（电路与系统专业论文）磁弹体混沌系统的电路实现及混沌控制.pdf

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s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o la n ds o o n c o n c e r n i n gt h ec o n t r o lo fs y s t e m ，c h a o t i cc i r c u i to ft h i ss y s t e mw a sw o r k e do u t b ya d o p t i n gf e e d b a c kc o n t r o la n d 砂l v ic o n t r o lr e s p e c t i v e l y , t oc a r r yo u tm u l t i s i m c i r c u i ts i m u l a t i o n t h u sw er e a l i z e dt h ee f f e c t i v ec e n t r e lo fm a g n e t o - e l a s t i cc h a o t i c s y s t e m a c c o r d i n g t ot h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s ，m a g n e t o e l a s t i cs y s t e mc a i lb e e f f e c t i v e l yc o n t r o l l e dt op e r i o d i cs t a t eb yc h a n g i n gg a i no ff e e d b a c k t h u s ，w e p r o v e dt h ee f f e c t i v e n e s sa n dp r a c t i c a l i t yo fc h o o s i n gt h i st w oc o n t r o lm e t h o d si n t e r m so fe l e c t r o n i cc i r c u i te x p e r i m e n t k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c a l ；c h a o t i cs y s t e m c h a o sc o n t r o l ；c i r c u i ts i m u l a t i o n ； c i r c u i te x p e r i m e n t 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i i i 第一章绪论1 1 1 混沌理论的发展史及国内外发展现状1 1 2 研究的背景及价值2 1 3 论文研究的内容及组织结构3 第二章混沌的理论基础4 2 1 混沌的定义4 2 2 混沌的基本特征5 2 3 介绍几种基本的动力学分析方法5 第三章磁弹体混沌系统的研究8 3 1 磁弹体混沌系统的由来8 3 2 磁弹体混沌系统的动力学分析9 第四章磁弹体混沌系统的模拟、仿真与电路实现1 1 4 1 磁弹体混沌系统的数值模拟1 1 4 2 磁弹体混沌系统的电路仿真1 2 4 3 磁弹体混沌系统的电路实现1 5 4 3 1 磁弹体混沌电路的实验装置1 5 4 3 2 磁弹体混沌电路的实验现象1 5 第五章磁弹体系统的混沌控制研究及电路仿真1 7 5 1 几种常见的混沌控制方法1 7 5 2 自反馈法控制磁弹体系统1 8 5 2 1 自反馈控制法的数值模拟1 8 5 2 2 自反馈控制法的电路仿真与电路实现1 9 5 3 彬法控制磁弹体系统2 0 5 3 1 缈iy i 的数值模拟2 0 5 3 2 砂iy i 的电路仿真2 1 第六章结论和展望2 4 参考文献2 5 致谢2 8 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 非线性科学是研究非线性现象共性的- - i - j 基础科学。