（应用数学专业论文）具有robin内核的可穿透的散射问题.pdf

摘要 本文主要讨论的是具有r o b i n 内核的可穿透散射问题，该问题可以归结为如下 的混合边值问题： + 磅嘶= 0 ， 歹= 0 ，1i n 功 u 1 = 坳器一p 嘉= 入t 1 1 ， o n1 1 1 u o + 杀貔= 0 ， 伽f o 其中如 o ，j = 0 ，1 ；p o ，a 为复值函数，r e ( 阏0 ，7 为h 6 l d e r 连续函数， 眦r o ，7 7 ( z ) 0 ，冗e 芒0 。 对这个问题的研究分为两个方面：一是正散射问题；二是逆散射问题，即已知 散射体的形状，通过散射波的远场信息来决定阻抗系数叩。以上两方面问题的研究 都是基于相应的边界积分方程。 关键词：惟一性h e l m h o l t z 方程穿越条件阻抗条件边界积分方程 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ab s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ep e n e t r a b l es c a t t e r i n gp r o b l e mw i t ht h er o b i n c o r e ，t h ep r o b l e mc a nb ea t t r i b u t e dt ot h ef o l l o w i n gm i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b - i 吩+ 碍吻= 0 ， t l = 咖貉一p 铬= a u l ， 【咖+ 嚣器= 0 ， 歹= 0 ，1 讯功 d 佗r l 帆r o w i t h o ，j i = 0 ，1 ；p 0 ，ai st h ec o m p l e xf u n c t i o n ，尺e ( p 入) 0 ，叩i sah 6 1 d e r c o n t i n u o u sf u n c t i o n ，a n dv x f o ，刁( z ) 0 ，觑卺0 w es e p a r a t et w op a r t st or e s e a r c ht h ep r o b l e m ：o n ei st h es c a t t e r i n gp r o b l e m ；t h e o t h e ri st h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m ，g i v e nt h es h a p eo ft h es c a t t e r e r s ，t od e t e r m i n e t h ei m p e d a n c ef u n c t i o n 叼f r o mak n o w l e d g eo ft h ef a rf i e l dp a t t e r nf o ro n ei n c i d e n t w a v e ，t h e s et w oa s p e c t so ft h es t u d ya r eb a s e do nt h ec o r r e s p o n d i n gb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n k e yw o r d s ：u n i q u e n e s s h e l m h o l t ze q u a t i o nt h et r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s t h e i m p e d a n c eb o u n d a r yc o n d i t i o nb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s i i 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e l 己1 a n o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：喃是热日期：砷年月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：喃疋趣 日期吖年i 月1 日 导臌：多卜 日期：川车5 月日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重途塞逞童卮澄卮! 旦堂生；旦二生；旦三生蕉壶! 作者签名：喃l 热 日期：坷年6 月1 日 导师魏爹f ，f - 日期川年5 月1 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1绪论 声波和电磁波的散射问题的研究已经有相当长的历史，也是数学物理方程研究 的热门课题之一，早期的研究结果可以参考 2 - 4 。