（检测技术与自动化装置专业论文）基于统计方法的电容层析成像重建算法研究.pdf

摘要 摘要 电容层析成像( e c t ) 是基于电容敏感原理的过程成像技术，它具有非侵入 性、快速响应、造价低等优点，可获取过程参数的信息图像，在工业过程监测和 控制中具有广阔的应用前景。 传统的e c t 图像重建算法仅仅是获得单一介电常数的近似估计值，而统计 方法根据测量数据和先验信息可以得到介电常数全面的统计描述。 本文主要探讨了基于统计方法的e c t 图像重建算法。主要的研究工作如下： l 、在正问题部分，编写了仿真软件，能够按照给定的参数建立模型并实现 自动剖分，在剖分的模型的基础上进行有限元的计算。 2 、以统计的观点，分析了e c t 图像重建问题。根据贝叶斯统计理论，以标 准的t i k h o n o v 正则化作为先验信息，获得了介电常数的后验分布。 3 、利用共轭梯度法实现对后验分布的最大后验概率估计。对两种预条件共 轭梯度法进行了研究，发现采用该方法，通过一次迭代过程便可获得良好的成像 效果。针对该现象，进行了理论分析，证明了其合理性；提出利用这一特征可实 现一步成像，并可获得优于反投影的重建效果。 4 、采用吉布斯( g i b b s ) 抽样算法，利用马尔可夫蒙特卡洛( m c m c ) 方法 实现了对后验分布不确定性的估计。根据抽样获得的样本期望值可重建图像，并 可获得不同置信区间的图像结果。 关键词：电容层析成像后验分布最大后验概率估计预条件共轭梯度法 马尔可夫蒙特卡洛方法吉布斯抽样 a b s t i 认c t a b s t r a c t e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c et o m o g r a p h y ( e c t ) ，b a s e do nc a p a c i t a n c es e n s i n g p r i n c i p l e ，i sap r o m i s i n gt e c h n i q u eo fp r o c e s st o m o g r a p h y i th a st h ea d v a n t a g eo f b e i n gn o n - i n t r u s i v e ，f a s tr e s p o n s ea n dl o wc o s t , w h i c hc a na c q u i r ei m a g ei n f o r m a t i o n o fp r o c e s sp a r a m e t e r s i th a sab r o a da p p l i c a t i o nf o rt h ed e t e c t i o na n dc o n t r o lo f i n d u s t r i a lp r o c e s s t h et r a d i t i o n a lw a yo fi m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m si ne c ti so n l yt of i n da s i n g l ee s t i m a t e ，b u tt h es t a t i s t i c a lm e t h o d sc a no b t a i nt h ef u l ls t a t i s t i c a ld e s c r i p t i o no f t h ei n f o r m a t i o nt h a ti si m m e r s e di nt h ep r i o ri n f o r m a t i o na n dt h em e a s u r e m e n t s t h ep a p e rm a i n l yd i s c u s s e dt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m so fe c tb a s e do n s t a t i s t i c sm e t h o d s t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri ss h o w na sf o l l o w s ： 1 、i no r d e rt os o l v et h ef o r w a r dp r o b l e m , as i m u l a t i o ns o f t w a r ew a sd e s i g n e d t h e m o d e li sc o n s t r u c t e da u t o m a t i c a l l ya c c o r d i n gt og i v e np a r a m e t e r sa n dt h ef i n i t e e l e m e n tc o m p u t a t i o ni sd o n eb a s e do nt h ed i s s e c t i o nm o d e l s 2 、t h