非线性科学主体包括： 混沌、分形、复杂性和分岔的研列1 1 。“混沌”的发现打破了传统的决定性观念。 著名物理学家福特( j f o r d ) 认为混沌的发现是二十世纪物理学的第三次革命【2 1 。 1 1 混沌理论的发展史及国内外发展现状 混沌科学是在现代科学技术的发展和计算机技术出现及普及的基础上发展 起来的新兴交叉学科【3 】。一直以来，人们在认识和描述运动的时候总是将运动分 为两类：随机性运动和确定性运动。从牛顿创立经典力学以来的很长一段时间里， 大多数科学家都认为一个确定性的系统在确定的激励下响应也一定是确定的。世 界著名的物理学家牛顿和数学家拉普拉斯都曾提出，只要建立了方程就可以依据 初始的条件来确定随后的运动。然而现代科学意义上混沌的发现者却是法国物理 学家庞加莱，他在2 0 世纪初就指出了：在某些非线性系统中存在着运动轨道对 初始条件的敏感依赖性。事实上，这正是混沌现象。从此庞加莱就誉为世界上最 先了解混沌存在的第一人1 4 。 随着电子计算机的普及和发展，确定性系统的内在随机性被发现。于是在 2 0 世纪6 0 年代初期，日本科学家u e d a 和美国科学家洛伦兹分别在电路的非线 性振动和大气热对流问题中发现了在确定性的非线性动力学方程中会出现非周 期的轨道。而l o r e n z 在研究大气层的热对流问题时，他发现如果从两个近邻的 初始轨道出发，随着时间的变化混沌轨道将呈指数方式分离，这就是著名的“蝴 蝶效应 【5 ，6 】。从此以后，各个学科之间泾渭分明的界限被打破，混沌学成为了 涉及系统总体本质的- - i l 新兴的科学【卜1 0 1 。在1 9 7 5 年李天岩和y o r k 提出了“周 期3 蕴含混沌 的思想，被认为是混沌的第一次正式表述，自此“c h a o s ”一词 也正式使用】。1 9 7 7 年，首次国际混沌会议在意大利召开，它标志着混沌科学 的诞生【1 2 】。然而混沌理论得到进一步的发展却是发生在二十世纪8 0 年代。这一 时期一些刻画混沌的概念先后被确定。例如：l y a p u n o v 指数、关联维、功率谱、 吸引子等【7 1 。在1 9 8 4 年，郝柏林编著的混沌一书的发行也为混沌科学的发 展起到了推动作用i l3 1 。到了9 0 年代，混沌科学不仅在自己的领域被研究，它也 开始渗透到其他学科之间，并得到了广泛的应用。 东北师范大学硕士学位论文 人们对混沌的研究不仅限于在认识混沌和理论分析等方面，也开始注重于混 沌控制方面。19 9 0 年，美国科学家o r ，g r e b o g i ，y o r k e 和p e c o r a ，c a r r o u 分别在 混沌控制和同步方面得到了前所未有的突破。使全世界掀起了“混沌控制热”风， 后来又在混沌控制中引入一些传统的控制方法，并得到了不错的成绩。进入2 1 世纪，由于科学技术发展迅速，对于混沌的研究也呈现更快更新的发展趋势。混 沌应用的领域也在不断地扩张，而且在各个领域中都起到至关重要的作用【l 训。 1 2 研究的背景及价值 随着科学技术的发展，传统的学科划分正发生着深刻的变化。正是学科之间 的相互渗透和传统学科与新技术的结合，促使了一大批综合性边缘学科的发展， “非线性”就是这种发展的一个重要特征。如今，人们已经深刻认识到，正是非 线性创造了我们现在这个五彩缤纷的世界。所以作为非线性科学中最重要成就之 一的混沌学的创立和发展就成为了开创非线性科学的新纪元。混沌现在已经成为 当今举世瞩目的前沿性课题及学术热点，它不但揭示了在自然界和人类社会中的 复杂性，更加巩固了人们对客观世界的认识。混沌在自然科学及社会科学等领域 中的影响和发展前景都是空前的【l 引。 混沌是在自然界中普遍存在的现象，经研究发现电力系统、天体系统、电路 系统、大气系统等很多系统都是混沌的系统。