（系统工程专业论文）VaR若干典型度量方法的比较研究.pdf

摘要 目前，v a r 的度量方法有很多，而且，由不同方法计算出的v a r 值往往相 差很大，使得风险管理者面对如此多的模型不知如何选择才能真正达到其风险管 理的目的。针对这一点，本文给出了一种将理论分析与实证分析相结合的v a r 模型准确性评价方法。本文比较检验了六种典型的风险度量方法，并得出了在不 同置信水平下的模型的准确性排序。 v a r 表示在一定时段内，在给定的置信水平下预期的潜在最大损失，参数度 量方法主要是依赖于对波动率的估计。本文选取了四种参数估计的方法即 e q m a ，e w m a ，g a r c h ，e g a r c h 模型，通过对其波动率的估计来估算v a r 。 另外，还选取了两种非参数方法h s 和e v t 理论中的p o t 方法，对这六种方法 通过n a s d a q 指数的日回报数据进行了比较检验。 本文所用的检验方法主要分两步进行。第一步是统计性检验，第二步是通过 损失函数来评价模型的优劣。本文的研究结果表明：在9 5 置信水平下，不应该 使用e g a r c h 方法，p o t 方法准确性最佳，接下来依次是：h s ，e q m a ， e w m a ，g a r c h ；在9 9 置信水平下，不应该使用e w m a 方法，p o t 方法准 确性最佳，接下来依次是：h s ，e q m a ，e g a r c h ，g a r c h 。 对于样本数据很大的情况下，本文的研究结果推荐管理者使用极值理论方法 进行v a r 风险度量。 关键词：v a r ；p o t ；l r 统计量；损失函数评价 a b s t r a c t c u r r e n t l y , w ec a r lt i s e al o to fm o d e l st oe s t i m a t ev a l u e a t r i s k b u td i f f e r e n tm o d e l s o f t e nd e d u c ed i f i e r e n tv 水v a l u e s r i s km a n a g e r sa r et h e r e f o r eo f t e nl e nw i t ht h e d a u n t i n gt a s ko fc h o o s i n gf r o map l e t h o r ro fm o d e l s 强i sp a p e rb r i n g sa b o u ta 1 1 a c c u r a c ye v a l u a t em e t h o dw h i c hc o m b i n e dt h e o r i e sa n a l y s i sa n de m p i r i c a la n a l y s i s t o g e t h e r a n df u r t h e r m o r et h i sp a p e rc o m p a r e sa n d t e s t ss i xt y p i c a lm e t h o d sa n dg e t o u tt h em o d e l s s e r i e si nd e s c e n d i n go r d e rb 硒e do n s u p e r i o r i t y , t h ev a l u ea tr i s k ( v a r li st h em a x i m u m e x p e c t e d1 0 s so v e rag i v e nh o r i z o np e r i o da t ag i v e nl e v e jo fc o n f d e n c e ，ac m c i a lf a c t o rf o rt h ea c c u r a c yo fv a rm o d e l st h a t 蛳 b a s e do nt h e p a r a m e t r i ca p p r o a c hi s t h em e a s u r eo fv o l a t i l i t y i nt h i sd a p e r 4 p a r a m e t r i cm o d e l sa r ec o m p a r e d ，t h e ya r ee q u a lw e i g h t e dm o v i n ga v e r a g em o d e l ( e q m a ) ；e x p o n e n t i a l l yw e i g h t e dm o v i n ga v e r a g em o d e i ( e w m a ) ；g a r c hm o d e l ； e x p o n e n t i a lg a r c h ( e g a r c h ) m o d e l i na d d i t i o n ，h i s t o r i c a ls i m u l a t i o nr h & a n d e x t r e m ev