（机械设计及理论专业论文）磁悬浮轴承—转子系统线性与非线性动力学研究.pdf

上海人学硕士学位论文摘要 摘要 本文以国家8 6 3 计划课题样机磁悬浮铣床电主轴为研究对象，从线性力 学与非线性力学的角度对磁悬浮轴承一转子系统的动力学特性进行了认真研究。 首先，本文从单自由度磁悬浮轴承一转子系统入手，建立起单自由度轴承一 转子系统的数学模型并对由单自由度二阶力学系统得来的运动微分方程进行了 推广，导出了具有胛个自由度的系统运动微分方程。对运动微分方程求解得到系 统的特征值、稳定性、临界转速以及对数衰减率等一系列的系统动力学性能。 其次，在线性领域内应用集总参数法的基本原理对国家8 6 3 计划课题中的铣 床电主轴进行动力学分析，根据现场实验调试得出的p i d 参数值，运用 m a t l a b 6 5 软件进行计算机仿真，得到系统的临界转速、对数衰减率以及振动 模态等。 再次，建立五自由度非线性运动微分方程数学模型，运用多尺度法的基本原 理并结合数值分析方法进行数值求解，剖析五自由度系统的分叉与混沌现象。 最后，对上述理论结果运用本课题的电主轴样机进行部分实验验证。 总揽全文，可以得出许多很有意义的结论，主要有：磁悬浮轴承的刚度阻尼 和转子结构、控制系统参数密切相关，影响刚度阻尼特性的主要因素是转子的涡 动频率；一可以通过改 变磁悬浮轴承的控制参数来获得更合理的转子临界转速；控制参数会影响临界转 速的分布以及振动模态；转子的固有频率可以有多阶；转子在非线性范围内的分 析表明，转子在某些情况下会出现不稳定现象，存在稳定性判别问题：局部分叉 曲线从亚临界区跨越到超临界区然后再次返回亚临界分叉：混沌现象证实，转予 系统在一定条件下会出现混沌现象，在跨越临界转速时混沌现象比较明显。 关键词：磁悬浮轴承电主轴线性非线性运动微分方程实验 本文获得国家高技术研究发展计划( 8 6 3 计划) 课题n o 2 0 0 1 a a 4 2 3 3 1 0 资助 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rm a k e st h ee l e c t r i cs p i n d l e ，as p e c i m e no f n a t i o n8 6 3p l a nt h a ta p p l i e s f o rt h em i l l i n gt o o ls u s p e n d e db yt h ea c t i v em a g n e t i cb e a r i n g s ( s h o r t e n e da m b s ) ，a s i t sr e s e a r c h o b j e c t a n dg i v e sv e r yd e t a i l e d a n a l y s i s f o rt h es y s t e md y n a m i c s c h a r a c t e r i s t i cu n d e rt h el i n e a ra n dn o n l i n e a rt h e o r y a tf i r s t ，as i n g l ef r e e d o ma m b ss y s t e mm a t hm o d e li se s t a b l i s h e d m a k i n gi ta st h e b a s i ca n de x t e n d i n gt oam u l t i f r e e d o ms y s t e m ，t h ea u t h o rg a i n s as e r i e so f m u l t i f r e e d o ms y s t e md y n a m i c sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a f t e rt h e n ，t h r o u g hc a l c u l a t i n g a n da n a l y z i n gt h e m ，s o m ed y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c ss u c ha se i g e n v a l u e ，c r i t i c a ls p e e d ， s t a b i l i t y , a n ds oo nc a r lb ef o u n d s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot w og r o u p sp i dp a r a m e t e r sf r o me x p e r i m e n td e b u g g i n g ， m a k i n gu s eo ft h es o 行w a r e m a t l a b6 5a n d t h et h e o r yo fc o n c e n t r i c i t yp a r a m e t e r s t oc o n s t r u et h es a m p l es p i