混沌理论在最近几十年里发展的非 常活跃，它与相对论和量子物理并称为二十世纪三项重要的科学发现【i5 1 。所以 对于混沌的应用也越来越被人们所关注，由于几十年来不断地努力研究人们在混 沌电路的制作上取得了不错的成果。从以前研究较多的洛伦兹、若斯勒和蔡氏电 路等吸引子的基本形式到它们衍化出来的千变万化的形式，或者一些超混沌吸引 子的研究情况上看，在实际问题中我们经常会因为混沌系统复杂难以操作、稳定 性不高、电路自身的缺陷、非线性器件精确度难以把握、频带范围小、同步难度 大、制作成本高等原因，使实际电路不能达到预想的结果【1 6 】。所以就目前来看 混沌电路设计还具有很大的挑战性。在很多实际问题中，由于混沌的不可预见性 和随机性，混沌输出常常不符合人们的要求。在所有这些情况下，如何使系统运 行到正常的各种有序状态成为了现如今最需要解决的问题。因此，抑制混沌就成 为了控制混沌的一个重要任务。可以说，混沌控制是混沌从理论走向实际应用的 第一步。 总之，混沌理论的出现打破了过去的确定论和随机论之间的鸿沟，对传统科 学产生了很大的冲击。而且混沌理论的覆盖面已经波及到社会科学和自然科学的 各个领域。通过对混沌理论的研究，极大的扩展了人们的视野，活跃了人们的思 维。因此，重视学习和研究混沌理论对当今社会具有极大的研究价值【1 7 】。 2 东北师范大学硕士学位论文 1 3 论文研究的内容及组织结构 本文主要是利用数值模拟、数值仿真和硬件实验相结合的方法对磁弹体混沌 系统进行研究。首先通过数值模拟来了解磁弹体系统的一些基本混沌特征；之后 根据系统的状态方程画出系统的电路原理图；然后利用电路仿真软件m u l t i s i m l o 来进行数值仿真，在得到可行性的结论后设计出系统的实际电路板；最后对实验 时截取的磁弹体系统混沌状态时的实验数据进行非线性动力学分析。在混沌控制 方面分别采用自反馈控制法和k y l y i 控制法对混沌系统进行控制，成功把系统从 混沌状态控制到周期状态或稳定状态。本文共分为六章，组织结构如下： 第一章为绪论，首先介绍了混沌理论的发展史，概述了课题研究的背景与意 义，分析了基于混沌理论的混沌系统电路实现与混沌控制的国内外研究现状，说 明了本文的主要研究内容和组织结构。 第二章为混沌基本理论的综述。介绍了混沌和混沌分析方法的基本知识。重 点阐述了一些非线性系统的分析方法。 第三章是对磁弹体系统非线性分析的研究。详细描述了磁弹体系统的由来和 混沌分析，通过电路实验中截取的数据来分析磁弹体混沌系统。 第四章主要是对磁弹体系统的数值模拟和电路仿真与实际电路的制作。主要 利用v c + + 软件和m u l t i s i m l o 仿真软件。最后用各种电子元件搭建了实际电路， 证明了磁弹体混沌的可行性。 第五章提出了几种常见的混沌控制方法，并用两种方法来对磁弹体系统进行 控制，最后通过电路仿真来实现对磁弹体电路的有效控制。 。 第六章为总结和展望。对全文进行总结，并展望此系统今后的发展潜力。 3 东北师范大学硕士学位论文 2 1 混沌的定义 第二章混沌的理论基础 混沌又做“浑沌”是发生在确定性系统中的一种不确定行为。混沌状态不是 早先认识的确定性运动中的三种定常状态，而是服从确定性规律但具有随机性的 运动。所谓服从确定性规律的运动是指可以运用确定性的方程来表述，它不会像 噪声那样不服从任何动力学方程。 由于混沌系统的奇异性和复杂性，迄今为止混沌一词还没有一个确切的定 义。已有的定义也仅仅是从侧面来反映混沌的性质。其中有两种定义是比较具有 代表意义的。一种是基于对初值敏感依赖性，即对于一个非线性系统来说如果初 始条件产生一个微小的变化可能会使结果与之前的结果产生很大的偏差；第二种 混沌定义是【1 8 1 基于l i y o r k e 定理，是从数学上进行严格定义的。