（信号与信息处理专业论文）不确定混沌系统控制和同步研究.pdf

上海交通大学硕士学位论文 - i - 摘 要 作为现代控制领域中的一个重要分支， 混沌系统的控制和同步技术近 年来受到了国内外控制界的广泛重视。本文就此领域的相关问题展开系 列研究，主要研究了线性输入、非线性输入等不确定混沌系统的控制器 的设计问题。以李亚普诺夫（lyapunov）稳定、自适应控制、神经网络 逼近、变结构控制等理论为基础对离散和连续的混沌系统进行设计和分 析。主要工作包括： 首先，采用了一种直接使用径向基函数(rbf)神经网络对不确定混沌 系统进行控制的方法。考虑到不同神经网络模型误差对混沌控制效果的 影响，采用了一种改进的递阶遗传算法对 rbf 神经网络进行训练，分别 针对离散的 henon 系统和连续的 lorenz 系统进行了仿真，并且与其它神 经网络训练算法结果进行了比较，通过仿真证明了采用该训练算法设计 得到的混沌控制器具有更加理想的控制效果。 其次，提出了一种自适应 rbf 神经网络滑模控制器对不确定混沌系 统进行控制。考虑到滑模变结构的设计过程是以系统中所有不确定参数 的界限已知为前提的，然而在实际系统中，不确定性的上界值一般是很 难预先测量得到的。因此，在这里通过将 rbf 神经网络和滑模变结构控 制相结合，利用 rbf 神经网络辨识满足匹配条件的不确定性的上界，并 且利用 lyapunov 理论更新 rbf 神经网络的参数，从而得到全局渐近稳 上海交通大学硕士学位论文 - ii - 定的滑模控制器。通过对 duffing-holmes 系统和rossler1,2,i=,m) (2-12) 式中 i d表示最小欧式距离。 (3) 计算 i 中样本的平均值（即聚类中心 i t） 1 i i x i tx m = j j (2-13) 式中 i m为 i 中的输入样本数。 按以上步骤计算， 直到聚类中心的分布不再变化。rbf 神经网络的中心确定以后，如果rbf是高斯函数，则可用式(2-14)计算宽度，这样 隐层单元的输出就可以计算出来了。 2 m d m = (2-14) 式中m为中心数（即隐含层单元数） ； m d为所选中心之间的最大距离。 对于输出层线性权值的计算可以采用最小二乘法(lms)，这时，隐含层的输出就 是lms算法的输入。 2. 正交最小二乘算法44 rbf神经网络的另一种重要的学习方法是正交最小二乘法(orthogonal least squareols)。ols法来源于线性回归模型。在以下的讨论中，不失一般性，仍假 定输出层只有一个单元。令网络的训练样本对为, ( )(1,2, n xd nn=,n)。其中，n为 训练样本数； n n xr为网络的输入数据矢量；( ) m d nr为网络的期望输出响应。根 据线性回归模型，网络的期望输出响应可表示为 1 ( )( )( ) m ii i d np n we n = =+ (1,2,n=,n;1,2,i=,m) (2-15) 式中m为隐含层单元数，mn；( ) i p n是回归算子，它实际上是隐含层rbf在某种参 数下的响应，可表示为 ( )() ini p ng xt=(1,2,n=,n;1,2,i=,m) (2-16) i w是模型参数，它实际上是输出层与隐含层之间的连续权；( )e n是残差。将式(2-15) 写成矩阵方程形式，有 dpwe=+ (2-17) 上海交通大学硕士学位论文 - 12 - (1), (2),ddd= t ,d(n) 12 , n ww ww= t , 12 , n pp p= t ,p (1),(2),() iiii pppp n= t , (1), (2),eee= t ,e(n) 式中p为回归矩阵。求解回归方程式(2-17)的关键问题是回归算子矢量 i p的选择。一 旦p已定，模型参数矢量就可用线性方程组求解。rbf神经网络的中心,1 i tim ， 一般是选择输入样本数据矢量集合(1,2, n xn=,n)中的一个子集。每定一组 ,1 i tim ，对应于输入样本就能得到一个回归矩阵p。这里要注意的是，回归模型 的残差e与回归算子的变化及其个数m的选择有关的。每个回归算子对降低残差e的 贡献是不相同的，要选择那些贡献显著的算子，剔除贡献差的算子。 ols法的任务是通过学习选择合适的回归算子矢量,1 i pim 及其个数m，使 网络输出满足二次性能指标要求。ols法的基本思想是：通过正交化,1 i pim ， 分析 i p对降低残差的贡献，选择合适的回归算子，并根据性能指标，确定回归算子数 m。下面介绍ols方法。 先讨论回归矩阵p的正交化问题。