（基础数学专业论文）l2（z）中的一类双正交小波.pdf

摘要 摘要 b u t t e r w o r t h 小波对应于b u t t e r w o r t h 滤波列，它们具有良好的性质( 对 称性、插值性和消失矩) 本文引入2 ( z ) 中双正交小波的一般概念，并给出一个 适用的充分条件( b u t t e r w o r t h 小波可由这一条件导出) ；根据这一条件，构造出 一类双正交小波，它们不仅具有b u t t e r w o r t h 小波的所有性质，而且还具有有限 支集 本文是按如下方式组织的第一章是概念、研究背景和主要结论；第二章 引入驴( z ) 中双正交小波的一般概念，并给出了一个易于验证的充分条件；第三 章构造出具有低阶消失矩的紧支、对称和插值双正交小波；第四章构造了一类消 失矩为2 r 的紧支、对称和插值双正交小波在本文的最后提出尚待研究的问题 矩 关键词：b u t t e r w o r t h 小波；离散f o u r i e r 变换；对称性；插值性；消失 a b s t r a c t a b s t r a c t b u t t e r w o r t hf i l t e r sa r er e l a t e dt os o n eb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ，c m l e db u t t e r w o r t hw a v e l e t s t h o s ew a v e l e t sh a v en i c ep r o p e r t i e sw h i c hi n c l u d es y m m e t r y t h ei n t e r p o l a t i o na n dv a n i s h i n gm o m e n t s i nt h i sp a p e r ，ag e n e r a lc o n c e p tf o r b i o r t h o g o n a lw a v e l e tb a s e si n 2 ( z ) i si n t r o d u c e da n da ne a s i l yc h e c k e ds u f f i c i e n t c o n d i t i o ni sg i v e n ，b yw h i c ht h eb u t t e r w o r t hw a v e l e t sa r ed e r i v e d ；t h e naf a m i l y o fb i o r t h o g o n a lw a v e l e t sa r ec o n s t r u c t e d ，w h i c hh a v ea l lp r o p e r t i e so ft h eb u t t e r w o r t hw a v e l e t s ；m o r e o v e r ，o u rw a v e l e t sh a v et h es h o r t e s tp o s s i b l es u p p o r t s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，s o m en e c e s s a r yn o t a - t i o n s ，t h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r eg i v e n ；i nt h es e c o n d p a r t ，ag e n e r a lc o n c e p tf o rb i o r t h o g o n a lw a v e l e tb a s e si n 2 ( z ) i si n t r o d u c e da n d a ne a s i l yc h e c k e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni ss h o w n ，b yw h i c ht h eb u t t e r w o r t hw a v e l e t s a r ed e r i v e d ；i nt h et h i r dp a r t ，ac l a s so fb i o r t h o g o n a lw a v e l e t sa r ec o n s t r u c t e d w h i c hh a v es y m m e t r gi n t e r p o l a t i o np r o p e r t ya n dv a n i s h i n gm o m e n t so fl o w e ro r d e r ；i nc h a p t e r4 ，w ee x t