（应用数学专业论文）几类脉冲微分方程的振动性研究.pdf

中北大学学位论文 摘要 本文由两部分组成。 第一部分是综述。我们简单概括了本学科的背景和研究进展，介绍了微分方程振动理 论的起源和发展：此外我们简单介绍了本文将要考虑和研究的问题。 第二部分是正文。它分四章来具体讨论几类脉冲微分方程的振动性。 在第二章中，我们应用线性脉冲中立型时滞微分方程解的振动性等价于一类非脉冲中 立型时滞微分方程解的振动性这一结果，建立了此类线性脉冲中立型微分方程振动性的充 分条件。 在第三章中，我们利用反正法和脉冲微分不等式研究了二阶脉冲微分方程的振动性，得 到了方程振动的充分条件。 在第四章中，讨论了高阶线性脉冲微分方程的振动性，通过建立一些引理，得到了方程 的振动判据。 在第五章中，我们在第四章的基础上，用类似的方法讨论了高阶非线性脉冲微分方程 的振动性，得到了方程振动的充分条件。 关键词：振动，脉冲微分方程，比较定理，线性，非线性 第1 页 中北大学学位论文 a b s t r a c t t h et h e s i si sc o m p o s e do ft w op a r t s 、 t h ef i r s tp a r ti ss u m m a r i z e ，i nw h i c ht h eb a c k g r o u n do fs u b j e c t sa n dd e v e l o p m e n to f s t u d i e sa r es u m m e du ps i m p l y w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fo s c i l l a t i o no fi m p u l s ed i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sb r i e f l y f u r t h e r m o r e ，w es i m p l ym e n t i o nt h ep r o b l e m st h a tw ew i l ld i s c u s s i nt h et h e s i s t h es e c o n dp a r ti st h em a i nb o d yo ft h ea r t i c l e i ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ，w h i c h s t u d yt h eo s c i l l a t i o n so fs e v e r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s t h ec h a p t e rt w o ，b yu s i n gt h e t h eo s c i l l a t o r yo fl i n e a ri m p u l s en e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si se q u i v a l e n tt ot h a to fak i n do fn o n i m p u l s en e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eo s c i l l a t o r yo fl i n e a ri m p u l s en e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r eo b t a i n e d ： i nc h a p t e rt h r e e ，b y 戚n gr e d u c t i o nt oa b s u r d i t ya n dt h ei m p u l s ed i f f e r e n t i a li n e q u a t - i t y , w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no ft h ee q u a t i o nw h i c hw ed i s c u s s i nc h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o