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电流变液的尺寸效应 电流变液的尺寸效应 摘要 本文中我们利用b e r g m a n 理论对电介质电流变液的静态屈服应力做了计算。 通过比较不同结构的电流变液，讨论了表面能对于静态屈服应力的影响，得到 的结果表明：即使是在表面效应相差非常大的情况下得到的静态屈服应力也相 当的接近，也就是说静态屈服应力与表面能无羞! 关键词：电流变液，b e r g m a n - m i l t o n 表示，屈服应力，表面效应。 皇亟奎鎏堕墨! 墼堕一 c o l u m ns i z ee f f e c t so f d e rf l u i d s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eg i v eac o m p a r i s o no fs t a t i cy i e l ds t r e s si nt w o e x t r e m ec a s e so t s m a l l e s tc o l u m ns i z e ( c h a i ns t a t e ) a n di n f i n i t ec o l u m ns t a t e ，b a s e do n t h eb e r g m a n 。 m i l t o nr e d r e s e n t a t i o no fe f f e c t i v ed i e l e c t r i cc o n s t a n to f ac o m p o s i t e s t h er e s u l to f o u rc a l c u l a t i o ni n d i c a t et h a tt h ec o l u m ns i z ee f f e c ti si n d e e ds m a l l k e yw o r d s ：e l e c t r o r h e o l o g i c a lf l u i d s ，b e r g m a nr e p r e s e n t a t i o n ，y i e l ds t r e s s , s u r f a c ee f f e c t i i 电流变液的尺寸效应 第一节引言 电流变液( e l e c t r o r h e o l o g i c a lf l u i d s ，简称e rf l u i d s ) 是指在电场作用下，其 粘度随着外电场的增强而增大的一种微小电介质颗粒和电介质液体的混合体。 在零电场时它显示液态的特性，随着外场增加其粘滞性很快增加，表现出固态的 特性。固液状态转变的响应时间为m s 数量级，此过程快速可逆。 电流变液效应的首次应用是1 9 4 7 年w i n s l o w 申请的美国专利 1 】，随后他 详细报道了电流变液效应的实验结果：( 1 ) 当外电场强度达到3 k v m m 时，电 流变液中的颗粒沿电场方向排成纤维结构的链，且链的长短与外场强度有关： ( 2 ) 两电极之间的剪切力与外场平方成正比，在较小的剪切力下，电流变液表 现为类固体；( 3 ) 剪切力大于屈服应力时，其流体为粘滞流体，表现为粘度f 比于外场强度。 目前，电流变液的研究主要有实验和理论两类。在电流变液理论研究中动 态模型是m a r s h a u 【2 】在m a s o n 3 7 】的研究基础上提出的，同时考虑极化引起 的库仑相互作用和流体动力学相互作用的动态电流变液理论。r t a o 【8 】首先从 理论上寓言了电流变液中固体颗粒首先形成链后形成柱，柱内颗粒为体心四方 ( b c t ) 结构。然后，他领导的小组用激光衍射实验证实，极化的玻璃微珠可 以排成链，进一步加大电场就形成柱，柱内的颗粒排成b c t 结构【9 。 