在过去十几年的时间里，越来 越多的人感兴趣的逆散射问题是：通过散射波的远场信息重构物体的几何形状或者 研究散射体的物理参数。这种关注不仅仅是因为数学兴趣也是因为它的实际应用。 这可以应用在医学图象、无损坏测试和地球物理勘探等方面。例如：手臂上的骨头 可以建立不均匀条件下的阻抗边界条件，此时在骨头上的肌肉可以看作介质层：也 可用在对导线外层的无损评估上，此时可以建立导线外层为介质层和导线为不均匀 表面的阻抗。 在电磁学上，阻抗边界条件是简化包含复杂结构的电磁散射问题的一个工 具。2 0 0 1 年，k r e a 卿r u n d e u 研究了以任意形状为截面的圆柱体的散射问题，他们 讨论的反问题是重构散射体的形状( 见参考文献 9 】) ：2 0 0 3 年，a k d u m a n 和k r e s s 研 究了不均匀阻抗边界的散射问题，利用位势理论将散射问题转化为边界积分方程， 由f r e d h o l m 定理可以得到正问题解的存在唯一性( 见参考文献【1 】) 。 近两年，k r e s s 和y a m a n 、y a p a r 等研究了一类散射问题：假设散射体是任意形 状的圆柱体，并且处在圆柱形的介质当中，其横截面为一环形区域。该问题可以归 结为一个二维平面上具有r o b i n 内核的可穿透的散射问题，此问题作者采用了边界 积分方程的方法来证解的存在唯一性( 见参考文献 1 2 1 ) 。基于此文章的思想，我 们讨论如下的问题： 找定义在d o 上的函数u o c 2 ( d onc 1 ( 瓦) ) 和定义在d 1 里的函数札l c 2 ( d lnc 1 ( _ ) ) 满足： ， l 吻+ 碍吻= 0 ， 歹= 0 ，1i n 岛 u l = u o 筹一p 器= 入u 1 ， o nf x 【u o + 老韶= 0 ， 饥f o 其中双连通有界区域d ocr 2 ，假设o d o c 2 ，且内边界记作r o ，外边晃记作r 1 ， 即a d o = f o u f x ，且r o n f x = g ，以r l 为边界的无界区域记为d 1 。岛 o ，歹= 0 ，1 ；p 0 ，a 为复值函数，r e ( 肛) 0 ，t 7 为h s l d e r 连续函数，且v z f o ，叼( z ) 0r e 芒 0 。 加一 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在外部的整个场上t 1 = + 矿，入射场缸= e i h 叠d ，其中d = ( c o s 机，s i n 机) 是 以如为角度的传播方向，散射场u 8 满足s o m m e r f e l d 辐射条件： 熙v q 研o u 8 一i k l u o = 0 ， r = l 。i l 对所有方向一致成立。 对于本文所讨论的问题，我们可以考虑它更一般的情况： i 嘭+ 砖嘭= 0 ， 歹= 0 ，1i nd j t i i = u o + ，瓣一p 筹= 入t i + 9 ， o nr 1 【u oq - 蠡舞= 0 ， o nf o 当其中的，= 一2 u i ，g = 2 a u iq - 2 p 貉的时候就得到了本文所讨论的问题：当，= 0 ，g = o 的时候即为齐次形式的穿透条件。 文章主要分为两个部分完成。第一个部分为正散射问题，得出该问题解的唯一 性与存在性。首先由r e l l i c h 引理和h o l m g r e n 唯一性定理，得到解的唯一性。然后 运用位势理论构造解，由穿透条件和阻抗条件得到边界积分方程，再讨论边界积分 方程的唯一可解性，最终得出正问题解的存在性。得到的结论有两个： 定理2 6 ：正散射问题( 1 ) 至多有一个解。 定理2 8 - - 当瑶不是f o 内部一的d i r i c h l e t 特征值，则正问题有唯一解。 第二个部分为逆散射问题，即反问题。本文所讨论的反问题是：已知散射 体的形状，通过散射波的远场信息来决定阻抗系数7 7 。首先由r e l l i c h 引理可得结 论：h e l m h o l t z 方程的辐射解与它的远场信息一一对应。因此远场信息在区域d l 上 惟一决定u 1 ，然后由h o l m g r e n 唯一性定理和穿透条件，在区域d o 上u o 被唯一确 定。由阻抗条件，可以得到7 7 的惟一性。在反问题的讨论过程中，散射场的位势 表达式导致了第一类线性积分方程中密度函数的严重病态，因此在处理中用到 了t i k h o n o v 正则化。相关的结果有： 定理3 2 ：若k 0 2 不是r o 内部一a 的d i r i c h l e t 特征值，则算子b ：l 2 ( r 1 ) l 2 ( t o ) _ l 2 ( r 1 ) l 2 ( r 1 ) b ：f s 1 1 。 