no fh i g h e ro r d e rl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hi m p u l s e s b ye s t a b l i s h i n gs o m el e m m a s ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h ee q u a t i o n t h ec h a p t e rf i v e ，o nb a s eo fc h a p t e rf o u r ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e q u a t i o nb yu s i n gs i m i l a rm e a n s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，o s c i l l a t i o n ，c o m p a r e dt h e o r e m ，l i n e a r ，n o n l i n e a r 第1 i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签日期： w 甚。x 。呕 导师签名：4 堑蔓日期h 一2 型生：一二二丝l 中北大学学位论文 第一章引言 本章我们主要介绍微分方程的研究背景和研究状况，本篇论文就是以此为基础对几类 脉冲微分方程的振动性展开研究和讨论的。 1 1脉冲微分方程的研究状况 在自然科学以及技术科学，例如物理学，生物学，自动控制，电子技术等等领域中，都提 出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题，通常， 我们可以根据实际问题建立数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，然后，求 解这个微分方程，达到解决实际问题的目的。 自2 0 世纪以来，微分方程的发展都是非常迅速的，如今越来越多的学者涉足这一领域 探求更新的发展。在许多科学领域研究中，例如生态学，光学控制，物理学，通讯理论，经 济分析，流行病等等，关于微分方程的稳定性、有界性、振动性、周期性等方面取得了许多 较好的结果，而其中振动性一直是微分方程的一个重要分支，在理论上和实际应用中都有 着非常重要的意义。 微分方程的振动问题最初是由s t u r m ( 1 8 3 6 年) 在研究热传导方程的时候导出了二阶 线性常微分方程，此后，无论从线性到非线性还是从低阶到高阶，微分方程的振动理论得 到了快速的发展，我们知道了s t u r m 的比较定理，s t u r m 的零点分布定理已写入大学教科 书。s w a s o n 总结了线性常微分方程振动理论性研究成果，然而，仅仅研究常微分方程的振 动理论是远远不够的，现实生活中，特别是在生物模型，经济学，工业方面等人们已经发现 了许多滞后微分方程的振动问题，并且有了偏微分方程，脉冲微分方程等等研究。 本世纪以来，自然科学和社会科学的很多科学中提到了大量的时滞系统问题，如电路 信号系统、生态系统、化工系统等、社会科学方面主要是各种经济现象时滞描述，如商业销 售问题，财富分配理论、运输调度问题、工业生产管理等，各种工程系统中的时滞现象更为 普遍 有关现实世界中的许多现象程突变状态，气候变化对种群的影响，大的经济的突变对 供给和需求的冲击，金融波动，机械性能的不稳定对产品质量的影响，而且有时还表象出一 种滞后或者超前的现象，由于常微分方程解决的问题反映的事物随时问的变化而连续变化， 第l 页 中北大学学位论文 所以对上述问题的解决已经无能为力了，需要解决这种突变现象的话，自然而然的就引入一 种新的方法，即用脉冲微分方程的理论来研究上述现象。因为脉冲微分方程较之相应的不 带脉冲的微分方程更能真实地反映各个学科中出现的变量状态的突变，脉冲微分系统最突 出的特点是能够充分的考虑瞬时突变现象对动态的影响，能够更深刻，更精确的反映事物 的变化规律。脉冲微分方程的研究可以追溯到6 0 年代，m i l m a n 和m y s h k i s 最先提出了脉 冲微分方程的理论，自此以后，有关这方面的研究迅速发展，并取得了非常好的结果。