（概率论与数理统计专业论文）两类奇异期权的定价方法研究.pdf

摘要 在金融市场变化多端的今天，衍生性金融产品阻其强大的杠杆和避险功能而 j 1 受投资者欢迎。而奇异期权更是由于能满足不同投资者的特殊需要而凸现其优 越地位。本文我们主要讨论研究了两种奇异期权：组合型期权和远期生效亚式期 权。 本文仍然引入b l a c k s e h o l e s 的模型假定，也即引入维纳过程( w i e n e r p r o c e s s ，a l s oc a l l e db r o w i a nm o t i o n ) 来刻画股票收益率的随机波动，采用 与弱型市场有效性相一致的股价的马尔可夫性( m a r k o vp r o p e r it y ) 来描述股票 价格变化的随机过程，运用风险中性定价原理得出了跳跃一扩散型欧式加权算术 平均价格组合型期权的定价公式并对远期生效的算术平均价格亚式期权 ( f o r w a r d s t a r ta v e r a g ep r i c ea s i a no p t i o n s ) t 时刻的价格给出了一个近 似的封闭公式解。对于我们得出的亚式期权的评价模型来说基于蒙特卡罗模拟 ( m o n t e c a r l os i m u l a t i o n ) 法在为路径依赖型衍生证券定价时的天然优良性， 我们引入蒙特卡罗模拟作为衡量我们所得到的公式精确性的标尺对此进行了精 确性的检验发现我们说得到的公式确实是远期生效的平均价格甄式期权价格的 一个合理的近似。 关键词：m o n t e c a r l o 模拟；w i e n e r 过程；弱型市场；重复期望定律：组合型期 权；一揽子期权；远期生效亚式期权。 a b s t r a c t t h ea s s u m p t i o no fb l a c k - s c h o l e sm o d e li s a d o p t e di nt h i sa r t i c l e w i e n e r p r o c e s s ( b r o w n i a nm o t i o n ) a n dm a r k o vp r o p e r t ya r eu s e dt oc h a r a c t e r i z et h e s t o c h a s t i cm o t i o no ft h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c e a n dt h el a t t e ri sc o n s i s t e n tw i 廿it h e w e a kf o r mo fm a r k e te f f i c i e n c y ( w f m e ) t h e n ，b a s e do nt h er i s kn e u t r a lp r i c i n g t h e o r y , w eg e ta np r i c i n gf o r m u l ao fj u m p d i f f u s i o ne u r o p e a nw e i g h t e da r i t h m e t i c a v e r a g ev a l u eb a s k e to p t i o n sa n da l la p p r o x i m a t ec l o s e d - f o r mf o r m u l ao ft h ep r i c e o ff o r w a r ds t a r ta v e r a g ep r i c ea s i a no p t i o n sa tt i m etw h e r et h eq u e s t i o nw ef a c i n g st h a tt h ea r i t h m e t i c a v e r a g es u mo fn o r m a l r a n d o mv a r i a b l e sh a sn oe x a c t d i s t r i b u t i o nf o r m i na d d i t i o n ，d u et ot h ei n t r i n s i ca d v a n t a g eo ft h em o n t ec a r l o s i m u l a t i o nm e t h o dt op r i c et h ep a t h - d e p e n d e n td e r i v a t i v e s ，w et e s tt h ea c c u r a c yo ft h e l a t t e rf o r m u l aw e v eg o tt a k i n go nt h em o n t ec a r l os i m u l a t i o na sab e n c h - m a r ka n d f i n dt h a tt h ef o r m u l aw eh a v eo b t a i n e di sj u s tag o o dd e m