静态研究不考虑剪切场的作用，而是把电流变液系统当作一复合介质系统 讨论，主要考虑系统对外场的响应问题和介质内部的应力产生机理。电流变液 对外电场响应的本质是极化，尽管实验证实了非线形极化的存在，但现在的研 究还局限在线形极化的范围。复合电介质中材料介电常数和电导以及介质的微 观结构对应力，小球间相互作用的研究是电流变液研究中的一个中心问题。静 态理论研究大体上有下列几种方法：( 1 ) 偶极近似法( 2 ) 多极展开法( 3 ) 有 限元分析( 4 ) 第一性原理计算。 文献f 1 0 1 2 1 在b e r g m a n 理论的基础上建立了电介质电流变液效应模型的第 一眭原理计算方法，并研究了电介质电流变液的基态，静屈服力，剪切模量以 及与外加电场频率的关系。他们的研究表明用电介质电流变液模型可以满意地 解释电流变液效应。 在文献 1 0 】的计算中，系统的基态就是固体小球形成无限大柱子的排列状 态，理论和实验都证实这种基态排列结构为b c t 。然而，实验上更加常见的情 况是弱场下的链状排列和强场下的许多细小柱状排列，柱子的尺寸由凝聚过程动 态地决定。在一些特定的实验里，第一性原理计算与实验数据取得了惊人的一 致，但它的基本假设是固体小球凝聚成无限大的柱子。在实际情况下，系统的 表面效应对计算的结果在多大程度上起着影响昵? 本文将通过比较两种极端的 情况：表面效应最大的单链结构和表面效应最小的无限大柱状结构。我们的计 算给出的结果表明在电介质电流变液中，柱子的尺寸效应非常的小，正如文献 f1 0 1 中断言的那样。 电流变液的尺寸效应 第二节b e r g m a n m i l t o n 表示 定义有效介电常数如下：考虑一个无限大平板电容器，电容器极板问的距 离为l ( l 远大于复合介质的不均匀尺度，并在计算中趋于无穷大) 。把我们所 要研究的复合介质充入此电容器，得到的电容设为c ，如果在电容器中充入另 一介电常数为i 的介质，同样也得到电容c ，则云就定义为复合介质的有效介电 常数。有效介电常数可以表示为不同的形式，为此，考虑在电容器的极板间加 一电压v = l e 。，e 。为外加电场强度，垂直于极板方向。为了确定起见，规定在 电容器的侧边上，电场强度的法向分量为0 。取极板为x y 平面，z 方向垂直于 极板，在上述第二种情况下，有 d o ；g e 。；4 肘；掣( 2 1 ) 而在第一种情况下， 上 a a o ：( 2 2 ) ：4 n q 这罩d 。为电位移矢量沿外加电场方向的分量，q 为极板上所带的总电荷，a 为 极板的面积( 趋于无穷大) ，d ：为电位移矢量的法向分量，积分沿一个极板进 行按照定义，两种情况下电容相同，从而极板上的总电荷相同，于是有效介 电常数可表示为： 砜2 玄j 洲d = ( 2 3 ) 可以证明： 言i e d v = e o e ， 古恤d 峙去d ：幽 ( 2 这罩，对面积的积分可沿任一与极板平行进行，证明如下：记e ，为z 方向的单 位矢量，取边界条件为( x ，y ，z = l 2 ) = - y - l 2 e 。，考虑第一个等式，对z 分量有 ! e ：d y 2 1 e ：。e d v 一弦v o a v j v ( e ：矽矿 = 一忙：d a = 毛l a = e o v 同理可证，j e , d v = j e y d v = o 对第二个等式， i d ：d v 5i e ：d d v 2 i v f z d ) d v i z v d d v = 兰2 他( ，兰2 ) 剃+ 三2j f d ：( y ，一兰2 ) 羽 j 、2 一 = j d ：( 寺) 幽 电流变液的足寸效应 上式的推导中使用了在介质内v d = o 及d ：( l 2 ) = d ：( - l 2 ) ( 上下极板上电 荷量相等，符号相反) 。若考虑对由z = z 。