自上 世纪八十年代以来，由v l a k s m i k a n t h a m ，d d b a i n o v ，与p s s i m e n o v 三人合作的( t h e o r y o f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) ) 的问世，脉冲场微分方程的基本理论得到了很大的发展， 特别是对一般的脉冲微分方程解的定性理论己基本完善。九十年代以来，对脉冲积分一微 分方程，对脉冲泛函微分方程的研究引起了人们极大的注意，而且积分一微分方程在脉冲 作用下的理论要比不在脉冲作用下的理论要丰富的多，同时这些理论的广泛应用推动了其 在数学理论中的进一步发展。 脉冲时滞微分方程可以表现出许许多多显示世界的模拟过程，这些过程依赖于他们过 去的历史，并与瞬间的扰动有关，关于脉冲时滞微分方程的振动性和渐近性已得到了一些 结果，但这些结果大部分是建立在固定时刻的脉冲微分系统上；对脉冲泛函微分方程的研 究大多是线性常时滞泛函微分系统在定时脉冲扰动下的振动性问题，其结果也仅仅是泛函 微分方程与脉冲常微分方程的结论的初步融合与推广 ， 随着科学技术的迅速发展，中立型微分方程已广泛地出现在许多科学领域。最近几年， 国内外学者对各类中立型微分方程的振动性及非振动解的存在性等性质进行了广泛的研究， 并取得了丰富的结果。在脉冲微分方程中，中立型方程是一类形式相当广泛的脉冲微分方 程，而且有着广泛的应用背景。关于脉冲中立型微分方程，也有不少作者研究过。 下面，简单叙述与本文直接相关的几个问题的研究状况，并结合介绍本文的研究工作。 1 2 本文要做的工作 随着现代科技的发展，在许多科学领域，如生态学、光学控制、物理学、通讯理论等的 研究中，脉冲微分方程较之不带脉冲的微分方程更能准却的描述某些现象，因此脉冲微分方 程的研究引起大量学者的兴趣，而振动性问题一直是脉冲微分方程理论的一个重要分支。 由于在理论和应用方面的重要意义，近十多年来脉冲时滞微分方程的振动理论，已有 不少发展。可参看文f 1 7 1 。但是，关于脉冲中立型微分方程振动性与非振动性的工作却不多 第2 页 中北大掌学位论文 见。文【6 1 研究了脉冲中立型时滞微分方程的振动性 ，陟( t ) + p ) 箩 一f ) 】+ 口 ) 秒q 一口) = o ，t o , t # t 知 、可( 亡j ) 一耖 膏) = 6 七y ( t 七) ，k = l ，2 ， 的振动性。最近，文吲研究了脉冲中立型时滞微分方程正解的存在性 j 阿( 亡) + p o ) y 一7 _ ) 一r ) y 一力】+ g ) y 一口) = 0 ，t o ，t 如 【秒( t 毒) 一耖( “) = 6 七m ) ，蠡= 1 川2 一 正解的存在性。本文的第二章目的是进一步研究线性脉冲中立型时滞微分方程解 ib ( 量) + p o ) 爹。一r ) 一，o ) 爹一力l + g o ) 秽。一力= 0 ，t 芝o ，t 奴 【耖( t 毒) 一可( t 七) = k ! ，( 如) ，忌= 1 ，2 ， 的振动性，使用文【6 】的思想，得到了这类方程解的振动定理，使已有结果得到了改进和推 广 文献【1 2 1 研究了非脉冲二阶非线性微分方程 z ”( t ) + p ( 亡) ，( z ( t ) ，z ( r o ) ) ) 夕( z ( t ) ) = = 0 ， ( t ) + p ) ，( z ( 丁o ) ) ) 夕( z ( 亡) ) = 0 ， ， ) + p ( ) ， ( 亡) ) 夕0 ( t ) ) = 0 ， 的振动性；文献【1 3 】研究了非线性脉冲微分方程 ( 口0 ) ( o ) ) ，) + f ( t ，z ( 亡) ，x ( t r ) ) = 0 ，t “ z j ) = 厶( z ( t 良) ) ，z 7 j ) = 磊( z 0 七) ) ，k = 1 ，2 ， 的振动性。在这种启发下，本文第三章研究脉冲微分方程 j ( r ( t ) ( z 7 0 ) 广) + f ( t ，z ( t ) ，o ) ) = 0 ，t t o ，t t k ，k = l ，2 ， 、z ( 亡j ) = 鲰( z ( “) ) ，( t 者) = 饥( x i ( 如) ) ，奄= 1 ，2 ， 的振动性。 