n d l e ，t h o s es p i n d l ed y n a m i cp r o p e r t i e sa r eo b t a i n e d t h i r d l y , a n o t h e rt a s ko ft h et h e s i s i st ob u i l daf i v e - d e g r e en o n l i n e a rd y n a m i c s f u n c t i o n sa n dh a n d l et h e mt h r o u g ht h em u l t i - s c a l em e t h o d & n u m e r i c a lv a l u ea n a l y s i s f o r ka n dc h a o sb e l o n gt on o n l i n e a rf i e l dp r i m a r yr e s e a r c hm i s s i o n s i nn o n l i n e a rp a r t ， t h ea u t h o rg i v e sh i so p i n i o ni ni t ，t o o f i n a l l y ，s o m ee x p e r i m e n t sa r eo f f e r e d t h ee x p e r i m e n ti n d i c a t e st h a tt h e o r y a n a l y s i sr e s u l t sc a na n s w e rf o rt h ee x p e r i m e n tp h e n o m e n as t r o n g l y t h u s ，e x p e r i m e n t a n dt h e o r ya n a l y s i sa r ei n t e r d e p e n d e n c e a f t e rf i n i s h i n gh i sw o r k ，t h ea u t h o rm a k e sl o t so fs i g n i f i c a t i v ec o n c l u s i o n sa s f o l l o w i n g ：t h es t i f f n e s sa n dd a m p i n gc h a r a c t e r i s t i c so fa m b sh a v eac o n s a n g u i n e o u s c o n n e c tw i t ht h ep a r a m e t e r sb e t w e e nt h er o t o rs t r u c t u r ea n dc o n t r o ls y s t e me s p e c i a l l y t h ee d d yf r e q u e n c yo f r o t o ri t s e l f ； 一。 ，y o uc a ng e t am o r ep e r f e c tc r i t i c a ls p e e dd i s t r i b u t i o nb y a d j u s t i n gt h ec o n t r o lp a r a m e t e r s ；t h es p i n d l eh a sm o r et h a no n ei n h e s i o nf r e q u e n c i e s ； s o m eu n s t e a d i n e s sp h e n o m e n ad u r i n gt h er o t o rr u n sw i l lo c c u rs ot h a tp e o p l em u s t g i v e t h e i ra t t e n t i o n st ot h e m ；t h ef o r kc u r v e si n d i c a t et h a tr o t o rh a st os p a n * t h ep a p e rh a sw o nt h es u s t e n t a t i o nf u n do fh i g ht e c h n o l o g yr e s e a r c hd e v e l o p m e n tp l a ni n ， c h i n a ( n a m e l y , n a t i o n8 6 3p l a n ) w i t h t h e n u m b e r ：n o2 0 0 1 a a 4 2 3 3 1 0 上海大学硕十学位论文 a b s t r a c l s u p e r - c r i t i c a lf r o ms u b c r i t i c a la r e a ，t h e nr e t u r n s t os u b 。