将p进行正交，三角分解 pua= (2-18) 式中a是一个mm的上三角阵，且对角元素为 12131 232 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, , 1, 0, 0, 0, 1 m m mm aaa aa a a = l l lm ml l , , , (2-19) u是一个nm矩阵，其各列 i u正交 t u uh= (2-20) h是一个对角元素为 i h的对角阵 上海交通大学硕士学位论文 - 13 - 2 1 ( ) n t iiii n hu uun = = (2-21) 将式(2-18)代入式(2-17)，有 duaweug=+= (2-22) gaw= (2-23) 式(2-22)的正交最小二乘解为 1 t gh u d = (2-24) 或 (1) t i i t ii u d gim u u = (2-25) 式中ig为矢量 g 的分量。 g 和 w应满足下面的三角方程组： awg= (2-26) 上述的正交化可用传统的gram-schmidt正交化方法， 或用householder变换实现。 这里采用g-s方法。该方法是每次计算a的一列，并作如下正交化： 1 1 ,(1;2,) t k ik iiikkkiki t i ii u p up aupa uik km u u = = = l (2-27) 假定式(2-22)中的矢量ag和e互不相关，则输出响应的能量可表示为 2 1 m ttt iii i d dg u ue e = =+ (2-28) 上式两边除以 t d d，得 1 1 m i i q = = (2-29) 2 ,(1) t iii i t g u u im d d = (2-30) 定义为误差压缩比，而 t t e e q d d =为相对二次误差。由式(2-29)可知， i 越大，则q 越小。而由式(2-25)又知， i g仅与d和 i u有关，因而 i 仅与d和 i u有关。d是已知的， 上海交通大学硕士学位论文 - 14 - 这样就可根据式(2-30)选择使 i 尽可能大的回归算子() ii u p。由此可见，式(2-29)为寻 找重要回归算子提供了一种简单有效的方法。先将ols学习算法步骤总结如下： (1) 预选一个隐含层单元数m。 (2) 预选一个rbf神经网络的中心矢量,1 i tim 。 (3) 根据上一步选定的rbf神经网络中心，使用输入样本矢量(1,2, n xn=,n)，按 式(2-16)计算回归矩阵p。 (4) 按式(2-27)正交化回归矩阵各列。 (5) 按式(2-25)及式(2-30)分别计算： (1) t i i t ii u d gim u u = (2-31) 2 ,(1) t iii i t g u u im d d = (2-32) (6) 由式(2-19)计算上三角矩阵a，并由三角方程aw=g求解连接权矢量w，式中 12 , m g gg=l t g, (2-33) (7) 检查下式是否得到满足： 1 1 m i i = (2-34) 式中01及0s0 s=0 s = (2-41) 其中，( )( )uxux + ，使得： (1) 滑动模态存在，即式(2-37)成立。 (2) 满足可达性条件，在切换面0s =以外的状态点都将于有限时间内到达切换面。 (3) 滑模运动的稳定性。 满足这三个条件的控制就是滑模变结构控制，实现这种控制的策略、算法、控制 器可统称为滑模变结构控制器。 式(2-36)即为一般的滑模存在性的条件，但在实际应用时，常常将式(2-36)等号去 掉，写成： 0 lim0 s ds s dt = 0 s=0 s，系统运动点 12 ( ,) n a x xxl的运动方程为： 上海交通大学硕士学位论文 - 19 - ( ,( ) dx f x ux dt + = (2-46) 如果a并非式(2-46)的平衡点， 由于0 ds s dt ， 故0 ds dt 向0s =的 某个方向运动，直至0s =。 (2) 当0s ， 故0 ds dt ， 则点b必然由0s 向0s =的 某个方向运动，直至0s =。 (3) 如果0s =，系统运动点开始于点 12 ( ,) n c x xxl，或者系统运动已经到达滑动模态 区，此时，系统沿切换面0s =的滑动模态区上滑行。 系统运动进入滑动模态区以后，就开始滑模运动。对通常的反馈控制系统而言， 都希望滑模运动是渐近稳定的。如果切换面0s =包含系统表达式的一个稳定平衡点 0 x =，则系统在滑动模态下的运动是渐近稳定的（并且最终将稳定于0 x =） 。 2.3. 小结 本章主要介绍了神经网络和滑模变结构控制理论基础概念。 