难点。基于模型剖分的矩量法( m o m ) 、 有限元方法( f 琶m ) 和有限时域差分法( f d t d ) 都是被用于分析电尺寸不是很 大的闯题。当然，这些方法可以精确计算电尺寸较小的翳标，但是在对电大问题 进行分析时，仍然存在计算资源不够的问题。追究其原因，主要是因为以上这些 计算方法在计算时所需要的存储量和计算量是与计算模型的电尺寸正相关的。一 般情况下，焉予电大尺寸弱标的电磁计算方法主要有物理光学方法( p o ) 和一致 性几何绕射理论( u t d ) 1 2 j ，这类高频电磁计算方法属于近似方法。用物理光学 方法进行计算时一般也需要对模型进行剖分。采用典型部件建模有它的优点，就 是可以得到解析解，这样加快了计算速度。但是考虑另方面，当今大量的工业 产品的外形都采用了漉线型设计，如果我们采用典型部件建模，那么模型精度将 会大幅降低，进而影响计算准确程度。综上所述，目前存在的各种电磁计算方法 都存在自身的缺陷，因此在改进方法自身缺陷的同时如何将各种计算方法相互融 合以弥补单个方法的缺陷也成为电磁计算方法研究的目标之一。 可以这样说，电磁仿真与工业产品的几何外形建模有着紧密的关联。在几婀 外形建模方面，非均匀有理b 样条( n u r b s ) 曲面建模技术在上世纪7 0 年代首 先被提出，并且在上世纪9 0 年代初成为工业设讲中几何外形设计的国际标准嘲。 基丁驻相法积分署l in u r b s 曲面建模的物婵光丫! 法研究 目前大部分的c a d 建模软件都已经支持n u r b s 曲面建模技术。采用n u r b s 曲 蘧建模具有建模精度高、面片数量少的优点。考虑到该建模技术的在对电大尺寸 散射体建模方面的优点，基于n u r b s 曲面建模的电磁计算方法在上世纪8 0 年代 开始受到人们的关注，并且得到初步的研究。 基于曲面建模的物理光学方法是首先被研究的。失了利用n u r b s 曲面建模 精度高和面片数量少的特点，在将曲面建模引入到物理光学方法中时，就不能再 用将计算西标采用平丽片割分的方法，两是以单个的益面彳乍为计算的基本单元。 当然，电流的积分区域和遮挡判断的计算单元也不再是剖分后的平面片而是整个 曲面。这样处理后，却带来7 一个困难就是要经常面对振荡积分的计算问题。另 外，曲面的遮挡判断也是要的研究目标之一。怎样在n u r b s 曲面模型上实现混 合方法将需要以后更深入的研究。 本文的舀的就是提出一套基于n u r b s 曲面建模物理光学快速、准确的数值 计算方法。 1 2 电大问题的研究现状 当频率升高和计算目标电尺寸较大时，矩量法、f d t d 方法等电磁计算方法 将变得不再实用。在这种情况下，几何绕射方法( g t d ) 、u t d 方法和物理光学 方法是我们经常用到的电磁计算方法。 几何绕射理论是从几何光学方法发展而来的，几何光学是一种经典的射线方 法。1 9 6 2 年，k e l l e r 4 l 在几何光学的基础上研究了绕射理论l ，并且将绕射理论和 几何不连续性引入了几何光学理论，形成了新的高频射线方法。在几何绕射理论 中，源到场点的路径是有限的。这些路径由射线表示，根据这些射线的不同特性 可以分为直射射线、反射射线和绕射射线三种。最后将相对应这些射线在场点的 场相加即得到总场。整个g t d 的实现过程大概可以分为三个步骤：射线寻迹、 遮挡判断和求场。因为和目标的电尺寸无关，g t d 在解决电大问题的时候显示出 了优势。总的来说g t d 方法的主要优势是：计算量与频率无关；计算量与电尺 寸无关；采用典型部件时，由予存在解析解，计算量大大减少；面盈对内存的需 求很小。 g t d 方法也存在很多缺点。比如该方法在亮暗区的连接区域是失效昭。值褥 注意的是，k o u y o u m j i a n 6 】在1 9 8 4 年提出了一致性几何绕射理论，也就是u t d 方 法。该方法弥补了g t d 方法的缺陷。 当然，任何方法都不是十全十美的，u t d 方法本身在数值实现时存在一些困 难。另外u t d 方法与瞳面模型相结合时也存在一些妥肖的因素，主要有以下几 点： 第一章缝论 l 射线方法的中射线寻迹和遮挡判断的精度控制很难掌握。