c r i t i c a la r e a ；t h ec h a o s m o v e m e n tt e l l st h a tt h es y s t e mc a na p p e a rc h a o sp r o p e r t yu n d e rs o m ec o n d i t i o n ； w h a t sm o r e ，w h e nt h es p i n d l es p a n st h ec r i t i c a ls p e e d s ，c h a o se f f e c t sm o r eo b v i o u s l y k e yw o r d s ：a c t i v em a g n e t i cb e a r i n g s ( s h o r t e n e da m b s ) ，e l e c t r i cm o t o rs p i n d l e ， l i n e a r , n o n l i n e a r , d y n a m i c sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e x p e r i m e n t * t h ep a p e r h a sw o n t h e s u s t e n t a t i o nf u n d o fh i g ht e c k n o l o g yr e s e a r c hd e v e l o p m e n tp l a nt i t n t c h i n a ( n a m e l v n a i l o n8 6 3p l a n ) w i t ht h en u m b e r ：n o 2 0 0 1 a a 4 2 3 3 1 0 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 趟壶 日期一塑坚：! ：竺 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：盛堑 导师签名： 邀翅日期：巡： 上海大学硕l 学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 利用电磁力将物体无接触悬浮支承起来的设想早在一一百多年前就有人提 出，而且后来的理论发展也证实是可行的，但是，要想真正地实现这个梦想则 并非易事。1 8 2 4 年，英国物理学家e a r n s h a w 证明了单靠永久磁铁不能使一个 铁磁体在所有六个自由度上都保持自由、稳定的悬浮状态。为使物体在磁场 中能够稳定地自由悬浮，必须根据物体的悬浮状态不断地调节磁场，由于当时 的技术条件水平很难做到这一点，因此，早期的磁悬浮技术研究是非常缓慢的。 1 9 2 2 年，德国h e r m a n n k e m p e r 提出了电磁悬浮原理，并在1 9 3 4 年获得了世界 上第一项有关磁悬浮技术的专利。由于当时的技术和工艺条件的限制，在此后 的3 0 多年里，磁悬浮技术没有得到明显的发展 2 , 3 , 4 1 。美国德雷伯实验室在上世 纪五十年代末开始进行这项研究，至上世纪六十年代逐步将研究成果应用到空 间制导和导航惯性轮上。到上世纪六十年代中叶，法国、日本也相继投入这一一 研究领域。随着现代电子技术和控制技术的飞速发展，始转入有源磁悬浮研究 吼 磁悬浮技术在当代机械工业应用中的主流是主动磁悬浮轴承( 简称a m b ) 。 主动控制磁悬浮轴承是利用可控磁场力提供无接触支承、使转子稳定悬浮于空 间且其动力学性能可由控制系统调节的一种新型高性能轴承，是集机械学、电 磁学、电子学、转子动力学、控制工程和计算机科学于一体的最具代表性的机 电一体化产品，是目前唯一可投入实用的主动控制型支承装置，将作为滚动轴 承、滑动轴承和空气轴承等传统机械轴承的更新换代产品，成为新世纪最有发 展前途的主导轴承 1 , 6 , 7 , 8 , 9 】。磁悬浮轴承由于能实现无机械摩擦、无接触磨损和 无需润滑地支承转子，具有定位精度高、适应转速范围广和对环境无污染等优 点，被广泛应用于空间技术和其它高技术领域，如人造卫星姿态控制中的飞轮 5 1 。 1 9 3 8 年，h e r m a n n k e m p e r 首次采用一个可控电磁铁对一个质量为2 1 0 k g 的 物体成功实现了稳定悬浮。同一时期内，b e a m s 和h o l m e s 采用电磁悬浮技术悬 笫l 页共8 8 页 r 海大学硕l 学位论文 第一章绪论 浮小钢球，并通过钢球在高速旋转时所能承受的离心力测定试验材料性能，钢 球旋转速度达到1 8 1 0 7 r m i n 1 0 , 1 1 。这可能是采用磁悬浮技术支承物体最早的应 用实例。世界 二首次工业应用是1 9 8 3 年1 1 月搭载于美国航天飞机上的欧洲空 间实验舱里采用的磁力轴承真空泵。之后，1 9 8 6 年2 月发射的、安装了卫星姿 态控制磁悬浮飞轮的法国地球观测卫星s p o t 以及1 9 8 6 年6 月日本用h 1 火箭 进行的磁悬浮飞轮的空间实验，均获得了满意的结果1 5j 。从1 9 8 8 年开始，国际 电磁轴承会议每两年召开一次，以促进磁轴承技术的国际交流与合作。美国也 从1 9 9 1 年起每隔一年举办一次磁悬浮技术会议 1 2 , 1 3 1 。