首先介绍了神经网络 的基本原理，分别阐述了多层前馈神经网络和径向基函数神经网络的基本结构，并着 重介绍了反向传播算法、均值聚类算法和正交最小二乘算法的实现。随后介绍了滑模 变结构控制的基本原理，分别阐述了滑模变结构控制的滑动模态，数学表达式和基本 问题。 上海交通大学硕士学位论文 - 20 - 第三章 基于神经网络的混沌控制 神经网络的非线性拟合能力和在线学习能力， 使其在解决高度非线性和严重不确 定性问题方面显示了巨大潜力。 本章采用了一种直接使用 rbf 神经网络对混沌系统动力学特性进行学习的混沌 控制方法，并用训练好的 rbf 神经网络模型进行混沌系统的控制。这种控制方法的 特点是无需被控对象的解析模型，便可以对其进行有效控制，控制目标可以是周期轨 道，也可以是连续变化的目标函数。 同时，针对神经网络误差对控制精度的影响，本章设计了一种采用改进递阶遗传 算法的 rbf 神经网络控制器， 针对离散的 henon 系统和连续的 lorenz 系统进行了分 析，并且与其它神经网络训练算法进行了比较，仿真结果证明本章提出的方法具有理 想的混沌控制效果。 3.1. 基于 rbf 神经网络的混沌控制 近十年来，关于混沌控制46,47的研究取得了较大进展，实际应用研究也随之蓬勃 发展起来。上世纪 80 年代初，神经网络研究的复兴，也带来了神经网络控制研究的 迅速发展。由于神经网络具有的较强非线性拟合能力和在线学习能力，使其在解决高 度非线性和严重不确定性问题方面显示了巨大潜力。在控制领域，将神经网络应用于 非线性系统的控制取得了许多令人鼓舞的结果，同时也为混沌控制提供了新的思路。 目前，不少学者提出了许多混沌控制的方法48，如 ogy 控制方法，但是它只适 用于离散动力学系统，通常控制目标只能为低周期轨道；状态反馈控制方法49,50，它 是利用系统状态变量作为控制信号反馈到系统中去，可以在任何时刻施加控制，而不 像 ogy 方法需要等到靠近不动点时再施加控制，但控制目标仍然是周期轨道。文献 51提出了基于径向基函数（rbf）神经网络的控制方法，实现了混沌系统的控制，该 方法将呈现混沌特性的非线性对象模型分解为线性部分和非线性部分，用 rbf 神经 网络学习其非线性部分的特性，并采用训练好的 rbf 神经网络进行控制。文献52进 一步提出了采用自适应聚类算法训练 rbf 神经网络，针对连续的 lorenz 系统进行控 制。 上述的研究是基于混沌系统模型已确知的条件下提出的， 并且只针对某种神经网 络算法进行了仿真验证。没有考虑不确定混沌系统情况下神经网络控制器的设计问 题，也没有讨论神经网络误差对混沌控制精度的影响。基于以上考虑，本章在采用了 一种直接使用 rbf 神经网络对混沌系统的动力学特性进行学习的基础上，设计了一 种基于改进递阶遗传算法的 rbf 神经网络控制器，并且充分讨论了不同的神经网络 训练算法对混沌控制效果的影响。这种控制方法的特点是无需被控对象的解析模型， 便可以对其进行有效控制， 控制目标可以是周期轨道， 也可以是连续变化的目标函数。 首先考虑混沌动态系统： (1)( ( ); )( )x nf x npu k+=+ (3-1) 上海交通大学硕士学位论文 - 21 - 其中 n xr为系统的状态，p为系统的参数，u为控制项。 令(3-1)式中( )0u k=，得 (1)( ( ); )x nf x np+= (3-2) 利用rbf神经网络学习混沌模型(3-2)输入输出关系，得到如下所示的神经网络 模型： ( 1)( ( ); )x nf x np+= (3-3) 根据系统稳定性原理设计控制量u如下： ( )( ( ); )(1)( ( )( ) rr u nf x npx nk x nx n= + (3-4) 其中( ) r x n 为期望的控制目标，k为定义的收敛参数。 将控制量加入到混沌系统(3-1)后，得到 (1)( ( ); )( ( ); )(1)( ( )( ) rr x nf x npf x npx nk x nx n+=+ (3-5) 假设神经网络(3-3)可以很好的逼近混沌系统(3-2)时,上式可以近似为： (1)( ( )( )( ) r e nk x nx nke n+= (3-6) 其中(1)(1)(1)e nx nxn r +=+为误差表达式。 根据系统稳定性原理，选取1k，使得(3-6)式所示系统为渐进稳定，可以证明 混沌系统在施加控制后，可以跟踪控制目标。下面研究rbf神经网络误差对控制精 度的影响。 