ei m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m si ne c tw e r ea n a l y z e df r o ms t a r t i n gp o i n t o fs t a t i s t i c a lt h e o r y a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fb a y e s i a ns t a t i s t i c s ，u s i n gt h es t a n d a r d t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o na st h ep r i o ri n f o r m a t i o n ，t h ep o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no ft h e p e r m i t t i v i t yp a r a m e t e r si so b t a i n e d 3 、t h em a x i m u map o s t e r i o r i ( m a p ) e s t i m a t eb a s e do nc o n j u g a t eg r a d i e n t m e t h o dw a si m p l e m e n t e d t h ei n v e s t i g a t i o no nt w op r e c o n d i t i o n e dc o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d ss h o w st h a te x c e l l e n ti m a g e sa r er e c o n s t r u c t e da f t e ro n e 。s t e p i t e r a t i o nw i t ht h e s em e t h o d s t h er a t i o n a l i t yo ft h i s r e s u l tw a sp r o v e db yt h e o r y a n a l y s i sw h i c ha l s ov a l i d a t e dt h a tt h eb e t t e ri m a g e sc a l lb er e c o n s t r u c t e dw i t ho n e i t e r a t i o ns t e pt h a n w i t hl i n e a rb a c kp r o j e c t i o n 4 、ap o s t e r i o r iu n c e r t a i n t i e sw e r ee s t i m a t e d b y m a r k o vc h a i nm o n t e c a r l o ( m c m c ) a n dg i b b ss a m p l i n gm e t h o d t h ec o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n sc o u l db e u s e dt or e c o n s t r u c ti m a g e sa n di m a g e sc o u l db er e c o n s t r u c t e df o rd i f f e r e n tc r e d i b i l i t y i n t e r v a l k e yw o r d s ：e c t , p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n ，m a p , p r e c o n d i t i o n e dc o n j u g a t e g r a d i e n t , m c m c ，g i b b ss a m p l i n ga l g o r i t h m - 1 1 - 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：彳霉日碍 签字日期：刎7 年月2 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤盗盘堂 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：；f 舍口呵 导师签名：a 趣 签字同期：细7 年，月2 1 同 签字r 期：伽1 年f 月z 7 f 1 第一章绪论 1 1p t 技术简介 1 1 1p t 技术概述 第一章绪论 过程层析成像技术( p r o c e s st o m o g r a p h y ，简称p t ) 的实质是利用物 理可实现系统，对被测物场某种特性分布进行雷登变换与反变换。