（计算数学专业论文）美式看跌期权定价问题的有限差分法.pdf

x9 9 4 9 g 7 美式看跌期权定价问题的有限差分法 计算数学专业 研究生徐友才指导教师胡兵 期权是最重要的会融衍生工具之一，它作为一种会融创新工具，在 防范和规避风险以及投机中起着非常重要的作用。而如何通过合理的数 学模型来确定期权的价格就成了投资者应用期权规避会融风险的关键 性问题，所以在会融领域中，期权的定价问题成为理论和应用研究的一 个重要领域。对于欧式期权，b l a c k 和s h o l e s 早己给出解析形式的定 价公式。然而，对于美式期权的定价，并不存在这样的解析公式，也无 法求得精确解。因此，发展各种计算荚式期权价格的数值方法具有重要 的理论和实际意义。美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边 值问题或相应的线性互补偏微分方程。目前，常用的数值方法有二叉树 法，蒙特卡罗模拟方法，有限元法及有限差分法等。本学位论文主要讨 论美式看跌股票期权定价问题，提供两种差分格式为其定价：一是四点 隐格式，在 4 的基础上，提供一种新的求解差分方程的方法；二是修 i f 的c r a n k n i c o l s o n 格式，为美式看跌股票期权的定价问题提供了新 的数值处理途径。利用能量方法进行了差分解的稳定性和收敛性分析， 并给出误差估计；用g a u s s 消去法的思想对差分不等方程进行跌代求 解。通过数值实验，可以看到本文提供的算法是高效的算法。 关键词：美式看跌期权，四点隐式差分格式，修币的c r a n k n i c o l s o n 格式，稳定性和收敛性 2 f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o rp r i c i n gt h ea m e r i c a np u t o p t i o n s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s a u t h o r ：x uy o u c a i s u p e r v i s o r ：b i n gh u 0 p t i o n si so n eo ft h ec o r et o o l so ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e s i tp l a y sa l l i m p o r t a n tr o l ei nt h ee f f e c t i v em a n a g e m e n to fr i s ka n ds p e c u l a t i o n r i s k m a n g e m e n to p p u p i e st h er i g h te v a l u a t i o no fo p t i o n s t h ec r i t i c a lt h i n gt h a t t h eo p t i o n ss e c u r i t i e se x i s tr e a s o n a b l ya n dd e v e l o pp r o p e r l yi sh o wt ov a l u e i t sf a i rp r i c e aw i d ev a r i e t yo f t h eo p t i o n st r a d e di ne x c h a n g e sa r ea m e r i c a n o p t i o n i ti st h u si m p o r t a n tt of r e da p p r o p r i a t ew a y st op r i c ea m e r i c a n o p t i o n s t h u s ，u n l i k ee u r o p e a no p t i o n s ，n oe x p l i c i tc l o s e d - f o r mf o r m u l a s h a v eb e e nf o u n df o ra m e r i c a no p t i o n s ，a p p r o x i m a t i o nm e t h o d sh a v et ob e u s e di np r a c t i c e a tp r e s e n t , t h em o s tc o m m o n l yu s e dm e t h o d si n c l u d e ： m o n t ec a r l om e t h o d s ，b i n o m i a lt r e e ，f i n i t ee l e m e n ta n df i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d s 。