那是李天岩和 约克在1 9 7 5 年刊登在美国数学月刊的一篇论文，论文叫周期3 意味着混 沌【1 9 1 ，在那里第一次引入了“混沌”的概念，并给出了一种关于混沌的数学 定义，即l i y o r k e 定义，该定义可描述如下： 我们说坟x ) 是在【a ，b 区间上的连续自映射，倘若f 【x ) 满足下列三个条件时， 它一定出现混沌现象： ( i ) f 有任意周期的周期点； ( i i ) 闭区间【a ，b 】存在不可数非周期不变子集s ，满足 ( 1 ) f ( s ) es ； ( 2 ) 对任意x es 和f 的任一周期点y ； l i m s u plf “( x ) - f 。l 0 ( 3 ) 对任意x ，y s ，当x 书时有 l i m s u pf “( x ) - f “( ”i o ( h i ) 存在s 的不可数子集s o ，对任意x ，y s0 有 l i m i n fif “( x ) - f “( y ) i = o 通过该定义很容易得知只要有3 周期点就有一切周期点，就会出现混沌。 4 东北师范大学硕士学位论文 2 2 混沌的基本特征 为了更好的了解什么是混沌，我们不仅要知道混沌的概念，还要了解它的一 些重要特性。综合目前人们对混沌的认识，我们了解到混沌的运动特性主要有以 下几个方面【6 7 j ： l 、对初始状态的敏感依赖。这种对初值的敏感性即蝴蝶效应。指的是当系 统的初始条件相差不是很明显时，两个解之间的差别也是很小的，但是即使初始 条件发生微小变化，随着时间增加，两个解之间的差别就会越来越大。这是混沌 区别于其他运动的本质特征。 2 、混沌运动是随机性和确定性的对立统一，即它具有随机性但又不同于随 机运动【2 0 】。造就这样性质的主要原因正是由于系统对初值的敏感性。混沌的随 机性其实就是它的不可预测性，这种随机运动特点在于它只存在于某一确定的区 域内。 3 、只有非线性系统才可能作混沌运动。但并不是所有的非线性系统都能作 混沌运动，作混沌运动还要满足一定的适当条件： ( 1 ) 如果有两个变量的自治系统是不可以做混沌混沌运动的，但是如果 有3 个或3 个以上变量的自治系统是有可能做混沌运动的。 ( 2 ) 同一系统的运动性质和方程中的参量取值也存在着密不可分的关系。 2 3 介绍几种基本的动力学分析方法 一个系统的运动是否是混沌运动取决于系统的非线性性质，但是由于非线性 只是产生混沌的必要条件。所以对于如何判断系统是否处于混沌运动状态成为非 线性研究的重要问题之一。目前，在各个应用领域中对混沌现象的识别方法都是 以混沌本身的基本特征为出发点的，常见的有以下几种【2 l 】： l 、直接观察法 直接观察法是一种比较直观的方法。它主要是根据动力学系统数值运算的结 果，画出相轨迹随时间变化的相图，以及状态变量随时间变化的时序图。让人们 可以显而易见的判断出这个系统是否是混沌系统。利用这种方法可确定分岔点和 适普常数。 2 、庞加莱截面法【5 , 2 2 】 庞加莱截面法是在相空间中适当的选一个有利观察系统运动特征变化的截 面，我们把这个截面就叫做p o i n c a r e 截面，我们可以通过观察系统的运动轨迹与 此截面交点的情况来判断是否发生混沌。当在p o i n c a r e 截面上只有一个或少数不 动点时，这个系统所作的运动就是周期运动；当p o i n c a r e 截面上是个封闭曲线 5 东北师范大学硕士学位论文 时，运动是准周期的；然而当在p o i n c a r e 截面上的点是具有一定分形结构的或成 片的，这个系统的状态就是混沌的了。庞加莱截面法通常适用于分析含多个状态 变量的自治微分方程系统。 3 、李雅普诺夫指数【2 3 2 4 】 李雅普诺夫指数在定量描述奇怪吸引子中起着重要的作用。从定性上来讲， 李雅普诺夫指数是一个动力系统的初始时刻相邻的两个轨道在迭代或时间演变 下相互间距离的指数增长率。而其中最大l y a p u n o v 指数是判断混沌是否存在的 重要判据。但是对于有混沌吸引子的系统来说，我们不能直接通过数值积分来得 到最大的l y a p u n o v 指数。于是我们必须通过其他方法来计算最大l y a p u n o v 指 数九l 。 