其工作 过程为：采用特殊设计的敏感器阵列，以非接触或非侵入方式获取被测物 场的信息；运用定性或定量的图像重建算法，在线实时地重建出被测物场 的图像；通过分析和比较不同时刻的图像信息，获得被测物场的分布状态 和运动变化特征( 例如，两相流体在管道内或反应容器内某一横截面的分 布状况，两相流动形态等) ；根据从图像信息中提取的特征参数，按照相 关理论模型，输出相应的控制信号，实现对被观测过程的调节，从而保证 生产过程高效、安全地运行( 系统结构如图1 1 所示) 。 过程对象 图1 1p t 系统结构框图 p t 技术是以多相流为主要研究对象，伴随现代检测技术和计算机技术 的迅速发展而出现的新一代在线实时检测技术。自从1 9 7 2 年英国人 h o u n s f i e l d 研制成功第一台c t 机不久，有人尝试将医学c t 技术移植到工 业现场的多相流检测中，先后开展了如射线( 包括x 射线、y 射线、中子 射线) 、核磁共振、光学、电荷感应、微波、超声、电学( 电容、电阻抗、 电磁) 等多种p t 技术的研究。 第一章绪论 1 1 2p t 技术发展概况 ( 一) 射线成像 射线过程成像主要使用x 射线和，射线。1 8 9 5 年德国人伦琴在试验阴 极射线管时发现x 射线，开创了x 射线医疗诊断、工程技术与医学相结合 的时代，为全面解决影像重叠、密度分辨率低等缺点，研究人员发明了计 算机断层成像技术( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，简称c t ) 。其原理：取强 度为厶的x 射线源，在其对面设置检测器，当穿过被测物体时，x 射线强 度衰减，通过平移旋转扫描，获得一组测量数据，根据b e e r 定理可求出 衰减系数分布。 通常，x 射线由电子束击靶的轫致辐射源产生，射线则由天然放射 性物质产生，其工作原理与前者基本相同。早在1 9 6 4 年有研究者提出应 用y 射线衰减法测量空隙率；1 9 7 9 年c a l g a r y 大学电机系的研究人员开始 运用，射线衰减法测量多相流分相含率；k e n d a l l 、r o a c h 等( 1 9 9 4 ) 、v a n s a n t e n 等( 1 9 9 5 ) 和h e w i t t 等( 1 9 9 5 ) 建立了使用双能射线测量分相含率 的系统；1 9 9 5 年挪威伯格大学的科研人员研制出三相流双探测器成像系 统，并结合射线技术和电阻抗技术开展双模态研究；1 9 9 6 年s c h e e r s 等采 用三种能量的厂射线测量多相流分相含率，进一步提高了分相含率的测量 精度；英国e u r o m a t i c 公司已产品化的“三相流量计一由两个核子密度计、 一个涡轮流量计和一个薄膜分离器组成，较准确地测出多相流平均密度和 含水率。 射线成像技术具有如下优点：由于灵敏场为硬场并采用准直技术，图 像分辨率高；该技术采用对吸收系数敏感的成像方法，大多数被检测对象 均满足要求，因此适用范围广，但该技术造价昂贵、实时性差以及对人体 有害影响了实际应用。 ( 二) 光学成像 该技术通过测量介质的边界信息，恢复其内部各种光学参数的介质分 布。光学成像系统主要由传感器、控制测量系统和计算机等组成。传感器 包含两对发射器，接收器由光敏器件构成，它将接收到的光强转换为电信 号，从而得到某个方向上吸收系数的投影值，计算机依据一定的成像算法 重建出图像1 1 1 。 该技术2 0 世纪7 0 年代开始出现，近年来，o t 技术作为一种新型的生 物医学成像技术，显现出良好的应用前景，例如，研究者将该项技术用于 乳腺癌，脑功能或手指关节的类风湿性关节炎等的医学成像【2 ，3 ，4 1 。 该方法具有成本低、速度快、安全性好、数据采集系统简单等优点， 第一章绪论 但要求被测对象透明或半透明且管路不能受到污染，其应用范围因此受到 限制；由于图像重建算法假设其灵敏场为硬场，忽略了光的传播路径受介 质分布影响的软场( s o f tf i e l d ) 性质，使得该方法目前只能用于实验 室研究，难以在工业现场中得到应用。 ( 三) 电荷感应成像 其成像原理为：两相介质中的固体颗粒在管道中流动时，与管道摩擦 产生静电，电荷感应成像通过测量带电粒子的管截面分布，获得两相介质 中的固相分布。 该方法具有速度快、安全性好、成本低等优点，但仅适用于被测流体 带电荷的场合，由于较多因素影响被测物体的带电量，容易造成很大的误 1 t - z lo ( 四) 超声成像 其成像原理为：被测介质通过反射、透射、衍射和多普勒效应等模式 影响声波的传播，通过接收器检测被测介质的变化，采用某种图像重建算 法，求出被测介质分布。 该项技术成本低、安全性好，可用于一定的工业现场，但超声波是机 械波，传播速度很慢，难以满足过程成像的实时性要求，而且尚有较多未 解决的问题。 ( 五) 电学成像 自2 0 世纪9 0 年代以来，基于电学敏感原理的p t 技术得到了较大发展。 电学成像技术主要包括电容层析成像技术、电阻抗层析成像技术，随后发 展了电磁层析成像技术。 ( 1 ) 电容层析成像( e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c et o m o g r a p h y ，简称e c t ) 电容层析成像技术对包含多种介电常数的工业容器或管道内的流体， 运用传感器阵列形成旋转的空间敏感场，从不同的观测视角扫描，获得被 测物场的介电常数分布信息，利用图像重建算法，显示被测物场的二维或 三维介质分布图像。 e c t 技术作为一种非侵入式的流动参数可视化检测技术，已逐渐从实 验室研究走向工业应用并将展示良好的应用前景。 ( 2 ) 电阻成像( e l e c t r i c a lr e s i s t a n c et o m o g r a p h y ，简称e r t ) 电阻成像的原理为：当被测物场电导率分布发生变化时，场内电势分 布和场域边界测量电压随之变化，获取测量电压值，采用相关成像算法， 重建出对象的电导率分布。该系统采取电流激励、电压测量的工作方式。 ( 3 ) 电磁层析成像( e l e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y ，简称e m t ) 第一章绪论 该技术是2 0 世纪9 0 年代发展的新型电学成像技术。其检测量为检测 线圈的电压，重建对象为被测场域的导电率或导磁率分布1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 】。基于 不同介质具有不同导电率和导磁率的电学特性，通过电磁感应原理检测被 测介质的分布状况，采用反投影等算法重建出被测介质的电磁特性分布。 1 2 电容层析成像算法的发展概况 电容层析成像技术( e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c et o m o g r a p h y ，简称e c t ) 对 包含多种介电常数的工业容器或管道内的流体，运用传感器阵列形成旋转 的空间敏感场，从不同的观测视角扫描，获得被测物场的介电常数分布信 息，利用图像重建算法，显示被测物场的二维或三维介质分布图像。 e c t 技术作为一种非侵入式的流动参数可视化检测技术，已逐渐从实 验室研究走向工业应用并将展示良好的应用前景。由于图像重建算法直接 影响图像分辨率和成像速度，自从出现计算机断层成像技术( c t ) 以来， 很多研究者对此展开了深入研究。 从2 0 世纪8 0 年代开始，更多的国家和科研机构开展了电容层析成像 技术的研究，表1 1 列出了近年来开展e c t 研究的部分机构及使用到的相 关算法。从表中也可以看出随着研究的深入，图像重建算法也得到了快速 的发展，新型算法不断涌现。 表1 1e c t 研究的机构及相关算法 c o u n t r y i n s t i t u t i o n a l g o r i t h m c h i n e s ea c a d e m yo fs c i e n c el b p l a n d w e b e ri t e r a t i o n n o r t h e a s tu n i v e r s i t y l b p , l i n e a rr e g r e s s i o na n dr e g u l a t i z a t i o n c h i n a t s i n g h u au n i v e r s i t y r e g u l a t i z a t i o n z h e j i a n gu n i v e r s i t y s i r t g e r m a n yu n i v e r s i t yo fh a n n o v e rl b p , a r t , s i r t , e l e c t r i c a lf i e l dl i n e s m e x i c oi n s t i t u t em e x i c op e t r o l e u ml b p n o r w a yu n i v e r s i t yo fb e r g e n m o d e l b a s e di t e r a t i o n m a n c h e s t e rm e t r o p o l i t a nu n i v e r s i t yl b p u k u m i s t l b p , l a n d w e b e ri t e r a t i o n ，r e g u l a r i z a t i o n 基于电学敏感原理的e c t 的图像重建算法，基本来自医学c t 的思想， 由于射线成像的性质与电学成像不同，不能照搬在医学c t 上已成功应用 的算法，而且由于被测介质的复杂分布、灵敏度矩阵的严重欠定性 ( u n d e r d e t e r m i n e d ) 以及成像的实时性，这些因素给图像重建算法提出了 第一章绪论 很高要求。 e c t 的图像重建算法的研究已不仅局限于自动控制领域的研究者，并 引起了众多数学工作者的浓厚兴趣。目前，图像重建算法已涵盖了计算数 学、矩阵论、泛函分析等众多领域，尤其是数值计算中的逆问题理论、最 优化理论、有限元方法等研究已成为e c t 图像重建算法研究中的有效工 具。 