，一l 2 毛 l 2 和 ：= z i , 知 z ， 2 平面所包含的体积，通过计算p 厢d = 0 ，可得 二( x ，y ，z ) 刎与z 无关，利用( 2 4 ) 式，( 2 3 ) 可改写为 e e 。= 吉p 阳： ( 2 5 ) 上式两边乘以e 。，注意到e = 一v ，及当：= 一上，2 时，痧= = 九= l 2 e 。， 当z = l 2 时，= 一o l 2 e o ，这里o ，妒分别为等效介质和复合介质内 的电势，为的复共轭( 当介电常数为复数时，电势一般是复的) 。可以得到 s e j 2 v 1 d v t d ：e o ) 2 ；k v ( i , e 。) ；j d v ( d v 钆) 。 ；舭驯。 一；似d 声 = ! j d v ( d v e ) j = ：p 矿( d - e ) ( 2 6 ) 矿j 、 7 式( 2 3 ) ，( 2 5 ) 和( 2 6 ) 均可作为有效介电常数的定义使用。 b e r g m a n ，m i l t o n 等人发展了一套有效介电常数的表示理论，对由两种介质 构成的复合介质，这一表示给出了有效介电常数的解析性质，同时也清楚地显 示了有效介电常数与微结构的关系及与组分的物质参数的关系，是进一步计算 和研究的基础。 从m a x w e l l 方程出发，为了计算有效介电常数，在准静态近似下，只需求 解下述方程组： v d = 0 v e = 0 ( 2 7 ) 为简单起见，我们只考虑各向同性介质，即d = 应的介质。由第二个方程，可 以定义电势e = - r e ，代入第一式得到 v ( g 甲们= 0 ，( 2 8 ) 皇煎銮望盟垦! 塾壁 一 边界条件为 矿( x ，y ，z = 一2 l ) = ：e 。， 妒( x ，j ，z = j l ) = 一i e 。 ( 2 9 ) 对于由两种介质构成的复合介质，用6 1 占：分别代表两种介质的介电常数，则 s = 占l 叩( ，) + s 2 ( 1 一玎( ，) ) = 6 2 ( 1 1 玎( r ) ) ， ( 2 1 0 ) 这早。 砸) = 忆 从而方程( 2 8 ) 变为 s ： 曼 占2 一占 r 在介质1 内 其它情况 甲2 = 1v ( 叩( r ) v 妒) 为了求解这一方程，引进l a p l a c e 算符的格林函数，定义如下： v 2 g ( r ，r ) = 一5 ( r r 。) ， g ( r ，r ) = 。 当z = 一i ，i 时， 簟：o 在侧边上， 利用上述定义及格林函数的对称性g ( r ，r ) = g ( r f ，r ) ，可知 p 内g ( r ，r ) = i d v v g ( r r ) = 0 当体积趋于无穷时，格林函数可近似为 g ( r - r ) = 4 1 舢- 方程( 2 8 ) 的形式解为 ：一e 。z + 1f 矗y t 叩( r ) v g ( r - r ) v t ( r 一) 定义算子r 如下： r 妒；f d v r ( r ) v g o t - r i ) v ( r ) 如果定义两个函数的内积为 - - - - p 矿，7 ( r ) v 妒( r ) v y ( r ) 则f 算子是一个厄米算子。这可很容易验证如下 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 皇鎏变堕塑鉴! 墼生 = p 矿叩( r ) v ( r ) v f d y r ( r ) v g ( r - r ) v 妒( r f ) = f d v d v r ( r ) r ( r ) r e ( r ) - v v g ( r r f ) v 妒( r ) = 利用r 算子，取外加电场为一1 ，方程( 2 1 4 ) 可写为 ( r ) = z + 5 r i b ( r ) ( 2 1 7 ) s 若r 的本征值和本征函数分别为s 。