19 7 6 年，b e n e t t i n 等人提出了一种计算常微分方程组的最大l y a p u n o v 指数 的方法。其方法描述如下：先取两个很靠近的初始状态p o 和q o ，这两个点之间 的距离记为d o = t p 0 - q 0 1 ，这里要求d 口的值很小。然后，在一个小的区间 0 ，f 】里 去积分这个常微分方程组，记通过积分后从p o 点出发的轨线在f 时刻的值为p 1 ， 而从q o 点出发的轨线在f 时刻的值为q l ，记这两点之间的距离为d l = l p l q , i 。接 下来，我们再p 1 和q l 的连线上取一点q l 使得p 1 一q l = d o ，然后我们在区间【f ，2 f 里去积分这个常微分方程组，记通过积分后从p l 点出发的轨线在f 时刻的值为 p 2 ，从而q l 点出发的轨线在f 时刻的值为q 2 ，记这两点的距离为d f l p 2 - q z l 。这 样一直下去，我们可以得到一个实正数列西，d 2 ，则最大l y a p u n o v 指数a ， 可由下式来计算： nj 名= i nl i m 二yl n ( 兰) ”刀f 智a 0 。 其中当而非常小、刀极大时，只要f 不太大，a ，的计算结果就与f 无关了。 4 、关联纠5 , 2 5 1 描述一个空间中运动所需的独立变量的个数可以通过状态空间中的维数反 映，吸引子所必需的信息量则是可以通过吸引子的维数进行说明。不仅如此，吸 引子的维数还可以描述它在相空间中的几何结构，而且可以说明这个动力系统的 复杂程度。所以说，在空间和客体的重要几何参量就是维数。对于一些简单吸引 子( 如固定点，极限环等) 所测得的维数通常是整数；而当非线性系统处于混沌 状态时，它的相空间运动轨迹就变得十分复杂，会具有自相似结构，而且它的维 数就不是整数而是非整数。我们把这种不限于整数的维数定义就叫做分维。混沌 吸引子的特性可以通过分形维数定量的刻画出来，也存在很多种分形维数可以描 述混沌吸引子，例如：关联维数、h a u s d o r f f 维数、容量维数等。但由于它对吸 引子的不均匀性反应敏感，所以在这些维数中关联维是最能反映吸引子的动态结 构的一种方法。 6 东北师范大学硕士学位论文 5 、功率谱【5 , 2 1 】 现如今功率谱分析已经成为实验室观测混沌的重要方法之一。它不仅在一些 科学领域被涉及还广泛应用在很多生物医学工程、地质勘测、通信、天文等领域。 它是一个生命顽强的领域，它的内容和方法一直以来都在不断地更新。 对于一个系统我们可以根据谱线把非周期时间序列、周期时间序列以及拟周 期时间序列区分开来。因为周期时间序列的功率谱线是分立的，离散的；而拟周 期中包含了很多不同的周期，所以它的功率谱线也是像周期时间序列一样是分立 的；但是非周期函数功率谱的谱线却是连续的。然而对于混沌而言，因为它是属 于非周期的，所以它的功率谱谱线是连续的，但是因为混沌运动是很复杂的，所 以混沌的谱线并不是平谱，在谱线中会出现宽峰和噪声背景。 7 东北师范大学硕士学位论文 第三章磁弹体混沌系统的研究 3 1 磁弹体混沌系统的由来 非线性运动特别是混沌运动的存在，不仅在理论和计算机被肯定，也在科学 技术的许多领域被发现。而且在一些简单的实验和生活现象中我们也常常发现混 沌的存在。本文所研究的磁弹体系统正是从实验中获得的。 实验是在1 9 7 9 年由莫恩( f c m o o n ) 和霍尔莫斯( p j h o l m e s ) 设计的，他 们在一个u 形支架上固定一细长的钢片，架的下端放着两块相同的永久磁铁。 这时钢片的下端就正好处在两磁铁的中间。实验装置【2 6 j 如图1 所示： 图1 磁弹性片实验装置图2 双稳势阱弹性势能 这样，钢片在正中间的位置就是不稳定点，而两侧反而是稳定点，即两磁铁 对钢片的吸引被一个势叠所分隔，从而钢片与两磁铁相互作用的势能u 就有如 图2 所示，它可以简单的表示为： u ( 工) = 二工4 一二工2 。