容易出现在个别 的场点计算误麓较大的情况。 2 将射线方法应用到曲面建模时，在射线寻迹和遮挡判断的实现过程中很难 雩导到解析解，只能采用数值方法，导致计算速度大大降低。 3 射线方法在很难得到目标的电流分布，给某些电磁参数的计算带来不便。 物理光学方法是基于电流的高频计算方法。通常在求解理想导体的高频电磁 数射时，感应电流的物理光学近似得到了广泛应用。本质上物理光学方法是一种 高频近似的分析方法，它是用敝射体表面的感应电流来代替散射体本身作为散射 场的源；最后对表面感应电流积分从而求得散射场。一般物理光学方法主要被应 用于理想导体散射体的雷达散射截面( r c s ) 的计算中。该方法在最近几十年间 仍然得至广泛的研究，同时也取得了一定麴进展。 苏联学者乌菲姆切夫在上世纪七十年代在物理光学方法的基础上提出物理绕 射理论 7 1 。1 9 8 7 年，i n d e r j g u p t a 推导出了连续面阴影边界对于散射场的贡献计 算公式疆l ，修正了物理光学方法。在随后几十年间对予物理光学方法计算精度的 改进工作不断被提出。物理光学方法最初只被应用于远场计算。d e s c l o s 和n e t o t 9 1 0 】 采用应用严格的格林函数的方式使得物理光学方法的应用范围得到扩展。2 0 0 4 年，s r l e g a u l t i l1 迸步提出了一种相位近似的方法使得物理光学方法能够在不 大幅增加计算量的前提下被应用于近场计算。 1 3n u r b s 的研究现状 在大型的军晶制造商开始采用参数曲面进彳亍产熙设计之后【l2 1 ，基于参数曲面 的电磁计算方法的研究就丌始了。由于军品的特殊要求，基于曲面建模的物理光 学方法首先被引入用来计算雷达散射截面。其主要目的主要是为了满足各种飞机 和舰船几何外形设司。的需要。迄今为止，对该方法邸基予n u r b s 魑亟模型的电 磁计算进行研究的水平已经包揽了常用的物理光学方法( p o ) 、一致性几何绕射 理论( u t d ) 、矩量法( m o m ) 以及m o m p o 混合方法。在美国和欧洲，在上世 纪的八十年代就已经开展了这方面的研究工作。这是因为在这些国家和地区，计 算机辅助设计和制造早已经得到较高水平的发展。 。 美国麦道航空公溺( m c d o n n e l ld o u g l a s a e r o s p a c e ) 和波音航空公司是从事这 方面研究的代表和范例。1 9 9 5 年，麦道航空公司的d m e l k i n g i l 3 l 发表文章阐述 了该公司研发的基予参数曲面的电磁计算软件：c a d d s c a t 。该软件兼容平巍片 模型和曲面模型，主要采用物理光学方法分析飞行器的雷达散射截面。由于该软 件是和乜行器设计系统结合，在很大程度上缩短了设计周期。软件采用二维高斯 积分方法计算物理光学积分，丽时发展了套新的积分方法。这种新的积分计算 4 摹r - 驻相法积分和n u r b s 曲面建模的物理光学法研究 方法在曲面参数平面的一个维度上采用解析积分，另一个维度上采用高斯积分。 软件同时也研究了多次反射问题。在遮挡判断问题上，软件采用了一套称为 s e a d s 的基于计算机图形学的射线寻迹代码。1 9 9 9 年波音公司的工程师j a m e s m r o e d d e r 发表文章详细说明了基于计算机图形学的射线寻迹和遮挡判断技术，但 是没有对基于曲面建模的物理光学方法做深入的讨论。这个新版软件主要对于“剪 切曲面”的计算做了一定的研究。这主要是由于在软件采用的i g e s 模型格式中， 剪切后的曲面并不是重新构建并存储的，而是采用原曲面加上剪切操作的这一方 式存储的。这些技术需要以后继续研究。 1 9 8 7 年，麦道航空公司开始使用该软件，1 9 9 2 年更被美国海军的资助的概念 机设计小组( c o n c e p t u a ld e s i g nw o r k i n gg r o u p ) 采用。到1 9 9 5 年时，该软件已 经被美国海、空军的多家研究机构以及n a s a 采用。美国的研究工作可以总结为： 已经发展出一套完善的基于n u r b s 曲面建模的r c s 计算分析软件c a d d s c a t 。 