和。( r ) ，即 f 丸( r ) = s n 矽。( r ) 则在介质1 内，电势毋可用r 的本征值函数展开为 ( r ) = h l 抄丸( r ) 由方程( 2 1 7 ) 可得 于是 = + 点坠 s 0 ：对非0 的v 丸，方程右边 的积分必小于左边的积分，从而s 。 1 。再注意到方程( 2 2 4 ) 只对s 。0 及 s 。1 成立，以上论断得证。 本征方程( 2 1 8 ) 的解可以分为四类： 1 任意仅在介质1 内不为零的函数，如果在1 和2 的界面上函数连同其法 向导数为0 ，则这样的函数是本征值为1 的本征函数。 2 在每一个相连的介质1 的区域为常数的函数，如果在1 和2 的界面上其 法向导数为0 ，则这样的函数满足本征值为0 的本征方程。 3 满足l 1 时，若介质1 形成两极板间的联 通通道，则有效介电常数应正比于晶。由 弘剐卜莓。曼。， 可见，若所有s 。0 ，当5 一- 0 ( 对应于l 占2 寸o 。) 时，占并不趋于无穷， 而当存在一个0 本征值时，可以得到 占占2 ( 4o ) 占1 第一类解与任一调和函数( 满足l a p l a c e 方程) 的内积为零， 2 d 冈v 2 l n 。d a ( v 少) 一d v v 2 y = 0 ， 电流变液的尺寸效应 式中面积分因解在介质1 和2 的界面上的边界条件而为0 ，而体积分则因y 为 一一调和函数而为0 。在我们的问题中，只用到本征解与调和函数的内积，因而 第一类解是平庸的，今后将不再考虑。第二类解与任何函数的内积均为0 ，因 此不必考虑，从而我们只要寻找第三类和第四类解。 谱密度e 和s 。满足一些求和关系，如 z f o = ； = ； = 矿1 a v q ( r ) ( e ：e ：) 2 p ( 2 2 7 ) 这罩，p 为介质1 的体积分数。 b e r g m a n m i l t o n 表示的一个最大特点是微结构信息和物质参数的分离，从 上面的计算可知，s 。和九只与介质的微结构( 通过指示函数叩) 有关，而物质 参数则包含在参数s 中，这一表示的另一个特点是给出了有效介电常数的解析 形式，如果我们把s 看作一个复变数，则除了实轴上区间l o ，1 ) 之外，f ( s ) 在复平 面上解析。f ( s ) 的所有极点位于区间i o ，1 ) 。这些性质对于分析有效介电常数的一 般性质，特别是在微结构信息不全时分析其上下限( 或在复平面上的取值区域) 有很大帮助。 这样，一旦求得了r 的本征值和本征函数，我们就可以得到电场分布和有 效介电常数。同时也可讨论一系列其他性质。 电流变液的尺寸效应 第三节有效介电常数的计算：本征函数法 这一节给出将介质1 的小球嵌入介质2 并形成规则结构时有效介电常数的 计算方法。首先考虑只有个小球的情形，此时，本征方程为 l 九= s n 丸， ( 3 1 ) 这罩r 定义为 r r 妒= j d v ，7 。( r ) v g ( r ，r 。) v ( r ) ( 3 2 ) 是位于r 的小球的指示函数，在小球内为1 ，其它点为0 。( 3 1 ) 可如下求 解，计小球的半径为a ，则方程( 3 1 ) 的左边变为 f d v 叮r ( r 。) v g ( r ，r ) v ( r + ) = f d s v g ( r ，r + ) + ( r ) 叩r ( r ) 选坐标原点为小球的中心，上式可进一步简化为 d 2j d 9 2 。a o ，g ( r ，r ) i ，：。妒( ，q ) + ( r ) 叩( r ) ( 3 3 ) 在体积趋予无穷的极限下，格林函数为 g ( r ，r 。= 4 ：r f ? 一，2 善：，1 + 1 善心k ( q ) ( ，4 ) 这罩上= m i n ( r ，) ，0 = m a x ( r ，) 。