e t c w er e c a l lt h a tt h ec l a s s i cb l a c k s c h o l e sm o c l c lf o ra n a m e r i c a no p t i o nl e a d st oaf r e eb o u n d a r yp r o b l e mw i t ha d e g e n e r a t ep a r t i a l d i f f e r e n t i a lo p e r a t o l1 1 1t h i sw o r k , w eu s ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o r p r i c i n gt h ea m e r i c a np u ts t o c ko p t i o n s t h i sp a p e rp r e s e n t e dt w od i f f e r e n c e s c h e m e s 裔p m 、一。r i c a np u ts t o c ko p t i o n s ：o n ei si m p l i c i ts c h e m e ， t h eo t h e ri sm o d i f i e dc r a n k n i e o l s o ns c h e m e t h ea n a l y s i so fs t a b i l i t y , c o n v e r g e n c ea n de r r o re s t i m a t i o no fs o l u t i o n s i sp r e s e n t e db yu t i l i z i n g e n e r g ym e t h o d s u s i n gg a u s s - s e i d e li t e r a t i o nm e t h o dt os o l v ed i f f e r e n c e i n e q u a l i t ye q u a t i o n s i sa l s op r e s e n t e d n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h e c o n v e r g e n c ea n de f f i c i e n c yo f o u ra l g o r i t h m k e y w o r d s ：a m e r i c a n p u to p t i o n s ，i m p l i c i ts c h e m e ，m o d i f i e d c r a n k - n i e o l s o ns c h e m e ，s t a b l ea n dc o n v e r g e n c e 3 1 绪论 1 1 选题的背景和意义 现代金融衍生证券诞生于7 0 年代，随着余融衍生证券市场的蓬勃 发展，衍生证券给现代金融学提出了极其复杂的数学问题，包括会融变 量的数学描述、各种会融变量之间的关系分析、市场风险的计算与控制 问题等等。期权作为最重要的现代舍融衍生证券之一，最早是在上个世 纪7 0 年代中期起源于美国，它作为一种会融创新工具，在防范风险和 投机中起着非常重要的作用，并在近3 0 年得到了迅猛发展。股票期权 于1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易。现在，在世界各地的不 同交易所中部有大量的期权交易。 改革丌放十多年以来，中国同国际余融界的联系越来越密切，如何 防范和化解余融风险已引起有关方面的高度重视。自1 9 9 5 年始，中国 期权市场发展仅有十余年历史，但期权市场需求已相当成熟。如何对期 权风险进行有效的管理和控制，已关系到期权刀二发能否从研究阶段过度 到试运行阶段。然而，要对期权风险进行有效的管理和控制，首先就必 须对金融衍生证券特别是期权进行合理的定价。因此，对期权定价方法 的研究就显得尤为重要了。 在现实世界中，交易所中交易的大多数期权为美式期权。到目前为 止，我们还不能找到荚式期权定价模型解的显示表达公式。在这一点上， 美式期权定价问题完全不同于欧式期权定价问题。为了克服这一困难， 人们通常使用适当的近似方法来给荚式期权进行定价。因此，美式期权 的定价问题在理论和实践上都有重要的意义。 1 2 论文的研究框架 整篇论文分为六章，第一章是对整个论文体系的介绍，包括研究背 景和意义、论文的框架和主要创新点三部分；第二章系统介绍了期权定 价理论的起源、意义、发展及期权定价的基本数值方法；第三章介绍荚 式看跌期权价格所遵循的数学模型：第四章主要介绍四点隐格式为美式 看跌期权定价；第五章介绍修正的c n 格式求解荚式看跌期权定价问 题，证明了它的稳定性及收敛性，并给出了误差估计；第六章进行数值 实验。 1 3 论文的主要创新点 本学位论文通过对美式期权定价理沦的系统研究，试图得到对金融 实践具有指导意义并且易于操作的结论。在本文的研究过程中，作者用 两种差分格式为美式看跌期权定价：一是四点隐格式，在 4 的基础上， 提供种新的求解差分方程的方法；二是修正的c r a n k n i c o l s o n 格式， 为美式看跌期权的定价提供了新的数值处理途径。