e n dt h er e s u l t so fl a s tc h a p t e rt ot h eg e n e r a lc a s ew i t h v a n i s h i n gm o m e n t so fo r d e r2 r ；m o r e o v e r ，o u rw a v e l e t sh a v et h es h o r t e s tp o s s i b l e s u p p o r t s k e y w o r d s ： b u t t e r w o r t hw a v e l e t s ；d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ；s y m m e t r y ；i n - t e r p o l a t i o n ；v a n i s h i n gm o m e n t s i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名 童8 瓠日期：里i ：翌 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：型j 捧导师签名： 日期：! 兰：! ：夕 第1 章绪论 1 1 概念与记号 第l 章绪论 在本文中，我们的概念和符号尽量和文献【1 】一致其中，表示正整数全 体；z 表示整数全体；r 表示实数全体；c 表示复数全体2 ( z ) 为z 上平 方可求和序列构成的h i l b e r t 空间；而1 ( z ) 为z 上可求和序列构成的b a n a c h 空间显然，1 ( z ) 是2 ( z ) 的子空间类似地，l 2 - t r ，丌】表示【一”，仃 上平方 可积函数全体构成的h i l b e r t 空间 设z 2 ( z ) ，定义z 的f o u r i e r 变换 ( o ) = ：z ( n ) e 一”而( p ) n e z 驴 一”，州，且i | ei i = l lz 其中| 】1 1 2 ：磊1 巴i2 ( 日) 1 2d o 众所周知，f o u r i e r 变换是从2 ( z ) 到l 2 【一7 r ，7 r 】上的一个酉变换，且s ( 0 ) l 2 【一”，7 r 的逆f o u r i e r 变换为，( 礼) = ： = 去仁s ( 0 ) e - m s d 0 序列 z 。) 称为h i l b e r t 空间h 的一个r i e s z 基，如果s p a n z 。) = h 且 存在0 m m + o 。，使得对于任意的 c ，1 ) 2 2 ( z ) ，均有 m 。i c n l 2 曼i l 。c n x 。1 1 2 m 。i c n l 2 ( t ) 显然，标准正交基一定是r i e s z 基，此时m = m = 1 上述( t ) 式也称为稳定性 条件而稳定性条件本身就蕴含着 z 。) 的2 线性无关性 称乱有插值性，如果u ( 2 k ) = 6 ( ) ( k z ) 称 岛k u ) k z 与 r 2 k 豆 k z 是双正交的，如果 = 以，0 ( k z ) 对任意。，叫z 2 ( z ) ，定义卷积z + u ( m ) = ：4 m 一佗) u ( n ) 容易验证下述 n z 结论成立【1 = ( 1 ) 若z 1 ( z ) ，w 2 ( 。) ，贝0z 十u 2 ( z ) 给定k z ，平移算子( 风z ) ( ) = ：z ( 一k ) ，易见( r k z ) “( 口) = e - 6 k o 二( 目) ( d z ) “( 日) = ；【( ；) + ( ! + 7 r ) 】 对z 俨c 刁，定义上采样算子c ，c z ，c n ，= i j 2 ) ：三：i ，； c * z ，则 和文献【1 稍有不同，对。2 ( z ) ，我们用表示z 的共轭反射，即扩( n ) = ： z ( 一礼) ，贝0 一) = 童( 日) ； = z 半w o ) ( 七) ， = d ( z 木锄o ) ( 七) 记 矿( n ) = ：( 一1 ) “z ( 礼) ，则争( 目) = j p + 7 r ) 这些结论均取自文献【1 】 小波分析产生于八十年代中期最初，m e y e r 在 2 中构造了一个具有 分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函数此后，s m a l l a t 提出了多尺度 分析的概念，从而成功地统一了y m e y e r ，d l e m a r i c 和g b a t t l e 等人的小波构 造方法阳】从九十年代开始，人们基于样条函数构造出正交小波函数进而讨论 了具有较好局部化性质的小波函数隗2 引自此，小波分析迅猛发展，研究的领域 第1 章绪论 涉及l 2 ( ) 中的小波 1 1 ”1 s ，向量小波【”“，一维多进制小波 2 4 “3 0 】等迄今为 止，函数空间上的小波分析已取得丰硕成果【3 “3 5 】、 与函数空间上的小波分析相比，离散空间上的小波分析出现较晚，理论尚不 完善然而，它的意义却是非常明显的，因为工程领域中的许多信号都是离散的 因此，近年来，离散空间中的小波分析受到了极大关注，成为人们广泛研究的课 题 4 0 ”4 5 , 4 6 舯】离散空间上的小波分析始于1 9 9 3 年 3 7 稍后，a l d r o u b i 等人将 连续空间中多尺度分析的概念推广到离散空间2 ( z ) 中【5 i 而对周期性离散空间 的研究可参见文献f 4 2 4 5 ，近年来，p e v n y i 和z h e l u d e v 研究了幂次增长的 离散信号空间【4 6 ，并取得了许多新的成果 小波分析的一个重要课题就是构造小波基为满足实际问题的需要，人们往 往要求小波具有正交性、对称性，紧支性和插值性但遗憾的是，在正交的条件 下，不仅紧支性与对称性不能同时具备，而且紧支性与插值性也不能得到很好的 兼容( 除h a a r 外) 即正交小波无法同时具备某些重要的性质这时，双正交小 波便随之出现1 6 , 8 , 2 6 1 2 0 0 1 年，a l e x a n d e rb p e v n y i 和v a l e r ya z h e l u d e v 等人 基于离散的插值样条，利用提升方案构造出一类性质充分好的双正交小波，称为 b u t t e r w o r t h 小波【6 】b u t t e r w o r t h 小波具有下述良好的性质： ( i ) 牡，和西关于原点是对称的，即u ，( ( i i ) 珥满足插值性，即u r ( 2 七) = 靠，o ，其 一k ) = u r ( ) ， f ， 中氟，o = 【o 豇，( 一k ) = 面，( 七) k = 0 七o ； ( 捌) 对每一个r 1 ，珥和西有2 r 阶消失矩，即k 5 坼( ) = 女5 诉( ) = 0 ( s = 0 ，1 ，t 2 r 一1 ) b u t t e r w o r t h 滤波器是处理离散时间信号的一个重要工具m 】由于b u t t e r w o r t h 一3 小波对应于b u t t e r w o r t h 滤波序列，不难想象它的重要性但稍微有点遗憾的是t 当r 2 时，b u t t e r w o r t h 小波没有紧支集基于此，本文的主要目的就是在离 散空间2 ( z ) 中构造一类双正交小波，使得它不仅具有b u t t e r w o r t h 小波的所有 性质，而且还具有紧支集；进一步地，在消失矩一定的条件下，寻找支集最短的 对称小波为此，我们首先引入2 ( z ) 中双正交小波的一般概念( 它是正交小波 基概念【1 】的自然推广) ；其次，给出构造双正交小波的一个充分条件；最后，根 据这个条件给出理想的双正交小波我们取得的主要结果包括： 定理2 1 若u ，口，缸，o f 1 ( z ) 且对每个z 1 2 ( z ) ，= = k r 2 k u + r 2 女 1 1 则 岛，r 2 k v ，k z ) 和 r 2 k 矗，r 2 t o ，k z 是一对 对偶的小波基 利用上述定理，我们给出构造双正交小波的一个充分条件 一个充分条件若u ，豇1 1 ( z ) 且也( p ) 矗( 口) + 矗( p + 7 r ) 矗p + 7 r ) = 2 令 v ( k ) = ( - 1 ) k - 1 豇( 1 一k ) ，i ( ) = ( - 1 ) 2 1 ( 1 一) ，则 r 2 k u ，r 2 k v ，k z 和 r 2 t = o t ，r 2 k o ，z ) 是1 2 ( z ) 的一对对偶小波基 根据这一条件，我们构造出了具有低阶消失矩的对偶小波( 例2 1 一例2 4 ) 一般地，我们有 定理4 1 令p ( 可) = ：2 ；三壤一l ( 1 一g ) h “y ，矗( 口) = ：c o s 2 ! p ( s i n 2 ：) ， 则下述结论成立：1 ，札其有有限支集；2 u 具有插值性，即u ( 2 k ) = 以，o ；3 ， “( ) = u ( 一七) ；4 相应的i ( ) = ( 一1 ) 卜1 u ( 1 一) 有2 r 阶消失矩 定理4 3 对于定理4 1 中的u ，存在着紧支、对称( 关于原点) 的乱，使 得( u ，矗) 是小波生成元，且相应的v ( k ) = ( 一1 ) 卜1 f i ( 1 一k ) 具有2 r 阶消失矩 4 第1 章绪论 1 3 本文结构 本文的主要目的就是在2 ( z ) 中构造一类双正交小波，它们不仅具有b u t t e r w o r t h 小波的所有性质，而且还具有紧支性第一章引入必要的概念，并给出所 考虑问题的背景在简单介绍了这一方向的近期成果后，我们列出了本文的主要 成果第二章给出了在2 ( z ) 