c a d d s c a t 采用基于参数曲面模型的物理光学方法计算目标的雷达散射截面。 采用参数网格和高斯积分计算物理光学电流积分。美国工程师曾经发表文章对于 软件设计思路和采用的工具、方法作了简单的阐述。 在欧洲，西班牙是最早发表的相关文章的国家。j p e r e z 1 4 】等人首先发表文章 提出采用基于n u r b s 曲面建模的物理光学方法计算电大目标的雷达散射截面。 p e r e z 首先提出采用驻相法( s p m ) 而非高斯积分方法计算物理光学积分。此后， t i m o t h yj p e t e r s 提出基于n u r b s 曲面建模的有限元方法和矩量法。事实上，他 在文章中给出的是如何将n u r b s 曲面采用平面三角形剖分的方法，在电磁计算 上并没有突破。同年，l v a l l e 巧j 等人提出基于n u r b s 曲面的矩量法，给出了一 种从屋顶基函数发展而来的在整个面片上定义的电流基函数。l v a l l e 在文章最后 提出矩量法与几何光学混合( m m g o ) 方法的可行性，但是可惜未见有后续报 导。19 9 5 年，m d o m i n g o 等人发表文章，介绍了所在课题组发展的基于n u r b s 曲面建模和物理光学方法的电磁计算软件r a n u r s 的情况。详细说明了基本算 法、二阶场的处理以及遮挡判断的处理。其中的相互遮挡判断采用了对关键点作 遮挡判断方法。同时，m d o m i n g o 也提出曲面的相互遮挡判断是一个很复杂和困 难的工作。1 9 9 6 年，j p e r e z i l 6 提出采用g o 结合u t d 分析n u r b s 曲面建模的 电大散射体。1 9 9 7 年，j p e r e z 等人又提出了采用基于n u r b s 的g o 方法和u t d 方法计算机载天线的方向图。研究工作给出了直射场、反射场、绕射场和二次场 的计算方法。文章只比较了计算结果，并没有对计算时间进行讨论，因此无法评 估这种方法的计算效率。同年，西北工业大学的胡锦林等提出一种在曲面上计算 物理光学积分的新方法，将二重积分写成一重求和加一重积分的形式，由于文中 只给出了计算结果的对比，并没有比较计算时间，因此也无法看出该积分方法有 何种优势。与此同时，m f c a t e d r a 对于基于n u r b s 曲面建模的矩量法又深入 第一章绪论 5 进行了研究，提出了一种与频率无关的参数平蘧割分方法。2 0 0 1 年，o l g m a i l 7 】首 先提出采用基于n u r b s 建模技术的物理光学方法分析天线受电大尺寸平台影响 后的方向图。文章采用球面波模拟位于散射体远区的天线。这种方法的缺陷是采 用了球面波模拟位于散射体远区的天线，无法分辨天线本身的电流分布等特性。 文章最后指出m o m 和p o 混和方法是分析位于电大尺寸平台附近天线辐射方向 图的有效方法，可惜同样未见到后续工作的报导。2 0 0 3 年，es a e zd ea d a n a 1 8 1 等入应用基于n u r b s 的曲面的物理光学方法计算了含有介质的散射体的雷达散 射截面。主要就是在电流的基础上加上了磁流的计算。总的散射场由电流和磁流 分别产生的场迭加而成。同年，es a e zd ea d a n a l l 9 j 等人研究了平板和曲面之间的 二次作用问题。分别讨论了平板到曲面和曲面到平板两种情况。其采用的方法是 将入射场分解，采用镜像法褥到平板的反射场。曲面上的场良平板反射场和源的 直接入射场迭加两成。感应电流和烛面的散射场也同样的分别计算。与此同时， 瑞典的s e f i 给出了一套基于n u r b s 曲面建模的射线寻迹算法。2 0 0 4 年，f r a n c i s c o 等人将n u r b s p o 方法中二次反射和绕射等作用结合对于介质材料的处理加以 总结。同年，a + p i p p i 给出了种渐进方法计算物理光学积分，将积分从二维降 为一维。2 0 0 5 年，m ec a t e d r a l 2 0 1 继续深入研究了基于n u r b s 曲面建模的u t d 方法中的射线寻迹，对射线寻迹的速度做了详细的讨论。