o n s t r a t i o no ft h e f o r w a r d - s t a r ta v e r a g ep r i c ea s i a n0 p t i o n s k e yw o r d s ：m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ；w i e n e rp r o c e s s ；w e a kf o r mm a r k e te f f i c i e n t ； l a wo fi t e r a t e de x p e c t a t i o n s ；b a s k e to p t i o n s ；f o r w a r ds t a r t - - a s i a no p t i o n s 韭盔硕士学位论文答辩委员会名单 姓名职称单位备注 王静龙教授华东师范大学主席 统计系 濮晓龙副教授华东师范大学委员 统计系 汤银才副教授华东师范大学委员 统计系 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 3 基建： 日期：丝吐：塑 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名 弘毒 导师签名 鹿缮 日期：型尘：塑日期：趔圭：! ! 第一章绪论 在这一章中，我们将对期权( 包括大众化期权和奇异期权) 作一般性的介绍。 比如期权的特点、期权的交易策略、期权定价的研究成果及本文所要做的工作。 1 1期权的定义及当今的期权市场 金融市场发展到今天，除了股票市场、债券市场及外汇交易市场逐渐成熟外， 一些衍生性金融产品的交易也日渐活跃。 衍生产品( d e r i v a t i v es e c u r i t y , 也称衍生证券，衍生工具) 是一种金融工具 ( f i n a n c i a li n s t r u m e n t ) ，其价值依附于其它更基本的标的变量( u n d e r l y i n g ) 。近 年来，在金融领域衍生证券变得越来越重要。许多交易所正在进行大量的期货和 期权交易。股票期权于1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易。从此，期权 市场发展十分迅猛。现在，存世界各地的不同交易所中都有期权交易。银行和其 它金融机构同时也进行巨额的期权合约的场外交易。期权的标的资产包括股票、 股票指数、外汇、债券工具、各种商品和期货合约等，当然还有许多貌似离奇的 标的，比如说某滑雪圣地的降雪量，某场足球比赛的进球数，某地在某段时间的 平均气温等等。 期权( o p t i o n s ) ，又称选择权，它表现为一纸合约，赋予其持有者做某件事 情的权利。期权有两种基本类型，看涨期权( c a l lo p t i o n s ) 和看跌期权( p u t o p t i o n s ) 。看涨期权的持有者有权在某一确定的时间以某一确定的价格购买标的 资产。看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格出售标的资产。 这里所说的某一确定的价格我们称之为执行价格( e x e r c i s ep r i c e ) 或敲定价格 ( s t r i k e p r i c e ) 。根据期权的执行方式不同，期权又分为欧式期权( e u r o p e a n g p t i o n s ) 和美式期权( a m e r i c a no p t i o n s ) 。欧式期权只能在到期日执行，而美式期权则可 在期权有效期内任何时候执行。 期权赋予其持有者做某件事情的权利而非义务，也即期权的持有者可根据到 期口标的资产价格s ，( 以现在看来到期口标的资产的价格s ，显然未知，也即是 随机变量) 同执行价x 作比较以确定是否执行期权。如对于欧式看涨期权来说， 若在到期日t 时的股票价格( 我们这里为统一起见以下都将标的看作股票) s ， x ，则执行之，反之则放弃执行。对于看跌期权来说，则恰相反。也即， 第吊绪论 生至塑蔓查兰堡主堕兰兰 欧式看涨期权多头( 持有者) 到期时的损益为m a x ( s ，一x ，0 ) ，欧式看跌期权多头到 期时的损益为m a x ( j 一s ，o ) ；相应期权的空头损益只要在前面加负号即可。当 然，在交易所中交易的多数期权为美式期权，然而，欧式期权通常比美式期权更 容易分析，并且美式期权的一些性质总是可由欧式期权的性质推导出来。 期权按其不同时刻所处的状态可分为实值期权、两，f 期权和虚值期权( i nt h e m o n e y , a t t h em o n e y ，a n do u to f t h em o n e y ) 。实值期权是指如果期权立即履约，持 有者具有正值的现金流：类似地，两平期权是指如果期权立即履约，持有者的现 金漉为零：虚值期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为负。如果用s 代表股票价格，x 代表执行价格，则当s x 时，看涨期权是实值期权；当s = 刚看涨期权是两平期权；当s x 时看涨期权是虚值期权。