a l t i et h e o r yb a s e dm o d e j ( p o t 、a r eu s e da n dc o m p a r e dh e r e w ec o m p a r e t h ee s t i m a t i o n si na n a p p l i c a t i o nt od a i l yr e t u r n so n t h e n a s d a q i n d e x t h et e s tp r o c e s s e sa r ec a r r i e do u ti nt w os t e p s ：t h e1 “s t e pi st ot e s tt h es t a t i s t l e a l v a l i d i t yo f a l lt h e6m e t h o d sa n dt h e2 “os t e pi st ou s et h el o s sf u n c t i o ne v a l u a t i o nt o e v a l u a t et h ep e r f o r m a n c ea n dt e s t i n gf o rs u p e r i o r i t yo ft h em o d e l s t h ee m p i r i c a l r e s u l t so ft h es t u d ys h o wt h a ta t9 5 c o n f i d e n c er e v e l ，p o ti st h eb e s tt h e n 如t l o w e d b yh s ，e q m a ，e w m a ，g a r c h ，a n de g a r c hs h o u l d b e r e j c o t e d ；a t 9 9 c o n f i d e n c el e v e l ，p o ti st h eb e s t ，t h e nf o b o w e db yh s ，e q m a ，e g a r c h ，g a r c h a n de w m as h o u l db er e j e c t e d t h ee v t - b a s e dm e t h o dp o ti sr e c o m m e n d e dt oe s t i m a t ev a rw h e ns a m p l e sa r e l a r g e k e y w o r d s ：v a r ；p o t ；l rs t a t i s t i c s ；l n s sf u n c t i o n v a r 若干典型度量方法的比较研究 1 绪论 1 1 引言 1 1 1 本文研究的背景 近年来随着经济全球化和金融自由化，金融市场的波动性不断加剧，金融工 具所蕴含的风险结构越来越复杂，对金融风险的评估和测量水平相应提出了更高 的要求。而在所有的金融风险中，金融市场风险具有特殊的地位，不仅所有金融 资产都面临着金融市场风险，且金融市场风险往往是其他类型金融风险的基础原 因。在这种情况下，产生了一种能全面测量复杂证券组合的市场风险的方法 v a r 模型，它是由g 3 0 集团在1 9 9 3 年发表的题为衍生产品的实践和规则 的报告中首次提出，并迅速得到了广泛的应用。 在美国，三十小组，衍生产品小组，国际互换与衍生品协会，国际清算银行 以及欧盟等都在一定程度上将v a r 作为风险度量的标准【1 1 。而在国内，中国人民 银行已经提出要求：中国所有的金融机构都要在两年内建立包括风险管理系统在 内的金融监管体系。因此，开展v a r 方法及其应用研究对于中国不仅具有理论 意义，而且具有重要应用价值和广阔的应用前景。 1 1 2 本文研究的意义 问题的提出：由于v a r 这种度量风险的方法是建立在一些不现实的假设基 础上的( t ：k 女n ：在险阵中，假定日回报均值为零；方差协方差方法依赖于回报 服从正态分布的假设) 。而且v a r 的计算的准确性受很多因素影响【2 】。 另外经过各国学者的努力，v a r 度量方法已经在原来的基本方法上有了很大 的改进，出现了很多改进的模型 3 1 ，这些改进的方法又孰优孰劣呢? 由不同种方 法计算出的值往往又存在有很大的差异，使得风险管理者面对如此多的模型不知 如何选择才能真正达到其风险管理的目的。所以有必要对各种方法计算出的v a r 的精确性及适用性进行比较研究，以便确定在什么情况下用哪种方法计算v a r 更为合适。使之成为风险管理真正有效的工具。 本文做的工作就是力求全面的选择其中典型的算法对其精确性进行比较研 究，从而解决风险管理者决策的难题。 v a r 若干典型度量方法的比较研究 1 2v a r 方法概述 1 2 1v a r 方法的产生 2 0 世纪9 0 年代初，金融衍生工具的种类和交易额迅速增加，投资组合的构 成日趋复杂，已有风险度量方法越来越难以满足投资者和金融监管机构的需要， 与此同时世界各地金融灾难此起彼伏，损失惨重。找到一种有效的风险管理方法 已经成为当时全球金融界共同的迫切愿望，正是这种巨大的社会需求推动了v a r 方法的产生和迅速发展。 