近年来，脉冲微分方程的振动性作为一个科学领域逐渐发展起来，期间有众多的研究 工作者对脉冲微分方程的振动性的研究工作作了大量的工作，也得到了一些好的结论，但 第3 页 中北大学学位论文 是大部分偏重于低阶脉冲微分方程的研究。关于二阶脉冲微分方程的研究有一些很好的结 果，文f 1 6 1 9 首先解决了二阶非线性和次线性脉冲微分方程 iz ”( t ) + f ( t ，z ( t ) ) = 0 ，t t o ，暑t k , 七= l ，2 ，。： z ( t 毒) = g k ( x ( t k ) ) ，z ( t j ) = 1 7 l 七( ( 如) ) ，忌= 1 ，2 ， lz ( 缮) = 孙，z 寺) = ( z m o ) ) 中( 亡) 的符号问题，给出了重要引理，得到了一些判定振动的依据。【2 0 1 2 1 】推广了【1 9 】的 结果文 2 2 - 2 5 同样给出了判定二阶脉冲微分方程振动性的判定定理。在此基础上，我们 在第四章考虑了如下高阶线性脉冲微分方程的振动性 l ，o ) z ( 2 嚣 ) + p ( t ) z ( t ) = 0 ，t ，t t k ( 亡毒) = z ( ) ( 如) ，i = o ，1 ，2 ，2 n 一1 ，七= 1 ，2 ， i ( 培) = z g ) 通过建立一些平行引理，得到了该方程振动的充分条件。 第五章我们用类似的方法研究了高阶非线性脉冲微分方程的振动性， ir ( t ) z ( 加( t ) + f ( t ，z ( t ) ) = 0 ，t t o ，t t k ( 砖) = z ( 站七) ，i = o ，1 ，2 ，2 n l ，奄= 1 ，2 ， l ( 缮) = 得到了振动判据。 第4 页 中北大学学位论文 第二章脉冲中立型时滞微分方程的振动性 2 1 引言 本章研究如下脉冲中立型微分方程 ， 陟 ) + p ) 3 ， 一1 - ) 一r ) ! ，o 一力】，+ g ) 可。一盯) = 0 t o 。? 一 ( 2 1 1 ) iy c q ) 一y ( t k ) = k 妙( “) ，k = 1 ，2 ，。 其中，p ，口，n 乃p ，以k 满足如下条件： 似1 ) o t l t 2 一1 ，k n 记m = m a z r , p , o r ，对于任何t o o ，k 表示【t o 一，n ，t 0 1 上的连续函数构成的集合。 定义2 1 1 对于任意t o 0 ，妒k ，函数可( 亡) = y ( t ，t o ，妒) ( t o _ 7 n ，o o ) ，冗) 称为 ( 2 1 1 ) 在，) 上满足初始条件 y ( t ) = 妒( t ) ，t 一m ，t o 】( 2 1 2 ) 的解，如果 i ) 矽( t ) 在每一区间做，t k + 1 ) n ( t o ，o o ) 上是绝对连续的，k = 1 ，2 ，； i i ) 对任何“t o ，o o ) ，可( t 毒) ，y c t ；) 均存在且y c t ；) = y c t 南) ，k = 1 ，2 ，； i i i ) y ( t ) 在t o ，o o ) 上几乎处处( a e ) 满足( 2 1 1 ) 中的方程，且在任何t k t o ，o o ) ，k n ， 满足 ( 2 1 1 ) 中的脉冲条件。 定义2 1 9 ( 2 1 1 ) 的解可( t ) 成为振动的，如果它既不是最终正的，也不是最终负的；否 则称可( t ) 是非振动的。 应用步法易证，初始问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的解是唯一的。 由于在理论和应用方面的重要意义，近十多年来脉冲时滞微分方程的振动理论，已有 不少发展。可参看文f 1 7 l 及其引文。但是，关于脉冲中立型微分方程振动性与非振动性的 工作却不多见。最近，【7 】中证明了正解的存在性。本文的目的是进一步研究线性脉冲中立 第5 页 中= 匕大学学位论文 型时滞微分方程解的振动性，使用文【6 】的思想，得到了这类方程解的振动定理，使已有结 果得到了改进和推广 2 2 主要结果 方程( 1 ) 的辅助方程为 p ( 亡) + p ( t ) x ( t 一力一r ( t ) x ( t 一力】+ q ( t ) x ( t o r ) = 0( 2 2 1 ) 其中 ， lp ( 力_ - - - n 细鲰 t ( 1 + b k ) 一切( t ) r ( 亡) = n t p “ t ( 1 + “) 一1 r ( t ) ( 2 2 2 ) lq ( t ) = - i t 一口“ t ( 1 + 玩) 。