为求解( 3 i ) ，我们首先把( ，q ) 展开为 ( ，q ) = 厶( ，) 圪，( q ) 枷 代入( 3 1 ) ，利用( 3 3 ) 得到 ( 3 5 ) a 2 善f 奏凳1 厶q ，心，+ 呈。k 1 = s 丢厶小，c 蚴 c ， 从这一方程我们得到本征值和归一化本征函数为 5 m ，。丽 3 7 ) 小 袤? 黧 s ， 这罩l = l 2 ；一z 蔓ms 1 。位于r 的一个小球的本征值与上面得到的相同，而其 本征函数为。驴一r ) 下面考虑多个小球的情形，设小球中心的坐标为r ，引进小球的指示函数 电流变液的尺寸效应 矿拈 r e r d 、球 其它情况 ( 3 9 ) 定义单个小球的k 算符如下 r 。= j 玎。( r 妒g ( i - r ) - v 舡p 矿 ( 3 1 0 ) 这样，有 叩( r ) = r = k ( 3 1 1 ) 再定义城，刁+ 为扩展的指示函数，它们在介质1 外边的无穷小区域也为1 。这样 对任一函数声( r ) ，矿( r ) 限制在介质1 中( 和介质1 的一个无穷小外部区域) 取 值，而嘛妒则限制在小球r 中取值。利用小球的本征函数，可将坑妒( r ) 展开如 f ： 靠庐p ) = a 。靠( r r ) ( 3 1 2 ) “ 两边对r 求和得 ，7 + ( r ) = a 。磙矽( r r ) ( 3 1 3 ) rh 考虑方程 ( r ) = z + 三r ( r ) 两边乘以r + ，注意到矿可与r 对易，将叩+ ( ，) 的展开式( 3 1 3 ) 代入得 4 。，“，7 ：“( r ) = z r i m 叩：。( r ) + 爿。，。r 叩：“。( r ) r ，n t月，m d 月， 上边两式与。取内积，得到 式中 爿一“2z m + 莓莓帆。，“爿胁， z 。= ( 稚。，i z ) = d v t ? ( r ) 秣v 二。v z = ：d 胛靠妒乞， ( 3 1 4 ) 一一皇堕窆鎏堕垦! 墼些 i e ：r 6 p n ) 五万r i 7 吃( q ，2 咖m 隆3 r 嘁 r 。枷州，。 = ( ，7 ；妒。，mj r l 叩：r ，。) 2j d v d v , 7 ( r ) 叩( r ) ，7 ；，7 ：- ( ，。) v 妒二。( r ) v v + a ( 1 l - r ) - v 。，。( r + ) 2j d v d v 玎n ( r ) ，7 。( r 二。( r ) v v g ( r - r ) v 。( r ) = s f m i d v r i 。( r 妒妒毛( r ) v + 砍( r ) 代入单个小球的本征值。j 鬲1 ，得到 _ w 一2 i 眚i d v ，? r ( r ) v o v 。( r ) ( 3 1 5 ) 若r = r ，则 k 莉一2 i 吾吒 ( 3 1 6 ) _ n ，m2 “( 南) f + “( 高南广 ( 厩嚣怎锭珂厂 “c o s 7 7 。h ) e x p 一埘b 。h 】 = k ；f r o ( r r )( 3 1 7 ) 当小球形成周期结构时，可对式( 3 1 4 ) 中的彳埘卅做傅立叶展开 爿m = a 。( k ) e x p ( i k r ) k 这晕k 取第一布里渊区的值，a i ( t ) 的方程成为 这早 a i m ( k ) = 瓯，。+ 三s r f 卅细( k ) 鸣i ，( k )7 = ”。“一7 f l , ) t ；f m ( k ) = zv o 。e x p ( i k r ) r 由上式我们可把f ( s ) 写为 ( 3 1 8 ) ( 3 】9 ) ( 3 2 0 ) 皂鎏竺坚盟鉴! 塑些 一，g ) = 1 s ；z 矿 y = 1 矿1 s 嘉r i mz “m 一 ：1 1萋zi,aim(o)s v 洲 = i 2 1 m ( s j j h - i ，。