j pm o r g a n 的r i s k m e t r i c s 系统就是在这样的环境下产生的，据说当时j p m o r g a n 的主席w e a t h e r s t o n e 要求雇员每天为他提供一页纸的报告，说明未来2 4 小时内整个银行全部资产的风险和潜在损失。该报告就是著名的“4 1 5 报告”， 需要在每个交易日结束后的4 点1 5 分提交。为了满足这一要求，j p m o r g a n 的员 工必须开发出一个系统，使其能够度量整个机构所有交易头寸的风险，并将其集 成为一个数值，该数值就是v a r ，按照l i n s m e i e r 和p e a r s o n 的解释就是关于投 资组合最大可能损失的一个概括性统计指标。j pm o r g a n 的研究者经过大量艰苦 细致的工作，终于建立了基于m p t 的v a r 度量系统r i s k m e t r i c s 【4 1 。与此同 时，许多其他金融机构也开展了与j pm o r g a n 相似的研究，因为他们意识到这种 系统开发的竞争正在演化为制定行业标准的竞争。在此过程中，j pm o r g a n 的竞 争者们提出了计算v a r 的另外两种常用方法：历史数据模拟( h i s t o r i c a l s i r n u l a t i o n ，h s ) 方法和蒙特卡罗模拟( m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，m c s ) 方法。 1 2 2v a r 方法的用途 v a r 方法自提出以来得到了迅速的发展和应用，从目前的实践看，v a r 方法 主要可以应用于以下几个方面：( 1 ) 用于设置总体风险管理目标。( 2 ) 用于金融 机构内部的资产分配。( 3 ) 可用于投资机会的风险分析和投资结果的风险评价。 ( 4 ) 用于编写金融机构的各种报告和有关的信息披露等，此外v a r 方法还可以 用于非金融公司的风险管理。随着理论研究的不断深入，v a r 方法的应用范围也 正在迅速扩展。 1 2 3v a r 相对于传统金融风险测量方法的特点 由于v a r 方法是在传统的金融风险测量方法无法满足现实需求的背景下产 生的，并且已被全球各主要银行、非银行金融机构、公司和金融监管机构广泛采 v a r 若干典型度量方法的比较研究 用，显然有它独到之处。相对于方差、卢系数等传统测量金融风险方法v a r 主 要有以下一些特点： 1 ) 测量的综合性 随着金融产品的多元化，一个投资组合往往是由类型不同的证券所构成，而 传统的灵敏度方法( 典型的如口系数) 只能适用于单一产品、单一风险的风险测 量，不能汇总不同市场风险因子、不同金融工具的风险暴露。v a r 模型中将投资 组合的价值设置为其所有市场风险因子的函数，因此可以度量包括利率风险、汇 率风险、股票风险以及商品价格风险和金融衍生产品风险在内的各种市场风险， 较准确的测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在风险。 2 ) 结果的直观性 v a r 的概念简单明了，将多种市场风险换算成一个用货币计量的指标数值即 v a r 值，是一个直接可以与收益相配比的数字。而卢系数只给出了一个相对的比 例概念，没有直接回答组合的损失到底是多大这个问题。同时相对于用方差来描 述风险这种方法中没有给出组合发生一定数量损失的概率为多少，v a r 给出了一 定的置信水平和特定的时间段，并且可以通过调节置信水平，得到不同置信水平 上的v a r 值，使人们可以明确的知道组合在不同程度上所处的风险状况。 1 2 4 喂方法的优点和不足 v a r 方法的优点主要有三个方面：第一，它提供了一种跨越不同头寸和风险 因素的具有通用性和一致性的风险度量方法；第二，v a r 方法考虑了风险因素之 问的相关性。第三，v a r 方法以货币数量表示投资者的潜在损失，因此具有较大 的直观性。 v a r 方法的不足主要有：第一，所有v a r 计算方法都是向后看的 ( b a c k w a r d l o o k i n g ) ，试图用过去的数据预测将来的可能损失。第二，一些v a r 计算方法为了计算简便，引入资产收益率或价格服从联合正态分布的假定或“历 史重演( h i s t o r y r e p e a t i t s e l f ) ”等的前提假定。第三，由于v a r 方法给出的是统 计结果，因此它的可靠性是统计意义上的，这意味着即使是最好的v a r 计算方 法也只能提供相对( 不是绝对) 可靠的分析结果。 1 2 5v a r 的算法研究 主要包括：v a r 的基本算法及其改进算法；基于e x t r e m ev a l u et h e o r y ( e v t ) 的算法；v a r 的其他算法，如人工神经网络方法和模糊数学方法等。 