利用能量方法进行了 差分解的稳定性和收敛性分析，并给出误差估计：用g a u s s 消去法的思 想对差分不等方程进行跌代求解。通过数值实验，可以看到本文提供的 算法是高效的算法。 6 工具。最近几十年，舍融衍生市场已经成为影响全球经济的重要经济现 象。会融衍生市场是相对于基础市场而占的，衍生资产的价值取决于基 础商品或资产的价格及其变化。由于衍生证券具有与股票或其他投资工 具进行组合从而形成各种各样的投资策略的特点，使得几乎每一个投资 者都可以根据自己的风险偏好和市场预测束设计自己的组合投资策略， 同时使投资者的可能收益范围和收益幅度得到相对提高和相对保证，这 是单纯基础证券可望而不可及的。而会融衍生市场所具有的较低交易成 本、市场高流动性、交易灵和性和低限制等独特经营优势，也极大吸引 了投资者的兴趣，反过来又增加了会融市场的灵活性，扩大了市场规模。 金融衍生证券目前已经成为世界余融市场交易的主要工具之一。 在今天的国际会融市场上，会融衍生证券多种多样，并且新产品层 出不穷。最常见的有远期和约、期货、期权和互换等。期权的基本含义 是：买卖特定商品或有价证券的和约，并在和约到期时由和约买方决定 是否执行这一和约。从形式上看，期权是一种交易双方签订的、按约定 价格、约定时间、买卖约定数量的特定商品或有价证券的和约。简单来 说，期权是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖，期权的一 方在向对方支付一定数额的货币后，即拥有在一定时间内以一定的价格 向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不必负担 必须买进或卖出的义务。期权分为看涨期权和看跌期权，前者给予和约 持有者在未来某时以事先约定的价格购买标的资产的权利，后者则给予 以约定价格出售标的资产的权利。和约中的约定价格为敲定价格或执行 价格。按执行时间的不同，期权又分为美式期权和欧式期权，欧式期权 只能在到期同执行，而美式期权可以在和约到期开之前的任何一天执 行。我们把看涨期权和看跌期权称为大众型( p l a i nv a n i l l a ) 或标准 化( s t a n d a r d ) 衍生证券。最近几年，为了满足顾客和市场的需要，银 行和其他会融机构开创性地设计了许多非标准的衍生证券，称之为新型 期权( e x o t i co p t i o no re x o t i c s ) 。有些非标准衍生证券只是两个或 更多的普遍看涨期权和看跌期权的组合，有些则较复杂。常见的新型期 权有：打包期权、非标准荚式期权、远期丌始期权、复合期权、任选期 权、障碍期权、两值期权、回望期权、亚式期权、资产交换期权、多种 杯的资产的期权等。 期权的基本特征是它给予和约持有人一种权利而非义务，如果期权 的购买者认为现行的市场价格比和约中的执行价格对他有利，他就会放 弃对期权和约的执行，这使得期权有别于远期和约和期货和约，后者赋 予持有人到期履约的义务，期权的这一特性使期权持有人的交易风险被 限在某一水平之内，从而形成一种防范和规避风险的有效手段。由于期 权对持有人具有这一优势，使得期权和约不能像远期和约和期货和约那 样可以免费达成，期权持有人为了取得这一权利，必须支付一定数量的 保险金，这些保险会i f 是期权这一衍生产品的价格。期权的价格实际上 是一种风险价格，受到诸如杯的资产的当前价格、执行价格、期权的期 限、标的资产的价格波动率和无风险利率等因素的影响。期权价格包 含期权的内涵价值和时日j 价值。内涵价值是立即执行期权后可以获取的 利润总额。时间价值是人们在持有期权的时期，对期货价格向有利于自 己交易头寸方向变化预期的支付。期权价格的高低直接影响到买卖双方 的盈亏状况，是期权交易的核心问题。要对风险进行有效的管理，就必 须对期权进行正确的定价，而如何通过合理的数学模型来确定期权的价 格就成了投资者应用期权规避会融风险的关键性问题，所以在舍融领域 中，期权的定价问题成为理论和应用研究的一个重要领域，期权定价理 论也成为舍融学的重要组成部分。 2 2 期权的基本性质 定义2 1 假如在一个市场中，人们可以身无分文入市，通过资产的 买卖( 允许卖空和借贷) ，使得能够最终保证不欠债，且有正概率的机 会获得赢利，此时，我们称市场存在套利机会。假如市场中不存在套利 机会，则称市场无套利。 下面给出欧式看涨、看跌期权与荚式看涨、看跌期权价格之日j 的基 本关系，这也是期权的基本性质。 定理 2 1 设4 ( s ，t ，t ，k ) ， a 。( s ，t ，t ，k ) ，e 。( s ，t ，t ，k ) ， e 。( s ttk ) 分别代表荚式看涨看跌期权以及欧式看涨看跌期权在t 时 刻的价值，下面给出期权的基本性质： 性质le ( s ，l 的= m a x ( s 一世，o ) e 。( s ，t ，t ，k ) = m a x ( k s ，o ) 性质2a 。( s ，丁，k ) s k ，a 。( s ，t ，t ，k ) k s 性质3 对疋 互，有a 。( ，疋) a 。( ，五) 且a ，( ，t ) a ，( ，互) 性质4 在相同条件下有4 ( ) 疋( ) 且a ，( - ) e p ( ) 性质5 对k k 2 ，有 4 ( ，k 。) a 。