给定任意常数 0 和一个连续函数: n fxr，存在一个权值矩阵 * ww=，使得其 有m 个隐元的rbf神经网络的输出满足 * 0 max( ,)( ) x x f x wf x (3-7) 同时有如下定义： ( )( ( ); )( ( ); ) e f kf x kpf x kp= (3-8) 为模型误差，其中 ( ( ); ) f x kp 为rbf神经网络模型。 1 sup( ) e k f k= (3-9) 为最大模型误差。 上海交通大学硕士学位论文 - 22 - 2 sup ( ) k e k= (3-10) 为稳态最大跟踪误差。 定理3.1 采用rbf神经网络学习(3-3)式得输入输出关系， 得到混沌系统的rbf 神经网络模型 ( ( ); ) f x kp ，利用(3-4)式所示控制器对(3-1)式所示混沌系统进行控制， 则有 21 a，a为和k有关的正常数。 证明：将(3-8)式代入(3-5)式，得 (1)( )( ) e e nke nf k+=+ (3-11) 由(3-6)式渐进稳定，可知(3-11)式为输入输出有界系统，将(3-11)式等号两边取绝 对值，可得 (1)( )( )( )( ) ee e nke nf kf kk e n+=+ (3-12) 由(3-12)式得 (1)( )( ) e e nk e nf k+ (3-13) 对(3-13)式等号两边求上确界，得 21 a (3-14) 式中 1 1 a k = ，故命题真。 由上面的定理3.1可知，稳态时跟踪的误差的绝对值小于模型的误差绝对值与一 个正常数的乘积，神经网络的逼近能力对于控制效果有很大的影响，因此在这里提出 了采用一种改进递阶遗传算法来训练rbf神经网络，从而实现更加精确的控制，混 沌控制系统原理如图3-1所示。 改进递阶遗传算法 (improved hierarchy genetic algorithm ) 权值构造 (weight builder) 径向基函数神经网络 (rbf nn) 混沌系统 (chaotic system) 控制量 图 3-1 混沌系统控制结构图 figure 3-1 control structure of chaotic system 遗传算法是进化算法的一种， 它在解空间中随机产生若干候选解作为进化的初始 上海交通大学硕士学位论文 - 23 - 个体集，通过交叉，变异等遗传操作产生新的个体，并设置一个适应度函数来对个体 的优劣作出评价，直至获得满足要求的优化解。 这里的主要任务是利用rbf神经网络能够逼近非线性函数的特点，设计一个控 制器将混沌控制到期望的目标上。通常采用聚类的方法确定rbf神经网络中心，或 者采用随机梯度方法调整rbf神经网络隐层参数都有可能收敛于网络的局部极小 点。遗传算法是在全局范围内搜索，能够避免网络收敛于局部极小点，但它的收敛速 度较慢。针对上述问题，提出了采用一种改进递阶遗传算法(improved hierarchy genetic algorithm-ihga)来训练rbf神经网络。 首先将递阶遗传算法与最小二乘法53 相结合，利用递阶遗传算法设计隐层非线性参数，对解空间进行多点搜索，在全局范 围内进行参数寻优。而采用最小二乘法设计线性输出层，降低了设计空间的维数。其 次针对遗传算法收敛速度慢，经常出现未成熟收敛，导致算法性能下降的不足，通过 在进化过程中自适应的提取和接种宽度疫苗来加快算法的收敛速度。 该算法的具体流 程如图3-2所示。 产生初始解 对染色体进行解码构 造隐层 采用最小二乘法构造 输出层 计算适应度 适应度计算 复制 交叉，变异 提取接种宽度疫苗 判定中止条件停止 是 否 图 3-2 改进递阶遗传算法流程图 figure 3-2 flow chart of ihga 改进递阶遗传算法具体步骤说明如下： (1) 产生初始群体。在初始步骤中，首先要对训练样本作归一化操作如(3-15)式所示， min maxmin ( ) ( ) x nx x n xx = (3-15) 然后，在解空间中随机产生初始群体。 (2) 适应度计算。 对染色体解码构造rbf神经网络的隐层， 利用最小二乘法确定rbf 神经网络的线性输出层，利用对应的rbf神经网络计算适应度函数。这里个体适应 度函数用 1 f e =表示，e为对应rbf神经网络的误差函数，即： 2 1 ( ( )( ) n n ey nd n = = (3-16) 上海交通大学硕士学位论文 - 24 - 其中( )y n和( )d n分别表示rbf神经网络的实际输出和期望输出，n是训练样本 的个数。 (3) 复制操作。