s 0 1 ，。1 i 研l ，o + ，瑞1 ，o 为单射且有稠密值域。 2 关于反问题的数值解的具体求法可以参照文章【1 2 】中的方法。 整篇论文安排如下：首先是绪论，介绍本文具体讨论问题的背景和相关结论； 其次是正散射问题，证明正问题的唯一性和存在性；最后是逆散射问题，给出由散 射波的远场信息确定叩的理论步骤。 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2正散射问题 2 1 问题的提出 考虑双连通有界区域：d oc 尺2 ，假设a d o 俨，且内边界记作r o ，外边 界记作r 1 ，即a d o = f o ur 1 ，且r o n r l = j 2 f ，记赢为r o 指向d o 内部的单位法向 量，冠为指向d o 外部的单位法向量，以r l 为边界的无界区域记为d 1 。 遇到阻抗边界条件的散射问题可以由以下的h e l m h o l t z 方程的边界值问题来 建立模型，即找到定义在d o 上的函数u o g 吨( d o n g l ( 瓦) ) 和定义在d 1 里的函 数t l 俨( d 1nc 1 ( 两) ) 满足： 嘶+ 碍= 0 ， t - = t l o 鬻一p 嘉= a u l ， 咖+ 孟器= 0 ， 歹= 0 ，1i nd j o nr 1 ( 1 ) o nf o 其中白 o ，j = 0 ，1 ；p 0 ，入为复值函数，( 瓜) 0 ，7 为h 6 l d e r 连续函数， 且比i o ，叩( z ) 0 ，屁乏0 。 在外部的整个场上牡l = + u 。，入射场u = e i k 争d ，其中d = ( c o s 如，s i n 如) 是 以如为角度的传播方向，散射场u 3 满足s o m m e r f e l d 辐射条件： 熙( 等以。u p o ，r - izi 对所有方向一致成立，s o m m e r f e l d 辐射条件保证了散射波的形式的渐近模式： 以加篇叫南m ( 高) 一。o 对所有方向一致成立，其中振辐元素u 为定义在单位圆q 上的远场信息。 2 2 预备知识 在研究具体的问题之前，我们先介绍一些本文中所用到的一些基本的定义和定 理( 在此均不对这些定理给予证明) 。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 1 ：若比，y o d ，z y 时g 为连续的，且存在正常数m 和口( 0 ，2 】，使 得比，y o d ，z y ，有 lg ( x ，y ) l mlz 一! ，r 2 则称g 为弱奇性。 由定义在a d 上的复值函数组成的集合i 已为c ( o d ) ，在定义范数 i i i i = 霉m a a d xi 咖( z ) i霉t 口上， 之后构成b a n a c h 空间，在此空间上定义积分算子f ：c ( o d ) 一c ( o d ) ( f d p ) ( x ) = a ( x ，可) 矽( 可) 如( y ) ，z a d 其中g 为连续的或者弱奇性核。 定理2 2 ：有连续或者弱奇性核的积分算子f 是c ( a d ) 上的紧算子。 上述定理在证明解的存在性的时候起决定性作用，只有当第二类积分方程组中 的算子为紧算子时，才能用f r e d h o l m 定理，此时积分方程组才有可解性。 引理2 3 ( r e l l i c h ) ：若d 为有界区域，令t c 2 ( r 2 d ) 是h e l m h o l t z 方程的 解，满足s o m m e r f e l d 辐射条件且 熙k r 卅i d s 0 成立，则在砰万上，有u = 0 。 由风1 1 i c h 引理可以得到下面的定理，由此定理可以得到正问题解的唯一性，而 且r e l l i c h 引理在反问题中也起到了很重要的作用。 定理2 4 ：令d 引理2 1 中介绍的，a d c 2 ，且育为指向d 外部的单位法向 量，若u c 2 ( 形动) 是h e l m h o l t z 方程的解，满足s o m m e r f e l d 辐射条件且 胁( 后z 。让嘉啦。 成立，则在r 2 d - _ ，有u = 0 。 定理2 5 ( h o l m g r e - 唯- - 性定理) ：若u 俨( 序万) nc 1 ( 解d ) ) 是区域d 外 h e l m h o l t z 方程的解，满足s o m m e r f e l d 辐射条件，且乱在a d 的一部分上的c a u c h y 值 为0 ，则u 三0 。 这里的定义和定理的证明均可以参考文献【2 1 0 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 3 唯一性与存在性 定理2 6 ：正散射问题( 1 ) 至多有一个解。 