( ，k 2 ) 且e 。( ，k 。) se c ( - ，k 2 ) a ，( ，k 1 ) a p ( ，k 2 ) 且e p ( ，k i ) se p ( ，足2 ) 性质1 充分说明了期权赋予持有者一种权利，期权价值任何时候 都非负，当内在价值为负值时，期权将不被执行；性质2 说明在无套利 条件下，美式期权的出售价格至少不低于其执行时的内在价值，否则可 以通过立即执行期权而获得一笔比出售期权更高的利润；性质3 说明对 美式期权来说，不论是看涨还是看跌，期权价值都是时日j 的j 下比函数： 性质4 说明在相同条件下，荚式期权的内在价值要大于欧式期权的内在 价值，因为美式期权有提i j 执行的灵活性，所以投资者要承担的风险比 欧式期权大；性质5 表明，不管是看涨还是看跌期权，都是执行价格的 非增函数。 2 3 期权定价理论的发展 2 3 1 早期的期权定价理论 期权的价格是一种风险价格，长期以来，人们一直在探索着利用各 种因素正确评估资产风险的有效方法。 9 1 9 0 0 年，法国数学家l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的博士论文“投 机理论”，提出了最早的期权定价模型，该模型假设股票价格是绝对的 b r o w n 运动，单位时i 日j 方差为盯2 ，且没有漂移，则买方期权的价值为： 矿删筹嗍等加疡( 等)o q io lo l 其中s 是股票价格，k 是执行价格，r 是距到期同时间，矿( ) ，) 和妒( j ，) 分 别是标准正态分白函数和杯准正态密度函数： 一，y 2 舢) 2 去驴d x 叫加去e l o u i sb a c h e l i e r 的期权定价理论宣告了舍融数学的诞生，但在其 后的5 0 多年垦没有引起重视。并且其模型中假设股票价格是绝对的 b r o w m 运动，这就允许股票价格为负，与有限债务假设向悖，它还忽略 了资会的时间价值为正，期权与股票间的不同风险特征，以及投资者的 风险厌恶，所以在应用上受到限制。 1 9 6 1 年，c m s p r e n k l e 在“认股权价格是预期和偏好的指示器” 一文中，假设股票价格过程是对数分白，有固定的均值和方差，提出了 一个买方期权的定价公式： l n ( s k ) + ( 口+ 去) rl n ( s k ) + ( 口一 盯2 ) r 肚却( 而_ l 一( 1 - z 删( 刁产 1 9 6 4 年，b o n e s s 在“股票期权价值理论的要素”一文中，也假定 股票收益成固定对数分布，且考虑了风险保险的重要性，给出了下面期 权定价公式： i n ( s k ) + ( a + 盯2 ) 丁l n ( s k ) + ( 口一1 o - 2 ) r 肚剐i 产卜8 “酬i 产 其中口是股票的预期收益率。 1 9 6 5 年，p a s a m n e l s o n 在“认股定价的合理理论”一文中提出了 一个欧式买方期权的定价模型，考虑了期权和股票的预期收益率因风险 1 0 特性的差异而不一致，认为期权有一个更高的预期收益率，该模型的 定价公式是： ，l n ( s k ) + + 昙a 2 ) t p = p 4 4 矿s ( 1 ：j l c , 4 r 。l n ( s k ) + ( 口一吾盯2 ) 丁 叫讲酬而一 比较上两式，可以看到，当口= 口时，s a m n e l s o n 模型与b o n e s s 模 型相同，所以b o n e s s 模型是s a m n e l s o n 模型的特例。 上面这些期权定价模型的提出，推动了期权定价理论的发展，为后 来的b l a c k s c h o l e s 模型奠定了基础。 2 3 2b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型 布莱克( f b l a c k ) 和修斯( m s c h o l e s ) 于1 9 7 3 年5 月在“j o u r n a l o fp o l i t i c a le c o n o m y ”上发表了“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n d c o r p o r a t e1 i a b i l i t i e s ”一文，提出了著名的b l a c k - s c h o l e s 期权定 价模型。在这篇论文中，他们对期权定价取得了重大突破，推导出了基 于无红利支付股票的任何衍生证券所必须满足的微分方程，并且成功地 给出了股票欧氏看涨期权和看跌期权价值的解析表达式。 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型有如下七个假设条件： ( 1 ) 期权的标的资产为有风险资产，其现行价格为s 。这种资产可被 自由买进或卖出。 ( 2 ) 期权是欧式，其协议价格为x ，权利期为t ( 以年表示) 。 ( 3 ) 在期权到期日前，标的资产无任何收益( 如股息、利息) 的支付。 于是，标的资产价格的变动是连续的，且是均匀的，既无跳空上 涨，又无跳空下跌。 ( 4 ) 存在一个固定的、无风险的利率，投资者可以此利率无限制地借 入或贷出。 ( 5 ) 不存在影响收益的任何外部因素，如税负、交易成本及保证金等。 于是，标的物持有者的收益仅来源于价格的变动。 ( 6 ) 标的物价格的波动性为一已知常数。 ( 7 ) 标的物价格的变动符合几何饰朗运动。 在股票价格服从对数正态分白的假设下，运用无套利原则推导出标 的资产为不付红利股票的欧式期权定价公式： v = s 妒( 吐) 一 白”7 d ( d 2 ) 其中， 咖竺竺：筝i 竺：4 一盯打 d ：2 ：= 蕴- 2 4 一盯丁 b l a c k s c h o l e s 公式给出的价格与股票的期望收益率无关，即期权 的合理价格与人们对风险的不同态度无关，它只依赖于一些可以观测到 的变量：股票的现价s 、执行价格x 、到期期限丁、无风险利率r 和股 票的价格波动率仃( 波动率根据历史数据可以近似估计) ，这使得b l a c k s c h o l e s 公式用起来很方便。b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式足现代金融 学的最杰出成就之一，是经济学中唯一一个先于实践的理论，它在理论 和实践中几乎立即得到了广泛的接受。正是这一力作使得修斯荣获1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖。这一期权定价理论是7 0 年代以来会融理论发展最 重要的基石，在金融衍生产品发展这一全球会融创新中起着举足轻重的 作用。在八十年代后期和近年人们己在这一期权定价理论的基础上，发 展形成了- f l 具有很强实用性的学科“会融工程”。但它的推导和应用 也受到了各种假设条件的约束，这就削弱了公式在现实中的适用性，使 其在理论和应用上存在缺陷。具体表现在以下几个方面： 首先，对股价分白的假设。b l a c k - s c h o l e s 模型的一个核心假设就 是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分白是对数正态分角， 这意味着股价是连续的。麦顿( m e r t o n ) 、考克斯( c o x ) 、罗宾斯坦( r o b i n s t e i n ) 以及罗斯( r o s s ) 等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布 1 2 坐 等 的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情况，忽略后一种情况是不 全面的。 其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整 期权与股票问的头寸状况，得到一个无风险的投资组合。但实践中这种 调整必然受到多方面因素的制约：1 投资者往往难以按同一的无风险利 率借入或贷出资金；2 股票的可分性受具体情况制约；3 频繁的调整必 然会增加交易成本。因此，现实中常出现 e 连续交易的情况，此时，投 资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而b l a c k s c h o l e s 模型并未考 虑到这一点。 再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。b l a c k 本人 后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，并非独立 于股价水平。有的学者( 包括b l a c k 本人) 曾想扩展b l a c k s c h o l e s 模 型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。 此外，不考虑交易成本及保证会等的存在，也与现实不符。而假设 期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为， 股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以 考察。有学者对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体说来， 如果是欧式期权，调整的方法是将股票价格减去股息的现值替代原先的 股价，而其他变量不变，代入b l a c k s c h o l e s 模型即可。若是荚式期权， 情况稍微复杂。 针对这些b 1 a c k s c h o l e s 模型的不足之处，人们已提出了很多新的 改进模型： m e r t o n 随机利率模型( m e r t o n 考虑了利率是随机变量时的期权定 价模型) 。随机波动率模型( h u l l 和w h i t e 考虑了允许股票价格波动率 为随机数的模型) 。波动率的弹性为常数模型( c o x 与r o s s 考虑了波动 率的弹性为常数的模型) 。纯粹跳跃模型( c o x 与r o s s 考虑了股票价格 遵循跳跃过程的模型) 。跳跃扩散模型( m e r t o n 提出了在股票价格几何 布朗运动之上加了各种跳跃的模型) 。 