对应看跌期权的情况 则恰好相反。显然只有当期权是实值期权时，它才会被执行。不考虑交易费用 时，如果一直没有提前履约的话，实值期权通常是在到期日才执行的。内涵价值 ( i n t r i n s i cv a l u e ，亦称内在价值) 定义为零和期权立即执行时所具有的价值这两者 之中的极大值。因此，看涨期权的内涵价值为m a x ( s x ，o ) ，看跌期权的内涵价 值为m a x ( x s 0 1 。可见一个处于实值状态的美式期权的价值一定是大于或等于 其内涵价值，因为该期权的持有者可通过立即执行期权实现其内涵价值。通常处 于实值状态的美式期权的持有者最理想的做法是持有期权直到期权的到期日，而 并不是立即执行它。于是就说明期权具有时间价值( t i m ev a l u e ) 。期权的全部价 值为其内涵价值与时间价值之和。 以上所描述的看涨期权和看跌期权有时称之为大众型( p l a i nv a n i l l a ) 或标准 化( s t a n d a r d ) 衍生证券。近年来，为满足不同顾客的特殊需要，银行和其它金融 机构开刨性地设计了许多非标准的衍生证券，这些非标准的衍生证券有时称为新 型期权( e x o t i co p t i o n so re x o t i c s ) 或奇异期权。 下面再来关注一下期权合约的交易。并非所有的期权合约都在交易所中交 易。金融机构和大公司双方直接进行的期权交易的市场称为场外期权交易市场 ( o v e r - t h e c o u n t e ro p t i o n sm a r k e t s ) ，现在的场外交易越来越普遍，尤以外汇期权 和利率期权最为活跃。场外期权交易的主要优点是金融机构可以根据公司客户的 需要订立期权合约。例如，百慕大期权和亚式期权就是两个非标准的期权。百慕 大期权( b e r m u d a no p t i o n $ ) 可在期权有效期的某些特定天数内执行。亚式期权 ( a s i a no p t i o n s ) 的损益状态是根据确定时期内标的资产的平均价值来确定的，而 1 i 是按其终值来确定的。其中，后者的分析在我们的论文中是主要工作，至于第 二章申的对火众化期权的定价方法汇总只是为我们后来对奇异期权的研究做一 第章绪论华东师范大学硕士论文 3 铺垫的，目的是使我们在切入正题时不至于显得太唐突。 大多数期权交易所都使用做市商体制。做市商同时报出买入价和卖出价。做 市商提高了市场的流动性并能确保在执行市价订单时没有任何延迟。做市商自身 也从买卖价差中获利。期权的出售方具有潜在的负债，因此要求他们在经纪人那 里保持一定的保证金。如果经纪人不是期权清算公司会员，则需在期权清算公司 会员公司那里开设一个保证金帐户。该会员公司在期权清算公司那里开设一个保 证金帐户。期权清算公司负责记录所有的流通的期权合约、处理执行指令等等。 1 2 大众化期权定价的一些研究成果 对于一份普通的期权合约来说，如果执行了看涨期权，那么出售期权的一方 ( 空头方) 必须以执行价格加上原来看涨期权的价格出售股票。购买该期权的一方 ( 多头方) 必须以执行价加上原来看涨期权的价格购买股票。现在我们关心的是此 刘权的价格是如何确定的。而对金融衍生产品的定价问题也作为金融工程的一个 重要的研究课题被广大学者所研究。 在这一方面作出开创性贡献的当数f b l a e k 和m s e h o l e s 1 ，他们于1 9 7 3 年推 导出了普通欧式期权价格所满足的带有边际条件的偏微分方程 要+ 心芸+ 1o 2 s ：窑：矿 ( 1 2 1 ) a ta s2a s z 。 、 。 边界条件： f = m a x ( c o ( s r z ) 0 ) ，当t = - t 时 ( 1 2 2 ) m 1 , - l ，m = 1 代表欧式看涨期权，；一1 代表欧式看跌期权。 并成功地对之进行了求解，得出了著名的小付红利欧式期权的价格公式。 ，= 硝，( 嘲) 一硝名。7 。n ( d 2 ) ( 1 2 3 ) 其中s ，为t 时刻的股价；d l = l n ( s x ) + ( r 亍+ c 亏r z 2 ) ( t 一- t ) ，d 2 = d l 一盯f j o - 4j l ( 1 2 4 ) r 为无风险利率，盯为股价的波动率，t 为到期e t ，x 为执行价。 另外，m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 2 推导了支付连续红利率q 的欧式期权的定价公式。 除了公式解，一些其它方法如数值模拟方法也大量地被用来为期权定价。比 较著名的有c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 3 提到的二叉树定价法：b r e n n a n ，m j 和 e s s c h w a r t z 4 有限差分法等。这两种方法的优越之处在于它们可以为美式期权 定价，在实务中应用较广。另外，我们还可以通过模拟股票价格的运动路径来为 第一章绪论 华东师范大学硕士论文4 欧式衍生证券定价，我们称之为m o n t e c a r l o 模拟法，此方法对路径依赖型的衍 生证券定价具有很好的精度。