z ， ( 3 2 1 ) v 一 这罩v 是原胞的体积，f 的矩阵源由( 3 2 0 ) 取k = o 而得到。 当k = o 时，式( 3 2 0 ) 可重写为 屯。= r 0 。 利”k 渤枷r 。f ( f w + m m l 1 “l 【( ，+ m l ( f 州l ( f + 肿，( ，一m ，】l ”j 仃( f + f ，搠l m ) + 2 ，i1 6 - 6 。 ( 3 2 2 ) m 川= 萎( 1 叩( c o s e 坤( f 蚴。) z ， 式( 3 2 2 ) 中的求和当，+ ， 2 时绝对收敛，当，+ ，= 2 时，对应于，= 1 及，= 1 的情况，式( 3 2 2 ) 中的求和仅条件收敛，因此需要仔细处理。一种处理这一 问题的方法是e w a l d 求和方法。这一方法不仅可以计算，+ ，= 2 的情形，也可用 于计算f + f l 较小的情况，而此时直接求和通常收敛很慢。这一方法的精神在 于把求和分为两部分，分别在实空间和倒空间计算，每一部分都很快收敛。 如果我们求得了矩阵f 的本征值j 。和对应的本征矢量u 。，则公式( 3 2 1 ) 可进一步写为 f g ) 2 莩。幺 z 。) 而 c ：矽i u 。2 注意到如果取，到某一适合的数值，矩阵f 可保持在个合理的大小，从而可直 接对角化得到有效介电常数。在实际计算时，对于给定的晶格结构，可利用晶 格的对称性对矩阵进行约化，使矩阵的阶数大大降低。对于对称性较高的晶格， 如立方对称或四方对称可以很容易算到，= 1 8 5 。 电流变液的尺寸效应 比如在实际计算中，选一个小球的球心为原点，电场沿b c t 结构的；轴方 向时，原胞基矢选取为 拓1 ， 了 2 尸 拓一一1 了 。尸 以一1 + 了 。p 其中d 为两相邻小球之间的球心距离。因为结构对叫平面对称，且沿电场 方向具有4 度对称轴，故在计算( 3 2 2 ) 时1 只需取奇数，。只需取4 的倍数。 电场沿b c t 结构的j 轴方向时，原胞基矢选取为 垢 了2 堑j 2 一亟 2 结构对电场方向具有2 度对称轴，计算( 3 2 2 ) 式中1 只需取奇数，。取2 的倍数。 一x t 一，) 一 正r 正r 店了 ，叫0，弋，刊0 d l尸l尸刁 y y + + + r r x 6 正正r如一： 皇垫壅型塑垦! 塾些 第四节不同结构电介质电流变液中屈服应力的计算和比较 因为电流变液体是把电介质或铁电颗粒悬浮于电介质液体中而形成的一种 复杂液体，所以为了简单起见，我们考虑一个电介质电流变液模型，其中颗粒 为均匀大小的电介质小球，其介电常数为毛，液体的介电常数为占：。在外加电 场作用下，电介质小球将被极化，而极化的电介质小球的相互作用将驱使小球 形成有序结构，导致悬浮液的粘度变化。小球的排列结构由自由能的极小决定， 而电场下的电介质自由能密度将由下式给出 ，：一上葩z ( 4 1 ) 。 8 万 这里沿z 方向的e 为外加电场，享为系统的有效介电常数。显然自由能的极小由 有效介电常数的极大给出。 对于电流变液体而言，大量的实验和理论计算都证实其理想的基态为b c t 结构。在给定体积比下，小球形成聚集区和液体区，在聚集区内，小球排成体 心四方结构。为了计算静态屈服应力，必须对系统扰动使其偏离基态。这种扰 动实际上就是剪切。 对于从b e r g m a n 理论发展出来的第一性原理计算方法，在计算有效介电常 数时，是将所考虑的区域视为无限大，也就是说，忽略了所考虑问题的表面条 件。这在某些表面效应可以忽略的情况下当然是对所解决问题的一个很好的近 似，比如说电流变液在强外场情况下形成一个很大的柱子。但在实际情况下， 电流变液在外场作用下形成的类固体中的柱子并不象我们想象的那么大，它可 能包含有很多的柱子，但每个柱子中只有几根或十几根链。在这种情况下，我 们还能不能用上述的第一性原理计算，也就是说，表面效应是不是能够继续忽 略呢? 