v a r 若干典型度量方法的比较研究 ( 1 ) 基本算法及其改进基本算法是指v a r i a n c e c o v a r i a n c e ( v c ) 方法、 h i s t o r i c a ls i m u l a t i o n ( h s ) 、m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ( m c s ) 和s t r e s s t e s t i n g ( s t ) 方法。v c 方法是建立在m p t 基础上的一种v a r 计算方法，也是目前最为成熟 的方法口】。该方法主要解决了三个问题： 第一，线性头寸问题。 所谓非线性头寸是指头寸的标的回报和头寸价值为非线性关系的头寸( 如期 权) ，r i s k m e t r i c s 系统的处理方法就是用线性近似代替真实的头寸，主要的近似 方法有出加正态方法和d e l t a - g a m m a 正念方法两类。 第二，非正态问题。 v c 方法是建立在资产收益率( 或价格) 服从正态分布的假定条件下的，但 实际的分布往往有较厚的尾部。因此r i s k m e t r i c s 系统使用了正态混合算法和一 般误差分布等方法来调整分布函数的尾部。 第三，提出了头寸映像( m a p p i n g ) 方法。 v c 方法在计算过程中要用到协方差矩阵，因此必须使所有头寸具有可比性， 而且要保证协方差矩阵正定。头寸映像就是按照r i s k m e t r i c s 系统中给定的方法 将各种不同头寸换算成事先设定的基础市场因子( m a r k e tf a c t o r ) 。此外， r i s k m e t r i c s 第p 版在收益率波动建模中引入了g a r c h ( 1 ，1 ) 模型。 h s 方法利用资产收益率历史数据的分布计算v a i l ，具有计算简单，不需要 假定分布规律等特点，m a h o n e y 的研究表明，h s 方法可在9 9 的置信水平下获 得v a r 的无偏估计值”1 ，此外j a c k s o n 等人也提出了h s 方法比v c 方法优越的 证明 1 。h s 方法中一个比较关键的问题是选择合适的历史数据时间跨度，如果 时间太短，将产生较大的误差，如果时间太长计算结果就不能很好地反映新的市 场信息。为此b u t l e r 提出了一种基于k e r n e l 估计的精确度量方法，并通过实证 检验证明了该方法的优越性【8 】。 m c s 方法是估计v a r 的一种有力工具，适用于各种投资组合v a r 的计算， 但和前面两种方法相比，使用不够方便。由于m c s 方法需要使用大量的伪随机 数进行相关的计算，如求协方差矩阵，因此速度较慢。为了解决这一问题 f u g l s b j e r g 提出了一种新的能够减小计算量的方法【9 】。与m c s 方法相近的还有准 蒙特卡罗方法( q u a s i m o n t e c a r l os i m u l a t i o n ) ，有研究表明该方法比m c s 方法具 有更高的准确性。 s t r e s st e s t i n g 用于度量在假定的极端不利的情况下投资组合可能遭受的损 失，是v a r 估计值方法的重要补充。s t r e s st e s t i n g 常用的方法有两种：情景 v a r 若干艇型度量方法的比较研究 ( s c e n a r i o ) 分析和机械( m e c h a n i c a l ) 分析。情景分析通过假定各种不利情况 来分析投资组合在假定情况下的可能损失；机械分析通过对大量的历史数据的浏 览和计算，找到最不利的情况并分析投资组合的可能损失。 ( 2 ) 基于e v t 的v a r 算法应用基本算法计算出来的v a r 是一个初始 值或边界值( t h r e s o l dv a l u e ) 及对应的置信水平，并没有说明可能发生的潜在损 失的大小。由于发生在分布函数尾部的小概率突变事件可能造成投资者的巨大损 失，因此备受监管机构和风险管理者的重视。e v t 是次序统计理论的个分支， 由f r c h e t 以及f i s h e r 和t i p p e t t 等人首先提出，经过g n e d e n k o 和g u m b e l 等人 的发展形成的d i ，该理论近年来得到了较快发展。基于e v t 的v a r 估计方法是 最近发展起来的一种新方法，它的研究对象是尾部的分布，而不是整个分布函数， l o n g i n 等人的研究表明该方法在实践中具有较好的应用效果。 ( 3 ) v a r 的其他算法除了上述基本算法和基于e v t 的算法以外，一些 研究者也尝试着用其他数学、统计学和人工智能方法计算v a r 。 1 3v a r 度量方法比较研究现状 1 3 1 国内外研究现状 在k d o w d 的“b e y o n dv a l u ea tr i s k ”一书中详细总结了1 9 9 4 1 9 9 7 年间具有代表性的研究论文所作的比较研究工作 3 1 。但所涉及极值理论( e v t ) 的文献很少。随着e v t 方法的发展，关于e v t 的研究逐渐增多【1 0 卜1 1 ”，并表现 出了其优越性。目前也有为数不多的文献对模型进行了比较研究工作【1 8 h ”1 。