关于m o n t e c a r l o 模拟法的更详细介绍，我们放在 2 5 。 通过卜面的描述不难看到，对于大众化欧式期权我们在一定的模型假定下有 精确的公式解，但对于美式期权来说，迄今为止没有精确的公式解，只有近似解。 最著名的是由m a c m i l l a n 最初提出，并由b a r o n e - - a d e s i 和w h a l e y 得出的扩展 二：次方程近似方法【5 ，它可用于股票、股指、外汇、期货合约的美式期权的估 值。另外，对于美式期权的定价用得较多的还有所谓的积分方程逼近法，简述之 也即美式期权的价格等于相应的欧式期权的价格加上提前执行需缴纳的额外费 用，而这一额外费用是由一个关于临界股价的积分形式来表示的，临界股价又是 通过对一个积分方程的求根运算来得到的【6 】。 当然，为美式期权定价是自1 9 7 3 年b l a c k - - s c h o l e s 公式诞生以来，金融领 域面临的又一亟待解决的难题。我们这里也只是简略地总结一二，有兴趣的可以 参见相关文献。毕竟，我们本文说探讨的组合型期权及远期生效期权大多是欧式 期权，不准提前履约。 1 3组合型期权和亚式期权介绍 比标准欧式或美式期权的盈亏状态更复杂的衍生证券称为奇异期权( e x o t i c o p t i o n s ) 。大多数奇异期权在场外交易( 0 v e r t h e c o u n t e r ) ，它们是由金融机构设计 的以满足市场或客户的特殊需要的产品。 本文我们主要研究两类奇异期权：组合型期权和远期生效亚式期权。 1 3 1 组合型期权 组合型期权( b a s k e to p t i o n s ，亦称一揽子期权) 是许多奇异期权( e x o t i c o p t i o n s ) 中很受欢迎的种，因为它可达到成本效益。避险者可以较低的成本( g q 权费的支付) 获得有效的风险规避。比如说，进口商采购商品必须支付美元及马 克，为规避美元及马克的汇率风险并且降低期权费用的支付，进口商可购买以美 元和马克为组合的看涨期权( b a s k e t c a l lo p t i o n s ) 。其总成本一定比个别购买美元 及马克看涨期权的费用要低( 美元及马克的相关系数只要低于1 ) 。同样的理由， 组合型股票( a b a s k e t o f s t o c k s ) 的波动度也是低于组合内个别股票的波动度的。 可以说，一揽子期权充分利用了证券组合理论，即只要组合中的货币汇率不完全 相关，则指数的波动要低于单个货币的波动之和。此道理同样适用于除货币以外 的标的。较低的波动意味着较低的避险成本。因此，一揽子期权的费用低于个股 期权的费用而广受国外投资者的欢迎。 第尊绪论华东师范大学硕十论文 5 1 3 2 远期生效期权( f o r w a r d - s t a r to p t i o n s ) 又称远期开始期权，是现在支付期权费但在未来某一时刻开始的期权。例如， 我们可以考虑这样一种远期生效的看涨期权。设定现在( 初始时刻) 购买一份这样 的期权合约，但合约正式生效是在一个月后，并从此转化为一种普通的期权合约。 它们通常选择合适的期权条款以使该期权在启动时处于不盈不亏的两平状态。考 虑一种远期开始看涨期权，在，时刻该期权启动，到期日为t ，其标的资产是不付 红利股票。假设在零时刻的股票价格为s ，在f ，时刻的股票价格为s 。为了对该 期权进行估值，我们从b l a c k - s c h o l e s 公式中得出处于平价状态的看涨期权和股 价成正比。因此f ，时刻的远期开始期权价值为埚s ，其中c 是持续时间为t ：一t 的处于平价状态期权在零时刻的价值。使用风险中型评估法，在零时刻的远期开 始期权价值为 e x p ( 一h 1 ) e c s j 跚 其中，童代表风险中型世界中期望值。因为c 和s 己知，且壹【s 。】- s e x p ( r t ) ， 则远期开始期权价值为c 。换句话说，远期开始期权的价值与具有相同有效期的 处于平价状态的常规期权价值完全相同。若预期股票将以q 的红利率支付红利， 则血s 。】- s e x p ( ( r q ) t ) ，且上述分析表明，远期开始期权的价值为c e x p ( - q t l ) 。 1 3 3 亚式期权( a s i a no p t i o n s ) 根据其在到期日不同的损益状态，可将其分为两种类型，一种是平均价格亚 式期权( a v e r a g ep r i c ea s i a no p t i o n s ) ，其收益依附于标的资产有效期至少某一段时 间内的平均价格，也即其到期收益为m a x ( o ，烈s 。一z ) ) ，其中s 。表示有效期 内股票的平均价格。平均价格亚式期权比常规期权价格更便宜，并有说法认为它 比常规期权更适合公司财务主管的某些要求。假设一家美国公司的财务主管期望 在明年内平稳地收到来自德国子公司的一份l 亿马克的现金流，他可能对一种能 保证该年内平均汇率高于某一水平的期权感兴趣。而平均价格看跌期权能比常规 期权更好地满足这一要求。 