42 它有两个极小值( 辟1 ) ，中间夹一个极大值( 萨o 处) 这时就有三个平衡位置： 中间x - - 0 是不稳定点，两侧是两个稳定点。此时系统的恢复力就可以表示为： 厂：一坐：x z 3，= 一= x z 。 出 由牛顿第二定律得，碳：f ：一半，由于系统运动总是要受阻尼作用，阻尼力经常 是速度的函数( 即撅) ，这时就可得到对称性的弹性系统的运动方程为： 5 + 口j 一工+ x 3 = 0 匣 东北师范大学硕士学位论文 之后再框架左侧装一个电磁铁，并同上交流电，电磁铁便对钢片施加一交变作用 力，于是钢片的运动方程变为： 戈+ 口j x + x 3 = fc o s c o t 在钢片的顶端装一应变片并接到测量装置，莫恩和霍尔莫斯观测到钢片的运动是 混沌运动，而且测量结果与解这方程所得结果很相似。所以我们把这个从磁弹性 片实验得到系统叫磁弹体混沌系统，系统的对应方程为磁弹体运动方程。 3 2 磁弹体混沌系统的动力学分析 我们把从数字示波器存储到的数据进行非线性分析，其中磁弹体混沌系统的 采样间隔周期是0 0 0 0 0 4 s ，采集数据2 5 0 0 点。这里我们分别对系统进行了功率 谱、庞加莱截面、最大李氏指数和关联维的分析。 1 、庞加莱截面 通过庞加莱截面的图像我们可以直观的观察出系统信号的混沌特性。图3 就是磁弹体混沌系统的庞加莱截面图： 图3 磁弹体混沌系统的p o i n c a r e 截面 从图中，我们可以发现在p o i n c a r e 截面上的点是具有一定分形结构的，这就 可以说明我们所研究的系统是混沌系统。但是由于庞加莱截面和吸引子图像一样 不能对系统进行有效的分类，所以我们还要用其他的方法对系统进行分析。 2 、功率谱分析法 我们对截取下来的数据进行功率谱分析，磁弹体混沌系统的分析结果如图4 所示： 9 东北师范大学硕士学位论文 图4 磁弹体混沌系统的功率谱谱线 从图中我们可以发现该系统的时间序列功率谱是一个连续的谱线，而且该频 谱具有高低不平的尖峰结构，这就说明了该信号不是周期信号和简单的噪声信 号，是一个有着确定性规律的信号。但是我们并不能说明它具体是什么信号，还 需要对其作进一步的非线性动力学分析，要从不同方面对它的特征进行定性和定 量的刻画。 3 、最大l y a p u n o v 利用计算我们得到这个系统的最大l y a p u n o v 指数是0 0 7 5 + 0 0 3 4 。我们知 道当一个系统的最大李氏指数大于0 时，系统处于混沌状态，所以可以证明我们 所研究系统所作的运动是混沌运动； 4 、关联维 根据时间序列直接计算关联维数的算法，对从示波器上截取下来的数据进行 计算，计算出磁弹体混沌系统的关联维d = 1 8 8 8 + 0 0 6 5 ，是非整数。说明该系统 处于混沌状态。 这里我们应该注意的是，由于有些时候可能因为一些客观因素，使我们在实 际测量中所测量的准确度和精确度并不是很理想。如噪声，在噪声影响很大的情 况下，最大李氏指数可能是大于0 的，即使此时系统的运动并不是混沌运动。还 有我们测量的数据长度也是有限的，有时可能取的很小，这对关联维和延迟时间 的计算对系统进行正确的判断都是有影响的。所以我们不能根据某一单一的分析 方法就对一个系统做出判断，应该多利用一些非线性判断方法。所以通过以上几 种对磁弹体系统的分析都证明了磁弹体系统的混沌特性。 1 0 东北师范大学硕士学位论文 第四章磁弹体混沌系统的模拟、仿真与电路实现 4 1 磁弹体混沌系统的数值模拟 戈+ 口戈一x + x 3 = fc o so ) t 上式是从实验中获取的磁弹体系统方程，其中方程有3 个常数扒f 、，他 们均是正值【2 7 1 。a 是阻尼系数；f = c o sc o t 是系统外力项；是外力项频率。 