中构造双正交小波的一个充分条件第三章给出了 具有低阶消失矩的双正交小波的例子第四章构造了一类消失矩为2 r 的双正交 小波在本文的最后我们提出一个尚待解决的问题 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章一个充分条件 在本章，我们引入t 2 ( z ) 中双正交小波的定义；然后给出构造双正交小波的 一个充分条件( b u t t e r w o r t h 小波可由这一条件导出) 2 1 一个充分条件 类似于函数空间中的双正交小波，我们先引入2 ( z ) 中双正交小波基的一般 概念 定义2 1 如果u ， ，豇，i 1 1 ( z ) ，( r ：k u ，r 2 k u ，k z ) 和 r 2 k i t ，r 2 k 9 ，k z ) 都是1 2 ( z ) 的r i e s z 基，且对每个。1 2 ( z ) ， z = 【 兄2 t 钍+ r 2 k v 】- = r 2 k f t + r 2 七叫， ( 2 1 ) k 则称 r 2 k u ，r 2 k v ，自z ) 和 r 2 k a ，r 2 k v ，k z ) 是2 ( z ) 中的一对双正交( 对 偶) 小波基 显然，标准正交基 r 2 k u ，r 2 k v ，k z ) 和它本身构成了一对对偶小波基 此时，豇= u ，o = u 由定义2 1 可知，双正交小波基 r 2 k u ，兄2 k ，k 刁和 r 2 k 矗，r 2 k o ，k z ) 不仅要满足稳定性条件，还要满足( 2 1 ) 式事实上，只要 ( 2 1 ) 式成立，则稳定性条件将自动成立为此，我们先引入下面的引理 引理2 1 如果u ， ，面，i f 1 ( z ) ，且对每个z 2 ( 。) ，z = 【 r 2 k u + r 2 k 】，则 r ：k u ，r 2 k v ，k z ) 是2 ( z ) 的一个r i e s z 基 证明：由r i e s z 基的定义，我们只需证明存在0 m m + 。o ，使得对于 每一个z f 2 ( z ) ，都有 第2 章一个充分条件 m l l z l l 2 ki 1 2 + 七i 1 2 m i n l 2 一方面，若乱1 1 ( z ) ，则对每个z 1 2 ( z ) ，都有 kf 1 2 c 1 2 ： 事实上，注意到 = = = 由让f 1 ( z ) 知，也( 是有界的那么，e 女i f 2 = e ti 1 2 = 1 2 ( 口) 石两。( 2 k ) 1 2 e 。即) 百万( 酬z = i i2 ( 口) 石两1 1 2 _ 0 ，使得 i 1 2 + e kl 1 2 m i i z l l 2 另一方面，l i z l l 2 = = = i i 页j 面了 十i i i 蕊；万了 进一步，利用 h o l d e r 不等式， i l z t l 2 ( 女l 1 2 ) ；( l 1 2 ) - + ( 女i 1 2 ) ；( e 女i 1 2 ，z 1 再由u ，口1 1 ( z ) 知， l 1 2 m i i z l l 2 ，e ki 1 2 m i n l 2 故 俐2 何忪1 1 ( l 阱+ m i i z l l ( l 限 k 知 即l l z l ls 丽 ( 女i 1 2 ) + ( ki 1 2 ) 札从而，i z l l 2 2 m ( e i 1 2 + e 女i 阿引理2 1 得证 下面的引理将要指出：对于一对对偶的小波基，一旦序列u ， 给定了，那么 序列矗，0 也是唯一确定的 引理2 2 给定7 1 , ，口f 1 ( z ) ，若存在矗，i 1 t ( z ) 使得z = e k 【 r 2 k u + r 2 七 = e 七 r 2 k 矗+ r 2 k 刎，则豇和。 北京工业大学理学硕士学位论文 是唯一确定的 证明：由引理2 1 知，r 2 k u ，r 2 k v ，k z ) 是1 2 ( z ) 的r i e s z 基那么， 对z f 2 ( z ) ，z = k 【 r 2 k u + r 2 k v 】的表示系数是唯一 的因而， = = 以，0 ， = = 0 进一 步， = = 5 k ，o ， = = 0 ( k z ) 为证唯一性，我们不妨假设还存在着矗o ，谝1 1 ( z ) ，使得z = k r 2 k u - r 2 k v = t 【 冗2 女矗o + r 2 k v o 则 = = 5 k 0 ， = = 0 进一步， = = 0 注意到：。= 七【 r 2 k 面t + r 2 k 剀贝0 面一百o = 0 ，即证= 面o 同理可证o = i o 引理2 3 若u ， ，缸，i 2 1 ( z ) ，则对每个2 俨( z ) ，z = k r 2 k u + 奶t u 当且仅当对0 【0 ，2 7 r 时，吐( 目) 盎( 口) + o ( 口) ；( 口) = 2 且也( 日) 磊( 目+ 7 r ) + o ( 口) ；( p + 7 r ) = 0 证明：由于 r 2 t u = d ( z 面o ) ( ) - r 2 k u ，那么 。