1 口( t ) 。 定义2 2 1 满足初始条件t o ，y 和c ( t o 一1 ，t o ) ，固的方程( 2 2 1 ) 的解，指的是，当 t t o 一7 ，纠时声( 砂= ( t ) ，而在( t o ，c x ) ) 上，z ( t ) 是绝对连续的，且它在，o o ) 上几乎处 处满足方程( 2 2 1 ) 方程( 2 2 1 ) 的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则它称为非振 动的 首先建立如下比较定理： 定理2 2 1 设( a 1 ) 一( 如) 成立，那么方程( 2 1 1 ) 的所有解是振动的当且仅当方程 ( 2 2 1 ) 的所有解是振动的。 ，证明设可( t ) 是( 2 1 1 ) 的非振动解，那么存在t t o ，使得当t t 时，y ( t ) 0 令 。 z ( t ) = ( 1 + k ) 以! ，( t ) ，亡t ( 2 2 3 ) +2 t 时， z ( 吉) = ( 1 + ) 一1 y ( t i ) 一 - i ( 1 + k ) 一1 l ，( “) = z ( “) t如s“ttjtk 第6 页 中北大学学位论文 z ( 亡i ) =i i ( 1 + k ) 一1 y c t ：- ) ；i i ( 1 + k ) 一1 可( “) = 。( 如) t 幻“一1t t j t k 这表明z ( t ) 在t k 处连续，因而在i t , 。o ) 上连续。由于耖( z ) 在每个( t k ，t k + 1 】上绝对连续， 容易证明z ( t ) 在i t , 0 0 ) 上也是绝对蓬续的。 此外，由( 2 2 2 ) ，对于t 之t ，有 i i ( 1 + k ) 一j 【 ( 亡) + p o ) 可。一7 ) - r ( t ) y ( t - p ) ) + i i ( 1 + 巩) 一1 q ( t ) y ( t 一盯) = o ，口e t t k tt t k t 因为h t “ t ( 1 + k ) 一1 为逐段常数函数，因此，对于任何t “，由上式可得 ii i ( 1 + k ) 一1 0 ) + p ( t ) i i ( 1 + k ) 一1 y ( t - - t ) 一r ) h ( 1 + k ) 一1 可 一力】，。 t t k tt s t t r t _ t h t p + q ) i i ( 1 + k ) 一1 1 ， 一仃) = 0 t _ t k t - - 口 此即，对任何t t ， ( z ( t ) + p ( t ) x ( t 一7 - ) 一r ( t ) x ( t p ) ) + q ( t ) x ( t 一仃) = 0 a e 这表明z ( 孟) 是( 2 2 1 ) 的解。 “反之，设z ( t ) 是( 2 2 1 ) 的非振动解，且当t t 时，z ( 亡) 0 令 秒 ) = i i ( 1 + 巩) z ( 亡) t t k t 因为z ( t ) 在上陬) 绝对连续，因此可( t ) 在每个区间( t k ，t k + 1 ) ，t t 也绝对连续，于是， 由( 2 2 1 ) ，当t t 时， i i ( 1 + k ) 【( z ( 亡) + p ( t ) z l j c 下) 一r ( t ) z c t - p ) ) + i i ( 1 + b k ) q ( t ) x ( t - 盯) = o a e t t k tr t k t 第7 页 中北大学学位论文 由于l i t t 。 t ( 1 + b k ) 为逐段常数函数，因此，对亡“， 【( 1 + h ) z ( t ) + p ( t ) i i ( 1 + b k ) x ( t - r ) 一r ( t ) i i ( 1 + 6 七) z ( t 一纠 t t h tt_$kt-v t t k t - p 即对t t ，有 + 口( 亡) i i ( 1 + b k ) x ( t 一矿) = 0 a e t _ t t - e 陆( t ) + p ( 亡) 秒 一7 ) 一r ( t ) y c t p ) 】+ q ( t ) y ( t 一盯) = 0 a e ( 2 2 4 ) 即z ( t ) 满足( 2 1 1 ) 中的方程。 