另一种类型的亚式期权足平均执行价格亚式期权( a v e r a g es t r i k eo p t i o n s ) ，其 收益为m a x ( o ，国( s t 一& 。) ) 。其实务应用办较广泛，举例如下( 【7 】) ： 1 ) 在商品市场，为防止某些商品受人为操纵或其它原因而产生不合理的 价格。在避险( 套期保值) 时采用平均价格作为交割计算的基础，可降 第章绪论 华东师范大学硕十论文6 低受认为操纵的不良效应。 2 ) 在原油市场上，只要原油价格能平均稳定在某价位，则原油厂商的营 利将会稳定，而不受原油价格的起伏产生异常的波动。因此，在避险 原油成本时，喜欢以平均价格作为履约价。 3 ) 为防止不友善的并购，公司可大量发行认股权证给友善的投资人，履 约价为平均股价。若对方并购公司，则友善的投资人可以平均履约价 认购被并购公司的股票而认购价格较低，且可冲淡股权稀释的效应。 但对方( 不友善的并购者) 则会有高度的股权稀释效应，同时并购价格 较高。即为并购毒丸( p o i s s o np i l l s ) 。 基于亚式期权在现今( 国外) 金融市场上强大的避险功能，而广受投资者的欢 迎。本文我们要考虑的亚式期权为平均价格亚式期权( a v e r a g ep r i c ea s i a n o p t i o n s ) ，对于平均执行价格亚式期权( a v e r a g es t r i k ea s i a no p t i o n s ) ，在后面的章 节中为内容的完整起见，我们也会简略地提到。 一般的平均价格亚式期权的平均股票价格的计算是基于合约生效起至到期 f 之间股价的算术平均，但远期生效的亚式期权的平均股价的计算是基于合约生 效日后某一时点开始至到期日之间标的价格的算术平均。 1 4本文的工作 陈松男【7 ( 2 0 0 2 ) 给出了基于标准w i e n e r 过程( 布朗运动) 的b l a e k - s e h o l e s 模 型的一揽子期权的定价。 另外，一些国外的学者如 c b h x y n h 3 2 ，d g e n t l ee 3 3 ，e 1 e v ya n ds t u r n b u l l 3 4 ，m r u b i n s t e i n 3 5 等也 都对此进行了研究但都没有考虑到资产价格受新信息和稀有偶发时间的影响，而 这却被一些学者由标的价格分布的厚尾尖峰性中所证实。本文我们运用p o i s s o n 过程来刻画这一非系统风险得出了欧式加权算术平均价格组合型期权的定价公 j ；而在文献【8 】中，b o u a z i z ，b r i y s ，a n d c r o u h y 得到了平均敲定价格亚式期权的近 似解析解，然而在现实的期权市场上除了此种浮动敲定价格的亚式期权外，更多 地在交易着另外一种完全不同的噩式期权类型，也即平均价格亚式期权( 具体定 义可参见1 3 所示) 。全文安排如下：第二章主要是为最后问题的解决给出了模 型的假定以及些必要的准备工作；第三章在【7 】的基础上给出了此种组合型期 权的定价公式；第四章则从理论上推导了远期生效平均价格亚式期权的评价公式 f 这里我们之所以称之为评价公式而不是定价公式，是基于我们所得到的这个封 闭公式仍然是一近似公式1 ，并对公式的精度进行了数值检验，得到不错的拟和。 最后提及了针对此特殊衍生证券的一些风险管理策略。 第二章模型假定及一些准备工作 在本章中我们将对我们所要研究的问题作一下模型假定，并围绕问题的最终 解决作了一些准备工作。以下为研究问题方便起见我们不妨假定期权的标的资产 都是某一支股票，由于组合型期权和亚式期权的损益状态是基于股票的状态价格 的，从而这里的模型假定也即股票价格的行为模式。 2 1 股票价格的行为模式 人们通常假定股票价格遵循m a r k o v 过程。股价的m a r k o v 性与弱型市场有 效性( t h ew e a kf o r mo f m a r k e te f f i c i e n c y ) 相一致。也即，一种股票的现价已经包 含了所有信息，当然包括了所有过去的历史记录。如果弱型市场有效性不正确的 话，技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收 益。事实上，这很难做到。正是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。有许许多 多投资者紧盯着股票市场并试图从中获利，这种实际情况导致了在任何指定时刻 的股价包含了以往股价的信息。 股价行为模型通常用著名的维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 来表述。w i e n e r 过程 足m a r k o v 随机过程的一种特殊形式，亦称为布朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 。 我们要理解遵循w i e n e r 过程的变量z 的行为，可以考虑在小时间间隔上变 量z 值的变化。设一个小的时间间隔长度为& ，定义血为在& 时间内z 的变化。 