这 些论文主要针对h s ，v a r i a n c e c o v a r i a n c e 中的一些基于正态假设的方法， m o n t e c a r l o 和e v t 方法中的两种或三种方法进行比较研究。其中以h s 方法和 v c 方法研究居多。 另外，除了研究模型在不同条件下的精确性外还出现了一批研究模型计算 效率的文章 3 4 1 q ”1 。在计算效率与计算精确性两者之间进行权衡选择。但本文认 为，随着计算机硬件计算速度的发展的日新月异，对于计算效率方面的研究不是 很重要。因此本文注重精确性，适用性方面的研究。 国内在这方面相关的研究很少，但也有了一定的成果凹1 屯”。邹建军在他的 文章“g a r c h 模型在计算我国股市风险价值中的应用研究”1 2 3 1 中主要讨论v a r 模型中有关波动率的估计方法，通过拉格朗日检验( l m ) ，发现上海股市的日收 益率服从a r c h 过程分别采用g a r c h ( 1 ，1 ) 模型、r i s k m e t r i c s 和移动平均法预 v a r 若干典型度量方法的比较研究 测上海股市日收益率的波动性，计算每天的v a r 返回式检验表明g a r c h ( 1 ，1 ) 模型比r i s k m e t r i c s 和移动平均法能更准确地反映我国上海股市的风险。彭寿康 在他的文章“中国证券市场股价指数v 出研究”1 2 4 1 中比较了历史模拟方法，一 般正态分布模型，加权正态模型和l o g i s t i c 分布模型，得出了历史模拟方法和 l o g i s t i c 分布模型的预测能力要优于一般正态分布模型和加权正态模型的结论。 所用的检验方法就是计算预测失败数孰多孰少，并没有考虑真正预测失败所造成 的损失的大小，所以是不全面的检验方法。 总之，这方面的研究仍是比较少，而且所作的研究无论从模型的选取上，还 是从所应用的检验方法上都不够全面、不够成熟。 1 t 3 2 进行比较研究所用的主要检验方法 比较成熟的检验方法有两种：一种就是把其中一种v a r 度量模型作为基准， 其他的模型计算的结果与这个基准值相比，通过度量偏差来度量其准确性，比如 i m a d ，a a n db e r n a r db o l l e n 2 0 0 2 ab e n c h m a r kf o rm e a s u r i n gb i a si ne s t i m a t e d d a i l y v a l u ea tr i s k 中建立了“r e a l i s t i cv o l a t i l i t y ”的概念【2 8 l ，通过求取r e a l i s t i c v o l a t i l i t y 来建立一个基准，从而得到风险值，然后其他的度量方法与之相比，进 行准确性排序。另一种方法就是每两种方法进行比较，最后按比较的结果排序。 比如：c h r i s t o f f e r s e n ，p a n dj i n y o n g ，h 2 0 0 1 t e s t i n ga n dc o m p a r i n gv a l u e - a t - r i s k m e a s u r e s 中就是这样一种比较方法【2 9 】。零假设是两种方法测度效果同等，然后求 出值大于1 9 6 ，则意味着在5 显著水平上拒绝零假设，大于1 6 5 则意味着1 0 显著水平拒绝零假设。得到的值是正数，表示模型l 偏优：得到的值是负数，表 示模型2 偏优。 另外还有其他的检验方法：久期的回馈检验等方法【3 。 1 3 3 仍存在的缺点与不足 1 所涉及到的风险度量方法不够全面，比如目前发展比较快的而且也是有很好 前景的极值理论度量方法涉及的很少。 2 缺乏对v a r 度量模型的理论比较分析。 3 对结果的分析略显片面，对样本数据的选取要注意具有代表性，另外要考虑 其所在市场的有效性。而且检验方法各异，其检验结果的统一性值得商榷。 v a r 若干典型度量方法的比较研究 1 4 本文的研究内容 针对现有比较研究涉及计算方法少、模型选取不全面，而且缺乏关于模型理 论分析与实证分析相结合方面的讨论，本文选取6 种典型的v a r 度量模型，将 这6 种模型的理论分析与实证分析相结合进行比较研究，即在理论研究给出的定 性评价基础上，应用文献【3 1 】和【3 2 】提出的检验方法进行实证检验，得出了模型 准确性排序，从而解决模型选择难的问题。 v a r 若干典型度量方法的比较研究 2v a r 的基本算法及差异 2 1v a r 的基本概念 v a r ( v a l u ea tr i s k ) 是指正常的市场条件下和给定的置信度内，某一金融资 产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失，称为“风险中的价值” 或“在险价值”。在v a r 模型中，使用金融理论和数理统计理论，把一种资产 或组合的各种市场风险归纳起来用一个单一的指标( v 出值) 来衡量。