基于目前己正式发表的文献，作者将e c t 图像重建算法简单地分为： 确定性方法 7 - 1 1 】、概率统计方法 1 2 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 2 2 , 2 6 】。 确定性方法可分为非迭代算法( 或称单步法) 和迭代算法。 e c t 图像重建算法中单步算法计算量小，速度快，但成像的精度较差； 迭代算法成像速度慢，成像质量要优于单步算法。 单步算法主要包括： 线性反投影算法( l b p ) t i k h o n o v 正则化算法 基于奇异值分解直接法( s v d ) 基于正则化和多元线性回归的图像重建算法( m l r r ) 迭代算法主要包括： l a n d w e b e r 迭代算法 共轭梯度算法 牛顿拉夫逊算法 迭代的代数法( a r t ) 同步迭代法( s i r t ) 基于模型的算法( m o r ) 对于迭代算法，又分为无约束优化算法和约束优化算法，无约束优化 属于非依赖于先验知识的方法，其理论根基是以寻找最优搜索方向和步长 为目的。而约束优化则为基于先验知识，即为正则化的方法，正则化迭代 算法就是将先验信息正则化同迭代方法相结合，在正则先验信息的约束下 迭代求解。 目前，很多e c t 图像重建算法很多都是基于近似的线性模型，实际上 由于e c t 系统是非线性的，因此很多研究者认为e c t 的正问题研究以及图 像重建算法的研究应该基于非线性的模型，并且由此提出了针对非线性模 型的重建算法，其中包括基于电场线的算法和神经网络法。对一些尚未成 熟但具有发展潜力的算法，挪威学者i s a k s e n 于1 9 9 6 年在m s t 上对e c t 的相 关算法发表了一篇综述文章【3 们，2 0 0 3 年，曼彻斯特理工学院( u m i s t ) 第一章绪论 的学者y a n gwq 也在m s t 上介绍了近年出现的一些新算法，并从各种算法 的研究机理出发，进行了较为详细的分类1 5 】。 从目前的研究看，无论是e c t 技术的硬件还是算法的研究都处于起步 阶段，众多研究图像重建算法的科学工作者提出了较多的研究思路，但从 目前工程应用的情况看，基于雷登变换的线性反投影算法虽只是一种定性 算法，成像精度不高，但由于它具备简单可靠、理论缜密、快速单步成像 的优点而在实践中得到广泛应用，其它算法基本上都处于理论研究和仿真 实验之中。 概率统计法主要是基于贝叶斯理论的相关算法。统计学是随着人类社 会的发展和社会管理的需要而发展起来的，而以贝叶斯理论为基础的贝叶 斯统计学已广泛应用于几乎所有的学科，现代贝叶斯统计学的发展同时也 极大地促进了现代统计推断方法的研究进展，贝叶斯理论在物理、生物、 地质研究、以及经济学研究等领域，取得了显著的成果。 从目前的研究来看，国内将贝叶斯统计方法应用于电成像系统的研究 还非常少；在国际上，1 9 9 7 年，法国学者t h i e r r ym a r t i n i 那j 进行了早期的 研究，并发表文章，介绍了基于贝叶斯理论的电阻抗层析成像( e i t ) 模 型，并且使用了基于最大后验概率估计的图像重建算法。2 0 0 0 年，以芬兰 学者j a r ipk a i p i o 为代表的研究人员发表文章【1 2 , 2 9 1 ，介绍了基于b a y e s 统计 模型和马尔可夫蒙特卡洛( m c m c ) 方法的e i t 图像重建算法。 从相关学者的研究成果看，基于概率统计方法的图像重建算法可以获 得未知参数的后验期望、方差以及置信区间等统计信息，对于分析e c t 问 题的研究可以给予极大的帮助，因此本文进行了基于统计方法的e c t 图像 重建算法上初步研究。 1 3 本文的组织 本篇论文共分五章： 第一章绪论。本章简要介绍了各类p t 技术的原理和发展情况，以及 电容层析成像图像重建算法的发展概况； 第二章e c t 成像基本原理。本章介绍了e c t 的系统构成及测量原理， 分析了e c t 的正问题和e c t 的逆问题的相关研究方法。利用有限元法建 立e c t 的正向模型，介绍了线性反投影算法。 第三章e c t 的后验分布模型。本章介绍了贝叶斯的基本方法以及贝叶 斯公式的基本原理，以标准的t i k h o n o v 正则化作为先验信息，获得了介电常数 第一章绪论 的后验分布。 第四章基于最大后验概率估计的图像重建算法研究。本章利用共轭梯 度法，实现了对e c t 模型的最大后验概率估计。对两种预条件共轭梯度法 进行了研究，发现采用该方法，通过一次迭代过程便可获得良好的成像效果。针 对该现象，进行了理论分析，证明了其合理性；提出利用这一特征可实现一步成 像，并可获得优于反投影的重建效果。 第五章基于g i b b s 抽样的图像重建算法研究。本章介绍了马尔可夫蒙 特卡洛( m c m c ) 方法。基于g i b b s 抽样算法对e c t 正则后验模型进行抽 样，经过对样本的处理，获得了未知介电常数的后验期望、方差和不周的 置信区问等统计信息。利用介电常数的后验期望和置信区间的上下限的重建图 象。 第六章结论与建议。本章总结本文在基于统计方法的e c t 图像重建算法的 研究成果，提出了一些建议与展望。 