要使z 遵循w i e n e r 过程，& 必须满足两个基本性质： 性质1 ：a z 与f 的关系满足方程式 z = 占届 ( 2 1 1 ) 其中占为从n ( 0 ，1 ) 分布中抽取的一个随机值。 性质2 ：对于任何两个不同时间间隔f ，血的值相互独立。 因此，在任意长度为t 的时间间隔内，遵循w i e n e r 过程的变量值的增加具有均 值为0 ，标准差为t 的正态分布。当f 斗0 时，以上描述的z 过程的极限就是 w i e n e r 过程，并将( 2 1 i ) 的极限情况表示为 出：占鬲( 2 1 2 ) 第争模型假定及一些准备工作华东师范大学硕士论文 2 1 1 一般化w l e n e r 过程 变量x 的一般化w i e n e r 过程用d z 定义如下： d x = a d t + b d z ( 2 1 3 ) 其中a ，b 为常数。方程( 2 1 3 ) 给出的一般性w i e n e r k 立程其漂移率的期望值为a ， 方差率的期望值为b 2 。 2 1 2l t o 过程 进一步定义另一种类型的随机过程：即著名的i t o 过程( 1 t op r o c e s s ) 。这是 一个一般化的w i e n e r 过程，其中参数a 和b 是标的变量x 和时间t 值的函数。i t o 过程数学表达式为 d x = a ( x , t ) d t + b ( x , t ) d z( 2 1 4 ) 也即i t o 过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化。 2 1 3 股票价格的行为过程 若假定股票价格遵循一般化的w i e n e r 过程是很具诱惑力的，也即，它具有 f i 变的期望漂移率和方差率。但是，这个模型不能抓住股价的关键特性，即投资 者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。显然，期望漂移率为常数的 假定是不恰当的。我们可以修正为假设以股价的比例表示的期望漂移率为常数。 此假设意味着如果股价为s ，s 的期望漂移率为，心，为某一恒定常数。因此， 在短时间间隔出后，s 的增长期望值为胚：另外，股价又确实存在着波动率。 ，个合理的假设是无论股票价格如何，短时间址后的百分比收益率的方差保持 不变，定义仃2 为股票价格变化的方差率。即股价s 的瞬态方差率为盯2 s 2 。 由以上阐述町以得出结论：s 可以用瞬态期望漂移率为j 心和瞬态方差率为 盯2 s 2 的i t o 过程来表达，表示为 即 珊= g s d t + o s d t 塑；腑+ 础 s 【2 1 5 ) 这里方程( 2 1 5 ) 是描述股票价格行为最广泛使用的一种模型，亦称为几何布朗运 动( g e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o n ) 。变量盯通常被称为股票价格的波动率( s t o c k p r i c e v o l a t i l i t y ) 。变量“为股票价格的预期收益率( e x p e c t e dr a t eo f m m m ) 。 第二章模型假定及些准备工作 华东师范大学硕士论文9 2 2几个用到的定理 在这一节中，我们给出几个在对期权定价进行数学推导时所必需的几个主要 定理。 2 2 1i t o 定理 股票期权的价格是该标的股票价格和时间的函数。更一般地，我们可以说任 何一种衍生证券的价格都是这些标的衍生证券随机变量和时间的函数。在衍生证 券研究领域内的一个重要结论是由一个叫k 1 t o 的日本数学家在t 9 5 1 年发现的， 因此称为l t o 定理( 1 t o e m m a ) 。定理本身是如下这样叙述的。具体证明过程略 ( 详见【7 】) 。 假设函数f 依赖于n 个变量z ；，x 2 ，x 和时间t o 进一步假设遵循i t o 过程， 其瞬念漂移率为口和瞬态波动率为b 。( 1 s i 茎n ) ，即 d x 。= 口，d t + 6 ，d z 。( 2 1 6 ) 这里出。是w i e n e r 过程( 1 兰i h ) ，每个口，和6 ，可以是所有的和t 的任意函数。 则i t o 定律的一般表达式如下 纠喜挚，+ 鲁+ 吉喜嘉静b ：p , j ) a t + 窆。o f ，b d z 。亿 ， 其中d z ，和d z ，之间的相关系数岛定义为和s ，之间的相关系数。 特别的，当n = 2 时，i t o 定理描述如下 假设变量x 的值遵循i t o 过程 出= a ( x o a t + b ( x ，t ) d z 其中出是一个w i e n e r 过程，a 与b 是x 与t 的函数。变量x 的漂移率为a 和方差 率为b 2 。l t o 定理表明x 和t 的函数g 遵循如下过程 d g ：r 塑口+ 塑+ 上鸳) a t + 塑b d z 、缸o t2o x 。缸 在应用风险中性定价原理( 见2 3 ) 来具体推导b l a c k s c h o l e s 公式时，i t o 定理是很 重要的工具，在我们本文对我们所讨论的亚式期权定价时我们直接应用了 第二章模型假定及一些准备r 作 华东师范大学硕士论文l o b l a c k - s c h o l e s 的结论。 