= 【 r 2 k u + 兄驯 = = z = k 【d ( z 十舻) ( ) r 2 k u + d ( z i o ) ( 女) - r 2 t ”】； 牟号g = u 十u d ( z 十百o ) + 十u d ( z o o ) ； 甘三( 口) = 也徊) 【u d ( 。t 俨) “( 口) + o ( p ) 眇d ( z 木铲) 】 ( 口) ； 车= 争未( p ) = 矗( 日) 陋( 口) 磊( 口) + 言( 口+ 7 r ) 矗( 口+ 7 r ) 】+ ；o ( 日) 陋( 臼) 刍( 日) + 童( 日+ 7 r ) 亩( 口+ 7 r ) 】； 车= 寺2 ( p ) = ；陋( 日) 矗( 口) + o ( 口) ；( p ) o ( 口) + ；陋( p ) 矗( p + 7 r ) + o 徊) ；( 口+ 丌) ( 目+ 丌) ，( 2 2 ) 故，我们只需证明： 一8 第2 章一个充分条件 徊) = ；心) 矗( 目) + o ( 口) ；( 日) ( 日) + 陋( 目) 矗( 日+ ”) + o ( p ) ；p + 7 r ) ( 口+ 丌) 错也p ) a ( 目) + o ( 臼) 番( 口) = 2 且也( 臼) 矗( 口+ 7 r ) + o ( 口) 亩+ 7 r ) = 0 即可 显然，若也( p ) 矗( 口) + o ( 日) ；( p ) = 2 且包( 8 ) 矗( 口+ 7 r ) + i ( 口) ；( 8 + 丌) = 0 ，贝0 ( 2 2 ) 式成立下面证明，若( 口) = ；陋( 日) 矗( 日) + o ( 目) 弓( p ) 】二( 口) + ；陋( 口) 鑫徊+ ”) + o ( 日) 厕2 ( 日+ ”) ，则 也( 口) i 两习+ 。( 日) 石两面= 0 ( 2 3 ) 注意到u ，v 1 ( z ) ，因而，血( 日) 和o ( 口) 是连续的我们只需证明，对p 【0 ，2 丌】，( 2 3 ) 式几乎处处成立即可利用反证法，若存在【0 ，2 ”】的一个子集岛，使 ：一：一 得m ( e o ) 0 ，且在凰上，讧( 8 ) 矗+ ) + o ( 日) i 徊+ 霄) 0 不妨设凰【0 ，7 r 】 或蜀 丌， f 刈) ： o l 1 l 7 r ( 不然可取岛的一个子集) 不失一般性，设晶 o ，” 定义 日e o ； 则当p e o 时( 口) = o 且2 徊+ 7 r ) = 1 这与 目【0 ，2 7 r 】e o ( 2 2 ) 式矛盾从而，引理2 3 得证 在上述引理的基础上，我们证明下面的定理 定理2 1 如果u ， ，豇，o 1 1 ( z ) ，且对每个z 1 2 ( z ) ，z = f 冗2 + r 2 w 】，则 兄2 女u ，冗2 k ”，k z ) 和 月2 k 面，忌女i ，七z ) 是一对 对偶的小波基 证明：由引理2 1 知， r 2 女u ，兄2 女目，k z ) 是1 2 ( z ) 的一个r i e s z 基再根 据引理2 3 ，z = 女【 r 2 u + 五2 k 】 ：= 争砬( 目) 矗( 口) + o ( p ) 丢( 目) = 2 ，也( 口) 矗( 日+ 7 r ) + o ( 日) 蔷( 口+ 7 ) = o ； 骨湘丽+ 钠丽= 2 ，可丽+ 瓦丽= o ； 北京工业大学理学硕士学位论文 错z = k r 2 k 豆+ r 2 k o 再次利用引理2 1 ， r 2 k u ，r 2 t o ，z ) 是1 2 ( z ) 的一个r i e s z 基证毕 下面，我们给出在f 2 ( z ) 中构造双正交小波的一个充分条件 一个充分条件若u ，矗1 1 ( z ) 且也( p ) 矗( 口) + 也( 口+ 7 r ) 矗( 目+ 7 r ) = 2 令 ”( ) = ( 一1 ) 一1 i 石二可，i ( 女) = ( 一1 ) 一1 石二可，则 岛k ，r 2 七口，k z 和 r 2 k ，r 2 k v ，k z ) 是1 2 ( z ) 的一对对偶小波基 证明；由于v ( k ) = ( 一1 ) 。一1 可两，所以， o ( 目) = 。”( 七) e t k 口= ( 一1 ) 一- 乏t j i 二：可e i t 。= e 一；a 丢。i 石。