最近，郑小迎等 1 0 研究了有交易成本的期权定价问题，关莉等 1 1 在波动率、红利率和无风险利率是时问的已知函数的条件下，修正了欧 式期权的b l a c k s c h o l e s 定价方程，得到了b l a c k s c h o l e s 期权定价方 程的解和看涨、看跌期权的定价公式。王杨等 1 2 既考虑了波动率、红 利率和无风险利率均为时丑j 的函数，又考虑了带交易成本的情况，推出 了在此条件下欧式期权的b l a c k - s c h o l e s 定价方程，得出欧式看涨期权 和看跌期权的定价公式，并得到它们的平价公式。陈琪琼等 1 3 考虑了 无风险资产有依赖时刚参数的利率，两种风险资产连续支付红利，并且 分别有依赖时i 日j 参数的期望收益率、波动率、红利率以及两风险资产瞬 时报酬率的相关系数。在此基础上，构造了一类较为复杂的双标的型欧 式买权，得到买权的定价公式。 2 4 期权定价的基本数值方法 2 4 1 格点分析法 格点分析法的基本思想是将期权的标的资产价格在风险中性条件 下的随机过程离散化，再利用动态规划方法求解该期权的价格。主要包 括二叉树法、三叉树法以及多分技树法等。本文在 4 4 的基础上，以二 叉树法为例简单介绍格点分析法。 二叉树法是一种数值计算方法，它由考克斯( c o x ) 、罗宾斯坦( r o b i n s t e i n ) 以及罗斯( r o s s ) 等人提出，最初只是以该方法为基础，为推导 b l a c k - s c h o l e s 模型提供一种比较简单和直观的方法，但随着研究的深 入，二叉树法已成为建立复杂期权( 如美式期权和非标准的变异期权) 定价模型的基本手段。下面简单介绍二叉树期权定价公式。 一、单期看涨期权的二叉树期权定价公式 通过对较简单的单期看涨期权的分析，可以了解期权定价问题的关 键所在，并把握b l a c k s c h o l e s 期权定价公式的本质特征。 假定证券市场只有一个投资周期，股票在期初时刻的价格记为s ， 在期未时刻的价格记为s 。则相对于s 而占，股票价格s 只有两种可能 取值，或者是以概率p 从s 增加到瓯，或者以概率l p 减少到咒。 我们记期初时刻的期权价值为c ，期术时刻对应于股票价格上升或下降 1 4 的期权价值分别为c 。和一，这罩c 。= m a x ( o ，最一x ) ， 一= m a x ( o ，s d x ) ，x 为期权的执行价格。现在构造一无风险套期保 值投资组合，它由卖出一份看涨期权同时买入坍股股票构成，则它在0 时刻和l 时刻的资金流如下： 期初时刻期末时刻资金流入 投资组合资金流入 当s = s u 时当s = s d 时 卖出一份看涨期权 c c 。一c d 同时买入聊股股票 m s舰m s d 合计 c m s触一矿 m s d c o 由于该投资组合是套期保值资产组合，因此，对s 的任何可能状态 下的取值，资产组合的收益相同，即成立关系式 裕，一c 。= m s d c 4 使得上式成立的小值( 此时朋称为保值率) 为 ，一c 4 r ”一d ) s 在市场无套利的假设下，根据无套利原则应该有 d m ) e ”= m s = 一c 。 其中，是无风险利率，r 是期初到期末的时日j 长度( 以年为单位) 。 将肼代入上式得 ( c - 尝矿r ：等。：c u d - - c 广d u 甜一口“一口“一口 解出c 得 c ：。一一( _ e 7 - d 矿+ ! 笔c a ) i a d“一d 这就是单期看涨期权的二叉树期权定价公式。 而由于在期未时刻股票的期望值为& ”，于是有： s e ”= p s 。+ ( 1 - p ) s d 即 p ”= p u + ( 1 一p ) d 可得p ：粤 1 1 一口 则单期看涨期权的二叉树期权定价公式又可写为： c = e - r r p c 。+ ( 1 一p ) c 4 】 二 甩期看涨期权的二叉树期权定价公式 以单期看涨期权的二叉树期权定价公式为基础，可以得到两期看涨 期权的二叉树期权定价公式。然后推广到n 期看涨期权二叉树期权定价 公式。 考虑购买两期到期的看涨期权。股票在期初时刻的价格记为s ，则 第一期末股票的价格为墨，第二期木股票的价格为s ：。假设每个周期 内股票上升或下降的概率p 、l p 以及“，d 的值都相同，则每期股票 的价格有两种可能： 第一期未：s i = s u 或s i = s d 第二期末：最= s u2 或岛= s u d = s ， 或者s 2 = s d u = s 或是= s d 2 ( 用到条件“= ) “ 在第一期未，对应于不同的& ，股票看涨期权价值分别为c ”， 在第二期末，对应于不同的舅，股票看涨期权价值分别为c ”， c “， c “，c “，这里，c “= m a x ( o ，s u 2 一x ) ， c “= c 4 = m a x ( o ，s u d 一r ) ， c “= m a x ( o ，s d 2 一z ) 。 直接利用单期看涨期权的二叉树期权定价公式，可得 c 。= e - “【p c “+ ( 1 一p ) c “】 c 。