此外，对于所有的k t ，有 矽( 譬) 予鼍t 驻。( 1 + 咖( d 2 r 县。( 1 + 咖o d 且 可( 如) = ( 1 + ) z ( “) t s t j “ 于是，对每个“t ，有 秒( t 者) = ( 1 + b k ) y ( t 七) 即( t ) 满足( 2 1 1 ) 中的脉冲条件，这与( 2 2 4 ) 一起表明! ，( t ) 是( 2 1 1 ) 的非振动解。定理 2 2 1 得证。， ， 推论2 2 1 设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立， i ) 若掣( t ) 在 t o ，) 上是( 2 1 1 ) 的解，则z ( t ) = 1 - i t o “ t ( 1 + k ) 一1 可( t ) 在，o o ) 上是 ( 2 2 1 ) 的解； i i ) 若z ( t ) 在 t o ，o o ) 上是( 2 2 1 ) 的解，则y ( t ) = 1 - i 幻 三 ，e 那么时滞微分不等式 ) + q ( o v ( t 一盯) 0 和时超微分不等式 ( t ) 一q ( 亡) 可0 一矿) 0 均无最终正解。 定理2 2 2 设( a 1 ) 一( 如) 成立，且 q ( t ) 0 ( 1 十九) 一1 p ( t ) s - 1 如果 ( 1 + b k ) - l r ( t ) 芝0 t 一蜓t k i 。 i io + b k ) 一1 p ( t ) + n ( 1 + b 鼍) - l r ( os o t r s t k tt - p - p ( t ) x ( t 一1 - ) + r c t ) x ( t p ) - p ( t ) x ( t 一7 - ) x ( t 一丁) 于是，存在a 0 ，使当t t - i - r 时，x ( t ) o t ，当t t + r 名( 亡) 一a q c t ) 另一方面，存在常数p 0 和五t 时，有 竹一，q(亡)二厂+1一一f主：=：三三：!：差兰乏量=亳：粉p。 ( 2 2 1 4 ) 由上式知 熙f 删s = o o ( 2 2 1 5 ) 利用( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 5 ) 可得l i m t 名( s ) 如= 一o o ，这是一个矛盾若z ( t ) 最终为负的，注意 到 z ( t ) = z ( 亡) 4 - p c t ) x ( t r ) 一r ( t ) x ( t 一力 p ( t ) x ( t f ) 一冗 ) z 0 一p ) p ( t ) x ( t r ) + p ( t ) x ( t r ) = 2 p ( t ) x ( t r ) 第1 0 页 因此， 由( 2 2 1 6 ) 中北大学学位论文 夏巨南q o ) 名o + r - a ) q o ) z ( t 一盯) = 名口e ( 2 2 1 6 ) 名币) 一褊f 叫 。 上式为时超不等式由( 2 2 2 ) 得 名币h 婶。疆( 1 k ) 褊以t + r - a ) 0 伽。( 2 2 1 7 ) 注意条件( 2 2 1 1 ) 和引理，知( 2 2 1 7 ) 无最终正解，这也是一个矛盾。故( 2 2 1 ) 所有的解 是振动的，由定理( 2 2 1 ) 知( 2 1 1 ) 的所有解也是振动的。 定理2 2 3 设( a 1 ) 一( a 3 ) 且( 2 2 7 ) 成立， ( 1 + k ) 。1 r ( t ) 0 ( 2 2 1 8 ) t - - p _ t k 仃，假设( 2 1 1 ) 有非振动解，不失一般性，设y ( t ) 为最终正解 由推论 2 2 1 知( 2 2 1 ) 也存在相应的最终正解z ( z ) ，设当t t t o 时，z ( t ) 0 ，令 由( 2 2 1 ) 知 z ( t ) = x ( t ) + p ( t ) x ( t 一7 ) 一r ( t ) x ( t 一力 z 8 ) = 一q ( t ) x ( t 一万) 0 ( 2 2 2 0 第1 1 页 中北大学学位论文 因此z ( t ) 单调非增的设z ( t ) 为最终负的，便有 x ( t ) - p ( t ) x ( t 一下) + r ( t ) x ( t p ) - 2 p ( t ) x ( t 一丁) z 一下) 因此z ( t ) 是有界函数即名( t ) 也是有界函数故 1 i mz ( t ) = l 0 ， $ - - * o o 为有限负实数对( 2 2 1 3 ) 从r 到o o 积分得 一名( t ) = 一q ( s ) 。