1 4 本文的创新点 作者依据贝叶斯理论以及有限元方法，构造了以标准的t i k h o n o v 正则化 作为先验信息e c t 后验模型。 基于最大后验概率估计的方法求解e c t 逆问题，对两种预条件共轭梯度 算法进行了研究，通过一次迭代过程获得了优于线性反投影法的成像效 果，并从理论上证明了该现象的合理性。 利用g i b b s 抽样算法实现了e c t 图像重建，获得了关于介电常数的后验 分布的大量统计信息，为进一步的e c t 图像重建算法研究奠定了基础。 第二章e c t 成像的基本原理 第二章e c t 成像的基本原理 2 1e c t 系统结构及测量原理 电容层析成像技术( e c t ) 是基于电容敏感机理的p t 技术。被测介质 介电常数的变化影响阵列电极间的测量电容值，通过管道外部电极的测 量，获取管内介电常数的变化，从而得到管内介质的图像分布。 典型的e c t 系统结构如图2 1 所示，其硬件主要由三部分构成：电容 阵列传感器、数据采集和控制系统、图像重建计算机。传感器将多相流体 分布转换成输出电容；数据采集系统将电容值转化为数字量并传送给计算 机；计算机根据图像重建算法重建出被测物场的介质分布。 不。 图2 1e c t 系统框图 电容传感器主要由绝缘管道、测量电极和屏蔽部分构成，如图2 2 所 = e c t m 像的基本原4 图2 - 21 2 电极e c t 倍感器结构示意例 绝缘管道一般使用有机玻璃，透明的有机玻璃便于观察管道叶1 的流动 状态。 测量电极采 j 黄铜或不锈钢等金属p ”，可置于管道内壁或外壁。理论 上讲，置于内壁可增大测量灵敏度，但实际应j jr f l 必须考虑到管内流体的 腐蚀性，因此将电极安装在外壁为 丰。传感器的电极结构主要分为8 电撮 和1 2 电极两种，目前主要采用1 2 电极结构。 屏蔽部分主要由屏蔽罩和径向保护电极构成，屏蔽罩封闭包嗣极板并 接地，可保护测量电极不受外界干扰。径向保护电极与屏蔽罩相连，置于 各极板间，且指向吲心并接地，其材质和厚度检测电极基本相同旧”1 。 e c t 系统采_ | j 电压激励、电容输出的t 作方式，其中，激励方式分为 单屯极激励、双电极激励和多电极激励。单电极激励是传统的电压激励方 式其测量模式为( 以1 2 电极系统为例) ：在单测量循环叶1 ，首先对电极 i 施加电压，电极2 1 2 为测量电极此时，电极l 称为源电极，极板2 至 1 2 均接地并称这些电极为检测电极，此后，将电极2 作为源电极，电极 3 - 1 2 测量，此时电极l 冗余可以接地或浮空_ ( f l o a t i n g ) i ”l ，但一般采取 接地的方式。依此类推，直至电极i i 激励，电极1 2 测量，于是可测出6 6 个独立电容值。对于个电极的e c t 系统，其独立测量数为并有下式 成立 m ：苎坐二! !( 2 i ) 2 电容层析成像正是通过这组相互独立的电容数据反演管内的介质的分 布图像。 第二章e c t 成像的基本原理 2 2e c t 数学建模 对于某些物理过程或现象，若己知该物理过程的分布，可根据系统状 态变量的某些特定条件( 如初始条件或边界条件等) 确定整个系统状态变 量的变化规律，称为正问题( f o r w a r dp r o b l e m ) ，而与之相反的过程则称 为逆问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 。 e c t 正问题属于电磁场的正向求解问题，即已知被测物场的介电常数 分布和边界条件，求取其电位分布，进而求出其电容值。求解之前，首先 要对被测物场的电磁场特性建立数学模型。 若电磁场是静电场，根据高斯通量的微分形式，有下式成立【3 5 】 v d = p ( 2 2 ) 式中，d 为电位移，p 为电荷密度，对于各向同性的媒质，有 d = 趣( 2 3 ) e = 一v 9 ( 2 - 4 ) 式中，d 为电场强度，占为被测介质的介电常数，矽为场域内电势分布 函数。 由( 2 - 2 ) 、( 2 3 ) 和( 2 4 ) 得， v d = v 以= 押占+ e v s = p ( 2 5 ) 对于均匀介质，由于v 6 = 0 ，则 四e = - 刃v 缈= p ( 2 - 6 ) 因此得到泊松方程 v 2 缈= - p * ( 2 7 ) 若场中无自由体电荷( 即p = 0 ) ，则拉普拉斯方程成立 v 2 矿= 0 ( 2 8 ) 式中，v 2 为拉普拉斯算子。 满足给定边值的拉普拉斯型或泊松型偏微分方程( 泛定方程) 有唯一 解，给定的边值或定解条件分三类【3 5 】： 1 ) 给定场域边界上的位函数值 第二章e c t 成像的基本原理 甜= 甜 这类问题称为第一类边值问题或狄利赫利( d i r i c h l c t ) i h - j 题； 2 ) 给定边界上的法向导数值 a “ 一 一= 加 这类问题称为第二类边值问题或涅伊曼( n e u m a n n ) i 口- j 题； 3 ) 若给定边界位函数及其法向导数的线性组合 “+ z - = o _ u = 以万 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 这类问题称为混合边界条件问题。 