值得注意的是和美国的 研究工作不同，西班牙学者采用驻相法丽不是高斯积分计算物理光学电流积分。 从1 9 9 4 年到2 0 0 5 年期间，硬班牙学者一共发表了7 篇文章，主要的研究工作集 中于采用基于n u r b s 曲面建模的高频电磁计算方法分析和计算电大尺寸散射体 的雷达散射截面。 在我国，武汉大学的鲁述等人在1 9 9 9 年推出了r c s 计算软件s c t e 。透乾 工业大学也对基于n u r b s 曲面模型的r c s 的计算做了些研究工作。 1 4 论文结构安排和主要工作 1 4 1 结构安排 由前面几节的分析可知，基于n u r b s 曲面建模的电磁计算方法已经得到广泛 开展。主要的研究方向是采用基于n u r b s 曲面建模物理光学方法计算电大散射 体的雷达散射截面。本文围绕电大散射体上天线特性分析这一目标，对基于 n u r b s 曲面建模和物理光学法计算模型雷达散射截面，进行了比较系统和全面的 研究。全文共分为矗章，各章的主要内容为： 第一章概述了本课题的研究背景和困内外研究现状，并且简要介绍了作者的 研究工作。 第二章主要介绍了b e z i e r 益面建模技术、n u r b s 曲面建模技术。两种越面 6基丁驻相法积分和n u r b s 曲面建模的物理光学法研究 的数学表达形式以及相应基函数的数学性质。阐述了如何将n u r b s 曲面分解为 更有利于电磁计算的b e z i e r 曲面。建模问题不仪是本文的基础也是重点问题，这一 章主要讨论建模问题。 第三章重点介绍了驻相法。通过一维问题的驻相法公式的推导，解释驻相法 的基本概念。然后重点推导了二维问题的驻相法解。对应给出了三类关键点的驻 相法计算公式。并且进一步推导了驻相法在矩形积分区域下的简化公式，说明了 特殊情况下，如何对驻相法公式进行修正。最后讨论了驻相法计算积分的优点和 缺点。 第四章重点讨论了基于平面片建模和基于曲面建模的物理光学方法，及其在 雷达散射截面计算中的应用。说明了基于平面片建模的物理光学方法的速度瓶颈 问题。推导了基于b e z i e r 曲面模型的物理光学远场计算公式以及基于b e z i e r 曲面 模型和物理光学方法的雷达散射截面计算公式，给出了计算公式。最后，为了验证 本文方法的有效性，对几种模型进行n u r b s 曲面建模，利用物理光学法计算了模 型雷达散射截面。 第五主要对本文工作进行总结、并指出存在的问题和下一步工作的计划。 1 4 2 主要工作 本文研究了n u r b s 曲面建模的基本理论和方法，给出了将n u r b s 曲面分解 为b e i z e r 曲面的方法。对驻相法积分计算公式进行了推导。最后对一些模型进行 了n u r b s 建模，并且采用物理光学法计算了模型雷达散射截面。并且进行了仿真 比较。 第一：章曲谳建模技术 7 第二章曲面建模基本理论 2 1 引言 如今，计算机在当今社会已经得到了广泛的普及。绝大多数的电子工业产品都 已经实现了计算机辅助设计和制造。工业产品的设计需要考虑因素有很多，其中 比较常见和重要的有：外形设计、动力系统设计、电子系统设计等等。这些嚣素 并不是孤立的，而是相互影响和制约的。我们知道，产品的几何外形就会对产品 的电磁性能产生很大的影响。因此大部分的电磁仿真软件在使用时的第步就是 要建立目标的几何模型。工业产品或者实际物体的几何外形可以通过两种方式输 入计算机： 一、通过三维扫描输入计算机 在需要对自然存在的物体进行几何外形分析的时候常常采用三维扫描仪器得 到物体表露的一系列点或者一系列剖面，由计算机翻用这些点或者剖面在计算机 中重新构建实际物体的几何外形。这方面比较典型的例子是在医学领域对人体进 行扫描以构建人体模型。 二、利用计算机辅助建模软件建模 在工业产品的设计中，产品的几德外形可以出工程人员采耀计算机进行设计。 利用计算机设计工业产品可以很方便的进行修改，成本很低。并且计算机辅助设 计系统可以和计算机辅助制造系统直接结合，实现从设计到生产的全面自动化， 节省入力物力。 对设计人员来说，实际物体的几何钋形以何种形式表示是一个现实的问题， 这是因为几何外形的表示对于内存影响非常大。