( s 一, 7 ) d s 瑚 ，r 由条件( 2 2 2 0 ) 知，( 2 2 1 5 ) 成立因此 ( 2 2 2 2 ) l i m i n fx ( t ) = 0 ( 2 2 2 3 ) + 使用文f 3 】的引理1 5 2 知l = 0 ，则z ( t ) 0 当名( ) 为正，所以 z ( 舌) 0 矛盾。因此方 程( 2 1 1 ) 的所有解是振动的。 第1 2 页 中北大学学位论文 第三章二阶非线性脉冲微分方程的振动性 3 1 引言 由于理论和应用方画的意义，近几年来脉冲微分方程振动理论已有不少的发展，本苹 将研究二阶非线性脉冲微分方程的振动性，得到了这类方程振动的充分条件。 文献1 1 2 】研究了非脉冲二阶非线性微分方程 z ”( t ) + p ( t ) ，( z ) ，。( 7 - o ) ) ) 夕( z 0 ) ) = 0 ， 。”o ) + p o ) ， ( 7 o ) ) ) 夕( z o ) ) = 0 ， 。 ， ) + p ) ，( z ( t ) ) 夕( z ) ) ：o ， 的振动性；文献【1 3 】研究了非线性脉冲微分方程 ( 口( t ) ( ( t ) ) 口) - i - f ( t ，z ( t ) ，z 一7 ) ) = 0 ，t t k z ( 譬) = 磊扛( 坟) ) ，z ( 砖) = 磊( 拓) ) ，七= 1 ，2 ， 的振动性。本章研究如下脉冲微分方程 妒( t ) ( ( 亡) ) 口) + ，( 。，z ( 。) ，z ( t ) ) = o ， t o , t 拓，七= , 2 , - - -( 3 1 1 ) iz ( t 者) = 鲰 ( “) ) ，z ( t 吉) = h 知( ( 砍) ) ，k = 1 ，2 ， 、 。 其中0 。t o t 1 0 ，( z o ) ，妒( z ) o ； i i ) g k ，h k c ( r ，固，存在正数鲰，口：，b k ，6 ：，使得 ， 口；警o 蠹，6 冬誓b kz 0 ，詹= 1 ，2 ，； 饿) 对任意t t o ，+ ) ，t t t , ，七= 1 ，2 ，x ( t ) 是连续可微的，并且满足 ( r ( t ) ( z ( t ) ) 口) + f ( t ，z ( t ) ，z 7 ( t ) ) = o ； i v ) z ( t i ) ，z ( z j ) ， i ) ，z ( t j ) ，k = 1 ，2 ，存在，有 第1 3 页 中北大学学位论文 。( t i ) = z ( “) ，( 石) = ( 如) ，z ( 亡毒) = 矶( z ( “) ) ，一o 吉) = 七( z ( “) ) 定义3 1 1 方程( 3 1 1 ) 的解称为非振动的，如果其有最终正解或最终负解；否则，称为 振动的。 引理3 。1 。1 ( 文【1 5 1 ) 假设 n 1 ) 序列t 七满足0 塞t o t l t k o ，6 七是常数财 m ( t ) m ) t o t k t 血州t op ( s ) d s ) + t ot o t h t 呶e 啾z 加) 妣( s ) d s ， ， + t 吗酬( 小) 姚-(314)ot k t t k t ， 0 ，t z 且l i r n t - - , + o c ( 南) 吾n t o 。a 笔如= + o o 则，( 亡) o t i t , t , u ( u 昔( t k ，芒七+ l j ) ，z = m i n k ：如乃 ， 证明首先证明x ( t k ) 0 ，k 1 否则，存在歹f ，有( 岛) 0 由( 3 1 1 ) 和钇) ，得到 z ( 才) = b 0 ( 巧) ) 垮( 勺) 0 ) 由( 1 ) 和( ) ，t 、，+ o o t 、t j “1 ，岛+ i 】得到 ( r ( t ) ( z ( 力) 盯) l = 一f ( t ，z ( t ) ，( t ) ) 一口( t ) 妒( z ( t ) ) 0 第1 4 页 中北大学学位论文 因此，r ( z ) ( z 7 ( 亡) 厂在( 鸟扣一1 ，t j + 】是单调减的所以 z ( t j + 1 ) ( 制) 吾一( 哆) = 一( 帮) 吾0 1 0 ， z ( 铀) ( 裂) 吾一( 盘t ) = ( 裂) 吾饬彬( t j 川 ( 鲁苦等) 吾6 ；+ 。