例如对于 某一金融机构来说，假定其2 0 0 1 年的置信度为9 5 的日v a r 值为5 0 0 万美元， 即说明可以以9 5 的概率保证，其投资组合在2 0 0 1 年的每一个特定时点上在未 来的2 4 小时内，由于市场风险带来的损失不会超过5 0 0 万美元，再以这一数额 与该金融机构的年利润和资本额相对照，则其风险状况即可一目了然。 v a r 计算的基本思想：风险管理一直被称为“金融粒子理论”，即理解风险 的第一步就是要将每种金融资产分解为组成它的基本构件，基本构件的风险特征 是容易描述的，然后再合并这些基本风险，分析它们的综合效应。v a r 模型也是 建立在这种思想基础上的，在计算v a r 的过程中，其核心是通过风险映射( r i s k m a p p i n g ) 将某项资产的风险分解为一个或若干个影响其价格变化的基本的市场 风险因子，用这些风险因子的变化来描述资产组合的价格变化，v a r 计算体系可 以表示如下： 图2 1v a r 计算体系 f i g 2 1 v a re s t i m a t e ds y s t e m 8 v a r 若干典型度量方法的比较研究 其中风险因子的波动性模型和证券组合的估值模型是计算v a r 过程中的关 键，波动性模型有历史模拟法、情景分析、r i s k m e t r i c s 法( j pm o r g a n 公司，1 9 9 4 ) 等，估值模型有以金融产品价格和风险因子间的灵敏度为基础的分析法，以及用 金融定价公式对金融产品重新定价的模拟法。根据所选择的不同的模型，相应的 有不同的v a r 计算方法。国内相关的文章很多巾”。 2 2v a r 的数学定义 假定金融市场上的证券的投资组合的每日价格行为可由下式表示： l n ( p ，) = “+ l n ( p i - 1 ) + g ， ( 2 _ 1 ) p ，是交易日t 的收盘价，“日平均回报，v a r ( 8 ，) 2 盯只处理日数据，假定麒2 0 。 定义投资组合在交易日t 的日回报为： r , = i n ( p 。) - i n ( p ) ( 2 - 2 ) 由公式( 1 ) 和( 2 ) 可得： p ，= p h p ( 2 - 3 ) 这里，= s ，。定义一个临界投资回报f ，则第t 日的回报小于或等于临界回报 的概率为一给定值，这里设定为o 0 5 ，则有： p r ( r t r ) = o 0 5 ( 2 4 ) 临界的投资组合的价格为： 群= p f lp ( 2 5 ) 而投资组合的市场价值为只，v 扭代表的是5 概率下的投资组合的价值损失， 则： v a r ，= p 。一 ( 2 _ 6 ) 即v a r ，= p f p t _ l e ( 2 - 7 ) 由于当x 很小的时候， e 。“1 + x ，所以公式( 2 - 7 ) 可以近似为公式( 2 8 ) q v a r 若干典型度量方法的比较研究 v a r ，= p ，一p h ( 1 + r , c ) ( 2 8 ) 如果进一步假设资产组合的回报服从正态分布，5 的临界回报由下式表示： 彳= 一1 6 4 5 0 ， ( 2 9 ) 则v a r 可以由下式计算： v a r ，= 鼻一只一1 ( 1 1 6 4 5 0 。) ( 2 - 1 0 ) 其中盯，表示在第，个交易日资产组合的波动率。在第f 天的预期值愀。的数学 期望由下式得出： e ， v a r 。】= 巨 p 。 一巨 p ，( 1 1 6 4 5 0 - 。) 】= 只1 6 4 5 e t o - 】( 2 1 1 ) 所以得出： a 砌r + 1 = p r 1 6 4 5 o - t + i ( 2 1 2 ) 很明显，从公式( 2 1 2 ) 可以看出，对v a r 的估计依赖于对波动率参数盯。的估 计。估计波动率盯r 的方法主要有以下几种：等加权移动平均( e q m a ) ，指数加 权移动平均( e w m a ) ，g a r c h ，e g a r c h ，g j r 等方法。 以上方法是根据正态分布假设而来，另外还有历史模拟方法，蒙特卡罗模拟， 极值理论方法来计算v a r ，下面分别介绍。 2 3v a r 的几种典型算法 2 3 1r i s k m e t r i c s 方法 r i s k m e t r i c s 采用移动平均方法中的指数移动平均模型预测波动性。它假定 过去的回报分布可以合理的预测未来情况，可用历史数据的时间分布序列分析估 计市场因子的波动性和相关性。r i s k m e t r i c s 假定市场因子变化服从正念分布。 2 3 2g a r c h 类模型方法 用于对市场因子波动的条件异方差性建模，它可以更好的预测市场因子的真 实波动性，如波动性集聚效应。虽然g a r c h 最常用是正态分布，但也可以采用 其它分布假定。 v a r 若干典型度量方法的比较研究 g a r c h 类模型一般由两个方程组成，一个是条件均值方程，另一个是条件 方差方程标准的回归方程。g a r c h 类模型应用最广泛的主要有a r c h 、 g a r c h 、方差无穷g a r c h 、非对称g a r c h 、指数g a r c h 和因子g a r c h 等。 2 3 - 3 历史模拟方法 历史模拟方法( h s ) 假定回报分布为独立同分布，市场因子的未来波动与 历史波动完全一样。