外形建模精确和存储量尽量小， 这两个要求是现实需要的也是至关重要的。一般的解决方案是在精度和存储量之 间找到一个最佳的平衡状态，尽可能达到一种最优表示，郎在存储量尽量小豹情 况下寻求最高精度。目静几何模型的表达方式有很多种，科研人员可以根据实际 问题的需要采用最适合的方式。常用的表示方式有： l 用典型部件进行建模 这种方法采用常用的平板、圆撞、豳锥等典型几何体模拟实际物体，其优点 是存储数据量非常小。但是采用典型部件建模的缺点也非常明显：由于只有有限 的部件可以采用，因此在对复杂模型建模时的精度会有所降低，有时可能会影响 到电磁计算的精度。 基r 驰相法积分用ln u r b s 曲而建横的物理光学法研究 h2 1e 机横删 典型部件建模方法常常在u t d 方法中被采用。因为典型部件在u t d 方法的 射线寻迹中存在解析解，有利于u t d 方法讨算速度的提高。但是，山于曲面建 模在航空航天和舭船工业中的广泛采用生何将 l f i 血i 模型往精度最高的情况下简 化为典型部什成为一个技术难点。特别是有岫复杂的曲，很难采用简单部件表 不。 2 采用，f 丽片建模 、r t i ) j 建模就是采用大量的平面片单元束近似模拟复杂物体的几何外形。这 种方法的优点足建模精度比典型部件建模要高，缺点是建模精度与单元数相关。 为了得到较高的建模精度，需要采h j 更多的血片竹元，这样就导致了存储量的增 j u 。在番种力学和电磁学的仿苒软什i 常常需要将模犁剖分为甲面片单元，是为 了配合数值计算的需要。通常的做法是对曲面模型进打剖分操作来得到平面片模 掣。如何尽量均匀地削分模型也是科学汁算的个研究方向。 h22 ：角彤f 而片竹兀构建的e 机模 吒p 、一c 第一章曲咖硅模性术 = 、 采用参数曲mj 建模 参数曲面建模采用一系列的曲面描述。史际物体渗数曲面建模崮为比较灵活、 存储量相对较小，精度高的优点在j 二业产品的设计方面已经得广泛应用。大量的 c a d 建模工具部提供了参数曲面建模模块。本文工作采用的n u r b s 曲面和 b e z i e r 曲面就是参数曲面中的两种。 图2 3 采川参数曲面构建的飞机模型 在下面的章节中将详细介绍本文工作中所采用的b e z i e r 曲面和n u r b s 曲面。 2 2 贝齐尔曲线曲面 b e z i e r 提出了套构造曲线曲面的方法，并以这种方法为基础技展出一套自 由型曲线曲面的设计和制造系统，称为u n i s u r f l 2 “。1 9 7 4 年，在美国犹他大学 召肝的国际首届计算机辅助几何殴计大会l ，b e z i e r 的开创性上作得到广泛的认 可。b e z i e r 曲面采用伯恩斯坦多项式定义 埘。月阶伯恩蜥坦多项式的表达式( 0 ) 为： 驰) 2 可乌“0 咿l 7(2-i) 其中，e 陋，1 】，且规定如果， o 12 ， ) 那么有口? ( ，) = 0 。伯恩斯坦多项式具有f 列性质，利用这些性质可以简化计算： r 1 ) 伯恩斯坦多项式降阶公式： 群( r ) = o ，御“( f ) + ，口二( ，)( 2 2 ) f 2 ) 伯恩斯坦多项式升阶公式 口“( f ) = ! 三纠7 ( ，) + ! 生，( ，)( 2 3 ) ( 3 ) f 自恩斯坦多项l = 导教训算公式 l o 基丁驻相法积分和n u r b s 曲面建模的物理光学法研究 掣：门b n - 1 ( ，) 一彤- l ( f ) 】 d t l一3( 2 - 4 ) 基于伯恩斯坦多项式的曲线和曲面包括了非有理b e z i e r 曲线曲面和有理 b e z i e r 曲线曲面。在计算机图形学上首先出现的是非有理b e z i e r 曲线曲面，非有 理b e z i e r 曲线的定义式为： e o ) = 乒钟o ) ， o ，1 】 ( 2 5 ) f - l 式中霉是曲线的控制点，每给定一个f 即对应曲线上的一个点。 非有理b e z i e r 曲面的定义式为： g ( u ，v ) = - - d ，t 1 0 聊) ，v ) o ，1 】2 ( 2 6 ) i = 0j = 0 其中磊o = 0 , 1 ，z歹= o ，1 ，m ) 为曲面的控制点，所有的控制点就形成了曲面 的控制网格。 