从发表的论文看，磁悬 浮领域的研究范围是很宽广的，包括系统控制器和系统结构设计、系统模型分 析、参数识别及动力学分析、功率放大器与执行机构的研究，以及在机械加工、 航空航天、医疗和飞轮储能、无轴承电机等领域的应用等。 国内在这方面的研究源于上世纪七十年代末，清华大学、浙江大学、上海 交通大学、上海师范大学、上海微电机研究所、西安交通大学和哈尔滨工业大 学等单位均有这方面的研究5 , 7 , 1 4 , 15 , 1 6 。上海磁悬浮列车的投入运行更是极大的 鼓舞了广大科研人员的热情，加大了磁悬浮应用的力度，也为社会认识接受磁 悬浮这种高新技术提供了实际舞台。上海大学轴承研究室于上世纪9 0 年代初开 始这项研究，很快完成了实验室研究过程并实现了实物悬浮，其中为苏州西达 公司开发的应用于透平制氧机上的磁轴承系统已达实际工业应用阶段，特别是 近两年着手研制的国家8 6 3 计划( n o 2 0 0 1 a a 4 2 3 3 1 0 ) 项目样机已于2 0 0 4 年1 1 月份到上海新国际会展中心参加了第六届上海国际工业博览会，获得与会观众 的一一致好评。可以展望，磁悬浮理论的进一步发展必将对社会产生更为深远的 影响，改善人们的生活，提高工业生产效率，因此，投入到这个领域研究是十 分有价值的，也是社会发展所需要的。 1 。2 磁悬浮轴承转子系统简述 1 2 1 磁悬浮轴承转子系统的组成及基本原理 本文的研究对象是一台磁悬浮轴承支承的铣床电主轴样机。实现转子的完 全悬浮，需要在五个自由度上施加控制力，即由两个径向轴承提供四个径向力 和一个轴向轴承提供一个轴向力。电磁铁、转子和控制系统( 传感器、调节器和 l 海大学硕上学位论文 第一章绪论 功率放大器) 就构成了完整的磁轴承一转子系统。由文献” 8 ，9 1 可知，在安装合 理的条件下，磁轴承各个自由度间力的耦合效应较小，在t 业应用上可以近似 忽略不计，并采用差动控制电路加以改善，且每个自由度e 的控制电路几乎没 有差别，所以在实际的分析研究中，常常任选一个自由度上的磁悬浮闭环控制 回路作为研究对象，其原理框图如图1 1 所示。 图1 _ 1 磁悬浮轴承一转子系统的组成 在图1 1 中，转子是系统的被控制对象，电磁铁是产生力的执行元件，其 作用是保持转子在预定位置上的稳定悬浮提供电磁力：位移传感器采取转予的 位移信号与给定的位置信号进行对比，是一反馈通道，目前多采用的是电涡流 传感器；调节器和功率放大器用于向线圈提供控制电流，一般来讲，小功率采 用线性放大器，大功率采用开关放大器。 单自由度的磁轴承系统工作原理如下：首先确定要稳定悬浮的悬浮点位置， 计算得出需要的偏磁电流而。假设在某一时刻出现扰动，使控制对象偏离悬浮 点，此时位移传感器检测位移的偏移量和偏移方向并反馈输入到前置通道，与 原先的位簧值进行比较，调节器会把两者的比较值进行适当地调节并以电压信 号的方式表现，这个电压信号被输入到放大器进行放大，形成控制电流f o ，o 和i o 叠加后分别输入到差动控制电磁铁的两个线圈，使得相应的电磁铁根据偏 磁电流和控制电流的加减情况增大或减小电磁力，两者的电磁力相应变化使控 制对象能自动地回复到原来的位置。 1 2 2 磁悬浮轴承的种类 随着磁悬浮轴承研究的不断发展，它的种类很多，通常可分为如下几种 5 ，7 ，l7 ，1 8 ，1 9 】： 1 按磁悬浮轴承力的来源分类，可以分为三种，即 第3 页共8 8 页 卜海大学碘0 学位论文第一章结论 功率放大器) 就构成了完整的磁轴承一转子系统。由文献”，8 ，”可知，在安装合 理的条件下，磁轴承各个自由度间力的耦合效应较小，在t 业应用上可以近似 忽略不计，并采用差动控制电路加以改善，且每介目由度匕的控制电路几乎没 有差别，所以在实际的分析研究中，常常任选一个自由度上的磁悬浮闭环控制 吲路作为研究对象，其原理框图如圈i 1 所示。 图1 1 磁悬浮轴承一转于系统的组成 在图1 1 中，转子是系统的被控制对象，电磁铁是产生力的执行元件，其 作用是保持转子在预定位置 的稳定悬浮提供电磁力；位移传感器采取转予的 位移信号与给定的位置信号进行对比，是一反馈通道，目前多采用的是电涡流 传感器；调节器和功率放大器用于向线圈提供控制电流，一般来讲，小功率采 用线性放大器，大功率采用开芙故大器。 单自由度的磁轴承系统工作原理如下：首先确定要稳定悬浮的悬浮点位置， 计算得出需要的偏磁电流矗。假设在某一时刻出现扰动，使控制对象偏离悬浮 点，此叫位移传感器检测位移的偏移量和偏移方向并反馈输入到前置通道，与 原先的位簧值进行比较，调节器会把两者的比较值进行适当地调节并以电压信 号的方式表现，这个电压信号被输入到放大器进行放大，形成控制电流而，0 和j 。叠加后分别输入到差动控制电磁铁的两个线圈，使得相应的电磁铁根据偏 磁电流和控制电流的加槭情况增大或减小电磁力，两者的电磁力相应变化使控 制对象能自动地回复到原来的位置。 