为了便于对该系统的分析，同时达到降阶的目的，将系统描述如下式( 1 ) ： 至三喜：y一，+尼 c ， 利用v c h 软件对系统进行模拟， 分别取o 2 l 、o 2 3 、0 2 3 9 和0 3 6 5 时， 及混沌振动状态【2 8 1 ，分别如图5 ( a ) ( a ) 1 周期状态 结果表明：当系统参数a = 0 3 、o j = 1 2 、f 系统分别处于一周期、二周期、三周期以 、( b ) 、( c ) 、( d ) 所示。 0 b 0 6 0 4 0 2 0 0 司2 - 0 4 - 0 6 2 0 8 1 4 ( b ) 2 周期状态 b 6 4 2 0 2 4 6 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 东北师范大学硕士学位论文 1 4 1 2 1 口一0 8 0 6 0 4 0 2 口01 5 1 0 d 50 dd51 0 15 cjjj 。1 。，叭，i 、j 川二：u f 、0 图5 磁弹体系统方程的x - y 相平面图 4 2 磁弹体混沌系统的电路仿真 在磁弹体系统的数学模型基础上，根据式( 1 ) ，搭建电路，在搭建过程中 我们采用了4 个积分电路，它们的输入电压分别为：文、夕、三、打，输出电压分 别为：面1k 一i _ 弘一瓦甚z 、而1 甜，由此可以得到系统的电路状态方程： 1 r 2 x = 一v 兄c 1 墨，。 严去：c 甏y 一惫h 器 挚 之：一j 一堕“ r 。c 3 呢 西：一j 二型盐z c 4 墨，垦。 并根据系统的方程通过运用模拟乘法器、集成运算放大器、电容和电阻设计了如 图6 所示的磁弹体系统的电路图： 1 2 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 ，d口口0 0加加加加0 8 6 4 2 d 2 4 6 8 0 0 0 0 0 0 0 口d 东北师范大学硕士学位论文 图6 磁弹体系统电路 其中全部器件都选用m u l t i s i m l 0 中的理想虚拟电子元件。其中乘法器a 1 、 a 2 的增益因子分别为1 v ，0 1 。对应电路中其它各项参数为： c i = c 2 = c 3 = c 4 = 1 0 n f ，r l s = 5 0 k q ，r 4 = r 9 = r 1 6 = 尺2 2 = 1 2 0 k o ，r 7 = 3 0 0 k f 2 ， r 2 1 = 1 5 k q ，r 6 = r s = r i o = r 1 7 = r 1 8 = r 1 9 = r 2 0 = r 2 3 = 1 0 0 k k 2 ， r 5 = 5 0 k q ，r 1 2 = 2 m r ，r 1 1 = 2 0 k q ，r i 、玛、r 1 4 均为可变电阻，玛、尺1 4 阻值 范围在0 1 0 0 k f f ，r 的最大阻值为2 k q 。通过调节滑动变阻器，用m u l t i s i m 软 件进行电路仿真，结果显示当局。= 5 0 k f 、玛= 3 0 k f 、r i = 9 0 k q 时，系统处 在一周期状态；当r 1 4 = 5 0 k f 、恐= 3 0 k t 、r i = 7 0 k f 2 时，系统处在二周期状 态；当r 1 4 = 5 0 k q 、恐= 3 0 k f 、蜀= 3 0 k f 2 时，系统处于混沌状态。分别如图 7 ( a ) 、 ( b ) 、 ( c ) 所示： 1 3 东北师范大学硕士学位论文 ( a ) 一周期相图和时序图 ( b ) 二周期相图和时序图 ( c ) 混沌相图和时序图 图7 磁弹体系统电路仿真相图和时序图 1 4 东北师范大学硕士学位论文 4 3 磁弹体混沌系统的电路实现 4 3 1 磁弹体混沌电路的实验装置 使用m u l t i s i m1 0 进行的仿真虽然只是一种数值仿真，但由于它使用的仿真模 型直接来自于实际硬件电路模型，仿真结果是与搭建实际硬件电路得到的结果是 相近的，所以可以认为该系统混沌电路的设计是可行的。