有理b e z i e r 曲线和曲面定义式分别为： f q n ( ，) e ( ，) = 号一r 【0 ，1 】 ( 2 7 ) w , b t ( t ) e 0 ) 形o ) g ( u ，v ) = 兰艺一0 ，v ) 【o ，1 】2 ( 2 8 ) 彤0 归夕) a = 0j = 0 其中霉和元表示曲线和曲面的控制点，w f 和w f ，为对应于每个控制点的权值。权 值可以取大于零的实数。有理b e z i e r 曲线和曲面如图2 4 和图2 5 所示： 图2 4 有理b e z i e r 曲线及控制点 第二章曲面建模技术 图2 5 有理b e z i e r 曲面及其控制点网格 有理b e z i e r 曲线曲面的控制点都有相对应的一个权值，可以通过调整权值的 大小，调整曲面的形状。也可以认为非有理b e z i e r 曲线曲面是有理b e i z e r 曲线曲 面的权值均为1 的特殊情况。另外有一点值得注意的是b e z i e r 曲线曲面具有全局 性质。考虑定义式( 2 6 ) 以及( 2 8 ) ，由于伯恩斯坦基函数在绝大部分情况下取不到 零值，因此改变一个控制点就会导致整个曲线曲面的形状改变，如图2 6 所示： 图2 6 改变一个控制点就导致整个曲面形状改变 b e z i e r 曲线曲面的缺点就在于它具有的全局性质而不是局部性质。在计算机 图形学上这一缺点导致设计人员只能采用小的曲线曲面建模，否则对细节进行修 改将会导致很大的一个局部的形状都发生改变。b e z i e r 曲线曲面的另一个缺点是 当要模拟的曲线或者曲面比较复杂的时候需要增加控制点数，导致需要采用更高 阶的伯恩斯坦多项式，从而加大的计算复杂度。 2 3 非均匀有理b 样条( n u i s ) 曲线曲面 由上节知道，b e z i e r 曲线曲面有着自身的缺点，在对b e z i e r 曲线曲面的缺点 进行改进的基础上提出了b 样条曲线曲面。b 样条曲线曲面是由多个b e z i e r 曲线 曲面在一定的连续性条件下组合而成，它采用规范b 样条基。这样，复杂的曲线 曲面可以采用低阶的曲线曲面的组合来表示，且对于局部控制点和权值的改变不 会引起全局形状的改变。目前b 样条曲线曲面已经成为c a d 软件采用的主流方 法之一。 1 2基丁驻相法积分和n u r b s 曲面建模的物理光学法研究 b 样条的理论最早在1 9 4 6 年由s c h o e n b e r g l 2 3 1 提出。19 7 2 年，d eb o o r 与c o x l 2 4 】 分别独立给出关于b 样条计算的标准算法。b 样条作为在计算机辅助几何设计中 的一个形状数学描述的基本方法，是由g o r d o n 与r i e s e n f e l d l 2 5 1 在研究b e z i e r 方法 的基础上引入的。到目前为止，在工业设计中广泛应用的b 样条曲线曲面是非均 匀有理b 样条曲线曲面( n u r b s ) 。下面给出n u r b s 曲线的表达式： w ，孑，矿( 甜) 多( “) = 号_ 一甜【o ，l 】 ( 2 - 9 ) 嵋孵( “) i = 0 其中w j ( f = o ，l ，2 疗) 称为权因子，分别与控制顶点z ( f = o ，1 ，2 疗) 相对应，首末权 因子和大于0 ，其余0 ，这样可以防止分母为零，保留凸包性质及曲线 不致因为权因子而退化为一点。科( 甜) 为k 阶规范化b 样条基函数。k 阶规范b 样条基函数是采用递推形式定义的： 2 告( f ) + 等号n e k + 1 ( 2 - 1 0 ) 小，= 器嚣“ p 式中称为节点，所有，的集合丁= t , 1 2 ，j r j 。) 称为节点矢量，其中m = n + k + l 。 n u r b s 曲面的表达式为： w j ，乏，孵( “) 彤i ( v ) p ( u ，v ) = 号瓮_ 一 u ，v ) 【o ，1 】2 ( 2 1 2 ) w j ，旷( “) j ( y ) i = oj = o 式中吐，为曲面的控制点，w ，为对应控制点的权因子。