：而 同理，；( 口) = e - i s 可百i 万，于是， 也( 口) 矗p ) + o ( 8 ) 亩( p ) = 缸( p ) 矗p ) + 也( 口+ 丌) 盎( 口+ 7 r ) = 2 ，o ( 口) 矗( 口+ 7 r ) + o ( 臼) 岳徊+ 7 r ) = 0 由引理2 3 知，对每个z 2 ( z ) ，均有z = k 【 r 2 k u + r 2 k v 再由定理2 1 进一步知， r 2 k u ，r 2 k v ，z ) 和 r 2 矗，r 2 k v ，k z ) 是 1 2 ( z ) 的一对对偶小波基证毕 这个充分条件告诉我们，在构造双正交小波基时， 和0 可由u 与豆自动 生成所以，我们只需构造满足关系砬( 口) 矗( 口) + n ( 日+ 7 r ) _ 鑫( 日+ 7 r ) = 2 的u 与豇 即可事实上，这个条件还有另外两种等价形式 命题2 1 设u ，缸f 1 ( z ) ，则下列条件是等价的： ( i ) = 以，0( k z ) ； ( 扼) 由( 口) 矗( 口) + 也( 口+ 7 r ) 矗( 日+ 7 r ) = 2 ； ( i i i ) u ( z ) 豇( 。) + u ( 一z ) 矗( 一z ) = 2 ，这里u ( z ) = 女u ( ) z “称为的z 变 换 1 0 第2 章一个充分条件 证明：由于 = d ( 五 o ) ( 七) ，故， = 以，o 亡= 争d 乱o ) = d 销粼) 硒+ 鑫( 2 刊再丽= 1 骨也( 日) 丽+ a ( p + 7 r ) 万而= 2 从而，( i ) 与( i i ) 是等价的另一方面， 札( z ) = ：u ( a ) z = 也( 口) ，丽= 丽，u ( 一z ) = 也( 口+ ”) ，砑= 两万 七 所以，( i i ) 与( 洌) 是等价的 定义2 1 如果，豆1 1 ( z ) 满足命题2 1 中的等价关系，则称( u ，豇) 是一对 ( 双正交) 小波生成元 注：有了小波生成元，由前面的充分条件，只需令 ( ) = ( 一1 ) 一1 可丁= 可， o ( 女) = ( 一1 ) 一1 可r = 可，便可得到2 ( z ) 中的一对双正交小波基现在， 令u ( z ) = ：高等荨毒暑拳衅，易验证 u ( z ) = u ( z 一1 ) = u 如) ，u ( - z ) = 一u ( z ) 令乱0 ) = ：1 + u 0 ) ，面乜) = ：1 + ；u 0 ) 1 一u ( z ) 1 ，则 i 两= 让( z 。1 ) = u ( 。) ，i 丽= 面( z 一) = 矗( z ) 所以，u ( 。) 面( z ) 十扎( 一z ) 豇( 一z ) = ( z ) 露( z ) + 乱( 一# ) 面( 一z ) = = f 1 + u ( z ) 1 + ；u ( z ) ( 1 一u ( z ) ) 】+ 1 一u 。) 】【1 一；u ( 。) ( 1 + u ( z ) ) 】= 2 注意到： 易知，u ( e 珀) 在整个实轴上是无穷次可微的，而由札和矗的定义知，屯( 口) 和矗( p ) 也是无穷次可微函数因而u ，豇：1 ( z ) 故( u ，百) 是一对小波生成元令 辎 北京工业大学理学硕士学位论文 v ( k ) = ( 一1 ) 肛1 面( 1 一k ) ，i ( ) = ( - i ) 肛1 u ( 1 一) 我们便得到一对双正交的小 波基既然( z ) = u ( z _ 1 ) = u ( z ) ，所以u ( - k ) = 乱( ) 且是实的注意到：i ( ) = ( 一1 ) 一1 石币_ 二可所以，i ( 。) = e i ( ) 。一= e 女( 一1 ) 一1 u ( 女一i ) z 一。= z - 1 “( 一z ) 同理，v ( z ) = z - 1 矗( 一z ) 而这恰好是文献【6 】提到的b u t t e r w o r t h 小波其中， u ( z ) = h ( z ) ，蟊( z ) = b ( z ) ， ( 。) = 卯( z ) ，i ( z ) = 雪( z ) 显然，b u t t e r w o r t h 小波具 有对称性、插值性，但它却不具有紧支集 命题2 2b u t t e r w o r t h 小波( 除r = l 外) 不具有紧支集 证明：因为札( 之) = 1 + u ( z ) = 再万可哿荨；岛= 雨可书芸赫，即 ( 1 + 。) 2 + ( 一1 ) ( 1 一z ) 2 乱( z ) = 2 ( 1 + z ) ”( 2 4 ) 要证明原命题，只需说明当u ( z ) 是l a u r e n t 多项式时，r = 1 即可；首先，r 不 可能为偶数不然的话，我们有 ( 1 + z ) 2 7 + ( 1 一z ) 2 7 u ( z ) = 2 ( 1 + z ) 2 r 比较等式两端的次数知( z ) 是一个常值函数c ，而这是不可能的因此，r 必为 奇数由( 2 4 ) 式知， 【( 1 + z ) ”一( 1 一。) 2 u ( z ) = 2 ( i + z ) ”( 2 5 ) 比较等式两端的次数知，u ( z ) 是关于z 的一次多项式；又因为b u t t e r w o r t h 小 波是对称的，故可设札( z ) = a z - 1 + b + c z ，那么，( 2 5 ) 式便转化为 ( a z 一1 + b + c 2 ) ( 1 + z ) 2 r 一( 1 一。) 