一般遗传算法中的选择通常是直接根据适配值的大小决定选择概率， 如轮盘赌法，但当种群接近收敛时，直接由适配值决定选择概率会导致更优良的串在 竞争中体现不了优势，在这里采用的策略是：首先将原先的群体复制一份，然后对复 制的群体进行交叉和变异，最后通过比较原先群体和复制群体的适应度值，取出最优 的作为下一代。 (4) 交叉和变异。为了获得群体的多样性避免陷入局部最优，随机选取群体中的两个 个体以概率 c p进行交叉，并且对每一个个体以概率 m p进行变异。 (5) 自适应提取并接种宽度疫苗。针对遗传算法收敛速度慢，经常出现未成熟收敛的 缺点，采用了自适应提取并接种宽度疫苗的方法来提高收敛速度，其策略是：首先以 50%的概率在群体中选择接种的个体。然后对于一个被选中的个体，令宽度在可以取 值的范围内等步长的取不同的值，并对每一个宽度值利用最小二乘法计算适应度大 小， 选取其中最佳的一个宽度。 最后在该个体中以50%的概率选取准备宽度基因作为 接种的目标，若宽度落在疫苗控制的范围内，则不做任何操作，否则，强行将这一宽 度值赋于宽度疫苗的值，完成接种操作。重复上述对宽度提取和接种疫苗的过程，直 到每一个需要接种的个体完成操作。 (6) 终止条件。如果满足终止，优化过程结束，否则返回步骤(2)，直到满足终止条件 为止。算法采用了基于迭代次数和最优值得混合终止条件，即如果最优值在预先设定 的迭代次数中始终不发生变化则停止优化过程。 3.2. 仿真分析 下面以两个典型的混沌系统，即离散系统henon映射和连续系统lorenz映射， 检验上述混沌控制方法的有效性。通过比较不同神经网络训练算法的混沌控制效果， 证明本文所采用的改进遗传算法训练神经网络的方法具有很好的控制效果。 3.2.1. 离散系统 henon 映射 下面以离散的henon映射， 检验上述混沌控制方法的有效性。henon映射如下所 示： 2 (1)( )( ) (1)( ) x iax iby i y ix i +=+ += (3-17) 其中a=1.4，b=0.3时，该离散系统进入混沌，如图3-3所示。 上海交通大学硕士学位论文 - 25 - 图 3-3 henon 映射 figure 3-3 henon map 对该混沌系统施加控制后，系统为： 2 1 2 (1)( )( )( ) (1)( )( ) x iax iby iu i y ix iu i +=+ +=+ (3-18) 用rbf神经网络学习(3-17)式，得到(3-17)式的神经网络模型： 1 2 ( 1)( ( ), ( ) ( 1)( ( ), ( ) x if x iy i y ifx iy i += += (3-19) 设计控制器： 11 22 ( )( ( ), ( )(1)( ( )( ) ( )( ( ), ( )(1)( ( )( ) rr rr u if x iy ix ik x ix i u ifx iy iy ik y ty t = + = + (3-20) 该系统由两个不稳定平衡点，选取其中的一个不稳定平衡点作为控制目标 =y =0.8839 rr x。 仿真过程取k=0.01，在第500步时施加控制。利用500对样本数据来训练一个3 维输入3维输出的rbf神经网络，采用25个中心节点。改进递阶遗传算法的交叉概 率为0.8，变异概率为0.005，群体规模为50。训练完成的rbf神经网络均方误差5 次平均结果为1.37e-012，然后用训练好的网络进行控制，仿真结果如图3-4所示。 上海交通大学硕士学位论文 - 26 - (a) (b) 图 3-4 控制 henon 映射到平衡点 figure 3-4 henon map is controlled to stable point 当系统参数不确定即存在扰动时，henon映射的方程为： 2 (1)()( )() ( ) (1)( ) x iaax ibb y i y ix i +=+ += (3-21) 当0.01a=，0.01b= 时，系统仍处于混沌，控制器仍如式(3-20)所示。控制目标 取为0.5sin(/100) r xi=，0.6 r y =，控制结果如图3-5所示。 (a) (b) 图 3-5 参数扰动时控制 henon 映射输出 figure 3-5 output of controlled henon map with parameters disturbance 根据定理3.1，考虑到神经网络对混沌系统的逼近能力，直接影响到混沌控制的 效果。在这里采用不同的神经网络训练算法，针对离散的混沌系统henon映射进行 控制。 表3-1和表3-2分别给出了不同的神经网络训练算法对henon 映射预测和控制 的结果。从仿真结果可以看出，由于改进递阶遗传算法逼近能力强，所以具有最快的 控制速度和最精确的控制效果。 