z ( 岛+ t ) 一( 弓丢字) 吾6 ；+ ，a 0 ， z ( 岛+ 3 ) s ( 端) 锨啦2 ) = ( 删) 吾6 ；+ 2 z ( 如+ z ) 萼弋r ，( t ( j 勺+ ) s 曲，x l - 勺z , + 2 6 1 ；+ l q 0 ， 依此类推，n 2 ： z 7 ( 白+ 3 ) 一( 马篆字) 吾( n n 诘- 1 16 ；+ t ) q 0 ， 考虑如下微分不等式 ( r ) ( z o ) ) 一) 0 ，t 巧，t “，七= 歹+ 1 ，j + 2 ， ( t j ) 6 z 。( “) ，= j - t - 1 ，歹十2 ， 令m ( t ) = r ( 古) ( 多( t ) ) 口，则 由引理3 1 1 得 m ，( t ) 0 ，t t j ，t “，k = 歹- t - 1 ，歹+ 2 ，： 仇( 砖) ( 畦) 口m c t 鼍) ， k = 歹+ 1 ，歹- i - 2 ， 仇( 力m ( 寸) 1 1 ( 醛) 口， t j t k t ， 珈) ( 鬻彬( 啪幻骡。曙 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 因此z 毒) _ a k x ( t 七) 七= j + l ，j + 2 ，由引理1 1 得到 ) 翻口刖搿) 吾埘) b ；) d s t ( “ t 0j ( “ i 、7 “ = 冰i 心i 岫( 寸h ( r ( 勺) w - t 丽1 户xt j 1 帖1 。墨酬 邸2 3 ) t “( i j 、 幻 0 使得 e 丽d u 佃 ( 3 2 4 ) 止。丽萨 0 t t o 由引理 3 2 1 ，得到z ( t ) o t t o 因为a t , 1 ，后= i ，2 ，得 z ( 亡手) x ( h ) z ( t ) x ( t 2 ) z ( 亡孝) 很明显，z ( t ) 在，+ o o ) 上是单调非增的 由( 3 1 1 ) 和条件( i ) 得到 ( r ( t ) ( z ( t ) ) 矿) 5 一口( 亡) 妒( z ( t ) ) ，t t o ，t t k z ( 芒毒) 巩z ( “) ，k = 歹+ l ，j f + 2 ， 令m ( t ) = r ( t ) ( z ( t ) ) 口，则 m ，( t ) 一口 ) ( 妒( z ) ) ) ，亡t o ，t t k m ( t j ) s6 暑m ( t 七) ， 七= 歹+ 1 ，歹+ 2 ， 由引理3 1 1 得到 ，t m ( t ) sm ( s ) i i 螟一( 螟口( u ) 妒扛( t 1 ) ) d u ，t o 8 t ( 3 2 5 ) ， j “ t ，舢 “ t e t ，( t ) ( z ) ) 盯r ( s ) ( z 7 ( s ) ) 口螟一【螟g ( u ) 妒( z ( 钆) ) 砒，t o 8 t ( 3 2 6 ) 5 t k t o 8u 0 如果存在e 0 使得 成立，且有 其中 e 丽d u o t t o 由引理3 2 1 ，得到( 亡) o t t o 设 t | ( 亡) = 锵 则 u ( t j ) 0 ，后= 1 ，2 ，o o ，t ( t ) 0 ，亡t o 由条件( i ) 和方程( 3 1 1 ) 得到知，对于t t o ，t t 詹，有 缸( t ) i 堡瞥一= 【堕篷鼍竣舻一口 ) 让( 亡j ) = 等5 鬻辫s 锩龆誉= u ( 亡七) 考虑下面脉冲微分不等式： u c t ) 冬一g ( 力，t 钿，t t k , 七= l ，2 ，o o ， 让( 砖) 蚀牡( 如) ，七= 1 ，2 ， 由引理3 1 1 可以得到 t i ( 力o ( s ) 一nc k q ( v ) d v ，t o s t s t k t ，掣 “ t 进而得到 小) 。里p 石1 , 1 1 咖 ， ( 雨1 。县口扣彬 由s ( 圯t 七+ l 】，k = 1 ，2 ，得 淼拈