= p 一“ p c “+ ( 1 一p ) c “】 其中，f 是每一期的时间长度( 以年为单位) 。 再对c ”，c 4 运用单期看涨期权的二叉树期权定价公式，可得 c = e - 2 “【p 2 c ”+ 2 p ( 1 一p ) c “+ ( 1 一p ) 2 c “】 1 6 这就是两期看涨期权的二叉树期权定价公式。 按照推导两期看涨期权的二叉树期权定价公式的思路，从第 以期开始向前递推，可以得到疗期看涨期权的二又树期权定价公式： c = e 一“萎面j 矿1 1 - 力”m a x ( 鼠公”l 托0 ) 1 二叉树期权定价方法的关键是“和d 的确定，在实际应用中，如果 当前时刻为r ，期权到期r 为r ，则可将期权的有效期7 一f 分为厅个 时问周期，每一期的长度为f ( 以年为单位) ，无风险利率为，股票 价格波动率为盯，则可令 “：p 4 压，d ：p 一口厢 由于二叉树期权定价方法是采用离散化的方式来处理价格，所以在 期权地和约期内，此方法可以考虑股票红利发放的情况。而且，在树状 结构完成以后，知道期权到期的可能价值，很容易推算先前结点的价位， 并计算价格树上任何结点的理论价值。不仅可以取得每一点的合理价 格，而且可以知道最理想的期权执行时间。所以二叉树期权定价方法也 可以用于美式期权的计算。 为了使二叉树期权定价方法计算的数据比较精确，将不得不使疗取 比较大的数值。然而当疗增加时，所需要计算的步骤将呈几何级数增加。 聆越来越大最后趋于无穷大时，二叉树期权定价公式就b 1 a c k s c h o l e s 期权定价公式完全一致。在b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式受到限制或者 与实际情况有较大误差时用二叉树期权定价公式效果更好。 2 4 2m o n t e c a r1 0 模拟方法 m o n t e c a r l o 模拟方法也是一种数值计算方法，可对欧式衍生证券 进行估值。这种方法能处理教复杂的情况且计算的相对效率较高，它是 由初始时刻的期权值推导未来时刻的期权值，只用于欧式期权的计算。 m o n t e c a r l o 模拟方法的基本思想是：假设已知杯的资产价格的分 白函数，然后把期权的有效期限分为若干个很小的时日j 间隔，借助计算 机的帮助，可以从分白的样本中随机抽样来模拟每个时日j 问隔股票价格 的变动和股票价格一个可能的运行路径，这样就可以计算出期权的最终 1 7 i 价值。这一结果可以被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本，用 这个变量的另一条路径可以获得另一个随机样本。利用更多的样本路径 可以得出更多的随机样本。如此重复几千次，得到丁时刻期权价格的集 合，对几千个随机样本进行简单的算术平均，就可求出r 时刻期权的预 期收益。根据无套利定价原则，把未来r 时刻期权的预期收益x ，用无 风险利率折现就可以得到当静时刻期权的价格：p = e 7 e ( x ，) ，其中， p 表示期权的价格，表示无风险利率，当前时刻为0 时刻，e ( x ，) 为 r 时刻期权的预期收益。 m o n t e c a r l o 模拟方法一般用于对标的股票的标准差为随机变量的 期权进行分析，股票的价格和标准差的路径同时本模拟。任意时刻的标 准差的值，决定了被抽样的股票价格的概率分粕。 m o n t e c a r l o 模拟方法的优点在于它能够用于标的资产的预期收益 率和波动率的函数形式比较复杂的情况，而且模拟运算的时间随变量个 数的增加呈线性增长，其运算是比较有效率的。但是，该方法的局限性 在于只能用于欧式期权的估价，而不能用于对可以提i i i 执行和约的美式 期权。并且m o n t e c a r l o 模拟方法结果的精度依赖于模拟运算的次数。 m o n t e c a r l o 模拟方法可以和二叉树方法结合起来为期权定价。当 树图构造起来以后，我们可以从树图中随机抽取路径样本。不同的是我 们这次不是从后往前倒推，而是顺着树图往后推。基本方法如下： 在第一个结点我们取0 到1 之日j 的一个随机数，如果这个随机树小 于p ，我们就选择上升分支，反之则选取下降分支。到达下一个结点 后，我们重复上述过程，直到到达树图未端，然后我们可以计算那条选 定路径的期权盈亏值，这样就完成了第一次模拟。重复上述整个步骤， 进行多次模拟。我们将所有这些盈亏值分别按无风险利率进行贴现后取 平均值即为期权价格的计算。 1 8 3 美式看跌期权定价问题所遵循的微分方程 期权作为一种会融衍生产品，它的定价模型取决于标的资产价格的 演化模型。在连续时间情形，杯的资产价格演化可以通过一个随机微分 方程来描述，从而在此基础上，作为它的衍生物期权的价格适合的 是一个偏微分方程的定解问题。因此，把偏微分方程作为工具，利用偏 微分方程的理论和方法，可建立各种期权定价的数学模型，导出期权的 定价公式，对期权的价格结构作深入的定性分析，利用偏微分方程数值 分析方法给出求期权价格的数值算法。 在现实世界中，交易所中交易的大多数期权为荚式期权。因此，美 式期权的定价问题在理论和实践上都有重要的意义。