参照m u l t i s i m l 0 仿真电 路图，磁弹体系统的实际电路是由2 个乘法器和4 个电容、7 个l f 3 5 3 运算放大器 及一些电阻、电容构成，如图8 所示： 图8 磁弹体系统电路板电路 4 3 2 磁弹体混沌电路的实验现象 当保持尺3 = 3 0 k q ，r i 4 = 5 0 k q 不变，尺1 分别取8 9 6 7 k q 、6 9 8 9 k q 、3 1 5 9 k q 时， 从示波器上依次观察到图9 中( a ) ( c ) 的x y 相图： 东北师范大学硕士学位论文 ( a ) 一周期状态( b ) 二周期状态( c ) 混沌状态 图9 磁弹体系统实际电路的x y 相图 1 6 东北师范大学硕士学位论文 第五章磁弹体混沌系统的混沌控制研究及电路仿真 在1 9 9 0 年，o t t 等【2 9 】提出了o g y 方法，它是一种比较系统和严密的参数微 扰法。同年，d i t t o 等3 0 l 利用o g y 方法首次在磁弹体上实现了对不动点的稳定控 制。至此以后，混沌控制的研究在理论和应用两方面都得到飞速的发展，混沌控 制研究的水平和规模也产生了巨大的变化。在混沌应用这一领域，控制混沌的方 法有很多。下面介绍几种常见的混沌控制方法。 5 1 几种常见的混沌控制方法 第一、o g y 方法【3 1 。3 3 】 o g y 方法是以美国m a r y l a n d 大学科学家o t te ，g r e b o g ig 和y o r k eja 三 位姓氏命名的。他们提出的o g y 方法是一种通用的参数微扰控制法。它是第一 个被提出的混沌控制方法，所以也是现在混沌控制领域比较常用的方法之一。它 主要是利用混沌运动的遍历性和混沌系统运动对微小参数扰动的敏感，提供一个 微小的参数扰动控制量给混沌系统，这样就可以把系统从混沌运动状态控制到稳 定的周期轨道上。 第二、自适应控制法【3 4 , 3 5 】 自适应控制法是由h u b e r m e n ，s i n h a 等提出的，它改变系统参数的方法主要 是利用目标输出和实际输出之间产生的误差信号，使系统的实际响应稳定到目标 响应【3 6 1 。 第三、 延迟反馈控制法【3 7 】 延迟反馈控制法( 简称d f c 法) 是k p y r a g a s 于1 9 2 2 年提出的一种控制混沌 的方法【3 8 1 。这种方法主要是把系统输出信号的一部分经过延迟时间再反馈到原 系统中。例如有一个系统的反馈形式是：s ( t ) = k y ( t - r ) - y ( t ) ，其中f 就是时 间延迟量，七是反馈增益。我们只用调节七，就可以把系统控制到稳定的状态。 这个方法不同于其他方法，它可以不必提前知道所控制系统的动力学特性就可以 利用测得的系统的某个输出量时间序列作为反馈量对系统进行控制。 第四、非线性反馈法【3 9 4 3 】 1 7 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 东北师范大学硕士学位论文 非线性反馈控制法是把系统输出的信号的一部分进行非线性处理，之后把处 理后的控制信号重新输入到原系统中，这样就可以把混沌系统控制到稳定状态或 周期态。但是被控系统的轨道通常和原有系统的轨道不一致。 第五、相空间压缩法【2 l j 相空间压缩法的控制原理是限制系统轨道在相空间某个方向上的运动。由于 运动受到限制，混沌轨道就不能随意的扩张，最后就会被稳定到周期的轨道上。 这个方法也可以被叫做限幅法，就是当系统的某一变量的值不同于所设的阈值 时，这个变量值将使所设阈值不变，这样系统变量也会保持不变。 5 2 自反馈法控制磁弹体混沌系统 5 2 1 自反馈控制法的数值模拟 这里我们利用自反馈控制法将磁弹体混沌运动控制到周期状态。其中反馈控 制项为砌，其中k 为反馈增益。我们在磁弹体系统方程组( 1 ) 的第四项上加控 制项砌，构造出混沌电路自反馈控制系统的驱动方程组( 2 ) ： x2y 夕= 石一0 3 y x 3 + o 3 6 5 z 三= - 1 4 4 u ( 2 ) z j = z k u 用计算机软件v c + + 进行模拟，在系统是