2 】= 2 ( 1 + z ) 打 比较1 ，z 和z 2 7 的系数，我们有： n = c = 去) 6 _ ， 第2 章一个充分条件 取z = 1 ，则得口+ b + c = 2 ，r = 1 此时， 命题2 2 证毕 2 2 本章小结 u ，( z ) = 1 + 器蓑；菩料= j l z 一1 + 1 + ；z 1 在这一章，我们给出了构造双正交小波的一个充分条件( b u t t e r w o r t h 小波 可由这一条件导出) 这一条件是后面篇章的基础 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章低阶消失矩的双正交小波 本章将根据第二章得到的充分条件，构造具有低阶消失矩的紧支、对称、插值 双正交小波，它们不仅具有b u t t e r w o r t h 小波的所有性质，而且还有有限支集 3 1 双正交小波的构造 在给出乎( z ) 中双正交小波的构造结果之前，先引入几条引理 引理3 1 若 具有有限支集，v ( z ) = t ( ) 。，则 有r 阶消失矩当且 仅当v ( z ) 含有因子( 1 一z ) 证明t 文献【6 】中已经给出了充分性的证明，下面证明必要性：若v 有r 阶消 失矩，则e 口( ) 5 = 0 ( s = o ，1 ，r 一1 ) 令p ( z ) = ( ：) ，则p ( 。) = v ( k ) z k z k g z 从而，p ( 。) l ：l = u ( 七) = o ； k g z ( z ) l ：l = k v ( k ) = o ； k e z 一( z ) l ：- = k ( k 一1 ) v ( k ) = k 2 口( ) 一k v ( k ) = 0 p ( 一1 0 ) l ：1 = k ( k 一1 ) ( 一2 ) - ( 一r + 2 ) ( k ) k e z = k , - 1 v ( k ) + + ( 一1 ) 一2 ( r 一2 ) ! k v ( k ) = 0 k e zk e z 即p ( 5 ) ( z ) l ：1 = 0 ( s = 0 ，1 ，r 一1 ) 故p ( z ) 含有因子( 1 一z ) ，从而，u ( z ) 含 有因子( 1 一z ) 注。由上述引理易知 有r 阶消失矩仁亭v ( z ) 含有因子( 1 一z ) 锚o ( 目) 含 有因子( 1 一e 坩) 再由o ( 口) = e 曲矗+ ”) 知，o ( 目) 含有因子( 1 e 坩) r 骨_ 矗( 口) 含有因子( 1 + e 卯) 7 # 辛血( z ) 含有因子( 1 + z ) 同理，i 有r 阶消失矩仁辛缸( 日) 含有因子( 1 + e 坩) 7 错u ( z ) 含有因子( 1 + z ) 7 1 4 第3 章低阶消失矩的双正交小波 引理3 2 若u 1 1 ( z ) ，则u 有插值性当且仅当矗( p ) + n ( o + 丌) = 2 ( 日 一7 r ，7 r ) 证明：u 有插值性e 号u ( 2 k ) = 6 ( k ) 错u + u = 2 5 = = 也( p ) + 也( p + 7 r ) = 2 引理3 3 设= 0 6 1 + d + n 6 1 ，若 见女“) z 与 r 2 女西) 女z 双正交， 且s u p p 豇= 【一n ，】，则n 只能为偶数 证明：利用反证法，假设是奇数且( 土) 0 由题意知， 也( 口) = a e 卅+ 1 + a e “ ( 3 1 ) 设矗徊) = 面( ) e 一。8 + + 面( 1 ) e 一坩+ 面( o ) + 百( 一1 ) e + 十豇( 一) e t 日( 3 2 ) 由u 与豇双正交知：也( 口) 矗( 日) + 也( 口+ 7 r ) 矗( p + 7 r ) = 2 ( 3 3 ) 将( 3 1 ) ，( 3 2 ) 代入( 3 3 ) ，并比较最高、最低次系数得f i ( n ) = 0 ，蟊( 一n ) = 0 这 与a 0 ，云( 士v ) 0 的假设矛盾从而必为偶数 在上述引理的基础上，我们来构造6 ( z ) 中的一类性质充分好的双正交小波 基这里，牡，也， ，i 均有有限支集；u 既有插值性又有对称性( 关于原点) ；缸具 有对称性( 关于原点) ；并且v 与。均具有r 阶消失矩p = 1 ，2 ，3 ，4 ) 倒3 1 当r = 1 时： 由引理3 1 后面的注记知，要使。