1 2 2 磁悬浮轴承的种类 随着磁悬浮轴承研究的不断发展，它的引t 类很多，通常可分为如下几种 s ，7 ，1 1 ，【8 ，i 叭 1按磁悬浮轴承力的来源分类，可以分为2 种，即 1按磁悬浮轴承力的来源分类，可以分为三种，即 第3 页共鹋页 r 海大学坝十学位论文 弗一章绪论 有源磁悬浮轴7 n ( a c t i v em a g n e t i cb e a r i n g ，s h o r t e nb ya m b ) ，又称主 动磁悬浮轴承，通过控制电磁力实现转子的可控悬浮； 无源磁悬浮轴承( p a s s i v em a g n e t i cb e a r i n g ) ，通过永磁铁磁力实现支 承对象的被动悬浮； 混合磁悬浮轴承( h y b r i dm a g n e t i cb e a r i n g ) ，其结构既含主动磁悬 浮，又含有永磁铁被动悬浮。 2 按磁力是否可以人为地控制分为主动型和被动型。 3 按受控自由度数可以分为单自由度、二自由度、四自由度和五自由度 控制。 4 按电磁力类型可以分为吸力型和斥力型。 永磁铁型的磁悬浮轴承，其刚度小、装配困难，但是所需的控制系统简单， 悬浮功耗小；主动磁悬浮轴承的刚度大，可以精确控制，但体积大，悬浮的功 耗相应的也比较大。斥力型的磁悬浮轴承利用率低，磁场发散不易控制，结构 相对于吸力型较复杂，现在采用的也不多，目前应用较多的多是主动磁悬浮轴 承，即a m b 。本文仅研究由纯电磁铁构成的主动控制磁悬浮轴承。 1 2 3 磁悬浮轴承的特点 液体滑动轴承、气体滑动轴承、滚动轴承以及本文研究的磁悬浮轴承是现 代支承技术的四大组成部分。前三者属于传统的机械支承，它们不需要主动控 制，适用于中、低转速旋转机械和平动机械。现代机械的发展对转速提出了更 高的要求，需要能用于高转速、大功率和精密控制的支承，这就是磁悬浮支承 技术的使命。与传统支承相比，它有着显著的优点【5 , 7 , 9 , 1 5 , 2 0 】： 1 消除了转子和定子部件间的接触摩擦。它可以有效地防止部件间的擦伤 磨损，减小维修，使用寿命长，工作效率高； 2 不需要润滑剂。它取消了润滑系统，避免对周围环境产生污染，非常适 合于真空、无污染的情况下使用； 3 摩擦阻力较机械轴承小，因而摩擦功耗小，节约能源； 4 磁悬浮轴承的动力学参数可以通过设计控制参数方便地进行调节。它的 刚度和阻尼系数能够灵活地调整，完全可以通过配置不同的控制参数来满足不 第4 页共8 8 页 l 海大学顾= e 学位论文第章绪论 同的转子动态特性，不仅能克制振动，降低躁声，还能对振动实施主动控制， 使系统顺利地通过转子的临界转速： 5 允许转子达到很高的转速。由于磁悬浮轴承支承的转子可以在超临界的 工况下运行，其转速理论上只受材料自身强度的限制，这就为设计全新结构的 大功率旋转机械提供了可能性； 6 维护成本低，寿命长，可靠性高。 当然，磁悬浮轴承也有不足之处。其最主要的缺点在于：相对于滚动轴承 来讲刚度较小，且刚度不是常数，而是涡动频率的函数：承载力小，必须使用 控制系统，有些控制系统很复杂，成本较高；电磁铁的体积和重量均较大；应 付突发事件的能力弱，例如突然的断电事故可能导致整台设备的损坏。因此， 大多数的磁悬浮轴承系统都配置了辅助轴承和u p s 电源，以致于结构更加复杂。 1 3 磁悬浮轴承转子系统动力学的研究现状 磁悬浮轴承研究在国外已有五十多年的历史，应用中各项关键技术也初步 取得了比较圆满的解决。早期的研究主要在于磁悬浮基本原理、基本控制策略 和基本控制器设计等方面。迄今为止的八届国际磁悬浮会议表明了磁悬浮轴承 在基本原理、基本控制策略和基本控制系统设计等方面的研究已趋完善。但是， 作为一种高新技术，在应用方面仍然存在不少问题有待进一步解决。磁悬浮轴 承一转子系统的动力学分析最初是建立在刚性转子数学模型基础上的，那时转 予的转速较低。后来，随着转速的提高，磁悬浮轴承逐渐应用扩展到柔性转子 系统，将转子视为具有分布质量、由一根变截面的轴和多个圆盘如叶轮、齿轮 等零件组成的系统，同时转子转速也大为提高，通常工作在几个临界转速之上 7 , 1 6 , 2 1 。显然，这个时候的转予在达到运行速度的过程中，必须越过低阶的临界 转速，其振动响应必须加以控制，这就对转子动力学提出了新的要求。 近年来，随着转子转速的不断提高和转轴传递的功率不断加大，对磁悬浮 轴承一转予系统的动力学研究受到越来越多的关注。转子模型由早期的单质点 刚性转子转变为多质点柔性转予；传统的传递矩阵法不能直接应用于磁悬浮轴 承一转子系统中，有限元法的研究更为方便，当然修正后的传递矩阵法也已经 出现；陀螺力矩、转动惯量和轴的横向剪切力也在建模过程中加以考虑【2 2 l ；张 第5 页共8 8 页 1 一海人学顿i j 学位论文 第一苹绪论 钢、万金贵、严慧燕和杨新洲等人也都就转予动力学的有关问题提出了自己的 见解，为后续的分析提供了有力的基础【1 , 7 , 1 6 】。上述过程一般都是在线性范畴内 来讨论的。总体来说，线性范围内的动力学分析基本上较为完善，在通常的工 程实际中也都有较好的效果，有关线性范畴内的动力学研究文献很多，本节在 此就不再一一引进介绍，下面着重叙述有关非线性范畴内的动力学研究。 磁悬浮轴承转子系统本质上是一典型的非线性机电耦合系统，磁悬浮轴 承产生的电磁力是受控对象的位移与控制电流的非线性函数，所以实际的转子 动力学问题绝大多数是非线性的。诚然，大多数情况下对于工程应用而言， 采用线性化描述已经比较精确，这也是目前大多数工程问题仍然采用线性分析 的主要原因。