n u r b s 建模技术具有下 列优点，使其得到广泛的应用： 1 既能表示初等曲线曲面，也能表示自由型曲线曲面； 2 由控制顶点及权因子的改变来进行几何设计提供巨大的灵活性； 3 对于控制点的改变只影响控制点附近局部区域，等等 虽然n u r b s 曲线曲面在建模方面具有优势，但是由于它采用的是递推形式 的基函数，在应用到电磁计算时却存在很大的困难。因此采用n u r b s 曲线曲面 进行电磁计算时需要将其转化为b e z i e r 曲线曲面。 第章曲面建模技术 h27 n u r b s 曲面及其局部特性 2 4 从n u r b s 曲线曲而到b e z i e r 曲线曲而的转化 根据理论可知，当k 次n u r b s 的节点矢量满足端点重复度为k + 1 ，内部节点 重复度为k 时，则n u r b s 为一分段有理b e z i e r , 重复结点中间的一段曲线就是一个 余力b e z i e r 曲线。 将n u r b s 曲线曲面转化为b e z i e r 曲线曲面的算法是由w o l f g a n gb o h m l 2 i 在 1 9 8 1 年提出的。其理论基础是：如果一个b 样条曲线的所有节点的熏复度相加等 于曲线的阶数，那么其控制点就与相对应的b e z i e r 曲线组的控制点一致。可毗这 样简单的理解，n u r b s 曲线转化为b e z i e r 曲线组的方法就是给n u r b s 曲线的 加入新的节点，直到总的节点次数等于曲线的次数。n u r b s 曲面存在两组节点 矢量，将这方法扩展到曲面，插入新的节点使得两组节点矢量中所有节点的次 数分别等于曲面在两个方i 劬上的次数，得到的组b e z i e r 曲面和原先的n u r b s 曲面严格相等，这就是将n u r b s 曲面转化为b e z i e r 曲面的方法。w o l f g a n g b o h m 在1 9 8 0 年发表的另外篇文章“”，深入研究了如何插入新的节点的细节问题。 厶。厶 。，。秒 h2 9 恻十f 的n u r b s 曲而转化为b e z i e r 曲i f l l 1 4 基f 驻相法积分和n u r b s 曲面建模的物理光学法研究 目前大部分支持n u r b s 曲面建模的软件也同时提供了将n u r b s 曲面分解为 b e z i e r 曲面的功能，因此关于该算法的详细细节就不在此展丌了。 2 5 本章小结 本章主要介绍论文工作的基础：曲面建模理论。曲面建模技术由于在建模精 度和存储量之间取得了很好的平衡，同时又为设计人员对自然界中最普遍的自由 曲面的建模带来便利，目前已经成为c a d 的主流手段之一。由于工业产品的外 形与其电磁性能有密切的联系，因此基于n u r b s 曲面建模的电磁计算方法得到 广泛的研究。为了研究基于n u r b s 曲面建模的电磁计算方法，首先就必须了解 这种建模方法的数学定义方式。将n u r b s 曲面转化为有理b e z i e r 曲面的算法已 经非常成熟，本章是论文研究工作的基础也是重点。 第二章驻相法基本理论 第三章驻相法理论 3 1 引言 通常，我们在应用物理光学方法或者其他方法求解电磁场时，经常需要求解以 下形式的积分 ，( 后) = i i g b ，y 弦用j d s( 3 1 ) 如何尽量快速、准确地求解积分就成为电磁计算的核心问题之一。当积分区域相 对较小，或者说被积函数在积分区域内不呈现振荡特性的时候，最常用的是高斯 积分方法【2 引。美国麦道航空公司的高频电磁分析软件c a d d s c a t 就采用了这一 计算方法计算物理光学积分。除了高斯积分方法之外，积分还可以采用l u d w i g 于1 9 6 8 年提出的l u d w i g t 2 9 j 积分方法进行计算。在积分区域较大以及被积函数在 积分区域内呈现振荡特性的情况下，如何快速准确的计算积分成为一个难点。本 文主要研究高频条件和电大目标的电磁计算，又考虑到积分域为相对较大的 b e z i e r 曲面，因此考虑主要采用驻相法计算物理光学积分。本章主要介绍驻相法 理论和相关公式。 驻相法的理论基础是渐进展开和渐进级数。