有一阶消失矩，矗( 目) 必须且仅需含有因子 1 + e 故可设矗( 口) = ( 1 + e 阳) p ( e 坩) ，其中p 为三角多项式因为札既满足插 值性又满足对称性，故u 至少含有三个非零坐标设趾( 士1 ) = d ，u ( o ) = 1 ，于是， 也( 日) = o e 卅+ 1 + a e “，( o 是待定系数) ( 3 4 ) 令p ( e 印) = p ( 1 ) e 卅+ p ( o ) ，( p ( o ) ，p ( 1 ) 是待定系数) ( 3 5 ) 将( 3 4 ) 和( 3 5 ) 两式代入也( 目) = ( 1 + e 坩) p ( e 棚) 式得： 一1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 a c 一棚+ 1 + a e 坩= p ( o ) e 棚+ p ( 0 ) + p ( 1 ) + p ( 1 ) e 一坩 由三角级数展开的唯一性可得：= p ( o ) = p ( 1 ) = i 1 ，从而p ( e 卯) = j e 卅+ j l 且 矗( p ) = 1 + e 曲+ ；e 1 9 再考虑豇的构造：因为百关于原点对称，同时 r a u k z 与 冗：t 豆 k 。z 双 正交，由引理3 , 3 知，豇的支集最短是【一2 ，2 所以，可设 矗( 日) = e ( 2 ) e - l 2 8 + e o ) e “8 + f i ( o ) + f i ( 1 ) e 埘+ 面( 2 ) e 脚( 3 6 ) 而 r 2 k 皿) k z 与 r 2 女u ) 女z 双正交等价于也( 日) 五( 口) + 吐p + 7 r ) 矗p + 7 r ) = 2 ( 3 7 ) 将c s q 和c 。两式代入c s 川，整理得 i 芝；二；三：。 c s 固 再由引理3 1 知， 有一阶消失矩仁= 矗( 口) 含有因子( 1 + e 坩) 仁辛云( z ) 含有因 注意到面( 。) = 面( o ) + 挚+ 等+ 豇( 1 ) z + 豇( 2 ) 。2 ，那么 解由( 3 8 ) 和( 3 9 ) 联立的方程组，得也( o ) = ；，矗( 土1 ) = i 1 ，包( 土2 ) = 一i 1 于是，矗( 口) = 一 e 一3 埔+ e 一坩+ + e “一 e 2 “( 3 i o ) 设p ( e 坩) = p ( 一2 ) e 一2 坩+ p ( 一1 ) e 一曲+ p ( o ) + p ( 1 ) e “( 3 1 1 ) 将( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 两式代入矗( 0 ) = ( 1 + e 胡) p ( e 脚) 利用三角级数展开的唯一性， 我们有p ( e 朋) = 一 e _ 2 阳+ e “。+ i 一；e “再令d k ) = ( 一1 ) 一1 可r 二_ 可；i ( ) = ( 一1 ) 七一1 u ( 1 一七) 则由充分条件知， 岛札) 挺z 和 r 2 ) 蚝z 是2z ) 上的双正 交小波基 忌女面) k z 和 r 2 i ) k z 是它们的对偶 个数，考虑s u p p 豇= - 4 ，4 的情形由于“具有对称性，即画( 一n ) = 豇( ) ( n = 1 6 第3 章低阶消失矩的双正交小波 1 ，2 ，3 ，4 ) 进一步，利用 r 2 k 豆) k z 与 r 2 k u k z 的双正交性，我们有 + f i ( 1 + 2 矗f + 2 面f ) + 面( 3 ) = 0 = 0 ( 3 1 2 ) 注意到面( z ) = 画( o ) + 掣+ 擎+ 等学+ 矗( 1 ) z + 豆( 2 ) z 2 + f i ( 3 ) z 3 + f i ( 4 ) z 4 ， 而前面的讨论说昵口有一阶消失矩# 舀( 。) 含有因子( 1 + z ) 从而，。= 一1 是豇( z ) 的一个根，即 矗( o ) 一2 面( 1 ) + 2 面( 2 ) - 2 面( 3 ) + 2 矗( 4 ) = 0 ( 3 1 3 ) 解由( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 联立的方程组，得 也( o ) = 1 一t f i ( - - k 1 ) = t 豇( 士2 ) = 一 ( t r ) 面( 士3 ) = i 1 一t 面( 士4 ) = 一i 1 + ；t 再令o ( 尼) = ( 一1 ) 扛1 u ( 1 一女) ； ( 女) = ( 一1 ) 扣1 面( 1 一七) ，则由充分条件知， 尺2 “) k 2 和 r 2 k v k z 是t 2 ( z ) 的一对双正交小波基特别地，当t = i 1 时，矗( o ) = ；，f i ( ：k 1 ) = ，面( 土2 ) = 一 ，云( 士3 ) = 0 ，面( 士4 ) = 0 恰好是一阶b u t t e r w o r t h 小 波 例3 2 当r = 2 时： 与i 有二阶消失矩“既有插值性又有对称性，因而u 至少有三个非零坐 标类似于例3 1 的推导，我们有， 砬( p ) = 1 + e 帕+ e - l o 雹( 日) = ；+ ；e + 扣1 8 一 e 。9 一；e 一