表 3-1 不同训练算法对 henon 映射预测的结果 table 3-1 prediction results of henon system for different training alogrithms 不同算法 k-means bp ols ihga 预测误差 1.1601e-005 5.3807e-007 8.2570e-006 1.3657e-012 上海交通大学硕士学位论文 - 27 - 表 3-2 不同训练算法对 henon 映射控制效果 table 3-2 control effect of henon system for different training alogrithms 不同算法 k-means bp ols ihga 稳定所需步数 12 7 6 4 实际固定点 0.8839 0.8839 0.8839 0.8839 控制后固定点 0.88605 0.88543 0.88409 0.8839 控制误差 0.00215 0.00153 0.00019 0 3.2.2. 连续系统 lorenz 映射 下面考虑连续的混沌系统lorenz映射， 检验上述混沌控制方法的有效性。lorenz 映射如下所示： xxy yrxyxz zxybz = + = = 1,2,1 i mmin=l。显然 当 max( )0m时，可确定设计参数(1,2,1) i c in=l的值。一旦(1,2,1) i c in=l的值 被确定，则有 max( )0m，即可确切地保证式(4-12)的稳定性。进一步，由式(4-9)可 知( ) n e t也是稳定的。同时，必须注意到矩阵m的特征值与系统的响应速度相关。 由式(4-12)可以推知：当受控系统在滑动面上运动时，系统对参数的不确定性、 外部干扰是不敏感的。换言之，受控制的混沌系统是鲁棒的。 在讨论滑模变结构控制器的设计之前，首先给出滑模条件如下： 定理4.1 0t ，若满足下面的条件 ( ) ( )0s t s t & (4-13) 则滑动曲面式(4-8)上的运动趋于稳态。 证明：令lyapunov函数为 2 1 ( )( ) 2 v tst=。根据lyapunov稳定性定理，式(4-13) 保证了 ( )( ) ( )0v ts t s t=，则sgn( ( )1s t=；若( )0s t =，则 sgn( ( )0s t=；若( )0s t ，则sgn( ( )1s t= 。下面证明控制策略式(4-15)可以控制混 上海交通大学硕士学位论文 - 34 - 沌系统到期望目标。 定理4.2 考虑不确定混沌系统(4-1)，若满足滑模条件式(4-13)且控制策略为式 (4-15)，则不确定混沌系统(4-1)的轨道误差将趋于滑动曲面式(4-8)上的稳定点。 证明：令lyapunov函数为 2 1 ( )( ) 2 v tst=，则由式(4-19)、式(4-8)和式(4-15)可得 ( )( ) ( )v ts t s t= & 1 1 ( ) ( )( ) n i in i s tce te t = =+ & 1 ( ) 1 ( ) ( )( , )( )( ) n n i id i s tce tf x ttu tx = =+ & 1 ( ) 1 1 ( )( )( , )( ) n n i id i s tcetf x ttx + = =+ 1 ( ) 1 1 ( )( , )( )sgn( ( ) n n i id i cetf x txts t + = + ( )( )( )sgn( ( )s ttts t= ()( )( )( )s ttt 0 因此在式(4-15)的控制策略下，式(4-13)一直被满足，故命题得证。 4.1.2. 用 rbf 神经网络辨识上界 从上面滑模控制器的设计过程可以看出，它是以不确定项的上界值已知为前提 的，即0( )( )tt (4-18) 根据lyapunov理论在线调整rbf神经网络的权值，取 ( )( )wk s tx= & (4-19) 其中 01 0k=。 定理4.3 0t ，若满足下面的条件 1 ( ) ( )0 t s t s tk w w & % (4-20) 其中 * www=%，则滑动曲面式(4-8)上的运动趋于稳态。 证明：令lyapunov函数为 21 1 ( )( ) 2 t v tstk w w =+% %。根据lyapunov稳定性定理， 式(4-20)保证了 1 ( ) ( )0 t vs t s tk w w = & % (4-21) 因此( )s t指向滑动曲面并且滑动曲面式(4-8)上的运动趋于稳定。 