但是，由于现代工业是面向大功率、高精度、高效率方向迅速发 展的，客观上要求运用非线性动力学来分析更深层次的动力学问题。早期的研 究工作大多数假设电磁力是位移的线性函数，只能用于系统在静态工作点附近 小范围的动态控制。一旦系统受到外部激扰，尤其是变频和变幅激扰时，转子 系统有可能出现大幅度的振动，导致转子与磁悬浮轴承相碰磨而失去控制，所 以，非线性范畴内的动力学研究就很有必要，非线性研究在现代工业中将起到 越来越重要的作用。e h r i c h 对转子系统中存在的分叉与混沌现象进行了深入的 研究，发现具有强烈工程背景的复杂转子系统的分叉与混沌特性与单自由度非 线性系统的特性有着许多相似之处。随后国外的学者们在非线性轴承油膜力、 非线性挤压油膜力、非线性裂纹转子、非线性碰摩、非线性刚度支承等的研究 中发现了大量的分叉与混沌现象f 2 1 。”。但是这些研究很大部分是基于液体滑动 轴承的。在磁悬浮轴承研究方面，目前非线性方面的研究工作一般是对单轴承 单自由度和单轴承二自由度转子系统研究较多，对于高阶高维的多自由度复杂 轴承一转子系统研究才刚刚开始，现有的文献资料中涉及这一方面的极少。尽 管研究的转子系统的非线性力形式各种各样，非常复杂，但分叉与混沌的形式 和现象基本上是一致的。这些转子系统一般通过倍周期分叉、h o p f 分叉、周期 3 分叉和阵发等道路进入或退出混沌，这些现象基本没超出对简单单自由度非 线性d u f f i n g 方程的分析结果【2 3 】。这说明在受到周期激励的复杂非线性系统中 可能存在一些共性的东西且可以通过简单系统加以描述，但遗憾的是人们还没 有找出这一共性。早期分析转子系统非线性振动的方法主要是传统的谐波平衡 第6 页共8 8 页 l 海大学硕士学位论文 第一章绪论 法、小参数法、多尺度法等近似方法，这些方法对二自由度以j 二的系统分析起 来很复杂，且无法分析系统的混沌响应。目前人们主要是利用数值积分法并结 合f l o q u e t 理论、p o i n c a r e 映射、中心流形理论分析转子系统的分叉和混沌【2 6 - 2 8 1 。 但对四自由度以上的系统，除了数值积分法外还没有更好的分析方法。对非线 性转子动力学进一步研究的关键在于发展高维系统的非线性动力学理论，建立 更符合实际的转子非线性动力学模型，加强非线性转子动力学的实验研究，应 用非线性转子动力学的分析结果解决实际问题，提出对系统非线性振动实施控 制的方法。 国内在非线性方面的研究主要集中在以下几个方面：在实现线性控制的基 础上，采用了两种非线性补偿装置( 位移和速度补偿) ，使转子达到更好的动态 控制效果【2 9 l ；对p d 控制器下的分散型磁轴承一转子系统进行了研究，表明电 磁力的非线性是引起系统自激振动的原因之一口。川：使用胞映射方法对非线性 不平衡轴承转子系统的全局特性及其稳定性规律进行了分析，求得了系统的周 期解及其在各个不同p o i n c a r e 截面上的吸引子，通过对这些吸引子的分析，揭 示出系统受扰运动的衰减规律随系统所处极限环上位置的不同而不同【3 2 l ；等等。 具体来讲，相对于经典的线性动力学理论，非线性的主要任务是：1 系统的平 衡点和周期解及其稳定性判别，系统参数变化时，稳态解的结构变异，即解的 分叉；2 在任意给定的初始条件下或系统受扰后，系统长期发展的结果，即非 线性解的全局性态研究，属于混沌动力学的研究范围。总体而言，磁悬浮的非 线性动力学可归结为自治和非自治系统问题的研究【3 3 】。 1 4 本文的研究目的和意义以及所做的主要工作 大多数文献表明，目前国内外只进行了单自由度和二自由度磁悬浮轴承一 转子系统的非线性动力学研究1 3 ”j ，本文将进行五自由度磁悬浮轴承一转子 系统的非线性动力学分析，另外，本文还将在线性范围内对国家8 6 3 计划的铣 床电主轴进行柔性转子动力学计算。因此，本文的主要工作内容有： 第二章：建立单自由度轴承一转子系统数学模型并从力学方程和电学方程 两方面进行展开，得到磁悬浮轴承的刚度阻尼特性；对转予动力学的一些基本 理论进行了适当的引用和阐述：对由单自由度二阶力学系统得来的运动微分方 第7 页共8 8 页 上晦人学硕士学位论文 程进行了推广，导m 具有n 个自由度的系统运动方程。对运动微分方程求解得 到系统的特征值、稳定性、临界转速以及对数衰减率等一系列的系统动力学性 能。 第三章：在线性范围内，以磁悬浮轴承一转子系统为研究对象，采用集总 参数法建立多自由度运动微分方程；利用m a t l a b 软件，结合实验调试过程中 的电子元器件参数和两组p i d 参数计算得出转子的实际i 临界转速、稳定性和振 动模态等。 第四章：以单自由度非线性数学模型为基础，建立起五自由度非线性运动 微分方程并进行初步变形处理。 第五章：运用多尺度法的基本原理对第四章的五自由度非线性微分方程进 行处理，结合数值分析方法对平均方程进行数值求解，剖析五自由度系统的分 叉与混沌现象。 第六章：详细介绍实验的过程和结果，验证上述理论的正确性，同时给出 了部分测试结论。 第七章：总结全文，并对未来的研究方向进行展望。 第8 页 共8 8 页 上海大学硕士学位论文第二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 第二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 磁悬浮轴承一转子系统是个复杂的机电磁耦合系统，要分析研究这样一 个系统，必须建立与之对应的数学模型。