其核心在于用给定历史时期上所观测到的市场因予的波动 性，来表示市场因子未来变化的波动性。它不需要假定资产回报服从的统计分布 方式。 2 3 4m o n t ec a r l o 模拟方法 m o n t ec a r l o 模拟法是一种随机模拟方法，它用市场因子的历史波动参数产 生市场因子未来波动的大量可能路径。虽然正态分布是m c s 中最常用的分布假 定，但m c s 无须假定市场因子服从正态分布。该方法与历史模拟方法的计算过 程基本相同，主要区别在于m c s 方法的数据样本是由模拟产生的随机数勾成的， 这也是该方法的关键和特色所在。 1 模拟价格路径 模拟的第一步是选择一个能够描述价格变化行为的随机模型，由于几何布朗 运动能够描述期权的价格变动，因此经常被选用。该模型假定价格更新量与时间 无关，因此价格的微小变动可以描述为： d s t = t ，s ，d i + 盯f s i d z ( 2 - 1 3 ) 其中，出n ( 0 ，a t ) ，“和盯，分别表示t 时刻瞬间漂移和波动。 在实践中，出可以用一个微小增量血代替。假设当前时刻是t ，t 是模拟 的时间目标，则f = t t 为投资组合的模拟持有期。为了在持有期f 内产生一系 列随机数s 。，把f 分成n 个小区间：a t = r n 。在出内上式可近似表示为： a s ，= s h ( p a t + c r 6 4 a t ) ( 2 1 4 ) 其中，s 是标准正态随机变量，且可以证明该过程具有数字特征 n a s s 】_ t a t ，v a s s 】_ 仃2 a t 。模拟s 的价格路径) a s 。对于f = l ，玎开始 v 出若干典型度量方洁的比较研究 产生一系列占，然后令s = s 。+ s , ( p a t + ( r e l 出) ，直到s 。= s ，达到时 间目标。 2 计算v a r m c s 的基础是从一个满足需要的分布中随机抽取s ，这一工作可分两步完 成：第一步，建立随机数发生器，在【o ，1 】区间内产生相同分布的随机数x ：第二 步，利用所需分布的累积概率分布含的反函数把x 转换成所需分布。此外，采用 前面介绍的b o o t s t r a p 方法，即在某个历史数据集合内进行有放回的随机抽样， 也可以产生所需的随机数据。 当价格路径模拟完成后，就可以在选定的持有期末确定投资组合收益的分 布，并计算出v a r 值。整个模拟过程可归纳如下：( 1 ) 选择一个随机过程及其 参数；( 2 ) 产生随机数序列t ( f = l ，n ) ，并利用计算价格序列s 。( i = 1 ，胛) ； ( 3 ) 利用价格序列计算资产价值只+ 。= 日；( 4 ) 根据对数据量的需要( 比如， 1 0 k 个数据) 重复( 2 ) 、( 3 ) 两步，得到资产价值的分布序列肆，辟”，在此 序列中重复次数超过1 一c 次( c 为置信水平) 的投资组合价值就是所求v a r 。 2 3 5 基于极值理论的v a r 算法 e v t 方法度量v a r 是一种新兴的方法，受到普遍重视，相关文献很多【1 6 卜【2 0 i 。 在描述随机变量最大值分布时，e v t 的作用与中心极限定理在描述随机变量时 和分布时的作用是一致的，二者揭示的都是研究对象极限分布。通常情况下有两 种方法可以识别真实数据中的极值：一种方法是从一定的时段( 如月和年) 内取 最小值和最大值，选出的极值包含了一系列极端事件的信息，称为最大( 最小) 块；另一种方法是高峰限值法( p e a k s o v e r - t h r e s h o l d ，p o t ) ，首先给出一个闽 值，超出该阈值的观测值被选定为极值。在两种方法中，最大块方法早期曾用于 分析水文信息，是一种比较传统的方法；p o t 方法则相对较新，现在已成为多 数研究者的首选方法，将在下一章做介绍。主要介绍另外两种基于e v t 风险度 量方法。 1 次序统计量与广义极值分布 a ) 次序统计量 设x i ，i = 1 ，”是取自分布函数为f 0 ) 的总体的一个样本，将其按大小 v a r 若干典型度量方法的比较研究 排序：z ( 1 ) x ( 2 ) z 0 ) ，称( 1 ) ，x ( 仃) ) 为次序统计量，定义： = m a x x l ，局，彳。 ( 2 1 5 ) z 。= m i n x l ，x 2 ，x 。 ( 2 1 6 ) 分别称为样本极大值、样本极小值， 统称样本极值，极值理论处理的就是当样 本很大时的，z 。的分布情况。定义一个区间参数口。和一个位置参数“，那么 得出标准化形式：! 盖堕和! ! 车旦。另外，这两种极值形式有下列关系： b 。b 。 m i n x l ，x 2 ，x 。) = 一m a x - x 1 ，一r 2 ，- ，一爿j ) ( 2 - 1 7 ) 将讨论最大极值的情况。 b ) 广义极值分布 极值分布有三种形式，分别称为g u m b e l ，f r e e h e t , w e i b u l l 。 g u m b e l ：人( x ) = e x p ( 一e x p 一) ，x 孵 ( 2 - 1 8 ) 胁c 蛔：吲加k x 絮 。 