为了得到定理4.3给出的条件，给出如下控制策略 1 ( ) 1 1 ( )( )( , )( )sgn( ( ) n nt i id i u tcetf x txwxs t + = = + (4-22) 下面证明控制策略式(4-22)可以控制混沌系统到期望目标。 定理4.4 考虑不确定混沌系统(4-1)，若满足滑模条件式(4-21)且控制策略为式 (4-22)，则不确定混沌系统(4-13)的轨道误差将趋于滑动曲面式(4-8)上的稳定点。 证明： 令lyapunov函数为 21 1 ( )( ) 2 t v tstk w w =+% %， 则由式(4-7)、 式(4-8)和式(4-22) 可得 1 ( ) ( ) t vs t s tk w w = & % 1 1 1 ( ) ( )( ) n t i in i s tce te tk w w = =+ & &% 上海交通大学硕士学位论文 - 36 - 1 ( )1 1 ( ) ( )( , )( )( ) n nt i id i s tce tf x ttu txk w w = =+ & &% 1 ( )( )( )sgn( ( ) tt s ttwxs tk w w = & % 1 ( )( )( ) ( ) tt s t wxs ttk w w = + & % 1 ( )( )( )( )( ) ( ) tt s twxtts ttk w w = + & % 1 ( )( )( )( )( )( ) tt s twxts tttk w w & % * ( )( )( )( )( )( )( ) tt s twxwxxs ttt= + () * ( )( ) tt wws tx+ ( )( )( )( )s tttx () 01 ( )s t ( )k s t= 0 因此在式(4-22)的控制策略下，式(4-21)一直被满足，故命题得证。 4.2. 一般结构自适应 rbf 神经网络滑模控制器设计 在这里进一步将前一节提出的自适应rbf神经网络滑模控制方法应用于一般结 构的混沌系统。 下面考虑一个一般结构的不确定性混沌系统模型为： ()( , )( )( )xaa xf x ttu t=+& (4-23) 式中ax是系统的线性部分，( , )f x t是系统的非线性部分，a是系统的参数扰动，( ) t 是系统的不确定干扰，( )u t是系统的控制输入。其中 12 ( ,) n xx xx=l为n维状态向量， 12 (,)t n aa aa=l为n n阶的常系数矩阵， 12 (,)t n aaaa= l为n n阶的常系数 矩阵， 12 ( , )( , ),( , ),( , )t n f x tf x tfx tfx t=l为n维状态向量的函数。 假 定 系 统 的 不 确 定 有 界 干 扰 12 ( )( ),( ),( )t n tttt=l的 上 界 为 上海交通大学硕士学位论文 - 37 - 12 ( )( ),( ),( )t n tttt=l，则有 0( )( ) (1,2,) ii ttin (4-27) 根据lyapunov理论在线调整rbf神经网络的权值，取 ( )( ) iii wk s tx= & (4-28) 其中 01 0 iii k=。 定义误差向量 d exx= (4-29) 其中 12 ( ,) n ee ee=l， d x为控制目标，若 lim( )lim( )( )0 d tt e tx tx t = (4-30) 则从任意初始点出发，都可以将混沌系统控制到任意的目标轨道之上。 滑模变结构控制的基本思想是通过控制器的来回切换， 使受控混沌系统被控制到 期望目标上。它的基本步骤是：选定一个滑动曲面或者切换函数，并要保证其是渐近 稳定的，然后进一步确定控制器，使得受控系统能在有限时间内到达滑模面，从而沿 着滑动面向期望目标运行。 滑模控制的关键是选择合适的稳定的滑动面和确定控制器 使系统尽快的趋近于滑模面。基于上述基本思想，定义滑动曲面如下： ( )s te= (4-31) 式(4-31)中 12 ( )( ( ),( ),( )t n s ts t s ts t=l是滑动曲面的向量。 定理4.5 0t ，若满足下面的条件 上海交通大学硕士学位论文 - 38 - 1 1 ( ) ( )0 n t iiiii i s t s tk w w = & &% (4-32) 其中 * www=%，则滑动曲面式(4-31)上的运动趋于稳态。 证明：令lyapunov函数为 21 1 ( )( ) 2 t v tstk w w =+% %。