222g ir s a n o v 定理“ 若研e x p 哇f 屈2 西) 】 m ，并令导= e x p ( f ，, a g 矿一圭r 屈2 加) ，则在风险中 性测度q 下，相对于一个自然布朗讯息集合f ( a n a t u r a l b r o w i a n f i l t r a t i o n ) ，品 是鞅( m a r t i n g a l e ) 。也即，e ( 易| f ) = 茧，o t 町；即相对于信息集合f ，岛 的未来最好预测是现在的董。具有此特性的随机过程才能称为m a r t i n g a l e 。 2 3风险中性定价原理 风险中性定价是衍生证券分析中的一个最重要工具。它来源于b l a c k s c h o l e s 微分方程 笪+ r s 堕+ 土( r2 s 2 掣：r f ( 2 3 西瓠2硼 的个关键性质：该方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变量，方程中出 现的变量为股票当前的价格、时间、股票价格方差和无风险利率。它们都独立于 风险偏好。b l a c k s c h o l e s 微分方程独立于风险偏好这一事实使我们可以使用二个 很巧妙的观点。如果方程中不存在风险偏好，那么风险偏好将不会对其解产生影 响。因此，在对，进行定价时，我们可以使用任何一种风险偏好，特别是，可以 提出一个非常简单的假设：所有的投资者都是风险中性的。 在一个所有投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率皆为无风 险利率。因为风险中性的投资者并不需要某种补偿促使他们承担风险。而且在风 险中性的世界中，将其期望值用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值。因此， 世界是风险中性的假设确实很大程度上简化了衍生证券的分析。考虑一种衍生证 券比如欧式期权，它的盈亏状态是在t 时刻股票价格的函数。首先，在股票的 预期收益为r 而非“的前提下，计算t 时刻衍生证券的期望值，用r 作为贴现率， 将这个期渠值贴现到当前时间。然而风险中性的假设是仅有个求解 b l a c k - s c h o l e s 微分方程的人为假设获得的方程解对于所有的世界都有效，而不 仅仅是风险中性世界。当我们从风险中性世界进入到风险厌恶世界时会发生两件 事情：股票价格的期望增长率改变了；在衍生证券任何损益中所用的贴现率改变 了。然而这两件事的效果总是正好相互抵消。 旃1 章模燃假定及一些准备 作 风险中性估值的原理其实在应用时只有一句话：今天衍生证券的价值是其未 来预期值按无风险利率贴现的值。 2 4 标的资产波动率的估计及其在实际应用中波动率的获取 2 4 1 常数波动率由历史数据估计波动率” 为了从实际数据估计股价的实际波动率，观察股价的时间间隔通常是固定的 ( 例如每天、每周或每月) 。定义 n + 1 ：观察次数 墨：在第i 个时间间隔末的股票价格( i = 0 i ，n ) r ：以年为单位表示的时间间隔的长度 令驴l n 毒) ，其中i = o ，l ，2 n ( 2 4 _ 1 ) 因为s ，= s 。e x p ( u ，) ，“，为第i 个时间间隔后的连续复利收益率。”。的标准差 盯的一般估计值为 扣佶静一- ，2 其中万：上窆“ h 冒 盯= ( 2 4 2 ) 选择一个合适的r l 值并4 i 容易。然而数据越多，一般来说获得的精度越高。 但是，盯确实随时间变化，太过于长远的历史数据对于预测将来可能不起作用。 个效果似乎相当不错的解决办法是使用近9 0 天到1 8 0 天的每日数据收盘价格。 使用的般经验法则是设定度量波动率的时期等于将应用波动率所对应的时期。 因此，如果波动率准备用于为两年期期权估值，可使用两年的历史数据。 2 4 2 随机波动率 b l a c k - s c h o l e s 定价公式中假设波动率为常数，显然这个假设不符合实际情 况。当实际操作者在运用b l a c k s c h o l e s 定价公式为期权定价时，他们经常改变 波动率。 一种常见的波动率建模的方法是一般自回归条件异方差( g e n e r a l i z e d 第一二章模型饪定技一些准备i + 作华东师范大学硕士论文 a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y , g a r c h ) 。这里我们不妨简单介绍一 下最普遍使用的g a r c h 模型即g a r c h ( 1 ，1 ) 中的一些概念。定义 o - ：资产价格在i a t 时刻的波动率 ：资产的平均价格 t ：资产在心时刻的实际收益 变量，2 可看作是在f ，时刻资产收益方差的最近有关信息。g a r c h ( 1 ，1 ) 使 得在f 址时刻资产收益方差与在o 一1 ) a t 资产收益方差及2 联系起来了。方程式 为： 盯，2 = 由+ 船，_ l + 屈，f _ 1( 2 4 3 ) 其i t ( - 0 ，口，卢为常数。