本章的主要任务是对单自由度磁悬浮 轴承一转子系统建模，同时就控制系统参数对系统性能的影响进行详细的论述， 考虑到理论的完整性，本章还对转子动力学理论中的某些定义进行了引述和介 绍。为了方便后面非线性理论的展开，在介绍过程中也适当地插入了些非线 性说明。 2 1 单自由度磁悬浮轴承转子系统的数学描述 前一章简单介绍了单自由度磁悬浮轴承一转子系统的工作原理，这里将会 较详细的展开论述。单自由度磁悬浮轴承一转子系统的数学模型围绕电磁铁建 立起力学和电学方程两个部分，电学部分可以采用两种控制策略：电压控制和 电流控制，所以电学方程有两种不同的数学模型；本文中，力学部分是非线性 问题来源的关键。 2 1 。1 力学方程 以y 方向为例，一个简单的单自由度磁悬浮系统可由图2 1 来表示 图2 1 单自由度磁悬浮系统结构图 图中各量的物理意义如下： c 。： 磁悬浮轴承的半径气隙； y 第9 页共8 8 页 上海人学硕：e 学位论文 第二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 砜l ，2 ：分别对应上下两个线圈的偏磁电流所需的电压值； y ：轴颈中心在该自由度上的净位移( 偏心距) ； 阢： 位置信号转换电路对应于位移量为y 时的输出信号电压； u ：轴颈中心位置处的参考电压； 耽：误差信号电压； 沈：调节器的输出电压； 一，r ： 两个电磁铁分别产生的电磁吸引力； o ：偏磁电流： 0 ：控制电流； r ：两个电磁力的差值，用于回复转子到中心平衡位置。 图中，电磁线圈采用的是单线圈结构，即控制电流f v 和偏磁电流而共用一 个线圈，其的优点是结构简单，但功放电路需两个，此结构也称为电流叠加型。 转轴置于同一平面的两个电磁铁之间，同时只考虑该平面内转子所受的外力。 忽略导磁体的磁阻、漏磁、磁通的边缘效应，不考虑贴心及线圈的损耗，假设 转子在平衡线性范围内发生偏移，有： e = 筹 ( 2 1 ) e = 掣 ( 2 2 ) 其中，“o 为真空磁导率，岛为磁极横截面面积，为电磁线圈的匝数。转 子所受合力为两者之差： 。母鼻= 半c 辫一豁，b s ， 线性展开 线性展开是指将式( 2 3 ) 在平衡点= o ，i y = 如o ) 处一阶泰勒展开，略去高阶 量，这也是目前建立系统力学方程的一种常见方法。得y 方向电磁力f 。的增量 为： a = 女w o y + k , i o f ， ( 2 4 ) 式中，b y o = 一i a o s o n 2 1 0 2 c ，o = u o s o n2 批0 2 分别为径向磁悬浮轴承的开环 第1 0 页共8 8 页 l 海人学砸l 学位论文 第二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 力一位移刚度系数和开环力一电流刚度系数，根据牛顿定律，此时，在y 向上 的力学方程为： m y ”= 一= 一k y y o y k y i o i ， ( 2 5 ) 非线性展开 非线性展开也是利用泰勒展开式，所不同的是，它主要是利用二元泰勒展 开到高阶项，从而利用位移y 和控制电流“的次数高于一阶项来达到非线性的 目的。这种方法原理简单，但是应用很广，从已有的文献来看，这是目前磁悬 浮轴承领域非线性研究的一种主要方式。本文主要研究p d 控制条件下的非线 性转化，由文献【15 , 3 5 1 可知，p 调节可以近似转化为| p d 调节，故本系统的p i d 调节最后仍然可以适用于此处，为体现文章的紧凑性，此处先行给出该公式的 表达式，具体的理论推导将在第四章详细介绍。 引进p d 控制，有： i y = f y o + 七，y + k a y 7 ( 2 6 ) 代入( 2 3 ) 式： ：半 坠堡! 生兰! ( c o + y ) 2 d y ) 2 ( ，o i 。o k p y k a y 7 ) 2 ( c o y ) 2 ( 2 7 ) 上式可看作y 和j 的函数，前者代表位移，后者代表速度。进行泰勒展开 时视为两个独立的变量，那么在静态平衡点( 0 ，0 ) 处展开到二阶并略去二阶以上 无穷小量，有： ，= ( d 1 + y + d 2 + _ y ) + 去( d ? , y 2 + 2 d l d 24 y 4 y + d ；+ y , 2 ) + 一 ( 2 8 ) ( d p y3 + 3 d d 24 y 2 y + 3 d 】d ；+ y y “+ d ；4 y , 3 ) 式子中： d l = = u o s o n 2 c 9 3 ( ，；f ：o + k p ，o c o ) ；d 2 = = u o s o n2 c i 2 ，。k d ； d ? = = “。s 。n ! i 。( 3 c 0 4 4 k ，c 0 3 ) ；2 d l d 2 = = 4 u 。s 。n2 c i 3 i ，。k d ； d ；= o ； d ? = u o s o n 2 c 9 5 卜5 七；c ；+ 9 k 岛( l + f ，。) 