根据lyapunov稳定性定理， 式(4-32)保证了 1 1 ( ) ( )0 n t iiiii i vs t s tk w w = = & &% (4-33) 因此( )s t指向滑动曲面并且滑动曲面式(4-31)上的运动趋于稳定。 为了得到定理4.5给出的条件，给出如下控制策略 ( )()( , )( )sgn( ( ) t iiiiidiiii u taa xf x txwxs t= + (4-34) 下面证明控制策略式(4-34)可以控制混沌系统到期望目标。 定理4.6 考虑不确定混沌系统(4-23)，若满足滑模条件式(4-32)且控制策略为式 (4-34)，则不确定混沌系统(4-23)的轨道误差将趋于滑动曲面式(4-31)上的稳定点。 证明：令lyapunov函数为 21 1 ( )( ) 2 t v tstk w w =+% %，则由式(4-23)和式(4-34)可得 1 ( )( ) tt vs ts tk w w = & % 1 1 ( ) ( ) n t iiiii i s t s tk w w = = & &% 1 1 ( ) ()( , )( )( ) n t iiiiiiiiii i s taa xf x ttu tk w w = =+ & % 1 1 ( )( )( )sgn( ( ) n tt iiiiiiii i s ttwxs tk w w = = & % 1 1 ( )( )( )( ) n tt iiiiiiii i s t wxs ttk w w = =+ & % 1 1 ( )( )( )( )( )( ) n tt iiiiiiiiii i s twxtts ttk w w = =+ & % 1 1 ( )( )( )( )( )( ) n tt iiiiiiiiii i s twxts tttk w w = & % 上海交通大学硕士学位论文 - 39 - * 1 ( )( )( )( )( )( )( ) n tt iiiiiiiii i s twxwxxs ttt = =+ * ()( )( ) tt iiii wws tx+ 1 ( )( )( )( ) n iiii i s tttx = () 01 1 ( ) n iii i s t = 1 ( ) n ii i k s t = 0 因此在式(4-34)的控制策略下，式(4-32)一直被满足，故命题得证。 4.3. 仿真分析 4.3.1. 三角型结构混沌系统 下面以duffing-holmes系统来检验三角型结构混沌系统滑模控制器的有效性， duffing-holmes系统如下所示： 12 3 21 121 cos( ) xx xp xpxxqt = = + & & (4-35) 其中 1 1p= ，0.25p=，0.3q=时，该系统进入混沌，如图4-1所示。 图 4-1 duffing-holmes 吸引子 figure 4-1 duffing-holmes attractor 考虑duffing-holmes系统存在参数摄动、 外部干扰和不确定项时， 系统如下所示： 上海交通大学硕士学位论文 - 40 - 12 3 211121 ()()()cos( )( )( )( ) xx xpp xpp xxqqtf xtu t = = + & & (4-36) 当参数摄动 1 0.1p=、0.05p =、0.1q =，外部干扰( )0.1cos()tt=，不确定 项( )0.1f xx时，系统仍旧处于混沌态。 根据式(4-20)，可知滑动曲面为 1 12 ( )( )( )s tc e te t=+ (4-37) 根据式(4-8)，选取 1 3c=时将导致稳定的滑动模态运动。rbf神经网络权值 w 的 初值取 1， 宽度也取为1， 用7个中心结点来逼近不确定项的上界。 由四阶runge-kuta 法求解方程式(4-36)，步长取为0.001，初始点为 12 ( ,)(1,1)x x=，期望控制目标为正弦 函数( )sin( ) d x tt=，并且对其求导得( )cos( ) d x tt=&，由图4-2可见 1( ) x t和 2( ) x t很快被 控制到了期望的目标上。 (a) 1x1(t) 2sin(t) (b) 1x2(t) 2cos(t) 图 4-2 混沌系统控制到期望目标 figure 4-2 chaotic system is controlled to expected orbits 从轨道误差向量随时间的响应 （图4-3） ， 还可进一步验证混沌系统被控制到了期 望的目标上。从图4-3可见轨道误差 1( ) e t和 2( ) e t在相空间运动轨迹趋于不动点原 点，当控制器启动以后，轨道误差 1( ) e t和 2( ) e t很快就达到了一致性零点。 上海交通