证明：若u i ，弼和“；，“3 为( 1 ) 的两对解，令 u 1 = u ；一t ；，t o = 碥一诏，则容 易验证u l 和铷满足h e l m h o l t z 方程，满足齐次形式时的穿透条件和阻抗条件，并 且u 1 满足s o m m e r f e l d 辐射条件。在区域d o 内对t t 0 运用格林定理，有 f r l幽= z 。伽嘉幽+ 厶炯d 计一- 2 2 出 ( 2 ) 再对( 2 ) 式依次运用边界条件和提取虚部，有 z 。州p 嘉+ 碉如= f r o ( 一面1 7 孺o u o ，, 孺8 - 丽船+ 上o ig r 口d 绚1 2 - 瑶i 询1 2 如 驯p 小嘉出+ ，- ( 肛) i 让- 2d s 】 ，r 1 z 。酬酗蒹1 2d s + l 喇) 厶2 如。 由条件p 0 ，r e ( 瓜) 0 ，r e 卺0 ，可得 i m ( f r lu l 嘉如) 0 又因为牡1 满足s o m m e r f e l d 辐射条件，可以推出在区域d 1 内有u 1 = 0 。最后由 h o l m g r e n 唯一性定理和穿透条件，在区域风内有，u o = 0 。 由上述定理我们得到了正散射问题( 1 ) 的解的唯一性，下面我们通过位势理 论将正散射问题转化为边界积分方程组来得到正散射问题( 1 ) 解的存在性。 1 ，二维h e l m h o l t z 方程的基本解呜： c j ( x , 剪) = 羞毹1 ( 白iz 一! 1 ) ，z yj = o ，1 其中h a n k e l 函数硪1 为第一类和一阶的，在此基础上我们定义单双层算子： ( 岛l ，m 妒) ( z ) = 2 圣m ( 。，y ) c p ( y ) d s ( y ) z f l ( 坞z ，m 妒) ( z ) = 2z ；皇考掣妒( ! ，) 如( ! ，) 。n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 它们对应的法向量导数算子为： ( 弼；，m 妒) ( z ) = 2z 。望考毳轰铲妒( 可) d s ( 可) z r 。 ( 轴) - 2 赤上。帮俐s 触 由定理2 2 ，我们可以得到以下的结论：算子岛l ，m ，l ，m 和群l ，m ：c ( l ) _ c ( r 1 ) ，当歹= f 时，三个算子都是弱奇性核的积分算子，所以是紧的；当j l 时， 三个算子都是连续核的积分算子，也为紧算子；算子功，m ：c ( r j ) 一c ( n ) ， 当歹f 时，为连续核的积分算子，为紧算子：当j = f 时，为超奇性算子，只有定 义在子空间kcg ( l ) 上时为光滑泛函，因此，我们定义算子，1 一，o ：c ( d ) _ c ( d ) ，此时算子为弱奇性核的积分算子，所以t j j ，1 一t j j ，o 为紧算子( 见【2 】中的定 理2 3 1 ) 。 我们知道h e l m h o l t z 方程可以由基本解表示出来，且由格林公式知道，单、双 层位势都可以表示h e l m h o l t z 方程的解。我们找由单双层位势结合的形式构造解， 以此来得到正散射问题( 1 ) 解的存在性。 牡5 ( z ) = z 。 竽耋襄鼍茅妒( y ) + 圣，( z ，秒) 妒( y ) d s ( y ) 。， ( 3 ) 伽( z ) = z 。( 望豸凳；i 茅妒( y ) + 西。( z ，y ) 妒( y ) ) d s ( 可) + f r o ( z ，可) ) ( ( y ) 出( y ) ，z d o 我们可以得到下面的定理： 定理2 7 ：( 3 ) 和( 4 ) 为正散射问题( 1 ) 的解，当连续密度函数妒，痧，x 满足积 分方程组： i 2 矽+ 虬1 ，1 妒一蜀1 ，o 砂+ 研l ，l 妒一研1 ，o 妒一s 0 1 ，o x = 一2 u 。 i ( 1 + p ) 妒+ t 1 1 ，o 砂一p 五l ，l 妒一a k n ，1 矽一入妒一p i l ，l 妒一入研l ，1 t o l+ 弼l ，o 妒一硒l ，o x = 2 a u + 2 肛筹 ix 一( 噩o ，o 矽+ 研o ，o 妒+ k 铂，o x ) 一鲁( k 1 1 ，o 妒+ s m ，o 妒+ s o o ，o x ) = 0 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 证明：由( 3 ) 和( 4 ) 定义的t l = u 8 + 和u o 满足h e l m h o l t z 方程，且u 3 满足 辐射条件，因此由单双层位势的跳跃关系有， 一s o l ，o x u k h 。l 妒+ p 妒 暖o ，o 妒+ ，o x x ) ( 6 ) 是由仳l 和咖满足穿透条件和边界条件得到的，根据( 6 ) ，可以得到边界积分 方程组( 5 ) ，也即牡l 和u o 为正散射问题( 1 ) 的解。 