e c t 所有理论均以似稳场为基础，满足似稳场的电磁场分三类【3 6 】： 1 ) 频率变化很慢或频率很低； 2 ) 导电媒质中，位移电流远小于传导电流； 3 ) 频率变化虽不缓慢，位移电流也不可忽略，但以场源为中心，其半 径远小于五6 的空间区域也可被视为似稳场，五是电磁波的波长。在e c t 中，电压源的激励频率约为1 m h z ，以电磁波在真空中的传播速度3 1 0 8 m s 计算，电磁波的波长3 0 0 m ，远大于被测对象的直径，所以e c t 的电磁场问 题满足似稳场的第三类条件，而似稳场遵循静电场的规律，因此，e c t 正 问题可用静电场的理论描述和求解。 严格说来，所有电磁场均属三维场范畴，但因工程需要，常把三维场 简化为二维问题。在分析e c t 正问题前，首先对三维模型作如下假设【3 7 】： 1 ) 忽略电极轴向边缘效应，即计算电场时假设电极和屏蔽罩均为无限 长； 2 ) 多相介质在短时间内，其轴向分布不变； 3 ) 管截面上无自由电荷。 基于以上假设，当电极( f = 1 , 2 ，11 ) 为激励电极时，e c t 正问题属于第 一类边值问题( 即d i r i c h l e t 边界条件) ，可用静电场的拉普拉斯方程表示 v k s ( x ，y ) v q ( x ，y ) j _ 0 ( 2 - 1 2 ) m l 形 ( x ，y ) f ， 9 2 l o ( x ，y ) r i ( 后= l ，2 ，1 2 ，七f ) 且( x ，y ) r 。+ f 昭( 2 1 3 ) 式中，矿为边界激励电压。 氏为真空介电常数； 8 ( x ，力为管内媒质的相对介电常数分布； 第二章e c t 成像的基本原理 r l ，r 2 r l ：为1 2 个电极的空间位置； e 为屏蔽层位置； r 。为保护电极位置。 以油气两相流为例，若己知气体介电常数分布( s 雕= 1 ) 和油介电常 数分布( 占甜= 3 ) ，且边界激励电压己知，即可根据式( 2 1 2 ) 求出电位分 布。 2 3e c t 正问题 2 3 1 正问题求解方法 e c t 正问题是指已知介质的介电常数分布及边界条件求取不同电极之 间的电容值。e c t 正问题求解方法主要包括解析法和数值计算法【3 蹦2 1 。其 中，解析法包括分离变量法、格林函数法、复位函数法、保角变换法、镜 像法等；数值计算法 4 6 。5 0 】包括有限差分法( f d m ) 、有限元法( f e m ) 、边界 元素法( b e m ) 等。 。 解析法需要建立准确地场模型并进行理论推导，求得场内电势分布的 解析表达式，从而得到边界上的测量电压的解析解。这种方法推导过程复 杂，仅适用于二维规则形状的均匀场或简单非均匀场的计算。由于被测场 域中的介电常数分布不规则，所以解析法不适合正问题的研究。 有限差分法较为简单，其原理为在场域中，选取有限的点，并用有限 差分方程代替偏微分方程，求取场函数在各离散值的解。 有限元法是一种使用比较广泛的方法，它基于变分原理，将连续场分 割为很多小区域( 单元) ，用这些单元的集合体代表原来的场，然后对每 个单元进行分析，建立单元方程，在组合成整体方程，对其求解便可得到 连续场的离散解。因此可用于时变场、非线性场、场域几何特征不规则等 电磁场问题。 针对前文简要叙述的静电场建模方法，选择何种方法取决于问题的几 何结构复杂性和编程是否简单可行等。有限差分法既能求解均匀、非均匀 线性以及非线性位场，且可求解恒定场、似稳场和时变场，只要网格划分 精细，即可获得较精确的数值解，但当场域几何特征不规则时，该方法不 如有限元法。本文的e c t 正问题研究采用有限元法，主要基于以下考虑： 几何剖分可解决物场的结构复杂性，且刚度矩阵为稀疏矩阵，存储容易， 可迅速求解结果，从而易于从电位值求出电场强度。 第二章e c t 成像的基本原理 2 3 2 有限元法 有限元法是针对椭圆型方程的一类数值解法，其理论基础为变分原理 和剖分插值。前者是传统的能量法即李兹一伽辽金方法的变形，后者是差 分法，即网格法的变形。有限元法是这两种方法取长补短而迸一步发展的 结果，它具有非常广泛的适应性，特别适合物理、几何条件复杂的问题， 且便于程序的标准化。 有限元法的步骤为：利用变分原理把边值问题转化为变分问题，利用 剖分插值将变分问题离散化为普通多元函数的极值，最后归结为一组多元 线性方程组求解，即得待求边值问题的数值解。 ( 一) 变分原理 变分问题1 5 4 】即是求取使泛函达到极值时的极值函数，亦即研究泛函极 值问题。对于静电场问题，汤姆逊定理指出：处于介质中一固定的带电导 体系统，其表面电荷分布应使合成的静电场具有最小的能量，即静电场中 其静电能量达到最小值即是静电平衡的状态。如前所述，在e c t 正问题的 研究中，可将被测物场简化为静电场，利用汤姆逊定理，式( 2 1 3 ) 可表为 地) = 三黔班2 凼= 晔( 掣2 + 掣) 2 ) d x d y 刊n = 仁 ( x ，y ) r 。 o ，y ) f t ( 七= 1 ，1 2 ，k i ) ( x ，力s r ，+ f p g ( 2 1 4 ) 式中，d 为管截面所包含的区域。 ( 二) 几何剖分、线性插值和总体集成 二维有限元有多种剖分和插值的方法，剖分的单元结构包括三角形、 矩形、四边形等，插值方法分为线性插值、二次插值等，由于三角剖分结 构简单，适应性较强，在e c t 正问题的研究中，主要采取三角剖分和相应 的三顶点线性插值方法。 1 ) 几何剖分 将场域剖分为有限个互不重叠的三角形单元，剖分时遵循以下规则 8 6 , 9 3 ： ( a ) 为保证计算精度，应避免出现太尖或太钝的三角元； ( b ) 在需要着重分析的区域，剖分更为细密； ( c ) 在剖分边界单元时，应使单元的对应边尽量靠近物理模型的边界； 第二章e c t 成像的基本原理 ( d ) 任意三角形的顶点必须是其它元的顶点，而不能是其它元的内点； ( e ) 在场域的对称部分，其单元形态同样必须对称； ( f ) 为方便编程，对区域和节点进行编号，前者按物理性质的划分依次 连续编号，而同一三角元的节点编号以相差不太悬殊为原则，且按逆时针 的顺序标记。 2 ) 线性插值 三角剖分结束后，对每个三角元内部进行线性插值，即用插值函数 ( 工，y ) = 口+ 工+ y y ( 2 - 1 5 ) 近似代替该三角元内的待求函数9 ( x ，y ) ，式中的待定系数口，y 可由 该三角元节点上的待定函数值和节点坐标共同决定，待定函数值分别记为 仍，仍，妒。，节点坐标分别记为( x 。，y 。) ，( x 2 ) y ：) ，( x 3 ) y ，) ，节点编号分别为 ( 1 ，2 ，3 ) ( 如图2 3 所示) 。 ( o 图2 3 有限元法中的三角形单元示意图 根据式( 2 1 5 ) ，三角元的顶点电位分别为 求解上式，则 仍= 痧( x l ，y 1 ) = 口+ p x l + 7 m 伊2 = 痧( 工2 ，y 2 ) = 口+ , e x 2 + y y 2 9 3 = 痧( 而，y 3 ) = a + p x 3 + y y 3 ( 2 1 6 ) 口= a j q t + a 2 0 7 2 + a 3 q 7 3 2 = 盟訾 第二章e c t 成像的基本原理 2 a y ：! ! 亟1 2 丝1 2 丝 1 其中，a = k ，( b 。c 2 - b 2 c 。) 3 0 - - 角元面积，且 口i = x 2 y 3 一x 3 y 2b l 。y 2 一y 3c l = x 3 一屯 a 22x 3 y l 一而y 3b 25y 3 一y lc 22x 1 一毛 a 32 x l y 2 。x 2 y l 则三角元上的插值函数为 弛，y ) = 去【( ”6 。x + c l y ) 仍 ( 2 1 7 ) b 3 = y l y 2包= x 2 一x i ( 2 - 18 ) + ( 口2 + b 2 x + c 2 y ) 仍+ ( 口3 + b 3 x + c 3 y ) i p 3 】 - - x 织；( x ，力 o = l ，2 ，3 ) 其中，；( x ，y ) 称为三角元线性插值的基函数，记为 吖( x ，y ) = i ：( 口，+ 饥x + q 少) 则式( 2 1 4 ) 可用矩阵形式简记为 = k 哐孵协仍仍y = 【l 铽 式中，勋) 。= 吼9 ：仍) t 。 另外，由式( 2 1 9 ) 可求得 咿匿钥1 = 越色b 2m 若记 圩 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 则( 2 - 2 2 ) 可进一步写成矩阵形式为 v = 吼妇) 。 由( 2 1 4 ) 可知单位元的能量积分为 圳叱( 舻三扩少凼= 烨( 掣) 2 。d td f v “ 而上式可用矩阵表达为 圳“胁孵m 协蚴 1 5 ( 2 2 3 ) ( 2 2 5 ) 6 c 6 c l l 丛 = l b 咖 m 也 厶 力一 一砂 缈一 a 一+ 第二章e c t 成像的基本原理 将( 2 - 2 3 ) 代入上式，有下式成立 ，。( 痧) = 兰磁阻勋) 。 ( 2 - 2 6 ) 上式中k 】。为单位元上的电场能系数矩阵，并记为 医l = 胪陋】；吼蚴 q b i b 2 + c z c 2 b 2 b 2 + c 2 c 2 b 3 b 2 + c 3 c 2 ( 2 2 7 ) 3 ) 总体集成 为求取整个场域关于节点电位的离散表达式，将( 2 2 6 ) 式中单位元如) 。 和区l 的概念进行扩展，可写为 以( ) = 去勋) ；医】。勋) 。 ( 2 2 8 ) 则式( 2 1 4 ) 的极值问题离散化为 ，( 伊) = ，。( 痧) = 去纠7 医) = m i n， ( 2 - 2 9 ) 根据函数极值理论应有当：0 ，则 口缈 k m = o ( 2 3 0 ) 在上述离散化过程中，尚未考虑边界条件，必须对其进行强加边界条 件处理，则( 2 3 0 ) 变为 k ) = 吲 ( 2 31 ) 式中，【k 】又称系统的刚度矩阵，为刀n 阶( 刀为剖分节点个数) 对称 正定阵，其矩阵元素由各三角单位元的介电常数分布和三角剖分的拓扑结 构决定； 防】为包含边界条件的n x l 向量； 眵】为各节点的待求电位。 上式便是e c t 成像正问题计算的有限元方程，因为 k 】矩阵为满秩、 对称的良态矩阵，故正问题的所求结点电位为： 纠= k 】- 1