为了回答这个问题，我们选取了两种极端的情况，分别代表了表面效应最 大以及最小的两种情况，而且，这两种情况我们可以用第一性原理计算方法得 到精确的结果。第一种情况是电流变液体在外场的作用下，形成了一根很大的 柱子，在计算时，我们取这根柱子的半径为无限大，从而忽略了表面效应。我 们将计算这根柱子的介电常数，再将它在整个系统上做一个平均，得到整个系 统的有效介电常数。第二种情况是电流变液体在外场的作用下，形成了一个类 固体，它只包含有单链，且规则排列，在这种情况下，每一个固体颗粒都充分 地与液体接触，因此它的表面效应应该是最大的。因为固体颗粒在系统中呈周 期性排列，所以我们可以用上面提到的本征函数方法来得到整个系统的有效介 电常数。表面效应虽然没有显式地包含在计算中，但我们的第一性原理计算方 法得到的结果包括了表面效应的贡献。 在第一种情况下，实验和理论计算都证实固体颗粒在柱子中的排列为b c t 结构，所以在计算柱子的有效介电常数时，我们就选用b c t 结构得到基矢。就 b c t 结构而占，剪切不可避免地会影响到聚集区内固相的体积分数p 。如果我 们在垂直于z 轴的方向上给一剪切应变使结构的c 轴偏离电场一个角度p ，则 聚集区在c 轴方向将被拉长，而a , b 方向上将被缩短，这样p 和0 2 _ l , j 存在着一 皇堕銮鎏盟垦! 塾鏖 一 个函数关系 p p ) ：4 胛c o s 2 03 ( 8 c o s 2 目一2 ) ( 4 2 ) 在a , c 轴上分解电场云。有 则体系自由能，为 对称结构时s 。= 0 e o = e ：i + e 。a ，= 一- 。；+ s 。爵+ 2 占。e 。e 。) f = 一仁。c o s 2 p + f 。s i n 2 p 蛾 ( 4 3 ) 当电场沿j 轴方向时，聚集区有效介电常数为s 。，。设p 。为系统的体积分数 则体系有效介电常数张量的c c 分量为 占“= p 。s 成，+ f - 一p 。 s ： plp ( 4 4 ) 电场沿舀轴方向时，聚集区有效介电常数为占。，体系有效介电常数张量的a a 分量近似为 占册=。( + 讣小刳 昂。( 一旦p + 占：( + 塑p ll ( 4 5 ) 体系有效介电常数沿电场方向的z z 分量为 己= 巨。c o s 2 0 + 瓦s i n 2 0( 46 ) 其中s 目7 和占o 可以用b e r g m a n 有效介电常数谱表示方法计算。 对于电介质电流变液系统，因为没有介电损耗存在，可以直接对自由能求 导计算应力 ，：一盟：壁堕( 4 7 ) a 口8 石a 日 用三次样条插值方法进行数值求导，得到的应力f 常有一极大值存在，超过极 大值的部分从物理上看结构已经变得不稳定，这一极大值就是静屈服应力。 在第二种情况，也就是固体颗粒呈单链规则排列的情况下，我们可以根据 总体体积比p 选择结构参数。给该系统一个剪切，瓦和毛可以用上述的方法 电流变液的尺寸效应 计算。因为在单链状态下，电介质电流变液不存在相分离的情况，所以上面的 公式( 4 4 ) 及( 4 5 ) 并不需要。我们计算了简单平方格子，三角格子以及扩展 b c t 结构，计算的结果表明，上述三种情况与无限大柱子比较起来相差无几。 在实际计算中，选取个小球的球心为原点，链上相邻小球的距离为d ， 链的垂直面上相邻小球的距离为d 。我们算例中的各种格子的基矢依次为： 扩展b c t 结构： 电场沿b c t 结构的6 轴方向时，原胞基矢选取为 a = 害d i + 华西+ 施 a ：鱼2 d i 一宴研+ 旋 _ a 3 = 一生2 d i + 尝掰+ 施 电场沿b c t 结构的a 轴方向时，原胞基矢选取为 。：坐d 童+ 讲+ 坐旋 1 。 