由定理2 7 ，我们将正散射问题( 1 ) 解的存在性转化为了边界积分方程组解的 存在性，那么下面我们来证边界积分方程组( 5 ) 解的存在性。 2 ，定义算子。 定义算子a oc ( r 1 ) c ( r 1 ) xc ( f o ) _ c ( r 1 ) c ( r 1 ) c ( r o ) i a ：= i 乃l ，o f k n ，1 一k n ，0研1 ，1 一& l ，0 一肛t n ，l a k i l ，1 一a i t 1 0 ，0 一警k 1 0 ，0 一，一育n ， 一p 弼l ，1 一a s h ，1 + k h ，0 一琏o ，o 一鲁s l o ，o一基晰) 一蜗1 ，ol k o 一等s 响p c ( ；p ) ，+ a ，( 至) = ( 2 入- - 乞2 u 2 i p 嘉) 定理2 8 ：当瑶 唯一解。 证明：要证边 射。由r i e s z p r e d h o 不是r o 内部一的d i r i c h l e t 特征值，则边界积分方程组( 5 ) 有 界积分方程组( 5 ) 有唯一解，则需证( 1 ；肛) ，+ a 为单 的唯一可解性。假设密度函数矽，妒，x 是边界积分方程组为齐次时的解，则由 ( 4 ) 和( 3 ) 定义的u o 和u 1 = u + u s 满足齐次穿透条件和阻抗条件。由定理2 6 ， 8 岛皿 叩q 饵 妒r u 幻“战老 神鼢时硷沪啦p 一旷肘低吼 妒r 小 卅州卅抄 卜卜 | i 娶m 濡卜锘糯 o “ l 幻 札 叫卫 牡鼢时 当z d x 时，有t 1 ( z ) = o ：当z d o 时，有u o = 0 。凼为咖连续芽透i 。o ，且镒个 是r o 内部一的d i r i c h l e t 特征值，所以在r o 内部，有咖= 0 。再由跳跃关系，有 x = 嘉一嘉= o 科。 因此密度函数妒，矽满足： ( 。艺妒) + ( 耵m k i i , i - k l l , o 一一耻s l l , l 蛳一s l l k 。m ) _ 0 为了证明上式只有零解，我们另外再定义： u ( z ) = z ， 望豸凳拿署妒( 可) ) + 西。( z ，耖) 妒( 可) d s ( y ) z 。 嘶) 一z ， 帮删椭咖烈y ) 征风 j ，u 一蜘= 妒 i 貉一磐a n a = 一妒 其中z r l ，所以u 和伽是齐次穿透问题： f 会篡= u 8 + 1 ) o5 砂 器+ 筹= 一妒a 耐。鲡 y u v o = 0 舞一器竿0 ， i n d l i n d o ， o n r l 由c 7 ，式有，矽= 。，妒= 。因此算子( 1 ；p ) ，+ a 为单射，即积分方程组) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 逆散射问题 作为散射理论中最重要的工具之一，l l i c h 引理给出t h e l m h o l t z 方程的辐射 解与它远场信息的一一对应的结论，即若在q 上u o o = 0 i 则在区域d l 上有让5 = 0 。 我们所关注的逆散射问题是：已知散射体的形状，通过散射波的远场信息决定 阻抗系数卵。由正问题中解的表达式，很容易看出散射波非线性的依赖阻抗系数7 7 ， 所以此问题是非线性的。更重要的是，反问题是病态的，必须用特别的方法，所以 我们用t i k h o n o v 正则化来处理这种病态问题。 我们首先验证远场信息惟一决定阻抗系数7 7 。f l t r e l l i c h 弓i 理的结论，远场信息 在区域d l 上惟一决定t 1 ，然后e 甘h o l m g r e n 定理和穿越条件，在区域z b 上u o 被惟一 确定。最后由阻抗条件，可以得到7 7 的唯一性。 由h o l m g r e n 唯一性定理，u o 的方向导数在r 0 的开集上不会为0 。如若不 然，u o 的方向导数在r o 的开集上为0 ，我们马上可以得出在区域风上u l = 0 ， 再由穿越条件有在区域d 1 上t 1 = 0 ，这最终会与入射平面波满足s o m m e r f e l d 条件矛 盾。 在实际计算中，我们沿用之前的唯一性证明。在区域d 1 上，由已知的远场信 息，用单层位势的形式重构矿： ， t 1 5 ( z ) = c a ( x ，可) 妒( 掣) d s ( y ) ( 8 ) ，r l 其中密度函数妒l 2 ( r 1 ) 未知。单层位势( 8 ) 的远场信息为 1 ， 札( 童) = ，y e - i k l $ y 妒( y ) 凼 ) 金q ( 9 ) j r l 其中7 = e - 警吾而( 参考【2 】中的3 4 和3 5 ) 。因此，若已知远场信息让o 。，则密度 函数妒可由下面的第一类积分方程解出： 妒= u o o ( 1 0 ) 其中紧算子氏：l 2 ( r 1 ) _ l 2 ) 定义为： s ( 妒) ( 圣) ：= 1 e - i k l 量y 妒( 妙) d s ( y ) 圣q ( 1 1 ) ，工1 1 0 由于氏的核解析，所以积分方程( 1 0 ) 中的密度函数妒严重病态。