沼 w e i h m 邺，：f e x p 【。愁 协：。， j e n k i n s o n 和v o nm i s e s 提出了一个具有单一参数的表达式，该式能够统一表 达三种类型极值分布，称为广义极值分布( g e v ) ： 舭咔甙鬟l 矿扩訾沼z ， 其中1 + 参 0 。当善= d 。时为f r e c h e t 分布，当孝= 哪。为w e i b u l l 分布，当掌= 0 时为g u m b e l 分布。 c ) p i c k a n d s - - b a l k e m a - d eh a a n 定理 ，：，以是的订个独立的随机变量服从分布函数为，( x ) 的概率分 布。设u 为该分布函数有限最大值或+ 0 0 。超出阈值k 的分布函数为： v a r 若干典型度量方法的比较研究 f t ( x ) = p r x - k = 兰! 紫 ( 2 2 2 ) 其中0 x 0 ，当f o n ，x 0 ；当 f v a r 。】 ( 2 - 2 5 ) 当取砌r 。为初始值时，上式可改写为： e s p = v a r p + e x v a r pl x v a r p ( 2 - 2 6 ) 、- - - - - - - 、，- - - - 一 y 其中，e x v a r ，i x v a r ，】是超出值分布。的均值，即条件v a r 。由于g d p 的平均超出函数( 当孝 o ( 2 _ 2 7 ) 因此有： v a r 若干典型度量方法的比较研究 即”笔笋 协：。， 一煳p 仃一f “ 1 一善11 一孝 ( 2 - 2 8 ) 式成立的条件是：如果x 服从g d p ，则对于所有整数，( r 0 时的概率密度函数。当手= 0 时： 孵以哪，= 吉e 冲( 等) e 坤( 一( 一等) ) 沼s ， 盯盯， 、盯， 在投资实践中，人们感兴趣的不是参数本身，而是要通过它们求出一种叫做 收益率水平的风险度量指标r 。，它表示一个收益率水平，该水平被超过的概率 r = 砝( 1 一i l k ) ( 2 3 2 ) 将三个参数的估计值代入( 2 2 1 ) 的反函数中，有： v a r 若干典型度量方法的比较研究 盖t ：l p 一詈。一( 一l n ( 1 1 t ) ) 一5 ) f o ( 2 3 3 ) l p 一子l n ( - l n ( 1 一l k ) )善= 0 尽管基于e v t 的方法具有较好的理论基础，但在模型估计方面还存在一定 的困难。其中最主要的难点在于选取初始值，根据定理2 ，村值应该尽量大，但 如果“过大就得不到足够数量的超出值，将给尾部分布函数的参数估计造成影 响。 2 4 不同度量方法的差异 v a r 计算方法各异，不同的计算方法存在着自己的特点，孰优孰劣无法完全 定性的进行推断。而且对于同一组数据，根据不同模型进行v a r 估计所得的结 果大不相同，如图2 2 所示： u4u u 日0 口1d 口q12 0 014 0 q d 自t en u mb r 图2 2 基于三种不同方法的v a r 估计 f i g 2 2v a r e s t i m a t e sb a s e du p o nt h r e ed i f f e r e n tm e t h o d s 图2 2 选取了等加权移动平均方法、指数加权移动平均方法和g a r c h 模型 估计方法对n a s d a q 指数9 8 年1 月到2 0 0 2 年1 2 月共1 2 5 6 个交易日进行v a r 估 计，对这三种方法的度量结果简单的进行比较( 具体的算法及结果在下一章有详 细介绍) ，由图可以看出不同种方法计算出的v a r 值差异性很大，由此也可以看 出，对于风险管理者来说，用何种模型进行风险度量，何种模型更精确，更有效， 确实是亟待解决的问题。 v a r 若干典型度量方法的比较研究 基于实证分析的算法比较 3 1 数据 3 1 1 样本数据 采用纳斯达克综合指数1 9 9 3 年1 月。2 0 0 2 年1 2 月十年的数据( 可从 逝；必凸盟垫a 地盥然s ：q 班免费下载) 。应用m a t l a b6 5 对数据进行运算分析， 1 9 9 3 年1 月1 9 9 7 年1 2 月的1 2 6 4 个交易日的数据作为样本用于模型中的参数估 计，即样本内估计；1 9 9 8 年1 月2 0 0 2 年1 2 月的1 2 5 6 个交易日的数据用于样本 预测结果检验，即样本外预测。 图3 1 n a s d a q 指数日回报序列( 1 9 9 3 - 1 - 4 至2 0 0 2 - 1 2 3 1 ) f i g 3 1d a i l y r e t u r n so f n a s d a q i n d e x ( d a t a f r o m0 4 一j a n 一1 9 9 3 t o3 1 - d e c 。2 0 0 2 ) 图3 2 n a s d a q 指数的直方图 f i g 3 2h i s t o g r a mo f n a s d a qi n d e x 3 1 2 金融数据的基本特征 实际金融数据具有一些基本的特征，波动性和相关性模