可以利用极大似然估计法估计这三个常数。如果我们 令出= ( 1 1 2 一声) 矿，则方程式( 2 4 3 ) 变成： d r ，2 = y ( 1 一口一历+ 口一1 + i o - , _ 1 ( 2 4 4 ) 这说明在f & 时刻的方差率是一下三个方面的加权平均： 1 一个恒定的长期平均方差率r 2 前一个方差率盯。 3 有关方差率的最新消息t 一 在方程式( 2 4 3 ) 右边重复d r 的代换过程，我们得到： q 2 = f 三+ 口妻j - 1 6 。2 ( 2 l 一声智 “7 、 这说明在任意给定时刻的方差率是一个常数加上所有过去的占的加权平均。声参 数一般称为衰减率( d e c a yr a t e ) ，它定义了在确定当前方差率时，不同占的重要性。 从方程式( 2 4 4 ) ，在 甜时刻的方羞率为 盯，2 = v + a ( 6 1 2 一矿) + 卢( 盯- 1 2 一r ) 在未来的某个时刻c a t ，上式变为： 盯，+ 1 2 = v + a ( 8 ，+ i 1 2 一矿) + 芦昏t + i 1 2 一y ) 第一i 章模型假定及些准备工作华东师范大学硕士论文 s 。一1 2 的期望值是q m l 2 。因此 e o - ，+ 2 一y 】= ( 口+ 伪e 【盯，+ n 2 一y 】 重复代入这个方程式得到： e 【盯。i 一v 】= ( 口+ 历( o 1 2 一即 即e 【q + t 2 】= v + ( 岱+ 历( q 2 一矿) m ：缸+ ) 0 ，i _ l ，n ) ( 3 2 2 ) 易妣e ( k 沪e ( e h l ( 1 + k 1 ) - - l 产e x p ( y , - 丢盯。2 + 三l 口。2 ) - l = e y - 1 - - - i ( 3 删 i 可认为是标的资产i ( i = l ，2 ，n ) 在t 时刻发生跳跃的平均跳跃幅度，且我们假定 形( ，) ，k 。，q 。( f ) ( - 1 ，2 ，n ) ，v t 【o ，t 】三者之间相互独立。同时，含于s 。的跳跃风 险不是系统风险，是可以分散的。 2 ) ( q ，f ，p ，( f ) 。) 为概率空间( n ，f ，p ) 相应的带自然t l r 一代数流( f ) ，。的概率空 间。e = 盯( ( “) ，m ( “) ；“f ) ，其中m ( u ) 为q ( t ) 的伴随鞅，即有m ( 沪q ( t ) 一m ，( d ，) 。 为一无风险债券，满足d d , = r d , d t ，d o = l ( 0 t 丁) ，即d ，= d t e 咿。，其中r 是市场无风险利率。以d 。作为折现因子对标的资产价格s t 进行折现，根据等价鞅 测度存在定理，存在唯一的与p 测度定价的q 鞅测度( 风险中性测度) ，矿( f ) 为q 测度下的标准布朗运动。( q ，f ，q ，( f ) 。) 为相应的带自然盯代数流( f ) ，。的概率 空间，f = 盯( 喊；f ) = 盯( 乱；“f ) = f ，0 f t ，以下均在该概率空间下考虑。 3 ) 在q 测度下( 1 ) 满足如下的s d e d 只。= s 。 ( ，一t 一 ，) d r + 盯，d 形( r ) + t 由，( r ) 】( 3 2 4 ) 其中d i ( i = l ，2 ，n ) 为标的资产i 在持有期i t ，1 内的连续红利收益率。记 d ，= 4 + 五。( 3 2 5 ) 则在q - 测度下运用i t 6 一s k o r o h o d 微分公式可得 d 1 n s 。1 ：( ，一吐一昙盯。2 ) d r + 盯。d 矿( f ) + l n ( 1 + 女。) d q 。o ) ( 3 2 6 ) 分后得到 i n ( 蚤) _ ( 一z 一扣2 灯川+ 蠢( 矿( r 卜吼) ) + 州篙协屿) ( 3 2 7 ) 因而，( 3 2 4 ) 的d o lia n s e d a d e 解为 只，= s 。e x p ( r - d i 一去仃，2 ) ( r f ) + 盯。( 彬( r ) 一彬o ) ) + l n ( 1 + 七，) 】 i( ，) 一吼( r ) 第争组台型期权的定价华东师范大学硕士论文 i g ( 3 2 8 ) 4 ) 市场由无风险债券d t 和组合股票s 。( i = l ，2 ，n ) 构成，交易无摩擦地连续进行。 5 ) 定义由数种不同股票组成一组合的加权算术平均价格 曰。= w s ( 3 2 9 ) j = i 此处，w ，= 股票i 在组合内所占的权数或百分比；若w 。= l n ，则e 代表等权组合 ( e q u a l l y w e i g h t e db a s k e to f s t o c k s ) 的价格。在到期时，由期权合约所约定，此欧 式加权算术平均价格一揽子期权的支付函数( 收益) 为 p w 缸b t ，x ，t ) - - - m a x 功( b t x ) ，0 ) ( 3 2 1 0 ) 其中彩 - 1 ，1 ) ，m = l 对应看涨期权，脚= 一l 对应看跌期权，x 为期权的执行价 格。根据风险中性定价理论，t 时刻该期权合约的