1 1 1 2 4 _ ，堕6d i + 功+ 半旋1 1 8 3 ：鱼2 d i + 研一霉旋 简单平方格子： 电场沿s c 结构的二轴方向时，原胞基矢选取为 a = d i a 2 = 研 a 3 = 旋 电场沿s c 结构的二轴方向时，原胞基矢选取为 a = d i a 2 = d 主 a3 = 西 三角格子： 电场沿三角格子的6 轴方向时，原胞基矢选取为 a = a 2 = d c o s ( z 3 ) i + d s i n ( z 3 ) 多 a 3 = 毖 电场沿三角格子的a 轴方向时，原胞基矢选取为 a ，= 脱 a 2 = d s i n ( z 3 ) i + d c o s ( 厅3 瓷 a 3 = 毋 6 皇堕奎堕塑垦! 垫生一 从理论上可以证明，屈服应力为毛占：的函数。实验中常用的硅油介电常数 为2 5 ，所以我们在计算中取液相的介电常数s ：为2 5 ，固相的介电常数取值范 围为2 5 到2 0 0 0 。值得一提的是，静屈服应力不仅与s i ，占2 以及系统的体积比p 有关，而且与两个相邻小球表面距离有关，这个距离我们定义为占，它与两小 球球心之间的距离d 的关系为 式中r 为小球的半径。 2 o 一 勺 - _ o d 扣 d = 2 9 d + d 1 ( 4 - 8 ) 幽l无限夫柱子【实线) 与单链状态( 虚线) 下静态屈服应力的比较。此时体积比为0 2 ，占为0 0 图1 给出了相同体积比下两种极端情况的静态屈服应力的比较。f 如我们 所期望的那样，在含有无限大尺寸柱子的情况下，其静态屈服应力比单链的屈 服应力来得大。更重要的是，这幅图象我们传达了这样一个信息，即使在两种 极端情况下，它们的静态屈服应力和固液两相的介电常数之比s ，的关系也非 常相似，两者之间的差别非常的小。在占，s ：达到8 0 0 时，两者的差别最大，但 也仅有3 7 5 而已。图2 、图3 继续给出在相同体积比，占取不同值时得到的 静态屈服应力比较结果。可以看到，在两种极端情况下静态屈服应力并没有随 着表面效应的迥异而产生显著的变化。 皇遂壅堕塑鉴! 墼查一 罟 日 v - - - 4 o 两 罟 它 r d o 扣 图2 同图i 。此时体积比为0 2 ，占为0 0 0 5 图3 同图i 。此时体积比为0 , 2 ，j 为00 0 6 在实际的实验中，我们得到的单链并不一定呈b c t 结构排列，所以我们也 给出了简单平方格子，三角格子以及拉伸了的b c t 结构三种情况下的静态屈服 应力的比较结果。从图4 我们可以看到，在以上各种情况下，它们的静态屈服 应力非常接近。参照前面得到的比较结果，我们可以得到这样一个结果，含无 限大柱子的电流变液与仅含单链的电流变液在静态屈服应力上差别非常之小。 这一结果蕴含的意义在于揭示电流变液中表面效应对电流变液性质的贡献非常 的有限。 蓦 碧 ： 菩 圈4b c t ( 实线) 、简单平方格了( 点虚线) 、三角格子( 虚线) 静态屈服廊力的比较。 体积比p = 0 2 万= 0 0 1 我们的计算是在两种极端的情况下做出的。前一种假设聚集区柱子半径无 限大，这代表一种表面效应极小的情况；后一种假设固体颗粒在电流变液中以 单链状态周期排列，由于每一个固体颗粒充分与液体接触，所以这是一种表面 效应最大的情况。两种情况都能够用第一性原理得到精确的理论值。计算的结 果表明这两种情况得到得静态屈服应力相当的接近。在实际的实验中，我们得 到的固体柱子当然不可能是无限大尺寸，它总是含有一些分散的柱子；当然也 不会是完全的单链，总有些链汇集一起形成大小不等的柱子。也就是说，实验 中得到的各种构成的电流变液，其表面效应介于本文计算的两种极端情况之间。 它们在静态屈服应力上的差别相比与本文的计算结果要小，甚至可以小到完全 可以忽略。 文献【1 0 】中就指出，相比于总静电能，电流变液体中固体颗粒凝成的柱子 其表面能微小到可以忽略不计。我们的计算也证实不仅仅表面能非常的小，其 电流变液的尺寸效应 对静态屈服应力的贡献也可以忽略。通过增加柱子的尺寸藉以增强电流变液效 应的努