为了得到( 1 0 ) 的稳定数值解，我们可以运用t i k h o n o v 正则化的方法，把病态方程( 1 0 ) 改写为： a + 氏= 戢u ( 1 2 ) 其中a 为一些正的正则化参数，且咒：l 2 ( q ) 一l 。为s 矗的伴随算子。 如果要用t i k h o n o v 正则化，下面这个定理尤为重要。此定理的证明可参 考 3 】中的定理5 1 7 。 定理3 1 ：若七 不是f l 内部一的d i r i c h l e t 特征值，则由( 1 1 ) 定义的远场积分 算子s 0 ：l 2 ( f 1 ) _ 驴( q ) 为单射且有稠密值域。 一旦我们确定了妒，那么让l 也可以算出来。紧接着我们要找具有单层位势 的伽， t 1 1 d ( z ) = 圣o ( z ，y ) 妒( 可) d s ( y ) + 圣o ( z ，y ) x ( y ) d s ( y ) z d o( 1 3 ) - ，r 1，r o 因为u o 与u l 满足穿透条件，由单双层位势的的跳跃关系，所以密度函数1 ；f ，和x 满足 积分方程组： j 研l ，o 妒+ 岛1 ，o x = 2 + 岛1 ，1 妒 【研1 ，o 妒+ 妒+ 瑶1 ，o x = 2 p 筹+ 2 p ( 研l ，l 妒一妒) + a ( 2 u + s 1 ，1 垆) ( 1 4 ) 若留不是r 1 内部一的d i r i c h l e t 特征值，则逆算子( ，+ k h , o ) 一1 ：l 2 ( r 1 ) 一 l 2 ( r 1 ) 存在( 见【2 中的定理3 1 7 ) 。我们可以从( 1 3 ) 中消去矽，得 雪x = ，( 1 5 ) 其中紧算子雪：l 2 ( r 1 ) _ l 2 ( r - ) 定义为， 官：= 岛1 ，o 一研1 ，o ( ，+ 9 1 1 ，o ) 1 瑶1 ，o 且右边 ，：= 陬筹+ 2 p ( k 1 1 1 妒一妒) + 坤札t + 鼠- 洲( ，+ 吼。) 。1 + 2 乱 + 乳即 紧算子后导致了( 1 4 ) 的病态。在此，我们直接对( 1 4 ) 运用t i l d l o n o v 正则化，在 用正则化之前，需要先证明下面这个定理。 11 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理3 2 ：若瑶不是r o 内部一a 的d i r i c h l e t 特征值，则算子j e 7 ：l 2 ( r 1 ) x l 2 ( r o ) 一 l 2 ( r 1 ) l 2 ( r 1 ) b ：f ，钆。 何1 。+ ， 为单射且有稠密值域。 证明：令妒和x 是齐次方程bf 妒1 ：o 的解，则由第二个方程容易得出妒的 x 连续性。然后由跳跃关系，由( 1 3 ) 定义的咖在边界r 1 上满足t l o = 0 ，舞= 0 。由 于伽满足h o l m g r e n 唯一性定理的条件，所以在区域d o 上可得u o = 0 。因为u o 连续 穿越r o ，而且研不是f o 内部一a 的d i r i c h l e t 特征值，所以在r 0 的内部u o = 0 。由区 域d 1 上d i r i c h l e t 夕f i ；- 题的惟一性，以及咖连续穿透r 1 ，在区域d 1 上有t 1 1 = 0 。综上 所述，可得在整个铲上，u = 0 ，由跳跃关系可推出矽= x = 0 。 要想得到b 的稠密性，可以证b 的伴随算子b ：l 2 ( r 1 ) l 2 ( r 1 ) 一己2 ( r 1 ) 口( r o ) b + ( ：) = = ( 嚣篙x ) 为单射( 见f 3 1 中的定理4 6 ) 。下证单射。 令妒和x 为齐次方程 b 。r 矽、：o x ( 1 6 ) 的解，定义： 出) = 上1 毗们而似卅j ( 。糍1 掣k y j 厕蜥) z 矾 j r r 1 uj 则由( 1 6 ) 的第一个方程可以得出v 是以r 1 为边界的s f d i r i c h l e t 问题的解，且 在边界r 1 上t ，= 0 ，则可推出在区域d 1 上t ，= 0 ：( 1 6 ) 的第二个方程可以看 出口是以r 1 为边界的i 内d i r i c h l e t i b - 题的解，且在边界r o 上 = 0 。因为瑶不是r o 内 部一的d i r i c h l e t 特征值，所以在r o 内部u = 0 ，由解析性可以延伸到在r l 内部u = 0 。即在整个舻上，u = 0 。由跳跃关系有矽= x = 0 。 算子b 的数值逼近可以用求积分的方法。