b l a c k 与 s c h o l e 1 ，m c k e a n 1 4 及m e r t o n 1 5 已经证明，美式看涨或看跌期 权的定价模型可以作为退化的抛物型自由边值问题进行求解。模型方程 中的未知函数对应于期权定价函数，丽自由边界表示的是临界股票价格 的时日j 路径，在此之外期权的早期执行可得到保证。在荚式期权的定价 问题中，此自由边界也被称为最佳执行边界。本文主要讨论荚式霍跌期 权定价问题，假定期权的标的资产为股票，用s 表示股票价格，k 为期 权的执行价格，p 为期权价格，t 为期权执行同期，仃为股票价格的波 动率，r 为无风险利率( 假定为常数) 。进一步假设世界是风险中性的， 在期权有效期内股票无红利支付。它存在两个区域：一是继续持有区域 = ( s ，f ) p ( f ) s m a x ( k s ，o ) 另一个是终止持有区域，= ( o s s ( f ) ，0 r 墨t ) ，在这个区域内， 有 p ( s ，f ) = m a x ( k s ，0 ) 在这两个区域中间有一条最佳执行边界f ：s = s ( t ) 其对应的数学模型为 9 ： 1 9 翌o t 山22 s 2 豢+ 心詈一护一。菸2a s 户( s ( ) ，f ) = k s ( r ) 嚣( 蹴f ) _ 一1 ，寸o e ( s ，7 ) = m a x ( k s ，o ) 奠等价的变分不等式模犁是： ( ) ( f ) ( f ) ( s ) t = t 求p ( s ，f ) c ，= 。u ：u r ，使得 m i n 一上p ，尸一m a x ( k s ，o ) ) = 0( ：) e ( s ，7 ) = m a x ( k s ，0 ) ( 0 s 0 ) p 一0 ( s - - ) o o ) 在美式期权定价问题中，最优执行曲线必须作为定价模型解的一部 分而求解，这使得美式期权定价问题在理论和应用上都是困难的。因此， 到且前为止，我们还不能找到美式期权定价模型解的显示表达公式。在 这一点上，美式期权定价问题完全不同于欧式期权定价问题。为了克服 这一困难，人们通常使用适当的近似方法来给荚式期权进行定价。 在过去的二十多年罩，这个问题的研究分为两类，即解析近似方法 和数值近似方法。而且关于这两种方法现在已有大量的文献，对于解析 近似方法而占，典型的方法有插值方法，复合期权近似方法，二次近似 方法等( 例如，见 1 6 ， 1 7 ， 1 8 ， 1 9 及那罩的参考文献) 。对于 数值近似方法而占，常用的方法有二叉树方法，m o n t ec a r l o 方法，有 限差分方法，有限元方法，遗传算法、区域分解算法、积分方程数值解 法等( 例如，见 1 4 ， 2 0 ， 2 1 ， 2 2 3 ， 2 3 ， 2 4 ， 2 5 ， 9 - 6 ， 2 7 ， 2 8 。 2 9 ， 3 0 ， 3 1 ，【3 2 ， 3 3 ， 3 4 及那罩的参考文献) 。本文 主要研究美式看跌期权定价问题的有限差分法求解，美式股票看跌期权 的价格p = p ( t ，s ) 将满足如下线性互补偏微分方程 2 ： ( 翌+ ! 盯2 s 2 窭+ 心堡一r p ) 。( 尸一6 ( s ) ) ：o ( 3 1 ) 、a t 2a 2 s o s 鲨+ 三仃：s ：窑+ 心等一，尸 o ，p g ( s ) ( 3 2 ) 0 t2 a 2 s a s 、7 p ( t ，s ) = g ( s ) ，p ( t ，0 ) = g ( o ) p ( t ，s ) = 0 ，s 寸0 0 ( 3 3 ) g ( s ) = m a x ( k s ，o ) 0 s s o o ，0 t 0 ，使当0 s s + 时，p ( t ， s ) = g ( s ) ( 参见 2 】，第6 章，自由边界s 为期权最佳执行边界) ，则由 变换关系式可令“( _ f ，- d ) = g ( 一d ) ，这样，问题( 3 4 ) 一( 3 5 ) 的初边值条 件可确定为： u ( o , x ) = g ( x ) ，u ( r ，一d ) = g ( 一d ) ，u ( r ，d ) = 0 ， ( 3 6 ) 2 1 4 美式看跌期权定价问题的四点隐格式求解 4 1 差分格式的建立 现在建立问题( 3 4 ) 一( 3 6 ) 的有限差分近似，剖分空日j 区域 - d ， d ：- d = x o 而 h = d ，空日j 剖分步长缸= t 一一l = 2 d n ， 再剖分时间区b j 【0 ，五】：0 = t 0 f l l 。 证明 记e ”= ”一u ”，则有( e “，e ”) + a r ( a e ”，e ”) = ( ”，甜”一u “) 一( u ”，“- u ”) + f i r ( a u ”，“”一u ”) 一a r ( a u ”，材”一u ”) ( 4 1 3 ) 由( 4 1 2 ) 得 ( “”，甜4 一v ) + a r ( a u ”, u ”一v ) ( “”一一a 霸8 n , u ”一v ) ，v v q ： 取v = u ”得 ( “”，”一u ”) + 7 ( 4 “4 ，“”一u 4 ) ( 4 1 4 ) ( “”。一f i r e “，“”一u “) 由( 4 1 1 ) 得 ( u ”，