渐进级数展开最早可以追溯到十 八世纪中期。但是，明确提出渐进展开和渐进级数概念的是著名的数学家p o i n c a r e 和s t i e l t j e s 。从上世纪六十年代开始，驻相法及其在电磁场中的应用就得到了广泛 的研究。i e r l e y 将修改后的驻相法应用于反射面天线的远场方向图计算。s i l l e r 将 驻相法应用于锥形天线的方向图计算。此后，i k u l l o 【3 0 】采用物理光学方法结合驻相 法计算了一个二维非凸散射体的散射场，但是他在计算中只考虑了第一类关键点。 随后，i k u n o 与n i s h i m o t o 合作，采用极座标系，将p o s p m 方法应用到三维散射 体的散射场计算，但是他在计算中仍然只考虑了第一类关键点。n a k a n o 【3 l 】采用驻 相法解决积分问题，计算了印刷线天线的远场方向图。 3 2 驻相法简介 3 2 1 基本理论简介 对以下形式的积分： 地) = j ： g ( ，) p 删衍 其中口，b ，g ( ，) ，( ，) 均为实数或者实函数。 ( 3 - 2 ) 1 6 基丁驻相法积分和n u r b s 曲而建模的物理光学法研究 对其进行分类讨论： 1 ) 如果f ( ，) 0 ( f k ，6 d 。对( 3 2 ) 式采用分部积分，可以得到： m ，_ 焉帅i - 去目器p 西 p 3 ， 根据黎曼一勒贝格定理：若在，k ，b 】，有- i g ( t ) 可积，且厂( f ) 连续可导，并且 有f ( ，) 0 ，则有下式成立： j ( 七) ：广朋r ) 一k g ( t ) e d t0专o o ( 3 4 )j ( 七) = i 用 一 专 ( 3 4 ) 因此有： m ， 篇杪 ： p 5 ， 可以看到这种情况下的积分值主要由端点处的函数值和相位项的导数值决 定。 2 ) 如果在区间，k ，b 蒯e f ( f ) = 0 的点。 我们假设有厂( c ) 一= 0 ，其中c k ，b 】，那么，。= c 就称为驻相点，对其积分限 进行分段，目的是让驻相点包含在一个小的积分限内，此时将积分式( 3 2 ) 分解为： ，( 后) = 。 g ( t ) e m x ) d t + 。；( ，弦膨衍+ e g ( ，) p 彤( r ) 衍( 3 - 6 ) 由黎曼勒贝格定理，等式右侧前两项在k o o 时是趋于零的。最后一项在占 足够小的情况下有下列近似： g ( ，) g ( c )( 3 - 7 ) f ( t ) 他) + 掣( ，卅：( 3 - 8 ) 则积分式可以写成 m ) 陬咖肛卜) + 争f - c ) 2 衍七专。 再将积分区间扩展到卜o 。，栩】，并且作变量代换，令： 掣( ) 2 那么有下式成立： l ( k ) g ( c ) e 彬。 ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 ) + 。”e jg n f ”( 凇d s ( 3 - 1 1 ) 第一章驻相法基本理论 1 7 幽e e i s 2 d s = 而坍，最后积分式可以写成： ，( 克) g ( c ) g 彬( c ) + s 辨涉和游k 辛0 0 ( 3 1 2 ) 3 2 2 算例 算例3 1 考虑积分歹( j j ) ：f 据业( 争，) 馥的计算。 由公式可知积分区域内的驻相点为，。= + l 。由( 3 1 2 ) 式可以求得积分式的驻 相法近似求解公式为： m 一诤川4 ( ；) ； m ) = p 1 一州4 f 军1 2 图3 1 和图3 2 给出了被积函数的实部和虚部在k = 1 0 和k = 5 0 情况下在积分 区域内的图形。 圈3 1 ( a ) k = l o 被积函数实郝( b ) k = l o 被积醺数虚部 图3 2 ( a ) k = 5 0 被积函数实部( b ) k = 5 0 被积函数虚部 通过观察被积函数可以发现以下一些特点： l 当k 较大时被积函数的振荡较为剧烈，而k 较小时振荡相对较为平缓。 2 被积函数在驻相点附近的振荡非常平缓。 可以直观地将驻相法理解为；在驻相点以外的区域由于函数振荡羼i 烈，导