一旦我们由( 1 4 ) 的t i l 【l l o n o v 正则化得 1 2 、llj， m m鼬 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s 到妒和x ，则在边界r o 上有， 2 蜘= j - s 1 0 ，0 1 ；f ，+ s o o o x 2 孺o u o = g i 。，。矽+ 硌，。) ( 一x 理论上，对于v t r o ，由阻抗条件可以得到 7 7 = 一訾 ( 1 7 ) 协巧 然而，由( 1 7 ) 的结构可以看出，在咖的方向导数为0 的附近会出现错误， 为了得到更稳定的解，我们可以用数值解的方法求叼，具体的求法可以参考文 献【1 2 】。 1 3 参考文献 【1 】a k d u m a n ，i a n dk r e s sr d i r e c ta n di n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sf o ri n h o m o g e - n e o n si m p e d a n c ec y l i n d e r so fa r b i t r a r ys h a p e r a d i os c i 3 8 ，1 0 5 5 1 0 6 4 ( 2 0 0 3 ) f 2 】c o l t o n ，d a n dk r e s s ，r i n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d s i ns c a t t e r i n gt h o e r y m ，w i l e y - i n t e r s c i e n c ep u b l i c t i o n ，n e wy o r k ，1 9 8 3 【3 】c o l t o n ，d a n dk r e s s ，r i n v e r s ea c o u s t i ca n de l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gt h e o r y 2 n de d ( b e r l i n ：s p r i n g e r ) ，1 9 9 2 【4 】f i o r a l b ac a k o n i ，d a v i dc o l t o na n d p e t e rm o n k ，：t h ed i r e c ta n di n v e r s es c a t t e r i n g p r o b l e m sf o rp a r t i a l l yc o a t e do b s t a c l e s ，2 0 0 1 【5 】h s i a og a n dw e n d l a n dw ，af i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs o m ei n t e g r a le q u a t i o n s o ft h ef i r s tk i n dj m a t h a n a l a p p l5 8 4 4 9 8 1 1 9 7 7 【6 】l a x ，p d ，a n dp h i l l i p s ，r s s c a t t e r i n gt h e o r y a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 6 7 【7 】l e i s ，r i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n m a t h e m a t i c a lp h y s i c s j o h nw i l e y , n e wy o r k ，1 9 8 6 【8 】k r e s sr ，b o u n d a r yi n t e r g n a le q u a t i o n si n t i m eh a r m i c n i ca c o u s t i cs c a t t e r - i n g m a t hc o m p u tm o l d l l i n g ，1 9 9 1 ，1 5 ：2 2 9 - 2 4 3 【9 】k r e s s ，r a n d r u n d e l l ，w i n v e r s es c a t t e r i n gf o rs h a p ea n di m p e d a n c e i n v e r s e p r o b l e m s1 7 ，1 0 7 5 - 1 0 8 5 ( 2 0 0 1 ) 【1 0 】k r e s sr ，l e ekm ，i n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d sf o rs c a t t e r i n gf r o ma l li m p e d