一6 ( 1 ；+ 2 1 0 i ，。+ 弓。) + 3 七p c 。( ，o l y 0 ) 】； 第1 1 页共8 8 页 上海人学硕士学位论文 第二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 3 d ) d 2 = 6 u o s o n2 c i 4 k d ( 3 i o 一2 k 。c 。) ；3 d l d ；= 一6 u 。s 。n2 c ，k ： d ；= 0 显然，非线性项为： e ；= i 1l u l 2 + y 2 + 2 d i d 2 4y4y + d ；+ y 2 ) + ( 2 9 ) _ 1l u l 34 y3 + 3 d ? d 2 8y2 y 十3 d i d ；+ y y 2 + d i + y 3 o 2 1 2 电学方程 磁悬浮轴承的电学方程是指电磁铁线圈的端电压或线圈中的电流信号与控 制系统的输出信号的平衡关系方程，本文中，电磁铁采用单线圈结构，即共电 流型，控制电流与偏磁电流共用一个线圈，同时认为上下两个线圈结构是完全 对称的。电磁铁的线圈结构如图2 2 所示，参照图2 1 ，则有： i 2 2 i i v 图2 2 磁轴承的电磁铁结构 线圈的端电压毗可表示为： ”圹z 。+ 鲁一警 ( 2 o ) 式中：r 一单个控制线圈的直流电阻； “1 ，“r _ 两个电磁线圈的端电压； 惭，忱两个电磁铁铁心的总磁通链，g q = l l x i l ，忱= l 2 i 2 。 不考虑导磁体磁阻及漏磁影响时，空气隙的长度为2 c o ，则电感 第1 2 页共8 8 页 每人学砸i 坞位论文 第二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 上：丝鱼笪 2 c o 将有关公式代入( 2 1 0 ) 式，有： 圹z 妒。一半 辫+ 簖卜半岛+ 古” 设功率放大器输出电压为。，根据电压平衡，有： 甜 = “。( 2 1 2 ) 功率放大器提供给定子线圈的信号可以是电流信号，也可以是电压信号。 若功率放大器输入电压为“，且增益系数为丑，则： “。= 兄“。( 2 1 3 ) 若功率放大器输出电流为f ，互导系数为卢且传递函数与负载特性无关，则： t = “。( 2 1 4 ) 通过以上分析说明，系统的电学方程式在采用不同的控制变量( 电压或电流) 刚，有完全不同的效果。这里，把式( 2 1o ) 和式( 2 1 3 ) 组成的系统称为电压控制 方式的系统数学模型，把式( 2 1 0 ) 和式( 2 1 4 ) 组成的系统称为电流控制方式的系 统数学模型。 2 2 磁悬浮轴承系统的刚度阻尼特性 刚度和阻尼特性是分析机械系统振动的两个主要参数。磁悬浮轴承的动态 特性主要取决于系统的刚度阻尼特性，并关系到转子系统的稳定性、振动和抗 干扰能力等。磁悬浮轴承应当满足转子对其力学性能参数的要求，即要求其具 有足够的刚度和阻尼，以保证系统具有足够的稳定性。刚度和阻尼不仅与磁悬 浮轴承本身的结构参数有关，还与控制系统的参数有着密切的联系。由于磁悬 浮轴承转子系统中的各个自由度之间，除了磁悬浮轴承的自身参数外，基本的 理论分析以及控制系统的设计思路完全一致，所以，以下的分析不沦是对于径 向磁悬浮轴承还是轴向磁悬浮轴承( 即推力轴承) ，都是完全适用的。 1 9 8 6 年，r h u m p h r i s 等从磁悬浮轴承系统的传递函数导出了等效刚度和等 第l 3 页共8 8 页 上海火学硕士学位论文第二二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 效阻尼系数。这是本文计算磁悬浮轴承刚度和阻尼的依据。磁悬浮轴承系统 控制器由3 个串联的电路模块组成，如图2 _ 3 所示： 设g ( ，动为控制系统的传递函数，g ( ，c o ) 由传感器的传递函数瓯、p i d 调节 器的传递函数伉和功率放大器的传递函数g m 口三部分组成： g2 g s g c g ” ( 2 1 5 ) 传感器的传递函数： g s2 爿x ( 1 + r ) r 2 1 6 ) 式中，a 。为传感器的增益，传感器的带宽为5 k h z ，舻3 1 8 1 0 。s 为传感器的 衰减时间常数。 在本控制系统中p 调节器的传递函数由加法、二阶滤波、比例放大、积 分和微分电路的传递函数组成： g c = g p l g p 2 g p 3 g ，g “ r 2 1 7 ) 加法电路的传递函数： g 州2 1 ( 1 + 0 1 5 ) r 2 1 8 ) 式中加法电路的增益，瓦l = r 1 0 7 c 1 0 2 为加法电路的衰减时间常数。 二阶滤波电路的传递函数： g p 22 1 ( 1 + z p 2 s + z p 2 22 ) f 2 1 9 ) 式中，乙2 = c 1 0 3 ( r 1 0 8 + r 1 0 9 ) ，乙2 f c l 0 3c 1 0 4r l o s r l 0 9 为二阶滤波电路的衰减时间常 数。 比例放大电路的传递函数： g ，= 4 ，= 一 捌+ 剖 c z z 。， 第1 4 页共8 8 页 上海大学硕士学位论文 第二章磁悬浮轴承转子系统动力学基础 积分电路的传递函数 g 。